Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Ложников, Дмитрий Андреевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2014 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.03 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками»
 
Автореферат диссертации на тему "Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками"

На правах рукописи

Ложников Дмитрий Андреевич

АСИМПТОТИКИ В ЗАДАЧАХ О ЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ, ПОРОЖДЕННЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

Специальность 01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2014

1г ГДП 2014

005549137

005549137

Работа выполнена в лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Сергей Юрьевич Доброхотов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Григорьевич Данилов, профессор Национального Исследовательского Университета Высшая Школа Экономики

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Владимирович Радкевич, профессор механико-математического факультета МГУ, кафедры дифференциальных уравнений

Ведущая организация Институт Вычислительной математики РАН

Защита состоится 29 мая 2014 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10

при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, стр. 2, физический факультет, СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке МГУ М.В. Ломоносова и на сайте

www.phys.msu.ru/rus/research/disser/sovet-D501-002-10/

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10

доктор физико-математических наук, профессор П.А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами. Для систем такого типа основная масса публикаций в математической литературе была посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей (типа 5 -функции) и часто называемых "разложениями по гладкости" (Д. Людвиг, В.М. Бабич, JI. Хер-мандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В. Гийемин, Ш. Стернберг и др.). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк, В.М. Бабич, B.C. Булдырев и JI.А.Молотков, Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг, Л.М. Бреховских, А. Май-да, В.Г. Данилов, Ле By Ань, В.В. Кучеренко, Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов, С.Ю. Доброхотов. Публикаций, посвященных асимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в математической литературе было существенно меньше. Для гиперболических систем с постоянными коэффициентами асимптотикам таких решений посвящена статья В.П. Маслова и М.В. Федорюка (1). На гиперболические системы с переменными коэффициентами результаты этой статьи были обобщены в [2]. Асимптотические формулы, полученные в этих работах, были не очень эффективными, как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. Подход к получению максимально эффективных формул для таких задач и основанный на обобщении канонического оператора Маслова был предложен в работах [3], [4]. Затем в разных ситуациях он был реали-

зован в цикле работ С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тироцци, С.Я. Секерж-Зеньковича (отметим [5, 6, 7, 8, 9]). Тем не менее, реализация этого подхода в конкретных ситуациях оставляет много возможностей и вопросов о способе выбора асимптотического представления в окрестности фокальных точек (не гладких точек фронтов), точек самопересечения фронтов, представления решения при малых временах, ситуаций, когда фронты имеют достаточно сложный вид и т.д. Такие вопросы возникают при рассмотрении как общих гиперболических систем с переменными коэффициентами, так и при изучении конкретных гиперболических систем, связанных с приложениями. Отметим, что рассмотренные задачи для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью, а также для линеаризованной системы уравнений мелкой воды возникают, в частности, при описании распространения длинных волн в океане (например, волн цунами). Исследования таких волн проводятся как численными, так и аналитическими методами. Литература, посвященная проблеме цунами, очень обширна. Отметим работы Ю.И. Шокина, Л.Б. Чубарова, А.Г. Марчука, A.C. Алексеева, В.К. Гусякова, К.В. Симонова, З.И. Федотовой и соавторов [10], [11], [12], а также обзорные работы [13], [14]. Также отмстим монографию E.H. Пелиновского "Гидродинамика волн цунами", содержащую аналитические подходы, и недавние работы Г.М. Кобелькова и соавтров [15], [16], [17]. Однако, несмотря на большое число публикаций, здесь по-прежнему остается еще много интересных открытых вопросов, связанных, в том числе, с аналитическим описанием влияния донных неоднородностей на распространение волн и визуализацией соответствующих аналитических формул.

Такого сорта задачи, разумеется, возникают и для других гиперболических систем. Напомним, что более тридцати лет назад в монографиях В.П. Маслова была высказана идея, что сочетание асимптотических методов с

компьютерным моделированием должно позволить сильно продвинуться в решении задач математической физики, особенно задач, связанных с приложениями. Эта возможность появилась в последние десятилетия благодаря успехам вычислительной техники и бурному развитию программирования в области визуализации результатов математического моделирования. По-существу в диссертации соображение В.П. Маслова реализовано в задачах о распространении длинных волн (порожденных локализованными источниками) в бассейнах с неровным дном, включая волны над подводными банками и хребтами.

Цель работы. Основная цель работы — построение, исследование и визуализация асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным, в том числе и с реальным дном, с учетом имеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик, возникающих при прохождении волн, порожденных локализованными источниками, над подводными неоднородностями, типа донных хребтов, а также изучение поведения асимптотического решения при малых временах.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Основной результат второй главы диссертации — алгоритм нахождения фокальных точек на фронте, построение асимптотического решения в окрестности точек самопересечения фронта, построение решения в окрестности двух и более участков фронта, которые проходят близко друг от друга, а также сделано сравнение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта с решением, полученным при численном решении конечно-разностных аналогов уравнений мелкой воды. Показано,

что, в частности, в окрестности точки самопересечения фронта, сечения асимптотического и численного решения практически совпадают.

В третьей главе построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек: исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта, исследовано качество склейки в зависимости от выбора локальной системы координат в окрестности фокальной точки и в зависимости от степени разложения по степеням малого параметра асимптотического решения в окрестности фокальной точки.

В четвертой главе построено и исследовано асимптотическое решение при малых временах.

В пятой главе подробно рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики.

Все алгоритмы запрограммированы на языке С/С-Н- и в диссертации снабжены подробными иллюстрациями и примерами.

Методика исследования основана на использовании квазиклассических асимптотик в виде модифицированного канонического оператора Мас-лова для построения асимптотических решений в задачах с локализованными начальными условиями и их последующей компьютерной визуализацией. Обычно квазиклассические асимптотики (и лучевые разложения) используются для построения осциллирующих решений. При этом, канонический оператор Маслова позволяет учитывать явления, связанные с наличием фокальных точек и каустик. Для решения задач с локализованными начальными условиями прямое применение этих методов не годится, поскольку решение определяется не осциллирующими, а быстроубывающи-

ми функциями, локализованными в окрестности фронтов. Поэтому здесь используется подход, предложенный в работах С.Ю. Доброхотова, А.И. Шафаревича, Б. Тирроци, С.Я. Секерж-Зеньковича, Т.Я. Тудоровского, позволяющий в результате интегрирования по дополнительному параметру, перейти от быстро убывающих решений к быстро осциллирующим, для построения которых можно использовать канонический оператор Маслова, а затем упростить результаты, используя соображения типа погранслоя, и сделать реализацию полученных формул в виде компьютерных программ.

Теоретическая и практическая ценность. Было проведено исследование асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Составлен алгоритм численной реализации асимптотических формул. Были исследованы решения, описывающие, в частности, поведение волн над подводными хребтами. Обнаружено явление образования цугов волн, порождаемых локализованными источниками в бездисперсионных средах.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на международной конференции "Days of Diffraction" в 2011 и 2012 гг, на конференции МФТИ в 2011, 2012 гг, на семинаре М.И. Виши-ка механико-математического факультета МГУ в 2012 г, на семинаре под руководством Г.М. Кобелькова и А.В. Фурсикова в Институте вычислительной математики РАН в 2013 г.

Краткое содержание диссертации

Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта

Постановка задачи. Мы рассматриваем длинные волны в области с характерным размером Ь, порожденные локализованным источником с характерным размером I. Мы предполагаем, что I << Ь. Данное предположение дает нам малый параметр ¡1 = I/Ь. Такие волны описываются линеаризованной системой уравнений мелкой воды в безразмерных переменных

^ + <Иь(С2и) = 0, ^ + = С(х)=у/Щх), х=(хъх2)еШ2,

(1)

= тР . «1(=о = 0. (2)

Здесь г]{х, £) — возвышение свободной поверхности жидкости, О(х) — глубина бассейна, гр(г) — заданная функция, убывающая на бесконечности быстрее, чем щу, 5 > 1. Задача (1), (2) возникает, в частности, при моделировании распространения волн цунами в океане [18],[19].

В качестве основного примера начального возвышения свободной поверхности жидкости, мы используем следующую функцию (см. [6], [20], [21])

ЧР(2) = (1 + ЫЬг)2 + (г2/Ь2)2)3^ (3)

где 6ь Ь2, А — положительные параметры.

Построение асимптотического решения в окрестности регулярных точек фронта. Довольно эффективные асимптотические формулы для решения задачи Коши с локализованными начальными данными были

получены в работах [3], [4], [6], [7], [8], [9]. Сначала решение задачи (1), (2) локализовано в окрестности точки (точка соответствует положению источника). Затем решение локализовано в окрестности замкнутой кривой, которая сначала гладкая и близка к окружности, но впоследствии па ней могут появляться точки поворота и фокальные точки.

У 1.5

Рис. 1. Прохождение волнового фронта над круглой подводной банкой

Данная ситуация изображена на Рисунке 1, на котором изображен кусок волнового фронта в момент прохождения на круглой симметричной подводной банкой. Здесь точки А, С — это фокальные точки, В — это точка самопересечения фронта. Волновой фронт изображен жирной линией, дно изображено контурным графиком.

Согласно работам [4], ¡8], [9] асимптотика, соответствующая волновой

1 1 | (*г\

с координатами р =

1 [Р2 I 1 [Х2

и 2Б

конфигурационное пространство с координатами х. Рассмотрим в К^ следующую задачу Коши для системы уравнений Гамильтона с гамильто-

нианом Н(х,р) = |р| ■ С(х):

p=-Hx = -\p\VC(x), x=Hp = fc{x),

\Р\

p\t=o = n(V), x\t-Q = x°, Ve [о,2тг], (4)

где п(ф) = (eos -ф, sin -ф)т. Обозначим через V{i),a,t), X(%l>,a,t) решения системы (4), удовлетворяющие начальным условиям р|г=о = п(^) и .r|í=0 = a-n(ip).

Положив а = О, мы получаем вектор-функции X(ip,t) = Х(ф,0,t.), P(ip,t) — P(V>,0,í). При каждом фиксированном "ф эти функции определяют характеристики в фазовом пространстве. Множество Гг концов этих характеристик в фиксированный момент времени t и гр G [0,2я] называется волновым фронтом в фазовом пространстве. Его проекция -y¡ = {.г = VOli V* 6 [0,27г]} на плоскость R^ называется волновым фронтом на плоскости. Кривая Г( всегда гладкая. В противоположность ей, кривая -yt после некоторого момента времени t* может иметь точки самопересечения и фокальные точки. Асимптотика решения локализована в окрестности кривой 7(, но необходимо отметить, что максимум модуля возвышения |г?| расположен около фронта jt, а не прямо над ним. Фокальные точки определяются как точки, в которых равна нулю производная Х-ф = Щ = 0. Регулярными точками называются точки, в которых Х-ф ф 0.

Точку х из окрестности фронта 7( можно зафиксировать с помощью двух координат: ф(х, t), y(x,t). Здесь гр(х, í) определяется из условия ортогональности вектора у = х — X(ip, t) вектору Х^,, касательному к 7¡ в точке X(ip, t): {х — Х(гр, £), t)) = 0. Также нам потребуется индекс Морса

для каждой точки фронта X(il<, t). Индекс Морса определяется как количество фокальных точек, лежащих на траектории {Х(тр, т),т S [+0, t]},

или, что то же самое, как число перемен знака у якобиана г1е1;(Х, Хф) на интервале Также определим Со = С(х°) и фазу

S(t, х) = x),t),x- X(i>(t, х), t)) = ^ D{x{^x)J)) ■ У■ (5)

Теорема [4]: При t > О в некоторой окрестности волнового фронта jt, не зависящей от ц, и вне некоторой окрестности фокальных точек справедливо следующее соотношение:

T]{x,t) = 1 С°

xRe

y/\X^j,t)\ у C{X(iPjtt),t)

V М / J Ф^ФЛих) 4 /

(6)

i>j = \¡lj(t,x)

Здесь и далее под 0(fia) понимается оценка в норме C(R2). Функция F(z, ф) имеет вид

p-iiг/4 roo

= ^pfj°(p,rp)e^dp, (7)

V¿1T Jo

где fj°(z) — это преобразование Фурье функции rf\z)

= if(z) exp(i(k, z))dz.

V

¿7

К2

Дальнейшее упрощение формулы (7) основано на выборе специального вида источника. Важный пример функции г)° дается формулой (3), в которой А, ¿1, ¿2 — действительные параметры. Преобразование Фурье функции

if(z) имеет вид f¡°(p, ф) = А-ер[ф) = у/Ъ\ cos2 ф + Щ sin2 ip, и вследствие его простой формы можно вычислить интеграл (7) в элементарных функциях

М =-7-7172' (8)

2л/2 (у/Щсо^фТЦ

эт тр — гг)

где

В диссертации описан алгоритм численного построения асимптотических формул в окрестности регулярных точек фронта. Кратко он выглядит следующим образом. Сначала нужно вычислить фронт, который определятся как множество концов траекторий гамильтоновой системы (4). При этом система Гамильтона решается численно. В данной работе использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. После того, как посчитан фронт, через каждую точку фронта проводится отрезок, перпендикулярный фронту так, чтобы он делился точкой фронта пополам.

_1_I_I-1-1-1-^-1

-0.6 -0.4 -0.2 О 0.2 0.4 0.6 0.8

X

Рис. 2. Пример сетки для окрестности регулярных точек фронта

Затем на каждом таком отрезке строится неравномерная сетка так, чтобы ее узлы были гуще около фронта. Все отрезки строятся одинаковой длины, сетка также делается одинаковой на всех отрезках. На Рисунке 2 изображен кусок сетки, построенной для окрестности регулярных точек фронта. Затем в узлах сетки вычисляется возвышение свободной поверхности жид-

кости. Если волновой фронт имеет такую форму, что линии сетки, соответствующие различным участкам волнового фронта не имеют пересечений, то при вычислении возвышения по формуле (6) суммирования не будет. Если же линии сетки имеют пересечения, то итоговое возвышение вычисляется как сумма возвышений от различных участков волнового фронта. При этом, вклад в итоговое возвышение (в точке сетки, соответствующей какому-то участку фронта) от других участков волнового фронта в данной работе вычислялся с помощью линейной интерполяции. Примером таких областей могут служить точки самопересечения фронта (точка В на Рисунке 1).

Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных точек фронта с численным моделированием волн цунами. В

данной работе при численном решении уравнений (1), (2) использовалась явная схема, построенная на разнесенном шаблоне (см. [10], схема 22°). В качестве сравниваемой области была выбрана окрестность точки самопересечения фронта.

Рис. 3. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численной реализации асимптотических формул

На Рисунке 4 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численном решении уравнений мелкой воды. Небольшие осцилляции, которые здесь

можно наблюдать получаются как результат замены дифференциального уравнения разностной схемой.

Рис. 4. Возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, численное решение уравнений мелкой воды

Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта

Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек. Рассмотрим на фронте Г( некоторую фокальную точку г(* = а*, £), а*, £)) с координатами ф*} а*. В окрестности такой точ-

ки асимптотическое решение можно представить двумя различными способами [8]. Первый способ основывается на том, что если в некоторой окрестности фокальной точки г* отличен от нуля якобиан

¿еЬС^Цф, а) = Г1аХ2у, - ГиХ2а,

то в этой окрестности решение можно представить в виде интеграла

ОО ОО г

х/НёШ5^!'

с!е1;С(0'2)|

• е*"

хАе(°'2\ф,а)

Ф1 • г1р

0)

Здесь Л — это амплитуда, е(0'2)(г/>, а) — срезающая функция, носитель которой принадлежит некоторой окрестности фокальной точки, а величины а = а.(°'2\р\, Х2,1), ф = дг2,0 являются решениями уравнений

Второй способ справедлив в том случае, когда в некоторой окрестности фокальной точки отличен от нуля якобиан

Перейти от рассмотрения одного случая к другому можно просто заменив индексы 1—» 2 и 2 —> 1 у координат X и импульсов V. В связи с этим можно рассматривать дальнейшие упрощения формулы для г)*я в случае,

Функция (9) достаточно быстро убывает при удалении от фронта Г(, поэтому интеграл (9) можно упростить. Это упрощение основано на соображениях комплексного ростка [22] или погранслоя [23]. Для реализации этих соображений нам понадобятся разложения фазы в интеграле (9). Частично такие разложения были проделаны в работе [8]. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема: 1). В окрестности фокальной точки г* справедливо равенство

сМС(1<0)(^ а) = Х1аР2ф - Х1фТ2а.

когда отличен от нуля якобиан detC{0'2){■ф,a).

00 оо

II

О -оо

у/\(Р1фХ2 - Р^ф) - (УС°,П0(^)) • Р^Х2Ф\

где

Ф = (Р,х-Х) -

(*2 - X?)2

„ (Л^А - Р1Р2Ф) + <УС°,П°(^)) • - Р1Р2») (Л - ад*) - п°(^)> • РхХы

2). Если в качестве т]°(г) взять функцию (3), то

(П)

»7а» =

•Де

-Щ1пй{г*)

со /

'ос < \Р1фХ2 - РхХгф - (УС0,п°{ф)) ■ Р1Х2ф\

(12)

Фаза Ф вычисляется по формуле (11). Величина 1пй(г*) — это индекс Мас-лова фокальной точки. Он может принимать одно из четырех значений: 0,1,2,3. В работе [3] показано, что для задачи (1), (2) его можно вычислить через индекс Морса, приходящей в эту точку траектории системы Гамильтона.

В диссертации приводится алгоритм построения асимптотического решения в окрестности фокальной точки. Алгоритм основан на том факте, что формулы (10)- (12) имеют одинаковый вид в любой системе координат, которая получена из исходной при помощи сдвига и поворота и устроен таким образом, что построенное возвышение в окрестности фокальной точки наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности регулярных точек фронта. Основные

трудности, которые возникают в данной задаче следующие. Формулы (10)-(12) справедливы только в той окрестности фокальной точки, в которой отличен от нуля якобиан: подкоренное выражение, стоящее в знаменателе во всех формулах. При произвольном выборе системы координат, якобиан обращается в нуль близко от фокальной точки. Тем самым, область действия формул (10)- (12) получается небольшой. Более того, может так получиться, что после построения возвышений в окрестности фокальной точки и в окрестности регулярных точек фронта, между областями, в которых построены поверхности будет разрыв, т.е. они не будут перекрываться. В связи с этим были предприняты следующие шаги. Сначала строится возвышение в окрестности регулярных точек фронта. Оно строится так, чтобы максимально близко подходило к фокальной точке. Затем мы начинаем строить возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности фокальной точки. Делается это так. Мы помещаем центр новой системы координат в фокальную точку и вычисляем в ней возвышение свободной поверхности жидкости. Затем мы начинаем поворачивать новую систему координат в пределе« ф €Е [0, 27т] с каким-то шагом 5ф и в каждой новой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. На самом деле не нужно вычислять возвышение в каждой системе координат. Сначала нужно оценить насколько близко от фокальной точки обращается в нуль новый якобиан. Если он обращается в нуль на расстоянии большем, чем минимально допустимое, то в такой системе координат мы вычисляем возвышение свободной поверхности жидкости. В итоге у нас получается набор возвышений. Среди них делается отбор возвышения, которое наилучшим образом переходит в возвышение свободной поверхности жидкости, построенное для окрестности регулярных точек фронта. В зависимости от того, как определять наилучшее соответствие фокального возвышения регулярному, могут отбираться различные фокальные профи-

ли.

Рис. 5. Склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки

На Рисунке 5 изображена склейка возвышения свободной поверхности жидкости для окрестности регулярных точек фронта с возвышением в окрестности фокальной точки. Здесь критерием наилучшего перехода является минимум от максимума разности возвышений в области их пересечения.

Асимптотическое решение при малых временах

Асимптотическое решение задачи (1), (2) было построено в работах [4], [8] и задается интегрированием от канонического оператора Маслова. При малых временах это выражение представляет собой двойной интеграл, потому что начальное лагранжево многообразие не проектируется диффеоморф-но на плоскость (жь ж2). С другой стороны малые времена представляют интерес, потому что при малых временах происходит зарождение волны цунами, волна имеет достаточно большую амплитуду и ее можно наблю-

дать. Поэтому в данной работе на временах Ь < Т • ц мы исследуем и упрощаем формулы, задаваемые каноническим оператором Маслова. Для источников специального вида получены явные формулы. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема: 1). Главный член в асимптотике решения задачи (1), (2) при £ < Т ■ ц, где Т > 0 — константа, имеет вид

Г 2тг оо

ф, *) = \( Пр- У(рп(ф)) • о).4-<ус(о)^.в] ¿Нр I

. о о

+0(fi) + 0(t). (13)

2). Для источника (3) справедлива формула

rj(x, t) = —r=-Re

i I 7 d-ф

2\/27г У (Д^-ИТО).*)-^0)-i-<VC(0),i>.i))2[ (,0 м )

+0(ц) + 0(t). (14)

Случай симметричного источника. В случае, когда источник является симметричным, т.е. &i = bi = b, то интеграл (14) можно вычислить явно

ф, t) = y/bi ■ Re | 2 1 + О(ц) + 0(t), (15)

гдеа=-^(С(0)-(УС(0),х)) + г^.

Случай несимметричного источника. В том случае, когда источник является несимметричным, интеграл, который стоит в формуле (14), явно не вычисляется, и его надо считать численно. На Рисунках 6, 7 изображено асимптотическое решение линеаризованной системы уравнений мелкой воды при малых временах. На Рисунке 6 изображен случай симметричного источника, а на Рисунке 7 случай несимметричного источника.

Рис. 6. Случай симметричного источника Рис. 7. Случай несимметричного источника. Угол 9 — 0

Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами

Волны, распространяющиеся над подводными хребтами и банками, представляют собой довольно интересные объекты в теории волн па воде и физике океана. Обычно они рассматриваются как стационарные или квазистационарные состояния в 3-Б задаче о волнах на воде, или как решения ¡'

I

пространственно-двумерного волнового уравнения с оператором Лапласа-Бельтрами — УС2(.Т1, .г2)У в пространственной части, если используется длинноволновое приближение. Здесь С2 = дИ(х\,х2), где £>(.Т1, .-г2) — глу- | бина в точке х = (.Ть ж2), а д — ускорение силы тяжести. Существование I

захваченных волн используется для объяснения многих эффектов в физике океана. В частности, распространение длинных волн цунами без потери энергии связано с длинными подводными хребтами в океане. В этой области существует большое количество работ. Мы отметим только некоторые из них [18, 19, 24, 25, 26, 27]. Отметим также, что, как правило, стационарные проблемы для захваченных волн рассматриваются для случая,

когда неоднородность дна в функции D(x 1,3:2) зависит только от одной пространственной переменной Х\ или от полярного радиуса г = yjx\ + х2-Распространение волн в нестационарном случае над подводными хребтами изучено не очень хорошо. В данной главе будут рассмотрены некоторые модельные примеры, описывающие распространение длинных волн над подводными хребтами, порожденных непрерывными во времени и локализованными в пространстве источниками. Такая постановка задачи относится к так называемой поршневой модели в теории волн цунами, в случае когда подводный источник располагается на вершине хребта или рядом с его вершиной.

В качестве примеров дна мы используем следующие функции.

1. Подводная банка и прямой хребет описываются формулой

D(x1,2*) = 1--^-о, (16)

здесь oq, ai, в2, ¿1, 62 — действительные параметры.

2. Подводный хребет, изогнутый по дуге окружности описывается формулой

яо

D(x 1, х2) = 1--5-9 (17)

1 + ((и-аи)/Ъа)2 + ((ф.Я-аф)/Ъф)2

здесь а0, аи, а,ф, Ьп, Ьф, R — действительные параметры, х2 ~~ х2

ф = arctan-тг, u = (.ti — х\) cos ф + (х2 — .То) sin ф — R,

х1 — х"

(х°,х2) — центр окружности.

3. Подводный зигзагообразный хребет описывается формулой

D(Xl'Х2) = 1 " 1 + (хЛ - Я1 • sin(х2/р)У/Ъ\ + (х2 - 02)Щ (18) здесь ао, ai, а2, hi, Ъ2, р — действительные параметры.

Рис. 8. Возвышение свободной поверхности жидкости, построенное в окрестности первых четырех точек самопересечения фронта

Основные результаты данной главы заключаются в асимтотически-численном описании решений задачи (1), (2) и установлении появления нестационарных захваченных волн, движущихся над подводными хребтами с фронтами, на которых есть сингулярности, фокальные точки, каустики и т. д.

На Рисунке 8 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности первых четырех точек самопересечения фронта.

Заключение

В работе было проведено исследование асимптотического решения задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью и линеаризованной системы уравнений мелкой воды в бассейне с переменным дном с учетом имеющихся фокальных точек и пространственно-временных каустик. Было построено и исследовано асимптотическое решение в окрестности фокальных точек, исследована склейка асимптотического решения в окрестности фокальных точек с асимптотическим решением в окрестности регулярных точек фронта. Было построено и исследовано асимптоти-

ческос решение при малых временах. Было рассмотрено распространение длинных волн над вытянутыми подводными банками и хребтами, показано, что над подводными хребтами могут образовываться захваченные волны и пространственно-временные каустики. В дальнейшем предполагается адаптировать полученные в данной работе алгоритмы для расчетов цунами на реальном дне.

Благодарности

Я выражаю особую благодарность научному руководителю, С.Ю. Доброхотову за поставленные задачи, научное руководство и всестороннюю помощь. Также я выражаю благодарность В.Е. Назайкинскому за помощь, консультации, внимательное прочтение рукописи и ряд полезных замечаний и А.И. Шафаревичу за помощь и консультации при выполнении данной работы.

Публикации автора по теме диссертации

Результаты диссертации, выносимые на защиту, отражены в следующих публикациях (все статьи опубликованы в журналах из списка ВАК):

1. Д.А. Ложников, С.А. Сергеев, О поведении локализованного решения волнового уравнения в окрестности тонки локализации при малых временах, Матем. Заметки, 2012, 91:1, 149-153

2. D.A. Lozhnikov, Analytic-Numerical Description of Asymptotic solution of a Cauchy Problem in a Neighbourhood of Singularities for a Linearized System of Shallow-Water Equations, RJMP, 19(1), pp. 44-62, 2012

3. S.Yu. Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, C.A. Vargas, Asyrnptotics of waves on the shallow water generating by spatially-localized sources and trapped by underwater ridges, RJMP, 2013

4. S.Yu. Dobrokhotov, D.A. Lozhnikov, V.E. Nazaikinskii, Wave Trains Associated with a Cascade of Bifurcations of Space-Time Caustics over Elongated Underwater Banks, Math. Model. Nat. Phenom., Vol. 8, No. 5, 2013, pp. 32-43

Из результатов совместных работ в диссертацию автором включены результаты, полученные им лично.

Список литературы

[1] В.П. Маслов, М.В. Федорюк, Логарифмическая асимптотика быстро убывающих решений гиперболических по Петровскому уравнений, Матем. Заметки, 1989, 45:5, 50-62

[2] С. Ю. Доброхотов, П.Н. Жевандров, В.П. Маслов, А.И. Шафаревич, Асимптотические быстро убывающие решения линейных строго гиперболических систем с переменными коэффициентами, Матем. Заметки, 1991, 49:4, 31-46

[3] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, В. Tirozzi, T.Ya. Tudorovskiy, The description of tsunami waves propagation based on the Maslov canonical operator Doklady Mathematics, 74, No. 1, 592-596 (20056).

[4] S.Yu. Dobrokhotov, A.I. Shafarevich, B. Tirozzi, Localized wave and vortical solutions to linear hyperbolic systems and their application to the

linear shallow water equations, Russ. Jour.Math.Phys., v.15, N2, 2008, pp.192-221

[5] С.Ю. Доброхотов, Б. Тироцци, А.И. Шафаревич, Представления быстроубывающих функций каноническим оператором Маслова, Ма-тем. заметки, 2007, 82:5, 792-796

[6] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, В. Tirozzi, B.Volkov, Explicit asymptotics for tsunami waves in framework of the piston model, Russ. Journ. Earth Sciences, 8, ES403, 1-12 (2006).

[7] S.Yu. Dobrokhotov, S.Ya Sekerzh-Zenkovich, B. Tirozzi, B.Volkov, Asymptotic description of tsunami waves in a frame of the piston model: the general constructions a explicitly solvable models, in Fundamental and Applied Geophysics, (Sankt-Petersburg) N 2, 2009, pp.15-29 (in Russian)

[8] S.Yu. Dobrokhotov , B. Tirozzi , C.A. Vargas, Behavior near the focal points of asymptotic solutions to the Cauchy problem for the linearized Shallow water equations with initial localized perturbations, Russ.J.Math.Phys. v. 16 N 2, 2009, 228-245

[9] S.Yu. Dobrokhotov, R.Nekrasov, B. Tirozzi, Asymptotic solutions of the linear shallow-water equations with localized initial data, Journal of Engineering Mathematics, Vol. 69, Issue 2 (2011), Page 225-242

[10] Ю.И. Шокин, JI.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, Численное моделирование волн цунами, Новосибирск, Наука 1983

[11] Ю.И. Шокии, Л.Б. Чубаров, Ан.Г. Марчук, К.В. Симонов, Вычислительный эксперимент в проблеме цунами, Наука, Новосибирск, 1989

[12] З.И. Федотова, О применении инвариантной разностной схемы к расчету колебаний жидкости в бассейне, Числ. методы механики сплошной среды, 9, No 3, Новосибирск, 1978, 137-146

[13] В.К. Гусяков, Обзор работ по проблеме возбуждения волн цунами, В "Методы расчета возникновения и распространения цунами", Наука, М., 1978, 18-29

[14] Ю.И. Шокин, Л.Б. Чубаров, Очерк Истории Исследования Проблемы Цунами в Сибирском Отделении Российской Академии Наук, Вычислительный технологии, том 4, No 5, 1999

[15] K.Yu. Bogachev, G.M. Kobelkov, Numerical solution of a tidal wave problem, in Proceeding of "Parallel Computational Fluid Dynamics", v.2, 2004, J.-Wiley Press

[16] A.B. Друца, Г.М. Кобельков, О сходимости разностных схем для уравнений динамики океана, Матем. сб., 2012, 203:8, 17-38

[17] А.В. Друца, Существование "в целом" решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана на многообразии, Матем. сб., 2011, 202:10, 55-86

[18] Е.Н. Пелиновский, Гидродинамика волн цунами, Нижний Новгород, 1996.

[19] С. Mei, The applied dynamics of ocean surface waves, World Scientific, Singapore, 1989.

[20] S. Wang, The Propagation of the Leading Wave, ASCE Specialty Conference on Coastal Hydrodynamics, University of Delaware, June 29 - July 1, 1987, 657 - 670.

[21] Доценко С.Ф., Сергеевский Б.Ю., Черкасов JI.B., Пространственные волны цунами, вызванные знакопеременным смещением поверхности океана / В сб. "Исследования цунами" 1986, №1, с 7-14

[22] В.П. Маслов, Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях, Москва, Наука, 1977

[23] М.И. Вишик, JI.A. Люстсрник, Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, 1957, 12:5(77), 3-122

[24] P.M. Гарипов, Неустановившиеся волны над подводным хребтом, Докл. АН СССР, 161, No 3, 1965, 547-550

[25] P.M. Гарипов, Волновод в упругой среде, Материалы международной конференции по механике сплошных сред, София, 1968, 83-96

[26] Сунь Цао, О волноводе поверхностных волн в тяжелой жидкости, Изв. СО АН СССР, No 5, 1959, 20-25

[27] Р.Н. LeBlond, L.A. Mysak, Waves in the Ocean, Amsterdam: Elsevier, 1978

Подписано в печать: 26.03.14

Объем: 1,2 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 220 Отпечатано в типографии «Реглет» г. Москва, Ленинский проспект, д.2 (495) 978-66-63, www.reglet.ru