AJW-алгебры и приложения к теории измеримых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Арзикулов Фарходжон Нематжонович

УДК 517.98

A JVT-АЛГЕБРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ИЗМЕРИМЫХ

ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 - математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук

профессор А. Г. Кусраев

доктор физико-математических наук доцент А. Е. Гутман

Новосибирск - 1998

Содержание Введение .....

Глава 0. Предварительные сведения...........................17

0.1. Иордановы алгебры ..........................................17

0.2. /Б-алгебры ..................................................23

0.3. АИ^-алгебры и алгебры фон Неймана .......................27

0.4. Универсальные обертывающие алгебры

фон Неймана /БИ^-алгебр ...................................31

0.5. Булевозначная реализация /^-алгебр.........................34

Глава 1. АЛУ-алгебры ..........................................36

1.1. Определение АЛ^-алгебры и ее решетка проекторов ........36

1.2. Об определении АЛ^К-алгебры ...............................42

1.3. Об одном аналоге пирсовского разложения

для общих Л?-алгебр ........................................47

1.4. АЛ^-факторы типа I ........................................51

1.5. Определения А JW-алгебр типов I, II и III....................58

1.6. АЛ^-алгебры типа 1п, 1 <п< сю............................60

1.7. Бесконечные суммы ..........................................62

1.8. Симметризованные матричные единицы .....................65

1.9. АЛ^-алгебры типа 1п,

где п — бесконечный кардинал .............................. 68

1.10. п-однородные АЛУ-алгебры ................................74

1.11. Классификация АЛ¥-алгебр................................75

1.12. Вероятностные меры и состояния на АЛ'К-алгебре типа I.. .76

Глава 2. Иордановы алгебры абстрактных измеримых

операторов для обратимых ЛУ-алгебр..............83

2.1. Измеримые операторы для обратимой ЛУ-алгебры...........83

2.2. Локально измеримые операторы для обратимой Л^-алгебры. 93

2.3. Измеримые относительно центразначного и числового

следов операторы.............................................96

2.4. ¿^-измеримые операторы для обратимой Л^-алгебры.....100

2.5. Измеримые операторы для обратимой ЛУ-алгебры

в булевозначной модели теории множеств....................101

Литература.......................................................109

ВВЕДЕНИЕ

Данная диссертационная работа посвящена теории йордановых алгебр. Эти алгебры впервые введены в работах немецкого физика П. Иордана, посвященных аксиоматизации основ квантовой механики. В дальнейшем их также исследовали Дж. фон Нейман и Е. Вигнер, которыми совместно с П. Йорданом в середине 1930-х гг. была разработана аксиоматическая теория квантовой механики.

До середины 1960-х гг. йордановы алгебры рассматривались как чисто алгебраический объект. Позже они стали также изучаться с точки зрения функционального анализа.

Йордановы алгебры имеют тесную связь с ассоциативными алгебрами. Пусть А — ассоциативная алгебра над полем характеристики ф-2. Определим на векторном пространстве алгебры А новую операцию умножения а о Ь — 1/2(аЬ + Ьа). Полученную алгебру обозначим через А5. Эта алгебра является йордановой. Если подпространство В алгебры А замкнуто относительно операции о, то оно вместе с этой операцией образует подалгебру алгебры А1 и, следовательно, является йордановой алгеброй.

Над любым полем существует йордановы алгебры, не являющиеся подалгебрами алгебр А] ни для какой ассоциативной алгебры А. Если йорданова алгебра В является подалгеброй алгебры А1, где А — ассоциативная алгебра, то В называется специальной йордановой алгеброй.

А.И.Ширшов доказал, что любая йорданова алгебра с двумя порождающими специальна.

С началом систематического изучения йордановых алгебр с точки зрения функционального анализа была развита теория, которая тесно связана с теорией С*-алгебр и алгебр фон Неймана (см. 0.3.6). Основным объектом этой теории являются ЗВ- и ЗВ\¥-&лгебры (см. 0.2.6 и 0.2.2). В частности, ЗВИ^-алгебры являются йордановыми аналогами алгебр фон Неймана.

Одним из важных вкладов в теорию йордановых алгебр является работа П.Йордана, Дж.фон Неймана и Е. Вигнера [43]. В этой работе

построена классификация всех простых конечномерных формально вещественных йордановых алгебр. Конечномерные ^/ВТУ-факторы типа I являются конечномерными формально вещественными йордановыми алгебрами (изученными П. Иорданом, Дж. фон Нейманом и Е. Вигнером). С другой стороны, каждая простая конечномерная формально вещественная йорданова алгебра является /ВИ^-фактором типа I.

ЗВ-алгебры играют существенную роль применительно к теории С*-алгебр, математическим основам квантовой физики и теории комплексных функций нескольких и бесконечного числа переменных. Рассмотрим некоторые аспекты этого применения более подробно.

В теории С*-алгебр теоретические вопросы, связанные с порядком, имеют прямое отношение к йордановым алгебрам. В частности, классический результат, полученный Р. В. Кадисоном [44] утверждает, что порядковый автоморфизм С*-алгебры есть Йорданов автоморфизм. Теория, развитая в монографии [44], до сих пор применяется в современных исследованиях пространств состояний, антигомоморфизмов и положительных идемпотентных отображений С*-алгебр.

Одна из аксиом математической теории квантовой физики заключается в том, что случайные величины (так называемые наблюдаемые величины) образуют йорданову алгебру.

Более того, если мы хотим чтобы к этим наблюдаемым величинам можно было применить спектральную теорию мы должны потребовать, чтобы они образовывали /Б-алгебру. Эта взаимосвязь подробно рассмотрена в книге [35].

Обоснование того, что йордановы алгебры имеют прямое отношение к теории голоморфных функций нескольких переменных, впервые было дано в работе [50]. Позже аналоги результатов, полученных в этой работе, были установлены для случая комплексных функций бесконечного числа переменных (см. [49]). Ключевой результат, выявляющий эту связь, выглядит следующим образом: некоторые симметрические области (в С" или в комплексном банаховом пространстве) могут быть полностью охарактеризованы в терминах ЗВ-алгебр.

Основная часть диссертационной работы посвяшена теории йордановых алгебр самосопряженных операторов (ЗС- и «/РГ-алгебр, см. 0.2.1) и их абстрактных обобщений — ЗВ- и ЗВ\¥-алгебр. Предполагается, что все алгебры, рассматриваемые в диссертационной работе, являются алгебрами с единицей. Они являются вещественными неассоциативными аналогами С*-алгебр и алгебр фон Неймана. Впервые систематическое изложение теории ЗУУ-алгебр было дано в 1965 г. в работе

Д. М. Топпинга [72]. Исследование ЗС- и Л^-алгебр было продолжено в работах Е. А. Штермера и др. (см. [36], [37], [65], [66], [67], [68]).

Наиболее бурное развитие этого направления началось в конце 1970-х гг. после появления работ Е. М. Альфсена — Ф. В. Шульца — Е. А. Штермера [23] и Ф. В. Шульца [61], где были введены и изучены йордановы банаховы алгебры (Л?-алгебры и ЗВТУ-алгебры) и, в частности, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Наймарка. Как известно, всякую С*-алгебру можно вложить в некоторую алгебру В{Н) ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве Н. Йорданов аналог теоремы Гельфанда-Наймарка показывает, что класс <71?-алгебр, в отличие от класса С*-алгебр, обладает выражающим его сущность отличительным свойством — а именно, не всякая /Б-алгебра вложима в какую-нибудь алгебру В(Н). Конкретным примером является алгебра эрмитовых 3x3 матриц над числами Кэли М38, т.е. эту алгебру нельзя вложить ни в какую С*-алгебру. Благодаря теореме Шульца [61, теорема 3.9] в случае ЗВ]¥-алгебр это свойство выражается более четко. А именно, произвольная ЗВИ^-алгебра А разлагается в прямую сумму А — Авр (В Аех, где Азр — /РК-алгебра, а ЗВ№-алгебра Аех изоморфна алгебре С(Х, М|) всех непрерывных отображений гиперстоуновского компакта X в ЗВИ^-алгебру М|.

Теория ЗВ- и ЗВШ-алгебр интенсивно разрабатывается, круг приложений расширяется. Этапы развития теории ЗВ-алгебр отражены в [42]. Основные направления исследований включают изучение структуры и классификацию <7Б-алгебр, неассоциативное интегрирование и квантовую теорию вероятностей, геометрию состояний </Б-алгебр и др. ([5], [6], [42]). В том'числе, в статье [12] А. Г. Кусраевым развита техника булевозначной реализации ЗВ-алгебр и даны ее приложения к некоторым аспектам теории 3В-алгебр.

Диссертационная работа состоит из материалов исследований, проведенных в четырех направлениях, которые можно озаглавить следующим образом: "классификация и структура ЗВ-алгебр", "меры и состояния на ЗВ-алгебрах", "приложения к теории измеримых операторов" и "</Б-алгебры и булевозначный анализ".

Структура и классификация /Б-алгебр — один из основных разделов теории 7Б-алгебр. В рамках этой теории уже достаточно хорошо изучена структура /БЖ-алгебр и построена их классификация, а также введены и исследованы /БЖ-алгебры типа I, II и III. В частности, доказано, что всякая <7БТУ-алгебра представляется в виде прямой суммы трех подалгебр типа I, II и III, и что всякая ЗВЦ*"-алгебра типа

I представляется единственным образом в виде прямой суммы алгебр типа 1П, 1 < п < оо, и Кроме того, установлено, что любая ЗВТУ-алгебра типа 1„, где 3 < п < оо, представляется как прямая сумма подалгебр, каждая из которых, в свою очередь, или равняется нулю, или имеет точное представление в виде алгебры функций из некоторого гиперстоуновкого компакта в йорданову алгебру эрмитовых п х п матриц над Т*1, где Р может равняться II, С, Н или О (в случае п = 3), где О — алгебра чисел Кэли. В частности, всякий /БИ^-фактор типа \п изоморфен одному и только одному из факторов Нп(Я), #П(С), Нп(Н) или М|. В случае п = 2 7БТУ-алгебра типа 1п представляется в виде прямой суммы подалгебр, каждая из которых имеет точное представление как йорданова алгебра функций из гиперстоуновского компакта в спин-фактор. В частности, ./БИ'-алгебра есть 7ВИ/-фактор типа ¡2 тогда и только тогда, когда она является спин-фактором (см. [72], [65], [23], [66], [73], [41], [55], [62], [63]).

Надо отметить, что аналогичная приведенным выше теорема в случае бесконечного кардинального числа п до сих пор не была доказана. В диссертационной работе установлен следующий факт: всякая алгебра типа 1п, где п — бесконечное кардинальное число, изоморфна алгебре ©¿=1,2,3 С(Х{, где Х{ — некоторый гиперстоуновский

компакт, — некоторое гильбертово пространство над ^ для каждого г, причем ^ = И, 7*2 = С и ^з = Н, и допускается случай Н^ = 0. Таким образом, в данной работе удалось завершить цикл функциональных представлений для <7.Е^-алгебр типа I (см. 1.9.6).

В работе [51] впервые поднят вопрос об однозначном продолжении счетно аддитивной меры до положительного линейного функционала на алгебре. Вскоре А. М. Глисон нашел положительное решение этой проблемы (теперь иногда называемой проблемой Глисона) в случае алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве размерности > 3 (см. [38]). С тех пор появилось много работ, посвященных этой проблеме.

В случае ЗВ]¥-алгебр и алгебр фон Неймана проблема Глисона полностью исследована в работах [5], [16], [17], [31], [30], [74], [32], [75], [33], [71]. В частности, показано, что всякая вероятностная мера на проекторах /БТУ-алгебры без прямых слагаемых типа ¡2 единственным образом продолжается до состояния (см. [31], [30]). Отметим, что незадолго до этого такая же теорема была доказана для алгебр фон Неймана (см. [33], [74], [75], [52]).

В общем виде рассматриваемая проблема имеет отрицательное реше-

ние. Можно привести множество примеров для случая ЛЗШ-алгебры типа ¡2 (см. 1.11.2). Однако всякую субаддитивную меру на проекторах /БИ^-алгебры (соответственно, алгебры фон Неймана) можно единственным образом продолжить до состояния, которое одновременно является следом ([32]).

Как было сказано выше, в работе А. Г. Кусраева [12] заложены основы развития направления "булевозначный анализ и <7Б-алгебры". Ключевым результатом является теорема о представлении /Л-алгебры с выделенной полной булевой алгеброй центральных проекторов в булевознач-ной модели ([12, § 3]). Кроме того, даны некоторые приложения, представляющие собой булевозначную интерпретацию известных результатов Шульца [61]. Оказалось, что в этом направлении можно продвинуться существенно дальше и получить много других результатов. Подтверждением последнего является §2.5 главы 2 данной диссертации, посвященный йордановым аналогам абстрактных измеримых операторов для АИ^-алгебр.

Теперь приведем некоторые основные положения, которые являются непосредственными обусловливающими факторами появления этой работы. Основная часть настоящей диссертации посвящена абстракным <7И^-алгебрам, называемым А/И^-алгебрами. Эти алгебры впервые были упомянуты в 1965 г. в работе Д. М. Топпинга [72]. Д. М. Топпинг ввел и изучил понятие А7И^-алгебры в рамках класса йордановых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. В данной же диссертационной работе понятие АЛ^-алгебры вводится и исследуется в рамках класса Л?-алгебр. Эти алгебры являются вещественными неассоциативными аналогами АИ^*-алгебр (абстрактных алгебр фон Неймана), введенных И.Капланским в работе [46]. Новый класс А/ТУ-алгебр является промежуточным между двумя известными классами алгебр:

ЗВ\¥ С АШ С ЗВ. Отметим, что класс А/И^-алгебр раньше не рассматривался как подкласс ЗВ-алгебр и, тем самым, понятие А/И^-алгебры, данное в настоящей диссертации, является новым. В то же время такой классический объект как С(<3), где ф — экстремальный компакт, являясь </.В-алгеброй (и даже ассоциативной А/Ж-алгеброй), тем не менее, не всегда является /БЖ-алгеброй. (Алгебра С(ф) будет /ВИ^-алгеброй тогда и только тогда, когда С} является гиперстоуновским компактом, т.е. когда С{££) имеет предсопряженное пространство.) Таким образом, между хорошо изученными классами 1В- и алгебр имеется ин-

тересный и в значительной степени не исследованный класс — класс А3\¥-алгебр.

Автор считает своим приятным долгом выразить искренюю признательность своим научным руководителям А.Г. Кусраеву и А.Е. Гутману за внимание к работе.

Перечислим коротко основные результаты диссертации.

Глава 0 содержит предварительные сведения, обозначения и терминологию из теории йордановых алгебр и Л?-алгебр, из теории АИ^-алгебр и алгебр фон Неймана, а также из теории булевозначных реализаций ЗВ-алгебр.

В главе 1 введен и исследован новый класс — класс А/Т^-алгебр — в рамках ЗВ-алгебр. В частности, построена классификация А Л^-алгебр и доказана теорема о функциональном представлении однородных А3\¥-алгебр. Здесь после обсуждения основных свойств изучаемых объектов приводится приложение, связанное с проблемой о продолжении меры на проекторах йордановой алгебры.

Опишем содержание главы 1 более подробно.

В параграфе 1.1 введено понятие АЛУ-алгебры. В центральной в данном параграфе теореме 1.1.1 утверждается, что следующие условия эквивалентны:

(A) для всякого подмножества 5 С А+ (см. 1.2.3) существует проектор е е А такой, что 5х = ие(А), где (Vа, 6 6 А) 11аЬ = 2а о (а о Ь) — а2о 6, 51 (V* е 5) иаэ = 0} и ие(А) := {иеа : а е А};

(Б) для любого подмножества 5 С А существует такой проектор е £ А, что = ие(А+), где := {х £ А+: иах = 0, а Е 5};

(B) выполнены следующие два условия:

(1) в частично упорядоченном множестве проекторов любое подмножество попарно ортогональных элементов имеет точную верхнюю грань в этом множестве;

(2) любая максимальная сильно ассоциативная подалгебра порождается своими проекторами (т.е. совпадает с наименьшей замкнутой подалгеброй, содержащей ее проекторы).

Понятие А/И^-алгебры можно ввести, например, так: /Б-алгебра называется АЗЦ?-алгеброй, если она удовлетворяет приведенному выше условию (А) (см. 1.1.9).

В качестве следствия теоремы 1.1.1 установлено, что все проекторы А/И^-алгебры образуют полную решетку. Отметим, что множества 51

и ±5, фигурирующие в формулировке теоремы, являются йордановы-ми аналогами правых и левых аннуляторов множеств из теории АУ/*-алгебр.

Теорема 1.1.1 позволяет в почти не изменном виде перенести на случай А Л^-алгебр многие факты из теории ЗВУ/-алгебр вместе с доказательствами. Это касается и теоремы Шульда (см. [61]). В пункте 1.1.12 приведена теорема Шульца для А/И^-алгебр, в которой утверждается, что произвольную А/Ж-алгебру можно представить в виде прямой суммы /С-алгебры и исключительной /Б-алгебры.

Подтверждением сказанного выше является и заключительный пункт 1.1.13 параграфа 1.1, в котором утверждается, что элемент 2 лежит в центре АЛУ-алгебры А тогда и только тогда, когда 118г = г для любой симметрии 5 Е А (т.е. такого элемента з, что з2 = 1).

В параграфе 1.2 главы 1 приводятся эквивалентные определению АЗШ-алгебры условия, в которых участвуют другие йордановы аналоги аннуляторов подмножеств 7Б-алгебры (теоремы 1.2.3 и 1.2.9). Формулировка более короткого из этих условий выглядит следующим образом:

(Г) для всякого подмножества 5 С А+ (см. 1.2.3) существует проектор е е А такой, что Апп(З) = ие(А), где Лпп(5) = {а е А : (У я Е 5) а о в = 0}.

Эквивалентность этих условий позволяет обобщить понятие пирсов-ского разложения на случай общих 3В-алгебр, что и сделано в параграфе 1.3. Другими словами, в параграфе 1.3 доказана теорема (см. 1.3.2), �