Деформирование элементов конструкций из нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ромашин Дмитрий Алексеевич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ К ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Специальность 01,02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005061177

005061177

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: Трещев Александр Анатольевич,

доктор технических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Охлопков Николай Леонидович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ «ТГТУ», зав. кафедрой «Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности»;

Гордон Владимир Александрович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный университет _ учебно-научно-производственный комплекс», зав. кафедрой «Высшая математика»

Ведущая организация: ОАО «НПО «Сплав»

Защита состоится «_02.» июля 2013 г. в 12-00 на заседании диссертационного совета Д 212.262.02 при ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет» по адресу: 170026, г. Тверь, наб. Афанасия Никитина 22, ауд. Ц-120.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тверского государственного технического университета.

Автореферат разослан «/■?_» ___2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гультяев Вадим Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В строительстве, обороностроении и других отраслях промышленности в настоящее время получили широкое применение конструкционные материалы, механические свойства которых не соответствуют классическим представлениям об улругопла-стическом деформировании твердых тел. К таким материалам относятся керамика, некоторые марки конструкционных графитов, полимеры, композиты.

Особенность таких материалов проявляется в зависимости деформационных, прочностных характеристик от вида напряженного состояния и в дилатационном характере деформирования. Многие из них являются начально-анизотропными существенно-нелинейными материалами. Классические теории, базирующиеся на гипотезе единой кривой деформирования, очевидно, не могут описать подобные особенности.

Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей, определяющих соотношений сред, чувствительных к виду напряженного состояния, прикладные исследования эффектов, вызванных разносопротивляемостью анизотропных материалов конструкций, сдерживаются наличием существенных недостатков в этих моделях.

Анизотропные нелинейные разносопротивляющиеся материалы широко используются для изготовления элементов конструкций, таких, как цилиндрические оболочки различных видов, оболочки положительной гауссовой кривизны, диски, пластины и плиты.

Построение математической модели состояния конструкционных материалов, универсально работающей при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформированного твердого тела. Требуется установить взаимно-однозначные соотношения между компонентами напряженного и деформированного состояния с указанием системы экспериментов, достаточной для определения материальных функций, входящих в уравнения состояния и характеризующих механические свойства рассматриваемого материала. В связи с вышеизложенным разработанные методики расчета приобретают особую актуальность, так как исследование деформирования элементов конструкций из нелинейных анизотропных разносопротивляющихся материалов является важно теоретической и прикладной задачей в строительстве, авиастроении и приборостроении.

Целью диссертационной работы являются получение определяющих соотношений для анизотропного нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния, которые точно описывают его поведение под нагрузкой, и разработка на этой основе методики расчета изгибаемых тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из рассматриваемых материалов.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. При постулировании уравнения состояния использовать методику нормированных пространств, предложенную в работах Толоконникова Л.А., Матченко Н.М., Трещева АА.

2. Сформулировать уравнения связи между компонентами тензора деформаций и напряжений для физически нелинейных ортотропных и трансверсально-изотропных разносопротивляющихся материалов.

3. Указать систему простейших экспериментов для определения констант и материальных функций, входящих в уравнения состояния, описать методику вычисления констант.

4. Подтвердить адекватность предлагаемых соотношений реальным состояниям

конкретных материалов.

5. Конкретизировать полученные уравнения для ортотропных и трансверсально-изотропных материалов.

6. Построить разрешающие уравнения о малых прогибах тонких круглых и прямоугольных пластин из анизотропного физически нелинейного материала, чувствительного к виду

напряженного состояния.

7. ' Решить ряд прикладных задач по деформированию тонких пластин при различных видах закрепления, сравнить полученные результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей.

Объект исследования - круглые и прямоугольные пластины, которые как элементы покрытий, днищ различных сооружений, оборудования и в качестве заглушек, являются довольно распространенными элементами строительных конструкций, применяемых металлургической, нефтяной, химической промышленности и ракетостроении.

Предмет исследования - новые оценки напряженно-деформированного состояния круглых и прямоугольных пластин из нелинейных анизотропных, в частности, ортотропных, конструкционных материалов.

Методы исследования, использованные в диссертационной работе:

— общепринятые, строго обоснованные допущения и гипотезы теории расчета пластин при малых прогибах, базирующиеся на фундаментальных законах механики деформируемого твердого тела;

— метод конечных разностей для построения дискретной модели круглой или прямоугольной пластины и проведения деформационного расчета;

— метод последовательных приближений в форме «упругих решений» А.А. Ильюшина.

Научная новизна работы заключается в следующем:

— уравнения состояния для существенно-нелинейных материалов, таких как композит углеродного волокна - углерод AVCO Mod За и композита стеклоткань - полиэфирная смола, описывающие механическое поведение материала, наиболее приближенное к действительным, найденным из экспериментов;

— математическая модель, учитывающая влияние механических свойств анизотропного физически нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния, на напряженно-деформированное состояние жестких круглых и прямоугольных пластин;

— новые количественные оценки напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, выполненных из рассматриваемых материалов.

Достоверность представленных научных положений и выводов подтверждается хорошим соответствием полученных результатов экспериментальным исследованиям по деформированию нелинейных анизотропных материалов, строгим использованием аппарата, законов и гипотез механики деформируемого твердого тела, применением наиболее апробированных численных и приближенных методов решения задач, сравнением результатов расчета пластин на базе предложенных определяющих соотношений и на основе наиболее апробированных моделей деформирования анизотропных разносопротивляющихся материалов.

Практическая значимость работы, выполненной в рамках госбюджетной НИР ТулГУ № 27.06 "Актуальные проблемы технологии строительных материалов и проектирования конструкций", заключается в следующих результатах:

— полученные определяющие соотношения могут быть использованы для расчетов широкого круга конструктивных элементов;

— разработанные модели могут быть использованы для решения задач изгиба круглых и прямоугольных пластин, выполненных из анизотропных нелинейно-упругих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния;

— пакет прикладных программ может быть применен в проектной и конструкторской практике для разработки конструкций из данных материалов;

— материалы диссертационной работы могут использоваться в теоретических курсах для студентов, обучающихся по направлению «Строительство».

Внедрение результатов работы осуществлено в организациях: ОАО «НПО «СТРЕЛА» (г. Тула), ОАО «НПО «Сплав» (г. Тула). Программный продукт используется указанными предприятиями для экспертизы ресурса прочности конструкций при проведении проектных работ, НИР и ОКР.

Использование результатов работы подтверждено актами о внедрении.

Апробация работы. Основные материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:

• V Магистерской научно-технической конференции. Тула, 2010 г.;

• XI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула, 2010 г.;

• X Международной научно-практической конференции «Эффективные строительные конструкции: теория и практика». Пенза, 2010 г.;

• 6-й Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительству и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики». Тула-Донецк-Минск,2010 г.;

• V молодежной научно-технической конференции студентов Тульского государственного университета «Молодежные инновации». Тула, 2011 г.

• Всероссийской научной конференции «Молодые исследователи - регионам». Вологда, 2011г.;

• 4-й Международной научно-практической конференции «Современные проблемы науки». Тамбов, 2011 г.;

• XII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». Тула, 2011 г.;

• 8-й Международной конференции по проблемам горной промышленности, строительству и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики». Тула-Донецк-Минск, 2012 г.;

• Международной научно-технической конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2012 г.

По результатам всех перечисленных конференций опубликованы тезисы и доклады. В полном объеме диссертация докладывалась 25 октября 2012 года и 3 апреля 2013 на научном семинаре по МДТТ при ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет» под руководством д-ра техн. наук, профессора В.Г. Зубчанинова, 10 декабря 2012 года и 14 марта 2013 года на научном семинаре по МДТТ им. Л.А. Толоконникова при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» под руководством д-ра физ.-мат. наук, профессора A.A. Маркина.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 20-ти научных статьях в отечественных журналах и сборниках, в том числе 4 работы - в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы из 149 наименований и приложения. Диссертация содержит 115 страниц основного текста, в том числе 26 рисунков и приложение на 46 страницах, с результатами и текстом программы расчета, документами о внедрении. Общий объем работы 161 страница.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются важность и актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена научная новизна работы, охарактеризованы достоверность и практическая ценность полученных результатов, приводятся краткое содержание разделов работы и краткая характеристика диссертации в целом.

В первом разделе проводится обзор основных направлений в моделировании свойств анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния.

В данном разделе приведены модели, в основу которых положена зависимость механических характеристик материала от знаков возникающих напряжений или развивающихся деформаций. В рамках таких моделей выделены определяющие соотношения, предложенные в работах С .А. Амбарцумяна, A.A. Хачатряна, М.С. Саркисян, P.M. Джонса, К.В. Берта, Д.Н. Ред-ди, Ф. Табаддора и других. Также рассматривались модели, определяющие жесткость материалов в зависимости от непрерывных функций вида напряженного состояния и базирующиеся на работах Н.М. Матченко, АА. Трещева, Е.В. Ломакина, A.A. Золочевского, A.B. Березина и других. В качестве функций, зависящих от вида напряженного состояния, указанные авторы использовали нормированные напряжения, отношение средних напряжений к интенсивности напряжений, эквивалентные напряжения.

Экспериментальные исследования, связанные с деформированием анизотропных материалов, проводились В.Г. Зубчаниновым, A.A. Золочевским, Н.Л. Охлопковым, A.B. Берези-ным, Е.В. Ломакиным, К.В. Бертом, Д.Н. Редди, В.А. Розе, P.M. Джонсом, Д.А.Р. Нельсоном, Д.В. Шмусером и др.

Отмечено, что большинство известных определяющих соотношений для анизотропных разносопротивляющихся материалов имеют ряд недостатков, таких как

— неучет влияния сложных видов напряженного состояния при определении жесткости материала;

— построение кусочных и непотенциальных зависимостей;

— большое количество констант, входящих в определяющие соотношения;

— наличие ограничений, накладываемых на некоррелируемые константы материалов;

— узкая область устойчивости потенциалов деформаций или напряжений.

Существенный вклад в развитие теории пластин из анизотропных материалов внесли

С.А Амбарцумян, Г.В. Бригадиров, В.В. Болотин, К.З. Галимов, В.А. Гордон, Э.И. Григолкж, Я.М. Григоренко, С.Г. Лехницкий, В.А. Ломакин, A.A. Маркин, В.В. Пикуль и др.

Во втором разделе рассматривается вариант определяющих соотношений структурно-анизотропных упругих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния. Использованный подход основан на инвариантах тензора напряжений, связанных с нормированным пространством напряжений Матченко-Трещева.

Напряженное состояние в точке анизотропного деформируемого тела в нормированном пространстве напряжений количественно предложено определить модулем вектора полного напряжения S = -ov , а качественно - нормированными напряжениями a^=avIS, которые связаны условием нормировки a[]-aij=\, где i,j = 1,2,3.

Для общего случая анизотропии в ортогональной системе координат закон упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала при линейной аппроксимации диаграмм деформирования примем в виде, предложенным Трещевым A.A.:

(i,j,k,m= 1,2,3), (1)

где Сш = Am+Bmiakk- Сщ = Ат + Вт(аи + ссИ; (здесь и далее по индексам не суммировать);

А]кт< Щкт ' константы, подлежащие определению из экспериментов по деформированию образцов материала (в общем случае число независимых констант равно 42). Например, для ор-тотропного тела достаточно экспериментов по одноосному растяжению и одноосному сжатию вдоль главных осей анизотропии и под углом 45° к ним. Эксперименты под углом 45° можно заменить опытами на сдвиг в главных плоскостях анизотропии. Из данных экспериментов определяются физико-механические характеристики материалов, такие как е~ - модуль упругости, vf. - коэффициент Пуассона, ег. - модуль упругости под углом 45° к главным осям анизотропии а - модуль сдвига в главных плоскостях анизотропии. В нелинейной постановке для

' пт

ортотропного тела, данные компоненты Aljkm, BiJim представляются таким образом, что вместо констант физико-механических характеристик записываются нелинейные материальные функции, определяемые из тех же экспериментов, что и квазилинейной постановке.

На базе квазилинейных уравнений Трещева A.A., получены определяющие соотношения для нелинейного структурно - ортотропного тела:

«11 =<11 +ß?iu«n]°ll +[А?122 +<22(«11 + «22^22 + <33 + ВП^аП + «33^33^

«22 =[^22 + <22(а11+а22)1<тп +Г4'222 +В2222а221ст22 + В21зЗ<а22 + «33^33 ^

«33 =<3 +ВШЗ(а11+аЗЗ)]а11 +1^233 +В2Л233 Х («22 + «33 ^22 + <33 + Яз1зЗаЗЗ ^33 =

«12 =<12 + <12^12^12- «23=<4323 +<3^a23)*23; (2)

«з^Кш^зш^з^зг

п^ММ/И*

=вт+=AJ -v- ¿цен ^■

a также для трансверсально-изотропных материалов

«П =<11 +йШ1ап1°11 +[<22 + <22(а11 +а22)^22 + <33 +*ПЗЗ<а11 ^ЗЗ^ЗЗ^

«22 =<22 +<22<а11 +«22>]°11 + <Ш +ВП.1а22^22 + <33 + <33^22 + «33^33

«33 =<зЗ+ВГ133(а11+аЗЗ>]ст11 +<33 + ЯИ33(а22 +«33^22 +<33 + Вз1эЗаЗЗ 1а33 =

«12 = Кш - ЛП22> + (<11 - ЙП22^«12^12^ «23 = + <313^23^23 =

. .п! , Dnl /Г . . (3)

«13 = ^313 1313 13^ 13' Материальные функции определяющих соотношений будут вычисляться по результатам простейших экспериментов. Принимая нелинейные уравнения, представим материальные

функции в зависимости от интенсивности напряжений. С помощью программы Microcal Origin

6.0 (Microcal Software Inc.) получены зависимости функций vi(c.), Е (a.), Gnm(cr;)

для каждого эксперимента и полученные выражения внесены в формулы для определения функций уравнения состояния:

АкШ =0,5[l/£+(a/)+l/^(a/)]; в"^ = 0,з[1/.Е+(аг)+1/££ (о,-)];

АШ/ =_[4(a;}/Е0 (ст<)+vTjWZj (°<)]; ВЩ] =-[v£ «ч)' «ч )}.

aJ =[l/£i - O.as^iyfitia.O+l/Eti^O+l/ErCo^+l/JiJCa,-)]-

-2[vt. (a; )/£t (а,- (о,- )/£f №)]) в^. =■Л [l/£i (Щ )+l/Ejj (ai )]-0,125^1/£f (a; )+l/E+ (a; )+l/£f (a; )+l/£j (a,- )]-

-4[vt (a; )IE? «УО+vJi (ct )/Ef «т;)]),

где v* (<rf) / £+ (<тг) = (oj) / £f (<тг); ^ (oj) / E~ (oj) = v^ (a;) / £f (<r,-);

Ek<-°'i) = Ak+Bk(7i+Ck0?"' Ek > = Ak+Bkai+Ckc!i"' = 4 +Bii(ri+CUa?'

Уу(сг1) = АЦ+Вусг1+Су(г?-, E^p(ai) = A^p+B^pai+C^pa}-, Е^Дст;) (5)

Gnm(°i) = "Vi +Bnmai +спта1-

Рассмотрены эксперименты по одноосному растяжению и одноосному сжатию вдоль главных осей анизотропии и по сдвигу в главных плоскостях анизотропии, на примере материала композит углеродного волокна - углерод AVCO Mod За, приведенные в работах американских ученых Джонса - Нельсона. В данном примере первая ось анизотропии располагается в направлении волокон материала, вторая ось в плоскости волокон перпендикулярно первой оси анизотропии, третья ось анизотропии перпендикулярна плоскости волокон материала.

Экспериментальные диаграммы кривой деформирования и их нелинейные аппроксимации в интенсивностях напряжения по растяжению или сжатию вдоль главной оси анизотропии X) представлена на рис.1.

Рис.1. Кривые «напряжение-деформация» в направлении оси Х1:а - растяжение; б - сжатие; 1 - продольная деформация ей; 2, 3 - поперечная деформация £22 и £33; --экспериментальные данные; —□— нелинейные аппроксимации.

Экспериментальные диаграммы кривой деформирования и их нелинейные аппроксимации в интенсивностях напряжения по растяжению или сжатию вдоль главной оси анизотропии хг представлены на рис.2.

си, МПа

Ц-1—1-1-1-1-1-—

2 4 6 8 10 12 14 е, 10"' 0 2 4 6 8 10 12 14 е, 10"

. 2. Кривые «напряжение-деформация» в направлении оси хг:а - растяжение; б - сжатие; 2 - продольная деформация £22; 1,3- поперечная деформация еп и йз; --экспериментальные данные; —□— - нелинейные аппроксимации.

Экспериментальные диаграммы кривой деформирования и их нелинейные аппроксимации в интенсивностях напряжения по растяжению или сжатию вдоль главной оси анизотропии хз представлены на рис.3.

Озэ, МН/м

а)

ам, МН/м г

10 12 14 в, 10

Рис. 3. Кривые «напряжение-деформация» в направлении оси х3; а - растяжение; б - сжатие; 2 - продольная деформация £22; 1, 3 - поперечная деформация £11 и ад

--экспериментальные данные; —□— - нелинейные аппроксимации. ^

При построении материальных функций проводилась проверка энергетической непротиворечивости по Друккеру

(6)

дау,

&Ту> 0.

Исходя из проведенного исследования можно утверждать, что нелинейная аппроксимация кривых деформирования дает результаты, максимально приближенные к экспериментам. Поэтому очевидно, что предложенная модель ортотропных нелинейно-упругих разносопротив-ляющихся материалов наиболее предпочтительна в случае расчета конструкций, работающих при сложных напряженных состояниях.

Для оценки пригодности предложенных модельных соотношений к описанию напряженно-деформированных состояний нелинейно-упругих анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, рассмотрены эксперименты, принятые в работах Е.В. Ло-

макина. Экспериментальные диаграммы растяжения вдоль главных осей анизотропии образцов материала композит стеклоткань - полиэфирная смола, показаны на рис. (4, 5, 6), вдоль направления основы ткани и под углами 22,5° и 45° к направлению основы. Диаграммы 1 относятся к продольной деформации, а диаграммы 2 - к поперечной.

б)

в)

2 <г, МПа

ч\ —-200

\\Ч /

—$00 . ^

! Л г % 1 ,

— 200

/-у:

—К»

} \ 1. * 1 , ¡г

Рис. 4. Экспериментальные диаграммы растяжения в направлении главной оси анизотропии х1 а - вдоль волокон анизотропии; б - под углом 22,5 к волокнам анизотропии; в - под углом 45 к волокнам анизотропии; 1 - продольная деформация ец; 2- поперечная деформация £22;

—— -эксперимент;---квазилинейная разносопр.;-----Берт-Редди;

........нелинейная разносопр.; - - - Амбарцумян

В) с. мш

/¡к.

, . 12 Рис. 5. Экспериментальные диаграммы сжатия в направлении главной оси анизотропии х1 а - вдоль волокон анизотропии; б - под углом 22,5 к волокнам анизотропии; в - под углом 45 к волокнам анизотропии; 1 - продольная деформация £и; 2- поперечная деформация £22; —— -эксперимент; — — - квазилинейная разносопр.; —— Берт-Редди; —.. - нелинейная разносопр,; ----- -Амбарцумян

^ (Г. МТС* В) «?. МПа

гг. 1 г

Рис. 6. Экспериментальные диаграммы по сдвигу в главных плоскостях анизотропии х1х2 а - к направлению основы 0-90; б - к направлению основы 22,5-112,5; в - к направлению основы 45-135; 1 - продольная деформация ен; 2- поперечная деформация £22;

-----эксперимент; —— - квазилинейная разносопр.;-----Берт-Редди;

—- нелинейная разносопр.; - - -Амбарцумян

В третьем разделе на основе принятого варианта определяющих соотношений разработана общая методика решения задач упругого деформирования пластин из нелинейных анизотропных разносопротивляющихся материалов. Решены задачи о поперечном изгибе круглой и прямоугольной пластин при двух видах опирания.

Детально рассмотрена постановка задач, описаны численная реализация и особенности расчета. Проведен анализ полученных результатов.

НДС круглых пластан из нелинейных анизотропных материалов

Ввиду того, что приведенная выше модель по сравнению с теориями других авторов, даёт более точное соответствие экспериментальным данным, очевидно, что результаты практических расчетов элементов конструкций подтвердят эту тенденцию.

Решена модельная задача об изгибе жестко защемленной и шарнирно опертой круглой пластины из углерода AVCO Mod За. Радиус пластины 3 м; толщина пластины 0,2 м; пластина находится под действием поперечной нормально приложенной, равномерно распределенной нагрузки q. Вертикальная ось хз направлена в сторону прогибов. При решении поставленной задачи введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы Кирхгофа -Лява.

Геометрические соотношения для тонких пластин принимаются в форме уравнений

er=er + z-zr, ee=£e + z'xe- (7)

гд eer=ur, ев=и/г, Хг=-<Р,г' Ze=~<Plr.

Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез примут вид er=ur-z-çjr, ee—ul r-z-ç! г.

В ортогональной системе координат, где оси совпадают с главными осями анизотропии, закон упругости для ортотропного разносопротивпяющегося материала при нелинейной аппроксимации диаграмм деформирования с учетом принятых гипотез и условий симметрии, уравнение примут следующий вид:

<V = \fr+ Л12°е' ее = \iar+ А22ав- (8)

где А^ j, Л\2, ^22, А33 - функции, определяемые следующим образом: Аи=Л1Ш(0«) + ВШ1(а/)аП; ^2=WV + WVX(ail+a22):

А22=Л2222(а/) + В2222(СТ/)а22: 411I1(V = Îll + Кш^Р'

ЛП22^) = ЛП22 + WV^2222 +<22(V-

Выражая уравнения (8) относительно напряжений, получим

= 1<V + Vo СТе = Dner + °22ев - V (10)

где Сц, D[2> ^22- Rr< % определяются следующим образом:

Jin Jin Jin

п 2222 п__1122 D =_1Д1__

U~ Jin Jin .Jin .2- 12 'Jin lin lin 2' 22 Jin Jin ,Mn 2'

^111 2222 1122 1111 2222 * 1122 Л1111Л2222 (/W

Rr "D\\Tr +°127е; Re=DnTr+D22TQ' (11)

Гг=<11<0Р + В1111(СТ/)аИ)СТг + (ЛП 22(СТ/} + 122)(а11 +tX22»V

Ге =(ЛГш(СТг) + ВП22(0/)(а11 +а22))0г +(<22(°i) + B2222(01)a22)Oe- (11>

Принимая за основу те или иные физические соотношения, мы тем самым не вносим изменений в уравнения статико-геометрической природы. Таким образом, остаются справедливыми основные положения и зависимости классической теории упругости. Поэтому уравнения равновесия пластины запишем в виде

Nrr+(Nr-Ne)lr = 0; Mr r+(Mr-Me)l r-Qr= 0, (12)

где Nr, Ne-усилия в радиальном и окружном направлениях; Мг, Мв-изгибающие моменты.

Величина поперечной силы определится следующим образом:

1 г (13)

Q =-N r <p — \q(r)rdr,

r0

или в случае равномерно распределенной нагрузки для круглой пластины :

Qr=-Nr-ç-qxr/2.

Поскольку переход от напряжений к интегральным характеристикам не зависит от физической природы материала, определим их традиционным способом:

h/2 h/2 Nr= f adz; N = J adz; r -h/2 r 6 -h/2 0 (14)

h/2 h/2 M = J arzdz; M = J a zdz. r -h/2 0 -h/2 0

Подставляя полученные соотношения в уравнения равновесия (12), приходим к системе разрешающих дифференциальных уравнений изгиба прямоугольных пластин, обладающих ортогональной ортотропией, нелинейно-чувствительной к виду напряженного состояния: Э2иг 1Эиг К22 1 _ 1 Э/г | 1 /г-'в. дг2 +Г дг ' Кп г2"Г Кп Зг кп г ' (15)

Э2(Р 1д<р (P22-t\2) 1 с_ + 3L

~дг2~гдг r2V f\i Эг rF\ ! 2"

Для полноты системы разрешающих уравнений необходимо задать граничные условия. Очевидно, что в силу неразделимости задач изгиба и плоского напряженного состояния для данного класса пластин граничные условия задаются не только для изгиба, но и для перемещений:

- При ЖеСТКОМ Защемлении w = 0; ç = 0; и =0; (16)

- при шарнирном опирании w = О; мг = 0; и = 0.

Разрешающие уравнения задачи представлены таким образом, что все нелинейные члены выделены в правые части. Задача решается методом последовательных приближений в форме «упругих решений» А.А. Ильюшина. Для решения дифференциальных уравнений ввиду сложности выражений для нелинейных членов использовалась конечно-разностная аппроксимация.

Проведенные исследования напряженно-деформированного состояния пластин из нелинейного ортотропного материала показали, что пренебрегать явлением разносопротивляемо-сти при расчете пластин нельзя, так как это может привести к значительным погрешностям в определении параметров напряженно-деформированного состояния. В частности для прогибов, вдоль радиуса пластины, погрешность может составлять до 50% (рис. 7.), а для максимальных напряжений до 75% (рис. 8.).

Х-'"

.....

л |

а ;

—•— Классическая вжзотролии

Квазилинейная разность ■• о- Нелинейная рвэно-стъ - -О—К.В. Берт.Д.Н. Редди

P.M. Д)гонс-ДАР. Нельсон

Рис. 7. Распределение прогибов вдоль радиуса в жестко защемленной пластине

а)

..г'

-К.8 .Б^-ДЯР««* I

'•Р.М Д|юс-ДАР.И«яхям|

N>

••х-----••....... '

Величина натрут. Па

Велкчм нфум. Hi

Рис. 8. Зависимость максимальных напряжений сгг от нагрузки в шарнирно опертой пластине а - сверху пластины; б - снизу пластины;

НДС прямоугольных пластин из нелинейных анизотропных материалов

Аналогачно приведенному выше решению были построены разрешающие уравнения для определения напряженно-деформированного состояния прямоугольной пластины в декартовой системе координат.

Рассматривалось упругое равновесие тонкой прямоугольной пластины толщиной 1г=0,2 м, Ь=2 м, э=3 м из ортотропного разносопротивляющегося материала под действием поперечной нормально приложенной, равномерно распределенной нагрузкой д. Вертикальная ось хз направлена в сторону прогибов. При решении поставленной задачи введены традиционные для данного класса задач технические гипотезы Кирхгофа - Лява.

В соответствии с этим, деформированное состояние пластины определим компонентами перемещений точек срединной поверхности и,,и2 ,и3 = -л>. Компоненты тензора деформаций выразим через параметры деформации и кривизны хц срединной поверхности (/, 7=1,2):

ец=е„+ХзХц, (17)

где 2е11=и.„1+и]н; Х«=-"ч}

Выражения для деформаций с учетом принятых гипотез примут вид

еп = и, ,-хJ ■ W,„; е22 = И,,2 ~x,-w,12\en ="Д-Г«,,2 +«2., )-x3w,n . (18)

В ортогональной системе координат, где оси совпадают с главными осями анизотропии, закон упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала при нелинейной аппроксимации диаграмм деформирования с учетом принятых гипотез записывается в виде:

'll=Vll+V22- -22=V12ail+V22°22' ei2=Vl2' (19)

где V] ], v12, v22, v33 - функции, определяемые следующим образом:

V11 = Al 111 (°I > + Bl 111')°41; V12 = A1122 <°i ) + B1122 )x («11 + a22

v22 = A2222(ai) + B2222(ai>a22'< V33 = A1212 <-aO + в\212^0^а12-

A1111(a,) = Af1"11 +Анц(о1-); A1122 «*,-) = аП22 +

A2222 (a; ) = 4m + A2222 * A1212 К ) = A\2\2 + A\2\2^i )• Выражая уравнения (19) относительно напряжений, получим

«И = Vil + Р12е22 - ЙП: a22 = P12eU + V22 ■ V (20)

T12 = Vl2-/î12'

где Яц = fl 1г11 + ^2r22 : К22 = ^2Г11 + Р22Т22■ R33 = ^3Г12 !

Jin Jin

А2222 1122_.

Jin Jin , Jin .2 Jm Jin ..lin .2'

a1U1A2222 -C^1122> AUUA2222 " (Л1122>

Jin .

n. Alll 1

- —¡ы lin .2'

Jin Jin , Jin ,2 ' Jin

A1111A2222 " <Л1122> A1212

^ i = (¿fi'i i (сх,-) + BIU t (ff,-)«! i ))tr,, + (An 22 > + ^1122 ) *<«U + a22 »^22

Г22 = (-41122 > + B\ 122 <°7 > x ("11 + a22 ))°i 1 + <Л2222 ) + B2222 <ai >a22 )CT22

Г12 = (Alin^i) + Sl2l2(ffi^a12>'l2'

Принимая за основу те или иные физические соотношения, мы тем самым не вносим изменений в уравнения статико-геометрической природы. Таким образом, остаются справедливыми основные положения и зависимости классической теории упругости. Поэтому уравнения равновесия пластины запишем в виде

^,1.1+^12.2=0: ^12,1+^22,2=0; Ми,„ +2М12,12 +м22,22 = -q(xuX2) - Nt,w,n -2Nnw,n ~N22w,22, где N} -усилия в серединной плоскости пластины, М,— изгибающий и крутящий моменты.

Поскольку переход от напряжений к интегральным характеристикам не зависит от физической природы материала, определим их традиционным способом:

Ml Ml Ш

Nn = J andz\ ^22= J a22dz; Nn= J rt2dv,

-Ml -Ml -Ml V-ч

Ml mi mi

. M„ = J vuzdz; M^ = J crnzdz", Mn = j rnzdz.

-h,z -Ml -Ml

Подставляя полученные соотношения в уравнения равновесия (21), приходим к системе разрешающих дифференциальных уравнений изгиба прямоугольных пластин, обладающих ортогональной ортотропией, нелинейно чувствительной к виду напряженного состояния: 11"1,11 + 0-5^3"1,22 +(^2 +0.5^з)и2,12 =(/11,1 + ,12,2>/Л: ^2"2,22 + °.5^3"2,11 + °.5^з)и1,12 = ('12,1 + /22,2>/А:

}\цк.цц +2(^2 + Ъ3)»Ч122+p22w-2222 = 12«/й +

+12[(/} т i + f\2u2 2 1 +(п2"1,1 + р22и2.2 >'22 +р33 <и1,2 + "2,1>W'12 1 ' h "

3 3

-12(/1U1 +2У12л2 +722,22>/А " I2(/llw'll +2I12W-12 +l22w>22 ) ' h

(23)

Для полноты системы разрешающих уравнений необходимо задать граничные условия. Очевидно, что в силу неразделимости задач изгиба и плоского напряженного состояния граничные условия задаются не только для изгиба, но и для перемещений и усилий:

- при жестком защемлении w = 0; w,k = 0; = 0; «2 = 0;

- при шарнирном опирании и> = 0; = 0; Uj = 0; и2 = 0 .

Таким образом, сформулирована замкнутая система дифференциальных уравнений в перемещениях относительно срединной плоскости, описывающая исследуемую задачу.

Разрешающие уравнения задачи представлены таким образом, что все нелинейные члены выделены в правые части. Задача решалась методом последовательных приближений в форме «упругих решений» A.A. Ильюшина. Для решения дифференциальных уравнений ввиду сложности выражений для нелинейных членов использовалась конечно-разностная аппроксимация.

Стороны пластины с помощью N точек разбиваются при этом на N-1 отрезков, имеющих одинаковую длину. Разностные аналоги разрешающих уравнений получим путем замены входящих в них производных конечными разностями по шаблону обычной точности. Для решения задачи разработан пакет прикладных программ на базе системы MATLAB R2012.

В результате исследования подтверждено, что неучет существенно-нелинейного характера деформирования ортотропного материала может приводить к ошибке в определении НДС, составляющей до 55 % для максимальных напряжений (рис. 9.) и до 45 % по прогибам с ростом увеличения нагрузки (рис. 10.)

Мелряжежя о„ в середине короткого кран пластик

.......v г......г......?............

ШАА...........I

///// */?/'/ & У.*'

........!-.........

OOS 0.06 I 0.04

I 0.02

I •

I -0 02

f -0.04

S

•0.06 •0.06

; /

.....................ш

У / hi

■ у......✓ *ft........

/ / /,//

t t

■ .....

i «С / * f / f ' / У

Классическая аниклролия - -О-- Квазилинейная разио-стъ -- Нелинейная рмоо-стъ —»—K.Ü Берт-ДН. Редд* -■О— р М. Джонс - ДАР. Нельсон

-05

0.5

1

Рис. 9. Распределение напряжений ах по толщине в середине короткой стороны в жестко

защемленной пластине

х 10

Величина прогиба W в центре плана пластины

0.5

_i-1- Iii'

0.005 0.01 0.015: 0.02 0.025 0.03 W, м

Рис. 10. Отношение нагрузки к величине прогибов в центре жестко защемленной пластины

Анализируя решение приведенных выше задач, следует отметить, что учет нелинейности приводит к весьма существенной разнице в определении перемещений, напряжений и усилий. Также заметим, что использование приведенной методики позволит за счет более точной оценки НДС снизить расход материалов или, наоборот, предотвратить разрушение конструкции.

Результаты исследований, проведенных в диссертации, могут быть полезны для специалистов в области прогнозирования поведения конструкций, а также для выполнения проектировочных и проверочных расчетов.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

В приложениях представлены результаты выполненных расчетов в виде графического материала, листинг разработанной программы для реализации этих расчетов, а также акты внедрения.

1. Рассмотрен ряд теорий деформирования нелинейных анизотропных разносопротив-ляющихся материалов, сделан вывод о том, что определяющие соотношения A.A. Трещева наиболее полно описывают деформирование указанных материалов.

2. Используя методику нормированных пространств предложенную Н.М. Матченко - A.A. Трещевым на основе определяющих соотношений A.A. Трещева получены уравнения связи тензоров деформаций и напряжений для элементов конструкций из анизотропных существенно-нелинейных разносопротивляющихся материалов.

3. Показана система простейших экспериментов для определения констант и материальных функций, входящих в полученные уравнения состояния, описана методика вычисления констант.

4. Получен частный вид определяющих соотношений для случая физически-нелинейных разносопротивляющихся ортотропных и трансверсально-изотропных материалов.

5. Проведен подробный анализ адекватности предложенных соотношений известным экспериментальным данным для конкретных материалов, в частности, композит углеродного волокна - углерод AVCO Mod За и композита стеклоткань - полиэфирная смола

6. Проведено сравнение экспериментальных диаграмм деформирования, рассмотренных в работах Е.В. Ломакина, с их аппроксимациями, полученными по теориям С.А. Амбарцумяна,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

P.M. Джонса, K.B. Берта-Д.Н. Редди, A.A. Трещева в различных постановках. Показано, что наиболее точно экспериментальные данные описываются теоретическими соотношениями, построенными на базе нелинейных определяющих соотношений ААТрещева.

7. Построены разрешающие уравнения для анализа НДС тонких круглых и прямоугольных пластин из анизотропного физически нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния, в геометрически-линейной постановке.

8. Для демонстрации возможностей предложенной теории деформирования осуществлено решение ряда прикладных задач по анализу процесса деформирования различных элементов конструкций, в частности, пластин круглой и прямоугольной формы.

9. Разработан алгоритм решения полученных разрешающих уравнений на основе метода «упругих решений» Ильюшина A.A., а также специальное программное обеспечение, реализующее указанный алгоритм с использованием современного вычислительного комплекса Matlab R2012 для расчета НДС конструкций из рассматриваемых материалов.

10. Результаты расчета для пластин показали, что учет явления нелинейной разносопро-тивляемости позволяет получить уточнение результатов по сравнению с «классической теорией» и другими известными моделями, до 35 % для максимальных перемещений, до 55 % для максимальных напряжений, а в отдельных случаях разница для силовых факторов может достигать 98%.

11. Было проведено сравнение полученных результатов с результатами по альтернативным теориям С.А. Амбарцумяна, P.M. Джонса, К.В. Берта - Д.Н. Редди, А.А.Трещева. Сравнительный анализ показал что предлагаемая в диссертации теория описания нелинейных материалов, дает более адекватный результат.

12. Проведенный анализ полученных в диссертации результатов, позволяет сделать важный вывод о необходимости учета явления нелинейной разносопротивляемости, при проведении различных классов расчетов, в связи с тем, что данное явление оказывает существенное влияние на качественные и количественные характеристики НДС конструкций, типа круглых и прямоугольных пластин.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

(публикации в изданиях, включенных в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук):

1. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала II Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Проблемы специального машиностроения. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 494—502.

2. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского №4. Часть 4, — Н.Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. - С. 1740-1742.

3. Трещев A.A., Теличко В.Г., Ромашин Д.А. Изгиб прямоугольных пластин из ортотропного нелинейно-упругого разносопротивляющегося материала II Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. С.: Механика предельного состояния. Т. 2. — Чебоксары: Изд-во ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2012. - С.131—139.

4. Трещев A.A., Теличко В.Г., Ромашин Д.А. Изгиб прямоугольных пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала II Строительная

механика и расчет сооружений. Научно-технический журнал №6. — Москва: ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, 2012. • С. 42-48.

(публикации в остальных изданиях):

5. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейно-упругого разносопротивляющегося материла II 6-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики «Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и энергетики». — Тула - Донецк - Минск: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 165-174.

6. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для ортотропных нелинеино-упругих разносопротивляющихся материалов II Эффективные строительные конструкции: теория и практика: сборник статей X Международной научно-техническая конференции.

— Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. - С. 271-272.

7. Ромашин Д.А. Деформирование прямоугольных пластин нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II V-я магистерская научно-техническая конференция: тезисы докладов под общей редакцией д-ра тех. наук, проф. Е. А. Ядыкина. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 108.

8. Ромашин Д.А. Деформирование прямоугольных пластин из нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II Сборник материалов XI Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». — Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. - С. 74.

9. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для ортотропных нелинейно-упругих разносопротивляющихся материалов // Вестник отделения строительных наук РААСН.

— Москва - Орёл - Курск: ФГО УВПО Госуниверситет - УНПК, 2011. Вып. 15. С.151-153.

10. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для ортотропных нелинейно-упругих разносопротивляющихся материалов II Вестник центрального регионального отделения РААСН. — Воронеж: Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, 2011. Вып. 10. - С. 135-141.

11. Ромашин Д.А. Изгиб круглых пластин из ортотропных существенно-нелинейных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II V-я молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Е. А. Ядыкина. В 2 ч ч. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 163-164.

12. Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для общего случая анизотропии нелинейно-упругих материалов II V-я молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Е. А. Ядыкина. В 2 ч. Ч. 1. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 160-161.

13. Ромашин Д.А. Деформирование прямоугольных пластин из нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II V-я молодёжная научно-практическая конференция Тульского государственного университета «Молодёжные инновации»: сборник докладов под общей редакцией д-ра техн. наук, проф. Е. А. Ядыкина. В 2 Ч.Ч.1. —Тула: Изд-во ТулГУ, 2011.-С. 161-163.

14. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Определяющие соотношения для ортотропных нелинейно-упругих разносопротивляющихся материалов II 4-я Международная научно-техническая конференция «Современные проблемы науки». — Тамбов: Изд-во ТМБпринт, 2011. - С. 115116.

15. Ромашин Д.А. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала II Материалы всероссийской научной конференции «Молодые исследователи - регионам». — Вологда: ВоГТУ. 2011. Т.1 - С. 219-220.

16. Тоещев A.A., Ромашин Д.А. Деформирование прямоугольных пластин нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 218-219.

17. Ромашин Д.А. Деформирование прямоугольных пластин нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния II Сборник материалов XII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства и строительной индустрии». — Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 57-58.

18. Трещев A.A., Ромашин Д.А. Изгиб прямоугольных пластин из ортотропного нелинейно-упругого разносопротивляющегося материала II Вестник центрального регионального отделения РААСН. — Тамбов: Изд-во Першина Р.В. 2012. Вып. 11. - С. 147-152.

19. Трещев A.A., Теличко В.Г., Ромашин Д.А. Деформирование элементов конструкций из ортотропного нелинейно-упругого разносопротивляющегося материала II Социально-экономические и экологические проблемы горной промышленности, строительства и , ^ энергетики. 8-я Международная конференция по проблемам горной промышленности, „ч строительства и энергетики. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Т.2. - С.74—82.

20. Трещез A.A., Теличко В.Г., Ромашин Д.А. Определяющий соотношения для нелинейно-упругих и структурно ортотропного материала II Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.-С. 228-229

¡lu. ;,.„!- .;¡P >:'■:: 0203Ш or 1Z02.97. Подписано в печ.т. 22.04.2013. Форда! (пэягпММН'' '■•yiMia офсетная. Уел не'!, л. 1,1 . Уч.-изд. Л- 1.0 . Тираж ЮОэю. Ззка'; 019. *! \ : ■ п.с11! imй унпперситст. 20Ü600. г. Тулп. гтр. Лепима. 92.

Oi^e-iav^Ho i- \ ил.-.г; Tv.íí.ckoio rocv.wpe геенной* университета 3!КЮ12. г. Т>ли. Просп. Ленина.».

ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

rw5rM7en(M4 На правах рукописи

Ромашин Дмитрий Алексеевич

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ К ВИДУ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Трещев A.A.

Тула - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ............................................... 4

1. Обзор математических подходов к описанию НДС материалов, с учетом анизотропии и чувствительности к виду напряженного состояния...................................9

1.1. Некоторые модели расчета анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния . 9

1.2. Основные направления расчета конструкций .... 33

2. Уравнения состояния для ортотропных нелинейных разно-сопротивляющихся материалов ........................... 3 6

2.1. Модели уравнений состояния Матченко-Трещева и Трещева для квазилинейных структурно анизотропных сред .............................................3 6

2.2. Модель ортотропного нелинейного разносопротив-ляющегося материала .............................. 42

2.3. Подтверждение адекватности принятых определяющих соотношений ..................................61

3. Моделирование процесса нелинейного деформирования жесткой круглой и прямоугольной пластины из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала..........7 5

3.1. Основные предпосылки ........................ 7 5

3.2. Построение разрешающих уравнений изгиба круглой пластины при конечных прогибах ................... 7 7

3.3. Построение разрешающих уравнений изгиба прямоугольной пластины при конечных прогибах ......... 81

Заключение ............................................8 6

Литература ............................................8 9

Приложение 1 .........................................109

Приложение 2 .........................................115

Приложение 3 .........................................120

Приложение 4 .........................................132

Приложение 5 .........................................145

Приложение б .........................................157

ВВЕДЕНИЕ

Инженерная практика постоянно требует повышения точности расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Стремление к уменьшению веса конструкции при улучшении их качества вызывает необходимость использования в процессе проектирования современных методов расчета. Для решения этой цели необходимо иметь адекватную теорию расчета, базирующуюся на строго обоснованных и экспериментально апробированных определяющих соотношениях для конкретного класса конструкционных материалов. В настоящее время получили широкое применение конструкционные материалы, механические свойства которых не соответствуют классическим представлениям об нелинейно-упругом деформировании твердых тел. Особенность таких материалов проявляется в зависимости деформационных, прочностных характеристик от вида напряженного состояния и в дилатационном характере деформирования. Многие из этих материалов оказываются начально анизотропными. К таким конструкционным материалам относятся композит на основе графита ATJ-S, композит углеродного волокна AVCO Mod За, стеклопластики П 36-50 и П 32-57, основным свойством которых является существенная физическая нелинейность. Механические свойства материалов с вышеуказанными свойствами не соответствуют линейным уравнениям механики деформируемого твердого тела. Подобные явления проявляются уже при упругой стадии работы конструкции и во многом влияют на последующее распределение напряжений. Это приводит к необходимости построения более совершенной модели описания поведения кон-

струкционных материалов, согласованной с экспериментальными данными.

Предметом исследования являются круглые и прямоугольные пластины, которые как элементы покрытий, днищ различных сооружений, оборудования и в качестве заглушек, являются довольно распространенными элементами конструкций, применяемых в строительных конструкциях металлургической, нефтяной, химической промышленности.

Расчет круглых и прямоугольных пластин в линейной постановке изучен достаточно подробно, чего нельзя сказать о пластинах из нелинейного разносопротивляющегося анизотропного материала. Это связано, в первую очередь, с недостаточностью экспериментальных исследований для прочностных расчетов и большим разбросом экспериментальных данных. Очевидно большее количество экспериментальных исследований будет являться направлением для развития математического моделирования анизотропных материалов.

Учитывая выше изложенное, отметим, что задача разработки корректных моделей, описывающих характер поведения под нагрузкой конструкций из анизотропных нелинейно раз-носопротивляющихся материалов, носит не только теоретический, но и практический интерес.

Таким образом, можно, констатировать, что учет явления разносопротивляемости материалов при определении напряженно-деформированного состояния элементов анизотропных конструкций является актуальной задачей.

Целью настоящей работы является получение определяющих соотношений для анизотропного нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния, наиболее точно описывающих его поведение под нагрузкой, разработка

- б -

методики расчета изгибаемых тонких круглых и прямоугольных пластин, выполненных из рассматриваемых материалов.

Для этой цели необходимо:

- использовать методику нормированных пространств предложенную в работах Толоконникова JI.A., Матченко Н.М., Трещева A.A.;

- сформулировать уравнения связи тензоров деформаций и напряжений для физически-нелинейных анизотропных разносо-противляющихся материалов различного класса;

- указать систему простейших экспериментов на орто-тропном теле для определения нелинейных материальных функций, входящих в уравнения состояния, описать методику вычисления коэффициентов полиномов;

- подтвердить адекватность предлагаемых соотношений реальным состояниям конкретных материалов;

- конкретизировать полученные уравнения для ортотроп-ных и трансверсально изотропных материалов;

- построить разрешающие уравнения изгиба тонких круглых и прямоугольных пластин из анизотропного физически нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния;

- решить ряд прикладных задач по деформированию тонких пластин при различных видах закрепления, сравнить полученные результаты с аналогичными, полученными на основе других моделей.

Научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

- уравнения состояния для существенно-нелинейных материалов, таких как композит углеродного волокно - углерода

AVCO Mod За и композита стеклоткань - полиэфирная смола П32-57, описывающие механическое поведение материала, наиболее приближенное к действительным, найденным из экспериментов;

- математическая модель, учитывающая влияние механических свойств анизотропного физически нелинейного материала, чувствительного к виду напряженного состояния, на напряженно-деформированное состояние жестких круглых и прямоугольных пластин;

- количественные и качественные оценки напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, выполненных из данных материалов.

Достоверность полученных результатов подтверждается:

- хорошим соответствием полученных результатов с экспериментальными исследованиями по деформированию анизотропных разносопротивляющихся материалов;

- строгим использованием аппарата и законов механики деформируемого твердого тела;

- применением апробированных численных методов решения .

Практическая ценность диссертационной работы заключается в следующем:

- полученные определяющие соотношения могут быть использованы для расчетов круглых и прямоугольных пластин;

- разработанные модели могут быть использованы для решения задач изгиба круглых и прямоугольных пластин, выполненных из анизотропных нелинейно-упругих материалов, чувствительных к виду напряженного состояния;

- пакет прикладных программ может быть использован в проектной и конструкторской практике для расчета элементов конструкций выполненых из композита углеродного волокна - углерод AVCO Mod За и композита стеклоткань - полиэфирная смола П32-57.

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы и приложений.

В первом разделе представлен обзор основных направлений в моделировании свойств анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния и теориях тонких пластин.

Во втором разделе описано построение нелинейной модели поведения ортотропных и трансверсально-изотропного разносопротивляющихся материалов под нагрузкой. Так построены определяющие соотношения для нескольких нелинейно-упругих материалов.

В третьем разделе рассмотрено решение задач об изгибе круглых и прямоугольных пластин выполненных из нелинейно анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, при различных видах закрепления.

Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.

В приложениях приводится графические материал с результатами расчета тонких пластин, выполненных из разносопротивляющихся анизотропных материалов в геометрически линейной постановке.

1. ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К ОПИСАНИЮ НДС МАТЕРИАЛОВ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ВИДУ

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

1.1. Некоторые модели расчета анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния

Композиционные материалы, армированные волокнами, широко используются в самых разнообразных приложениях, например для многослойных самолетных крыльев и др. Зернистые композиционные материалы применяются для носовых обтекателей возвращаемого космического аппарата, управляющих стержней ядерного реактора и т.д.

Модель С. А. Амбарцумяна.

В его работах [1-7] предлагается простейший вариант определяющих соотношений между напряжениями и деформациями, который в пределах малых упругих деформаций устанавливает кусочно-линейные зависимости между главными напряжениями и главными деформациями.

В зависимости от знака напряжений определяют деформации для областей первого рода, где знаки главных напряжений совпадают (1.1, 1.2), и второго рода, где знаки главных напряжений не совпадают (1.3, 1.4):

о1 > 0, о2 > О г о3 > О ,

еи = &11о1 + Ь+12о2 + Ь+13а3 , е22 = Ь+12ог + Ь+22а2 + Ь+23а3 ,

е33 = Ь+13°1 + Ь+23°2 + Ь+ЗЗаЗ •

- 10 -о1<0,о2<0,о3<0 ,

Ь~ст1+Ь~10о2 + Ь'а^ , е99 = Ь'а + Ъ'99о9 + Ь~9?о, ,

®33 1 ^33®3

1.2

о1>0 , о2>0 , о3< 0 , еп = Ь+11о1 + Ь+12о2 + Ь~13о3 , е22 =Ь+12а1 +Ь+22о2 +Ь23а3 ,

е33 ~ Ь13°1 ^ ^23^2 ^33^3 '

1.3

о1 > О г о 2 < 0, а3 < 0 , е7, — Ь?;ст7 + Ь'9о9 + Ъ'о, , е99=Ъ+.,9оЛЪ~99о9+Ъ~:>чОо ,

е33 = Ъ13°1 + Ь~23°2 + ьзз°з •

(1.4)

Коэффициенты деформаций Ь+ и Ь10 могут быть представлены при помощи технических постоянных:

(1.5)

ъ% = -^/е:, , ь:. = - V"/Е;± ,1*з.

Чтобы пользоваться данными соотношениями упругости во всем диапазоне изменения напряженного состояния материала, необходимо знать значения коэффициентов деформаций

£г для всех направлений, т.е. распределение напряжений

по их знакам во всех точках конструкции и направления главных напряжений.

Определяющие соотношения, предложенные С. А. Амбарцу-мяном [1-7] предполагают, что компоненты матрицы податливости скачком меняют свои значения при смене знака главного напряжения, при котором данная податливость является сомножителем. Как результат принятой гипотезы, поле глав-

- 11 -

ных напряжений разделено на области первого и второго родов. В областях первого рода главные напряжения во всех точках имеют один знак, а в точках областей второго рода знак одного из главных напряжений отличается от знаков двух других. Для области первого рода уравнения связи деформаций и напряжений совпадают с обобщенным законом Гука для анизотропных материалов, в записи которого фигурируют Е+13, V* или Е~о, V" . Уравнения связи для области второго рода одновременно имеют оба знака главных напряжений, благодаря чему накладывают ограничения на константы Е+ ,

у+13 и Е~ , у'^ , вытекающие из условия симметрии матрицы по-

датливостей, в результате чего константы оказываются взаимозависимы:

(1.6)

Данные ограничения существенно сужают класс рассматриваемых материалов. Кроме того, прямое применение предложенных соотношений возможно только в тех случаях, когда заранее известно распределение главных напряжений по их знакам в разных точках тела.

Модель Ф.Тобаддора

Рассматривая общую тензорную форму связи между деформациями и напряжениями, в рамках модели Амбарцумяна [1-7] получил единое математическое представление закона упругости для ортотропного разносопротивляющегося материала при любых сочетаниях знаков главных напряжений. Однако принципиальных отличий между вариантом соотношений Ф.Тобаддора [148,149] и зависимостями Амбарцумяна нет, а

- 12 -

объединению уравнений состояния для областей с одинаковыми и с разными знаками главных напряжений (области первого и второго рода) способствовало введение функции и (х), которая имеет два фиксированных значения:

и (х) = 0 , при х = 0 ;

(1.7)

и(х) = 1, при х>0.

Из анализа приведенных моделей определяющих соотношений разносопротивляющихся материалов видно, что они имеют ряд существенных недостатков. Кроме того, во всех этих моделях принимается жесткая зависимость характеристик материалов от опытов на одноосное растяжение и сжатие, а их зависимость от других видов напряженного состояния отсутствует . Указанные недостатки зачастую приводят ко многим ограничениям на применение данных моделей.

При использовании моделей, в которых для описания разносопротивляемости используются различные функции вида напряженного состояния, отпадает необходимость в предварительном определении областей растяжения и сжатия, но возникают некоторые трудности, связанные с параметрами учитывающие вид напряженного состояния основных соотношений между деформациями и напряжениями.

Модель Джонса -Нель сона -Морга на

Для плоского напряженного состояния в ортотропном материале с разными модулями упругости при сжатии и при растяжении предлагаются следующие соотношения между деформациями и напряжениями [137 - 143], записанные в координатах (рд) , которые совпадают с главными осями напряжений :

- 13 -

гр = З^Ор +

+ (1-8) Урд — ^61 °р + ^62 °д' Главные оси напряжений не совпадают с главными осями

деформаций. Податливости Б?? задаются по следующим прави-

лам:

при ор> 0 и оа> 0: Б?? =

при ар <0 и оа <0:

я

,рд

'±3

5

рд ДО с '

лри о >0 и о а <0:

р д

'22 ^22с г ^61

оРЯ _ сР9 оРд _ ¡^ оРд ■ ъ. сР9 21 ~Лp'3I2t тлд°12С

<-рд _ с?рд с?рд _ орд срд

0?? 7 ~°6И/'062

Б

рд 52с'

при о р <0 и оч> 0: = Б™, Б™ = ^ +

д • - - ^Ис'

Р<7 _ сР? сР<? — СР1 СР<? _ £Р<7

Здесь кр=

аРЧ _ орч оРЧ — еРЧ о

Г К

ар

ар +

я

°р +

(1.9) (1.10)

(1.11) (1.12) И. 13)

В качестве весовых коэффициентов можно взять и другие функции главных напряжений. Окончательно определить вид весовых коэффициентов можно лишь после проведения экспериментальных исследований. Матрица податливостей приведена к симметрии без использования искусственных соотношений, накладываемых на свойства материала при растяжении и при сжатии. В отличие от модели Амбарцумяна перекрестная податливость Б12 ПРИ изменении соотношения главных напряжений повсюду меняется непрерывно, однако касательная к кривой перекрестной податливости претерпевает разрывы.

Для перекрестной податливости Б^ должна использоваться взвешенная сумма, зависящая от обоих главных напряжений. Например, если стр>0, ад <0, то

(1.14)

где кр и кд зависят от о и стд . Даже при трехосном напряженном состоянии перекрестная податливость зависит не более чем от двух главных напряжений. Слова «не более» употреблены здесь потому, что представляется разумным счи-

поскольку второе напряжение, в данном случае касательное, равно нулю по определению. Перекрестная податливость задается аналогично.

Податливости и в координатах главных напря-

жений (рд) связаны с податливостями Б™^ и в координа-

тах (т, п) , совпадающих с главными направлениями материала. Податливости, взятые в главных осях материала, выражаются через обычные инженерные постоянные по формулам

(1.17 - 1.22). Однако податливости и (соответст-

венно 1/С?^ и 1/0™£с) нельзя измерить при сдвиговых испытаниях ортотропного материала с разными модулями при сжатии и при растяжении, так как эти испытания происходят в условиях, когда одно главное напряжение сжимающее, а дру-

4 5

гое - растягивающее. Вместо этого измеряется при рас-

тяжении под углом 4 5° к главным направлениям материала, а Э™^ вычисляется по формуле:

(1.15)

т. е .

'66Ь ~

Ьтп1 К^ттЬ * 1

1

4

С

1

(1.16)

Аналогичная формула используется при вычислении S^

4 5

по известному Ес .

Симметрия матрицы податливостей достигается заданием условия = $21 с учетом двух главных напряжений. В координатах, связанных с главными направлениями материала, податливости анизотропного материала, конечно, симметричны. В любой другой системе коорди