Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

§ 1. Основные уравнения линейной теории упругости

§ 2. Некоторые этапы развития теории упругости

§ 3. Краткий обзор работ по упругой анизотропии

§ 4. Краткий обзор работ по общим решениям в линейной теории упругости

Глава 1. Обобщенный закон Гука для линейно упругих анизотропных материалов.

§ 5. О структуре тензоров модулей упругости и коэффициентов податливости.

§ 6. Собственные упругие состояния.

§ 7. О классификации анизотропных материалов

§ 8. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний

§ 9. О наитеснеийших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому виду

§ 10. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов

§11. Инварианты тензора четвертого ранга модулей упругости

§ 12. Представление тензора модулей упругости трансверсально-изотропной упругой среды

§ 13. Об ортонормированном базисе из чистых сдвигов в девиаторном подпространстве.

§ 14. О матрице коэффициентов в уравнениях в смещениях линейной теории упругости

Глава 2. Общие решения уравнений линейной теории упругости.

§ 15. Общее представление решения уравнений линейной теории упругости изотропного тела

§ 16. О некоторых решениях уравнений линейной теории упругости

§ 17. Общие решения и приведение системы уравнений линейной теории упругости к диагональному виду

§ 18. Об уравнениях линейной теории упругости анизотропных материалов, сводящихся к трем независимым волновым уравнениям

§ 19. Операторы симметрии и общие решения уравнений линейной теории упругости

§ 20. Замечания о подстановках Нейбера

§ 21. Общее представление решения уравнений в случае несжимаемого изотропного материала

Глава 3. Общая структура уравнений линейной теории упругости.

§ 22. Об условиях совместности малых деформаций и функциях напряжений .!.

§ 23. Функции напряжений и смещений для уравнений движения сплошной среды

§ 24. Об уравнениях Бельтрами — Мичелла и операторе

Сен-Венана.

§ 1. Основные уравнения линейной теории упругости

Будем рассматривать все уравнения в декартовой прямоугольной системе координат Нумерация формул принята двойная. Первое число означает номер параграфа, второе — номер формулы в этом параграфе.

Основные уравнения линейной теории упругости [1-4] состоят из уравнений движения djOij - рд^щ + Fi = 0, (1.1) обобщенного закона Гука сTij = AijkiSki, (1.2) и формул Коши, представляющих деформации через смещения ki = {dkUi + d¡uk)/2. (1.3)

В (1.1)—(1.3) обозначено: cr¿j = cr¿¿ — компоненты тензора напряжений; £ij = £ji — компоненты тензора деформаций; А^ы — компоненты тензора модулей упругости; щ — компоненты вектора смещения; F¡ — компоненты вектора объемных сил; р — постоянная плотность материала; dj — производная по координате xj ; д^ — производная по времени — t. Повторяющиеся буквенные индексы означают суммирование.

В линейной теории упругости удельная энергия деформации для анизотропных материалов имеет вид [1, 2]

2Ф = Aijkl£ij£kl. (1.4)

Постоянные A¡jki обладают свойствами симметрии:

Aijki — Ajiki — AkHj, (1-5) это следует из симметрии тензора е^ и возможности переобозначить индексы суммирования в (1.4) [1, 5].

Подставляя (1.2), (1.3) в (1.1), получим уравнения движения в смещениях [1]

Ai(n)jdki - + Fi = 0, (1.6) где [6, 7]

Ацы)) = (Aikij +Ankj)/2; (1.7)

Sij = 1 при i = j, 5ij = 0 при i ф j. Для изотропного материала модули упругости Aijki следующие [1, 5, 8]

Aijki = ^ijSki + p{6ik8ji + Suójk), (1.8)

Л, ц — постоянные Ламе [1, 4]) и уравнения (1.6) в случае (1.8)принима-ют вид [1, 4]

Л + ¡л)дц + {фкк - Р9аа)]Щ + # = 0, (1.9)

При решении конкретных задач к уравнениям (1.1)—(1.3) или (1.6), (1.9) добавляют начальные и граничные условия. На границе 5 области V, занятой упругим телом, обычно задают смещения щ = Х{ € 5, (1.10) или вектор рг внешних усилий, действующих на поверхность тела аЧП3 — Рь Хг (1-11) где П} — компоненты вектора внешней нормали к поверхности Я. Часто встречаются и смешанные граничные условия, когда на части поверхности ви заданы смещения, а на другой части = 5 — 5и заданы внешние усилия. Уравнения статики [1, 4] получаются из (1.1), (1.6), (1.9), где следует опустить производные по времени: дрц + Я = 0, (1.12)

АтА1Щ + Я = о, (1.13)

Л + ц)дц 4- ^гудкк]щ + Я = 0. (1.14)

Относительно функций, входящих в уравнения линейной теории упругости, будем предполагать, что они имеют достаточную гладкость для того, чтобы существовали все необходимые производные и были справедливы все дальнейшие выкладки. Считаем смещения и напряжения непрерывными вплоть до границы Я, что подразумевается в граничных условиях (1.10), (1.11) [4]. Энергия деформации (1.4) должна быть положительно определенной квадратичной формой [2, 3].

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем.

1. Развит подход, раскрывающий структуру обобщенного закона Гу-ка, которая определяется шестью собственными модулями упругости и шестью ортогональными собственными состояниями. Дана параметризация ортогональных собственных состояний через 15 независимых параметров. Предложена рациональная классификация анизотропных материалов на основе структурной формулы в зависимости от числа и кратности собственных модулей упругости. Найдены собственные модули и состояния для материалов кристаллографических сингоний. Дано представление модулей и технических констант упругости (модули Юнга, сдвига, объемный, коэффициенты Пуассона) через параметры, обеспечивающие положительную определенность удельной энергии деформации и показывающие наитеснейшие пределы изменения констант.Получена полная система алгебраических инвариантов тензора четвертого ранга модулей упругости. В случае произвольной анизотропии установлена аналогичная структура коэффициентов в уравнениях движения в смещениях.

2. Получено общее представление решения уравнений линейной теории упругости изотропного тела через три функции, удовлетворяющие волновым уравнениям, для динамики и через три гармонические функции для статики. Найдены случаи сведения уравнений движения в смещениях при наличии анизотропии к трем независимым волновым уравнениям. Даны формулы для упругой анизотропной среды (обобщение среды Грина) с чисто продольными и чисто поперечными волнами при любом направлении волновой нормали, а также для специальных ортотропных и трансверсально-изотропных материалов. Установлена связь форм общих решений с операторами симметрии, дающими формулы производства новых решений. Доказана общность решений Кельвина — Ламе, Галеркина, Папковича — Нейбера и представления решения уравнений для несжимаемого изотропного материала.

3. Установлена структура оператора Сен-Венана и уравнений Бель-трами — Мичелла. Получены исчерпывающие варианты общих решений уравнений движения (равновесия) сплошной среды через шесть или три функций напряжений и смещений. Выяснена общая структура уравнений линейной теории упругости при произвольной анизотропии и предложена новая форма уравнений из шести соотношений закона Гука, содержащих только функции напряжений и смещений.

Заключение

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

2. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

3. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. 674 с.

4. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

5. Остросаблин Н. И. О структуре тензора модулей упругости и классификации анизотропных материалов // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1986. № 4. С. 127-135.

6. Остросаблин Н. И. О матрице коэффициентов в уравнениях линейной теории упругости // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, № 1. С. 63-65.

7. Остросаблин Н. И. Об уравнениях линейной теории упругости // Прикл. механика и техн. физика. 1992. № 3. С. 131-140.

8. Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 386 с.

9. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями из истории теории упругости и теории сооружений. М.: ГИТТЛ, 1957. 536 с.

10. Todhunter I., Pearson К. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to Lord Kelvin. Vol. I. Galilei to Saint-Venant. 1639-1850. New York: Dover Publications, Inc., 1960. -936 p.

11. Todhunter I., Pearson K. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to Lord Kelvin. Vol. II. Saint-Venant to Lord Kelvin. Part I. New York: Dover Publications, Inc., 1960. 762 P

12. Todhunter I., Pearson K. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to Lord Kelvin. Vol. II. Saint-Venant to Lord Kelvin. Part II. New York: Dover Publications, Inc., 1960. -546 p.

13. Truesdell C. Essays in the history of mechanics. Berlin: Springer, 1968.

14. Трусделл К. Этапы развития понятия напряжения // Проблемы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 439-447.

15. Рыхлевский Я. О законе Гука // Прикл. мат. и мех. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 420-435.

16. Остросаблин Н. И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1984. Вып. 66. С. 113-125.

17. Минкевич Л. М. Представление тензоров упругости и податливости через собственные тензоры // Вопросы динамики механических систем виброударного действия. Новосибирск: НЭТИ, 1973. С. 107110.

18. Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. -488 с.

19. Хан X. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применения. М.: Мир, 1988. 344 с.

20. Крутков Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. -199 с.

21. Блох В. И. Функции напряжений в теории упругости // Прикл. мат. и мех. 1950. Т. 14, вып. 4. С. 415-422.

22. Truesdell С. Invariant and complete stress functions for general continua // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1959. V. 4, № 1. P. 1-29.

23. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. Leipzig; Berlin: Teubner, 1910. 964 S.

24. Сиротин Ю. И., Шаскольская M. П. Основы кристаллофизики. M.: Наука, 1975. -680 с.

25. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука // Сообщ. о науч. -техн. работах в Респ. Л.: Науч. хим. -техн. изд-во. 1924. Вып. 12. С. 20-23.

26. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука // Сообщ. о науч. -техн. работах в Респ. Л.: Науч. хим. -техн. изд-во. 1925. Вып. 17. С. 5-9.

27. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Применение учения о потенциальной энергии и начала наименьшей работы // Журн. Рус. физ. -хим. о-ва при Ленингр. ун-те. Ч. физ. 1925. Т. 57, вып. 3-4. С. 359-392.

28. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Применение учения о потенциальной энергии и начало наименьшей работы. Часть 1. JL: Изд. автора, 1925. 154 с.

29. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Часть 2. JL: Изд. автора, 1925.

30. Bechterew Р. Analytische Untersuchung des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes. Anwendung der Methode der Koordinatentransformation // Z. Kristallogr. 1925. Bd 62, H. 3/4. S. 223-254.

31. Бехтерев П. Аналитическое исследование обобщенного закона Гука. Применение метода преобразования координат // Журн. Рус. физ. -хим. о-ва при Ленингр. ун-те. Ч. физ. 1926. Т. 58, вып. 3. С. 415-446.

32. Bechterew Р. Analytische Untersuchung des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes. Anwendung der Lehre von der potentiellen Energie und dem Prinzip der minimalen Arbeit // Z. Kristallogr. 1926. Bd 64, H. 5/6. S. 373-399.

33. Бехтерев П. В. К систематике констант упругости анизотропных веществ // Журн. Рус. физ. -хим. о-ва при Ленингр. ун-те. Ч. физ. 1928. Т. 60, вып. 4. С. 351-353.

34. Bechterew Р. Zur Systematik der Elastizitätskonstanten anisotroper Stoffe // Z. Kristallogr. 1929. Bd 71, H. 3. S. 274-276.

35. Бехтерев П. В. Определяющие коэффициенты упругости и деформаций кристаллов с приложением к изотропии // Журн. эксперимент, и теорет. физики. 1934. Т. 4, вып. 9. С. 954-981.

36. Секерж-Зенькович Я. И. К расчету на устойчивость листа фанеры, как анизотропной пластинки // Тр. ЦАГИ. 1931. Вып. 76. С. 3-26.

37. Ченцов Н. Г. Исследование фанеры, как ортотропной пластинки // Техн. заметки ЦАГИ. 1936. № 91. С. 1-27.

38. Рабинович А. Л. Об упругих постоянных и прочности анизотропных материалов // Тр. ЦАГИ. 1946. № 582. 57 с.

39. Остросаблин Н. И. Наитеснейшие границы изменения практических констант упругости анизотропных материалов // Прикл. механика и техн. физика. 1992. № 1. С. 107-114.

40. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977. 416 с.

41. Ашкенази Е. К., Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. JL: Машиностр., 1980. 248 с.

42. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1965. -204 с.

43. Черных К. Ф. Симметричные функции симметричных тензоров в анизотропной теории упругости // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1970, № 3. С. 5-14.

44. Остросаблин Н. И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических сингоний // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1986. Вып. 75. С. 113125.

45. Новожилов В. В., Черных К. Ф. Об упругих постоянных линейной теории упругости // Современные проблемы механики и авиации. М.: Машиностр., 1982. С. 215-221.

46. Черных К. Ф. Анизотропия материала (линейная теория) // Механика деформируемых тел и конструкций. Ереван: Изд-во АН Арм ССР, 1985. С. 410-419.

47. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностр., 1986. -336 с.

48. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988. -191 с.

49. Lempriere В. М. Poisson's ratio in orthotropic materials // AIAA J. 1968. V. 6, № 11. P. 2226-2227 (Рус. перев.: Ракетн. техн. и космонавтика. 1968. Т. 6, № И. С. 218-219)

50. Сидорин Я. С. Упругие и прочностные характеристики стеклопластика при сжатии // Мех. полимеров. 1970. № 5. С. 866-869.

51. Грах И. И., Сидорин Я. С. Об ограничениях на упругие коэффициенты анизотропных твердых тел // Мех. полимеров. 1974. № 1. С. 84-88.

52. Абрамчук С. С., Булдаков В. П. Допустимые значения коэффициентов Пуассона анизотропных материалов // Мех. композ. матер. 1979. № 2. С. 235-239.

53. Григолюк Э. И., Король Е. 3. Некоторые неравенства для коэффициентов Пуассона в линейной термоупругости // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 1. С. 43-45.

54. Александров К. С., Рыжова Т. В. Упругие свойства кристаллов. Обзор // Кристаллов. 1961. Т. 6, вып. 2. С. 289-314.

55. Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. I; II // Успехи физ. наук. 1961. Т. 74, вып. 2. С. 303-352; Вып. 3. С. 461-520.

56. Минкевич JI. M. Представление тензоров упругости и податливости через собственные тензоры // Материалы третьей науч. конф. Томск, ун-та по математике и механике. Вып. 2. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1973. С. 115-116.

57. Минкевич JI. М. Механика сплошной (анизотропной) среды. Часть 2. Новосибирск: НЭТИ, 1973. 94 с.

58. Толоконников JI. А., Матченко H. М. О представлениях предельных условий для начально анизотропных тел // Пробл. прочности. 1974. № 3. С. 54-56.

59. Pipkin А. С. Constraints in linearly elastic materials // J. Elast. 1976. V. 6, № 2. P. 179-193.

60. Рыхлевский Я. Математическая структура упругих тел. М.: Ин-т проблем механики АН СССР. 1983. Препр. № 217. -113 с.

61. Александров К. С. Упругие свойства анизотропных сред. Автореф. докт. дис. М.: Ин-т кристаллогр. АН СССР, 1967. 37 с.

62. Остросаблин Н. И. О классификации анизотропных материалов // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1985. Вып. 71. С. 82-96.

63. Лурье К. А. Некоторые задачи оптимального изгиба и растяжения упругих пластин // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1979. № 6. С. 86-93.

64. Chen Shaoting. New concepts of elasticity theory and an application // Лисюэ сюэбао, Acta mech. sin. 1984. V. 16, № 3. P. 259-274 (кит.).

65. Mehrabadi M. M., Cowin S. С. Eigentensors of linear anisotropic elastic materials // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1990. V. 43, № 1. P. 1541.

66. Mehrabadi M. M., Cowin S. C. Eigentensors of linear anisotropic elastic materials. Corrigendum. // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1991. V. 44, № . P. 333.

67. Theocaris P. S. The compliance fourth-rank tensor for the transtropic material and its spectral decomposition // Proc. Natl. Acad. Athens. 1989. V. 61, № 1. P. 80-100.

68. Theocaris P. S., Philippidis T. P. Elastic eigenstates of a medium with transverse isotropy // Arch. Mech. Stosow. 1989. V. 41, № 5. P. 717724.

69. Theocaris P. S., Philippidis T. P. Variational bounds on the eigenangle и of transversely isotropic materials // Acta Mech. 1990. V. 85,№ 1-2. P. 13-26.

70. Theocaris P. S., Philippidis T. P. Spectral decomposition of compliance and stiffness fourth-rank tensors suitable for orthotropic materials // Z. angew. Math, und Mech. 1991. Bd 71, N°. 3. S. 161-171.

71. Sutcliffe S. Spectral decomposition of the elasticity tensor // Transact. ASME. J. Appl. Mech. 1992. V. 59, N° 4. P. 762-773.

72. Чанышев А. И. О пластичности анизотропных сред // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1984. № 2. С. 149-151.

73. Чанышев А. И. К решению задач о предельных нагрузках для жест-копластического анизотропного тела // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1984. № 5. С. 151-154.

74. Ревуженко А. Ф., Чанышев А. И., Шемякин Е. И. Математические модели упругопластических тел // Актуальные проблемы вычислительной математики и математическое моделирование. Новосибирск: Наука, 1985. С. 108-119.

75. Baerheim R. Harmonic decomposition of the anisotropic elasticity tensor // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1993. V. 46, № 3. P. 391418.

76. Backus G. A geometrical picture of anisotropic elastic tensors // Rev. Geophys. and Space Phys. 1970. V. 8, № 3. P. 633-671.

77. Cowin S. С. Properties of the anisotropic elasticity tensor // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1989. V. 42, № 2. P. 249-266.

78. Cowin S. C. Corrigendum: Properties of the anisotropy elasticity tensor // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1993. V. 46, № 3. P. 541-542.

79. Cowin S. C. Mehrabadi M. M. On the identification of material symmetry for anisotropic elastic materials // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1987. V. 40, № 4. P. 451-476.

80. Surrel Y. A new description of the tensors of elasticity based upon irreducible representations // Europ. J. Mech. A / Solids. 1993. V. 12, № 2. P. 219-235.

81. Walpole L. J. Fourth-rank tensors of the thirty-two crystal classes: multiplication tables // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 1984. V. 391, № 1800. P. 149-179.

82. Musgrave M. J. P. On the constraints of positive-definite strain energy in anisotropic elastic media // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1990. V. 43, № 4. P. 605-621.

83. Norris A. N. On the acoustic determination of the elastic moduli of anisotropic solids and acoustic conditions for the existence of symmetry planes // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1989. V. 42, N 3. P. 413-426.

84. Ting Т. С. T. Invariants of anisotropic elastic constants // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1987. V. 40, N 3. P. 431-448.

85. Hahn H. T. A derivation of invariants of fourth rank tensors //J. Compos. Mater. 1974. V. 8, № 1, P. 2-14.

86. Betten J., Helisch W. Irreduzible Invarianten eines Tensors vierter Stufe // Z. angew. Math, und Mech. 1992. Bd 72, № 1 S. 45-57.

87. Boehler J. P., Kirillov A. A., Onat Б. T. On the polynomial invariants of the elasticity tensor // J. Elast. 1994. V. 34, № 2. P. 97-110.

88. Liu I-Shin. On representations of anisotropic invariants // Internat. J. Engng. Sci. 1982. V20, № 10. P. 1099-1109.

89. Srinivasan T. P., Nigam S. D. Invariant elastic constants for crystals // J. Math. Mech. 1969. V. 19, № 5. P. 411-420.

90. Остросаблин H. И. О наитеснейших границах констант упругости и приведении удельной энергии деформации к каноническому виду // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1989. № 2. С. 90-94.

91. Остросаблин Н. И. Об инвариантах тензора четвертого ранга модулей упругости // Сиб . журн. индустр. математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 155-163.

92. Кравчук А. С. О теории пластичности анизотропных материалов // Расчеты на прочность. М.: Машиностр. 1986. Вып. 27. С. 21-29.

93. Кравчук А. С., Майборода В. П., Уржумцев Ю. С. Механика полимерных и композиционных материалов. Экспериментальные и численные методы. М.: Наука, 1985. 303 с.

94. Садаков О. С., Мадудин В. Н., Апайчев М. В. Простейший вариант деформационной теории|пластичности анизотропных материалов // Челябинск: Челябин. политехи, ин-т, 1990. 15 с. - Деп. в ВИ НИТИ 14. 06. 90, № 3424-В90. - РЖ Механика 1990, № 10. В 370 Деп.

95. Победря Б. Е. Теория пластичности анизотропных материалов // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Всесоюзн. межвуз. сб. Горький, 1984. Вып. 26. С. 110-115.

96. Победря Б. Е. Теория течения анизотропной среды // Прочность, пластичнгость и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 101-108.

97. Победря Б. Е. О теории пластичности трансверсально изотропных материалов // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1990. № 3. С. 96101.

98. Apajchev М. V. Madudin V. N., Sadakov О. S. On mathematical modelling of inelastic deformation behavior of anisotropic media // Transact!0th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Vol. L. Los Angeles, 1989. P. 25-29.

99. Рыхлевский Я. Разложения упругой энергии и критерии предельности // Успехи механики. Варшава. 1984. Т. 7, вып. 3. С. 51-80.

100. Almgren R. F. An isotropic three-dimensional structure with Poisson's ratio=-l // J. Elast. 1985. V. 15, № 4. P. 427-431.

101. Evans K. Tailoring the negative Poisson ratio // Chemisty and Industry. London. 1990, № 20. P. 654-657.

102. Lakes R. C. Saint-Venant end effects for materials with negative Poisson's ratios // Transact. ASME. J. Appl. Mech. 1992. V. 59, № 4. P. 744-746.

103. Neale P. J., Alderson K. L., Pickles A. P., Evans К. E. Negative Poisson's ratio of microporous polyethylene in compression //J. Mater. Sei. Lett. 1993. V. 12, № 19. P. 1529-1532.

104. Warren T. L. Negative Poisson's ration a transversely isotropic foam structure // J. Appl. Phys. 1990. V. 67, № 12. P. 7591-7594.

105. Phan-Thien N., Karihaloo B. L. Materials with negative Poisson's ratio: a qualitative microstructural model // Transact. ASME. J. Appl. Mech. 1994. V. 61, № 4. P. 1001-1004.

106. Папкович П. Ф. Теория упругости. JL; M.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

107. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

108. Саврасов В. В. К вопросу о предельных значениях коэффициента Пуассона классического изотропного деформируемого твердого тела // Вопросы механики деформир. тверд, тела. Харьков. 1983. Вып. 4. С. 132-135.

109. Кузьменко В. А. О предельных значениях коэффициента Пуассона // Пробл. прочности. 1985. № 11. С. 96-99.

110. Савин Г. Н. Концентрация напряжений около отверстий M.; JL: ГИТТЛ, 1951. 496 с.

111. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: На-укова Думка, 1968. 888 с.

112. Михлин С. Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР. 1936. № 76. С. 1-19.

113. Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсмолог, ин-та АН СССР. 1938. № 86. С. 51-78.

114. Шерман Д. И. К решению плоской задачи теории упругости для анизотропной среды // Прикл. мат. и мех. 1942. Т. 6, вып. 6. С. 509-514.

115. Космодамианский А. С. Анизотропные многосвязные среды. Донецк, 1970. 234 с.

116. Фридман M. М. Математическая теория упругости анизотропных сред // Прикл. матем. и механ. 1950 Т. 14, вып. 3. С. 321-340.

117. Сендецки Г. Некоторые вопросы теории упругости анизотропного тела // Композиционные материалы. Т. 7. Анализ и проектирование конструкций. Часть 1. М.: Машиностр., 1978. С. 13-61.

118. Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1976. 536 с.

119. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений. М.: Изд-во АН СССР, 1952. Т. 1. 391 с.

120. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.; JL: ОГИЗ; Гостехиздат, 1947. 204 с.

121. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

122. Папкович П. Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного тела // Прикл. мат. и мех. 1937. Т. 1, вып. 1. С. 117-132.

123. Marguerre К. Ansätze zur Losung der grundgleichungen der Elastizitätstheorie // Z. angew. Math, und MecH. 1955. Bd 35, H. 6/7 S. 242-263.

124. Малиев А. С. О выборе функций в общих решени ях задачи равновесия изотропного упругого тела // Сб. науч. тр. / Ленингр. элек-тротехн. ин-т инж. жел. -дор. транспорта. 1952. Вып. 4 С. 180-244.

125. Суслова Н. Н. Методы решения пространственной задачи теории упругости для тела в форме параллелепипеда // Итоги науки и техники. Механика деформир. тверд, тела. М: ВИНИТИ, 1980. Т. 13. С. 187-296.

126. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. Применение методов теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1978. 462 с.

127. Положий Г. Н. Теория и применение р-аналитических и (p,q) аналитических функций. Киев: Наукова думка, 1973. - 424 с.

128. Александрович А. И. Применение теории функций двух комплексных переменных к теории упругости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 232, № 3. С. 542-544.

129. Александрович А. И. Применение теории функций двух комплексных переменных к решению пространственных задач теории упругости // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1977. № 2. С. 164-168.

130. Александрович А. И. Исследование уравнений динамических задач теории упругости с помощью голоморфного разложения ]] Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1979. № 1. С. 78-82.

131. Богашов Ф. А. О представлении пространственных задач теории упругости в функциях комплексных переменных. Сообщение 1 // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. Горький. 1989. Вып. 41. С. 110-118.

132. Богашов Ф. А. Описание пространственных задач теории упругости с помощью аналитических функций переменной Гамильтона. Сообщение 2 // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. Горький.1990. Вып. 44. С. 46-55.

133. Богашов Ф. А. Структура пространственных аналитических функций и формирование обобщенных функций Эри // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. Ниж. Новгород. 1991. Вып. 47. С. 15-26.

134. Богашов Ф. А. Проблема соответствия пространственных теорий упругости и С2 -потенциалов // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. М. 1995. Вып. 53. С. 31-45.

135. Богашов Ф. А., Угодчиков А. Г. Комплекснозначные представления пространственных решений Буссинеска — Галеркина для перемещений // Прикл. проблемы прочн. и пластичности. Ниж. Новгород.1991. Вып. 49. С. 15-24.

136. Богашов Ф. А., Угодчиков А. Г. Пространственные комплексные потенциалы и их применения в теории упругости. Часть 1. Ниж. Новгород. 1995. 184 с.

137. Piltner R. The use of complex valued functions for the solution of three-dimensional elasticity problems // J. Elast. 1987. V. 18, № 3. P. 191225.

138. Piltner R. On the representation of three-dimensional elasticity solutions with the aid of complex valued functions //J. Elast. 1989. V. 22, № 1. P. 45-55.

139. Гоман О. Г. Об аналоге формул Колосова-Мусхелишвили для пространственного напряженного состояния // Прикл. матем. и механ. 1983. Т. 47, вып. 1. С. 89-93.

140. Гоман О. Г. Представление общего решения уравнений теории упругости трасверсально-изотропного тела через р аналитические функции // Прикл. матем. и механ. 1984. Т. 48, вып. 1. С. 98-104.

141. Гастев В. А. Применение гиперкомплексных функций к решению общей задачи теории упругости // Тезисы докл. к Всесоюзн. конф. по строит, механике. 1938 год. М.; JL: Изд-во АН СССР. 1938. С. 8-11.

142. Григорьев Ю. М. Некоторые решения пространственных статических уравнений Ламе // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1984. Вып. 67. С. 29-36.

143. Григорьев Ю. М., Наумов В. В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций //6 Всесоюз. Съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл. Ташкент. 1986. С. 222-222.

144. Аннин Б. Д., Григорьев Ю. М., Наумов В. В. Решение пространственных статических задач теории упругости методами теории кватернионных функций // Числен, методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск. 1986. С. 35-42.

145. Мельниченко И. П., Пик Е. М. Кватернионные уравнения и гиперкомплексные потенциалы в механике сплошной среды // Прикл. мех. 1973. Т. 9, № 4. С. 45-50.

146. Глебов А. Л. Применение клиффордовых аналитических функций в теории упругости //II Всесоюз. конф. по теории упругости. Тезисы докл. Тбилиси, 1984. С. 70-70.

147. Цалик А. М. Кватернионные функции, их свойства и некоторые приложения к задачам механики сплошных сред // Докл. АН УССР Сер. А. 1986. № 12, С. 21-24.

148. Пименов А. А., Пушкарев В. И. Применение аппарата кватернионов к обобщению метода Колосова — Мусхелишвили на пространственные задачи теории упругости // Прикл. матем. и механ. 1991. Т. 55, вып. 3. С. 422 427.

149. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. 472 с.

150. Купрадзе В. Д., Гегелия Т. Г., Башелейшвили М. О., Бурчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1976. -664 с.

151. Аржаных И. С. Интегральные уравнения основных задач теории поля и теории упругости. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1954. 107 с.

152. Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1973. Вып. 14. С. 128-130.

153. Чиркунов Ю. А. Групповой анализ уравнений Ламе // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1975. Вып. 23. С. 219-225.

154. Прудников В. Ю., Чиркунов Ю. А. Групповые свойства уравнений классической теории упругости // Докл. АН СССР. 1988. Т. 302, № 6. С. 1353-1356.

155. Прудников В. Ю., Чиркунов Ю. А. Групповое расслоение уравнения Ламе // Прикл. матем. и механ. 1988. Т. 52, вып. 3. С. 471-477.

156. Аннин Б. Д., Бытев В. О.,Сенатов С. И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Новосибирск: Наука, 1985. 143 с.

157. Соболев С. Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний // Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. 2. Л.; М: ОНТИ, 1937. С. 468617.

158. Михлин С. Г. Развитие динамической теории упругости в трудах В. И. Смирнова // Вестн. ЛГУ. Мат., мех., астрон. 1987. № 3. С. 62-67.

159. Кузнецов С. В. Фундаментальные решения уравнений Ламе для анизотропных сред // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1989. № 4. С. 50-54.

160. Кузнецов C.B. Построение тензора Грина и Неймана в теории упругости анизотропного тела // Прикл. мех. 1991. Т. 27, № 7. С. 58-62.

161. Кузнецов С. В. Прямой вариант метода граничных интегральных уравнений в теории упругости // Прикл. мат. и мех. 1992. Т. 56, вып. 5. С. 723-728.

162. Кузьмин Р. О. О формулах Максвелла и Морера в теории упругости // Докл. АН СССР. Нов. сер. 1945. Т. 49, № 5. С. 335-337.

163. Kröner E. Die Spannungsfunktionen der dreidimensionalen isotropen elastizitätstheorie // Z. Phys. 1954. Bd 139,H-2. S. 175-188.

164. Langhaar H. L., Stippes M. three-dimensional stress functions //J. Franklin Inst. 1954 V. 258, №5. P. 371-382.

165. Ornstein W. Stress functions of Maxwell and Morera // Quart. Appl. Math. 1954. V. 12, № 2. P. 198-201.

166. Schaefer H. Die ! Spannungsfunktionen ¡ des dreidimensionalen Kontinuums; statische Deutung und Randwerte // Ing. -Arch. 1959. Bd 28. S. 291-306.

167. Gurtin M. E. A generalization of the Beltrami stress functions in continuum mechanics // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1963. V. 13, № 5. P. 321-329.

168. Ионов В. H.,Введенский Г. А. О возможных формах общего решения уравнений равновесия в криволинейных координатах // Изв. вузов. Математика. 1964. № 6. С. 59-66.

169. Pastori М. Sull'integrazione delle equazioni indefinite di equilibrio per sistemi continui // Simposio internaz. applic. analisi fis. mat. Cagliari-Sassari, 1964. Roma, 1965. P. 117-129.

170. Stippes M. On stress functions in classical elasticity // Quart. Appl. Math. 1966. V. 24, № 2. P. 119-125.

171. Carlsoij. D. E. A note on the Beltrami stress functions // Z. angew. Math/ftiech. 1967. Bd 47, № 3. S. 206-207.

172. Rostamian R. The completeness of Maxwell's stress function representation // J. Elast. 1979. V. 9, № 4. P. 349-356.

173. Hackl K., Zastrow U. On the existence, uniqueness and completeness of displacements and stress functions in linear elasticity //J. Elast. 1988. V. 19, № 1. P. 3-23.

174. Деев В. M. О тензоре функций напряжений пространственной задачи теории упругости // Численное моделирование статического и динамического деформирования конструкций. Свердловск: УрО АН СССР. 1990. С. 36-41.

175. Рвачев М. А. Функции напряжений в многосвязных объемах // Прикл. матем. и механ. 1992. Т. 56, вып. 1. С. 87-94.

176. Кильчевский Н. А. О функциях напряжений, скоростей и плотности в статических и динамических задачах механики сплошных сред // Докл. АН СССР. 1953. Т. 92, № 5. С. 895-898.

177. Кильчевский Н. А., Левчук Е. Ф. К определению функций кинетических напряжений в задачах эластодинамики // Прикл. мат. и ме. 1967. Т. 31, вып. 4. С. 701-703.

178. Teodorescu P. P. Stress functions in three-dimensional elastodynamics // Acta Mech. 1972. V. 14, № 2-3. P. 103-118.

179. Немцев E. А. О степени общности динамических аналогов решений Максвелла и Морера // Волж. мат. сб. Казань, 1973. Вып. 16. С. 242-247.

180. Немцев Е. А., Галимов К. 3. Общее решение уравнений движения деформируемого твердого тела при конечных перемещениях и деформациях // Волж. мат. сб. Казань, 1973. Вып. 16. С. 235-241.

181. Dost S., Tabarrok В. On velocity potentials and stress functions // Z. angew. Math, und Mech. 1978. Bd 58, № 8. S. 327-330.

182. Остросаблин H. И. Условия совместности малых деформаций и функции напряжений // Прикл. мех. и техн. физика. 1997. Т. 38, № 5. С. 136-146; Письмо в редакцию // Прикл. мех. и техн. физика. 1999. Т. 40, № 3. С. 216-216.

183. Остросаблин H. И. Функции напряжений и смещений для уравнений движения сплошной среды // Сиб. журн. индустр. математики. 1999. Т. 2, № 1. С. 123-138.

184. Остросаблин Н. И. Обшее решение уравнений движения сплошной среды // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГиЛ СО РАН, 1999. Вып. 114. С. 189-191.

185. Деев В. М. О формах общего решения пространственной задачи теории упругости, выраженных при помощи гармонических функций // Прикл. матем. и механ. 1959. Т. 23, вып. 6. С. 1132-1133.

186. Гродский Г. Д. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного упругого тела при помощи ньютоновых потенциалов и гармонических функций // Изв. АН СССР. Сер. 7. Отд. мат. и ест. н. 1935, № 4. С. 587-614.

187. Папкович П. Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции // Изв. АН СССР. Сер. 7. Отд. мат. и ест. н. 1932. № 10. С. 1425-1435.

188. Neuber H. Ein neuer Ansatz zur Lösung räumlicher Probleme der Elastizitätstheorie. Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel // Z. angew Math, und Mech. 1934. Bd 14, H. 4. S. 203-212.

189. Галеркин Б. Г. К вопросу об исследовании напряжений и деформаций в упругом изотропном теле // Докл. АН СССР. Сер. А. 1930, № 14. С. 353-358.

190. Mindlin R. D. Note on the Galerkin and Papkowich stress functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1936. V. 42, № 6. P. 373-376.

191. Тренин С. И. О решениях уравнений равновесия осесимметричной задачи теории упругости // Вестн. МГУ. Сер. физ. -мат. и ест. н. 1953. № 2. С. 7-13.

192. Кильчевский Н. А. Новая форма общего решения однородных уравнений равновесия упругого тела // Научн. докл. высш. школы. Строит-во. 1958. № 3. С. 16-19.

193. Соляник-Красса К. В. Функции напряжений осесимметричной задачи теории упругости // Прикл. матем. и механ. 1957. Т. 21, вып. 2. С. 285-286.

194. Соляник-Красса К. В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат, 1987. 337 с.

195. Eubanks R. A., Sternberg E. On the completeness of the Boussinesq — Papkovich stress functions //J. Rat. Mech. and Anal. 1956. V. 5, № 5. P. 735-746 (рус. перев.: Механика: сб. перев. и обз. ин. период, лит. 1957. № 6 (46). С. 99-109).

196. Шапиро Г. С. Функции напряжений в произвольной системе криволинейных координат // Докл. АН СССР. 1947. Т. 55, N°. 8. С. 697-699.

197. Джанилидзе Г. Ю. Общие решения уравнений теории упругости в произвольных криволинейных координатах // Докл. АН СССР. 1953. Т. 88, № 3. С. 423-425.

198. Слободянский М. Г. Общие формы решений уравнений упругости для односвязных и многосвязных областей, выражение через гармонические функции // Прикл. матем. и механ. 1954. Т. 18, вып. 1. С. 55-74.

199. Слободянский М. Г. Об Общих и полных формах решений уравнений упругости // Прикл. матем. и механ. 1959. Т. 23, вып. 3. С. 468-482.

200. Naghdi P. М., Hsu С. S. On a representation of displasements in linear elasticity in terms of three stress functions //J. Math. Mech. 1961. V. 10, № 2. P. 233-245.

201. Gurtin M. E. On Helmholtz's theorem and the completeness of the Papkovich — Neuber stress functions for infinite domains // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1962 V. 9, № 3. P. 225-233.

202. Stippes M. Completeness of the Papkowich potentials // Quart. Appl. Math. 1969. V. 26, № 4. P. 447-483.

203. Tran-Cong Т., Steven G. P. On the representation of elastic displacement fields in terms of three harmonic functions //J. Elast. 1979. V. 9, № 3. P. 325-333.

204. Tran-Cong T. On the completeness of the Papkowich — Neuber solution // Quart. Appl. Math. 1989. V. 47, № 4. P. 645-659.

205. Yan G. P., Wang M. Z. Somigliana formula and the completeness Papkowich — Neuber and Boussinesq — Galerkin solutions in elasticity // Mech. Res. Commun. 1988. V. 15, № 2. P. 73-77.

206. Millar R. F. On the completeness of the Papkowich potentials // Quart. Appl. Math. 1984. V. 41, № 4. P. 385-393.

207. Тер-Мкртичьян JI. Н. Об Общем решении задачи теории упругости // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1947, № 4. С. 3-38.

208. Гастев В. А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости // Тр. Ленингр. высш. воен. -мор. инж. -строит, уч-ща ВМФ. 1940. Вып. 2. С. 3-11; Сб. тр. Ленингр. инж. -строит, ин-та, 1975. Вып. 7. С. 5-16.

209. Остросаблин Н. И. Обшее представление решения уравнений линейной теории упругости изотропного тела // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1983. Вып. 61. С. 77-91.

210. Остросаблин Н. И. Общие решения и приведение системы уравнений линейной теории упругости к диагональному виду // Прикл. мех. и техн. физика. 1993. Т. 34, № 5. С. 112-122.

211. Остросаблин Н. И. Операторы симметрии и общие решения уравнений линейной теории упругости // Прикл. мех. и техн. физика. 1995. Т. 36, № 5. С. 98-104.

212. Остросаблин Н. И. Операторы симметрии для некоторых общих решений уравнений Ламе изотропного упругого материала // Тр. 9 конф. по прочности и пластичности. Том 3. Прочность и пластичность. М. 1996. С. 100-104.

213. Лурье А. И. К теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Тр. Ленингр. индустр. ин-та. Раздел физ. -мат. н. 1937. № 6. вып. 3. С. 31-36.

214. Аржаных И. С. Параметрическое представление решений системы линейных функциональных уравнений в коммутативных операторах // Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, вып. 3. С. 157-160.

215. Деев В. М. До розв'язку трим1ршл задачи теорп пружност! ашзо-тропного середовища // Доп. АН УРСР. 1958. № 7. С. 707- 711.

216. Байда Э. Н. Общие решения теории упругости и задачи о параллелепипеде и цилиндре. Л.: Госстройиздат, 1961. 63 с.

217. Байда Э. Н. Некоторые пространственные задачи теории упругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 231 с.

218. Моссаковская С. Функции напряжений для упругих тел, обладающих трехосной ортотропией // Бюл. Польск. АН. Отд. 4. 1955. Т. 3, № 1. С. 3-6.

219. Волков С. Д.,Комиссарова M. JL О некоторых представлениях общих решений краевых задач теории упругости // Инж. журн. 1963. Т. 3, вып. 1. С. 86-92.

220. Милейковский И. Е. Расчет массивных плит вариационным методом с применением разрешающих функций для перемещений // Исследования по вопросам теории пластичности и прочности строит, конструкций. М.: Госстройиздат, 1958. С. 173-212.

221. Саченков А. В., Сайфуллин Э. Г. Функция напряжений и функция перемещений в трехмерной теории упругости // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казан, ун-та. 1981. Вып. 16. С. 36-41.

222. Сайфуллин Э. Г., Саченков А. Б., Тимербаев Р. М. Основные уравнения теории упругости в напряжениях и перемещениях // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казан, ун-та. 1985, вып. 18, ч. 1. С. 66-79.

223. Саченков А. В., Сайфуллин Э. Г. Функция перемещений в трехмерной задаче теории упругости // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казан, ун-та. 1985. Вып. 18, ч. 1. С. 79-83.

224. Neuber H. Vollständigkeitsbeweis des Dreifunktionenansatzes der linearen Elastizitätstheorie // Ing. -Arch. 1972. Bd 41, H. 4 S. 232234.

225. Агранович M. С. Об уравнениях в част^ных производных с постоянными коэффициентами // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 2. С. 27-93.

226. Остросаблин Н. И. К общему решению уравнений линейной теории упругости // Динамика сплошн. среды. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1989. Вып. 92. С. 62-71.

227. Слободянский М. Г. Функции напряжений для пространственной задачи теории упругости // Уч. зап. Моск. ун-та. Сер. Механика, 1938. Вып. 24, кн. 2. С. 181-190.

228. Клюшников В. Д. Вывод уравнений Бельтрами-Мичелла из вариационного уравнения Кастильяно // Прикл. мат. и мех. 1954. Т. 18, вып. 2. С. 250-252.

229. Kröner Е. Die Spannungsfunktionen der dreidimensionalen anisotropen ElaÄzitätstheorie // Z. Phys. 1955. Bd 141, H. 3. S. 386-398.

230. Washizu K. A note the conditions of compatibility //J. Math, and Phys. 1958. V. 36, № 4. P. 306-312.

231. Прошко В. M. Вариант вывода уравнений совместности Сен-Венана // Исследования по теории сооружений. М.: Госстройиздат, 1959. Вып. 8. С. 579-580.

232. Победря Б. Е. О задаче в напряжениях // Докл. АН СССР. 1978. Т. 240, № 3. С. 564-567.

233. Победря Б. Е., Шешенин С. В., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988. 200 с.

234. Stickforth J. On the derivation of the conditions of compatibility from Castigliano's principle by means of three-dimensional stress functions // J. Math, and Phys. 1965. V. 44, № 3. P. 214-226.

235. Tuba I. S. Compatibility equations for orbitrary orthogonal curvilinear coordinates // AIAA J. 1966. V. 4, № 9. P. 1695-1696. (рус. перев.: Ракет, техн. и космонавтика. 1966, № 9. С. 263-264).

236. Stippes М. A remark on compatibility of strain // Z. angew Math, und Phys. 1970. Bd 21, H. 6. S. 1081-1083.

237. Grijcz J. On the compatibility conditions in the classical theory of elasticity // Arch. Mech. Stosow. 1967. V. 19, № 6. P. 883-891.

238. Беркинов X. Б., Сайфуллаев H. М. О тензоре функций напряжений анизотропного упругого тела // Докл. АН ТаджССР. 1967. Т. 10, № 11. С. 13-15.

239. Бондарь В. Д. Об уравнениях совместности деформаций и напряжений // Прикл. мат. и мех. 1969. Т. 33, вып. 6. С. 1094-1104.

240. Власов Б. Ф. Об интегрировании уравнений неразрывности деформаций в форме Сен-Венана // Прикл. мех. 1969. Т. 5, вып. 12. С. 35-38.

241. Власов Б. Ф. Об уравнениях неразрывности деформаций // Прикл. мех. 1970. Т. 6, вып. 11. С. 85-90.

242. Власов Б. Ф. Об уравнениях для определения функций напряжений Морера и Максвелла // Докл АН СССР. 1971. Т. 197, № 1. С. 56-58.

243. Leipholz Н. Н. Е. On a Maxwelll-type solution of three-dimensional elasticity // Stahlbar. 1972. Bd 41, H. 5. S. 134-135.

244. Калинин В. С. К решению прямой задачи линейной теории упругости в напряжениях // Проблемы строит, механики корабля. Л.: Судостроение, 1973. С. 105-112.

245. Киселев В. А. О некоторых соотношениях в условиях неразрывности деформаций сплошной среды // Тр. Моск. автомоб. -дор. ин-та. 1973. Вып. 61. С. 126-131.

246. Власов Б. Ф. Об уравнениях неразрывности деформаций интегро-дифференциального вида // Строит, механика. М., 1974. С. 82-92.

247. Маковенко С. Я. Об интегрировании уравнений неразрывности деформаций в произвольной системе координат // Прикл. механ. 1980. Т. 16, № 6. С. 122-124.

248. Kienzier R. Eine vollständige Gleichungs struktur der linearen Elastizitatstheorie // Ing. -Arch. 1982. Bd 51, H. 6 S. 421-426.

249. Лихачев В. А., Флейшман Н. П. Уравнения совместности Бельтрами-Мичелла // Докл. АН УССР. Сер. А. 1984. № 9. С. 4547.

250. Розин Л. А. О новых постановках задач теории упругости в напряжениях // Изв. ВНИИ гидротехн. 1985. Т. 180. С. 75-84.

251. Малый В. И. Об одном представлении условий совместности деформаций // Прикл. мат. и мех. 1986. Т. 50, вып. 5. С. 872-875.

252. Малый В. И. Независимые условия совместности напряжений для упругого изотропного тела // Докл. АН УССР. Сер. А. 1987. № 7. С. 43-46.

253. Kroner Е. Threedimensional stress functions in anisotropic elasticity // Rend. mat. e appl. 1990. V. 10, № 4. P. 773-784.

254. Коновалов A. H., Сорокин С. Б. Структура уравнений теории упругости. Статическая задача. Новосибирск, 1986. 26 с. ( Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 665).

255. Коновалов А. Н. Задачи теории упругости в напряжениях // Вычислит. методы в мат. физике, геофизике и оптимальном управлении. Новосибирск: Наука, 1978. С. 121-124.

256. Коновалов А. Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Новосибирск: НГУ, 1979. 92 с.

257. Бородачев Н. М. Пространственная задача теории упругости в деформациях // Пробл. прочности. 1995, № 5-6. С. 69-73.

258. Бородачев Н. М. Об одном подходе к решению пространственной задачи теории упругости в напряжениях // Прикл. мех. 1995. Т. 31, № 12. С. 38-44.

259. Васильев В. В., Федоров Л. В. К задаче теории упругости, сформулированной в напряжениях // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1996. № 2. С. 82-92.

260. Немчин Н. П. Общая форма условий совместности деформаций пространственной задачи теории упругости // Вестн. Чит. гос. техн. ун-та. 1997. Вып. 4. С. 94-102.

261. Бородачев Н. М. Об одном представлении условия совместности деформаций Бельтрами // Прикл. мех. 1998. Т. 34, № 2. С. 86-91.

262. Ивлев Д. Д. К теории дифференциальных соответствий в механике сплошной среды // Изв. Инж. -технол. Акад. Чуваш, респ. 1996. № 2(3). С. 5-7.

263. Андрианов И. В. Задача теории упругости в напряжениях. Каков порядок системы? // Док. Нац. АН Украши. 1999. № 7. С. 46-48.

264. Бородачев Н. М. Об одной форме общего решения пространственной задачи теории упругости в напряжениях // Доп. Нац. АН Украши. 1999. № 7. С. 58-61.

265. Бородачев Н. М. Об одном представлении линейного тензора деформаций // Пробл. прочности. 1999. № 3. С. 88-94.

266. Ващук Т. В., Скляр О. Н. О системе уравнений Б. Е. Победри задачи теории упругости в напряжениях // Весщ АН Беларусь Сер. физ. —тэхн. н. 1999. № 1. С. 112-114.

267. В итак В. М. Р1вняння суцшьност1 для деформ1вного твердого тша // Мат. методи та физ. -мех. поля. 1998. Т. 41, № 2. С. 117-123.

268. Прусаков А. П. О функциях перемещений в задачах теории упругости // Прикл. мех. 1999. Т. 35, № 5. С. 64-68.

269. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1962. 431 с.

270. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

271. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. -720 с.

272. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

273. Кузнецов В. В. Канонический тензор в теории упругости // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1987. № 5. С. 144-146

274. Rychlewski J. Unconventional approach to linear elasicity // Arch. Mech. 1995. V. 47, N 2. P. 149-171.

275. Betten J. Integrity basis for a second-order and a fouth-order tensor // Internat. J. Math, and Math. Sei. 1982. V. 5, N 1. P. 87-96.

276. Verchery G. Les invariants des tenseurs d'ordre 4 du type de l'élasticité // Colloq. internat. CNPS. 1982. N 295. P. 93-104.

277. Vianello M. An integrity basis for plane elasticity tensors // Arch. Mech. 1997. V. 49, N 1. P. 197-208.

278. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с.

279. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

280. Гюнтер H. М. Интегрирование уравнений первогорорядка в частных производных. Л.; М.: ГГТИ, 1934. 360 с.

281. Сиротин Ю. И. Разложение материальных тензоров на неприводимые части // Кристаллогр. 1974. Т. 19, вып. 5. С. 909-915.

282. Pratz J. Décomposition canonique des tenseurs de rang 4 de l'élasticité // J. méc. théor. et appl. 1983. V. 2, N 6. P. 893-913.

283. Хорн P.} Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир, 1989. 655 с.

284. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Физматгиз, 1961. 628 с.

285. Снеддон И. Н., Берри Д. С. Класическая теория упругости. М.: Физ-матгиз, 1961. 219 с.

286. Петрашень Г. И. Основы математической теории распространения упругих волн // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. 18. Л.: Наука, 1978. 248 с.

287. Ларентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

288. Папкович П. Ф. Вывод основных зависимостей плоской задачи теории упругости из общего интеграла уравнений Ламе // Прикл. мат. и мех. 1937. Т. 1, вып. 2. С. 147-154.

289. Blinowsf A., Rychlewski J. Pure shears in the mechanics of materials // Math, and mech. Solids. 1998. V. 3, N 4. P. 471-503.

290. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

291. Фролов В. Н. О фундаментальных решениях уравнений анизотропной теории упругости // Изв. АН УзССР. Сер. техн. н. 1986. № 3. С. 36-39.

292. Остросаблин Н. И., Сенатов С. И. Общие решения и симметрии уравнений линейной теории упругости // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322, № 3. С. 513-515.

293. Остросаблин Н. И. Собственные операторы и векторы для системы дифференциальных уравнений линейной теории упругости анизотропных материалов // Докл. РАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 608-610.

294. Остросаблин Н. И. Об уравнениях линейной теории упругости анизотропных материалов, сводящихся к трем независимым волновым уравнениям // Прикл. механика и техн. физика. 1994. Т. 35, № 6. С. 143-150.

295. Борок В. М. О системах линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1957. № 1. С. 45-65.

296. Marciniak J. J. The generalized scalar wave equation and linear differential invariantsjin linear elasticity // Intern. J. Engng Sei. 1989. V. 27, N 6. P. 679-688.

297. Zhang Hong-qing, Viang Guang. Constructions of the general solution for a system of partial differential equations with variable coefficients // Appl. Math, and Mech. (Engl. Ed.) 1991. V. 12, N 2. P. 149-153.

298. Rychlewski J. Elastic waves under unusial anisotropy // Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech. Shanghai, 1998. P. 101-102.

299. Chandrasekharaiah D. S. A complete solution in elastodynamics // Acta Mech. 1990. V. 84, N 1-4. P. 185-190.

300. Wang W., Wang M. Z. Constructivity and completeness of the general solutions in elastodynamics // Acta Mech. 1992. V. 91, N 3-4. P. 209214.

301. Миллер У., мл. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. 342 с.

302. Eder L. Zur Auflösung der Differentialgleichungen der Elastomechanik des Raumes für unendlich kleine Verschiebungen in kartesischhen Koordinaten // Forsch. Geb. Ingenieurwesens. 1959. Bd 25, N 4. S. 101-105.

303. Лавендел Э. Э. Решение задач теории упругости в перемещениях для несжимаемого материала // Уч. зап. Риж. политехи, ин-та. 1959. Т. 1, вып. 1. С. 125-140.

304. Лавендел Э. Э. Общие решения задач теории упругости для несжимаемого материала // Вопросы динамики и прочности. Рига: Изд-во АН ЛатвССР. 1961. Вып. 7. С. 107-120.

305. Golecki J. Displacement functions for an isotropic incompressible elastic solid // Bull. Acad, polon. sei. Ser. sei. techn. 1959. V. 7, N 4. P. 265271.

306. Golecki J. Statics of an isotropic incompressible elastic solid // Arch. Mech. Stosow. 1962. V. 14, N 1. P. 35-46.

307. Аннин Б. Д., Григорьев Ю. М. Общее решение уравнений равновесия несжимаемых упругих тел // Современные проблемы механики и прикладной математики. Часть 1. Воронеж: ВГУ, 2000. С. 12-20.

308. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: ОГИЗ; ГИТТЛ, 1947. 928 с.

309. Xu Xinsheng, Wang Minzhong. General complete solutions of the equations of spatial and axisymmetric Stokes flow // Quart. J. Mech. and appl. Math. 1991. V. 44, N 4. P. 537-548.

310. Palaniappan D., Nigam S. D., Amaranath Т., Usha R. Lamb's solution of Stokes's equations: A sphere theorem // Quart. J. Mech. and appl. Math. 1992. V. 45, N 1. P. 47-56.

311. Касивара M., Шапира П. Пучки на многообразиях. М.: Мир, 1997. 656 с.

312. Mandes J. Funkcja naprezen uktadow przestrzennych // Prace Inst. Techn. Budowl. Warszawa, Panstw. Wyd. Techn. 1953. N 166.

313. Аржаных И. С. Функции тензора напряжений динамики упругого тела // Докл. АН УзССР. 1953. № 7. С. 3-4.

314. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1994. 272 с.

315. Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Лекциии по теории упругости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 206 с.