Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

1. Постановка вопроса.

2. Актуальность темы.

3. Цель работы.

4. Методика исследования.

5. Научная новизна полученных результатов.

6. Теоретическая и практическая значимость.

7. Апробация.

8. Публикации

9. Вклад автора в разработку избранных проблем

10. Структура и объем работы.

11. Некоторые замечания.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Г л а в а I. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ш-МЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§ 1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении ш-мерных линейных элементов

1. Дифференциальные уравнения распределения ш-мерных линейных элементов.

2. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении ш-мерных линейных элементов

§ 2. Инвариантные оснащения распределения т-мерных линейных элементов.

1. Инвариантное оснащение распределения т-мерных линейных элементов в смысле А.П.Нордена.

2. Инвариантное оснащение распределения т-мерных линейных элементов в смысле Э.Картана.

3. Инвариантное оснащение распределения т-мерных линейных элементов в смысле Э.Бортолотти

§ 3. Нормальные связности.индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на распределении т-мерных линейных элементов.

1. Нормальные связности на оснащенном распределении т-мерных линейных элементов.

2. Нормальные связности на оснащенной т-мерной поверхности

3. Поле р-мерных плоскостей на распределении т-мерных линейных элементов, параллельное в нормальной связности

-3Г л а в а II. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ

ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

§ 1- Двойственность теории регулярного распределения гиперплоскостных элементов

1. Образ, двойственный регулярному распределению гиперплоскостных элементов

2. Поля соприкасающихся гиперквадрик

§ 2. Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных элементов.

1. Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных элементов.

2. Внутренние нормализации распределения гиперплоскостных элементов.

§ 3. Двойственные нормальные связности на регулярном оснащенном распределении гиперплоскостных элементов.

1. Нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов.

2. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов

3. Аффинные и нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов.

Г л а в а Ш. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Двойственность теории регулярной гиперповерхности.

§ 2. Инвариантные оснащения гиперповерхности.

§ 3. Двойственные нормальные связности на оснащенной гиперповерхности

1. Нормальные связности на оснащенной гиперповерхности

2. Двойственные нормальные связности на оснащенной гиперповерхности

3. Аффинные и нормальные связности на оснащенной гиперповерхности

1. Постановка вопроса. В дифференциальной геометрии существенное место занимает теория связностей в однородных расслоениях, а также ее применение при изучении дифференциальной геометрии оснащенных многообразий.

Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [12], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта gx (поле фундаментального оснащающего объекта многообразия) где СО*1 -первичные формы, со'2 -вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций у* (,§■), определяющих оснащающий объект gx; в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия (оснащение в смысле А.П.Нордена [18], Э.Картана [52], Э.Бортолотти [50] и т.д.).

Теория связностей представляет собой обширную область исследования расслоенных пространств.

Большой вклад в развитие теории связностей, которая начинается, как известно с 1917 года, внесли работы Т.Леви-Чиви-та [56] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии и Г.Вейля [59], в которой он вводит понятие пространства аффинной связности. Р.Кениг [55] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э.Картан ввел общее понятие «неголо-номного пространства с фундаментальной группой О» [51]. И.А.Схоутен [58] установил связь между концепциями Кени-га и Картана. В 1950 г. В.В.Вагнер [6], [7] и Ш.Эресман [54] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э.Картан [52], но само понятие нормальной связности в проективном пространстве ввели А.П.Норден [18] (который называет такого рода связность внешней), А.В.Чакмазян [16], [44], [45] и Чен [53]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в монографию Чена [53] и освещена в обзоре Ю.Г.Лумисте [15]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [16]. В работах [2], [43] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью.

В последнее время теорией нормальных связностей продолжает заниматься ряд геометров. А.В.Чакмазян [42]-[45] подробно изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (проективном, аффинном, проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях. А.В.Столяров [28], [29] вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и на гиперполосном распределении пространства проективной связности. П.А.Фисунов в своих работах [33], [34] продолжает исследование этих связностей на гиперполосе (голо-номной и неголономной) в проективном пространстве. Ю.И.Попов [22] исследует нормальные аффинные связности гиперполосы аффинного пространства. Т.Ю.Попова в работе [23] рассматривает нормальную центропроективную связность на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства. А.К.Рыбников [24] изучает проективные и конформные связности (в частности нормальную связность) на гладком многообразии. Он ассоциирует связность с полями плоскостей специального типа.

Ю.И.Шевченко в своих работах (см., например, [47]) исследует групповые связности в главном расслоении и линейные связности в расслоении реперов.

Предметом исследования настоящей работы являются связности, индуцируемые в расслоениях нормалей (нормальные связности) на оснащенном многообразии, погруженном в п-мерное проективное пространство в качестве многообразия берутся: а) распределение m-мерных линейных элементов <Жс:Р„ (глава I), б) регулярное распределение гиперплоскостных элементов Жс=Рп (глава И), в) регулярная гиперповерхность Yn-idPn (глава III).

2. Актуальность темы. В настоящее время дифференциальная геометрия представляет собой широкий фронт исследований разнообразных структур на гладких многообразиях; известно, что в ней теория связностей занимает существенное место.

Широкое применение понятия связности к геометрии подмногообразий находят результаты исследований геометров по дифференциальной геометрии подмногообразий в классических однородных пространствах: результаты С.П.Финикова [32] по расслояемым парам конгруэнций, результаты А.П.Нордена [18], который разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения, результаты Г.Ф.Лаптева [9]-[11], который, следуя идеям Э.Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности, результаты П.А.Широкова и А.П.Широкова [48], которые исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении, результаты А.В.Столярова [28] по двойственной теории оснащенных многообразий.

В рамках теории связностей чаще всего находят приложения, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [2], [8], [16], [18], [45], [46], [49]); при этом в классических однородных пространствах исследователи ограничивались, в основном, изучением связностей: а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного подмногообразия; б) в случае, когда данное подмногообразие, как правило, является голономным; в) без привлечения теории двойственности.

Нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [15], [16], [18], [28], [44], [53]). Но аналогичные исследования геометрии: а) связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях), б) двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных), в) аффинных и нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях во взаимосвязи математиками до настоящего времени почти не проводились; исключение составляют работы Столярова A.B. [28], [29].

3. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ двойственной теории нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном регулярном распределении гиперплоскостных элементов как голономном, так и неголономном), погруженном в п-мер-ное проективное пространство эта теория включает в себя решение следующих ключевых проблем:

1) построение основ теории центропроективных (т.е. нормальных) связностей, индуцируемых в нормальных расслоениях при различных классических оснащениях (в смысле А.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти, сильное оснащение, согласованное оснащение) распределения т-мерных линейных элементов (т^п-1 и т=п-1) (глава I, II);

2) построение основ теории двойственных нормальных связностей как на распределении гиперплоскостных элементов, так и на гиперповерхности (глава II, III);

3) рассмотрение аффинных и нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях в их взаимосвязи (глава II, III).

4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [12] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана [17], [31]; это позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высших (до 4-го) порядков.

Все результаты получены в минимально канонизированном репере (нулевого и первого порядков), благодаря чему все результаты формулируются в инвариантной форме.

Отметим, что результаты по теории нормальных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [12], [13].

5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше ключевых проблем (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: а) нормальные связности на оснащенных распределениях и, тем более, их двойственная теория ранее геометрами почти не изучались; б) в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных распределениях (и в частности, на оснащенной гиперповерхности) проводится инвариантными аналитическими методами посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия.

В работе приведены доказательства всех основных выводов, они сформулированы в виде предложений и теорем.

6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно, спецкурсов: а) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью; б) по теории распределений т-мерных линейных элементов и многомерных поверхностей.

7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных кон

- 10ференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1997-1999 г.г.), на итоговых научных конференциях преподавателей Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1998-1999 г.г.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по геометрии (Чувашский государственный педагогический университет, Чебоксары, 1999 г.), на VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование» (Ростов-на-Дону, 1999 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (1999 г.).

8. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах [35]-[41].

9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации, кроме двух (см. [40], [41]), выполнены без соавторов.

1. Акивис М.А., Рыжков В.В. Многомерные поверхности специальных проективных типов // Тр. 4-го Всес. матем. съезда, 1961. Л. «Наука».-1964.-Т.2.-С. 159-164.

2. Акивис М.А., Чакмазян A.B. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства, допускающих параллельное нормальное векторное поле // ДАН СССР.-19 75.-Т. 60.-№3.-С.137-143.

3. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр. Геометр, семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР.-1974.-Т.5.-С.169-193.

4. Базылев В.Т. О многомерных сетях и их преобразованиях // Геометрия (1963) (Итоги науки ВИНИТИ АН СССР): Сб. ст.-1965.-С. 138-164.

5. Базылев В.Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства // Изв.вузов. Мат.-1966.-№2.-С.9-19.

6. Вагнер В.В. Геометрия (п-1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве //Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу.-1941.-В.5.-С.173-225.

7. Вагнер В. В. Теория составного многообразия //Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу.-1950.-В.8.-С.11-72.

8. Василян М.А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы // Докл. АН АрмССР.-1973.-Т.57.-№4.-С.200-205.

9. Лаптев Г.Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности // ДАН СССР.-1943.-41.-№8.-С.329-391.

10. Лаптев Г.Ф. О погружении пространства аффинной связ-104ности в аффинное пространство // ДАН СССР.-1945.-47.-№8.-С.551-554.

11. Лаптев Г.Ф. Аффинное изгибание многообразий с сохранением внутренних геометрий // ДАН СССР.-1945.-58.-№4.-С.529-531.

12. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. об-ва.-1953.- Т.2.-С.275-382.

13. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Труды 3-го Всес. ма-тем. съезда: Сб. ст.-1958.-Т.З.-С.409-418.

14. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геометр, семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР.-1971.-Т. 3.-С.49-94.

15. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий // Итоги науки. Алгебра, Топология, Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. Москва, 1975.-Т. 13.-С.273-340.

16. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-Москва, 1980.-Т.12.-С.3-30.

17. Малаховский B.C. Введение в теорию внешних форм.-Калининградский ун-т, 1978.-84с.

18. Норден А.П. Пространства аффинной связности.-М.: Наука, 1976.-432с.

19. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности-105 проективного пространства // Тр. Геом. семинара / Ин-т на-учн. информ. АН СССР., 1966.-Т.1.-С.239-263.

20. Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II // Тр. Геометр. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР.-1971.-Т.3.-С.49-94.

21. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве //Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР., 1973.-Т.4.-С.71-120.

22. Попов Ю.И. Нормальная аффинная связность оснащенной гиперполосы аффинного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур.-Калининградск.ун-т,1998.-В.29.-С.53-59.

23. Попова Т.Ю. Нормальная центропроективная связность гиперполосы CWm проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур.-Калининградск. ун-т, 1998.-В.29.-С. 59-63.

24. Рыбников А.К. Проективные и конформные нормали и связности // Изв. вузов. Матем.-1986.-№7.-С.60-69.

25. Савельев С.И. Поверхности с плоскими образующими, вдоль которых касательная плоскость постоянна // Докл. АН CCCP.-1957.-T.il 5.-№4.-С.663-665.

26. Столяров A.B. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности // Изв.вузов. Мат.-1972.-№4.-С. 109-119.

27. Столяров A.B. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности.I // Изв.вузов.-Мат.-1980.-№1.-С.79-82.

28. Столяров A.B. Двойственная теория оснащенных мно-106гообразий: Монография. 2-е изд./ Чуваш, пед. ин-т.-Чебоксары, 1994.-290с.

29. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе // Изв. H АНИ 4P (физ.-мат. науки).-Чебоксары, 1996.-№6.-С.9-14.

30. Столяров A.B. Об оснащениях неголономной гиперповерхности // Изв. H АНИ 4P (физ.-мат. науки).-Чебоксары,1997.-№4.-С.25-29.

31. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии.-M.; JI.: ГИТТЛ., 1948.-432с.

32. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций.-М.:ГИТТЛ, 1956.-444с.

33. Фисунов П.А. Центропроективные связности в расслоениях нормалей первого рода на неголономной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.- 1998.-17с.-№627-В98 Деп.

34. Фисунов П.А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе // ВИНИТИ РАН.1998.-15с.-№3394-В98 Деп.

35. Фисунова C.B. Нормальные связности на распределениях гиперплоскостных элементов // Сб. науч. тр. студентов и аспирантов.-Чебоксары, 1997.-В.2.-С.49-55.

36. Фисунова C.B. Связности в нормальных расслоениях на распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-15с.-№418-В98 Деп.

37. Фисунова C.B. Двойственные центропроективные связности в нормальных расслоениях на неголономной гиперповерхности //Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов.-Чебоксары, 1998.-В.З.-Т.1.-С.З-8.

38. Фисунова C.B. Двойственные нормальные связности на-107оснащенном распределении гиперплоскостных элементов // ВИНИТИ РАН.-1998.-14с.-№1098-В98 Деп.

39. Фисунова C.B. Линейные связности на оснащенной регулярной гиперповерхности // ВИНИТИ РАН.-1998.-19с.-№-2847-В98 Деп.

40. Фисунова C.B., Фисунов П.А. Нормальные связности на оснащенном распределении ш-мерных линейных элементов // Сб. науч. тр. студентов, аспирантов и докторантов. Чебоксары, 1998.-В.4.-Т.1.-С.1-5.

41. Фисунова C.B., Фисунов П.А. Связности в нормальных расслоениях распределения m-мерных линейных элементов // Тезисы докл. VII Международной конференции «Математика. Экономика. Экология. Образование». Ростов-на-Дону, 1999.-0,1 п.л.

42. Чакмазян A.B. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения // Тезисы докл. Всес. геометр, конференции «150 лет неевклидовой геометрии ». -Казань ,1976.-С.209.

43. Чакмазян A.B. Об оснащенных подмногообразиях аффинного пространства с плоской нормальной аффинной связностью // Дифференциальная геометрия. Межвузовский тематический сборник.-Калинин.-1977.-С. 120-129.

44. Чакмазян A.B. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография. /Армянск. пед. ин-т.-Ереван, 1990.-116с.

45. Чакмазян A.B. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в P« // Сб. «Проблемы геометрии» / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-Москва,1978.-Т.10.-С.55-74.

46. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых рас- 108сдоениях //Сб. «Проблемы геометрии» / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР.-Москва, 1983.-Т. 15.-С.61-93.

47. Шевченко Ю.И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий / Калининградский ун-т.-Калининград, 1998.-82с.

48. Широков П.А., Широков А.П. Аффинная дифференциальная геометрия.-М.: Физ.-матем. изд., 1959.

49. Шуликовекий В.И. Проективная теория сетей.-Изд. Казанск. ун-та, 1964.-78с.

50. Bortolotti Е. Connessioni nelle varietá luogo di spazi; applicazione alia geometría métrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari.-1933.-V.3.-P.81-89.

51. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalises // Acta math.-1926.-V.48.-P. 1-42. (см. русск. перевод: Кар-тан Э., Группы голономии обобщенных пространств. Казань, 1939).

52. Cartan Е. Les éspaces á connexion projective // Тр.семинара по векторному и тензорному анализу /МГУ. Москва, 1937.-Вып.4.-С. 147-159.

53. Chen B.Y. Geometry of submanifolds.-New York, 1973.

54. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable // Colique de Topologie.-Bruxelles, 1950.-P.29-55.

55. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Jahresb // d. Deutsch. Math.Ver.-1920.-V.28.-P.213-228.

56. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente speeifieazione geométrica della curvatura Riemannianna. Rend. circ. matem.-Palermo, 1917.-V.42.-P.173-205.-109

57. Mihäilescu T. Geometrie differential projectivä.-Bucure§ti Acad. RPR, 1958.-494p.

58. Schouten J.A., Ricci-Calculus. An introduction to tensor analysis and its geometrical applications. 2-nd ed // BerlinGöttingen Heidelberg.-Springer.-1954.

59. Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Berlin, 1918.