Численное решение задачи упруго-пластического течения для грунта тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Стр.'

Введение.

1. Методы решения задач пластического течения, основанные на МКЭ .Ю

1.1. Постановка задачи .II

1.2. Способ дискретизации (шаговый метод, выбор шага, переходная область)

1.3. Способ линеаризации (перененные жесткости, допол-' нительные нагрузки, связь с методами Ньютона-Рафсона, коррекция по невязке условий равновесия, ускорение сходимости).

1.4. Алгоритм вычисления физической матрицы

2. Некоторые вопросы организации программы МКЭ. Описание программ "Низес" и "Грунт11 ^.

2.1. Конечный элемент

2.2. Сетка.

2.3. Матрица.

2.4. Граничные условия.

2.5. Решение системы.

2.6. Программа Ийизесп

2.7. Программа "Грунт"

3. Численные результаты

3.1. Пластинка с круглым отверстием

3.2. Пластинка с прямолинейным разрезом

3.3. Грунтовые основания.

3.4. Грунтовый откос.

3.5. Плотина Колымской ГЭС • * * *

4. Исследование численного метода

4.1. Свойства задачи пластического течения

4.2. Построение и исследование сходимости приближенного решения.

4.3. Свойства функции упрочнения

- 3

4.4. Регуляризация.

4.5. Плоская деформация . . •

4.6. Идеальная пластичность

IДля создания экономичных и надежных конструкций, сооружений и оснований необходимо проведение расчетов напряженно-деформированного состояния с привлечением уравнений пластичности и, в частности, теории течения, наиболее полно учитывающей поведение металлов и грунтов в условиях сложного напряженного состояния. Универсальные программы, осуществляющие такие расчеты применительно к грунтовым плотинам и основаниям, оказываются сравнительно трудоемкими. Разработка и усовершенствование таких программ является актуальной и важной для приложений задачей.

Отметим, что в соответствии с действующими нормами /84 и др./ расчет земляных оснований и сооружений проводится по двум предельным состояниям: несущей способности и предельным деформациям. При этом в настоящее время для таких расчетов используются две схемы: I) модель линейно-деформируемого тела, позволяющая определять напряжения и деформации в предположении, что области предельного состояния отсутствуют или достаточно малы и ими можно пренебречь и 2) теория предельного равновесия жестких грунтовых отсеков, в основе которой лежит допущение о существовании наиболее опасной поверхности сдвига и возможности пренебречь деформациями грунта. Таким образом, в зависимости от фазы напряженного состояния принимается одна из двух противоположныхпо физическому смыслу схем. В результате из рассмотрения выпадает основная стадия работы сооружения, когда области предельного и допредельного состояния являются сравнимыми и ни одной из них нельзя пренебречь.

Диссертация посвящена численному решению упругопластиче-ской задачи, которое позволяет вести расчет во всем диапазоне изменения напряженно-деформированного состояния, оценивая рабо* ту сооружения по двум предельным состояниям с единых: позиций.

В ряде случаев, когда можно пренебречь такими факторами, как непостоянство скорости дилатансии, влияние угла вида напряженного состояния, водонасыщение грунта, для оценки его напряженно-деформированного состояния можно использовать уравнения ассоциированного течения, основанные на функции текучести Кулона.

Вопросам организации алгоритмов, предназначенных для непосредственного- использования в программах численного решения задач, и самим программам посвящена глава 2.

На основе разработанных алгоритмов создано две программы -"Мизес" и "Грунт" для ЭВМ БЭСМ-б. Первая программа предназначена для решения плоской задачи теории пластического течения при ассоциированном законе, условии текучести Мизеса и степенном изотропном упрочнении. Во второй программе реализовано решение для случаев идеальной пластичности и линейного упрочнения при условии текучести Кулона.

Для решения названных задач в программах используется МЕЭ в сочетании с методом последовательных нагружений и итерационнш методом переменных параметров упругости, применяемый для решения на каждом шаге нагружения нелинейной системы алгебраических уравнений. Для определения величины приращения нагрузки реализовано два способа - постоянный, априорно задаваемый шаг нагружения, и переменный /10, НО/. Во втором случае выбор шага осуществляется автоматически в процессе решения, исходя из условия выполнения уравнения текучести с заданной погрешностью.

Численные результаты, полученные с помощью программ "Ми-зес" и "Грунт", приводятся в главе 3.

На примере задачи о растяжении металлической пластинки с круглым отверстием при условии Мизеса проведены численные эксперименты по сравнению различных, описанных в главе I, способов выбора шага и прохождения переходной области. Анализируется сходимость по координатам и времени. Оценивается зависимость решения не только от количества узлов, но и от способа их соединения (т.е. от шаблона сетки).

По программе "Грунт" проведена серия расчетов для грунтового основания в виде слоя конечной мощности под действием нагрузки, передаваемой через абсолютно гибкий или абсолютно жесткий штамп. Для этой задачи имеется большое количество экспериментальных данных (лабораторные и полевые испытания), а также некоторые теоретические результаты. Это дает возможность рассмотреть вопросы, связанные с выбором метода линеаризации, оценкой точности численного решения, а также показать, что получаемые результаты качественно и количественно соответствуют опытным данным и достоверно отражают поведение грунта под нагрузкой.

На основе анализа численных результатов выявлены некоторые закономерности напряженно-деформированного состояния основания, степень влияния различных факторов на его несущую способность.

Рассмотрены также другие схемы оснований, напряженно-дефор-мированние состояние грунтового откоса и плотины Колымской ГЭС.

Реализованный в программах метод решения применительно к плоским задачам теории пластического течения с функциями Мизеса и Кулона исследовался в /58-61/. В последнее время для грунтовых сред предложен ряд новых достаточно сложных функций упрочнения, анализ которых приводится в главе 4. Рассматривается возможность построения сходящихся численных схем для трехмерных задач с использованием функций общего вида, зависящих от трех инвариантов тензора напряжений, определяются условия, которым должны подчиняться эти функции. Для этого доказывается положительная определенность, ограниченность, непрерывность и сильная монотонность матрицы (ъ} связывающей скорости напряжений и деформаций при использовании достаточно гладкой функции. Однако для грунтовых сред функции текучести обычно имеют особые точки, что приводит к различного рода неопределенностям в уравнениях. Их устраняют или с помощью приема Ирагера-Койтера, или путем сглаживания функций текучести, или с помощью других приемов. При этом возникают вопросы о том, насколько изменяются свойства краевых задач, на каких классах решений имеет место сходимость численных методов. До последнего времени такой анализ был проведен лишь для плоской задачи с функцией текучести Кулона /58/. В диссертации способ сглаживания, предложенный в /58/, обобщается на случай трехмерной задачи, поверхность текучести которой зависит от трех инвариантов. Кроме того, рассматривается несколько отличный от используемого в /58/ способ сглаживания, позволяющий более близко аппроксимировать круговой конус.

В п.6 главы 4 приводятся уравнения теории течения для случая плоской деформации и исследуются их свойства, необходимыедля численного решения задачи. В п.7 описывается способ искусственного упрочнения для получения сходящихся схем в случае идеальной пластичности и оценивается вносимая при этом погрешность.

В работах, выполненных совместно с д.т.н. А.К.Бугровым и д.ф.-м.н. В.Г.Корнеевым, им принадлежит постановка задач и общая схема исследования. Совместно с д.т.н. А.К.Бугровым выполнен также анализ некоторых численных результатов. Основные результаты работ /15-21, 44-45/ получены непосредственно автором.

На защиту выносятся:- алгоритм и программа решения упруго-пластической задачи теории течения при использовании функций Мизеса и Кулона;- численное исследование внутренней сходимости метода последовательных нагружений при различных схемах дискретизации по параметру нагружения;- определение напряженно-деформированного состояния и оценка несущей способности грунтовых оснований и сооружений с помощью разработанной программы;- аналитическое исследование сходимости МКЭ в сочетании с методом последовательного нагружения для ряда классов задач теории пластического течения с условиями текучести, зависящими от трех инвариантов напряженного состояния, в том числе для функций, имеющих коническую точку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены вопросы численного решения задачи упруго-пластического течения и получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм определения напряженно-деформированного состояния в соответствии с уравнениями теории пластического течения, ассоциированными с произвольной функцией текучести при степенном упрочнении и без него.

2. Разработаны две программы расчета напряженно-деформированного состояния для материалов, поведение которых описывается функциями Мизеса и Кулона.

3. Проведены численные эксперименты, подтвердившие эффективность алгоритма, внутреннюю сходимость результатов по координатам. ;и параметру нагружения.

Показано, что при диаграммах с угловой точкой использование переменного шага нагружения позволяет существенно сократить время решения (до двух раз) и обеспечить необходимый контроль за выполнением условия текучести. В задачах с гладкими диаграммами использование средних коэффициентов в переходной области делает процесс вычислений более устойчивым.

Разработанные программы позволяют с достаточной точностью решать практические задачи. Даже для задач с концентрацией напряжений удается, как правило, получать 2-3 верные значащие цифры в напряжениях. Для этого в ряде случаев приходится решать системы уравнений порядка 2000 и более. Машинное время, затрачиваемое при этом для одного шага нагружения, составляет 9 мин.

4. Решены и проанализированы прикладные задачи определения напряженно-деформированного состояния грунтового основания, откоса и плотины.

Сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными показало, что полученные численные решения, в отличие от теории упругости, достаточно хорошо описывают такие особенности поведения грунта в основании, как зависимость характера графика нагрузка-осадка от прочностных свойств грунта, изменение формы осадочной воронки и эпюры контактных напряжений с ростом нагрузки, несоосность тензоров напряжений и деформаций, зависимость конечного состояния от последовательности приложения нагрузок и др. Упруго-пластическое решение дает возможность оценить используемые в настоящее время в проектной практике расчетные схемы, в частности, определить область использования линейной теории упругости в зависимости от характеристик грунта. Это решение позволяет также оценить несущую способность основания, которая обычно оказывается несколько выше, чем определяемая методами предельного равновесия. Кроме того, уменьшение (по сравнению с упругим решением) концентрации напряжений по подошве фундамента ведет к снижению изгибающих моментов, действующих на него. Все это приводит к более экономичному и обоснованному проектированию оснований и фундаментов.

5. Исследования напряженно-деформированного состояния, проведенные по разработанной программе, были использованы при выполнении расчетных обоснований плотин Рогунской и Колымской 1ЭС (ЛПИ, Гидропроект), а также при расчетах оснований ряда сооружений (ЛенЗНИИЭП). Полученные результаты позволили более обоснованно судить о состоянии рассматриваемых сооружений и в ряде случаев существенно снизить затраты на их возведение. б. Исследованы свойства уравнений теории пластического течения для пористых сред с условиями текучести, зависящими от трех инвариантов напряженного состояния, в трехмерной постановке и в условиях плоской деформации. Определены свойства, которым должна удовлетворять функция нагружения для получения сходящихся приближенных решений: достаточная гладкость, ограниченность производных, ненулевое упрочнение. Рассмотрены способы сглаживания и введения искусственного упрочнения в случае нарушений этих свойств, характерных для грунтовых материалов.

Для перечисленных выше задач исследована скорость сходимости МКЭ в сочетании с методом последовательных нагружений и получены оценки вида

КИх.ь)- г< и/г с Ль) ¿с(к + &1) Ни

1. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики. М.: Недра, 1975. - 143 с.

2. Аннин Б.Д. Двумерные упруго-пластические задачи. Новосибирск: Изд. Новосиб.ун-та, 1968. - 120 с.

3. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача.-Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

4. Аргирис Дж., Шарп Д. Методы упруго-пластического анализа. Механика, 1972, Ш 4, с.107-139.. f

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. -631 с.

6. Бейзерман Б.Р. Алгоритм решения задач теории пластического течения методом конечных элементов. Физика и механика деформаций и разрушений, 1979, вып.7, с.25-31.

7. Биргер И.А. Методы упругих решений в теории пластического течения. Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1964, Ш 2, с.116-120.

8. Бугров А.К. Определение горизонтальных смещений центрального ядра в плотинах из местных материалов. Труды ЛПИ им.Калинина, 1968, 1 292, с.89-96.

9. Бугров А.К. О решении смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1974, № 6, с.20-23.

10. Бугров A.K. О применении нелинейных расчетов грунтовых оснований при проектировании фундаментов. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1978, № 7, с.40-44.

11. Бугров А.К. К вопросу учета пластических деформаций оснований при проектировании фундаментов. Труды ЛПИ им.М.И.Калинина, 1978, N2 361, с.79-100.

12. Бугров А.К. О влиянии траектории нагружения на напряженно-деформированное состояние основания. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1980, fe 2, с.24-26.

13. Бугров А.К., Васильев Й.М., Голубев А.И., Зархи A.A. Расчетно-теоретическое исследование напряженно-деформированного состояния грунтов оснований, плотин и их трещиностойкости.

14. В кн.: Проектирование и исследование оснований гидротехнических сооружений. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. • М.: Энергия, 1980, с.31-33.

15. Бугров А.К., Зархи A.A. Напряженно-деформированное состояние основания при наличии в нем областей предельного равновесия грунта. Труды ЛПИ им.М.И.Калинина, 1976, № 354,с.49-53.

16. Бугров А.К., Зархи A.A. Напряженное состояние упруго-пластического основания при вдавливании жестких штампов. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1977, Лё II, с.35-40.

17. Бугров А.К., Зархи A.A. Некоторые результаты решения смешанной задачи для грунтов оснований. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1978, № 3, с.35-39.

18. Бугров А.К., Зархи A.A. Расчеты оснований и плотин из грунтовых материалов с учетом развития областей предельного напряженного состояния грунта. 1Ъдротехническое строительство, 1978, № 12, с.25-29.

19. Бугров A.K., Зархи A.A. Расчеты изменения плотности упруго-пластических оснований при их нагружении. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1978, № 12, с.47-51.

20. Бугров А.К., Зархи A.A. Решение смешанных задач теории упругости и пластичности для различных схем оснований. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1979, № 2, с.16-19.

21. Бугров А.К., Зархи A.A. Расчеты несущей способности грунтовых массивов. Гидротехническое строительство, 1979, №> II, с.41-44.

22. Васильев И.М. Учет сил взаимодействия ядра и боковых призм при оценке устойчивости плотин. Труды ЛПИ им.М.И.Калинина, 1976, Ш 354, с.23-27.

23. Васильев И.М., Голубев А.И. Оценка прочности ядра по »результатам расчета напряженно-деформированного состояния плотины. Труды ЛПИ им.М.И.Калинина, 1979, № 363, с.60-63.

24. Вульфович H.A., Зарубаев В.П., Корнеев В.Г. Решение тестовых задач теории упругости методом конечных элементов высоких порядков точности. В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск: Изд-во АН СССР, 1978, с.33-52.

25. Вялов С.С., Миндич А.Л. Осадки и предельное равновесие слоя слабого грунта, подстилаемого жестким основанием. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1974, № 6, с.14-17.

26. Гельфандбейн A.M., Шелест Л.А. Натурные исследования осадок поверхности связного грунтового основания, нагруженного штампом. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1974, № 2, с.27-29.

27. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. - 340 с.

28. Гольдин А.Л., Прокопович B.C. Определение несущей способности оснований сооружений с использованием неассоциирован-ного закона течения грунтов. Известия ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1980, т.137, с.3-7.

29. Горбатый A.B. Некоторые нелинейные задачи растяжения пластин с отверстиями. В кн.: Труды конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск: Изд-во АН СССР, 1972, с.76-82.

30. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А. Расчет конструкций на упругом основании. М.: Стройиздат, 1973. - 627 с.

31. Горелик Н.Я., Ефимов Ю.Н., Горелик Л.В., Сапожников Л.Б., Чугаева Г.А., Матрошилина Т.В. Расчет устойчивости грунтовых откосов по программе РУМКЭ. Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева, 1979, т.129, с.42-46.

32. Горячев А.П., Санков Е.И. Численная реализация метода конечных элементов для плоских физически нелинейных задач. -Ученые записки ГГУ им.Н.И.Лобачевского. Сер.Механика, 1971, вып.134, с.20-28.

33. Греков М.А. О пластических зонах у вершин трещины при плоской деформации. Физико-химическая механика материалов, 1978, № 5, с.75-82.

34. Давыдов С.С. Расчет и проектирование подземных конструкций. М.: Стройиздат, 1950. - 376 с.

35. Дидух Б.И., Иоселевич В.А. О применении теории пластического упрочнения к описанию деформации грунта. В кн.: Вопросы механики грунтов и строительства на лессовых основаниях/ Под ред.Г.М.Ломизе. - Грозный: Чеч.-Инг. кн.изд-во, 1970, с.125-133.

36. Евдокимов П.Д. Устойчивость гидротехнических сооружений и прочность их оснований. Л.: Стройиздат, 1966. - 130 с.- 167

37. Ефимов Ю.Н., Сапожников Л.Б. Автоматизация разбиения области вложенными элементами. Известия ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1979, т.129, с.14-21.

38. Зарецкий Ю.К. Нелинейная механика грунтов и перспективы ее развития. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1982, Ш 5, с.28-31.

39. Зарецкий Ю.К., Вуцель В.Й., Дзюба К.И., Ломбардо В.Н. Комплексная методика расчета плотин из местных материалов на статические воздействия. Сборник трудов Гидропроекта, 1980, вып.74, с.61-67.

40. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н., Грошев М.Е. Пластическое течение грунтовых массивов. Известия вузов. Строительство и архитектура, 1979, № 2, с.19-24.

41. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н., Грошев М.Е., Олимпиев Д.Н. Устойчивость грунтовых массивов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1980, № I, с.23-27.

42. Зарецкий Ю.К., Ломбардо В.Н. Статика и динамика грунтовых плотин. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 255 с.

43. Зархи A.A. Решение плоской упруго-пластической задачи методом конечных элементов. Сборник научных трудов Гидропроекта, 1974, № 40, с.85-93.

44. Зархи A.A., Корнеев В.Г. Приближенное решение упруго-пластической задачи. Вестник Л1У, 1980, Ш 3, вып.З, с.136.

45. Зархи A.A., Корнеев В.Г., Кузьменко В.Г. Решение упруго-пластической задачи методом конечных элементов на ЭВМ.

46. Вестник ЛГУ, 1979, № 7, вып.2, с.123.. » •

47. Зархи A.A., Корнеев В.Г., Пономарев С.Е. О численном решении задачи пластического течения. Численные методы механики сплошной среды, 1977, т.8, fö 5, с.58-70.

48. Зейлигер В.А., Храпков А.А. Специальный элемент с надрезом для решения задач об упругом равновесии тел с трещинами.-Известия ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1980, т.136, с.27-32.

49. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

50. Золотов О.Н. Решение некоторых задач машинной графики при исследовании сооружений численными методами. Сборник научных трудов Гидропроекта, 1983, вып.85, с.44-58.

51. Ильюшин А.Н. Пластичность. М.: Наука, 1963. - 271 с.51. йоселевич В.А., Зуев В.В., Чахтаури Г.А. Об эффектах пластического упрочнения нескальных грунтов. Научные труды института механики М1У, 1975, № 42, с.96-112.

52. Исаханов Г.В., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С., Синявский А.Л. Система математического обеспечения прочностных расчетов. Проблемы прочности, 1978, й II, с.59-61.

53. Каплина Е.Й., Прокопович B.C., Сирота Ю.Л. Влияние свойств материала и условий возведения на трещинообразование в ядре грунтовой плотины. Известия ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1982, т.158, с.14-19.

54. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

55. Керимов Р.Ю. Развитие пластических зон возле кругового отверстия при одноосном растяжении пластинки. Прикладная механика, 1965, т.1, вып.9, с.128-130.

56. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд.ЛПГ, 1977. - 208 с.

57. Корнеев В.Г. О решении методом конечных элементов задач теории пластического течения для грунтов. Дифференциальные уравнения, 1980, т.16, № с.705-722.

58. Корнеев В.Г. О приближенном решении задач теории пластического течения для сред, подчиняющихся условию Кулона. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1980,т.20, й 2, с.433-450.

59. Корнеев В.Г. О численном решении задач теории пластического течения. Исследования по упругости и пластичности, 1980, вып.13, с.121-131.

60. Корнеев В.Г., Пономарев С.Е. Решение задачи теории пластического течения методом конечных элементов. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1977, т.17,2, с.437-459.

61. Коротких Ю.Г. Анализ концентрации напряжений в упруго-пластической области. В кн.: Тезисы докладов конференций по повреждениям и эксплуатационной надежности судовых конструкций.-Владивосток: Изд.Дальневост.политехнич.ин-та, 1972, с.28-34.

62. Крыжановский А.Л., Куликов О.В. К расчету устойчивости откосов. Гидротехническое строительство, 1977, № 5, с.38-44.

63. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973. 407 с.

64. Макаров Э.С., Толоконников Л.А. Вариант построения теории пластичности дилатирующей среды. Механика твердого тела, 1979, Ш I, с.88-93.

65. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

66. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически-деформиру-емом состоянии. В кн.: Теория пластичности/ Под ред.Ю.Н.Работ-нова. - М.: ИЛ, 1948, с.57-69.

67. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушений. М.: Наука, 1980. - 256 с.

68. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности. В кн.: Итоги науки и техники. Механика твердого деформируемого тела. Т.6. - М.: ВИНИТИ, 1972. - 86 с.

69. Николаевский В.Н. Деформации материалов и пористых сред. Механика твердого тела, 1982, № 2, с.96-107.

70. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжений, используемых в теории пластичности. Прикладная математика и механика, 1952, т.16, вып.5, с.617-619.

71. Петрянин В.Ф., Крыжановский А.Л., Ломизе Г.М. Формирование зон предельного равновесия в основании штампа. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1974, № 2, с.30-31.

72. Полозов B.C., Рокотов С.И., Толок В.А. Система математического обеспечения машинной графики задач механики твердого деформируемого тела. Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1979, вып.13, с.3-5.

73. Постнов В.А., Родионов A.A. Применение метода суперэлементов к решению упруго-пластических задач. Прикладная математика, 1982, т.13, вып.2, с.74-79.

74. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

75. Рассказов Л.Н. Схема возведения и напряженно-деформированное состояние грунтовой плотины с центральным ядром. Энергетическое строительство, 1977, fö 2, с.65-75.

76. Рассказов Л.Н., Беляков A.A. Расчет пространственногонапряженно-деформированного состояния каменно-земляной плотины.-Гидротехническое строительство, 1982, № 2, с.16-22.

77. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. - 129 с.

78. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватыхгорных пород. М.: Недра, 1975. - 223 с.

79. Рыбакина О.Г., Сидорин Я.С. Экспериментальное исследование закономерностей пластического разрыхления металлов. Инженерный журнал механики твердого тела, 1966, № I, с.120-124.

80. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. -М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1957. 496 с.

81. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наук.думка, 1968. 887 с.

82. Скрим Э., Рой Дж.Р. Автоматическая система кинематиче-»ского анализа. В кн.: Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ/ Пер.с англ. под ред. А.П.Филина. - Л.: Судостроение, 1974, т.2, с.36-67.

83. СНиП П-15-74. Основания зданий и сооружений, 1975.-64 с.

84. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.-Л.: Гостех-издат, 1950. - 396 с.

85. Старов А.В. О применении теории пластического течения к описанию допредельного состояния глинистого грунта. Гидротехническое строительство, 1977, № 6, с.31-36.

86. Толоконников Л.А., Лавит И.М. Численное решение плоской упруго-пластической задачи для двусвязной области. Прикладная механика, 1979, т.15, № 9, с.60-64.

87. Тыркова Н.П., Холмянский И.А. Автоматическое разбиение некоторых трехмерных областей на конечные элементы. Проблемы прочности и пластичности, 1982, № 7, с.60-61.

88. Флорин В.А. Основы механики грунтов. М.-Л.: Гос-стройиздат, т.1, 1959, - 357 е.; т.2, 1961, - 543 с.

89. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос-техиздат, 1956. - 407 с.

90. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238 с.

91. Akyuz F.A., Merwin J.E. Solution of nonlinear problems of elastoplasticity by the f.e.m. AJAA Journal, v.6, N 10, Oct., 1968, p 1825-1831.

92. Bathe K.J., Ramaswamy S. On the three dimensional nonlinear analysis of concrete structures. Nuclear Engineering and Design, 1979» 52, p. 385-409.

93. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics plastic analysis of limit design. Quarterly of applied mathematics, 1952, 10, H2, p. 157-165.

94. Haber R. A general two-dimensional, graphical finite element preprocessor utilizing discrete transfinite mappings. -International Journal for numerical methods in engineering, 1981, v.17, p. 1015-1044.