Движения на касательных расслоениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ибрагимова, Рейханбуви Хакимжановна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ
1992 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.04 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Движения на касательных расслоениях»
 
Автореферат диссертации на тему "Движения на касательных расслоениях"

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАКТВЕНННЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМКНИ В.Я.УЛЫШОВА-1БШНА

' На правах рукописи

ИБРАГИМОВА ЯВЙХАНБЗВИ. ШЖЖЗШ

ДВИЖЕНИЯ НА КАСАТЕЛЬНЫХ РАССоЮЕНЖ. 01.01,0'ь - геометрия- и гопалоги»

А в т о. р а ф е р а т

диссертации- на; соискание ученой стелвки кандидата физико-математических наук

Казань - 1992

Работа выполнена на кафедра геометрии Казанского государственного университета имени В.И. Ульянова-Ленина

Научные руководители: Заслуженный деятель науки КЖЗР и ТССР

доктор физико-математических паук, профессор }Б.1.Лаптев!

Доктор физико-математических наук, профессор Б.Н.Шапуков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В.Вишневский, кандидат физико-магматических наук, сгариий п раподаватель' В. Н. Сое ов

Ведущая .организация: Одесски?! государственный университет

ии. И.И.Мечникова

Завита состоится " " ^уШх^&О 199Д.г. вчасов

на заседании специализированного совета по математике'К 053.29.05 Казанского университета по адресу: 420008, Казань, ул.Ленина,18, корпус "2, аудитория 217.

С диссертацией .можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Казань, ул.Ленина,13/

Автореферат разослан " $Л " 199./ г.

' Ученый секретарь специализированного Совета___ /

профессор Б.Н.Шапуков

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАНТВРЖТЕНА РАБОТЫ

Актуальность теми. Наскальные р-сслоенля циффо ротируемых многообразий вгн рвые стали нзуэться японскими математиками (Сасаки, Йио, Илихара, Кобаяси, Моримото и др.). Появление работы Сзсао[1*3 положило начало язуче"чо дифференциальной геометрии касательного рзсоло-знез ринановых многообразий. Он ввёл л касательном расслоении ркманового многообразия Романову метрику, получившую в дальнейшем его имя. рассмотрел ря,\ вопросов, связанных с группой изометрий в касательном расслоении, мёл понятия вертикального и полного лифта векторных полей с базы в 'касательное расслоение.

Общая теория продолжения тензорных, полей и аффинных спяэ-костая с дифференцируемого многообразия в эго касательно расслоение построена Йчо и Кобакои . В этой работе автора изучили полный, вертгсальннй Л!"'ггы тензорных поязй к сг хзноо-тей в .касательном -ассдоенчн, ввел:; полный лафг метрики базы. Понятие гориэоцтального ли^та тензорных полей и оаяакоотеа в касательном расслоении взели Яна и йиихара [3] , Нно и Довно

[>3 изучили касательное раоолеаки» как пространство со турой почти произведения, рассмотрели различило типы кзтр^к :: с огдаосвч,нн;;е с гсшн связности, которце возникает при это», выделили случай, когда база является флнсле рокам пространством. Что кпоаегоя теории евязиссгеи I.-» адсителышх раоолоэаяях, то в зтои направлении с-моткм раб'.;, а Яно К., Леджера А., /исо М,, Мацумото М,, ИорямогоА.., Кагана 5,й,, Рахула Под^зьоко-

го В.Г. и др.

Большое не 'то в по следованиях з-личавт запрос об яифинито-зкмаяишх п^ зоб раз ол гаях хзсатэльно^о рзесховг I н-од ц.1руомш ..^зиэм о заданной связностью. Яио п Кобаясн С';3

изучили икфинлге'зинальшэ аффинные преобразования в каоатзлл-ном расслоении со связностью полного лифта аффинной связности баз« в каслгедькоэ расслоение. Тайно £б! изучил векторы Киллкн-га и векторы геодезических потоков на касательном расслоения ркманового . я ого об разня с метрикой Сасаки, дал описание полей Кшшшга б обцеы :: некоторых специальных случаях. Сато ¡7] изучил инфиннтозишдьнце преобразования е касательном расслоении римановых многообразий с метрикой Сасаки. А.П.Широков [&] рассмотрел обобщвгшс-оинектичбскиэ инфинитаэикалыше преобразования, явллаашеся одновременно голоморфно ;роективнами огне сите ¿но построоиной в касательном расслоении синектической связности. В.Г.Подольский в своих работах изучил двикенич в касательном расслоении римановых многообразий с метрикой Саоаки и полного лифта. Им рассмотрены ржакавы пространства размерности

Й-»3,4, в которые оуществуцт преобразования, индуцироэщие в касательном расслоении о метрикой полного ли<*та преобразо-: лния, перемешивавшие слои. З.ИЛаныхейский (92 рассматривая три группы движений в касательном расслоении со специальной метрикой типа -Сасаки: двияени , сохраняющие расслоенную структуру; движения, состоящие из продолженных преобразований, и произвольные движения, йааёл максимальнув размерность групгш стих 'движений. Одноврменна в касательном расслоении изучались различные структуры, порождаемые структурами или связн-отями, заданными на базе. Было выяснено, что в касатедьнг" расслоениях возникает много Аиффаренциально~геометрич&ских структур, тесно связанных с алгебрами специального вида - так называемыми локальными' алгебрами.

В настоящее время дифференциальная геометрия активно занимается изучением дифф<. анцируомых. многообразий, онабжв! ых

ргхглпчиами (J-структурами. К структура;! а--кого тша относится, в частности, кссательг i структура, структура no«--ii произведения, почти комплексная структура и др. Такко структура естественным образок появляется па гсгсатольных расслоениях.

Вакцую рпдь играют вопросы прядожоная геометрии касательных расслоений к некоторая .допросам физики!, механики, теории относительности. Например, Гажхпро [l<fj изучас вопроси приложения геометрии касательных расслоений г ньютоновским, релятивистским, дигаиичоса:« системам. М.Ако fll} изучил теорию неоднородных связностей на дифференцируемом многообразии, которая применяется пр:: исследовании фикслзровых многообразий и механических систем. Кромо этого, геометрия касательних расслоений даёт наиболее еотеотвонну» основу длч геоиетвий пространства Зчнслври, обцегэ пространстве, пугай Дугласа к, вообщэ, для геометрий пространств линейна элементов.

Послоднео время в этих пространствах'усиленно изучаются автоморфизмы - преобразования, сохранявшие метрику иди связность пространства. Сродзг работ в этом направлении отметки работу А.Й.Егсровз [22] . Основные результаты о полных группах двгакений в фнисдвровых пространствах максимального порядка яр'/.-'надлежащ Ванху [13] и АД.Ьгорову £й} .

П-л рассмотрении вопросов, езязаннлх с автоморфизмами различных пространств эфхзкткг'О используется аппар. : дифференцирования Ли, конструкция которой для произвольного диОфо-рэнцпалино—гвомотри .емкого объекта Ui.r.b.) Элгнер^м £15}. Обобщение производной T*t на случай геомь^р зских объектов, являющихся функциями не .адмш точки, но к направления, то «с-r.s постр ение производной Ли -в пространстве л:ше;;ных эдомг тоа л то of;o6i',erat= . было выполнено Б,i.Лаптевы« [l6j .

За последние десятилетия операция дифференцирования Ли нашла многочисленные применения в ли$^ренцлальн1. . геометрии расслоенных пространств, В.К.иапуков показал, как исходя из понятия производной Ли ка дифференцируемом многообразии, можно построит проиозоднуо Ли в расслоенных пространствах.рзз-личного типа, специализируя классическув формулу производной Ля од д.г.о. к структура соогтзетсгвуадэго расслоения.

Из сказанного виде следует, что иссяодоэйнкя автоморфизмов расслоенных многообразий с заданным:! на них структурами, является актуальной задачей, прдставляап;еД нэу<-'-цй интерес.

''ельн__настоящей работы являете,, изучение двнкэний ка

метрических касатедькнх расслоениях, сохраняющих метрику я различные дополнительные структура, установление сх-..зи между движениями на- касательном расслоении и индуцированными ими движениями на базе, а также с движениями в метрических пространствах линейных элементов.

Методы исследования, В целом в рг 'оте используется класс)'« чвекий аппарат тензорного аналлза. Исследования '^оят локальный характер. Как правило, исп'"гьзуетоя кегодономноа поле рзперов.

Теоретическое и практическое значение настоящей работы состоит в том, что полученные ва касательных раселоенпкх однородные объекты, индуцируит.некоторые объекты в пространстве линейных элементов. Такой подход позволяет пространство линейных элементов, а в частности, финалерово пространство получить из теории касательно расслоений. Д_кжешя метрических прост^.нств линейных элементов можно связать о движениями в касательных расслоениях со специальной метрикой.

Апробация работы. Основные результаты диссертации до -лады-валксь и обсуждались ка сешнаре кафедры геометрии Каза; кого

унииэрситэта Г руководитель проб, Л.П.Нордеи) 1?03~1992 годах; на итоговых нггчдах конферв.:.;лях КГУ, КазГУ, КоШИ; ль УЗ «оязной научт.Д ког'чрзвции по соггеиенным проблемен диОфорзнци--. альной геометрии (г.Одесса, 1934 г.); па УШ-1Х Республиканской межвузовской .сонференцил по математике и механике (г.Алма-Ата, 19№г., Б69г.); иа Ньзду народной геометрической конференции "Лобачевский и современная геометрия" (г.Казань, 1992г.).

Публикации. Содержание диссертаций отражается л работ х [12 - [10]. При атом в [б] автору принадлежит материал, относящийся к касательному расслоен®, а в [9] § 4,

Структура и объок работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 19 параграфов, Текст работы лзлегхен на 137 страницах.. Список литература зклвчаот 133 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЧВГГАЦИЙ .

Во введении обоснована актуальность темы, новизна, ,, казана цель работы и изл<"-еш основные результаты•диссертации. Даётся краткий обзор исследований по дифференциальной геометрии касательно расслоений, автоморфизма^ обобщенных пространств, дифференцированно Дн.

В первой главе расомат- '.ваятея вопросы дифференциальной геометрии касательных расслоений. Она к£>с.ит частично рМ-орагиз-ннИ характер. Далее специализируются результаты Б'.Н.Ыапукоза [1в] для случая касательного расслозния с учётом рассматриваема*: структур.

В § I даётся лоньгие касательного расслоения ТМ. Определьпч касательная структура I/ Рассматриваются вертикальныз

„екторные подл и •оризонгальнао 1-фирмы на та. Даёт*" * опреде.; нис- полного л вертикального лифга функции, вектор;!'»'« полл, к*-

- "О -

векторного поля, тензорного поля и типа (0,2), произвольного тензорного подл Т. Знписанк компоненты этих яг тов в натуральном репере. Вводятся проектируемые векторные поля и гор1зоя-таЯьнне 1-фориы.

В § 2 гётся определение инфинитеэимальной связности на ТК, горизонта „чих векторных полой и вертикальных 1-форм. Рассматривается структура почти произведения, задание которой сводится к заданию аффинора f~ . Даётся определение

адаптированного базиса.

2 § 3 рассматривается тензорные поля ?'< касательном ре -слоен'"'. Даётся определение проектируем jc тензорных, полей. Выписаны «.оппоненты полного, горд зонта ль ного и вергикального

листов векторного поля, коаекторного поля и тенз(¿ного поля типе (0,2)- относительно адаптированного репера,'структурные уравнения поля адаптированных реперов.. Рассмотрены различные типы мотрик: полного ,-.ифта, Сасаки и согласованные с ними с дз~ 1)0"тя относительно Е.чаптироэанногп реп?~а,. Дано определение^-проектируемой метрики.

В § Ч рассматриваются внешние связности с кручением. Приведены различные типы связностей: приводимо,!, вполне приводи- ■ мой, касательной. Записаны формулы для' вычисления тензоров кривизны и кручения в адаптированном репере.

В § 5 получен« формулы для вычисления коварие. ..тшх производных I и Л рода для различных объектов, тождества Риччи и Бланки.

3 § 6 дан^ определение канонической связности,для которой

И V

¿¿^приведена теорема Б.Й,!2апукова существования и единственности такой, свяэнооти на касательном расслоении с рямаиавой. »етрикой и выя "¡саны коэффициенты ? ком-

поиенты тензора кручения для этой связности.

Глава вторая посвдщбни изучения "азличних дв!иаг..,л на касательном расслоен!!., с различными :етриками.

В § 7 вэодится операция днЛферэнцирования -in щ касательном расслоении. Получоны формулы для зичиг *ешя производной Лг для различных д.г.о. в актированном поло реперов, в ч'.сгиых и :сова-риантиых прочэводних. Найдена производная Ли от аффиноров f~ структуры почти произведения и касательной структуры 7' и ¿¡иле-кен их геометрически!! смысд.

В §§ 8-Ю изучаются движения на касатояышх расслоениях соответственно' с произвольной метрикой, о метрикой полного .лифта и метрикой Сасаки. Рассмагрлваэтся различим типы в.п. и наход:--?-ся необходимее и достаточны© условия, при которых эта векторные поля определят? явк*лниж заданных м-.тркк.

В § II записан!' уравнения Шиллинга ~0 D ^овари-

антшх производных: ДЩьа) ~ + Щ& = О,

VAVe, + йвлб1Ге, Vе,

Глава третья посвящена иаксимально-подвшхним касательным расслоениям.

В § 12 изучаются произвольные движения на касательно.". рс-олоеиия с. метрикой общего вида. С использованием метрической связности с кручением: ^ ' каЙ11еии mi инте-

грируемости уравнений Киллинга.,

Выяснен о*1аол получб.г'х условий интегрируемости. Установлена отруктура тензора криви:- -ч и крупния, тензор Риччи для л рост-оанств, допускающих максимальную гругпу движений, а также максимальна порядок rpjimit таких движений, который равен чи<* у

- 10 -

В § 13 изучаются движения на касательное расолоенли с произвольной метрикой, относительно ксторых иа дриантна заданная ортогональная £//Т -структура; . в предположении, что метрическая связность с заданным кручением является канонической. НаГг н максимальный порядок группы таких движений

установлена структура тензора кривизны и кручения, тензора йгччи для максш-гально-подзгашых касательных расслоений.

В § К- изучаются движения, относительно которых инвариантна также и касательная структура: ^^а 85 0 в предположения, что распределения £ и 7 С/ -изокетричны, а "чданная 'метричес я овязк'оть является канонической. Нг:йде.. максимальный порядок группы двшений *?)- н установлена структура тензора .

кривизны и кручения, тензора Риччи для максимально-подвижных.-касательных' расслоений этого типа. '

В § 15 изучаются движения, определяемые полными лифтами и сохраняющие ортогональную ^-структуру и касательнуи структу*» р., Найден максимальный порядок группы таких движений К^У^М! и установлена структура тензора кривизны и кручения» тензора Риччи для максимально-подвк ных касательных расслоения данного типа. ' , ■ '

Глава четвертая посвящна однородным объектам на касательных расслоениях.

В § 16 введен* понятие однородного д.г.о., как д.г.о. инвариантного относительно группы олоевых гомотетий:

С помощь» производной Ли условие однородности записывается в виде ФО^-О > где ЩО. се2)-поле олоовсй гомотетии. Для таких •гя' '

д.г.f\ как тензор произвольного ранга, объект аффинной связности это условие получено в натуральном и адаптированном репере. Введено понятие обобщенного измерения Ър-З-^Ь , где £ -число кон",разирианткь!х, а -чиоло ковариантных слоз-внх индексов д.г.о. Sh .

В § 17 найдены необходимые и достаточные условия, при коа-рых производная Ли от однородного д.г.о. является однородным объектом того же обобщенного измерания. Зыяснен смысл полученных уоловкй. '

3 § 18 дани приложения полеченных результатов к пространствам линейных элементов. Рассматривается отображение

Л'- 7о(Н^"^Р/И)-главноэ -расслоение о оператором

группы Od" » где 'JlfM) -расслоение ненулевых, векторов,

(Л^, -группа Ли положительных веществе час чисел, которая действует ^а То (И) как группа слоевых гомотетий, а f"(M) ^ТКМ)/^^ -eavb пространство линейных элементов.

• .Изучается метрическая финслброва связность. Найдены условия, при которых всякая каноническая связность на расслоении(tf) J-J -проектируется в аффинную связность пространства линейных элементов. -,

В § 19 найдены необходимые и достаточные условия, при которых из уравнений Киллинга на каортельном ¿дсслоении мокно получить уравнения Ниллишч в пространство линейных элементов.

Научная новизна и основные результаты дк сертации, выносимые на, защиту.В данной работэ:

1. Построена операция дифференцирования Ли на касательном расслоении.

2. Получены необходимые и достаточные условия, при которых

- 12 -

различные векторные поля определяют движения произвольной метрики, метеки йодного лифта и метрики Сасаки на касательном рас с л ос № л:,

3. Изучены следующие види движений на касательном расслоении: произвольные движения, движения, сохраняющие ортогональную -структуру;'движения, относительно которих инвариантна также касательная структура; движения, определяемые полными лифтами векторных полей. Найдены условия ин. грируемостл уравнения Киллинга, Определена структура тензора кривизны и кручения и установлен м1 .пмальшй порядок группы указанных движении.

4. Введено понятие однородного д.г.о. а на ТМ; обобщенного измерения . Дани приложения к пространствам линейных элементов. Установлена связь между движениями на касательном расслоении к движениями в прост^нстве ..лнейных элементов.

Работа выполнялась в рамках открытой научно-исследовательской теки кафвдрн геометрии Казанского государственного университета "Изучение сбобщеншх пространств и пространств со структурами, определяемыми алгебрами", номер государственной регистрации Ё 0186.0123456.

Приношу свои глубокую благодарность научным руководителям д.ф.м.н., профессор- Б.Л.Лаптеву и д.ф.м.н,, профессору Бл1. Шалукову за постоянное пвимание и помощь при выполнении настоящей работы.

- 13 -Литература

1. Sasaki Sh. On the diferoniial goотоtry of tangent bundlea of Hiemnnnion manifolds 1// 2ohoku Math. J. - 1950.-K-, и з. - p. 33S--T4.

2. Уопо К., Jiobayaohi Sh. Pxolonci.tioae of .enaor flolda find coimeatioao to toacent; bundleo, 1 Consrnl tteory//

J.Math.Sou.Jap em. - 19<5£. - 13, if 2. - P.194-210.

3. 1'ano K., Jchir.ara Sh. KoTioontal lifts of tenaor fields and oo:moctiona to tangent bundles // J.Ka,th. and 3>>ech.. - 19b.. - 16, II 9. -i.IOi5.-w29.

4 Уапо К., DaviQ3 2.*ji. lie tile з end connections in the toncsnt bundle/7 Kodai Uath.Sesij^.r-uts.- 1971. - 23, И 4.- B.493-504.

5^ Тало К., Kobayanhi Sh. Prolongations of tensor fields

елй connactios to tangent bundles, II. Infinitesimal

automorphisms ' // J.t'.ath.Sos.Japan.-1966. - 18, N 3.2. 236-246.

6. Г anno Sh.Killing vectors end goods sic flow vcc1;ora on. tangent bund" a // J.reine tmd angow. ilath.- 1976. -282. - P.162-171.

7. Sato K. Jnfiniteoinal ffinno transformations on tho tan gent bundles with Sasaki raetriJk // lob xu Math.J.-1974. - 26, W 3. - P. 353-361.

3. Широков А.П, 0 голоморгано-проектнвшх преобразованиях в касательном расслоении //Гр.гепматр. семинара.- Казанок.ун-т, 1979, - вып.II.- С.Ш-т.

- Il, -

9. Паньжонекий B.iL .0 движениях в касательном расслоении о

метрикой Саоики. Пнз.гос,пед. ин-т— Пенза,1989— Юс.- Деп. в

ВЙН:ГГИ 10.02.89, К 115*1-369.

Ю. Taahihiro Iw&i. Yiitinga о£ tnXinxtasiinal tr&noXoraa.-

tione ci' a RAeracœnian manifold to its taagent bundle

v/iht c.pplio,a.-ticac to diiuunioal syotcns // Censor— 1977— 31, I.T 1. - Ï.98-102»

11. Ако M. нoit l&iear oomaectio„ la vector andloe // Kad-ai Uftth.Semia.Eopts, 19SC—18, M 4. - Р.307-Э16.

12. Ercj,-,a А.И. Максимально-подвижные метрические пространства линейных и гиперплоскостних элементов различных дакунар-ноотей //Дифферэнц.геометрия,- Саратове»,ун-т,1991,- вып.10— С.11-23.

13. Wang Halen-Chiuig. On. S ï'inBler sps,„as with ioccploteljr intâgrttble egu&tlona oi Killing // J.London bïath.Soa— 1947« - 22. - Г. 5-9.

14. Егоров А.И. Максг-адьно-подвижные финсдерови пространства //Уч.зап. Пенз.гос.пед. ин-та— Рязань,- 197^— С.17-21.

15. Вагнер В.В, Теория геометрических объектов и теория конечных'и бесконечных групп-преобразований //ДАН СССР,- 1945.

- Ï.46,» 9.- С,383-386.

16. Лаптев БД, Произв^-ная Ди для объектов, являющихся функцией точки и направления //Изв. КИЮ,- 1938.- Т.10,- С.3-33,

17. Шапукоа Б.Н, Производная ли в в «горных и тензорных расслоениях //Тр.геометр, семинара— К- эенок.ун-т, 1933— вып. 1$.

- G.64-93. '

16. Шапуков Б.Н. Теория кривизны вокторного расслоения //Гр.геометр, семинара.- Казанок.-ун-т, 1976.- вып.9.- СЛ18-137.

19. Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. Метрические рас юения и некоторые их приложения //Тр.геометр, семинара.- Казанок.ун-т, 1990,- вып.гО.- С,44-53.

Публикации автора по томе диссертации.

1. Жрагамова Р.Х. Движения на касательных расслоениях /Да за не к. ун-т.- Казань,1933,- 18с.- Дэп. в ЗИНОТ ЛН СССР 4.03.83.» 1159-33 Деп.

2. Ибрагимова Р.Х, Однородные объекты на касательном расслоении //Когаисх.уи-т.-"Казань,1983.- 18о.- Деп. в ВИНИТИ АН СССР 23.06.83,» 3427-33 Деп.

3. Ибрагимова Р.Х. Движения в касательных расслоениях со специальной метрикой //Казанок.ун-т,- Казань,т983.~9с.~ Деп. в ВИНИТИ ЛН СССР 27.01.84.501-84 Деп.

4. Ибрагимова Р.Х. Однородные объекты на касательном расслоении //Изв.ву зов. Матем.-1984.-}? 2.- С.66-68.

5. Ибрагимова Р.Х. Движения в касательных расслоениях //УШ республ.конЬ. по пат. и мех. Тезисы докладов,- Алма-Ата,

1984.- С.177. .

6. Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. АвтоморГгдзмы рассюенных пространств //УД Воесоозг конф. по созрел, пробл. дифф.гоои. Тезисы докладов.- Одеоса,1984,- С.56.

,7. Ибрагимо*«-Р.Х. Движения в касательных расслоениях оо специальной метрикой //Диффе^нц.геометрия.- Саратовск.ун-т,

1985.- вып.8.- С.17-2?.

- 16 -

8, Ибрагимова Р.Х. Метрические связности на касательном расслоении //IX республ.конф. по нат. и.м»х. Тезисы докладов. - , Алма-Ата,1989.^ С.158. '

9, Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. Метрические расслоения и некоторые их приложения /Др.геометр, семинара.- Хаза но к. ун-т, -1990.- вып.20,- С.<й-58.

10. Ибрагимова Р.Х. Двииения на касательно расслоениях //Международная геометрическая конференция "Лоб? евский и современная геометрия". Тезиоц докладов,- Казань, 1992.- С.З'и