Численное моделирование деформирования и разрушения анизотропных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи 004610892

Мельникова Наталья Александровна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД (НА ПРИМЕРЕ ОЗЕРНОГО ЛЬДА)

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2010

004610892

Работа выполнена в Северском технологическом институте - филиале ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Немирович-Данченко Михаил Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Люкшин Борис Александрович

кандидат физико-математических наук Сибиряков Егор Борисович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт горного дела Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится «28» мая 2010 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.038.01 при Учреждении Российской академии наук Институте физики прочности и материаловедения Сибирского отделения РАН по адресу: 634021, г. Томск, пр. Академический, 2/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФПМ СО РАН.

Автореферат разослан «27» апреля 2010 г.

И. о. ученого секретаря диссертационного совета доктор физико-математических наук Л.Л. Мейснер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объектом исследования являются анизотропные среды, состоящие из гексагональных кристаллов произвольной ориентации, и особенности численного моделирования динамических процессов деформирования в этих средах, вплоть до разрушения.

Актуальность темы.

При численном решении динамических задач механическое поведение анизотропных сред часто моделируется макроскопически однородной средой с эффективными свойствами. При этом считается, что среда изотропна, а ее прочностные свойства в точке характеризуются некоторой величиной. Однако ряд проблем прочности (например, таких, как прочность структурно-неоднородных материалов) решается только в масштабах нескольких зерен, блоков, кристаллов. На таком масштабном уровне анизотропия упругих свойств отдельного структурного элемента существенно влияет на процессы деформирования и разрушения, и в краевой задаче для неоднородной среды необходимо учитывать ориентацию каждого элемента. Работ, посвященных деформированию и разрушению (с образованием отдельных трещин) анизотропных сред на мезоуровне, в настоящее время имеется лишь небольшое количество - как экспериментальных, так и теоретических.

В диссертационной работе получен численный алгоритм для решения задачи об упругом деформировании и упруго-хрупком разрушении мезообъема анизотропной среды с образованием и распространением отдельных трещин в двумерной постановке в условиях плоской деформации для кристаллических сред с гексагональной симметрией. Задачи деформирования и разрушения анизотропных сред являются, бесспорно, существенно трехмерными. Численная реализация таких задач сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, требующих больших машинных ресурсов. Поэтому в диссертационной работе сделаны следующие упрощения: структура рассматриваемого анизотропного материала и характер прикладываемых нагрузок выбираются так, что материал оказывается в условиях плоской деформации. Такие предположения позволяют решать задачи деформирования и разрушения анизотропных сред в двумерной постановке. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их транс-версальной изотропии по упругим свойствам.

Гексагональной симметрией обладают ряд металлов и их сплавы, однородные изотропные тела с плоскопараллельной системой трещин, многие природные материалы, в том числе широко распространенный пресный лед. Понимание поведения льда важно при рассмотрении таких проблем, как использование ледяного покрова акваторий, строительство изо льда, защита водозаборных и гидротехнических сооружений от воздействия льда, добыча полезных ископаемых в районах вечной мерзлоты.

До сих пор численное исследование разрушения пресного льда на мезоуровне (масштаб зерен, кристаллов) с образованием отдельных трещин не проводилось. Таким образом, теоретическое изучение деформирования и разрушения анизотропных кристаллических сред с гексагональной симметрией представляется актуальным.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей процессов деформирования мезообъема анизотропной среды, состоящего из нескольких разноорнен-тировппных гексагональных кристаллов, вплоть до разрушения.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задами:

1. Разработать методику численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании, вплоть до разрушения, с описанием образования и роста трепли! на основе метода раздвоения точек сетки.

2. Создать алгоритм явного описания неоднородной структуры с учетом разной ориентации кристаллов на мезоуровпе. Для этого разработать специальный алгоритм обработки рас-тропых изображении.

3. Модифицировать и адаптировать численный метод для расчета деформнровати и разрушения анизотропных сред с возможностью явного учета плоскостей скольжения

Научная новизна и практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Создана методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании, вплоть до разрушения, с образованием и ростом трещин на основе конечно-разностного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки.

2. Сделан утг различной ориентации кристаллов на мезоуровпе с возможностью последующего моделирования разрушения с образованием и ростом трещин в алгоритме явного описания неоднородной структуры.

3. Проведены численные исследования деформирования поликристаллов льда, вплоть до разрушения.

4. Предложенный и развитый в диссертационной работе подход позволяет учитывать такие реальные свойства твердых тел, как неоднородность, анизотропия, сложная геометрия внутренних и внешних границ. Это имеет определенное значение при решении ряда практически важных задач о деформировании и разрушении реальных тел. Алгоритм для расчета деформирования и разрушения анизотропных сред на основе модифицированного и адаптированного численного метода с применением метода раздвоення точек сета! используется в настоящее время в Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики Сибирского отделения РАН и на кафедре геофизики ГОУ 13ПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет».

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Проведенная модификация классического метода Уилкннса делает возможным численно решать задачи о деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработанный подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред позволяет адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллнче-ской среды па мезоуровпе, т.е. для нескольких кристаллов, с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Численно исследовано поведение трещины при достижении ее вершиной границ зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями зерен.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются выбором адекватной математической модели для описания анизотропной среды, корректностью математической постановки решаемых задач, использованием апробированного численного метода, решением модельных и тестовых задач, д ля которых проведено сравнение с аналитическими, экспериментальными или численными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (г. Томск, 1996), V Всероссийской научно-технической конференции молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (г.Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (г. Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в синергетических системах» (г. Улан-Удэ - г. Томск, 1999), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (г. Томск, 2006 и 2009), школе-семинаре «Геомеханшса и геофизика» (г. Новосибирск; 2008), Всероссийской конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (г. Томск, 2009).

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в 13 работах, в том числе в 4 научных статьях, 2 из которых опубликованы в журнале из списка ВАК.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка цитированной литературы, включающего 205 наименований. Общий объем работы -165 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Первый раздел содержит обзорный материал по полуаналитическим и численным методам вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах, по моделям сред, используемых при описании деформирования и разрушения твердых тел. Рассмотрены некоторые подходы к описанию разрушения конденсированных сред.

Второй раздел посвящен физико-математической постановке задачи деформирования и разрушения анизотропных сред. Приводятся сведения из кристаллографии о математическом описании кристаллов и их свойств. Известно, что кристаллы относятся к симметричным телам, свойства которых не меняются в результате некоторых преобразований, например, поворота вокруг оси. Различают симметрию формы кристалла и симметрию физических свойств. Для кристаллов с гексагональной симметрией главная ось симметрии (ось С) является осью симметрии шестого порядка, если говорить о симметрии формы, и осью бесконечного порядка, если иметь в виду симметрию упругих свойств. Ось С в случае гексагональной симметрии обычно совмещают с осью Ъ.

Упругое поведение кристаллов описывается обобщенным законом Гука, связывающим тензор напряжений <тЛ с тензором деформаций е^:

~ • (1)

Матрица упругих модулей для тензора в случае среды с гексагональной симметрией содержит 21 ненулевую компоненту, из них 5 являются независимыми: сп,с12,си,с33,сА4 или си, с^с^с^с^. При повороте кристалла с вмороженной системой координат X/ (ось X), Хз (ось Ъ, совмещенная с осью С) относительно неподвижной к, I вокруг оси Х2 (оси У) на некоторый угол О) матрица Суи после преобразований тензора четвертого ранга будет содержать 41 ненулевую компоненту. Число независимых компонент и симметрия относительно главной оси сохраняются.

Если осуществить поворот на любой угол вокруг оси Ъ, совмещенной с осью С, то матрица упругих модулей не изменится. Так происходит потому, что в средах с гексагональной симметрией все кристаллографически различные направления, составляющие с главной осью симметрии (осью С) один и тот же угол, по упругим свойствам одинаковы. Это важное свойство, называемое трансверсалъной изотропией, является отличительной особенностью анизотропных сред с гексагональной симметрией.

Для довольно точного решения многих задач механики деформируемого твердого тела достаточно предположить, что деформации и напряжения конечны, а сама среда упруго-хрупкая. Конечность деформаций и напряжений в диссертационной работе описывается инкрементальными соотношениями модели гипоуп-ругой среды, а хрупкость реализуется на этапе построения численной схемы.

Система динамических уравнений для модели гипоупругой среды включает в себя:

уравнения движения в напряжениях (первый закон Коши): да(к

уравнение неразрывности:

~+сНури=О, (3)

обобщенный закон Гука в инкрементальной форме:

¿н, (4)

где ех} =

\(дй, дйЛ --!_ +-

удх^ дх(

- тензор скоростей деформаций, - производная

21

Яуманна (производная относительно собственного вращения), и( - компоненты вектора смещения й, и — вектор скорости смещений, р— плотность. Точки над величинами означают производную по времени ( .

Система (2)-(4) численно решается с использованием модифицированной схемы Уилкинса, в которой уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически.

При дополнении ее граничными и начальными условиями может быть сформулирована соответствующая краевая задача. В диссертационной работе решен ряд задач, одни из которых являются вспомогательными, другие носят исследовательский характер. К каждой конкретной задаче приводятся соответствующие граничные условия. Особый интерес представляют граничные условия на берегах трещин. При смыкании берегов ставится условие равенства нормальных скоростей смещений, но в процессе изменения напряженного состояния взаимное расположение берегов может измениться. Поэтому вводится дополнительное граничное условие, описываемое специальным алгоритмом взаимодействия берегов трещины.

Выбор в пользу модели гипоупругого поведения объясняется тем, что инкрементальный характер описания среды позволяет изучать конечное деформирование среды. Кроме того, связь между приращениями величин удобна для конечно-разностного моделирования. В работе рассматривается простейший случай ги-поупругости, когда тензор упругих модулей от напряжений не зависит.

Далее приводится численная схема классического метода Уилкинса, ее линеаризация для случая малых деформаций и записаны определяющие соотношения для расчета волновых полей в анизотропных и неоднородных средах с произвольной ориентацией оси симметрии упругих свойств:

(5)

Формулы (5) вводятся автором работы в разностную схему вместо определяющих соотношений классического метода Уилкинса. Применение этих формул позволяет учитывать произвольную ориентацию каждой неоднородности среды, что делает алгоритм расчета волновых полей универсальным.

На основе метода Уилкинса и методологии раздвоения точек сетки (МРТС), предложенной Немировичем-Данченко М.М., приводится численное описание разрушения. На рис.1 (а) четыре ячейки «склеены» и имеют один общий узел (черный кружок), в котором на самом деле содержится четыре узла (по одной вершине от каждой ячейки). В двумерном случае каждому узлу расчетной сетки ставятся в соответствие четыре математических точки, в неразрушенном месте формально совпадающих. Для этого в конечно-разностном описании в начальный момент времени задается не одна вмороженная лагранжева сетка, а четыре. В алгоритме с помощью специальной процедуры устанавливаются связи между «слившимися» узлами. Считается, что связь рвется, если в ней выполнился критерий разрушения. Для четырех точек разрушенного узла записываются граничные условия с учетом вновь образованных свободных поверхностей. На рис.1(б) приведено схематическое изображение фрагмента расчетной сетки в случае, когда разорваны все четыре связи. В диссертационной работе предполагается, что симметрия упругих свойств материала среды будет определять симметрию прочностных свойств. Там, где в работе встречается термин «разрушение», речь идет о разрыве бесконечно-тонких одномерных изотропных связей в методе раздвоения точек сетки. Для расчета разрыва таких связей используется представление о длительной прочности.

Рис. 1. Фрагменты расчетной сетки: (а) в узле (черный кружок) связи не нарушены, (б) псе связи нарушены, узел «расчетвернлся»

Этот подход означает, что при численном моделировании деформирования упруго-хрупких материалов для адекватного описания процесса разрушения нужно, чтобы критерий разрушения учитывал временной характер процесса аккомодации п включал в себя параметры, отвечающие за предварительную стадию - накопление мпкроловреждепий, и параметры, относящиеся к потере прочности на макроуровне. Вдпссертацпошюй работе рассчитывается напряженно-деформированное состояние анизотропной среды, и проверяется значение разрывающих напряжений в связях метода раздвоения точек сетки (МРТС). Значение разрывающих напряжении входит в интегральный критерий разрушения, который вполне описывает прочностное состояние одномерной бесконечно тонкой связи между ячейками.

В расчетах использовался пространственно-временной критерий разрушения, предложенный Гридиевой В.А. с коллегами:

|ИО-(70)/,Л=г0(СТг-О-0)/!

(6)

Здесь сг„ - напряжение, при превышении которого в среде происходят мик-роразрушення; сг(1) - текущее значение одной из компонент тензора напряжений; <т7 - теоретическая прочность материала; г0, ¡3 - подбираемые параметры. Интеграл вычислялся только для тех значений <т(<), которые превышают сг0. Критерий (8) получен на основе принципа суммирования повреждаемостей. При таком способе описания разрушения схема расчета напряженно-деформированного состояния среды не меняется, так как в методе Уилкинса компоненты тензоров напряжений и деформаций определяются в центрах ячеек.

В третьем разделе для отладки и тестирования численного алгоритма решен ряд тестовых и модельных задач в условиях плоской деформации. Проведено сравнение полученных результатов с имеющимися данными других авторов.

Решена тестовая задача о действии сосредоточенного источника на упругое полупространство (задача Лэмба) для изотропной среды и анизотропной гексагональной среды (цинка). В изотропной среде принималось: скорость продольной волны КР=3000л«/с, скорость поперечной волны ^=1500 л//с, плотность

р = 2г!сл?. Для цинка рассмотрены два случая: ось симметрии С составляет с рас-

четной осью Z углы 0 и 30. Упругие модули Zn: си =161 ГПа, с33 = 61 ГПа,

с44 = 38.3 ГПа , с6б =63.4 ГПа, с13 =50.1 ГПа, плотность р = 7.14г/слг3.

На рис.2 приведена геометрия задачи Лэмба и вид импульса Рикера z~2nfJe{-(t~T))e'2<-'r^''Tn , имитирующего импульсный пьезоисточник с частотой 150 Гц (в). Среда моделируется прямоугольником 200x100 расчетных ячеек, на который наложены: (а) - численный снимок волнового поля скоростей смещений для изотропной среды в плоскости (XZ), (б) - картина полос в пластине из оптически чувствительного материала, полученная методом динамической фотоупругости при импульсном воздействии. Шаг дискретизации - 1 м. Стрелкой сверху обозначен источник возмущений.

а б в

■ Ъ

Рис. 2. Задача Лэмба: 1 - источник возмущений, (а) - численный снимок волнового поля в изотропной среде, (б) -волновая картина, полученная методом динамической фотоупругости, (в) - вид исходного импульса

Из векторов скоростей смещений образовались фронты волн, для которых приняты обозначения: Р - фронт продольной волны, БУ - фронт поперечной волны, И. - волна Рэлея, С - волна, соответствующая в пространственном случае конической волне. Результаты расчетов показали хорошее качественное совпадение с известной теоретической схемой задачи Лэмба для изотропного полупространства и результатом эксперимента, полученным методом динамической фотоупругости.

Расчет волнового поля от сосредоточенного источника в анизотропной среде был проведен на примере монокристалла цинка. На рис. 3(а) приведено волновое поле скоростей смещений в монокристалле цинка. Фронт продольной волны представляет собой полуэллипс. Фронт поперечной волны распадается на две ветви, образуя области неоднозначности волновых поверхностей (области рефракции). Полученные результаты сравнивались с аналитическими поверхностями Масгрей-ва для монокристалла цинка. Установлено хорошее качественное соответствие областей рефракции участкам вогнутости поверхности обратных скоростей, а волновой картины в целом - сечению поверхности лучевых скоростей. Результат расчета для монокристалла цинка, повернутого на угол 30 относительно расчетной оси приведен на рис. 3(6). Видно, что с поворотом кристалла на тот же угол поворачивается и волновая картина, то есть по волновой картине можно судить, на какой угол повернут кристалл.

Рис. 3. Волновая картина в задаче Лэмба: (а) - для монокристалла цинка, обозначены: Р - продольная волна, БУ - поперечная волна, С - коническая волна, К - волна Рэлея; 1 - источник возмущений, 2 - лучи, восстановленные из источника 1;

3 - области рефракции, 4 - нормали к волновым фронтам; (б). - для монокристалла цинка, ось симметрии которого повернута на угол 30 относительно расчетной оси Ъ

Далее решены тестовые задачи о падении плоской продольной волны на монокристалл цинка, ось симметрии которого повернута на угол 30 относительно расчетной оси, и па изотроппую среду с анизотропным включением. На рис. 4 приведена волновая картина в повернутом монокристалле цинка.

Рис. 4. Поле скоростей смещений в повернутом монокристалле цинка при распространении плоской продольной волны: 1 - продольная волна, 2 - поперечная волна, 3, 4, 5 — головные волны. Стрелкой указан загиб фронта продольной волны, обусловленный углом поворота монокристалла

Основная особенность полученного результата заключается в том, что при повороте, наряду с продольной волной, наблюдаются поперечная и головные волны. В неповернутом кристалле наблюдалась бы только продольная волна.

Для проверки пригодности численного алгоритма к изучению сред, состоящих из произвольно ориентированных неоднородностей, была решена задача о падении плоской продольной волны на среду с включением.

На рис. 5(а) представлена модель среды с включением. Были рассмотрены три варианта моделей: 1) 1, 2 - изотропные среды с различными скоростями продольной и поперечной волн; 2) 1 - изотропная среда, 2 - анизотропная (неповер-нутый кристалл цинка); 3) 1 - изотропная среда, 2 - монокристалл цинка с осью симметрии, повернутой на угол 30" относительно расчетной оси.

Для такой задачи все типы волн были получены Михайленко Б.Г. при численном исследовании дифракции плоской волны на крутонаклонных границах.

На рис. 5(6) приведен численный снимок вертикальной компоненты смещения для модели 3. В результате проведенных расчетов получена вся система волн, указанная Михайленко Б.Г. При расчетах в алгоритме не устанавливались особые граничные условия на границах раздела среда 1 - среда 2. Отрезки АС и АВ считались лагранжевыми линиями нулевой толщины, при переходе через них менялись свойства среды. Такой подход иногда называют методом сквозного счета. Как показало сравнение полученных результатов с результатами Михайленко Б.Г., такие граничные условия можно считать корректными.

Рис. 5. Падение плоской продольной волны на среду с включением: (а) - геометрия задачи, стрелками указано направление действия плоской продольной волны; (б) - численный снимок вертикальной компоненты смещения для модели 3, обозначены: 1 - падающая продольная волна; 2 - преломленная через границу АВ продольная волна в среде 2; 3 - отраженная от границы АВ продольная волна в среде 1;

4 - дифрагированная продольная волна от угла А в среде 1; 5 - дифрагированная поперечная волна от угла А в среде 1; б - головная продольная волна в среде 2; 7 - головная поперечная волна в среде 2; 8 - головная волна в среде 1;

9 - дифрагированная продольная волна от угла А в среде 2; 10 - дифрагированная поперечная волна от угла А в среде 2; 11 - поперечная волна в среде 2;

12 - дифрагированная продольная волна от угла В;

13 - дифрагированная поперечная волна от угла В

Для тестирования алгоритма численного описания разрушения была решена модельная задача о растяжении изотропного образца с первоначальным надрезом (трещиной типа I) с последующим ростом трещины. Геометрия задачи приведена на рис. 6(а). Рассматривался однородный образец модельного материала с центральной трещиной (или надрезом) бесконечно малой толщины. Скорость продольной волны принималась 3000 м/с.

При прикладывании плавно возрастающих растягивающих напряжений берега трещины начинают расходиться, а в вершине трещины (точка В) резко возрастают напряжения. На рис. 6(6) приведена часть расчетной сетки в фиксированный момент времени, на которой значения главных напряжений представлены по естественной теневой шкале (чем темнее, тем выше напряжения). На рис. 6(в) приведено векторное поле скоростей смещений частиц среды вблизи вершины трещины, жирным пунктиром отмечена линия трещины. Видно, что векторы скоростей смещений направлены вдоль линии трещины к вершине. Это подтверждает тот известный факт, что для статических (квазистатических) трещин отрыва вершина является энергетическим стоком.

Рис. б. Задача о растяжении образца с трещиной: (а) — геометрия задачи, АВ - надрез бесконечно малой толщины, стрелками указаны направления действия нагрузки; (б) - теневая картина главных напряжений; (в) - векторное поле скоростей смещений частиц, жирным пунктиром отмечена линия трещины; (г) - излучение упругих волн в вершине движущейся трещины

Для проверки работы критерия разрушения и алгоритма расчетверения узлов сетки был проведен расчет волнового поля от скачка трещины. При выполнении в вершине трещины (точка В) критерия разрушения (6) происходит рост трещины на одну ячейку. При этом наблюдается излучение упругих волн. На рис.б(г) показано излучение упругих волн в один из моментов времени в вершине движущейся трещины. Выявлены все типы волн, полученные при решении задачи Лэмба.

Проведение тестовых расчетов в третьем разделе показало, что разработанный алгоритм адекватно описывает распространение упругих волн в поликристаллических средах на мезоуровне и процессы, происходящие в телах с квазистатическими трещинами отрыва.

При движении трещины и при моделировании волновых процессов в телах с несплошностями с использованием алгоритма раздвоения точек сетки важную роль играет, как было сказано выше, постановка граничных условий на берегах трещин. Для этого в работе использована методика так называемого взаимодействия берегов трещин. Поясним эту методику на примере с двумя «вмороженными» лагранжевыми сетками. Пусть в начальный момент времени заданы две совокупности координат и скоростей: х, г, х, г и х', г', х, ¿'. Если рассматривать частично сомкнувшуюся трещину (рис. 7), то узловые точки противоположных берегов не обязательно должны совпадать, но и значительных расхождений быть не должно (по крайней мере при незначительных сдвиговых деформациях). Алгоритм взаимодействия берегов начинает работать только в тех точках, в которых берега соприкасаются. В случае трещины вдоль линии г имеем следующее условие соприкосновения:

| г-г'\<е> (7)

где малая величина £>0 зависит от шагов по времени и по пространству.

и" III л',II

ГГ V, 2 II 1

¡-I ! /+7

Рис. 7. К описанию взаимодействия берегов трещнны

При 5 = 0 возможен перехлест берегов, что усложняет алгоритм и может привести к ошибкам моделирования. Затем вычисляются компоненты скорости х, г (если имеет место соприкосновение узловых точек разных берегов и среднее напряжение меньше нуля, то х'-х,г-г, и далее расчет в узле (/, к) ведется как для внутренней точки). Следующими вычисляются координаты х, г, х, г через полученные значения скоростей. Как только среднее напряжение становится больше нуля, то (даже если условие соприкосновения выполняется) скорости х,г считаются как для нижнего берега трещины, а х, ¿' - как для верхнего.

Четвертый раздел посвящен численному моделированию деформирования и разрушения анизотропных сред. Если выше были рассмотрены анизотропные среды вообще, то в этом разделе речь идет в основном о поведении пресного озерного льда - широко распространенного природного материала. Описывается кристаллическая структура пресного льда, строение озерного льда на мезоуровне (уровень зерен), приведены некоторые данные о физико-механических свойствах пресного льда. Рассмотрен один из видов льда - гексагональный лед 1Ь.

Во всех расчетах четвертого раздела температура считалась постоянной, равной -10 С . Для монокристалла пресного льда значения независимых упругих модулей при такой температуре: с,, = 13.84/77«, с}} = 14.99 ГПа, с44 =3.19 ГПа

,сп =7.06 ГПа с13 = 5.81 ГПа, плотность /?=0.917 г/суи'. Числовые значения констант из критерия разрушения (8) для льда принимались следующие: теоретическая прочность сгг = 3200 МПА, уровень, с которого начинается интегрирование <70 = ЮМПА, показатели «хрупкости»: Р=0.82, т = 0.02.

В пресных озерах лед имеет две основные ориентации С-осн - горизонтальную и вертикальную. На рис. 8 представлены два основных типа роста озерного льда (по Богородскому В.В.).

Были исследованы волновые поля в монокристалле льда и в мезообъеме, состоящем из девяти монокристаллов льда различной ориентации, и проведен расчет напряженного состояния в монокристалле льда.

£ - ось

б

Рис. 8. Основные типы роста кристаллов озерного льда в зависимости от градиента температуры на поверхности раздела вода-лед: а) вертикальная ориентация оси С; б) горизонтальная ориентация оси С. Штриховкой обозначены базисные плоскости кристаллов

На рис. 9 показана волновая картина задачи Лэмба в монокристалле льда. Сравним полученное волновое поле с волновым полем задачи Лэмба в монокристалле цинка (рис. 3(а)).

В результате расчета, как и в случае с цинком, выявлены следующие волны: Р - квазипродольная, БУ - квазипоперечная, С - коническая и Я - волна Рэлея. Также видны области рефракции - области неоднозначности волновых поверхностей. Таким образом, сравнение волновых картин в монокристаллах цинка и льда показывает, что во льду наблюдаются особенности волнового поля, характерные для кристаллов гексагональной сингонии.

На рис. 10 построены кривые фазовых скоростей и медленностей для монокристалла льда в полярной плоскости. Видно, что кривая медленности для продольной скорости, рис. 10(в), в монокристалле льда — выпуклая фигура, поэтому фронт продольной волны всюду однозначен, а для поперечной волны медленность имеет участки вогнутости, рис. 10(г), и если восстановить нормали на этих участках, то они будут пресекаться. Это означает, что для лучей, выходящих из центра воздействия и принадлежащих некоторым областям, существует более одного фронта поперечной волны, то есть волновые поверхности неоднозначны. Для демонстрации того, как может повести себя первоначально плоская волна в мезообъ-еме (агрегате), состоящем из нескольких зерен, было рассчитано волновое поле от падения плоской волны на модельную среду.

Рис. 9. Задача Лэмба для монокристалла пресного льда

Модельная среда задается прямоугольником, состоящим из основной среды и девяти различно ориентированных кристаллов (зерен) льда. Основная среда - гексагональный лед с осью С, коллине-арной оси Ъ.

На рис. 11 приводится модельная среда с наложенным на нее численным снимком векторов скоростей смещения в различные моменты времени. Хорошо видно влияние структуры агрегата на первоначально плоский фронт: волновая картина существенно осложнена волнами дифракции, которые наблюдались при решении модельных задач. Что касается скорости распространения волн в однородной и неоднородной средах, то следует отметить, что неоднородность может являться фактором как замедляющим, так и ускоряющим распространение возмущений.

Сравнение скоростей распространения продольной волны в монокристалле льда и в мезообъеме, состоящем из нескольких разноориентированных монокристаллов льда, показало зависимость скорости от угла ориентации кристаллографической оси отдельной неоднородности агрегата. Так, в неповернутом (кристаллографическая ось составляет угол 0 с направлением нагрузки) монокристалле льда скорость распространения продольной волны в направлении оси X равна Урх =1989.7м/с, в направлении оси Ъ равна УР =4043.1 м/с. Средняя скорость распространения продольной волны в направлении оси Z в агрегате, по расчетам автора, равна «3800 м/с. Таким образом, если основной средой (без поворота) считать монокристаллический лед, кристаллографическая ось С которого составляет угол 0 с направлением нагрузки, то осредненная скорость продольной волны в агрегате меньше, чем в монокристалле. Если основная среда - монокристалл, ось С которого составляет с направлением нагрузки 90, осредненная скорость продольной волны в агрегате выше, чем в монокристалле.

Рис. 10. Кривые фазовых скоростей и, (а) и и2 (б), кривые медленностей 1/и, (в) и 1/и2 (г) для монокристалла пресного льда в полярной плоскости

же

Рис. 11. Волновое поле в мезообъеме льда от падения плоской волны в различные моменты времени: (а) - 7,83 мс, (б) - 27,5 мс

Далее в работе были проведены численные эксперименты по деформированию монокристалла льда под действием распределенной нагрузки. Расчеты проводились для трех случаев: 1) ось С коллинеарна оси действия нагрузки, рис. 12 (1а); 2) ось С перпендикулярна оси действия нагрузки, рис. 12(2а); 3) ось С составляет с осью действия нагрузки угол 30 , рис. 12 (За).

Среда моделировалась прямоугольной областью размером 300x60 (расчетных ячейки) в плоскости XZ. На верхней стороне прямоугольника задается источник возмущений (16x2 расчетных ячейки), имитирующий кваз и статическое вдавливание со скоростью 1.5 м/с. Нижняя сторона прямоугольника жестко закреплена слева и справа. Боковые стороны свободны от напряжений.

Рис. 12. Геометрия задачи упругого деформирования монокристалла льда под действием распределенной вдавливающей нагрузки, ось С составляет с осью действия нагрузки углы: 0°( 1а), 90 (16), 30 (1в).

Численные снимки соответствующих полей сдвиговых напряжений в момент времени 2,5 сек (2а - 2в)

Па рис. 12 (2а - 2в) приведены численные снимки полей сдвиговых напряжений <Ухг для указанных выше трех ориентации кристаллографической оси. Числовые значения сдвиговых напряжений в момент времени 2.5 сек, полученные в расчетах, меняются от -17.7 МПа до 17.5 МПа. Наблюдаются прогибы образцов относительно опор и качественное отличие полей. Полученные результаты качественно и количественно хорошо согласуются с лабораторными экспериментами Накаи У. (1956 г.) и результатами численных экспериментов Мансюя Ф., проведенными в Гренобле в 2001 г.

На рис. 13 показана теневая картина сдвиговых напряжений в один из более поздних моментов времени для случая поворота кристаллографической оси на 30 (схема расположения оси показана на рис. 12(1 в)). Видно влияние анизотропии па характер напряженного состояния, что проявляется в форме областей слева и справа от оси нагружения.

Рис. 13. Теневая картина поля сдвиговых напряжений в монокристалле, повернутом на 30 относительно оси нагружения

Далее приведены результаты моделирования разрушения мезообъема пресного льда. Основным механизмом разрушения льда при низких температурах является образование и распространение хрупких трещин. В диссертационной работе при численном моделировании хрупкого разрушения и ветвления трещины за основу взяты лабораторные исследования трещинообразования в пластине пресного льда, проведенные Голдом, рис. 14(а, б). В качестве модельной среды был взят мезообъем, состоящий из трех зерен (кристаллов неправильной формы) с различной ориентацией С-оси относительно оси задач»: зерно 1 - 10 , зерно 2-30 и зерно 3 - 340 , рис. 14(в). В мезообъеме задана первоначальная трещина-надрез нулевой толщины, расположенная между зернами. Кристаллографическая ось зерна 2 и линия трещины не коллинеарны. На левой стороне образца сверху и снизу задаем постоянно приложенную скорость смещения, равную 1.5 м/с. Тем самым возникает усилие, раскрывающее трещину.

На остальных

юнахтела ставятся условия свободной поверхности.

-- " шщщтштг-

Рис. 14. Картина хрупких трещин в пластине пресного льда (а, б): 1 - основная трещина, 2 и 3 - ветви трещины вдоль границ зерен; геометрия задачи о распространении трещины отрыва в мезообъеме льда (в); фрагмент расчетной сетки вблизи места разветвления трещины (г)

Начало разрушения льда определяется следующими факторами: величиной приложенной нагрузки, временем воздействия и ориентацией оси С относительно оси действия нагрузки. Рост трещины начинается при напряжениях, совпадающих с реальным пределом упругости; за предельное (критическое) значение принято

растягивающее напряжение 10 МПа, остальные константы приведены выше. На рис. 14(г) представлен фрагмент расчетной сетки в фиксированный момент времени. Видно, что берега трещины разошлись, а сама трещина раздвоилась на границе зерна 2. При этом, вследствие различных поворотов кристаллографических осей, зерна по-разному сопротивляются растяжению, и трещина «выбирает» путь между зернами.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы:

1. Проведена модификация классического метода Уилкинса, что делает возможным численно решать двухмерные задачи об упругом деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработан подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред позволяющий адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллической среды на мезоуровне, т.е. для нескольких кристаллов (зерен), с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Проведен расчет поведения трещины при достижении ее вершиной границ зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями зерен.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Мельникова H.A., Немирович-Данченко М.М. Методика расчета упругих волновых полей для мезообъема, содержащего несколько разноориентнроватмх кристаллов с различными свойствами //Фпз. мезомех. -2006. - Т. 9. -№ 1.-С. 103-110.

2. Немирович-Данченко М.М., Мельникова H.A. Численная оценка особенностей разрушения мезообъема анпзо1рогтной среды // Ф| п. мезомех. -2009. - Т. 12. - № 1. - С.127-130.

3. Белов H.H., Хабнбуллин М.В., Мельникова Н.А и др. Численное исследование разрушения керамики АД-85 при ударно-волновом нагружешш // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики: Сборник статей под ред. ИБ. Богоряда. Вып. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998.-С. 103-107.

4. Афанасьева С.А., Белов H.H., Хабнбуллин М.В., Мельникова Н.А и др. Разрушение пористой керамики при динамическом нагружении // Математическое моделирование процессов в синергетнческих системах: Сборник статей. - Улан-Удэ-Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999-С. 162-164.

5. Немирович-Данченко М.М., Мельникова H.A., Полозов С. С. Компьютерное моделирование излучения упругих волновых полей при разрушении мезообъема, содержащего несколько разноориептированиых кристаллов с различными свойствами // Тез. докл. Между-нар. конф. по фпз. мезомех., компьютерному конструированию и разработке новых материалов. 19-22 сентября 2006,-Томск: ИФПМ СО РАН.-С. 145-146.

6. Мельникова H.A., Немирович-Данченко М.М. Численная оценка особенностей деформирования и разрушения анизотропного льда // Сопряженные задачи механик» реагирующих сред информатики и экологии: Тез. докл. Всерос. конф. 18-20 февраля 2009. -Томск, 2009. -С. 88-89.

Подписано в печать 27.04.2010 г. Формат 60x84/16. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,08. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте физики прочности и материаловедения СО РАН 634021, г. Томск, пр. Академический, 2/4

ВВЕДЕНИЕ.

1 НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА.

1.1 Модели, используемые при описании деформирования конденсированных сред на разных масштабных уровнях.

1.2 Полуаналитические и численные методы вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах.

1.3 Некоторые подходы к описанию разрушения твердых тел.

2 ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ.

СРЕД: ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И РАЗНОСТНАЯ СХЕМА.

2.1 Некоторые сведения из кристаллографии.

2.2 Определяющие соотношения гипоупругой модели. Уравнение Кристоффеля.

2.3 Конечно-разностная схема Уилкинса и ее линеаризация.

2.4 Численное описание разрушения.

2.5. Общее замечание о критериях разрушения.

2.6 Выводы.

3 ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ УПРУГИХ ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ И РАЗРУШЕНИЯ В АНИЗОТРОПНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

3.1 Расчет волнового поля от действия сосредоточенного источника в изотропной и анизотропной средах (задача Лэмба).

3.2 Задача о падении плоской волны на анизотропную среду и среду с анизотропным включением.

3.3 Расчет распространения трещины I типа.

3.4 Выводы.

4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД (НА ПРИМЕРЕ ОЗЕРНОГО ЛЬДА).

4.1 Лед как анизотропная среда.

4.2 Об обработке растровых изображений.

4.3 Упругое деформирование пресного льда.

4.4 О возможном механизме разрушения озерного льда.

4.5 Выводы.

Объектом исследования являются анизотропные среды, состоящие из гексагональных кристаллов произвольной ориентации, и особенности численного моделирования динамических процессов деформирования в этих средах вплоть до разрушения.

Актуальность темы

При численном решении динамических задач механическое поведение анизотропных сред часто моделируется макроскопически однородной средой с эффективными свойствами. При этом считается, что среда изотропна, а ее прочностные свойства в точке характеризуются некоторой величиной. Однако ряд проблем прочности (например, таких, как прочность структурно-неоднородных материалов) решается только в масштабах нескольких зерен, блоков, кристаллов. На таком масштабном уровне анизотропия упругих свойств отдельного структурного элемента существенно влияет на процессы деформирования, и в краевой задаче для неоднородной среды необходимо учитывать ориентацию каждого элемента.

Задачи деформирования и разрушения анизотропных сред являются, бесспорно, существенно трехмерными. Численная реализация таких задач сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, требующих больших машинных ресурсов. Поэтому в диссертационной работе сделаны следующие упрощения: структура рассматриваемого анизотропного материала и характер прикладываемых нагрузок выбираются так, что материал оказывается в условиях плоской деформации. Такие предположения позволяют решать задачи деформирования и разрушения анизотропных сред в двумерной постановке. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их трансвер-сальной изотропии по упругим свойствам.

Гексагональной симметрией обладают ряд металлов и их сплавы, однородные изотропные тела с плоскопараллельной системой трещин, многие природные материалы, в том числе широко распространенный пресный лед.

Понимание поведения льда важно при рассмотрении таких проблем, как использование ледяного покрова акваторий, строительство изо льда, защита водозаборных и гидротехнических сооружений от воздействия льда, добыча полезных ископаемых в районах вечной мерзлоты. Работ, посвященных деформированию и разрушению (с образованием отдельных трещин) анизотропных сред на мезоуровне в настоящее время имеется лишь небольшое количество, как экспериментальных, так и теоретических.

В диссертационной работе получен численный алгоритм для решения задачи об упругом деформировании и упруго-хрупком разрушении мезообъема анизотропной среды с образованием и распространением отдельных трещин в двумерной постановке в условиях плоской деформации. Как частный случай рассмотрен поликристаллический пресный лед.

До сих пор численное исследование разрушения пресного льда на мезоуровне (масштаб зерен, кристаллов) с образованием отдельных трещин не проводилось. Таким образом, теоретическое изучение деформирования и разрушения анизотропных кристаллических сред с гексагональной симметрией представляется актуальным.

Целью диссертационной работы является изучение особенностей процессов деформирования мезообъема анизотропной среды, состоящего из нескольких разноориентированных гексагональных кристаллов, вплоть до разрушения.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании вплоть до разрушения с описанием образования и роста трещин на основе метода раздвоения точек сетки.

2. Создать алгоритм явного описания неоднородной структуры с учетом разной ориентации кристаллов на мезоуровне. Для этого разработать специальный алгоритм обработки растровых изображений.

3. Модифицировать и адаптировать численный метод для расчета деформирования и разрушения анизотропных сред с возможностью явного учета плоскостей скольжения.

Научная новизна и практическая ценность работы

1. Создана методика численного расчета поведения анизотропных сред при деформировании вплоть до разрушения с образованием и ростом трещин на основе конечно-разностного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки.

2. Сделан учет различной ориентации кристаллов на мезоуровне с возможностью последующего моделирования разрушения с образованием и ростом трещин в алгоритме явного описания неоднородной структуры.

3. Проведены численные исследования деформирования поликристаллов льда вплоть до разрушения.

4. Предложенный и развитый в диссертационной работе подход позволяет учитывать такие реальные свойства твердых тел, как неоднородность, анизотропия, сложная геометрия внутренних и внешних границ. Это имеет определенное значение при решении ряда практически важных задач о деформировании и разрушении реальных тел. Алгоритм для расчета деформирования и разрушения анизотропных сред на основе модифицированного и адаптированного численного метода с применением метода раздвоения точек сетки используется в настоящее время в ИНГГ СОР АН и на кафедре геофизики ТПУ.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Проведенная модификация классического метода Уилкинса делает возможным численно решать задачи о деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработанный подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред позволяет адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллической среды на мезоуровне, т.е. для нескольких кристаллов, с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Численно исследовано поведение трещины при достижении ее вершиной границ зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями зерен.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются выбором адекватной математической модели для описания анизотропной среды, корректностью математической постановки решаемых задач, использованием апробированного численного метода, решением модельных и тестовых задач, для которых проведено сравнение с аналитическими, экспериментальными или численными результатами других авторов.

Апробация результатов исследования и публикации

Основное содержание работы опубликовано в 13 работах, из них 2 статьи опубликованы в журнале из списка ВАК.

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции «Сопряженные задачи механики и экологии» (Томск, 1996), V Всероссийской научно-технической конференции молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998), Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в синергетических системах» (Улан-Удэ - Томск, 1999), Международной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию и разработке новых материалов (Томск, 2006 и 2009), школе-семинаре «Геомеханика и геофизика» (Новосибирск, 2008), Всероссийской конференции «Сопряженные задачи механики реагирующих сред, информатики и экологии» (Томск, 2009).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 205 наименований. Общий объем работы - 165 страниц машинописного текста.

Во введении обосновывается актуальность и новизна исследования, раскрывается его теоретическая и практическая значимость, формулируются цели и задачи, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

Первый раздел содержит обзорный материал по полуаналитическим и численным методам вычисления упругих волновых полей в анизотропных средах, по моделям сред, используемых при описании деформирования и разрушения твердых тел. Рассмотрены некоторые подходы к описанию разрушения конденсированных сред.

Во втором разделе приведены необходимые, на взгляд автора, сведения из кристаллографии, записаны основные уравнения гипоупругой среды, поставлена задача об упругом деформировании анизотропной среды. Здесь же изложена конечно-разностная схема Уилкинса и ее модификация для анизотропных сред. Приведена методика численного описания упруго-хрупкого разрушения, основанная на идее раздвоения точек расчетной сетки, и обоснован выбор критерия разрушения.

Третий раздел посвящен созданию и отладке пакета программ для расчета волновых полей в произвольно неоднородных средах с различной ориентацией кристаллических зерен и моделирования процесса распространения хрупкой трещины отрыва в таких средах. Для проверки правильности работы алгоритма решен ряд тестовых задач: задача о действии сосредоточенного источника на полупространство (задача Лэмба) для изотропной и анизотропной сред; задача о падении плоской волны на монокристалл цинка, ось которого повернута относительно оси задачи на произвольный угол, и на изотропную среду с анизотропным включением; задача о растяжении образца с трещиной. Показаны особенности, которые привносит в напряженно-деформированное состояние трещина с острой вершиной. Получены волновые поля, излучаемые при распространении трещины. Результаты сравниваются с известными теоретическими данными и результатами физических и численных экспериментов.

Четвертый раздел посвящен численному исследованию упругого деформирования и хрупкого разрушения пресного льда. В начале раздела приведены обзорные данные по физико-механическим свойствам льда. Далее проведен анализ волнового поля в задаче Лэмба и построены кривые фазовых скоростей и медленностей для монокристалла льда. Решены задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при ее взаимодействии с границей зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: с явным учетом и без явного учета плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С составляла различные углы с направлением прилагаемой нагрузки. Для каждого случая сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

В результате решения задачи о взаимодействии трещины с границей произвольно ориентированного зерна показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам.

Результаты, полученные в четвертом разделе, не противоречат теоретическому представлению изучаемых процессов, качественно хорошо соответствуют данным физического моделирования.

В заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.

4.5 Выводы

На основе численного моделирования с использованием методологии раздвоения точек сетки рассмотрен случай разрушения анизотропной среды при деформировании. В качестве объекта исследования взят анизотропный озерный лед. Наличие в литературе сведений о результатах лабораторного моделирования предопределило совокупность решаемых задач. Это задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при падении на границу зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: без учета и с учетом плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С имела две ориентации: коллинеарно и перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

Решена задача о падении трещины на границу произвольно ориентированного зерна. Показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы над диссертацией проведено теоретическое исследование деформирования вплоть до разрушения анизотропных сред на основе конечно-разностного моделирования с использованием метода раздвоения точек сетки. Рассмотрены среды с гексагональной симметрией (цинк и лед). Результаты исследований имеют существенное значение как для развития новых фундаментальных подходов к описанию деформирования и разрушения анизотропных сред, так и для механики деформируемого твердого тела в целом.

При построении физико-математической модели важными были следующими моменты. Во-первых, принято, что среда, которая ведет себя на уровне отдельных частиц как упруго-хрупкая, на макроуровне хорошо описывается соотношениями упруго-пластичности. Во-вторых, для существенно трехмерных задач деформирования и разрушения анизотропных сред, численная реализация которых сопряжена с созданием довольно сложных, трудоемких алгоритмов, сделан ряд упрощений, позволяющих решать такие задачи в двумерной постановке в условиях плоской деформации. Для сред с гексагональной симметрией это возможно в силу их трансверсальной изотропии по упругим свойствам.

В третьих, гипоупругость вводится на этапе написания определяющих соотношений, а хрупкость - на этапе численных расчетов. Таким образом, построена физико-математическая модель упруго-хрупкой анизотропной среды (на примере среды с гексагональным строением) и развита методика, позволяющая изучать процессы деформирования и разрушения с образованием свободных поверхностей произвольно неоднородных сред в условиях плоской деформации.

Решены несколько модельных задач в двумерной постановке для условий плоской деформации.

Для задачи Лэмба в изотропном полупространстве сопоставление проводится с имеющимися данными физического моделирования. Для расчета волнового поля в анизотропной среде (цинке) результаты сравниваются с теоретическими. Приводятся зоны области рефракции (области неоднозначности волновых поверхностей), лучевые поверхности. Сравнение проводится с аналитическими волновыми поверхностями для кристалла цинка. Сравнение теоретических лучевых поверхностей и результатов численного моделирования говорит о применимости модели гипоупругой среды и численного алгоритма к решению прямых волновых задач для сред с гексагональной симметрией.

Изучено влияние начальной трещины (надреза) на напряженно-деформированное состояние при отрыве. Получена концентрация напряжений при деформировании среды с имеющимся надрезом, проведено сравнение с результатами, полученными методом фотоупругости. Показано, что вершина трещины отрыва является энергетическим стоком, что имеет теоретическое подтверждение. Таким образом, разработанный алгоритм может быть использован для расчетов распространения упругих волн в поликристаллических средах на мезоуровне и для решения задач для тел с трещинами.

На основе численного моделирования с использованием методологии раздвоения точек сетки рассмотрен случай разрушения анизотропной среды при деформировании. В качестве объекта исследования взят анизотропный озерный лед. Наличие в литературе сведений о результатах лабораторного моделирования предопределило совокупность решаемых задач. Это задачи о деформировании монокристаллов льда при различных ориентациях главной кристаллографической оси относительно направления прилагаемой нагрузки и задача о ветвлении трещины при ее взаимодействии с границей зерен.

При решении задач о деформировании монокристаллов льда рассмотрены два случая: без учета и с учетом плоскостей скольжения. В каждом случае кристаллографическая ось С имела две ориентации: коллинеарно и перпендикулярно направлению прилагаемой нагрузки. Сделан вывод о том, что при различных ориентациях оси С напряженно-деформированные состояния монокристаллов качественно и количественно различны.

Решена задача о взаимодействии трещины с границей произвольно ориентированного зерна. Показано, что в случае, когда кристаллографическая ось зерна не коллинеарна линии трещины, дальнейшее распространение трещины происходит не вглубь зерна, а по его границам. Результаты, полученные в четвертом разделе, качественно хорошо соответствуют данным физического моделирования.

Таким образом, получены следующие основные результаты:

1. Проведена модификация классического метода Уилкинса, она позволяет численно решать задачи о деформировании анизотропных сред, образовании в них трещин и росте этих трещин.

2. Разработан подход к описанию неоднородных сложнопостроенных сред, который позволяет адекватно рассчитывать деформационный отклик поликристаллической среды на мезоуровне, т.е. для нескольких кристаллов, с учетом различной ориентации последних.

3. Численно исследовано деформирование монокристалла льда для различных углов ориентации кристаллографической оси; показана возможность явного учета плоскостей скольжения.

4. Проведен расчет взаимодействия трещины с границей зерен. Получено ветвление трещины при определенном угле между направлением трещины и главными кристаллографическими осями кристаллов.

1. Адамов А.А., Голотина Л.А., Кожевникова Л.Л. и др. Проблема конти-нуализации для зернистых композитов на основе анализа их мезоуровня // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 3. - С. 109-113.

2. Айзенберг-Степаненко М.В., Шер Е.Н. Моделирование волновых явлений в структурированных средах // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 47-57.

3. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: Теория и методы: В 2-х т. / Пер. с англ. М.: Мир, 1983. - 520 с.

4. Алеексеев А.С., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1961. - № 5. - С. 3-24.

5. Алексеев А.С., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. -Л., 1959. -№3.- С. 16-47.

6. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. О задаче Лэмба для неоднородного полупространства // ДАН СССР. 1974. - Т. 214. - С. 84-86.

7. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

8. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2001. - 562 с.

9. Ахмадеев Н.Х. Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений. -Уфа: БФАН СССР, 1988. 168 с.

10. Аэро Э.Л. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. 1965. - Т.29. -№2. - С. 297-308.

11. Аэро Э.Л. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. 1960. - Т.2. - № 7. - С. 1399-1409.

12. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1961.-Вып. 5.-С. 36-46.

13. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б., Хаптанов В.Б. Измерение деформации пресноводного ледяного покрова горизонтальной электрической антенной // ЖТФ. 2007. - Т. 77. - Вып. 1. - С. 124-126.

14. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений // Изв. вузов. Физика. 1992. - №8. - С. 5-48.

15. Белов Н.Н., Коняев А.А., Стуканов А.Л. и др. Исследование поведения конструкционных материалов при взрывном и ударном нагружениях // Изв. РАН. МТТ. 1997. - №1. - С. 64-70.

16. Белослудов В.Р., Инербаев Т.М., Шпаков В.П. и др. Модули упругости и границы стабильности льдов и клатратных гидратов кубической структуры I // Рос. хим. ж. 2001. - т. XLV. - № 3. - С. 45-50.

17. Богородский В.В. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии- Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 384 с.

18. Богородский В.В., Гаврило В.П., Недошивин О.А. Разрушение льда. Методы, технические средства. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. - 267 с.

19. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - № 3. - С. 33-40.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987.-542 с.

21. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. М.: Металлургия, 1987.-280 с.

22. By Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред // Механика композиционных материалов. М.: Мир, 1985. - С. 401-491.

23. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ. / Под ред. С. Атлури. М.: Мир, 1990. - 392 с.

24. Гадолин А.В. Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала. Л.: Изд-во Академии Наук СССР, 1954.- 156 с.

25. Гриднева В.А., Корнеев А.И., Трушков В.Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы // Известия АН СССР. МТТ. 1977. - № 1. — С. 146-157.

26. Гриднева В.А., Немирович-Данченко М.М. Метод раздвоения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел. Томск, 1983. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.06.83, № 3258.

27. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численное моделирование криволинейной трещины откола при соударении пластин // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы IX Всес. конф. -Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 117-121.

28. Демидов В.Н. О расщеплении волн сдвига в изотропных гипоупругих материалах // Физ. мезомех. 2000. - Т. 3. - № 4. - С. 15-36.

29. Демидов В.Н., Корнеев А.И. Схема распада разрыва в подвижных сетках для расчета течений сжимаемой упруго-пластической среды. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Томск: Изд-во Томского университета, 1985. С. 19-29.

30. Диман Е.Н. Три мезоуровня в геологии // Физ. мезомех. 2004. - Т. 7. -№ Спец 1.-С. 120-123.

31. Дружинин А.Б. Краевые волны в анизотропной среде // Геология и геофизика. 1990.-№ 3. - С. 118-129.

32. Дучков А.Д., Истомин В.Е., Казанцев С.А. Температурный режим льда оз. Байкал и связанные с ним внутренние напряжения и смещения в ледяной плите // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 87-92.

33. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. Пер. с франц. -М.: Наука, 1982. 424 с.

34. Евтушенко Е.П., Макаров П.В., Смолин И.Ю. Расчет напряженно-деформированного состояния поверхностных слоев материалов на мезо-уровне // Физ. мезомех. 2006. - Т. 9. - № СпецВ. - С. 29-32.

35. Енохович А.С. Краткий справочник по физике. — М.: Высшая школа, 1976.-288 с.

36. Епифанов В.П. Разрыв и динамическая твердость льда // ДАН. 2004. -Т. 394.-№6.-С. 763-766.

37. Епифанов В.П., Юрьев Р.В. Вязкость разрушения пресного льда // ДАН. -2006.-Т. 406.-№2.-С. 187-191.

38. Еремеев В.А. О локальной группе материальной симметрии в механике микрополярных сред // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. - № 14. - С. 62-73.

39. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. -М.: Высшая школа, 1983.-399 с.

40. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102. Вып. 4. - С. 550-584.

41. Зацепина Г.Н. Физические свойства и структура воды. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 172 с.

42. Зольников К.П., Уваров Т.Ю., Псахье С.Г. Об анизотропии процессов пластической деформации и разрушения при динамическом нагружении // Письма в ЖТФ. 2001. - Т. 27. - Вып. 7. - С. 1-7.

43. Зольников К.П., Чернов В.М., Коноваленко Ив.С. и др. О влиянии меж-зеренных границ и свободной поверхности на энергетические параметры точечных дефектов и их комплексов // Физ. мезомех. 2005. -Т. 8. — № СпецВ.-С. 21-24.

44. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник. 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1990.-310 с.

45. Исследования распространения сейсмических волн в анизотропных средах. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. 192 с.

46. Истомин В.Е., Дучков А.Д. Начальные стадии термически активированного разрушения ледового покрова оз. Байкал // Физ. мезомех. 2008. — Т. 11.-№4.-С. 61-66.

47. Йошида С. Физическая мезомеханика как полевая теория // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8,-№5. -С. 17-22.

48. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. 312 с.

49. Келлер И.Э. Фрагментация геометрически-нелинейной моментной кристаллической среды // Изв. РАН. МТТ. 2003. - № 2. - С. 105-115.

50. Келлер И.Э. Фрагментация металлов при больших деформациях: один механизм образования пространственно-модулированных вихревых структур // ПМТФ. 2002. - Т. 43. - № 2. - С. 176-186.

51. Киселев А.Б. Численное моделирование в трехмерной постановке наклонного пробивания тонких преград // Численное решение задач волновой динамики. Математические исследования. Вып. 108 Кишинев: Штиинца, 1989.-С. 19-26.

52. Киселев А.Б., Кабак Н.Е. Метод построения расчетных сеток с выделением внутренних контактных границ // Моделирование в механике — 1990. Т.4(21). - № 5. - С. 96-110.

53. Киселев А.Б., Юмашев М.В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругой среды // ПМТФ. 1990.-№5.-С. 58-65.

54. Кобаяси Т., Делли Д. Зависимость между скоростью трещины и коэффициентом интенсивности напряжений в полимерах с двойным лучепреломлением // Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин.-М.: Мир, 1981.-С. 101-119.

55. Кобаяши А. Исследование разрушения поляризационно-оптическим методом. // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 3.-352 с.

56. Кобенко С.В., Кривошеина М.Н., Радченко А.В. Моделирование разрушения ортотропной пластины при ударе с использованием различных критериев прочности // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. - Т. 10. - № 3. - С. 347-354.

57. Кобенко С.В., Кривошеина М.Н., Радченко А.В. Моделирование динамического разрушения ортотропных пластин при произвольной ориентации осей симметрии материала // Механика композиционных материалов и конструкций. — 2005. Т. 11. — № 3. — С. 409-418.

58. Костров Б.В. Распространение трещин с переменной скоростью // ПММ. 1974. - Т. 38. - Вып. 3. - С. 551-567.

59. Кочарян Г.Г., Павлов Д.В. Нарушение и залечивание зон локализации деформаций в массиве горных пород // Физ. мезомех. 2007 - Т. 10. - № 1.-С. 5-18.

60. Крауч С., Старфильд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

61. Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости // ФТТ. 1969. - Т. 5. - № 9. - С. 2591-2598.

62. Куропатенко В.Ф. Мезомеханика однокомпонентных и многокомпонентных материалов // Физ. мезомех. 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 49-55.

63. Кфури А., Райе Дж. Скорость высвобождения энергии деформации трещины при увеличении ее размера на конечную величину в упругопла-стической среде // Механика разрушения. Разрушение материалов. М.: Мир, 1979.-С. 19-39.

64. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. 2003. - Т. 6.-№4.-С. 111-124.

65. Макаров П.В., Карпенко Н.И., Смолин И.Ю. и др. Изучение деформации и разрушения геоматериалов и геосред как иерархически организованных систем // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № СпецВ. - С. 17-20.

66. Малинин В.Г., Малинина Н.А. Структурно-аналитическая мезомеханика деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 5. -С. 31-45.

67. Малунин В.Р. Моделирование композиционного материала в конструкциях // Математическое моделирование. 2002. - Т. 14. - № 9. - С. 1518.

68. Маэно Н. Наука о льде. М.: Мир, 1988. - 229 с.

69. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974. — 318 с.

70. Мельникова Н.А., Немирович-Данченко М.М. Методика расчета упругих волновых полей для мезообъема, содержащего несколько разноори-ентированных кристаллов с различными свойствами // Физ. мезомех. — 2006.-Т. 9. — № 1. С. 103-110.

71. Метод фотоупругости: В 3 т. / Под общ. ред. Н.А. Стрельчука и Г.Л.Хесина. -М: Стройиздат, 1975. Т. 2. - 367 с.

72. Механика и физика льда / Под. ред. Р.В. Гольдштейна. М.: Наука, 1983.- 174 с.

73. Миндлин Р.Д. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика. 1964. - Т.86. - № 4. - С. 80-114.

74. Михайленко Б.Г. Метод решения динамических задач сейсмики для двумерно-неоднородных моделей сред // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246.-№ 1.-С. 47-51.

75. Михайленко Б.Г. Расчет теоретических сейсмограмм для многомерно-неоднородных моделей сред // Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. — Новосибирск, 1978.-С. 75-88.

76. Михайленко Б.Г. Сейсмические поля в сложнопостроенных средах. -Новосибирск: Наука, 1988. -310 с.

77. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. «Квантовая» природа и двойственный характер динамики разрушения твердых тел // ДАН. — 2002. Т. 382. - № 2. - С. 206-209.

78. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954. - 648 с.

79. Мясников А.В., Осипов К.С., Ярушина В.М. и др. Реологический мониторинг рапространения волн в многофазных многокомпонентных средах: обзор // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 1. - С. 73-86.

80. Назаров JI.A. Исследование поля напряжений в упругом полупространстве при касательной сосредоточенной динамической нагрузке на его поверхности // ФТПРПИ. 1982. - № 3. - С. 41-46.

81. Немирович-Данченко М.М. Математическое моделирование распространения упругих волн, возбуждаемых в анизотропных и неоднородных средах и в жидкостях: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1993. -199 с.

82. Немирович-Данченко М.М. Модель гипоупругой хрупкой среды и ее применение в сейсмике: Дисс. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2004. 297 с.

83. Немирович-Данченко М.М., Колесников Ю.И. О различных сценариях распространения трещин в геоматериалах // Физ. мезомех. 2003. - Т.6. -№ 1.-С. 33-40.

84. Немирович-Данченко М.М., Мельникова Н.А. Численная оценка особенностей разрушения мезообъема анизотропной среды // Физ. мезомех. -2009.-Т. 12.-№ 1.-С. 127-130.

85. Немирович-Данченко М.М., Мусабиров П.И., Рябова Н.А. Акустическая эмиссия движущейся трещины // Сопряженные задачи механики и экология: Тез. докл. Междунар. конф. 29 сентября 4 октября 1996. -Томск, 1996. С. 146-147.

86. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. 1995. - Т. 36. — № 11.-С. 96-105.

87. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. - 272 с.

88. Осипов И.О. Обобщение метода функционально-инвариантных решений для динамических задач плоской теории упругости анизотропных сред // ПММ. 2000. -Т. 64. - Вып. 6. - С. 1004-1019.

89. Осипов И.О. Отражение и преломление плоских волн на границе раздела изотропных и анизотропных сред // МТТ. 2004. — № 6. - С. 69-101.

90. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. 1964. - Т. 28. - Вып. 3. - С. 401-408.

91. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики // Физ. мезомех. 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.

92. Юб.Панин В.Е. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. 2003. -Т. 6.-№4.-С. 9-36.

93. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.

94. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990. - 240 с.

95. Песчанский И.С. Ледоведение и ледотехника. — Л.: Гидрометеоиздат, 1967.-461 с.

96. ПО.Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -Л.: Наука, 1980.-280 с.111 .Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто-изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Учен. зап. ЛГУ. 1952. №162. С. 136-189.

97. ПЗ.Попов В.Л., Кренер Э. О роли масштабных уровней в теории упругопла-стичности//Физ. мезомех. 1998.-Т. 1.-№1.-С. 109-118.

98. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М: ИЛ, 1963. - 312 с.

99. Псахье С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов//Физ. мезомех. 1998.-Т. l.-№ 1.-С. 95-108.

100. Пб.Радченко А.В., Кобенко С.В. Зависимость разрушения анизотропного материала от ориентации упругих и прочностных свойств при ударе // Доклады РАН. 2000. - Т. 389. - № 1. - С. 49-54.

101. Райс Дж. Математические методы в механике разрушения // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица. М.: Мир, 1975. Т. 2. С. 204-335.

102. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.-418 с.

103. Романова В.А. Исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме материалов с внутренними границами раздела методами численного моделирования // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 6378.

104. Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для анизотропного тела // ПММ. 1961. - Т. 25. - Вып. 5. - С. 885-896.

105. Свекло В.А. Упругие колебания анизотропного тела // Учен. Зап. ЛГУ. Сер. мат. наук. 1949. Вып. 17. С. 28-71.

106. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. -М.: Наука, 1983. 528 с.

107. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1984. - 568 с.

108. Синюков В.В. Вода известная и неизвестная — М.: Знание, 1987. — 176 с.

109. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука, 1975.-680 с.

110. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. -374 с.

111. Слепян Л.И. О взаимодействии пластины с жидкостью при ударе // Инж. ж-л, МТТ. 1966. - № 6. - С. 11-23.

112. Смирнов В.И., Соболев C.JI. Новый метод решения плоской задачи упругих колебаний // Труды сейсмологического ин-та АН СССР. 1932. № 20. С. 1-37.

113. Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Псахье С.Г. Совместное использование дискретного и континуального методов для моделирования процессов деформации и разрушения в области контактного взаимодействия // Физ. мезомех. 2004. - Т. 7. -№ Спец. 1. - С. 70-73.

114. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов. — 2006. № 14. - С. 189-205.

115. Смолин И.Ю. О применении модели Коссера для описания пластического деформирования на мезоуровне // Физ. мезомех. 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 49-62.

116. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. мезомех. 2005. -Т.8. - № 3. - С. 129-142.

117. Стефанов Ю.П. Численное моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных твердых тел под действием механических нагрузок: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1999. 177 с.

118. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: Курс лекций Ч. 1. Общая теория. Пермь: Перм. гос. тех. ун-т. 2006. - 173 с.

119. Уикс У.Ф., Ассур А. Разрушение озерного и морского льда // Разрушение: в 7 т. / Под ред. Г. Либовица.-М.:Мир, 1975. Т. 1.4. 1. С. 513-623.

120. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967. С. 212-263.

121. Упругие волны в гиротропных и анизотропных средах: Сб. науч. тр. -Новосибирск: ВО «Наука». Сибирская издательская фирма, 1993. 216 с.

122. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -Л.: Наука. Ленингр. отд., 1967. -402 с.

123. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965. -388 с.

124. Физика и механика льда. Пер. с англ. Механика / под ред. П. Трюде -М.: Мир, 1983. Вып. 30. - 348 с.

125. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. / Под ред. В.Е.Панина. Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. -298 с.

126. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением// Изв. Тульского госун-та. 2000. Т. 6. -Вып. 2. -С.160-164.

127. Хачай О.А., Хачай О.Ю. Изучение, оценка и классификация устойчивости геологической среды с использованием данных активного геофизического мониторинга на основе парадигмы физической мезомеханики // Физ. мезомех. 2007. - Т. 10. - № 2. - С. 87-92.

128. Хеллан К. Введение в механику разрушения. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-364 с.

129. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

130. Цванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах // Известия АН СССР. Физика Земли. -1989.-№7.-С. 12-27.

131. Черепанов О.И. Численное моделирование деформации материалов с учетом неустойчивой ветви sigma-epsilon-диаграммы // Физ. мезомех. -1999.-Т. 2.-№ 1-2.-С. 5-16.

132. Черноус Д.А., Шилько С.В. Исследование упругой анизотропии откры-топористых материалов // Физ. мезомех. 2006. - Т. 9. - № 4. - С. 79-84.

133. Шавлов А. В. Лед при структурных превращениях. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 188 с.

134. Шаскольская М.П. Кристаллография. — М.: Высшая школа, 1984. 363 с.

135. Шибков А.А., Желтов М.А., Королев А.А. и др. Влияние поверхностной кинетики на дендритный рост льда в переохлажденной воде // Кристаллография. 2004. - Т. 49. - № 6. - С. 1154-1162.

136. Шоки Д., Симен Л., Керрен Д. Расчет распространения и остановки трещины на основе моделирования микроразрушения в ее вершине // Механика разрушения. Быстрое разрушение, остановка трещин. М.: Мир. 1981.-С. 120-133.

137. Шульман Л.М. Ядра комет. -М.: Наука, 1987. 230 с.

138. Шумский П.А. Динамика и тепловой режим ледников. М.: Наука, 1983. -86 с.

139. Atkinson С., Eshelby J.D. The flow of energy into the tip of a moving crack // Int. J. Fracture Mechanics. 1968. - V. 4. - №. 1. - P. 3-18.

140. Barnes W. H. -Proc. R. Soc., 1929, A 125, 670.

141. Bernal J. D., Fowler R. H. A theory of water and ionic solution with particular reference to hydrogen and hydroxylions. J. Chem. Phys., 1933, vol. 1, № 3, p. 515-548.

142. Bragg W. H. The crystal of ice. Proc. Phys. Soc., 1922, № 34, P. 98-103.

143. Carcione J.M., Seriani G., Priolo E. Wave simulation in 3-D anisotropic-viscoelastic media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1251-1254.

144. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables / E. Cosserat et F. Cosserat. -Paris, 1909. vi+226 pp. (Appendix, pp. 953-1173 of Chwolson's Traite de Physicue. 2nd ed., Paris).

145. Dablain M. The application of high-order differencing to the scalar wave equation // Geophysics. 1986. -V. 51. - P. 54-66.

146. Elwi A.E. and Murray D.W. A 3D Hypoelastic Concrete Constitutive Relationship // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. 1979. -105(4)-P. 623-642.

147. Eringen A.C. Linear theory of micropolar viscoelasticity // Int. J. Eng. Sci. -1967. Vol. 5. - № 2. - P. 191-204.

148. Eringen A.C. Theory of micropolar fluids // J. Math. Mech. 1966. - Vol. 16.l.-P. 1-18.

149. Eshelby J.D. Elastic Inclusions and Inhomogeneities / In: Progress in Solid Mechanics. V. 2. Eds. I. N. Sneddon and R. Hill. Amsterdam: North-Holland.- 1961.-P. 89-140.

150. Eshelby J.D. The Determination of the Elastic Field of an Elliptical Inclusion, and Related Problems // Proc. Roy. Soc. 1957. - V. A241. - P. 376-396.

151. Eshelby J.D. The Elastic Field Outside an Ellipsoidal Inclusion // Proc. Roy. Soc. 1959. - V. A252. - P. 561-569.

152. Eskola L. Geophysical interpretation using integral equations. London: Chapman and Hall, 1992. - 191 p.

153. Griffith A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in Solids // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1920. -V. A221. -P. 162-198.

154. Griffith A. A. The Theory of Rupture // Proc. of First Int. Congress of Applied Mechanics. Delft. 1924. P. 53-63.

155. Harris D. A hyperbolic well-posed model for the flow of granular materials/ D. Harris, E. Grekova // J. Eng. Mathematics. 2005. - Vol. 50. - P. 1-29.

156. Heiner I. Wave propagation in three-dimensional spherical sections by the Chebyshev spectral method // Geophys. J. Int. 1999. - V. 136. - P. 559-566.

157. Inoue Т., Miyatake T. 3-D simulation of near-field strong ground motion based on dynamic modeling // Bulletin of the seismological society of America. 1995. - V. 88. - № 6. - P. 1445-1456.178Jaumann G. Die Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig, 1905.

158. Jaumann G. Sitzungsberichte Akad. Wiss. Wien (Ila), 120 (1911), 385.

159. Koiter W.T. Couple-stresses in the theory of elasticity. Pt I-П / W.T. Ко iter // Proc. Koninkl.Neterland. Akad. Wetensh. 1964. - Vol. B67. № 1. - P. 1744.

160. Kwon M., Spacone E. Three-dimensional finite element analyses of reinforced concrete columns // Computer and Structures. — 2002. — № 80. P. 199-212.182.bin Т.Н. Physical theory of plasticity // Advances in Applied Mechanics. -1971.-V. 11.-P. 255-311.

161. Magistrate H., Day S. 3-D simulations of multi-segment thrust fault rupture // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. - № 14. - P. 2093-2096.

162. Mansuy P. Contribution a l'etude du comportement viscoplqstique d'un multicristal de glase: heterogeneite de la deformation et localisation, experiences et modeles. These de doctorat de l'Universite Joseph Fourier -Grenoble I. 2001.

163. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the halfspace and the sphere // Geo-phys. J. Roy. Astr. Soc. 1984. -V. 76. - P. 53-63.

164. Mikhailenko B.G. Numerical experiments in seismic investigations // Journal of Geophysics 1985. - № 58. - P. 101-124.

165. Mikhailenko B.G. Synthetic seismograms for complex threedimensional geometries using an analytical-numerical algorithm // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - V. 79. - № 3. - P. 963-986.

166. Mikhailenko B.G., Korneev V.I. Calculation of synthetic seismograms for complex subsurface geometries by a combination of finite integral Fourier transforms and finite-difference techniques // J. Geophysics. 1984. - № 54. -P. 195-206.

167. Musgrave M.J.P. On the propagation of elastic waves in aelotropic media // Proc. Roy. Soc. 1954. - V. 226. - № 1166. - P. 339-366.

168. Nielsen P. Numerical modelling of seismic waves: on the elimination of grid artifact / Norsk Hydro Research Center, N-5020, Bergen, Norway, 1994. 47 P

169. Nielsen P., If F. Per Berg and Ove Skongaard Using the pseudospectral method on curved grids for 2D elastic forward modelling // Geophysical Prospecting. 1995. - V. 43. - P. 369-395.

170. Numerical methods used in atmospherical models // GARP Publication Series. 1979. - № 17.-V. 11.

171. Pereyra V., Richardson E. 3-D finite-element and ray tracing simulation of elastic wave propagation in complex geology // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1227-1231.

172. Petho A. Constitutive modeling of shape memory alloys based on a finite strain description // Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng. 2000. - V. 44. -№ l.-P. 115-126.

173. Renardy M., Roges R. Shock conditions for hypoelastic materials // Theor. Сотр. Fluid Dyn. 1993. - № 5 - P. 162-170.

174. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems // Wiley-Intersci.: New York, 1967. 405 p.

175. Romensky E.I. Hypoelastic form of equations of nonlinear elasticity theory. // Journ. Appl. Mech. Techn. Phys. 1974. - Vol. 15. - № 2 - P. 133-138.

176. Schulson E.M., Fortt A.L., Iliescu D., Renshaw C.E. On the role of frictional sliding in the compressive fracture of ice and granite: Terminal vs. post-terminal failure // Acta Materialia. 2006. - № 54. - P. 3923-3932.

177. Seriani G., Priolo E., Carcione J., Padovani E. High-order spectral element method for elastic wave modeling // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. -P. 1285-1288.

178. Steverding В., Werheiser A. A model for dynamic fracture // J. Mech. Engng Sci., 1971.-V. 13. -№ 3. P. 99-103.

179. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. Mech. Anal.- 1964. Vol. 17. - № 2. - P. 85-112.

180. Trefethen L.N. Group velocity in finite difference schemes // Society of industrial and applied mathematics review. 1982. - V. 24. - P. 113-136.

181. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. 1986. - V. 57. - P. 889-901.

182. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1975. - V. 24. - P. 109-114.

183. Zapperi S., Vespignani A. H. Eugene Stanley Plasticity and avalanche behaviour in microfracturing phenomena // Nature. 1997. - V. 388. - P. 658660.