Дискретные группы отражении и трехмерные многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На правах рукописи

ВЕСНИН Андрей Юрьызич

УДК 517.54+515.16

ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ ОТРАЖШ1 II "„ТЕХМЕРШЕ МНОГООБРАЗИЯ

01.01.01 - математический анализ 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1991

Работа выполнена на кафедре теории функций Ноеоси-Йирского государственного университета

Научный руководитель - ^октор физико-математических

наук, профессор С.Л.Круижаль Офяциальнке оппоненты: - доктор физико-математических

наук, профессор Э.Б.Винберг - кандидат физико-метематических наук, с.н.с. Н.А.Гусевский Ведущая организация: Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО АН СССР

Защита диссертации состоится "__"_ 1991

г.в _ часов на заседании специализированного совета

К 002.23.02 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР. (630090, НоЕосиблрск-50, Университетский проспект, 4)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО Ali СССР.

Автореферат разослан " _ " _ 1991г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент

ОЕЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальности темы. Возникновение и развитие теории дискретных групп преобразований, играющих важную роль в раз-.иг шх областях математики - теории функций, геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории чисел, кристаллографии - связано с классическими работами Ф.КлеГжа, А.Пуанкаре, П.Кебе по униформизации римановых поверхностей л многозначных аналитически* функций. Та:-;, Л.Пуанкаре принадлежит идея о связи теории к.пейновы?. груш, рассматриваемых как дискретные группы движений пространства Лобачевского (гиперболического пространства), с геометрией и топологией многообразий.

В 18ОТг. Ф.Клейн поставил проблему классификации пространственных форм Клиффорда-Клейна,-' которые суть не что иное, как римановы многообразия вида где -

или !Нп,а Г - группа движений, действующая без неподвижных точек. Долгое время не было известно, существуют ли замкнутые пространственные формы отрицательной кривизны в размерностях больше двух.

Первый такой пример бил построен Ф.Лебеллем в 1931г. -

компактное ориентируемое гиперболическое 3-многообразие вида

3 '

£Н /Г, где Г - подгруппа конечного индекса без кручений б

группе, порожденной отражениями в гранях прямоугольного 14-грэнгоша.

Благодаря фундаментальным работам Л.Альфорса, Л.Еерса,

С.Л.Крушкаля, Г.Мостова, Б.Маскита, Г.А.Маргулиса, Л.Гринберга, сочетающим методы теории квазиконформных отображений, алгебры и топологии, теория клейновых групп обогатилась новыми красивыкл результатами и приняла современный облик.

Гиперболические 3-многообразия иеда <Н / Г, где группа Г соизмерима с кристаллографической группой отражений (т.е. дискретной группой, порожденной отражениями в гранях многогранника имеющего конечный объем), представляют собою довольно популярный, богатый и поддающийся эффективному изучению класс многообразий. Восходящий к Пуанкаре метод построения многообразий с помощью попарного отождествления граней многогранника, наиболее эффективно применим именно в случае групп, соизмеримых с кристаллографическими группами отражений. В частности, известные многообразия, построенные Вебе-ром И Зейфертом, Вестом, Аль-Джубоури, как и многообразие Лебелля, являются примерами такого рода.

То, что дискретные группы отражений являются группами Коксетера, позволяет использовать их теорию, развитую в работах Ж.Титса, Г.С.М.Коксетера, Э.Б.Винберга, при изучении соответствующих гиперболических многообразий.

!1овый всплеск интереса к теории клейновых групп и 3-многообразий в 80-е годы связан' прежде всего с работами В.Терстона, его "геометризационной" программой. С нею связаны новые работы посвященные изучению структур на многообразиях, изучению их групп изометрий, вычлслению объемов. Значительные результаты здесь принадлежат В.Голдману, Т.Ерген-сену, Т.Чинбургу, А.Д.Медных, Н.А.Гусевскому, А.Риду, М.Э.Каповичу, Дж.Биксу, Р.Меерхофу.

В настоящее время теория клейксьих групп и 3-мнсгообразий далека от завершения и бурно развивается. Связанные с нею вопросы являются актуальным« в современном комплексном анализе и смегзшх областях геометрии и топологии.

Методика исследования. Работа основана ка при/, ¡нении методов теории дискретных гру!ш, геометрии Лобачевского и топологии трелмершх многообразий.

Цель работы. Работа посвящена изучении дискретных групп движения пространства Лобачевского, соизмеримая к кристаллографическими группа:,;:: отражений, построению серий замкнутых гиперболических многообразий, изучению иг. групп изометрий и объемов.

Научная коьпзна и практическая значимость работ». В работе разработан новый наглядный геометрический подход к построению трехмерных гиперболических многообразий и построены бесконечные серии как ориентируемых, та^ и неориентхгруемых многообразий. Вычислены групхш изометрий дли ,;остроеюшх многообразий. Показано, что для любого натурального N существует не менее чем И замкнутых гиперболических 3 - многообразий равного объема и а одним и тем у.'; фундаментальном прямоугольным мнегограшг/ком. Дэн ствет на вопрос Кюйпера об объеме многообразия Менлкке. Построена серия гиперболических альтернированных узлов.

Все основные полученные результаты являются новыми. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейшего развития анализа, теории дискретных групп преобразований и топологии трехмерних многообразий. .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по комплексному анализу и приложениям (г.Варна, 1985), Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г. Новосибирск, 1989), на научно-исследовательских семинарах по комплексному анализу и топологии Института математики СО АН СССР и на кафедре теории функций Новосибирского государственного университета им. Ленинского комсомола.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [10]~[12].

Объем работы. Диссертация изложена на 112 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 81 наименования, а также содержит 25 рисунков и 4 табллцы.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В §1 излагаются основные сведения о гиперболических группах отражений. Во гтором параграфе обсуждаются замкнутые гиперболические 3-многообразия, имеющие фундаментальным многогранником правильный додекаэдр или правильный икосаэдр. В частности, показывается, что приведещшй в работе Беста ([ 1 ]) -список таких многообразий, с одной стороны, содержит гомеоморфные многообразия, а с другой стороны, не является полным. В третьем параграфе строятся примеры многогранников в пространстве Лобачевского все двугранные углы которых -прям . В четвертом параграф с помощью критерия Винберга

Ц2!) выясняется вопрос об ари$метичности груш отражений-построенных в §3 прямоугольных многогранников.

Вторая глава диссертации посвящена построению и изучению бесконечных серий как ориентируемых, так и неориентирув-мых замкнутых гиперболических 3-многообразий, обобщающих классический пример Лебелля ([3]). В §1 этой главы рассматриваются группы, порожденные отражениями в гранях ограни-

з

чешшх многогранников в <н , все двугранные углы которых -прямые. Имеет место интересная связь между нормалышда подгруппами без кручений индекса восемь в таких группах и регулярными раскрасками граней прямоугольного многогранника в четыре цвета. Одномерные остовы таких многогранников - обычные плоские кубические графы. Показывается, что с кзздой регулярной раскраской граней такого графа не более чем в семь цветов можно связать эпиморфизм группы 0, порожденной отражениями в гранях этого многогранника, в восьмнэлементную группу ® а> Имеет место следующий критерий для

построения ориентируемых г.шогообразий:

теорема 2.1. Пус. ,ь о - группа отражений прямоугольного лногогразшика Р с и3, а Г - ее норжиъная подгруппа индекса воселъ. Группа Г действует на он3 без неподвшених точен и м3/Г - ориетируелое лногообразгш, тогда и только тогда, когда канонический гололорфиол ср. : О —» ® © = б/Г соответствует регулярной четырехцветной раскраске граней лногограннина Р.

Отметим, что данная теорема позволяет сделать следующее З/Л^'ШНИС. литое решение проблемы четырех кра-

сок I ..'!■: чот, тго и,} (. ч' .ми ¡;:.-.-у>мароп любого ограниченного

прямоугольного многогранника Р с И моасно склеить замкнутое ориентируемое гиперболическое 3-многообразие.

Следующий параграф второй главы посвящен построению Йе«конечных серий многообразий, обоСщ'-'ощих классический пример Лебелля. Пусть R(ri) - прямоугольный (2п+2) - грагашк, »¡мекхддй два п - уголышх "основания" и 2п пятиугольных боковых граней. Обозначь через G(n) группу, порожденную отражениям! в гранях R(n), и пусть <р : G(nj —» © ф z^ -эпиморфизм! ядро которого Гг = Кег(<рп) не содержит элементов конечного порядка. Трехмерное гиперболическое многообра-

Г)

сна L(n) - M'VT , где Гп - как описано вше, назовем хмгообразмвл шипа Лебелля. Если, кроме того, образы отраке-шШ в паре противоположных п - угольных граней со:,аадают, то назовем Ып) апаюаржия многообразием типа Лебелля.

Согласно данному определению, многообразие Алъ-Джубоури построенное б [4] - нестандартное неориентируемое многообразие типа Лебелля для п = 5, а классическое многообразие Лебелля построенное в [3] - стандартное ориентируемое многообразие типа Лебелля для п = 6.

Существование бесконечных серий ьшогообразий типа Лебелля, как ориентируемых, так и неориентируемих, устанавливает ля в следующих теоремах.

,теорем 2.2. Для любого целого п ^ 6 существует ориентируемое многообразие типа Лебелля Ъл (п).

теорема 2.3. Для любого целого п 2 5 существует неори-етируехое многообразие типа Лебелля L~(n).

ЗАМЕЧАНИЕ. Теорема 2.3 подтверждает предположение Лебелля ([3]) о том, что из восьми экземпляров четырнадцати-

грашотка R(6) подходящим склеиванием мокло получить как 'ориентируемое, так и неориентируе- ~>е многообразие. Таким сбрг зом, первый пример замкнутого не ориентируемого типе рй<-.Шуйского З-многообрезия, но существу, принадлежит Лебел.зд.

теорема 2.4. СтазЮаргмое ainx-umutyetoe лксгообрлс<ио таю. Лебемю L(n) сцщесхХу^т wosda ti только тогРа, когда п = 3k, R >- ?.. При жол, д.га нсихЮгс k сно e3wtcr>'£eimo.

Далее, и слздет-Биял ?.1 и 2..2 пнясня^тоя число ориенш-pye.vux многообразий типа Лебелля, получаемых из госьми экземпляров гжегограшшкев R(5) и R(6) соответственно.

Г- накл!0"еш5е параграфэ рассматривается пример, покьаы-йпициЯ, лак алгебраически заданные гомоморфизмы, построенные в теоремах 2.2, 2.3, 2.4, задают геометрическое склеивание многообразия та фундаментального полиэдра.

-гттсанный в дага:ой глпие метод построения многообразий дает возможности для их дальнейшего изучения. В частности, из учеши групп изомзтрий этих многообразий.

В силу известного результата Кодакмы, любая конечная группа реализуется как группа кзометрий некотор:го трехмерного гиперболического шюгооСразия. Однако зичисление группы пземетрий для конкретного гглогообразия является довольно трудной задачей. Для искомпаютшх »люгосбразий - дополнений к некотором узлам и зацеплениям вто проделано в работах Р.Райли. Д^я замкнутая. млогосбразг.П наиболее существенные результаты принадлежат !,*едшх ([5]Дб]), который вычислил группы изометриЯ классических, многообразий Лебелля, Вебера-Зейферта, Аль-Джубоури и серии стандартных ориентируемых многообразий типа Лебелля.

Б третьем, заключительном параграфе второй главы, вычисляются группы изометрий многообразий типа Лебелля, построенных в теоремах 2.2 и 2.3. Полученные результаты основываются на свойствах иеарифметичности и естественной максимальности соответствую;:^ групп отражений.

3

Пусть ¡1 - прямоугольный многогранник в (Н , - группа, порожденная отражени. л в его гранях, 2 - группа его симметрии, а ф : С г, » 2, 4 г, - эпиморфизм, ядро которого Г = Кег(ф; не содержит элементов конечного порядка. Как было ззм&чепо в-51, (р определяет регулярную раскраску граней многогранника Я в иветя, соответствующие элементам группы © а> ¿>2 . Через обозначил множество тех симметрий многогранника Я, которые сохраняют его раскраску, то есть 2^ = { а С 2 : = фГ^; - = ц>(з~18^), где ^ -

порождающие группы 0 >. д

Вычисление групп изометрий многообразий типа Лебелля опирается на следующую лемму.

лил/л 2.5. £с.«и группа <0,2> - лаксижиьная неарифле-

■э

яическач группа, то 1зст№ /*■) = С20 а. ¿»^ ф \ 2

*** tJ ф

Для многообразий, построенных в теоремах 2.2 и 2.3, максимальность следует кз результатов Медных ([5]), а не-арифметичность - из критерия Винберга ([2]).

теорема 2.5. Группы иэолетрий ориентиру елих нестандартам? Многообразий типа Лебелля Ъ(п), п > 18, построенных в тзорзле 2.2, изологфш, сг9 <ь о к г0 , если п - нечетно. и ® х2 е х0) х {¿^ X Хр) , эсли п - 2к - четно.

теорема 2.6. Группы иэолетрий ржещчюлих спам^ дартних лногообразха). типа Л&б&,ия 1т а :• 18, чгсхросмН\и-

б теореле 2.3, иэолоррт (2, в г2 ® 2,; ^ г2 , если п - печете, и ('¿2 ф ® 2 ^ ' ' если п ~ '<а'1Н0-

Третья глава диссертации посвящена объемам гиперболических З-многообразий.

Как показали Терстон и Ергенсен, объемы трехмерных гиперболических многообразий образуют вполне упорядоченное множество и число многообразий, имеющих фиксированный объем, конечно. Пары различных мнтообразий равного объема строились в работах Д.Рубермана, К.Адамса, С.В.Матвеева и А.Т.Фоменко и др. Таких пар многообразий построено бесконечно много.

Виленберг показал в [7], что для любого натурального числа N существует не ме^-гее чем N попарно не гомеоморфных гиперболических З-многообразий конечного объема, объемы которых равны.

В этом параграфе строятся замкнутые многообразия с аналогичным свойством. Ими оказываются рассмотренные в §2 предыдущей главы многообразия типа Лебелля, получаемые различным склеиванием из восьми экземпляров одного и того ке прямоугольного многогранника.

теорема 3.1. Для любого натурального числа N существует

■ я

прямоугольный многогранник в и", являющийся фундаленталъныл че ленее чел для N попарно не голеолорфных залкнутых ориентируем ' гиперболических 3-многообразий.

Доказательство теоремы является конструктивным. В нем указываются гомоморфизмы, ядра которых являются фундаментальными группами многообразий с нужным свойством.' Оно осно-)ано на следующей лемме.

ЛЕША 5.1. Пусть С - неарифметическая естественнс-лжсила'ьнся груг.па отречений прямоугольного многогранника В, а Т. - его группа сил.ищпхй.. Прэдполсхим, что Г( и Г? -»Эрп ¡хгзличнеп: галеслорг^азлоб !р . ц>2 : О —» « г, & г,,, кя ьмеххрю ялслетоЗ конеччлго псц&От и элементов меняющих ори т<а;.:,'Ж>. Тогда, если, группы Г( и Г, изоморфны, Но существую: ¿лелент о с гтоа, оде. Г, = о-1 Г0 в.

Дгугие подхода к построению неограниченного числа по-парло о личных замкнутых многообразий равного о07,ема. ссно-на инкх соображениях, одновременно с [11] появились в •¿пбот.'х С.К.Г1ваучи," Н.А.ГуееБСКого, Б.Н.Ананасовз и И,Г:.Гуцула .

Во ьтором параграф; третьей главы изучаются многообразия Коннике, тстрсонте в 18]. Уто гиперболические 3т

многообразия Ип - п ,<* л, . с фундсментальной

группой, изоморфно? группе Фибоначчи:

?12,ч) - < х,..Т..хт\ Х1 Хи} - Х1У> I ( тоа т ) >

Интересно, что построенные з !8] фундаментальные много-гр«:юп:«и для групп 6'И',Рп] (например, для а - 5 зто икосаэдр ) являются г. комбинаторном смысле двойственными люго-грагшикам Лебелля, которые рассматривались в перьой главе диссертации" (для Г. - 5 ■• додокаодр).

В [9} Кюйпер сформулировал вопрос, каоамцийся много

*

образ:1й Мешшке М^. А имршю, является л», многообразие Мен-пихо .V., .-¡а.-ленутым гиперболическим 3-мно1 ообса;:ю'<; минимального объема ( объем иаим-гнмэго ьз извоот ^х компактных ги-перболкчеогсих 2-многообразуй, поегг- -¡.иного ' Д?г.Викос<м,

В.С.Матвеевым и А.Т.Фзменко, равен 0.94 > ?

После вычислений объемов многообразий Мегагкяе, использующих довольно точное приблияе Tie функции Лобачевского

х

MX) = - J ln I ein k I

получаем, в частности, 1)0ЦМ4) * 2,0298.43, что дает отрицательный ответ на вопрос Кюйперэ.

Заключительный, третей параграф третье* глэеы пссьчщен применении раскрасок многогранников из гл^зы 2 для построения серки альтернированных гиперболических узлов.

В зсклг 'ение автор выражет искреннюю благодарность профессору С.Л.Крушкалв за научное руководство и постоянное внимание к работе, и профессору А.Д.Мэдаых за плрдотьорное общение и всесторонюю поддержу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Best L.A. On the torsion free subgroups oi PSL(2,C) with compact orbit space // tJan. J.math.-1971-Yol.23.-P.4ii1-460.

2. Винберг Э.Б-. Дискретные группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского // Мат.сб.- 1967 -Т.72,A3. -С.471-488

3. Loebeli Р. Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford-Kleinscher Raune negativer Krummung // Eer.Sache. Aoad. Wiss.-1931.-Vol.83.-P.168-174.

4. Al-.Mbouri К.К. On nor.-orientable hyperbolic 3-manifolds //Cufu>o.J.!.ri-.th. - 1 £80.- Vol.31.- P.9-18.

5. Медли*. А.Д. Группы автоморфизмов трехмерных гиперболических многообразий ,'/ Докд.АК СССР.-1985.тТ.285,.-С.40-44.

6. !ед;ии А.Д. О группе изомзтрий гиперболического0 простран-ства додекаэдра Зей^рта-Б&бера // Сиб.мат.журн.-1987.-Т.гУ.ЛЬ. -С.134-144 .

7. VYt'eieriberfr N. Hyperbolic 3-m*nifolds which share a fundamental polyhedron // Rismann Surfaces and. Related Topics:

of the 1973 ".itony Brook Conference (Ann.l'ath. Stud. V .97)^Princeton Univ.Prciss, 1981 .P.505-513.

8. Helling II., Kim A.'J., Monnicke J.L. A geometric uturty of Fibonacci grcurs. (Preprint).

0. Kuipfcr li.H. I'alrly cymietric h;oei4>olio manifolds. //Ao-les du Congrfts de Oeorr.ctrie'Avinj.on 1933, to appear (Preprint lHffi.1939).

РАБОТЫ АВТОРА Пи ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 6

10. Веснин А.Ю. Трехмерные гиперболические многообразия типа ЛсОслля // Сиб.мат.журн.-t987.-Т.28,*5-С.50-53.

11. Веснин А.Ю. Неограниченность числа замкнутых гиперболических 3-многообразий с общим фундаментальным многогранником // Всесоюзная кокфорениия по геоме'..ли и анализу, Новосибирск, ноябрь 1989г.:Тез.докл.- Новосибирск,I989.-С.I9.

12. Mednykh Al.D., Vosnin A.Ju. On three-dimensional hyperbolic manifolds oi loebeli type // -.oraplcx Analysis and Applications 1 8b.- Sofia, 19^6.-P.-',. ¡¿6.

- U