Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Общая характеристика работы.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методы исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость

7. Апробация

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

Содержание диссертации.

ГЛАВА I. Двойственные нормальные связности на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

§1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

1. Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения /п-мерных линейных элементов.

2. Поля охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении.

3. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения 7тг-мерных линейных элементов.

4. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле А.П. Нордена.

5. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле Э.Картана.

6. Инвариантное оснащение гиперполосного распределения в смысле Э.Бортолотти.

7. Сильно оснащенные гиперполосные распределения.

§2. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго родов на гиперполосном распределении.

1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов.

2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на гиперполосном распределении 7тг-мерных линейных элементов.

3. Двойственные нормальные связности на сильно оснащенном гиперполосном распределении ттг-мерных линейных элементов.

4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.

ГЛАВА II. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе.

§1. Поля фундаментальных и охваченных объектов т-мерной гиперполосы.

1. Дифференциальные уравнения гиперполосы и её двойственный образ

2. Инвариантные оснащения регулярной гиперполосы.

§2. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе.

1. Двойственные нормальные связности в расслоениях нормалей первого и второго родов на регулярной гиперполосе

2. Двойственные нормальные связности на сильно оснащенной регулярной гиперполосе.

3. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях.

§3. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов.

1. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах.

2. Нормальные связности на (д-2)-мерной гиперполосе.

3. Двойственные нормальные связности на регулярных гиперполосах с заданной сетью.

1. Постановка вопроса. Теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств. Свое начало эта теория берет от работ Т. Леви-Чиви-та [83] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля Г.Вейль [87] дал понятие пространства аффинной связности. Э.Картан ввел в рассмотрение общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О» [78]. Р.Кениг [82] изучал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А.Схоутен [85].

К середине нашего столетия назрела необходимость ввести понятие связности в расслоенном пространстве, что и сделали (независимо друг от друга) В.В.Вагнер [9] и Ш.Эресман [81]. Г.Ф. Лаптев [20], развивая эти результаты, отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. У него объект связности является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка, например, проективной дифференциальной группы [21]. Дальнейшее развитие общей теории связностей отражено в работе Ю.Г.Лумисте [24].

Существенное место в дифференциальной геометрии занимает теория связностей в однородных расслоениях, а также применение этой теории при изучении оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

Оснащение погруженного многообразия характеризуется строением основных функций \|/* , определяющих оснащающий объект (фундаментальный оснащающий объект многообразия): где со5' -первичные формы, со'2 -вторичные формы Пфаффа на многообразии (см. [20]). В зависимости от строения этих функций имеем различные типы оснащений подмногообразия (например, в смысле А.П.Нордена [28], Э.Картана [79], Э.Борто-лотти [77] и т. д.).

Изучением геометрии многообразий плоскостей в классических пространствах с помощью связности в расслоениях занимался В.В.Вагнер [86], а затем Ю.Г.Лумисте [23].

Геометрия подмногообразия принимает более стройный вид, если использовать связность не только в касательном, но и в нормальном расслоении.

Понятие нормальной связности в проективном пространстве ввели Чен [80], А.П.Норден [28] (который называет такого рода связность внешней) и А.В.Чакмазян [64]-[66].

Монография Чена [80] содержит значительную часть результатов изучения геометрии подмногообразий при помощи нормальных связностей. Обзор результатов исследований нормальных связностей приведен в работе Ю.Г. Лумисте [25], а также в его совместной с А.В.Чакмазяном статье [26].

В связи с актуальностью проблемы теория нормальных связностей получает развитие и в настоящее время в трудах ряда геометров. В первую очередь следует упомянуть А.В.Чакмазя-на, который в своих работах [64]-[70] подробно изучает локальное строение подмногообразия в классических однородных пространствах (проективном, аффинном, проективно-метричес-ком и евклидовом) с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Например, в работах [5], [65] и [69] он исследует оснащенные подмногообразия евклидова и аффинного пространства с плоской нормальной связностью.

Использование данного А.В.Столяровым [45] определения двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальной связностями позволяет существенно продвинуться в изучении геометрии оснащенных подмногообразий, в том числе и неголономных. A.B. Столяров в своих работах [45], [46] вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и на гиперполосном распределении пространства проективной связности. Развивая его идеи, С.В.Фисунова [59]-[62] исследует эти связности на распределении тп-мерных линейных элементов, распределении гиперплоскостных элементов и на поверхности в проективном пространстве.

А.К. Рыбников [34], ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.

Необходимо отметить усилившийся в последнее время интерес к изучению связностей в нормальных расслоениях калининградских геометров. Так, например, Ю.И.Попов [32] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю.Попова [33] рассматривает нормальную центропроективную связность на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства. Ю.И.Шевченко в своих работах (см., например, [72]) исследует групповые связности в главном расслоении и линейные связности в расслоении реперов, а также [73] связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями. С.Н.Юрьева [76] изучает обобщенные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Отметим, что A.B. Столяров [45], изучая такого рода связности на гиперполосном распределении пространства проективной связности, назвал их линейными связностями аффинного типа.

Предметом исследования в диссертации являются связности, индуцируемые в расслоениях нормалей (нормальные связности) на оснащенных подмногообразиях, погруженных в я-мер-ное проективное пространство Р,г. В первой главе в качестве подмногообразия берется регулярное^ гиперполосное распределение т-мерных линейных элементов (то есть неголономная гиперполоса), а во второй главе — регулярная гиперполоса Ит.

2. Актуальность темы. Теория связностей занимает большое место в современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.

При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э.Картан (см. [16], [78], [79]), Г.Ф.Лаптев [17]-[21] и А.П.Норден [28]. В частности, А.П.Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А.Широков и А.П.Широков [74] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В.Столяров [45].

Геометрами раньше рассматривались нормальные связности, в основном, лишь на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства (см., например, [4], [5], [25], [26], [28], [32], [33], [67], [69], [70], [80]). Слабо исследовалась взаимосвязь между аффинными и нормальными связностями, индуцируемыми оснащениями подмногообразий. Почти не проводились исследования связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях), а также двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных). Исключением являются работы A.B. Столярова [45], [46] и C.B. Фисуновой [59]-[62].

Исследования по изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых оснащением составных [9] неголономных подмногообразий (каковым является гиперполосное распределение) ранее геометрами, за исключением работы [46], не проводились.

Всё вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.

3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение основ двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенных гиперполосах (неголономных и голономных), погруженных в д-мер-ное проективное пространство ± п. Решаются следующие основные задачи:

1) изучение двойственных центропроективных (то есть нормальных) связностей, индуцируемых в нормальных расслоениях при различных классических оснащениях (в смысле А.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти, сильном оснащении, согласованном оснащении) гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов (глава I);

2) исследование геометрии двойственных нормальных связностей на регулярной гиперполосе, в том числе на гиперполосах специальных классов (глава II);

3) установление взаимосвязи между индуцируемыми на оснащенной регулярной гиперполосе аффинными и нормальными связностями (глава II).

4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [20] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана [47]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.

В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно, в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [20].

5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: а) нормальные связности на оснащенных гиперполосах (неголономной и голономной) и, тем более, их двойственная геометрия ранее почти не изучались; б) в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных голономных и неголономных гиперполосах проводится инвариантными аналитическими методами [20], [47] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.

В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании подмногообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью; б) по теории гиперполосных распределений ттг-мерных линейных элементов и гиперполос.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1997-1999 г.г.), на итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1998-1999 г.г.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по геометрии (Чувашский государственный педагогический университет, Чебоксары, 1999 г.), на XI Международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики (Казань, 1999 г.), на Всероссийской школе-конференции по теории функций, её приложениям и смежным вопросам (Казань, 1999 г.), на Международной научной конференции по инвариантным методам исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики (Москва, МГУ, 1999 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (1999 г.).

8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в десяти печатных работах [49]-[58] автора.

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.

1. Акивис МА. Фокальные образы поверхности ранга г // Изв. вузов. Мат.-1957.-№1.-С.9-19.

2. Акивис МА. О строении сопряженных систем на многомерных поверхностях // Изв. вузов. Мат.-1970.-№10.-С.З-11.

3. Акивис МА., Рыжков В.В. Многомерные поверхности специальных проективных типов // Тр. 4-го Всес. матем. съезда, 1961. Л. «Наука».-1964.-Т.2.-С. 159-164.

4. Акивис МА., Чакмазян А.В. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН СССР.-1975.-Т.60.-№3.-С.137-143.

5. Акивис МА., Чакмазян А.В. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью // ДАН АрмССР.-1976.-Т.62.-№2.-С. 75-81.

6. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях // Геометрия. 1963 / Итоги науки ВИНИТИ АН СССР.-1965.-С.138-164.

7. Базылев В.Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Изв.вузов. Мат.-1966.-№2.-С.9-19.

8. Вагнер В.В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу.-1950.-Вып.8.-С.197-272.

9. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1950.-В.8.-С.11-72.

10. Василян МА. Об инвариантном оснащении гиперполосы // ДАН АрмССР.-1970.-Т.50.-№2.-С.65-70.

11. Василян М.А. Проективная теория многомерных гиперполос // Изв. АН АрмССР. Мат.-1971.-Т.6.-№6.-С.477-481.

12. Василян МЛ. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы // ДАН АрмССР.-1973.-Т.57.-№4,-С.200-205.

13. Гейделъман P.M. Теория аналитических конгруэнций плоскостей в комплексных и двойных унитарных неевклидовых пространствах и проективная теория пар плоскостей // Матем. сб.-1959.-Т.39 (119).-С.281-316.

14. Гейделъман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 / ВИНИТИ АН СССР.- М., 1967.-С.323-374.

15. Голъдберг В.В. Об одной нормализации р-сопряженных систем д-мерного проективного пространства // Тр. Геометр, семинара.-1966.-Т. 1.-С. 89-109.

16. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности.-Изд. Казанск. ун-та, 1962.-210с.

17. Лаптев Г.Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР.-1943 -41.-№8.-С.329-391.

18. Лаптев Г.Ф. О погружении пространства аффинной связности в аффинное пространство // ДАН СССР.-1945.-47.-№8.-С.551-554.

19. Лаптев Г.Ф. Аффинное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий // ДАН СССР.-1945.-58.-№4.-С.529-531.

20. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва.-1953 Т.2.-С.275-382.

21. Лаптев Г.Ф. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1966.-Т. 1.-С. 139-189.

22. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-Т.З.-С.49-94.

23. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в погруженных проективных и аффинных расслоениях // Уч. зап. Тартуск. ун-та.-1965.-В. 177.-С.6-42.

24. Лумисте Ю.Г. Теория связностей в расслоенных пространствах // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-С.123-168.

25. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1975.-Т.13.-С.273-340.

26. Лумисте Ю.Г., Чакмазян А.В. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1980.-Т.12.-С.3-30.

27. Михайлова А.Н. Двойственные нормализации гиперполосного распределения // Вестник ЧГПУ (естественные науки).-Чебоксары, 1999.-С.25-29.

28. Норден А.П. Пространства аффинной связности.—М.: Наука, 1976.-432с.

29. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math, pures et appl. (RPR). 1962.- T.7.- №2.- C.239-263.

30. Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1971.-Т.3.-С.49-94.

31. Попов Ю.И. К теории оснащенной регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве // Уч.зап МГПИ, 1970.-№374.-Т. 1.-С. 102-117.

32. Попов Ю.И. Нормальная аффинная связность оснащенной гиперполосы аффинного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1998.-В. 29.-С. 53-59.

33. Попова Т.Ю. Нормальная центропроективная связность гиперполосы СН^г проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998.-В.29.-С.59-63.

34. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Матем.-1986.-№7.-С.60-69.

35. Рыжков В.В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях // Тр. Московск. матем. об-ва.-1958.-Т.7.~ С.179-226.

36. Савельев С.И. Поверхности с плоскими образующими, вдоль которых касательная плоскость постоянна // Докл. АН СССР.-1957.-Т.115.-№4.-С.663-665.

37. Смирнов Р.В. Преобразования Лапласа ^-сопряженных систем. // Докл. АН СССР.-1950.-Т.71.-№3.-С.437-439.

38. Столяров А.В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-1975.-Т.7.-С.117-151.

39. Столяров A.B. О фундаментальных объектах регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат.-1975.-№10.-С.97-99.

40. Столяров A.B. Условие квадратичности регулярной гиперполосы // Изв. вузов. Мат.-1975.-№11.-С. 106-108.

41. Столяров A.B. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе // Изв. вузов. Мат.-1977.-№8.-С.68-78.

42. Столяров A.B. Двойственная теория гиперполосного распределения и ее приложения // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1982.-Вып.13.-С.95-102.

43. Столяров A.B. Двойственная теория регулярной гиперполосы HmdPn,« // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1988.-Вып.19.-С.88-93.

44. Столяров A.B. Об оснащениях в смысле Э.Картана и Э.Бортолотти регулярной гиперполосы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1991.-Вып. 22.-С. 104-108.

45. Столяров A.B. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд. / Чуваш, пед. ин-т.-Чебоксары, 1994.-290с.

46. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. НАНИ 4P (физ.-мат. науки).-Чебоксары, 1996.-№6.-С.9-14.

47. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.-М.; Л.: ГИТТЛ., 1948.-432с.

48. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций.-М.:ГИТТЛ, 1956.-444с.

49. Фисунов ПЛ. Связность в нормальных расслоениях нагиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов.-Чебоксары: ЧГПИ, 1997.-В.2.-С.59-63.

50. Фисунов ПЛ. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.- 1998.-17с.-№627-В98 Деп.

51. Фисунов ПЛ. Нормальные связности на оснащенном гиперполосном распределении // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов.-Чебоксары: ЧГПИ, 1998.-В.3.-С.13-18.

52. Фисунов ПЛ. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.-1998.-20с.-№3394-В98 Деп.

53. Фисунов ПЛ. Нормальные связности на плоских и конических гиперполосах // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов.-Чебоксары: ЧГПУ, 1999.-В.5.-С.14-17.

54. Фисунов ПЛ. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов // ВИНИТИ РАН.- 1999.-З3с.-№1835-В99 Деп.

55. Фисунов ПЛ. Связности в нормальных расслоениях гиперполос специальных классов //XI Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы док л адов.-Казань, 1999.-С.53.

56. Фисунов ПЛ. Центропроективные связности в нормальных расслоениях регулярной гиперполосы проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1999.-Вып.30.-С.89-94.

57. Фисунова C.B. Связности в нормальных расслоениях на распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-15с.-№418-В98 Деп.

58. Фисунова C.B. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-14с.-№1098-В98 Деп.

59. Фисунова C.B. Линейные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности // ВИНИТИ РАН.-1998.-19с.-№-2847-В98 Деп.

60. Фисунова C.B., Фисунов ПЛ. Связности в нормальных расслоениях распределения 7тг-мерных линейных элементов // Тезисы докл. VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999.-С.108-109.

61. Чакмазян Л.В. Двойственная нормализация // Докл. АН АрмССР.-1959.-Т.28.-№4.-С.151-157.

62. Чакмазян Л.В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Тезисы докл. Всес. геометр, конференции «150 лет неевклидовой геометрии».-Казань, 1976.-С.209.

63. Чакмазян A.B. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства с плоской нормальной аффинной связностью // Дифференциальная геометрия. Межвузовский тематический сборник.-Калинин.-1977.-С. 120-129.

64. Чакмазян A.B. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Рп // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1978.-Т.10.-С.55-74.

65. Чакмазян A.B. Нормализованное по Нордену подмногообразие с параллельным полем нормальных направлений в Рл // Изв. вузов. Мат.-1980.-№1.-С. 57-63.

66. Чакмазян A.B. О нормальной связности нормализованного многообразия плоскостей в проективном пространстве // Изв. вузов. Мат.-1984.-№7.-С.74-79.

67. Чакмазян A.B. Об оснащениях с плоской нормальной связностью для подмногообразия аффинного пространства // Изв. вузов. Мат.-1987.-№1.-С.48-53.

68. Чакмазян A.B. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / Армянск. пед. ин-т.-Ереван, 1990.-116с.

69. Ш any ков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-М., 1983.-Т.15.-С.61-93.

70. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголоном-ных гладких многообразий / Калинингр. ун-т.-Калининград, 1998.-82с.

71. Шевченко Ю.И. Связности в расслоениях над голоном-ным и неголономным центропроективными многообразиями // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции.-Казань, 1999.-С.234-235.

72. Широков ПЛ., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия.-М.: Физ.-матем. изд., 1959.

73. Шуликовский В.И. Проективная теория сетей.-Изд. Казанск. ун-та, 1964.-78с.

74. Юрьева С.Н. Гиперполосное распределение аффинного пространства // Теория функций, её приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции.-Казань, 1999.-С.254-255.

75. Bortolotti Е. Connessioni nelle varietá luogo di spazi; applicazione alia geometría métrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari.-1933.-V.3.-P.81-89.

76. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalises // Acta math.-1926.-V.48.-P.1-42. (см. русск. перевод: Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

77. Cartan Е. Les éspaces á connexion projective // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937.-Вып.4.-С.147-159.

78. Chen B.Y. Geometry of submanifolds.-New York, 1973.-P.308.

79. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un éspace fibre differentiable // Colique de Topologie.-Bruxelles, 1950.-P.29-55.

80. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeits-lehre. Jahresb // d. Deutsch. Math.Ver.-1920.-V.28.-P.213-228.

81. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speeifieazione geométrica della curvatura- 128 Riemannianna // Rend. circ. matem.-Palermo, 1917.-V.42.-P.173-205.

82. Mihäilescu T. Geometrie differentialä projectivä.-Bucure§ti Acad. RPR, 1958.-494 p.

83. Schouten JA. Ricci-Calculus. An introduction to tensor analysis and its geometrical applications. 2-nd ed. // BerlinGöttingen-Heidelberg . -Springer .-1954.

84. Wagner V. Differential geometry of family of Ra,s in R„ and of the family of totally geodesic Sk-i,s in Sn-i of positive curvature // MaTeM. c6.-1954.-T. 10(52).-C. 165-212.

85. Weyl H. Raum, Zeit, Materie.-Berlin, 1918.