Динамические факторы, обеспечивающие устойчивость маятниковых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

?10 ОД

Глазачев Александр Владимирович ' 1 '

ДИНАМИЧЕСКИЕ ФАКТОРЫ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ УСТОЙЧИВОСТЬ МАЯТНИКОВЫХ СИСТЕМ

Специальность:01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск - 2000

Работа выполнена в Томском политехническом университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Копытов В.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Крауиньш П.Я. кандидаг физико-математических наук Пономарев C.B.

Ведущая организация: Томский государственный университет,

кафедра "Механики деформируемого твердого тела"

Защита состоится " 2£ <¿"22^000 Г. в 15 часов на заседа-ии

диссертационного совета К 063.80.04 при Томском политехнич ском университете по адресу: 634034, г. Томск, пр. Ленина, 30

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Томского по.> -¡технического университета по адресу: г. Томск, ул. Белинского, 53

Автореферат разослан " 2 f "C&^fT-fGEAgQQQ г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор технических

профессор

Саруев JI.A.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Опрокинутый маятник представляет собой своеобразный феномен механики. При отсутствии вибрации маятник неустойчив в опрокинутом положении, так как малейшее возмущение' выводит его из равновесия и возвращает в нормальное положение. Если точка подвеса совершает вибрации с определенной частотой и амплитудой, то маятник становится устойчив в опрокинутом положении.

Факт стабилизации маятника в опрокинутом положении оказался столь необычным, что привлек к себе широкий круг специалистов науки и техники. Задача о нахождении условий устойчивости маятника в опрокинутом положении при вибрации точки подвеса в ряде работ решалась различными методами.

Опубликованные академиком Челомеем В.Н. результаты экспериментальных исследований, получившие название "парадоксы в механике, вызываемые вибрациями" показали, что в случае, когда масса физического маятника имеет степень свободы относительно стержня, возникают динамические силы, стремящиеся уравновесить действие силы тяжести и установить массу в положение соответствующее максимальной потенциальной энергии. Полученные исследователями результаты не позволяют достаточно просто объяснить физическую сущность "парадоксов механики".

Диссертационная работа посвящена:

- развитию теории динамической устойчивости физического маятника при гармонической вибрации точки его подвеса, изложенной в работах академика Капицы П.Л.;

- определению динамических факторов, объясняющих "парадоксы механики, вызываемые вибрациями", описанных в работе академика Челомея В.Н.

Цель работы. Определение динамических (вибрационных) сил, действующих на физический маятник при вибрации точки подвеса и уравновешивающих действие силы тяжести.

Методы исследования. Теоретические исследования проводились на физической модели математического маятника. Исследование динамики физического маятника на основе использования уравнения Матье и диаграммы устойчивости Айнса-Стретта. Экспериментальные исследования выполнялись в лабораторных условиях и включали в себя подготовку экспериментальных установок и проведение экспериментов по исследованию динамики физического маятника.

Научная новизна.

1) Сформулировано условие динамического равновесия физического маятника в опрокинутом положении с вибрирующей точкой подвеса.

2) Проведена модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретта для физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

3) Получен закон изменения динамических сил, действующих на физический маятник с вибрирующей точкой подвеса.

Практическая ценность.

1) Закон изменения динамических, сил существенно упрощает математическое описание маятниковой системы при вибрации точки подвеса. В этом случае уравнения маятниковой системы описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

2) Полученные закономерности позволяют достаточно просто объяснять теорию виброустойчивости маятника с вибрирующей точкой подвеса в курсах механики, теории колебаний, изучаемых студентами вузов.

3) Закон изменения динамических сил позволяет объяснять "парадоксы механики", описанные Челомеем В.Н.

4) Результаты исследований могут быть использованы при вибрационном управлении "перемешиванием" и "прессованием" различных \ттер1!аловгнаходящр!хсяззибр1^ующей жидкости.

Апробация работы и публикации. Содержанией~о с новные - рс~ зультаты диссертационной работы были доложены и обсуждены на юбилейной научно-технической конференции "Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации" - г. Москва (1998 г.); третьей международной конференции "Конверсия, научные результаты для международного сотрудничества" - г. Томск (1999 г.); Российской научно-технической конференции "Новейшие технологии в приборостроении" - г. Томск (1999 г.).

По содержанию работы, основным результатам опубликовано 4 печатных работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основная часть изложена на 90 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка и фотографии, 2 таблицы. Список литературы содержит 51 наименований на 6 страницах. Приложение на 6 страницах.

СО ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении показана актуальность поставленной задачи, а также краткий перечень рассматриваемых вопросов.

Первая глава, постановочная, посвящена состоянию вопроса и постановке задачи диссертационной работы.

В работах академика Капицы П.Л. дано классическое описание динамики опрокинутого маятника с вибрирующей точкой подвеса. Изложенный в его работах метод наглядно и просто описывает явление стабилизации маятника в опрокинутом положении. Найденное выражение вибростабшшзирующего момента позволяет весьма просто рассматривать данное явление. Введение вибростабилизирующего момента упрощает решение механических задач типа маятника.

Задача о нахождении условий устойчивости маятника в опрокинутом положении при вибрации точки подвеса в ряде работ решалась различными методами. Однако полученные результаты не позволяют достаточно просто объяснить физическую сущность явления стабилизации маятника в опрокинутом положении с вибрирующей точкой подвеса.

Обзор работ по исследованию динамики опрокинутого маятника при вибрации точки подвеса показал, что исследования проводились при условии, что амплитуда вибрации много меньше, чем приведенная длина маятника. Однако в работах Ден-Гартога Дж. и в наших экспериментах показано, что опрокинутый маятник с вибрирующей точкой подвеса также будет иметь устойчивость при соизмеримых значениях амплитуды вибрации и приведенной длины физического маятника.

Опубликованные академиком Челомеем В.Н. результаты экспериментальных исследований, получившие название "парадоксы в механике, вызываемые вибрациями" показали, что в случае, когда масса физического маятника имеет степень свободы относительно стержня, возникают динамические силы, стремящиеся уравновесит действие силы тяжести и установить массу в положение, соответствующее максимальной потенциальной энергии. Величина динамических сил, возникающих в маятниковой системе, зависит от интенсивности вибрации точки подвеса последней. Анализ литературных источников, содержащих результаты исследований "парадоксов механики", описанных Челомеем В.Н., показал, что вопрос еще требует изучения.

Полученное Капицей П.Л. аналитическое выражение вибростабилизирующего момента без дополнительных исследований, не

позволяет записать выражение динамической силы.

Исходя из аналитического обзора литературы, была сформулирована задача: определения динамических (вибрационных) сил, действующих на физический маятник при гармонической вибрации точки подвеса для нормального и опрокинутого устойчивого положения. А также случая, когда физический маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (без влияния силы тяжести).

Во второй главе изложены теоретические исследования динамики опрокинутого маятника на основе уравнения Матье и диаграммы устойчивости Айнса-Стретта.

В параграфе 2.3. дается определение рассматриваемой физической модели маятника. Положение маятника, в случае, когда точка подвеса выше центра тяжести, будем называть нормальным (рис. 1,а), в случае, когда точка подвеса ниже центра тяжести - это положении будем называть опрокинутым (рис. 1,6).

а) б)

Рис. 1. Физическая модель маятника при вибрации точки Подвеса

Масса маятника т сосредоточена в одной точке. Приведенное плечо маятника представляет собой абсолютно жесткий стержень, крепящийся к плоскому шарниру О, который не имеет трения. Точка О совершает колебания по закону s = sg sin cat, где s0, со - амплитуда и угловая частота вибрации, ср ~ малый угол отклонения от вертикали места.

Двнжения физической модели маятника при вертикальной гармонической вибрации точки подвеса, описываются уравнением Матье в виде

с12ф

для нормального маятника —- ч- (а - 2ц $т2т)гр = О , (1)

с/т

для опрокинутого маятника ~-^-(а-2д5т2г)<р = 0 , (2)

¿г'

где а = Л, <7 = ^- О)

о 1

Здесь со0 - частота собственных колебаний маятника при неподвижной точке подвеса, / - приведенное плечо физического маятника.

В параграфе 2.3. изложен простой метод определения границ между областями устойчивости и неустойчивости параметров а и д,

входящих в уравнение Матье, для малых значений с/ (д <2). Полученные выражения границ устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров |а, д } представляются в виде некоторых параболических

кривых, образующих диаграмму устойчивости, аналогичную диаграмме устойчивости Айнса-Стретта (рис.2).

Рис. 2. Диаграмма устойчивости Айнса-Стретта

При проведении экспериментальных исследований диламики физического маятника было отмечено, что при одних и тех же значениях и в некоторых случаях наблюдается устойчивое состояние, как в нормальном, так и в опрокинутом положении, а также случаи, когда маятник неустойчив в нормальном положении, но устойчив в опрокинутом положении.

В результате, нами было предложено провести модификацию диаграммы устойчивости Айнса-Стретта, для маятника при гармонической вибрации точки подвеса, следующим образом, "зеркально отобразив" область устойчивых движений маятника в опрокинутом положении, соответствующую отрицательным значениям параметра а, в область с положительными значениями параметра а (рис. 3). Это положение объясняется следующим.

Рис.3. Фрагмент модифицированной диаграммы устойчивости Айнса-Стретта

Отметим на фрагменте диаграмме устойчивости две изображающие точки А и В (рис. 3), которые располагаются на одном уровне по оси с] и имеют равные значения параметра а по модулю. Точка А соответствует устойчивому состоянию в нормальном положении, а точка В соответствует устойчивому состоянию в опрокинутом положению. С физической точки зрения параметр а имеет только

положительные значения, т.к. входящие в выражение (3) частоты ы и (Од сугубо положительные величины, а на диаграмме устойчивости параметр а имеет отрицательные значения вследствие проведенных математических операций. Из этого следует, что при одних и тех же значениях параметров и со (либо а ид) наблюдается устойчивое состояние маятника, как в нормальном, так и в опрокинутом положении, что и было отмечено при проведении экспериментов.

Модифицированная диаграмма устойчивости Айнса-Стретга (рис. 3) показывает наличие трех характерных зон устойчивости физического маятника при вертикальной вибрации точки подвеса: зона устойчивого нормального положения, зона устойчивого нормального и опрокинутого положений, зона устойчивого опрокинутого положения. Причем последняя зона устойчивости появляется в области неустойчивых движений маятника.

Особый интерес представляет кривая а0 (рис. 3). Это геометрическое место точек для соответствующих параметров а и ц, при котором наступает устойчивое опрокинутое положение.

■ ч2

Из выражения ай = —, подставляя значения а и с/, можно

определить минимальную скорость вибрации, при котором наступает устойчивое опрокинутое положение в виде

1/,тп ¡281 (4)

При скорости вибрации V = со > ¡2%1 наступает устойчивое опрокинутое положение маятника.

Кривая ад представляет по своей сути кривую значений минимальной скорости вибрации, при которой наступает устойчивое опрокинутое положение.

Из данного выражения можно получить основное условие динамического равновесия. С этой целью возведем в квадрат данное выражение, умножим, справа и слева на массу т маятника, получим

(5)

Левая часть представляет собой кинетическую энергию, сообщаемую маятнику вибрацией точки подвеса, а правая часть потенциальную энергию маятника в верхнем положении в поле сил тяжести.

- ю-

Следовательно, в верхнем скаЯ сумма его кинетической т уГ/Гшьш динами-

нулю. Иными словами, верхнее у ^^

энергией'обуслов"

щие на

ном опрокинутом положении, а также в слу

шает ^6аНЯЯ ^Хжешдиаф-- сил, действующих на массу

сти горизонта - — ^ :Г_1а инерц™

возникающая при лишении ™чки п Двеса О арм0.

при ускоренном движении по I - приведенное плечо

нической вибрации точки подвеса мятн^ка Р ^

маятника; Ф ~ У™ отклонения оси маятника ции; т - масса маятника.

03 ЯП ей,

и -

относи гельно точки подвеса О в виде

Fd, = -т1Ф - ms0 со2 sin at sin Ф (6)

Экспериментальные исследования показывают, что, начиная с некоторого значения частоты со (sg ~ const), маятник устанавливается по некоторому направлению, определяемому углом Ф, совершая относительно данного положения колебания малой амплитуды и с частотой, намного меньшей частоты вибрации со. В результате угол Ф монет быть представлен выражением

Ф = (Ро+<Р (7)

где ср0 « const (т.е. медленно меняющаяся величина);

<-р — малые угловые колебания относительно положения, определенного щ .

Дальнейшие преобразования проводились по методу, изложенному в работах Капицы П..Л.

В результате выражение (6) запишется в виде

-mlip - msüco2 sina>tsin(<p0 + <р). (8)

7 Ф

Поделим выражение на mico , а также полагая « 0, в СИ-

йГ

лу условия (7) имеем

JT

■^—r = -~sin (útsin{(p0 + ср). (9)

mico2 I

Выражение sin(<p0 + <р) представим в виде ряда и, подставляя в (9), получим

^V _ s0 „;„„, S0

--sincotsm<p0 —-sino)tcos<p0(p +

mico2 l l

+ ~sincotsin<p0cp2 + ... (10)

Выражение справа представляет степенной ряд по углу (р, являющемуся малой величиной. Поэтому первое слагаемое выражения (10) может рассматриваться как "первое приближение" ряда, т.е.

cp¡ - —-—sincotsinq>Q, (11)

Подставляя (11) во второе и третье слагаемое (10), в результа-

те имеем

К

т1со

<Р1 +■

5о I •

1 и

л/и айвт<р0соз<р№

2 V I

эт3 вЯят3 <р0 + -

(12)

Входящие в (12) гармонические составляющие имеют частоты разного порядка, т.к. *«». В результате усредняя (12) по

2л'

периоду

ю

, получим

1 <>«" ¿¡I 21

(13)

Из рис. 5 видно, что ^ получается в результате "двойного

проектирования" вектора ^ на касательную к траектории движения

массы т.

Рдш соьщ

РИС 5 Динамическая сила, действующая на маятник, совершающий колебания в плоскости горизонта

Таким образом, на маятник, совершающий колебания в плоскости горизонта, действует динамическая сила, направленная по оси маятника от точки его подвеса

Рдин 21

Из (14) видно, что вибрационная сила пропорциональна кинетической энергии, сообщаемой вибрацией подвеса, и обратно пропорциональна плечу маятника / .

Аналогично определяется суммарная величина внешних сил, действующих на физический маятник при вибрации точки подвеса в нормальном и опрокинутом положении. Суммарные величины внешних сил записываются в виде для нормального маятника

- ~т8 (р0 - Гйин соз <р0 .чт <р0, (15)

для опрокинутого маятника

Р<р=т^пщ-Рдинсоз(р05т(ра. (16)

Знание закона действия вибрационной силы при вибрации точки подвеса маятника позволяет исследовать колебательные движения маятника относительно точки подвеса с помощью дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами типа

ф+й)Ц<р = 0, (17)

где (о,) - квадрат частоты свободных колебаний маятника.

Исходя из этого, частоты свободных колебания физического маятника определяются из уравнений обычного осциллятора в виде

для горизонтального маятника сод = — > (18)

для нормального маятника а)Цн = + а>д |. (19)

для опрокинутого маятника со2дн - -соЦ}, (20)

Полученные выражения (19) и (20) подтверждают известный из экспериментов факт об изменении частоты свободных колебаний маятника, при вибрирующей точке подвеса - в нормальном положении частота свободных колебаний увеличивается, а в опрокинутом положении - уменьшается.

В четвертой главе приводится описание разработанных и изготовленных экспериментальных установок для экспериментальных исследований динамики физического маятника при вибрации точки подвеса и результаты экспериментальных исследований.

На рис. 6 показан фрагмент модифицированной диаграммы устойчивости Айнса-Стретта, с нанесенными результатами экспериментов.

Из рис. 6 видно, что предложенная выше модификация диаграммы подтверждается экспериментальными результатами, т. е. наблюдается устойчивое состояние маятника в опрокинутом положении в области неустойчивых движений для нормального маятника. А также наличие "зоны", в пределах которой маятник устойчив, как в нормальном, так и в опрокинутом положении.

Рис. 6. Фрагмент модифицированной диаграммы устойчивости Айнса-Стретта с нанесенными результатами экспериментов

На рисунке обозначено: ♦ — устойчивое состояние маятника только в нормальном положении; • — устойчивое состояние маятника, как в нормальном, так и опрокинутом положениях; + — устойчивое состояние маятника только в опрокинутом положении.

На рис. 7 приведены графики зависимости изменения частоты собственных колебаний маятника от виброскорости для нормального и горизонтального маятника. Крестики соответствуют экспериментальным данным, а кривым - теоретические данные, полученные по выражениям (18), (19).

Рис. 7. Изменение частоты собственных колебаний нормального и горизонтального маятника от виброскорости

Нами были проведены эксперименты, описанные академиком Челомея В.Н., о поведении тел, находящихся в вибрирующей жидкости (рис. 8).

- сосуд ■ пробка

■ жидкость - перегородка текстолит

ЛС

5ЕП1

Рис. 8. Поведение тел в вибрирующей жидкости

Тело, помещенное в вибрирующую жидкость можно рассматривать как маятниковую систему, т. к. тело может перемещаться в горизонтальной плоскости. В данном случае, тело является аналогом груза для обычного маятника, а жидкость - (аналог стержня) звеном для сообщения телу колебательных движений.

При вибрации подвеса тела через жидкость приобретают определенные значения виброскорости &0а>. Если предположить, что телам в жидкости сообщается виброскорость, равная виброскорости подвеса, то условия динамического равновесия для легкого тела т1 и тяжелого тела т2 запишутся в виде

ько®)2

т,

т

Откуда приведенные плечи будут равны

I, — - , ¡2 — -

28 2g

т.к. правые части в (22) одинаковы, то, следовательно т. е. при одинаковом вибрационном воздействии, тела, помещенные в жидкость должны располагаться на одном уровне.

Полного совпадения положений тел в вибрирующей жидкости не наблюдается потому, что сообщаемые телам амплитуды $0тел будут меньше амплитуды з0 вибрации подвеса, а следовательно, и сообщаемые телам значения виброскорости будут меньше создаваемых виброустройством.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе определены новые факторы, обеспечивающие устойчивость маятниковых систем при вибрации точки подвеса.

Проведена модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретта для физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

Впервые показано наличие устойчивого состояния опрокинутого маятника в неустойчивой области диаграммы Айнса-Стретга.

Модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретга существенно упрощает планирование эксперимента по исследованию динамики физического маятника в области высоких частот.

Сформулировано условие динамического равновесия физического маятника в опрокинутом положении при гармонической вертикальной вибрации точки подвеса.

Получен простой закон проявления динамических (вибрационных) сил, действующих на физический маятник с вибрирующей точкой подвеса и уравновешивающих действие силы тяжести.

Применение закона проявления динамических сил, упрощает математическое описание маятниковой системы при вибрации точки подвеса. Уравнения маятниковой системы представляются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Основное содержание опубликовано в работах:

1. Глазачев A.B. Опытная лабораторная установка для исследования физического маятника при гармонической вибрации его точки подвеса // Новейшие технологии в приборостроении. Научные труды Российской научно-технической конференции. Часть 2. - Томск: Изд-во ТПУ, 1999. - 83 с.

2. Глазачев A.B. Методика проведения экспериментальных исследований физического маятника при гармонической вибрации его точки подвеса // Новейшие технологии в приборостроении. Научные труды Российской научно-технической конференции. Часть 2. - Томск: Изд-во ТПУ, 1999. - 83 с.

3. Glasachev A.V., Kopytov V.l. Experimental researches of dynamic one-component physical pendulum /V The third International Symposium "Application of the Conversion Research Results for International Cooperation" (SIBCONVERS'99). Proceedings. - Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, 1999. - 559 p.

4. Глазачев A.B. Копытов В.И. Устойчивость физического маятника при вертикальной вибрации точки подвеса // Труды юбилейной научно-технической конференции "Приборы и системы ориентации, стабилизации и навигации". - М.: Инф.-изд. Служба "Компьютерные системы и сети" МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.

- 189 с.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ МАЯТНИКОВЫХ СИСТЕМ ПРИ ЕАРМОНИЧЕСКОЙ ВИБРАЦИИ ТОЧКИ ПОДВЕСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Состояние вопроса о динамической устойчивости маятниковых систем с вибрирующей точкой подвеса.

1.2. Постановка задачи. Цель диссертации. Основные результаты.

Выводы по главе.

2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

С ВИБРИРУЮЩЕЙ ТОЧКОЙ ПОДВЕСА.

2.1. Физическая модель математического маятника.

2.2. Маятник при вертикальной вибрации точки подвеса.

2.2.1. Уравнение движения маятника в нормальном положении при вертикальной вибрации точки подвеса.

2.2.2. Уравнение движения маятника в опрокинутом положении при вертикальной вибрации точки подвеса.

2.3. Определение границ областей устойчивости

2.4. Диаграмма устойчивости Айнса-Стретта.

2.5. Модифицированная диаграмма устойчивости Айнса-Стретта для маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

2.6. Условие перехода физического маятника из одного состояния в другое.

Выводы по главе.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ (ВИБРАЦИОННЫХ) СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА МАЯТНИК.

ЗЛ. Уравнение движения маятника с вибрирующей точкой подвеса.

3.2. Колебания маятника в горизонтальной плоскости.

3.3. Колебания маятника в вертикальной плоскости.

3.3.1. Нормальное положение маятника.

3.3.2. Опрокинутое положение маятника.

3.4. Определение частоты собственных колебаний маятника

3.4.1. Маятник, совершающий колебания в плоскости горизонта.

3.4.2. Определение частоты собственных колебаний маятника для нормального и опрокинутого положения при вибрации точки подвеса.

Выводы по главе.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

4.1. Описание установок для исследований физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

4.2. Схемы экспериментальных установок.

4.3. Методика проведения экспериментальных исследований физического маятника.

4.3.1. Определение параметров физического маятника.

4.3.2. Определение частоты собственных колебаний нормального маятника при вертикальной гармонической вибрации точки подвеса.

4.3.3. Определение частоты собственных колебаний опрокинутого маятника при вертикальной гармонической вибрации точки подвеса.

4.3.4. Определение частоты собственных колебаний горизонтального маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

4.4. Оценка ошибки эксперимента.

4.5. Анализ полученных экспериментальных результатов.

4.5.1. Модифицированная диаграмма устойчивости Айнса-Стретта.

4.5.2. Изменение частоты /дн собственных колебаний физического маятника в нормальном и опрокинутом положениях при вертикальной вибрации точки подвеса.

4.5.3. Горизонтальный маятник при вибрации точки подвеса.

4.6. Динамическое равновесие тел, находящихся в вибрирующей жидкости.

Выводы по главе.

Опрокинутый маятник представляет собой своеобразный феномен механики. При отсутствии вибрации точки подвеса маятник неустойчив в опрокинутом положении, так как малейшее возмущение выводит его из равновесия и возвращает в нормальное устойчивое (исходное) положение. Если точка подвеса маятника вибрирует с определенной частотой и амплитудой, то маятник становится устойчив в опрокинутом положении.

Факт стабилизации маятника в опрокинутом положении оказался столь необычным, что привлек к себе широкий круг специалистов по физике, механике и теории колебаний, теории устойчивости и управления и др. В разное время динамику опрокинутого маятника при вибрации точки подвеса изучали такие крупные ученые, как Капица П.Л., Боголюбов Н.Н., Стокер Дж., Валеев К.Г., Стрижак Т.Г., Блехман И.И. и др.

В работах академика Капицы П.Л. дано классическое описание динамики опрокинутого маятника с вибрирующей точкой подвеса. Изложенный в его работах метод, просто и наглядно описывает явление стабилизации маятника в опрокинутом положении. Найденное выражение вибростабилизирующего момента позволяет весьма просто объяснять рассматриваемое явление. Введение вибростабилизирующего момента значительно упрощает решение механических задач, связанных с маятниками.

Опубликованные академиком Челомеем В.Н. результаты экспериментальных исследований, получившие название "парадоксы механики, вызываемые вибрациями", показали, что в случае, когда масса физического маятника может свободно перемещаться по стержню, возникают динамические силы, стремящиеся уравновесить 6 действие силы тяжести и установить массу в положение, соответствующее максимальной потенциальной энергии.

Эксперименты Челомея В.Н. сразу привлекли внимание исследователей среди них, такие как Блехман И.И., Киргетов А.В., Ме-няйлов А.И. Мовчан А.В и др. Решение задачи маятника Челомея проводилось различными методами, однако полученные результаты не позволяют достаточно просто объяснить физическую сущность явления.

В настоящей диссертационной работе определяются факторы, обеспечивающие устойчивость маятниковых систем: условие динамического равновесия, закон изменения динамических (вибрационных) сил, обеспечивающих устойчивость данных систем.

Теоретические исследования проведены на физической модели математического маятника при поступательной гармонической вибрации точки подвеса. Экспериментальные исследования подтвердили основные теоретические результаты.

Выводы по главе

Модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретта, предложенная в пункте 2.5 подтверждена результатами экспериментов, т. е. на

84

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе определены новые факторы, обеспечивающие устойчивость маятниковых систем при вибрации точки подвеса.

Проведена модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретта для физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса.

Впервые показано наличие устойчивого состояния опрокинутого маятника в неустойчивой области диаграммы Айнса-Стретта.

Модификация диаграммы устойчивости Айнса-Стретта существенно упрощает планирование эксперимента по исследованию динамики физического маятника в области высоких частот.

Сформулировано условие динамического равновесия физического маятника в опрокинутом положении при гармонической вертикальной вибрации точки подвеса.

Получен простой закон проявления динамических (вибрационных) сил, действующих на физический маятник с вибрирующей точкой подвеса и уравновешивающих действие силы тяжести.

Применение закона проявления динамических сил, упрощает математическое описание маятниковой системы при вибрации точки подвеса. Уравнения маятниковой системы представляются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Использование условия динамического равновесия и закона проявления динамических сил позволяет объяснять "парадоксы механики" Челомея В.Н.

Созданы экспериментальные установки, разработана методика исследования динамики физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса. Полученные экспериментальные данные подтвердили теоретические результаты.

85

1. Бардин Б.С., Маркеев А.П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 6. - с. 922 - 929.

2. Баталова З.С., Белякова Г.В. Диаграммы устойчивости периодических движений маятника с колеблющейся осью // Прикладная математика и механика. 1988. - Т.52, вып. 1.-е. 55 - 63.

3. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994.-400 с.

4. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // В кн. Сборник трудов ин-та строит, мех. АН УССР. -1950.-Т. 14.-с. 9-34.

5. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики Ч. 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки. -М.: Физматлит, 1965. -468 с.

6. Валеев К.Г. Динамическая стабилизация неустойчивых систем // Изв. АН СССР, Механика твердого тела. 1971. -N4.-с. 13 -21.

7. Валеев К.Г., Доля В.В. О динамической стабилизации колебаний маятника // Прикладная механика. 1974. -Т. 10, N 2. - с. 88-99.

8. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1979 - Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И. Блехма-на. 1979.- 351 с.

9. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. -М.: Изд-во Московского университета, 1971. 508 с.

10. Гернет М.М., Ратобыльский В.Ф. Определение моментов инерции. М.: Машиностроение, 1969. - 246 с.

11. Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. -М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1986. 256 с.

12. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. М.: Физмат-лит, 1960. - 580 с.

13. Зейферт Г. Асимптотическое поведение решений уравнения типа маятник // Прикладная математика и механика. 1959. - Т. 69, N 1. - с. 75 - 87.

14. Иориш Ю.И. Односторонний увод и вращение стрелок измерительных приборов, возникающих при вибрации // Приборостроение. 1956. - N 4. - с. 15 - 24.

15. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1951, т. 21, в. 5. - с. 588 - 597.

16. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. 1951, т. 64, в. 1. - с. 7 - 20.

17. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд-во Ин. Лит., 1961.-778 с.

18. Киргетов А.В. К вопросу об устойчивости квазиравновесных положений маятника В.Н. Челомея // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - N 6. - с. 57 - 62.

19. Кобринский А.Е. Механизмы с упругими связями. Динамика и устойчивость. М.: наука, 1964. - 390 с.

20. Копытов В.И. Некоторые вопросы теории нелинейных и параметрических колебаний: Учебное пособие / ТПУ. -Томск: ТПУ, 1985.- 94 с.

21. Копытов В.И. Динамическое равновесие физического маятника при гармонической вибрации точки подвеса// Новейшие технологии в приборостроении. Научные труды Российской научно-технической конференции. Часть 1. -Томск: Изд-во ТПУ, 1999. 83 с.

22. Курбатов A.M., Челомей С.В., Хромушкин А.В. К вопросу о маятнике Челомея В.Н. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - N 6. - с. 63 - 65.

23. Кэмпион П.Дж., Барнс Д.Е., Вильяме А. Практическое руководство по представлению результатов измерений. М.: Атомиздат, 1973. - 68 с.

24. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. О движении тела в вибрирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289, N 2. -с. 314-317.

25. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. -М.: Изд-во Ин. Лит., 1953. 476 с.

26. Марюта А.Н. Динамика опрокинутого маятника с вибрирующим подвесом // АН Укр. Прикладная механика. 1993. - Т.29, N 12.-е. 78 - 86.

27. Меняйлов А.И., Мовчан А.В. О стабилизации системы маятник кольцо в условиях вибрации основания // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1984. - N 6. - с. 35 - 40.

28. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971. - 440 с.

29. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1981. - 400 с.

30. Морозов А.Д. К задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса // Прикладная математика и механика. 1995. -вып. 4. - с. 590 - 598.

31. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний: Учеб. Пособие для вузов. 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1991. - 256 с.

32. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. -М.: Машиностроение, 1967. -316 с.

33. Сенницкий B.JI. Движение шара в жидкости в присутствии стенки при колебательных воздействиях // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. - 1999. - Т. 40, N4. - с. 125 - 132.

34. Сенницкий B.JI. Движение шара в жидкости, вызываемое колебаниями другого шара // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. - 1986. - N 4. - с. 31 - 36.

35. Сенницкий B.JI. О движении кругового цилиндра в вибрирующей жидкости // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. - 1985. - N 5. - с. 19 - 23.

36. Синельников А.Е. Уводы маятника на вибрирующем основании в случае действия эллиптической вибрации // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - N 6. с. 35-40.

37. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во Ин. Лит., 1953. - 256 с.

38. Стрижак Т.Г. Метод усреднения в задачах механики.- Киев: Донецк: Вища школа, 1981. 254 с.

39. Стрижак Т.Г. Методы исследования динамических систем типа "маятник". Алма-Ата, 1969.- 253 с.

40. Таблицы для вычисления функций Матье. Собственные значения, коэффициенты и множители связи. М.: Вычислит, центр. Ан СССР, 1967. - 280 с.

41. Хайкин С.Э. Механика. М.: Физматлит, 1962. - 722 с.1. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ