Численное решение двумерных стационарных внутренних задач дозвуковой газовой динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Хакимзянов, Гаяз Салимович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ
1983 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.07 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Численное решение двумерных стационарных внутренних задач дозвуковой газовой динамики»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Хакимзянов, Гаяз Салимович

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Расчет функции тока и численное решение задачи о потенциальном течении идеальной жидкости.

§ 1.3. Вычисление функции вихря.

§ 1.4. Численное решение задачи • о\~вйХревом течении несжимаемой жидкости.

ГЛАВА П. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ДВУМЕРНЫХ ДОЗВУКОВЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Расчет потенциальных дозвуковых течений идеального газа.

§ 2.3. Расчет вихревых течений идеального газа.

§ 2.4. Расчет давления.

ГЛАВА Ш. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА.

§ 3.1. Расчет течений газа в трубах с пористыми стенками.И

§ 3.2. Расчет течений газа в узких пространственных щелях в квазидвумерном приближении.

§ 3.3. Расчет смешанных течений в соплах и газовых трактах сложной конфигурации.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Численное решение двумерных стационарных внутренних задач дозвуковой газовой динамики"

Модель двумерных установившихся течений идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости имеет широкий круг приложений в практике и уже давно является предметом интенсивных исследований с помощью методов механики сплошной среды [1-7] . Аналитическим исследованиям в рамках этой модели посвящено большое число работ, в которых были выявлены основные качественные закономерности газодинамических течений. Вместе с тем для большинства практически важных задач получить детальную картину установившегося течения идеальной жидкости можно лишь с помощью приближенных методов, в частности конечно-разностных. Поэтому разработка эффективных численных алгоритмов решения задач из указанного класса является актуальной, тем более, что роль вычислительного эксперимента в изучении сложных физических явлений в связи с совершенствованием вычислительной техники существенно возрастает [8-11] .

С другой стороны развитие метода вычислительного эксперимента связано с широким внедрением модульного принципа при построении программ [12,13] , основанного на расчленении некоторой сложной задачи на ряд более простых, среди которых, в частности, может оказаться и задача о течении идеальной жидкости. В этом случае от эффективности метода численного решения последней будет зависеть возможность проведения вычислительного эксперимента в целом.

К настоящему времени уже имеется ряд методов решения задач об установившихся течениях идеальной жидкости. Самым распространенным из них является метод установления, суть которого заключается в выборе в качестве решения стационарных уравнений предельного во времени решения соответствующей неетационарной задачи. Наиболее плодотворным оказалось применение этого метода к расчету смешанных течений, содержащих области как дозвуковых, так и сверхзвуковых скоростей с заранее неизвестными границами [14] . Однако недостатком метода является его медленная сходимость для дозвуковых течений [15-22, 123, 124], особенно при наличии обширных зон с малыш дозвуковыми скоростями потока сжимаемой жидкости. Так как задача о течении идеальной жидкости является в общем случае лишь элементом в более сложной задаче, то время численного решения последней может неприемлемо для практики возрасти, и поэтому разработка других методов расчета дозвуковых потоков является актуальной.

Причины плохой сходимости метода установления при расчете дозвуковых течений кроются в специфике гиперболических уравнений, появляющихся в нестационарной задаче: возмущения распространяются, взаимодействуя между собой, по характеристикам системы уравнений с конечной скоростью [2 ] . Рассмотрим для примера такую простую модельную задачу для гиперболического уравнения:

X£Q--CO;l)bO(i) а(.(Н)-^ coast 5 (з) где CL - Const >0 • Тогда видно, что стационарное решение получается только при "t ^ t^ = 1 /CL и при малой "скорости" (X время выхода на стационарный режим t^ становится большим.

С другой стороны, установление в задаче (1)-(3) происходит потому, что начальные возмущения ИДОС) выносятся из области течения. В случае уравнений газовой динамики при дозвуковых скоростях потока эволюция во времени начальных данных имеет более сложный характер: возмущения распространяются как вниз, так и вверх по потоку и, взаимодействуя с границами, изменяют свои параметры. Такое движение возмущений внутри области может продолжаться бесконечно долго, причем без установления течения.

В связи с указанным недостатком метода установления в последнее время появились работы, в которых делаются попытки "подправить" метод либо за счет специального выбора граничных условий с целью создания механизма гашения начальных возмущений, либо за счет изменения самих уравнений, оставаясь при этом в рамках нестационарной задачи. Так, в работах [125-127] предлагается использовать на входных и выходных участках границы области течения "неотражающие" граничные условия, зависящие от параметра, выбирая который оптимальным образом можно получить наибольшую скорость сходимости к стационарному решению. Однако при всей привлекательности такого подхода его применение на практике весьма ограничено, так как зачастую сама физическая постановка задачи определяет граничные условия, не оставляя возможности для их варьирования.

В работе [123] предлагается нестационарные уравнения газовой динамики заменять на аналогичную сиетему, содержащую источниковые члены. Например, в случае модельной задачи (I)-(3) уравнение (I) заменяется двумя уравнениями введением новой зависимой переменной :

ЪО- Ъ\Л ~ CL —— - 0 (4)

Di ЬОС, где источниковый член Ki.ll ( Ю>0) в уравнении (5) служит для эффективного подавления начальных возмущений. В самом деле, после исключения С^- из системы (4)-(5), получается уравнение колебаний с затуханием ъа гЪ^а решение которого с ростом "Ь стремится к стационарному решению задачи (1)-(3). Таким образом, при указанном подходе подавление возмущений происходит внутри области, причем возникает проблема оптимального выбора К> с целью получения наибольшей скорости установления. Существенным недостатком метода является увеличение числа зависимых переменных в два раза, что может привести к определенным трудностям при численной реализации алгоритма ввиду ограниченности оперативной памяти ЭШ. Кроме того, возникают затруднения и с заданием граничных условий для новых зависимых переменных.

При переходе от общей математической постановки задачи к дискретной модели в качестве механизма гашения начальных возмущений выступает аппроксимационная вязкость [23] . При этом увеличение скорости установления достигается загрублением сетки или добавлением искусственной вязкости [24] , что однако снижает точность получаемого решения. С другой стороны, на этапе численного моделирования могут появиться другие факторы, увеличивающие время решения задачи на ЭВМ. Так, для задачи С1)-(3) время установления определяется областью малых скоростей". Если для расчета используется явная схема, то шаг по времени Т" должен удовлетворять условию устойчивости, которое обычно имеет вид [25]

X ^ / таос, | а I 7 О

Следовательно, при переменном коэффициенте & X определяется областью с большими "скоростями" потока и может оказаться значительно меньше той величины, которая допустима в области малых "скоростей". В результате для достижения потребуется слишком много шагов по времени. Аналогичные трудности при применении явных схем возникают, если используются неравномерные сетки [23, 27 ] .

Указанного недостатка лишены неявные разностные схемы [26,27] , однако их использование при расчете внутренних дозвуковых течений еще недостаточно апробировано.

Другим подходом, отличным от метода установления и пока значительно меньше освещенным в литературе, является построение численных алгоритмов непосредственно для стационарных уравнений гидрогазодинамики.

В работах, относящихся к этому направлению, предлагаются различные итерационные методы решения двумерной стационарной задачи, но возможности использования каждого из них в той или иной степени ограничены. Так, метод [28] применим только для течений с небольшими изменениями направления потока, методы [29, 128] - только при условии потенциальности внешних сил. Достаточно эффективной при численном расчете течений идеальной несжимаемой жидкости оказалась методика [30] , основанная на идее выделения в стационарной системе эллиптической и гиперболической частей, для каждой из которых могут применяться методы, наиболее приспособленные к решению данного класса уравнений. Однако и здесь имеются определенные трудности, связанные с использованием при решении уравнения для функции вихря на каждой внешней итерации метода установления, что при малых скоростях потока приводит к большим затратам времени счета полной задачи. Применение аналогичной методики совместно с переходом к новым независимым переменным [15-18] имеет с одной стороны некоторые преимущества по сравнению с [28, 29, 128] , но с другой стороны указанный переход затруднен в случае ненулевых правых частей, а также при сложной геометрии течения. Наконец, метод регуляризации разностного оператора [20] легко реализуется, по-видимому, только лишь для областей, составленных из прямоугольников.

Отмеченные выше недостатки существующих методов приводят к необходимости создания алгоритма решения стационарных задач дозвуковой газовой динамики, применимого при любой геометрии течения и независящего от типа внешних воздействий, простого в реализации и позволяющего получать численное решение за приемлемое для нужд практики время и с достаточной точностью.

Настоящее исследование, отражающее существо публикаций \3I-35] , имеет следующие цели:

1. Математическая постановка задач о двумерных установившихся внутренних течениях идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости с учетом возможности подвода массы, импульса и энергии внутри области и наличия входных и выходных участков на границе.

2. Разработка эффективного и достаточно универсального алгоритма для расчета течений из указанного класса.

3. Реализация алгоритма в виде комплекса программ, предназначенного для численного решения прикладных задач.

Работа состоит из введения, трех глав, отражающих методику, содержание и результаты выполненных исследований, заключения и приложения.

В главе I исследуются течения газа в предположении, что можно пренебречь сжимаемостью. Это приближение достаточно хорошо описывает газодинамические процессы для малых скоростей потока [1-3] и может быть выбрано в качестве начального при итерационном решении задач о течениях сжимаемой жидкости. Кроме того, проблема расчета течений несжимаемой идеальной жидкости имеет и самостоятельный интерес.

Математическая постановка задачи (§ 1.1) состоит в следующем: требуется найти в односвязной ограниченной области О. плоскости прямоугольных координат ОСцОх^ решение системы уравнений

Э г Э "Эр о удовлетворяющее краевым условиям

3 -У, (в) г?, а -0 з тМг «^(а), г

Г,

9) где а - вектор внешней нормали к границе области течения Г=П иГ иГо » состоящей, соответственно, из входа, О Л непроницаемой части и выхода. В случае модели плоскопараллельного течения для осесимметричных течений с осью симметрии 0х1 Н(Х)=Х{1, а при произвольной функции

2 (X) система (6)-(8) описывает так называемые квазидвумерные течения ^32 ].

В параграфе 1.1 доказывается существование обобщенного решения задачи о течении несжимаемой жидкости в области, граница которой состоит только из непроницаемой части и выхода. Для численного решения задачи производится расщепление системы (6)-(8) на эллиптическую и гиперболическую части введением новых зависимых переменных <|) и СО » где - аналог функции тока, 60 - функция вихря. При этом для С|) получается уравнение второго порядка эллиптического типа, а для 60 -первого порядка гиперболического типа.

В параграфе 1.2 для сеточной функции (|) выписывается система разностных уравнений и на основе анализа результатов методических расчетов выбирается наиболее подходящий итерационный метод для ее решения.

В параграфе 1.3 для системы разностных уравнений относительно функции вихря доказывается однозначная разрешимость и устойчивость по правой части. Предлагается эффективный алгоритм решения указанной системы, являющийся обобщением известного метода бегущего счета [23 ] .

В параграфе 1.4 строится итерационный алгоритм численного решения задачи о вихревом течении идеальной несжимаемой жидкости. Выбираются апцроксимационные формулы для расчета завихренности на входе в область течения аналогично тому, как это делается при расчете течений вязкой жидкости [44-53] . Теоретически и на основе численных экспериментов определяются оптимальные значения параметра релаксации, используемого в этих формулах для предотвращения расходимости итерационного процесса.

Глава 2 посвящена исследованию двумерных установившихся дозвуковых течений идеальной сжимаемой жидкости.

В § 2.1 дается математическая постановка задачи: найти в © решение системы уравнений

0Х1 'я, удовлетворяющее граничным условиям

Р^ -Р/в), 5-я -0, ры Нр-Н^) (14)

Ч ,0 и Ч

Введением функции вихря и аналога функции тока система уравнений (Ю)-(13) расщепляется на две подсистемы: одна состоит из уравнения эллиптического типа второго порядка для (|) , а в другую входят два стационарных уравнения гиперболического типа относительно функций вихря СО и полной энергии Н . Такое расщепление позволяет использовать в каждом из указанных случаев методы, наиболее приспособленные к численному решению данного типа уравнений.

В параграфе 2.2 предлагается алгоритм расчета дозвуковых потенциальных течений идеального газа.

В параграфе 2.3 излагается итерационный метод численного решения задачи о дозвуковом вихревом неизоэнергетическом течении газа. При этом в качестве начального приближения берется либо решение задачи о потенциальном течении газа, либо решение задачи о вихревом течении несжимаемой жидкости. Алгоритм не зависит от геометрии течения, от правых частей уравнений, прост для программной реализации.

Заканчивается глава 2 исследованием проблем восстановления давления в двумерных задачах гидрогазодинамики, для численного решения которых используется переход к новым зависимым переменным - функции тока ф и функции вихря СО . При расчете течений сжимаемого газа, в отличие от несжимаемой жидкости, восстановление давления необходимо производить на каждом итерационном шаге, и от выбора процедуры восстановления существенно зависит сходимость всего процесса. В параграфе 2.4 предлагаются два новых эффективных метода расчета давления, пригодные для использования при численном решении задач о течениях как вязких, так и невязких жидкостей и свободные от недостатков, которыми обладают ранее употреблявшиеся методы.

Разработанные в главах I и 2 алгоритмы были реализованы в виде комплекса прикладных программ, краткое описание которого приводится в приложении.

В главе 3 иллюстрируются возможности использования созданного комплекса при решении задач, имеющих большое практическое значение.

В параграфе 3.1 численно решается хорошо известная задача о течении жидкости в трубе с пористыми стенками [59-66] через которые под некоторым углом производится вдув газа в трубу. Проводится сравнение полученных численных результатов с экспериментальными данными [бО ] .

В параграфе 3.2 рассматриваются течения газа в узких пространственных щелях в квазидвумерном приближении. Приводятся результаты численных расчетов течений газа в каналах сложной формы и осуществляется сравнение параметров двумерного течения с соответствующими осредненными по высоте щели величинами, полученными при численном решении трехмерной задачи.

В параграфе 3.3 показывается, как можно использовать описанный алгоритм для расчета дозвуковой части смешанных до-транс-сверхзвуковых течений идеального газа в осесимметричных каналах сложной формы. Производится сопоставление с результатами расчетов других авторов, а также с экспериментальными исследованиями указанных течений.

В заключении оцениваются и перечисляются основные результаты проведенных исследований, даются рекомендации по их практическому использованию, обсуждаются возможные направления дальнейшего развития предлагаемой методики.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Хакимзянов, Гаяз Салимович, Новосибирск

1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. - М.: Физматгиз, 1963. - 728с.

2. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981. - 368с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. - 584с.

4. Седов Л.И, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М.: Наука, 1966. 448с.

5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 848с.

6. Бай ПМ-и. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. -М.: Иностр. лит., 1962. 410с.

7. Берс Л. Математические воцросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Иностр. лит., 1961. - 208с.

8. Яненко H.H., Карначук В.И., Коновалов А.Н. Проблемы математической технологии. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1977, т. 8, & 3, с. 129-157.

9. Яненко H.H., Карначук В.И., Рычков А.Д., Фомин В.М. Пакеты прикладных программ математической физики и механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1982, с. 3-15.

10. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656с.

11. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. Журн.вычисл.матем. и матем. физики, 1978, т. 18, № 2, с. 458-467.

12. Коновалов А.Н., Яненко H.H. Модульный принцип построения программ как основа создания пакета прикладных программ решения задач механики сплошной среды. В кн.: Комплексы программ математической физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 48-54.

13. Яненко H.H. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики. В кн.: Комплексы црограмм математической физики. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1980, с. 3-12.

14. Численное решение многомерных задач газовой динамики /Под ред. С.К.Годунова. М.: Наука, 1976. - 400с.

15. Шипилин A.B. Итерационный численный метод расчета течения излучающего газа при дозвуковых скоростях. В .кн.: Динамика излучающего газа. М., ВЦ АН СССР, 1976, вып. 2,с. 78-89.

16. Шипилин A.B., Щулишнина Н.П. Расчет осе симметричного дозвукового течения излучающего газа в канале произвольной формы с центральным телом. В кн.: Динамика излучающего газа. М., Щ АН СССР, 1976, вып. 2, с. 90-98.

17. Наумова И.Н., Шаыглевский Ю.Д. Расчет течений излучающего воздуха в трубе. В кн.: Динамика излучающего газа. М., ВЦ АН СССР, 1976, вып. 2, с. 99-108.

18. Осипов ИД., Пащенко В.П., Шипилин A.B. Расчет течений невязкого газа в каналах с сильно изменяющейся геометрией.- ЗНурн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, т. 18, № 4, с. 964-973.

19. Васенин И.М., Рычков А.Д. Численное решение задачи о смешанном осесимметричном течении газа в некоторых криволинейных областях методом установления. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1971, № I, с. 155-159.

20. Данилов Ю.М. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики в дозвуковой области течения. Изв. высш. уч. зав. Авиационная техника, 1980, № 3, с. 42-45.

21. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1969, № 5, с. 77-83.

22. Клайн. Расчет установившегося течения в сопле с помощью метода установления. Ракетная техника и космонавтика, 1974, т. 12, В 4, с. 5-7.

23. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 688с.

24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 418с.

25. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. - 400с.

26. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 196с.

27. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304с.

28. Моисеенко Б.Д., Рождественский Б.1. Численное решение стационарных уравнений гидродинамики при наличии тангенциальных разрывов. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1970, т. 10, № 2, с. 499-505.

29. I^poB Б.Г., Яненко H.H., Яушев И.К. Численный расчет непотенциальных течений идеальной жидкости в плоских каналах. Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1971, т. 2, Jß I, с. 3-16.

30. Яушев И.К. Численный расчет двумерных потенциальных и вихревых течений идеальной жидкости. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1973, т. 4, № 5, с. 147-155.

31. Яушев И.К., Хакимзянов Г.С. Численный метод потенциальных течений идеальной жидкости и газа с подводом массы в плоских каналах. В кн.: Некоторые цроблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, Наука, 1975, с.89-95.

32. Яушев И.К., Хакимзянов Г.С. О численном расчете стационарных плоскопараллельных течений идеальных жидкости и газа в каналах сложной конфигурации. Изв. Сиб. отд. АН СССР. Технические наутси, 1977, Л 13, вып. 3, с. 37-45.

33. Хакимзянов Г.С. О двумерных течениях идеальной жидкости с притоком массы. Числ. мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1978, т. 9, № 4, с. 119-130.

34. Хакимзянов Г.С., Яушев И.К. О численном расчете дозвуковых установившихся осесимметричных течений идеальной сжимаемой жидкости в каналах сложной формы. Изв. Сиб. отд. АН СССР. Технические науки, 1981, Л 13, вып. 3, с. 50-57.

35. Рычков А.Д., Хакимзянов Г.С. Расчет дозвуковых двухфазных полидисперсных течений в осесимметричных каналах с проницаемыми стенками. В кн.: Численное моделирование в динамике жидкости. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, с. 94-99.

36. Гуров Б.Г. Существование и единственность установившихся непотенциальных течений идеальной жидкости в плоских каналах. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1970, т. I, № 3, с. 43-55.

37. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1972, вып. 10, с. 5-27.

38. Алексеев Г.В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений идеальной жидкости: В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1973, вып. 15, с. 7-17.

39. Алексеев Г.В. О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1977, JS 2, с. 85-92.

40. Рагулин В.В. Об одной постановке задачи протекания идеальной жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, 1978. вып. 33, с.76-83.

41. Кажихов A.B., Рагулин В.В. Нестационарные задачи о протекании идеальной жидкости сквозь ограниченную область. Докл. АН СССР, 1980, т. 250, № 6, с. 1344-1347.

42. Трошкин О.В. Допустимость множества граничных значений в одной стационарной гидродинамической задаче. Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 5, с. 1086-1090.

43. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск; Наука, 1983. - 320с.

44. Том А., Эйплт К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.-Л.: Энергия, 1964. - 208с.

45. Кускова Т.В., Чудов Л.А. О приближенных граничных условиях для вихря при расчетах течений вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ, 1968, вып. XI, с. 27-31.

46. Дородницын A.A., Меллер H.A. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1968, т. 8, $ 2, с. 393-402.

47. Сармин Э.Н. Модификация метода расщепления граничных условий для решения бигармонического уравнения. Журн. вычисл.матем. и матем. физики, 1973, т. 13, № 5, с. 1341-1347.

48. Пирсон. Численный метод душ задач вязкого потока. Механика. Периодический сборник переводов иностр. статей, 1965, Я 6, с. 65-77.

49. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий дога нестационарных уравнений Навье-Сток-са в переменных "вихрь-функция тока". Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1979, т. 10, № 2,с. 49-58.

50. Полежаев В.Й., Грязнов В.Л. Метод расчета граничных условий для уравнений Навье-Стокса в переменных "вихрь, функция тока". Докл. АН СССР, 1974, т. 219, № 2, с. 301-304.

51. Тарунин Е.Л. Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости. В кн.: Труды 5 Всесоюзн. семинара по числ.мет.мех. вязкой жидкости. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1975, ч. I, с. 3-26.

52. Тарунин Е.Л. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и,, 1978, т. 9, & 7, с. 97-Ш.

53. Захаренков М.Н. Аппроксимация граничного условия для завихренности на поверхности твердого тела при решении уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и завихренности. Числ.мет.мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1980, т. II, № 7, с. 56-74.

54. Фромм Дж. Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, с. 343-381.

55. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.- 616с.

56. Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К. и др. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М.: Мир, 1972.- 324с.

57. Браиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов I.A. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса. В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ", 1968, вып. XI, с. 3-18.

58. Численные методы в динамике жидкостей /Под ред. Г.Вирц и Х.Смолдерен. М.: Мир, 1981. - 407с.

59. Райзберг Б.А., Ерохин Б.Т., Самсонов К.П. Основы теории рабочих процессов в ракетных системах на твердом топливе.- М.: Машиностроение, 1972. 384с.

60. Олсон, Эккерт. Экспериментальное исследование турбулентного течения в пористой круглой трубе с равномерным вдувом газа через стенку. Прикладная механика. Труды амер. общества инженеров-механиков. Русский перевод, 1966, £ I,с. 7-20.

61. Соркин P.E. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом топливе. М.: Наука, 1967. - 368с.

62. Буш. Течение цродуктов сгорания твердого топлива через канал топливного заряда. Ракетная техника и космонавтика, 1964, № II, с. 193-195.

63. Прайс. Одномерное стационарное течение потока газа с добавлением массы и влияние процесса горения в камере на тягу ракетного двигателя. Вопросы ракетной техники, 1955, вып. 5, с. II6-I27.

64. Шишков A.A. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. -М.; Машиностроение, 1968. 148с.

65. Ягодкин В.И. Приближенный расчет течений газа в каналахс пористыми стенками. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1964, № I, с. 105-108.

66. Теленин Г.Ф., Шитова Л.Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками. В кн.: Аэромеханика и газовая динамика. М., Наука, 1976, с. 76-123.

67. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2, М.: Наука, 1965. - 655с.

68. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744с.

69. Юдович В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений. Матем. сборник, 1962, т. 59 (101), с. 229-244.

70. Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. Журн, вынисл. матем. и матем. физики, 1963, т. 3, №6, с. 1032-1066.

71. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 352с.

72. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично-суммируемых на заданной области и операторах векторного анализа. В кн.: Труды матем. ин-та АН СССР. М., 1960, т. 59, с. 5-37.

73. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики. Докл. АН СССР, 1953, т. 93, с. 969-972.

74. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496с.

75. Годунов С.К, Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сборник, 1959, т.,47, вып. 3, с. 271-306.

76. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352с.

77. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. - 352с.

78. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Иностр. лит., 1963. - 487с.

79. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики.-Новосибирск: Наука, 1974. 202с.

80. Фаддеев Д.К., Фадцеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, i960. - 656с.

81. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592с.

82. Ильин В.П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск: НГУ, 1970. - 263с.

83. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. - 830с.

84. Стеджер Дж., Ломекс Г. Методы обобщенной релаксации в приложении к задачам о трансзвуковом течении. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973, с.18-25.

85. Лебедев В.И. 0 конечно-разностном аналоге задачи Неймана.-Докл. АН СССР, 1959, т. 126, № I, с. 494-497.

86. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А, Итерационные методы и квадратичные функционалы.- В кн.: Методы вычислительной математики. Новосибирск, Наука, 1975, с. 4-143.

87. Молчанов И.Н., Николенко 1.Д. Об одном прямом методе решения задач Неймана для уравнения Пуассона. Журн. вычисл. матем. и матем. физики", 1973,- т. 13, № 6, с. I607-I6I2.

88. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 535с.

89. Фаворский А.П. Расчет сопел Лаваля, Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1965, т. 5, № 5, с. 955-959.

90. Дородницын A.A. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. В кн.: Труды Ш Всесоюзного матем. съезда, т. 3, М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 447-453.

91. Пирумов У.Г., Суворова В.Н. Прямая задача теории сопла. -В кн.: Вычислительные методы и программирование. М., ВЦ МГУ, 1977, вып. ХХУП, с. 73-80.

92. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Расчет смешанного течения газа в соплах. В кн.: Труды секции по численным методам в газовой динамике 2-го Международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем, т. 2, М., ВЦ АН СССР, 1971, с. 3-26.

93. Тагиров Р.К. Теоретическое исследование течения идеального газа в сужающихся соплах. Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, № 2, с. 198-202.

94. Мигдал, Клейн, Моретти. Расчеты трансзвукового течения в сошге методом установления. Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, Л> 2, с. 235-236.

95. Лаваль П. Нестационарный метод расчета трансзвуковых течений в соплах. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973, с. 9-17.

96. Васенин И.М., Рычков А.Д. Применение метода установленияк решению одной внутренней задачи газовой динамики. В кн.: Аэродинамика. Труды первой сибирск. конф. по аэродинамике. Новосибирск, Наука, 1969, с. 196-199.

97. Серра. Расчет внутренних течений газа методом установления. Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, & 5, с. 53-63.

98. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б., Михайлов Ю.Я. О решении прямой задачи сопла Лаваля. Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. I, ЖЕ, с. 8-13.

99. Дьяконов Ю.Н., Пчелкина Л.В. О прямой задаче для сопла Лаваля. Докл. АН СССР, 1970, т. 191, № 2, с. 301-304.

100. Рычков А.Д. Расчет двухфазных течений в осесимметричных соплах Лаваля с учетом процессов коагуляции и дробления частиц конденсата методом Лагранжа. Числ. мет. мех. сплошной среды. Новосибирск, Б.и., 1979, т. 10, № 3, с.121-126.

101. Дьяконов Е.Г. Об одном способе решения уравнения Пуассона. Докл. АН СССР, 1962, т. 143, ¡b I, с. 21-24.

102. Польский Б.С. Об одном методе решения эллиптических разностных уравнений. Журн. вычисл.матем. и матем. физики, 1981, т. 21, J* I, с. 29-34.

103. Бэк, Массье, Гир. Сравнение измеренных и рассчитанных параметров течения в сверхзвуковых конических соплах, проведенное в основном для трансзвуковой области. Ракетная техника и космонавтика, 1965, т. 3, № 9, с. 49-60.

104. Клигель, Левайн. Трансзвуковое течение в соплах с малым радиусом кривизны горловины. Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, № 7, с. 196-199.

105. Каффел, Бэк, Массье. Поле трансзвукового течения в сверхзвуковом сопле с малым радиусом кривизны стенки горла, -Ракетная техника и космонавтика, 1969, т.7, №7, с.184-187.

106. Дуплгацев М.И. и др. Влияние структуры течения в докрити-ческой области утопленных сопел на расходные характеристики. Изв. высш. уч.зав. Авиационная техника, 1973, № 3, с. 55-58.

107. Чухало H.A. и др. Экспериментальное определение расходных характеристик утопленных сопел. В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. М., 1973, вып. 16, с. 42-45.

108. Лифшиц Ю.Б., Рыжов О.С. О вариации расхода газа в расчетном режиме работы сопла Лаваля. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1966, т. 6, № 2, с. 276-287.

109. Коновалов А.Н. Модульный анализ вычислительного алгоритма в задаче планового вытеснения нефти водой. В кн.: Труды Ш семинара по комплексам программ матем. физики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 81-94.

110. Рычков А.Д., Лымарев А.П. Модульная система СПРУТ для организации и ведения пакетов прикладных программ в области аэрогазодинамики. Новосибирск, 1982. - 46с. (ПрепринтИТПМ СО АН СССР: № 30-32).

111. Шепеленко В.Н. Фортран ЭВМ БЭСМ-6. Новосибирск: Наука, 1983. - 79с.

112. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979. - 319с.

113. Слезкин Н.А. О механике деформируемой среды частиц с переменной массой. Вестн. МГУ. Сер. физ.-мат. и ест.н., 1951, вып. 6, Ш 10, с. 3-21.

114. Вайсман A.M., Гольдштик М.А. О течении сквозь тонкий пористый слой (решетку). Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, В 4, с. 74-80.

115. Вайсман A.M., Гольдштик М.А. Динамическая модель движения жидкости в пористой среде. Известия АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1978, !Ь 6, с. 89-95.

116. Кузнецов Б.Г., Черных Г.Г. Численное исследование поведения однородного "пятна" в идеальной стратифицированной по плотности жидкости. Журн. прикладной механики и техн. физики, 1973, & 3, с. 120-126.

117. Hedstrom G.W. Nonreflecting Boundary Conditions for Nonlinear Hyperbolic Systems.-J.Comput. Phys., 1979» v.30, n°2, p.222-237»

118. David H.Rudy and John C.Strikwerda. A Nonreflecting Outflow Boundary Condition for Subsonic Navier-Stokes Calculations. -J. Comput. Phys., 1980, v. 36, n°1, p.55-70.

119. Kato T. On Classical Solutions of the Two-Dimensional Non-stationary Euler Equations.-Archiv for Rational Mech, and Analisis, 1967, v. 25, n°3, p.188-200.

120. Wehofer S., Moger W.C. Transonic Plow in Conical Convergent and Convergent-Devergent Nozzles with Non-Unifoimi1.let Conditions.- AIAA Paper No. 70-635» 1970.

121. MacCormak R.W, The effect of Viscosity in hypervelocity impact cratering.-AIAA Paper Nq.69-354, 1969*

122. Miller K. Numerical Analogs to the Schwarz Alternating Procedure.-Numer. Math., 1965, v.^p. 91-103.134« Poldvik A. and Wurtele M.G. The computation of the Transient Gravity Wave.- Geophysical journal, 1967» v.13» p. 167-185.