Дискретные модели кинетических уравнений для смесей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Амосов, Степан Александрович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
2001 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.03 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Дискретные модели кинетических уравнений для смесей»
 
Автореферат диссертации на тему "Дискретные модели кинетических уравнений для смесей"

На правах рукописи

'"•"5 0,1

! 3 ноя'

АМОСОВ Степан Александрович

г

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СМЕСЕЙ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2000 гад

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Акдемии Наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.В. Веденяпин. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.А. Пярнпуу, кандидат физико-математических наук Ю.А. Волков. Ведущая организация: Вычислительный центр Российской Академии Наук.

Защита состоится "_"_2000 г. в_час. на

заседании Диссертационного совета Д 002.40.03 в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_"_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук Г.В. Устюгова.

$ 3 б Г. Гс 3/03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие вычислительной техники и расширение границ применимости методов численного моделирования сделали весьма актуальной задачу создания адекватных методов построения математических моделей различных физических процессов.

Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем.

Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, которые активно изучались в последние три десятилетия. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.

Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. Дискретные модели по скоростям (ДМС) для смесей широко обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень часто при переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают артефакты дискретизации, отсутствовавшие в изначальной континуальной постановке. Например, в модели газа возникают несколько групп частиц, для каждой из которых сохраняется суммарная энергия. Таким образом, мы имеем дело с сохраняющимися величинами, не имеющими физического смысла.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является построение дискретных моделей для классических и релятивистских химически нереагирующих смесей, обладающих правильным количеством инвариантов (такие модели называются нормальными), а также систематизация и формализация методов построения таких моделей. Для наиболее часто рассматриваемого классического случая эта задача нашла удовлетворительное решение в настоящей работе.

Научная новизна и практическая ценность. В известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе A.B. Бобылева и К. Черчиньяни [2]': «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их

книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр. 74), поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньяни [6]_ читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смесей, кроме тех, в которых все импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии следует из закона сохранения числа частиц».

Попытки построить нетривиальные модели для смесей предпринимались A.B. Бобылевым и К. Черчиньяни в работе [5]. Однако, как было указано авторами опубликованной позднее работы [7], предложенные Бобылевым и Черчиньяни модели обладали большим числом инвариантов.

Эти замечания, процитированные по [5], показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают построению хороших моделей. Это обстоятельство успешно преодолевается в данной диссертации.

В представляемой к защите диссертации предложены нормальные дискретные модели для упруго взаимодействующих смесей с классическим и релятивистским законами рассеяния. Фактически решена задача построения нормальных дискретных моделей при произвольном отношении масс компонент (в классическом случае — для произвольного числа компонент с

1 Здесь и далее нумерация ссылок соответствует перечню из библиографии основного текста диссертации.

соизмеримыми массами, в релятивистском случае - для двухкомпонентнон смеси).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999 года) [29], на семинаре Института прикладной математики им. Келдыша РАН (руководитель — член-корр. РАН Ю.П. Попов), на семинаре Вычислительного центра РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Ф.Г. Черемисин), на семинаре Механико-математического факультета Московского государственного университета им. Ломоносова (руководители - д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич, д.ф.-м.н. В.И. Оселедец), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. Келдыша (руководители - д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин, д.ф.-м.н. В.А. Дородницын).

По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Материалы настоящей диссертации и некоторые процитированные в ней труды можно найти в глобальной информационной сети Internet по адресу http: // kinetic.boom.ru.

ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Структура н объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы из 50 наименований. Нумерация глав, параграфов, определений, лемм, теорем, утверждений, замечаний и уравнений — сквозная. Например, теорема 1.6.2 - это вторая теорема шестого параграфа первой главы. Нумерация рисунков несколько отличается от принятой: так, например, рисунки § 1.9 обозначены литерой «А» перед номером, равно как и приведённые в этом параграфе модели. Все номера имеющихся рисунков таковы: 1.1 - 1.5, А2 — А14, 2.1 - 2.9, РЗ. Объём диссертации 58 страниц, включая оглавление и список литературы.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор основных достижений и трудностей в исследуемой области, обсуждаются актуальность темы диссертационной работы и описывается распределение материала по главам.

В первой главе «Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с классическим законом рассеяния» приведены основные понятия теории дискретных моделей, изложены основные процедуры и предложены нормальные модели.

В § 1.1 даны известные определения уравнения Больцмана и его дискретной модели, а также введено понятие нормальности модели.

В § 1.2 сформулированы критерии инвариантности функционалов и изложена индуктивная процедура построения нормальных дискретных моделей.

В §§ 1.3 - 1.5 приведены нормальные модели для классической двухкомпонентной смеси с отношением масс М/т=3. Для некоторых из них выписана система уравнений (дискретная модель) и дано доказательство нормальности. Приведено доказательство минимальности двух предложенных моделей в некоторых соответствующих классах.

В § 1.6 предложено семейство моделей некоторой простейшей конфигурации - семейство квадратных моделей (СКМ). Сформулировано и доказано достаточное условие нормальности моделей из СКМ в случае нечётного отношения масс.

§§ 1.7 и 1.9 посвящены перечислению конкретных нормальных моделей с некоторыми интересными свойствами (малые модели и модель, нормальная по каждой компоненте).

В § 1.8 указаны семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти семейства чрезвычайно полезны при построении нормальных дискретных моделей для произвольного рационального соотношения масс компонент.

Глава 2 «Дискретные модели для упругого рассеяния излучения» посвящена распространению полученных ранее результатов на релятивистский случай. В этой главе, помимо формулирования основных

понятий и определений, также приведены нормальные дискретные модели для упругого рассеяния излучения на массивных частицах, а также для рассеяния массивных частиц друг на друге.

В § 2.1 приведено однородное уравнение типа Больцмана, применяемое для описания релятивистских кинетических систем.

В § 2.2 приведены известные формулы для упругих релятивистских столкновений.

В § 2.3 приведены нормальные модели для мёллеровского рассеяния и приведено доказательство их нормальности.

В § 2.4 приведены нормальные модели для комптоновского рассеяния и приведено доказательство их нормальности.

§ 2.5 содержит обобщение некоторых результатов предыдущего параграфа на случай упругих столкновений релятивистских массивных частиц. Предложена двумерная нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В § 2.6 предложена нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц в трёхмерном пространстве, обобщающая модель предыдущего параграфа. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В заключении кратко сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Построены нормальные полностью симметричные дискретные модели для классических двухкомпонентных смесей с различным целым отношением масс. Доказана их нормальность. Доказана минимальность семи- и тринадцатиточечной моделей в соответствующих классах.

2. Сформулировано достаточное условие нормальности моделей из семейства квадратных моделей д ля нечётного отношения масс.

3. Приведены некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти соотношения решают задачу построения нормальной модели для смеси с произвольным количеством компонент при условии соизмеримости масс (т.е. если отношение масс компонент представимо в виде отношения натуральных чисел).

4. Построены нормальные полностью симметричные модели для мёллеровского рассеяния и комптоновского рассеяния. Доказана минимальность нескольких предложенных моделей в некоторых классах.

Материал и результаты настоящей диссертации опубликованы в следующих работах:

I]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов, JI. Тоскано. Инварианты гамильтонианов и кинетических уравнений. // УМН, 1999, том 54, вып. 5, стр. 153 - 154. Английский перевод: V.V. Vedenyapin, S.A. Amosov, L. Toscano. Invariants for Hamiltonians and kinetic equations. // Russian Math. Survey, vol. 54, № 5, pp. 1056-1057.

I]: С.А. Амосов. Дискретные модели уравнения Больцмана для упругого рассеяния излучения. // Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, 1999, № 19.

II]: V. Vedenyapin, S. Amosov,- L. Toscano. Discrete velocity models for nixtures. // X Anniversary International Conference «Computational Mechanics tnd Modern Applied Software Systems«. Pereslavl-Zalessky, June 7-12, 1999. Collected abstracts. - Москва, МГИУ, 1999, стр. 247.

/]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов. О дискретных моделях уравнения юльцмана для смесей. // Дифференциальные уравнения, 2000, том 36, №7, тр. 15 - 20.

/

]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов, Л. Тоскано. Дискретные модели равнения Больцмана для смесей. // Математическое моделирование, 2000, эм 12, №7, стр. 18-22.

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Амосов, Степан Александрович

Введение.

Глава 1. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ СМЕСЕЙ С КЛАССИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Уравнение Больцмана для смесей. Дискретные модели.

1.2. Инварианты и индуктивная процедура для дискретных моделей.

1.3. Одномерная симметричная модель (М/т=3). '

1.4. Двумерная симметричная модель (М/т=3).

1.5. Модель с малым количеством импульсов (М/т=3).

1.6. Семейство квадратных моделей.

1.7. Малая модет^, нормальная до каждой компоненте.

1.8. Некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Общий метод построения нормальных моделей.

1.9. Нормальные модели с малым количеством импульсов.

Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ ТИПА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СМЕСЕЙ И УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.

2.1. Дискретные модели релятивистского уравнения типа Больцмана."

2.2. Столкновения при комптоновском рассеянии.

2.3. Нормальные модели для мёллеровского рассеяния.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Дискретные модели кинетических уравнений для смесей"

Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана [21, 24, 33]. Это уравнение было предложено австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем. ' •

Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента < особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, киюрые активно изучались в последние три десятилетия [1-4]. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.

Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. В частности, для дискретных моделей, равно как и для уравнения Больцмана, имеет место Я-теорема [1-4]. /У-теорема явилась в своё время математическим обоснованием Второго начала термодинамики. Важность этой 5 теоремы состоит в том, что она показывает необратимость (по параметру эволюции - времени) уравнения Болыдмана. В работе [34] доказана единственность //-функции для уравнения Больцмана.

Теорема об аппроксимации интеграла столкновений уравнения Больцмана дискретной моделью в трёхмерном случае получена Бобылевым, Шнайдером и Пальчевским [26-27]. Её доказательство существенно опирается на теоретико-числовой результат Иванца [28]. Фактически теорема Бобылева - Шнайдера -Пальчевского обосновывает применимость дискретных моделей при получении приближенных результатов для уравнения Больцмана.

Дискретные модели по скоростям (ДМС) для смесей широко обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень часто при" переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают артефакты I дискретизации, отсутствовавшие в изначальной континуальной постановке.

В известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе A.B. Бобылева и К. Черчиньяни [2]: «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр. 74), поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньяни [6] читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смесей, кроме тех, в которых все импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии следует из закона сохранения числа частиц».

Эти замечания, процитированные по [5], показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают построению хороших моделей. Следуя К. Черчиньяни [5, 6], мы будем называть модели с правильным числом инвариантов нормальными моделями.

В диссертационной работе рассматриваются дискретные модели, описывающие эволюцию функций распределения для смеси частиц нескольких сортов с массами /и/, ., тг в пространственно-временном континууме К'/+1. Здесь г есть число сортов (компонент смеси). Размерность пространства импульсов частиц равна с/. Допустимые импульсы частиц расположены в узлах некоторой целочисленной решётки, так что импульсы частиц д -ой компоненты (с = 1,.,г) могут принадлежать дискретному набору р'е Ъё . Полное количество I дискретных импульсов модели равно ^ N, = N.

Определение. Будем говорить, что имеет место столкновение частиц вида р?, pf pi, jof , если их импульсы удовлетворяют следующим условия: сохранения: p'+p^pl+pf

Е\рГ,та)+Е\р^\\тр}=Е\рГ,та}+Е

Р) \ >тр

Здесь а,/? - из множества 1,., г \i,k - из множества 1,2, N ;j, 1 - из множества 1,2. ., N^. Каждому имеющему место столкновению поставим в соответствие некоторое положительное число сГр'{'//] > 0, называемое сечением столкновения. В дальнейшем запятые в подстрочных и надстрочных индексах сечений будем опускать, если это не вызовет разночтений. Сечения столкновений удовлетворяют следующим условиям симметрии: а,Л) a(ki) B(jl\ Q °/'(.//) ~ °(ШГ) ~ a(ik) ^

В работе изучаются дискретные модели для классического и релятивистского уравнений типа Больцмана. В классическом случае функция

I I" \р\~ энергии определяется как Е(\р\ ,т) =-. Для релятивистского случая функция

2т энергии Е определяется как Е(\р\ ,т) = с^\р\~ +т с , где с - скорость света.

А'-импульсной дискретной моделью уравнения типа Больцмана для г-компонентной смеси будем называть следующую систему N уравнений: 1 1 где £ = 1 I = 1, 2, ., А^; время />0. Здесь (?) > 0 есть функции распределения частиц, описывающие эволюцию числа частиц ¿г-ого сорта с импульсом р]. Суммирование в правой части системы проводится по все столкновениям, как смешанным, так и между частицами одного сорта, удовлетворяющим условиям сохранения.

Обзор результатов о существовании и единственности решения для дискретных моделей дан, например, в работе [4]. Там же перечислены различные свойства решений, включая сохранение положительности решения.

Определение. Линейный функционал вида / = ^ ^^ где ьГ} £ К. будем называть инвариантом дискретной модели, если он сохраняется в сил}1 рассматриваемой системы.

Постановка задачи построения дискретных моделей без лишних инвариантов восходит к работам С.К. Годунова и У. М. Султангазина. В работе [1] на стр. 15 С.К. Годунов и У.М. Султангазин делают следующее замечание: 8

Следует заметить, что способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газа с законами сохранения трёх компонент импульса и с сохранением энергии, в общем случае не разработан. Эта разработка связана с трудностями комбинаторно-геометрического характера».

Одним из наиболее распространённых способов борьбы с «лишними» инвариантами дискретных моделей до недавнего времени было введение множественных (не только бинарных, но и более высоких порядков) столкновений. Преимущества и недостатки этого подхода обсуждаются, например, в работе [62].

В вычислительных алгоритмах для уменьшения ошибок, связанных с лишними инвариантами, используется также метод консервативной коррекции, подробно изложенный в работе [71].

Попытки построить нетривиальные дискретные модели для смесе$ исключительно с бинарными столкновениями предпринимались A.B. Бобылевым и К. Черчиньяни в работе [5]. Однако, как было указано авторами опубликованной позднее работы [7]. предложенные Бобылевым и Черчиньяни модели обладали большим числом инвариантов.

Вопрос о количестве инвариантов уравнения Больцмана изучен самим Больцманом и Карлеманом. В случае трёхмерного пространства для газа из одного вещества оно равно пяти [25, 76].

Общие инварианты уравнения Больцмана и модели Бродуэлла исследовались в работе [20]. Необходимые и достаточные условия существования независимых линейных первых интегралов дискретной модели в пространственно-однородном случае приведены в [23]. 9

В ситуациях, близких к локально-максвелловским, активно применяется метод Чепмена - Энскога, позволяющий находить коэффициенты переноса в уравнениях гидродинамики [30-32]. Метод Чепмена - Энскога «запрещает» существование лишних инвариантов, так как в противном случае получающаяся гидродинамика имеет лишние гидродинамические функции.

Подход, связанный с стремлением к построению дискретных моделей без лишних инвариантов (нормальных моделей), идеологически продолжает собою выдвинутый A.A. Самарским и Ю.П. Поповым принцип полной консервативности, развиваемый в теории разностных схем [8, 9, 41]. Схемы, наследующие законы сохранения исходной континуальной задачи, называются консервативными (полностью консервативными). В русле этой терминологии В.В. Веденяпин предложил называть дискретные модели с правильным числом инвариантов точно консервативными. Таким образом, понятие точно| консервативности, предложенное В.В. Веденяпиным, равносильно понятию нормальности, предложенному К. Черчиньяни.

Групповые свойства разностных схем для различных уравнений изучаются в работе В.А. Дородницына [39]. Групповой анализ континуального уравнения Больцмана проведён в работах Ю.Н. Григорьева и C.B. Мелешко [63, 64].

Дискретные модели уравнения Больцмана и его аналогов успешно используются в современных исследованиях. С.К. Годуновым и У.М. Султангазиным в работе [1] при помощи предложенных ими моделей изучены различные физические явления в газах, в частности, описана структура фронта ударной волны. Дальнейшее изучение ударных волн в газах и газовых смесях при помощи дискретных моделей проведено в работах [45, 46, 50].

10

Некоторые аспекты численных вычислений решений уравнения Больцмана можно найти в работах [71, 73-75].

Кинетическое описание химически реагирующих газовых смесей было дано в работе В.А. Рыкова [17]. В указанной работе автором доказана Я-теорема и изучены равновесные состояния системы. Из зарубежной литературы по этой проблематике следует упомянуть работу [61]. Дискретные модели для химически реагирующих смесей были предложены в работе [18].

Дискретные модели, описывающие взаимодействие излучения с веществом, использовались для исследования проблемы Милна - Чандрасекара [19]. Следует заметить, что в указанной работе помимо упругих I рассматриваются и неупругие взаимодействия, в результате которых возможны, в частности, испускание и поглощение фотонов.

Релятивистский аналог уравнения Больцмана изучается в работах [13, 5^, 65-67]. Инварианты непрерывного уравнения подробно изучены в работе [57]. Гидродинамические функции и коэффициенты для релятивистской максвелловской смеси получены в [66].

Для квантового случая кинетическое описание системы даётся уравнением Юлинга - Уленбека. Дискретные модели для квантового случая предложены В.В. Веденяпиным. О.В. Мингалевым и И.В. Мингалевым в работе [16]. Там же доказана глобальная теорема существования для фермионов и вычислены гидродинамические функции системы.

Идеология дискретных моделей уравнения Больцмана применена для изучения вязко-упругих течений и релаксации звуковых волн [22]. Отметим, что в этой работе используются изотропные (в терминологии настоящей диссертации полностью симметричные) модели, в том числе двумерная 13и точечная модель из семейства квадратных моделей для однокомпонентного случая.

В настоящей диссертации предложены нормальные модели для упруго взаимодействующих смесей с классическим и релятивистским законами рассеяния. Работа состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация глав, параграфов, определений, лемм, теорем, утверждений, замечаний и уравнений - сквозная. Например, теорема 1.6.2 - это вторая теорема шестого параграфа первой главы. Нумерация рисунков несколько отличается от принятой: так. например, рисунки § 1.9 обозначены литерой «А» перед номером, равно как и приведённые в этом параграфе модели. Все номера имеющихся рисунков таковы: 1.1-1.5. А2 - А14, 2.1 - 2.9, РЗ.

В первой главе «Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с классическим законом рассеяния» приведены основные понятия теори^ дискретных . моделей, изложены основные процедуры и предложены нормальные модели.

В § 1.1 даны известные определения уравнения Больцмана и его дискретной модели, а также введено понятие нормальности модели.

В § 1.2 сформулированы критерии инвариантности функционалов и изложена индуктивная процедура построения нормальных дискретных моделей.

В §§ 1.3 - 1.5 приведены нормальные модели для классической двухкомпонентной смеси с отношением масс М/т=Ъ. Для некоторых из них выписана система уравнений (дискретная модель) и дано доказательство нормальности. Приведено доказательство минимальности двух предложенных моделей в некоторых соответствующих классах.

12

В § 1.6 предложено семейство моделей некоторой простейшей конфигурации - семейство квадратных моделей (СКМ). Сформулировано и доказано достаточное условие нормальности моделей из СКМ в случае нечётного отношения масс.

§§ 1.7 и 1.9 посвящены перечислению конкретных нормальных моделей с некоторыми интересными свойствами (малые модели и модель, нормальная по каждой компоненте).

В § 1.8 указаны семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти семейства чрезвычайно полезны при построении нормальных дискретных моделей для произвольного рационального соотношения масс компонент. На их основе предложен общий метод построения дискретных моделей уравнения больцмана для классической смеси с произвольным рациональным соотношением мас^ компонент.

Глава 2 «Дискретные модели уравнения типа Больцмана для релятивистских смесей и упругого рассеяния излучения» посвящена распространению полученных ранее результатов на релятивистский случай. В этой главе, помимо формулирования основных понятий и определений, также приведены нормальные дискретные модели для упругого рассеяния излучения на массивных частицах, а также для рассеяния массивных частиц друг на друге.

Заметим, что в релятивистском случае уравнения, выражающие собой условия сохранения импульса и энергии, не являются диофантовыми. Это обстоятельство делает задачу поиска параметрических семейств их решений существенно более сложной, чем и объясняются трудности в индуктивном расширении получаемых моделей. Кроме того, для релятивистского случая не

13 доказан аналог теоремы Бобылева - Шнайдера - Пальчевского об аппроксимации интеграла столкновений, что также ограничивает возможную область применения дискретных моделей.

В § 2.1 приведён общий вид однородных дискретных моделей уравнения типа Больцмана. применяемого для описания релятивистских кинетических систем.

В § 2.2 приведены известные формулы для упругих релятивистских столкновений.

В § 2.3 приведены нормальные модели для мёллеровского рассеяния (модели однородного релятивисткого газа) и приведено доказательство их нормальности.

В § 2.4 приведены нормальные модели для комптоновского рассеяния (модели для бинарной смеси) и приведено доказательство их нормальности. |

§ 2.5 содержит обобщение некоторых результатов предыдущего параграфа на случай упругих столкновений релятивистских массивных частиц. Предложена двумерная нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В § 2.6 предложена нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц в трёхмерном пространстве, обобщающая модель предыдущего параграфа. Указана также одномерная модель для двухкомпонентной релятивисткой смеси.

В заключении кратко сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

14

Отдельные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [10], [12], [42], [43], [59], [60], [72]. Часть результатов доложена на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский. 712 июня 1999 года) [29], на XLIV-ой юбилейной научной конференции МФТИ (Москва - Долгопрудный, 23-30 ноября 2001 года) [69], на семинаре Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (руководитель - член-корр. РАН Ю.П. Попов), на семинаре сектора кинетической теории газов Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Ф.Г. Черемисин), на семинаре механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич. д.ф.-м.н. В.И. Оселедец), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. М.Е|. , Келдыша РАН (руководители - д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин. д.ф.-м.н. В.А. Дородницын).

Материалы настоящей диссертации и некоторые процитированные в ней труды, а также другие публикации автора можно найти в глобальной информационной сети Интернет по адресу http: // kt. dr. ag.

Постановка всех задач главы 1 принадлежит В.В. Веденяпину. Постановка задач главы 2 предложена автором. Во введении к диссертации, в параграфах 1.1. 1.2. 2.1 и 2.2 изложены главным образом уже известные ранее определения, утверждения и методы. Результаты параграфов 1.3 и 1.4 получены в соавторстве с В.В. Веденяпиным. Результаты всех остальных параграфов диссертации получены самостоятельно. Две из тринадцати моделей параграфа 1.9 получены приблизительно одновременно с К. Черчиньяни и А. Корнилем независимо от

16

 
Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены нормальные полностью симметричные дискретные модели для классических двухкомпонентных смесей с отношением масс 3 (одномерная семиточечная модель, двумерные модели из 13. 16 и 17 точек). Доказана их нормальность. Доказана минимальность семи- и тринадцатиточечной моделей в соответствующих классах.

2. Построены нормальные плоские двухуровневые полностью симметричные модели со следующим числом импульсов: N=13, М/т=3; N=16, М/т=3, 4, 7; N=17, М/т=2, 3, 5; N=20, М/т=2. 3, 6. 8, 11 (множество моделей для М/т=Ъ пересекается с множеством моделей, упомянутых в предыдущем пункте, но не совпадает с ним).

3. Сформулировано достаточное условие нормальности моделей из семейства квадратных моделей для нечётного отношения масс.

4. Приведены некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Фактически это решает задачу построения нормальных моделей для смесей с любым количеством компонент с соизмеримыми массами (т.е. если отношение масс представимо в виде отношения натуральных чисел).

Построены нормальные полностью симметричные модели для мёллеровского рассеяния (N=5, 8, 12).

Построены нормальные полностью симметричные модели для комптоновского рассеяния (//=13, 20, 24).

Построена двумерная 13-точечная нормальная модель для релятивистской упруго взаимодействующей двухкомпонентной смеси массивных частиц с произвольным вещественным отношением масс, имеющая прямое обобщение на случай пространств большей размерности. Сформулирована теорема о её нормальности. Доказана минимальность предложенной дискретной модели в некотором классе моделей.

Построена трёхмерная 21-точечная нормальная модель для релятивистской упруго взаимодействующей двухкомпонентной смеси массивных частиц с произвольным вещественным отношением масс. Сформулирована теорема о нормальности предложенной дискретной модели.