Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами

Куртова, Лилиана Николаевна

Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Куртова, Лилиана Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами»

Автореферат диссертации на тему "Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами"

На правах рукоппсп

Куртова Лилнана Николаевна

БИНАРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005552305

11 сен 2014

Ульяновск — 2014

005552305

Работа выполнена на кафедре алгебры, теории чисел н геометрии факультета математики и естественнонаучного образования Педагогического института ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Гриценко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент,

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный

университет им. Н.Г. Чернышевского»

Защита состоится «15» октября 2014 г. в 1200 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет» по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Набережная рекн Свияги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте вуза — http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом — на сайте вуза http://ppo.ulsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки Российской Федерации http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел послевузовского профессионального образования.

Автореферат разослан « «3 » Си*-* <£■ 2014 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02

ФГБОУ ВПО "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова", профессор кафедры геометрии и высшей алгебры математического факультета Пачев Урусби Мухамедович

кандидат физико-математических наук, ОАО «Газпромбанк», управление контроля стоимости, главный специалист Рахмонов Парвиз Заруллоевич

кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи.

К ним относится задача Лагранжа о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов натуральных чисел.

В 1926 году Х.Д. Клоостерман1 круговым методом получил асимптотическую формулу с остаточным членом порядка 0(п17/18+£) для числа представлений положительного целого п в виде ах2 + Ъу2 + сг1 + ей2, £ > 0 — произвольно малая постоянная.

Задачу о представлении натурального числа в виде суммы, разности произведений натуральных чисел называют аддитивной проблемой делителей Ингама.

В 1927 год,' А.Е. Ингам2 поставил и решил элементарными методами задачи получения асимптотических формул для числа решений ^(п) и ^(п) уравнений:

где хг, х2, х3, € N.

В 1931 году Т. Эстерман3, применив к задаче Ингама круговой метод, получил асимптотические формулы, в которых остаточный член имеет степенное понижение по сравнению с главным. Кроме того, он установил взаимосвязь между 3\ (п), 72(п) и суммой Клоостермана:

где II* = 1 (mod q).

'Kloosterman, H.D. On the representation of number in the form ax2 + by2 +cz2 +dt2 / H.D. Kloosterinan // Acta mathematica. - 192G. - V. 49. - P. 407-484.

2Inghain, A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers / A. Ingham // J. London Math. Soc. - 1027. - V. 2(7). - P. 202-208.

3Estermann, T. Über die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten / T. Estcrmann // J. Reine Angew. Math. - 1931. - V. 104. — P. 173-182.

X\X-2 + хзх+ = n;

XiX2 - X3X4 = 1, X1X2 ^ n;

В 1979 году Д.И. Исмоилов4 улучшил оценки остаточных членов, дополнив элементарный метод Т. Эстермана оценками А. Всйля5 для суммы Клоостермана:

K(q,u,v)<T(q)qV2(u,v,q)V2,

где т(д) — число натуральных делителей q.

В 1979 году другим методом ту же оценку остатка для J2(n) получил Д.Р. Хиз-Браун6.

В 2006 году С.А. Захаров7, используя круговой метод в форме С.М. Воронина, вывел явные выражения для остаточных членов в асимптотической формуле для Ji(n). При этом главный член записан в новой форме.

В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков8 доказали, что остаток в асимптотической формуле для J^iri) имеет порядок гг3/'41п4п.

В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и X. Иванец9, используя формулу Н.В. Кузнецова10 о представлении суммы сумм Клоостермана через билинейные формы коэффициентов Фурье собственных функций оператора Лапласа, доказали, что остаток в асимптотической формуле для J2(n) порядка п2^3+е, где £ — сколь угодно малая постоянная.

В математической литературе известны многочисленные аналоги данной задачи.

В 1957 году С. Хооли11 получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения Х1Х2Х3 + = п, где х\, Х2, хз, х, у € N.

4Исмоилов, Д.II. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений / Д.П. Исмоилов // Докл. АН Тадж. ССР. - 1979. - Т. 22, У'2. - С. 75-79.

5\Veil, A. On some exponential sums / A. Weil /./ Proc. Nat. Acad, of Sei. - 1948. - 34. - P. 204-207. Estermann, T. On Klostermann's sum / T. Estermann // Matheinatika. — 19G1. — 8. — P. 83-86.

D.R. The fourths power moment of the Riemann zcta-function / D.R. Heath-Brown // Proc. London Math. Soc. - 1979. - V. 38. - >3. - P. 385-422.

7Захаров, C.A. Метод С.М. Воронина в задаче о числе решений диофантова уравнения Х1Х2+Х3Х4 = N / С.А. Захаров // Чсбышевскип сборник. — 2006. — Т. 7. — Вып. 4. — С. 35-91.

8Архипов. Г.И. Об аддитивной проблеме делителей Ннгама / Г.И. Архипов. В.Н. Чубариков // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 2006. — Л'»5. — С. 32-35.

9Deshouillers, J.-M. An additive divisor problem / J.-M. Deshouillers. II. Iwaniec / ' J. London Math. Soc. - 1982. - V. 26(2). - P. 1-14.

10Кузнецов. H. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса ггз'ль и гипотеза Лшпшка. Суммы сумм Клоостермана / Н. В. Кузнецов // Матем. сб. — 1980. — Т. 111(153). — Д*83. — С. 334-383.

uHooIy, С. An asymptotic formulae in the theory of numbers / C. Hooly // Proc. London Math. Soc. — 1957. - 7. - P. 39G-413.

Используя дисперсионный метод, Ю.В. Линник12, а затем его ученик Б.М. Бредихин13 нашли полное решение аддитивной проблемы делителей:

ХхХ2 ... хк + ху = п,

ху - Х\Х2 ■ ..хк = 1, ху < п,

где хь х2, ... , хк, х, у е N.

В диссертации рассматриваются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами, которые обобщают классическую теорему Лагранжа и проблему делителей Ингама.

Объектом исследования диссертационной работы являются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами. Предметом исследования являются уравнения с квадратичными формами.

В тексте диссертации введены обозначения: с1 — отрицательное бесквадратное число, .Г = <0>(л/5) — мнимое квадратичное поле, 5Р — дискриминант поля <3!(т), С}2{к) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами с^ = (1е1;Л2 = —6?, £ > 0 — произвольно малое число.

Цель работы состоит в получении асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, остаточные члены которых имеют оценки, соответствующие современных оценкам остаточных членов в асимптотических формулах для классических аддитивных задач.

Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:

1. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка пз/4+г для Ч11сла решений уравнения

<?1(т)+ <&(£) =п,

где п е N.

2. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка

12Лшишк, Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Ю.В. Линник. —Л. : Изд-во ЛГУ, 19М. - 208 с.

13Бредихин, Б.М. Дисперсионный метод и бинарные аддитивные проблемы определенного типа /' Б.М. Бредихин /7 Успехи математических наук. — 1905. — Т. 20. — Вып. 2(122). — С. 89130.

гаЗ/4+Е дЛЯ Суммы

£ е-

где пем, /¡ек, /г ^ гг.

3. С использованием оценок для суммы сумм Клоостермана получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п2/3+г для суммы из второй задачи в случае, когда дискриминант поля — нечетное число, и для суммы

где яеМ, ЛеМ, /г ^ гг.

4. Уточнить в частном случае остаток в асимптотической формуле второй задачи.

Актуальность диссертационной работы следует из того, что решение выше перечисленных задач с квадратичным формами является обобщением имеющихся классических аддитивных задач.

Методы исследования. В работе применяются методы элементарной и аналитической теории чисел (в частности, круговой метод), методы математического анализа.

Научная новизна работы. В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, для остаточных членов которых даны современные оценки. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+е для числа решений уравнения <3¡(т) + = п, ГДС п € N.

2. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+£ для числа решений уравнения <51 (Ш) — С}г{к) = Л с "весами"

ской формуле для числа решений уравнения ¿^(т) — = Ь с "веса-

ми" ехр(—((^(то) + <52(^))/п) при условии, что дискриминант поля —

т\+т\-к1~к\=к

ехр(-(<Э1(г7г) + Яъ{к))/п), где п € М, ЛеМ, к ^ гг.

3. Доказательство оценки 0(п2/,3+£) остаточного члена в аснмптотичс-

нечетное число.

4. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п2/3+г для числа решений уравнения т\+т\ — к\ — к\ = Л с "весами" ехр(-(т? + т1 + к\ + Щ)/п), где лёМ, Л £ М, к < гг.

5. Уточнение остатка в асимптотической формуле для числа решений уравнения <31 (т) - <32{к) = кс "весами" ехр(-(<51(тп) + (Э2(к))/п) в случае, когда дискриминант поля 5р = —ро, где ро — простое число, ро —> оо с ростом основного параметра п, а параметр И удовлетворяет условиям: Ь=р0к 1, (Нир0) = 1, к^р^

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной и аналитической теории чисел.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях:

— Семинар «Аналитическая теория чисел и приложения» под руководством профессора В.Н. Чубарикова и С.А. Гриценко, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова (2013-2014 гг.)

— Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, 21-25 мая 2007 г.

— Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2008», Москва, 8-11 апреля 2008 г.

— Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г.

— Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, 17-21 октября 2011 г.

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, 26-31 мая 2013 г.

— XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Саратов, 9-14 сентября 2013 г.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК РФ. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 28 наименований. Общий объем диссертации — 110 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, дастся краткий исторический обзор результатов, полученных ранее и связанных с тематикой диссертационной работы, формулируются цели, научная новизна, теоретическая н практическая значимость работы, ее апробация, положения, выносимые на защит}', изложена структура диссертации и схема доказательства основной теоремы.

Первая глава диссертации содержит сведения из теории чисел, необходимые при дальнейшем изложении. Кроме того, приводятся и доказываются леммы, лежащие в основе доказательства теорем диссертации. Основные результаты научной работы сформулированы во 2—5 главах.

Во второй главе решается аддитивная задача о представлении натурального числа суммой двух квадратичных форм. Круговым методом с использованием оценки А. Вейля для суммы Клоостермана доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 6р — дискриминант поля F, п £ N. Пусть 1{п) — число решений уравнения

Qi(m) + Q2(k) = п.

Справедлива асимптотическая формула 4 2 я

' f| <¡=1 i=i (*.,)=i

Gi(q,l, 0) = exp(2irilQi(rn)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

т (mod q)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

В третьей главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

I(n,h)= е

Ql (m)-Q2(k)=h

Доказана следующая теорема. Теорема 2. Пусть е

> 0 — произвольно малое число, 5р — дискриминант поля F, п € N, h е N, h ^ rr. Справедлива асимптотическая формула

/(n'A) = lJTE9"4 Е e-2-'w/'G1(9,/,0)G2(a,-/,0) + 0(n3/^),

1 F| 9=1 ;=i (i.,) = l

Gi(q,l, 0) = J] exp(2TrilQi(m)/q) — двойные сулшы Гаусса (i = 1,2/

m (mod g)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Представим I(n, h) в виде интеграла

I(n,h)= J Si(a)S2(a)e-2"iahda,

где

5!(а) = £ е(-1/"+2„а)(?1(т)1 5г(а) = £ е(-1/п-2™ш*).

Проведем разбиение отрезка интегрирования числами ряда Фарея, отвечающими параметру N = [ч/п]. Пусть ^ < < ^ — соседние дроби Фарея, 1 <1,д < N, д' < N, д" < N. Тогда

7(п, К) = ^ е~2жШ/,! У 81{1/д + х)32{1/д + х)е-2жЛЧх.

После преобразовании сумм 3\{1/д+х) и ^(¿/д+ж) воспользуемся функциональным уравнением для тета-ряда, затем выделим нулевые слагаемые, которые в дальнейшем дадут нам главный член асимптотической формулы для 1(п,к). Имеем

2тг -

51 ^ + х) = 2 Ггл, 1 О ■ + фь

дг\/0(п~1 — 2тпх)

Ф1 = д2\/В(п~1 — 2тх) £

где 61(5,/, то) — двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме <5ъ ¿¿[(М) — квадратичная форма с матрицей ДЛ^"1. Аналогично получаем равенство для 5г (1/д + х):

2ж -

^^ + = ^ТиТЧ^Т"^2^ + ф2'

+ 2т:гх)

где

Ф2 =-р=-У^е ; м

А-/0

Подставляем эти равенства в /(п, /г) и вычисляем асимптотически ин-

теграл

[<?(<г+?')]_1

Г е-^Чх п АП

В итоге будем иметь главный член асимптотической формулы нашей задачи:

9_2„ 1

((.,)=1

Следует отметить, что на данном этапе важность представляет оценка суммы

где <? = (7192, (91,92) = 1, (</1, -О) = 1; 92 ~ либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят О, которая следует из:

1) вполне мультипликативности функции Т/(<7, Л, 0,0);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

<31(92,/29?, 0)С2(®,-/291,0) < сОд22, где I = 1^2 4- /г9ь с ~~ постоянная;

3) оценки суммы Рамануждана ^ е_2гг

;=1 ('■<?.)=!

В остаток входят 3 интеграла. Рассмотрим самый общий случай.

Пусть

ч [9(9+«')]-

Вместо Фь Ф2 подставим их значения и перейдем к неравенствам:

М9+9')]-1

^«£т4 /

-[ч(ч+ч»)\-

п 2 + 47Г2Ж2

£ехР

Fez2 kft о

v ехР (__

^ q2D(n~l - 2тх) J

mez2

ШфО

2it2Q2(k)

q2D(n~l + 2тггх)

■ \ V(q,h,m,k)\

Для суммы V(q, h, тп, к) справедлива оценка:

V(q, h,m, к) = ¿) e'^^G.iq, l,m)G2(q, -I, k) « Dq\'2+e{h, q^ql 1=1

(l.q) = 1

где q = qxq2, (qb q2) = 1, (qlt D) = 1; q2 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят D, которая следует из:

1) вполне мультипликативности функции V(q,h,rn,k);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

G1(q1,l1qlm)G2(q1, -hq2,k) = 92ехр (-2ni№^(Q\(rn) - Q'2(k))

\ h

G\{q2,hq2,m)G2(q2, -l2q\,k) < cDq\,

где I = hq2 + i2<?i, (■ - ■ )(. • •)* = 1( mod с - постоянная;

3) оценки А. Вейля для суммы Клоостермана K(qu-h,-v), где v = {hqlDY{Q\{m)-Q'2{k)).

Отметим, что при условиях q < п1/2~в и |ar| < [gn1/2+e]_1, где в — сколь угодно малое положительное число, суммы по тп и к оцениваются как О (ехр(-сп2в)). Тогда из неравенства ехр(-сп29)пл < п3/4+е, справедливого для любого А > 0, следует требуемая оценка.

При других ограничениях на переменные q их суммы по m и ~к оцениваются как O(l). В этих случаях требуемая оценка следует из условия

/г ^ пЕ и тривиальной оценки ннтегралов:

[?"1/2+9Г1 Ыя+ч')}-1

/с1х Р (1х 1/2+6

п-2 + 47Г2Х2 ^ У П-2 + <<С

О [?п1/2+в]-1

Используя оценку для суммы сумм Клоостермана, полученную П. Сар-наком и Дж. Цимерманом14, а также С. Гангулн и Дж. Сенгупта15, можно улучшить остаток в асимптотической формуле для суммы 1{п, К). Справедливы следующие неравенства: 1.

-Ш h, ±v) « (ThvY (г1/« + (M1/G + (h1/H + v^8)(hv)7^

ч<т

2. Если (hv, s) = 1, то

q<T 4 q=U (mod 5)

+ S + el/4 + sl/2

В четвертой главе с использованием приведенных выше оценок улучшен остаток в асимптотической формуле для суммы 1{п, К) при условии, что 5р — нечетное число.

Теорема 3. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 5р — дискриминант поля F, 6р — нечетное число; п G N. h € N, h ^ п£.

Справедлива асимптотическая формула

и U

14Sarnak. P. On Linnik and Selberg's conjectures about sums of Kloostennau sums. / P. Sarnak. J. Tsimerman /,' Progress in Math. - 2009. — V. 270. — P. G19-G35.

15Gangulv, S. Sums of Kloosternian Sums Over Arithmetic Progressions / S. Ganguly, J. Scngupta /'/ Int. Math. Res. Notices. - 2012. - no. I. P. 137-lCo.

Gi(q,l, 0) = exp(2mlQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

Til (mod q)

Данная теорема справедлива и для случая, когда Sf = —45, (S, 2) = 1, а формы Qi(m) и Q2CO принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

В частности, в этой главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

h(n,h)= J2

ml+m?2-kl~kl=h

В данном случае дискриминант поля 5р = —4, и все квадратичные формы эквивалентны форме С}(т) =гп\ + т\.

С использованием точных формул для одномерных сумм Гаусса и оценок для суммы сумм Клоостермана доказывается следующий результат.

ТЕОРЕМА 4. Пусть £ > 0 — произвольно малое число, п € К, Ь, £ Ш, Н ^ пЕ.

Справедлива асимптотическая формула 2 +ЭС я

?=1 1=1 ('■?)=!

где 1,0) = ^ ex^p(2■кгls2/q) — сумма Гаусса. Сумма особого ряда асимп-8=1

тотической формулы положительна.

При доказательстве изложенных выше теорем предполагаем, что дискриминант поля 5р — фиксированное число.

В пятой главе рассматривается один частный случай, когда параметр ¿г = ~Ро, где р0 — простое число, растет с ростом основного параметра п. За счет этого условия и специальных ограничений на /г удается уточнить остаток в асимптотической формуле для 1{п, /1).

ТЕОРЕМА 5. Пусть £ > О — произвольно малое число, ро — простое число, <5р = — Ра- Пусть п = 1г = ро^ь £ N. (/гьро) = 1/ Ь ^ рд.

Тогда при ро —» оо справедлива асимптотическая формула

и £г

(/.,)=1

0) = ^ ехр(2тгг7<5;(т)/(3') — двойные суммы Гаусса (I = 1,2,).

Тл (то<1 д)

При доказательстве дайной теоремы в отличие от теоремы 3, где произведение /и> параметров /г и и, входящих в сумму Клоостермана Л, ±г>), принимает значение порядка , удастся за счет особых условий на /г

и специального выбора растущим с основным параметром дискриминанта поля .Р рассматривать только те суммы Клоостермана К(д, 1г, ±и), в которых произведение Иь имеет порядка п€.

Основные результаты и выводы.

1. Получена асимптотическая формула с остаточным членом порядка пз/4+г дЛЯ ,шсла решений уравнения

Яг (т) + д2(к) = п,

где п € N.

2. Получена асимптотическая формула с остаточным членом порядка

пз/4+£ для СуЫМЫ

Е<31(д.)+<?2(ц

е" - ,

<21(т)-()г(к)=Н

где п е М, Л 6 М, И ^ пЕ.

3. С использованием оценок для суммы сумм Клоостермана, получена оценка 0(п2/3+£) остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений уравнения Я\(т)-С}2(к) = к с "весами" ехр(-(<51(т) + <52(^))/п) при условии, что дискриминант ноля ^ — нечетное число.

4. Получена асимптотическая формула с остаточным членом порядка

п2/з+е дЛЯ СуММЫ

е " ,

т\+т1-к1-к1=к

где пбК, Н £ М, /г ^ тг.

5. Получена оценка 0(п7/12+£) остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений уравнения С}\(т) - <Э2(к) = Ь с "весами"

в случае, когда дискриминант поля 5р = — р0, где р0 — простое число, р0 ► оо с ростом основного параметра п, а параметр к удовлетворяет условиям: /г = р0/гь (Льро) = 1, Л < Ро-

Во всех полученных асимптотических формулах остаточные члены имеют оценки, соответствующие современных оценкам остаточных членов в асимптотических формулах для числа решений уравнений аналогичных классических аддитивных задач.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В изданиях из перечня ВАК:

1. Куртова, Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Всетник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. Математика. — 2007. — №7 (57). — С. 107-121.

2. Куртова, Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. — Белгород: Изд-во НИУ "БелГУ". - 2011. - №5 (100). - Вып. 22. - С. 54-69.

3. Куртова, Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. — Белгород: Изд-во "БелГУ". — 2012. — №17 (136). - Вып. 28. - С. 51-55.

4. Куртова, Л.Н. О числе решений одного определенного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. — Белгород: Изд-во "БелГУ". — 2013. — №19 (162). - Вып. 32. - С. 67-77.

В других изданиях:

5. Куртова, Л.Н. Об одном аналоге аддитивной проблемы делителей / С.А. Гриценко, Л.Н. Куртова // Международная конференция но алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, Россия, 21-25 мая, 2007: Тезисы докладов. — Самара: Изд-во Изд-во "Универс групп" , 2007. - С. 14-15.

6. Куртова, Л.Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами/ Л.Н. Куртова /,/ Научные ведомости Белгородского государ-

ственного университета. Серия Физико-математические науки. — 2007. — №6 (37). - Вып. 13. - С. 44-55.

7. Куртова, JI.H. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"/ Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. — М.: Издательство МГУ, 2008. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

8. Куртова, Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратами / Л.Н. Куртова // Материалы докладов XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"/ Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андрпянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. — М.: МАКС Пресс, 2011. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

9. Куртова, Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 окт. 2011 г.). — Белгород: ИПК НИУ "БелГУ 2011. - С. 69-70.

10. Куртова, Л.Н. Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 26-31 мая 2013 г.). - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ 2013. - С. 110-111.

11. Куртова, Л.Н. Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Алгебра и теория чисел: современные проблемы м приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. - С. 50-51.

Подписано в печать 07.08.2014. Формат 60x84/16.

Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 184.

Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в ИД «Белгород » НИУ «БелГУ» 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Куртова, Лилиана Николаевна, Белгород

ФГАОУ ВПО «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

04201460891

Куртова Лилиана Николаевна

БИНАРНЫЕ АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Гриценко Сергей Александрович

Белгород — 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения ..........................................................3

Введение .............................................................. 5

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Вспомогательные.леммы .......................................19

§2. Основные леммы ...............................................25

Глава 2. Доказательство теоремы 1 ..................................39

Глава 3. Доказательство теоремы 2 ..................................54

Глава 4. Доказательство теорем 3 и 4 ...............................69

Глава 5. Доказательство теоремы 5 ..................................97

Список литературы .................................................106

Обозначения

с — положительная постоянная, в различных формулах, вообще говоря, различная;

е, в — произвольно малые положительные постоянные числа, £ < 1, в < 1;

Р,Ро,Р1,Р2 ~ простые числа;

ехра; - ех\

Ina; = loga; — натуральный логарифм а;;

т(п) — число натуральных делителей п;

ß{n) — функция Мебиуса:

(-1)г, если п = Р1Р2 ...рг, где pi < р2 < • • • < Рг, ß{n) = 0, если п = р2т, 1, если п — 1;

С(s) — дзета-функция Римана;

T(s) — гамма-функция;

запись d | п означает, что п кратно d\

запись ра || п означает, что а — наивысшая степень р, которая делит п;

запись а = b (mod т) означает, что т \ (а — 6);

1, если а = b (mod m),

X(a; m,b)= {

О, в противном случае; (a, b) — наибольший общий делитель чисел а и 6;

записи А = О (В) и В означают, что \А\ < сВ\

= £ e2m(ul4vl)/q _ сумма Гаусса;

1=1

K(q, и, v) = J2 e2™(ui+vi*)/q _ сумма Клоостермана, 11* = 1 (mod q).

i=i (i,q)=i

Введение

Актуальность темы

В теории чисел важное место занимают аддитивные задачи. В 1740 году Ж.А. Лагранж доказал, что каждое натуральное число представимо суммой не более четырех квадратов натуральных чисел (доказательство можно найти, например, в [1]). Эта задача известна в математической литературе как задача Лагранжа.

В 1926 году Х.Д. Клоостерман [2] круговым методом получил асимптотическую формулу для числа г(п) представлений положительного целого п в виде ax2 + by2 + cz2 + dt2. Он показал, что для любого положительного е

r(n) = ^Ls(n) + 0(n"'ls+'), V abed

где

+00 q

S(n) = (Г4 Y1 e~2ninl/qS(q, al, О)S(q, bl, O)S(q, el, O)S(q, di, 0),

9=1 1=1 (i,q)=i

S(n) > > 0. lnlnn

В 1927 году A.E. Ингам [3] поставил и решил элементарными методами задачи получения асимптотических формул для числа решений уравнений:

Х\Х2 + £3X4 = п; (1)

Х\Х2 — Х3Х4 = 1, Х\Х2 ^ Щ (2)

где xi, х2, хз, Х4 £ N.

Эти задачи получили название бинарных аддитивных проблем делителей. Задача (1) является задачей определенного типа, (2) — неопределенного.

Пусть т(х) — число натуральных делителей х; Ji(n) и J2(n) — число решений уравнений (1) и (2) соответственно. Тогда

JÁn) = т{х)т{п - х), J2(n) = ^ т(х)т(х + 1).

X <П ХК:П

А.Е. Ингам доказал, что

«Л (га) = —^сг(п) 1п2п 4- 0(п1пп),

7Г

./2 (га) = -^п1п2п + 0(п1пп),

7Г

где сг(га) — сумма делителей числа п.

В 1931 году Т. Эстерман [4], применив к задаче Ингама круговой метод, вывел для Л (га) и (га) асимптотические формулы, остаточный член которых имеет степенное понижение по сравнению с главным. Им получен следующий результат:

2 2

Л (га) = п1п*71^^(2) а^(га) + д^п), (3)

г=0 ¿=0

72(п) = пР2(1пп) + Д2(п),

где а_Дга) = £ <Г* log»' d (j = 0 ... 2),

^^ Vs л /г и yj — v ...

" л j! 2-, л m! 9|

J l+m+q=2-i~3

7o — постоянная Эйлера, ~ многочлен 2-ой степени, а

-Ri (га)

= 0(n7/8 In23/4 n <7-3/4(n)),

Д2(п) = 0(Пп/121П17/3П).

Кроме того, он установил взаимосвязь между Л (га) и J2(ra) и суммой Клоостермана:

K{q,u,v) = ^ exp(2?rz^ + ^ ), г=1 9

где /Г = 1 (mod q).

Наилучшей для отдельного q оценкой суммы Клоостермана является оценка А. Вейля [5], [6]:

K{q, и, и) r(q)q1^2(u, v, q)1^2. (4)

Так в 1979 году Д.И. Исмоилов [7], дополнив элементарный метод Т. Эс-термана оценками А. Вейля, получил следующие оценки остатков:

Ri{n) <п3/41п6гаа£1/2(п),

R2(n) < n5/6+£,

где сг_1/2(n) = dr1!2, e > 0 — сколь угодно малая постоянная.

d\n

В 1979 году другим методом ту же оценку для R2(n) получил Д.Р. Хиз-Браун [8].

В 2006 году С.А. Захаров [9], используя круговой метод в форме С.М. Воронина, получил относительно простые явные выражения для остаточных членов в асимптотической формуле (3) для Ji(n). При этом главный член в формуле (3) записан в новой форме.

В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [10] вывели новую оценку остатка R2(n)\

R2{n) <Cn3/4ln4n.

В 1980 году Н.В. Кузнецов [11] представил сумму сумм Клоостерма-на через билинейные формы коэффициентов Фурье собственных функций оператора Лапласа и показал, что между суммами Клоостермана существует интерференция.

В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и X. Иванец [12], используя формулу Н.В. Кузнецова, доказали, что

R2{n) « п2/3+е.

Другое направление исследований, касающееся данной тематики, связано с рассмотрением различных аналогов проблемы делителей Ингама.

В 1957 году С. Хооли [13] получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Х\Х2ХЪ + ху = п,

где xi, х2, х3, х, у в N.

Используя дисперсионный метод, Ю.В. Линник [14] нашел полное решение неопределенной аддитивной проблемы делителей:

ху — Х\Х2 • ■ ■ Xk = 1, ху < п,

где xi, х2, ... , хк, х, у е N.

Им получена асимптотическая формула:

т{х)тк{х + 1) - nPfc(lnn) + О (n(lnn)a°),

х<п

где Tk{x) — число представлений х в виде произведения к делителей, Pk(\nn) — многочлен А;-ой степени от Ina;, ао — константа.

В 1965 году ученик Ю.В. Линника Б.М. Бредихин [15] применил дисперсионный метод к определенной аддитивной проблеме делителей:

xix2 .. .Хк + ху = п

и получил следующий результат:

J2n{x)r(n -х) = Ак(п)п{\пп)к + О (n(lnn)fc-1(lnlnn)7'2fc) ,

х<п

где Ак{п) — некоторая функция, зависящая от п. В частности, если к = 2, то А2{п) = ¿<7_i(n).

В настоящей работе рассматриваются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами, которые обобщают классическую теорему Лагран-жа и проблему делителей Ингама.

Объектом исследования являются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами.

Предметом исследования являются уравнения, содержащие квадратичные формы.

В тексте диссертации введены обозначения: d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(yfd) — мнимое квадратичное поле, 5р — дискриминант поля F; Qi(ra), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами А\, А2; det Ai = det = —öp, £ > 0 — произвольно малое число.

<31(т)+02()с)

Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:

1. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п3/4+е для числа решений уравнения

Я\{т) + = п,

где п € N.

2. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п3/4+£ для суммы

где пбМ, к ^ п£.

3. С использованием оценок для суммы сумм Клоостермана получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п2/3+е для суммы из второй задачи в случае, когда дискриминант поля — нечетное число, и для суммы

т\ +т\ -к1~к\=}г

где пбК, /г < п£.

4. Уточнить в частном случае остаток в асимптотической формуле второй задачи.

Методы исследования

В работе применяются методы элементарной и аналитической теории чисел (в частности, круговой метод), методы математического анализа.

Научная новизна

В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, для остаточных членов которых даны современные оценки. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+£ для числа решений уравнения (^(т) + <22(&) = п, где п 6 N.

2. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+е для числа решений уравнения (^(га) — ф2(А;) — К с "весами" ехр(-(<Э1(т) + д2®)/п), где п € N. к е N. И ^ п£.

3. Доказательство оценки 0(п2/3+е) остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений уравнения С}\{гп) — Сд2{к) = Не "весами" ехр(—(га) + (¿2(к))/п) при условии, что дискриминант поля 6р — нечетное число.

4. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п2/3+е для числа решений уравнения т2+т2 — к\ — к\ = Не "весами" ехр(-(га? + га2 4- к\ + &2)/п), где пЕМ, ЛеМ, И ^ п£.

5. Уточнение остатка в асимптотической формуле для числа решений уравнения (¿1 (га) — ф2(/с) = Ь, с "весами" ехр(—((^1 (га) + <52(/с))/п) в случае, когда дискриминант поля = — Ро, где р0 — простое число, ро —> сю с ростом основного параметра п, а параметр И удовлетворяет условиям: Ь. = роЫ, {Ьъро) = 1,

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, опре-

деляется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной и аналитической теории чисел.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях:

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, 26-31 мая 2013 г.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 28 наименований.

Общий объем диссертации — 110 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 2 таблицы.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации содержит леммы, необходимые для доказательства утверждений диссертации. Основными результатами являются теоремы 1 — 5, которые доказываются во 2 — 5 главах.

ТЕОРЕМА 1. Пусть е > 0 — произвольно малое число, др — дискриминант поля F, п € N. Пусть 1(п) — число решений уравнения

Qi(m) + Q2(k) = п.

Справедлива асимптотическая формула . 2 +00 0

i^i U ti (*,<?)=1

Gi(q,l, 0) = ехр(27гilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (г = 1,2).

т, (mod q)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

В третьей главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

/(n, h) = e "

Qi(m)-Q2(k)=h

Доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 6р — дискриминант поля F, п G N, h G N; h ^ п£.

Справедлива асимптотическая формула 9 2 _+0° 9

(«,9)=1

Gi(q,l, 0) = exp{2irilQi(rn)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

m (mod q)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Представим /(п, К) в виде интеграла

1{п, К) = J S1(a)S2{a)e~27Tiahda,

где

Si (а) = е(-1/п+2тгга)д1(ТЯ)^ = ^ e(-l/n-27Tta)Q2(fc)_

mez2 kez2

Проведем разбиение отрезка интегрирования числами ряда Фарея, отвечающими параметру N — [у/п\. Пусть ^ < ^ < ~ — соседние дроби Фарея, l<l,q<N,q'<N, q" < N. Тогда

q Ыя+о1)}-1

1{п, h) = J2 è e~2lxihllq J S\{l/q + x)S2{l/q + x)e~2irihxdx. q-N(Üh -Ыя+я"))-1

После преобразований сумм S\(l/q-\-x) и S2{l/q+x) воспользуемся функциональным уравнением для тета-ряда, затем выделим нулевые слагаемые, которые в дальнейшем дадут нам главный член асимптотической формулы для I(n, h). Имеем

2тг

2тг ^

ф1 = о /п/ 1-^•"'-^Giiï.U),

q2VD{n-1 - 2тх)

тфО

где 1,Ш) — двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме <31, (га) — квадратичная форма с матрицей БА^1. Аналогично получаем равенство для 32(1/д + х):

2тг _

+ ^ = 2 Гг\( + Ф2'

^у и{п~1 + 27ггж)

где

27Г 2*2д'?(к) _

ф2 = 2 /т 1 , о • Л £ 6 *)'

^Дп"1 + 2тггх)

А/0

Подставляем эти равенства в /(п, /г) и вычисляем асимптотически интеграл

Ыя-ЫТ1

в- г П

/■ е~гтпх<1х п ЛГЧ

-кОг+д")]-1 п'

В итоге будем иметь главный член асимптотической формулы нашей задачи:

9 2 +00 ^

и и (*,«)=!

Следует отметить, что на данном этапе важность представляет оценка суммы

где д = (71<72) (<?1, 92) = 1) (<7ь -О) = 1"> <72 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят И, которая следует из:

1) вполне мультипликативности функции У(д, /г, 0,0);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

<^1(^1, 0)С2(дгь о) = д2,

С1{д2,12Я21,'0)С2{д2,-12д21,0) ^ с^2,

где I = l\q2 4- l2q\, c ~ постоянная;

3) оценки суммы Рамануждана ^ е 2тЫ/ч\^

1=1 Ш=1

В остаток входят 3 интеграла. Рассмотрим самый общий случай. Пусть

[9(9+9')]

и = 53 Y1 e-2*ihl/q J ФгФ2е-'гтпЧх.

^-imhl/q I лч лч „-2nihx, -[9(9+9")]-1

Вместо Фх, Ф2 подставим их значения и перейдем к неравенствам:

q<N 1=1

[9(9+9')]

Л1-1

74 «Е ^"4 / П-2 + 4А2

-[9(9+9//)]-1

mez2

то^О

ехр

2тг2д/1(ш) \ q2D(n~1 - 2тх))

fcez_2

ехр

2-к Q'2(k)

q2D(n~1 + 2irix) _

\V(q, h,m,k)\

Оценка суммы

V(q, h, га, k) = J] e~2nihl/9Gi(q, l,m)G2(q, -i, Л) « <?i)1/24

/=1 (i,9)=l

где q = q\q2, (<71, = (<7ь = 1; — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят D следует из:

1) вполне мультипликативности функции V(q, h,m, к);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

Gi{qi,hqlm)G2{qi, -h&k) = g2exр (~2тг i^1^* Шт) - Q'2(k))J ,

Gi(q2,l2ql0)G2(q2,-l2q2,0) ^ cDq2,

где I = liq2 4- l2q\, (...)(.. .)* = 1( mod gi), с - постоянная;

3) оценки А. Вейля (4) для суммы Клоостермана K(qi,—h,—v), где v = {hqlDYiQ'^m) - Q'2(k)).

Отметим, что при условиях д < п1!2~в и |ж| < [дп1/2-1"0]-1, где в — сколь угодно малое положительное число, суммы по га и к оцениваются как О (ехр(—сп2в)). Тогда из неравенства ехр(—сп2в)пА «С п3/4+е, справедливого для любого А > 0, следует требуемая оценка.

При других ограничениях на переменные ра; суммы по га и к оцениваются как 0(1). В этих случаях требуемая оценка следует из тривиальной оценки интегралов:

[ _—_<п [ _—_<ап1'2+в

О [дп1/2+0]-1

и условия Н ^ п£.

Остаток в асимптотической формуле для суммы 1(п, К) можно уточнить, используя оценку для суммы сумм Клоостермана.

В 2009 году П. Сарнак и Дж. Цимерман [16], применив модулярную технику, получили следующий результат:

Y, К ±v) « (Thvf (Т1/6 + (hv)1/6 + {h1'8 + v1/8)(hv)7/128^ .

q<T ^

В 2012 году С. Гангули и Дж. Сенгупта [17] доказали оценку для суммы сумм Клоостермана, когда суммирование идет по прогрессии с модулем s.

При условии (hv, s) — 1 справедлива оценка

V- 1 t ^ ч (И1/3 (hv)1/6

£ h' « (ТНузУ (^173 + -¿ГРГ + ^r+

q=0 (mod s)

+ (M^ + (^8 + ^8)(M7/128 + (bp/"8 + {hv)7M)

S S ^ S^"^

В четвертой главе с использованием данных оценок улучшен остаток в асимптотической формуле для суммы I(n, h) при условии, что 5р — нечетное число.

Теорема 3. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 5р — дискриминант поля F, 5р — нечетное число; п Е h Е N, h < п£. Справедлива асимптотическая формула о_2„ +00 ч

/(та) = ^£<Г4 £ e~2nihl/qGi(q,l,0)G2(q, —1,0) + 0(п2//3+е),

' 9=1 1=1 (l,q)=1

Gi(q,l, 0) = ехр(27гilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (г = l,2j.

Ш (mod q)

Данная теорема справедлива и для случая, когда ёр — —4<5, (5,2) = 1, а формы Qi(m) и Q2(k) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

В частности, в этой главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

^ +fc?+fcj|

h{n,h)= е

В данном случае дискриминант поля др = —4, и все квадратичные формы эквивалентны форме Q(jn) = т\ + т2.

теорема 4. Пусть г > 0 — произвольно малое число, п € N, h € N;

h < 71е.

Справедлива асимптотическая формула

2 +оо 9

= ^ £ <Г4 £ 0)S2(<Z, -/, 0) + 0(n2/3+£),

g=l ¿=1 (i,9)=l

где S(q, 1,0) = ^ exp(27rils2/q) — сумма Гаусса. Сумма особого ряда асимп-3=1

тотической формулы положительна.

При доказательстве изложенных выше теорем предполагаем, что дискриминант поля 6р — фиксированное число.

В пятой главе рассматривается один частный случай, когда параметр 5р — —ро, где ро — простое число, растет с ростом основного параметра п. За счет этого условия и специальных ограничений на h удается уточнить остаток в асимптотической формуле для 1{п, К).

Теорема 5. Пусть е > 0 — произвольно малое число, ро — простое число, 5р = — Ро- Пусть п = \pq£], h = pohi, hi E N, (/ii,po) = 1/ h ^ p^.

Тогда при ро —> oo справедлива асимптотическая формула

О 2 g

w U ti

(l,q)=1

Gi(q,l, 0) = exp(27rilQi(rn)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

то (mod q)

При доказательстве д�