Двойственные пространства аффинно-метрической связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

004609380

На правах рукописи

Аленина Татьяна Геннадьевна

ДВОЙСТВЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА АФФИННО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

з о СЕН 2010

Казань-2010

004609380

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государ' ственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Игошин Владимир Александрович

кандидат физико-математических наук, профессор

Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

Защита состоится 7 октября 2010 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан <30у> ClMUCilUZs 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачёв Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Постановка вопроса и актуальность темы.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [20] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [21] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной СВЯЗНОС; И. :

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [4] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине XX века В. В. Вагнер [1], [2] и Ш. Эресман [19] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

А. П. Нордгн [9] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [5], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких стоез расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия. .

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [5] был развит новый! инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия.

В 70-х годах XX века обобщенная теория распределения »/-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Рп „ (в частности, в проективном пространстве Р„) получила развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [7], [8], [11], [12]). А. В. Столяров [14] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гппергогоскостных элементов в пространстве проективной связности Р .

Согласно А. П. Нордену [9], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства К„. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства К„ с невырожденным абсолютом (У^. В случае, когда абсолют 2Я_, овального типа, поляритет называется гиперболическим.

В работе Г. Ф. Лаптева [5] вводится понятие пространства проективно-метрической связности Кяи: пространство К„„ есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик ¡2„_] (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [17] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рп становится пространством проективно-метрической связности К„ „.

А. В. Столяров показал [15], что с пространством аффинной связности А„ ассоциируется расширенное пространство аффинной связности Рл „ = А* „. Ввел понятие пространства аффинно-метрической связности Мп п: пространство аффинной связности Ая „, называется пространством аффинно-метрической связности М„ „, если расширенное пространство А* л является пространством про-ективно-метрической связности К„ „.

Объектом исследования настоящей работы являются: пространство аффинно-метрической связности М„ „; гиперполосное распределение т -мерных

линейных элементов Н, погруженное в пространство аффинно-метрической связности М„,; гиперповерхность в пространстве аффинно-метрической связности М„„.

Л,Л

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:

1) изучение геометрии нормализованного пространства аффинно-метрической связности М„„ до настоящего времени находилась в начальной

стадии;

2) исследования по разработке двойственной теории как голономных, так и неголономных подмногообразий, вложенных в пространство аффинно-метрической связности М„ „, ранее геометрами не проводились;

3) представляет научный интерес изучение геометрии гиперповерхности в пространстве аффинно-метрической связности.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной геометрии некоторых оснащенных многообразий, погруженных в пространство аффинно-метрической связности М„ „, на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение

поставленной цели1 включают в себя решение следующих ключевых задач:

1) инвариантным образом построить основы двойственной теории аффинных связностей, индуцируемых нормализацией пространства аффинно-метрической связности М„ ;

2) исследовать дифференциально-геометрические структуры, внутренним образом определяемые нормализацией гиперполосного распределения от-мерных линейных элементов Н в М„ „;

3) проводить изучения двойственной геометрии оснащенной в смысле А. П. Нордена регулярной гиперповерхности, погруженной в пространство аф-финно-метрической связности Мл,„.

Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [18] и метод нормализации А. П. Нордена [9]. Использование указанных методов позволило:

1) исследование геометрии оснащенных подмногообразий пространства М„ „ провести инвариантным образом путем построения и изучения полей геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;

2) изучать дифференциально-геометрические факты исследуемых подмногообразий, связанные с дифференциальными окрестностями до третьего порядка включительно.

Все исследования проведены в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме.

Результаты по геометрии связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [3], [5], [б], [10].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в математической литературе геометрия оснащенных подмногообразий, погруженных в пространство аффинно-метрической связности М„ „, оставалась практически не разработанной.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению оснащенных подмногообразий, погруженных в пространства аффинной и проективной связностей А„ „ и Pnj¡, и могут быть использованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голономных, так и неголономных), погруженных в пространство аффинно-метрической связности М„ „.

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации доказывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях по современным проблемам геометрии:

- на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2007 - 2009 гг.);

- на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (г. Чебоксары, 2007 - 2009 гг.);

- на 6-ой, 7-ой, 8-ой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г. Казань, 2007-2009 гг.);

- на ХЬУИ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009 г.);

- на Международной научной конференции «Лаптевские чтения - 2009» (г. Москва - г. Тверь, 2009 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 16 печатных работах автора (см. [1]-[16]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 94 наименования. Полный объем диссертации составляет 103 страницы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе изучается двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности А„ и пространства аффинно-метрической связности М„„.

В начале главы (§ 1, пп. 1,2) приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения. Здесь отражены пути подхода геометров к определению понятия связности в присоединенном расслоенном многообразии, приведены: I) формулировка теоремы Картана-Лаптева; 2) определение понятия пространства аффинно-метрической связности; 3) критерий того, что пространство аффинной связности А„ является пространством аффинно-метрической связности М„ „.

В п. 2 § 1 вводится понятие расширенного пространства аффинной связности Р„ „ =А*.

Определены понятия развертки пространства аффинно-метрической связности МЛ )1 на аффинно-метрическое пространство Мл вдоль некоторой кривой на базе и развертки этой кривой; найдена квадратичная форма

(кг г--аиа>оСОо, определяющая метрику пространства аффинно-

с

метрической связности М„ .

Пространство аффинной связности по аналогии с определением, введенным А. П. Норденом [9] для проективного пространства Р„, называется нормализованным (оснащенным по А. П. Нордену), если в расширенном пространст-

ве*Аип задано поле ковектора су,с0Ф 0. Методом продолжений и охватов

Г. Ф. Лаптева [5] в первых трех дифференциальных окрестностях нормализованного пространства аффинной связности построены поля тензоров с°, а°и, Ап А1Ж, Вик; при этом тензор а°и предполагается невырожденным, то есть рассматривается невырожденная [14] нормализация пространства А* По аналогии с нормализованным проективным пространством Рл [9] формализация пространства Р = А* с полем симметрического тензора айи называется гармонической.

С использованием теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [5], [6], получен (§ 2, п. 3) один из центральных результатов первой главы: с пространством аффинной связности Ап>л,

нормализованным полем ковектора с° невырожденным образом,

р

ассоциируются четыре пространства проективной связности Ря,л(/> = 1,2,3,4), 1

Р п,п = А*л нормализованные невырожденным образом полем ковектора с°(с0° =-1), причем эти пространства попарно двойственны относительно соответствующих инволютивных преобразований Ja(a= 1,2,3) форм связности;

| р

при этом гармоничность нормализации одного из пространств влечет гармоничность нормализации других (теорема 1.1).

Доказано (§ 3, п. 1), что при невырожденной нормализации пространства аффинной связности А„ индуцируются четыре двойственные между собой

(относительно инволютивных преобразований Ja) пространства аффинной

р

связности Аи л (теорема 1.2). В § 3, п. 1доказано, что:

12 12

1) аффинные связности V и V пространств Ал,и и А„,Л) индуцируемые

невырожденной нормализацией пространства аффинной связности Алл, являются обобщенно сопряженными [9] относительно поля тензора а°и (теорема 1.3);

1 2

2) пространства Ал,л и А„,„, индуцируемые невырожденной нормализацией пространства аффинной связности Ал л, могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом [9], [13] лишь одновременно (теорема 1.4);

р

3) если из четырех пространств аффинной связности А„ „, индуцируемых невырожденной нормализацией пространства аффинной связности А.п п, любые три — без кручения, то четвертое пространство также имеет нулевое кручение (теорема 1.5).

Пункт 2 § 3 первой главы посвящен нахождению критерия того, что каж-

р

дое из двойственных пространств аффинной связности А„ „, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности Мля, является пространством аффинно-метрической связности (теоремы 1.6,1.7). ,

р

Доказано (§ 3, п. 2), что если каждое из двойственных пространств А„ „, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности Мл п, имеет нулевое кручение, то любое из

них есть пространство аффинно-метрической связности тогда и только тогда, когда нормализация пространства М„„ является полярной [9] относительно

, р

поля локальных абсолютов Q„_x^, при этом пространства А,„ вырождаются в

одно пространство А„,„ (теорема 1.8).

В главе II диссертации изучается двойственная геометрия регулярного гиперполосного распределения /и-мерных линейных элементов Н, погруженного в пространство аффинно-метрической связности М„ „.

В § 1, п. 1 записаны дифференциальные уравнения подмногообразия Н, приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов.

Центральным результатом п. 2 § 1 является теорема 11.1: регулярное гиперполосное распределение т -мерных линейных элементов Н, заданное в расширенном пространстве аффинной связности А„ „, во 2-й дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: 1) пространство проективной связности Рп , двойственное расширенному пространству аффинной

связности А* „, причем пространства А* „ и Р„„ могут быть плоскими лишь одновременно; 2) многообразие Н в Р„ „, двойственное исходному распределению Н.

В п. 3 § 1 главы II найдено (при задании регулярного гиерполосного распределения Н в А ) условие существования пространства аффинной связности, двойственного исходному пространству А„ „.

Основной результат п. 3 § I содержится в теореме И.2: для того чтобы при задании регулярного гиперполосного распределения от-мерных линейных элементов Н в Кп п индуцировалось пространство аффинной связности Ая „, двойственное исходному, необходимо и достаточно, чтобы слоевые формы пространства А„>л обращались в нуль.

Найдены соотношения, связывающие компоненты тензоров кривизны и кручения двойственных пространств аффинной связности Ап „ и А„ „.

Геометрическое истолкование условия существования пространства А„

заключается в следующем: для того чтобы при задании регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов Н в А,- индуцировалось пространство аффинной связности Ал л, двойственное исходному, достаточно, чтобы направление А0А„ в связности пространства Алл переносилось параллельно вдоль любой кривой пространства Ал л; в случае аффинного пространства А„ „ =А, справедливо и обратное утверждение. |

Пункт 4 § 1 посвящен нахождению критерия того, что пространство Рп,л

является пространством проективно-метрической связности К„,„ без кручения, двойственное пространству Клл без кручения (теорема П.4). Найдено условие

(§ 1, п. 4), при котором пространство К.„,„ является ассоциированным с некото!

рым пространством аффинно-метрической связности М„,„ без кручения; при

о о

выполнении последнего пространства Мл,л и Мя,п являются двойственными пространствами аффинно-метрической связности.

Доказано (§ 3, пп. 1, 2), что регулярное гиперполосное распределение «-мерных линейных элементов Н в Мл„ внутренним образом порождает два

поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик [5], [8], [14] (У^ и <2пЛ, определенных во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения соответственно. Поле соприкасающихся гиперквадрик {2„_! имеет место как на гиперполосном распределении т -мерных линейных элементов Н в М„ „, так и на регулярной гиперполосе Нт в Мл я, если вместо тензора а"ю взять тензор полученный в работах А. В. Столярова [13], [16], а поле <2^ имеет место лишь на взаимном гиперполосном распределении Н. В случае распределения Н с полем симметричного тензора Лу найдены условия касания третьего порядка [14] гиперквадрик полей бл_, и Qя_i с подмногообразием Н в М„ „ (теоремы П.5,11.6).

В § 4 второй главы изучается двойственная геометрия нормализованного гиперполосного распределения /«-мерных линейных элементов Н в пространстве аффинно-метрической связности Мл л.

Доказано (п. 2 § 4), что нормализация {//Л,Я,-} регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов Н, вложенного в пространство аффинно-метрической связности М„„ с полем локальных абсолютов

£?лЧ с невырожденным тензором ау и допускающего обращение в нуль тензора

аы, является взаимной [9] (теорема II.7). Система форм ,в j

на распреде-

лении Н, вложенного в пространство аффинно-метрической связности Млл с

полем локальных абсолютов с невырожденным тензором а^ и допускающего

обращение в нуль тензора аы, определяет пространство аффинной связности i

Ал^п, причем распределение нормалей первого рода N„_m(#) голономно [8]

1

тогда и только тогда, когда пространство А„,т имеет нулевое кручение (теоремы II.8).

В § 4, п. 2 доказано, что нормализация \н'п, Я,} регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов H , погруженного в пространство аффинно-метрической связности М„ , индуцирует два двойственных

12 12 пространства аффинной связности А„,т и А„,т ; аффинные связности V и V 1 2

пространств An^t и А njn обобщенно сопряжены [9] относительно поля основного тензора А"-, вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия H в Мл^ (теорема П.9). Доказано (п. 3 § 4), что:

1) нормализация {гл, 7]} регулярного гиперполосного распределения m -мерных линейных элементов Н, вложенного в пространство аффинно-метрической связности с полем локальных абсолютов £?лЧ, является взаимной [9] относительно поля соприкасающихся гиперквадрик (теорема 11.10);

2) в условиях теоремы П.10 нормализация {г„',7}} регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов H индуцирует два

двойственных пространства аффинной

связности Anjn и Ап^и ;

i. Я

3) аффинные связности V и V обобщенно сопряжены [9] относительно поля основного тензора А"у вдоль любой кривой, принадлежащей базисному распределению многообразия H в Млл (теорема П.11).

Глава Ш диссертации посвящена исследованию пространства аффинной связности Ал_,л_,, индуцируемого на нормализованной гиперповерхности Fn4 сМлл, на предает вырождения его в пространство аффинно-метрической i

СВЯЗНОСТИ M «-1,11-1.

В § 1 найдено дифференциальное уравнение гиперповерхности V„_t в пространстве аффинной связности А„ „; в разных дифференциальных окрестностях

получены поля ее фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов.

В § 2 третьей главы показано, что на нормализованной регулярной гиперповерхности Уя_{ в М„„ индуцируются две двойственные аффинные связности 12 12

V и V пространств А „_,„_, и А „_, „.,; найдены условия, при которых первое

пространство аффинной связности А „_, является (и - 1)-мерным простран-

1

ством аффинно-метрической связности Мл-1,»-1 (теоремы III. 1, Ш.2). Эти условия приведены также в случае: 1) нормализации гиперповерхности Ия_и вложенной в пространство аффинно-метрической связности М„„ без кручения;

2) аффинной нормализации ре17лярной гиперповерхности вложенной в плоское пространство М„; при этом как в случае 1), так и в случае 2), про-

1

странство М„-1,„-|, есть пространство эквиаффинной связности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказано, что: 1) что при невырожденной нормализации пространства

аффинной связности Апп индуцируются четыре двойственные между собой

р 1 пространства аффинной связности А„ , р = 1,2,3,4; 2) аффинные связности V и 2

V являются обобщенно сопряженными [9] относительно поля тензора аи;

1 2

3) пространства А„,п и Ал,„ могут быть пространствами с абсолютным параллелизмом лишь одновременно; 4) если из четырех пространств аффинной связ-

р

ности Ал „, любые три - без кручения, то четвертое пространство также имеет

нулевое кручение. Найдены условия, при которых каждое из двойственных

р

пространств аффинной связности А„ „, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности М„ ,

является пространством аффинно-метрической связности. Показано, что если

р

каждое из двойственных пространств А„ „, индуцируемых невырожденной гармонической нормализацией пространства аффинно-метрической связности Мл и, имеет нулевое кручение, то любое из них есть пространство аффинно-

метрической связности тогда и только тогда, когда нормализация пространства

р

Мл п является полярной; при этом пространства А„ „ вырождаются в одно про-

1

странство А„,„.

2. Доказано, что регулярное гиперполосное распределение т -мерных линейных элементов Н в расширенном пространстве аффинной связности А* „ индуцирует: 1) пространство проективной связности Рлл, двойственное пространству А*л, причем пространства А* „ и Рлл могут быть плоскими лишь одновременно; 2) многообразие Н в Рл п, двойственное исходному распределению. При задании регулярного гиперполосного распределения Н в А„ „ найдено условие, при выполнении которого существует пространство аффинной связности Ал л, двойственное исходному пространству Алл.

3. Найден критерий того, что пространство Ри^, является пространством проективно-метрической связности Кя,п без кручения, двойственное пространству К* л без кручения. Найдено условие, при котором пространство К„,„ является ассоциированным с некоторым пространством аффинно-метрической

о о

связности Мл.» без кручения; при выполнении последнего пространства М„,п и

0

Мм являются двойственными пространствами аффинно-метрической связности.

4. Доказано, что регулярное гиперполосное распределение т -мерных линейных элементов Н в Мп внутренним образом порождает два поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик £?„_, и , определенных во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения соответственно; при этом поле соприкасающихся гиперквадрик £?лЧ имеет место лишь на взаимном гиперполосном распределении Н. В случае распределения Н с полем симметричного тензора А"&- найдены условия касания третьего

порядка гиперквадрик полей ()„_! и 0,пЛ с подмногообразием Н в Млл.

5. Известно, что на нормализованной регулярной гиперповерхности Кл_, с А* „ индуцируются два двойственных пространства аффинной связности

1 2

Ая-1л-1, Ап-1,л-1. Найдены условия, при которых первое пространство аффинной связности А „_,_„_,, индуцируемое нормализацией регулярной гиперповерхности вложенной в пространство аффинно-метрической связности

Мл л, является пространством аффинно-метрической связности М„ч,„-1. Эти условия приведены также в случае: 1) нормализации гиперповерхности Уп_{, вложенной в пространство аффинно-метрической связности М„ л без кручения; 2) аффинной нормализации регулярной гиперповерхности Кя_„ вложенной в

плоское пространство М„; при этом как в случае 1), так и в случае 2) про-1

странство Мл-1,л-1, есть пространство эквиаффинной связности.

Список литературы

[1] Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. - 1945, 46. -№8. - С. 335338.

[2] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - 1950. - Вып. 8. - С. 1172.

[3] Евтушик JL Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / JL Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

[4] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. - Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

[5] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[6] Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). - Ленинград, 1964. - Т. 2. -С. 226-233. '

[7] Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 29-48.

[8] Лаптев Г. Ф. Распределения т -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

[9] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976.-432 с.

[10] Остиану Н. М. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева / Н. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.

[11] Остиану Н. М. Распределения т -мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Инт научн. информ. АН СССР. - М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

[12] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

[13] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Ра-шевский. - М.: Наука, 1967. - 664 с.

[14] Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. - 2-е изд., доп. - Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. ин-та, 1994.-290 с.

[15] Столяров А. В. Пространство аффинно-метрической связности / А. В. Столяров.// Известия вузов. Математика. - 2007. - №9. - С. 71-82.

[16] Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. — 1975. — Т.7. — С. 117-151.

[17] Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столярову/ Известия вузов. Математика. - 2003. - №11. - С. 70-76.

[18] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[19] Ehresmann С. Les connexions infinitesimals dans un ¿space fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). - Paris, 1951.-P. 29-55.

[20] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. -Palermo, 1917,42. - P. 173-205.

[21] Weyl H. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. - Berlin, 1918.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Аленина Т. Г. К геометрии нормализованного пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Шестой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. - Т. 36. - С. 10-13.

[2] Аленина Т. Г. Геометрия невырожденной нормализации пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 236. -В2008. -17 с.

[3] Аленина Т. Г. О двойственных пространствах аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары: 41 НУ им. И. Я. Яковлева, 2008. - № 1 (11). -Т. 1.-С. 5-10.

[4] Аленина Т. Г. Пространство аффинно-метрической связности на нормализованной гиперповерхности / Т. Г. Аленина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2008. - Вып. 39. - С. 5-12.

[5] Аленина Т. Г. К двойственной геометрии регулярного гиперполосного распределения в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Седьмой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2008.-Т. 37.-С. 14-17.

[6] Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение и двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. - М., 2008.^№ 909. - В2008. - 19 с.

[7] Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности, индуцируемые гиперполосным распределением / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - № 140. - В2009. - 19 с.

[8] Алеиина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Известия вузов. Матем. — Казань, 2009. - № 7. - С. 6570.

[9] Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград : Изд-во РГУ им. И. Канта, 2009. - Вып. 40. - С. 11-18.

[10] Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина //Материалы ХЬУИ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск, 2009. - С. 94-95.

[11] Аленина Т. Г. Распределение т -мерных линейных элементов в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Математика в образовании: сб. статей. - Чебоксары : Изд. Чуваш, гос. ун-та, 2009. - Вып. 5 -С. 312-314.

[12] Аленина Т. Г. Пространство аффинной связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. - Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2009. - № 2 (14). - С. 3-7.

[13] Аленина Т. Г. Линейные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - № 697. - В2009. - 15 с.

[14] Аленина Т. Г. Геометрия двойственных пространств аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина //Лаптевские чтения - 2009 : Тезисы докладов Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009. - С. 5.

[15] Аленина Т. Г. Аффинные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. - М., 2009. - № 797. - В2009. - 22 с.

[16] Аленина Т. Г. Нормализованное гиперполосное распределение в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского : Материалы Восьмой молодежной науч. школы-конф. - Казань : Изд-во Казанского мат. об-ва, 2009. - Т. 39. - С. 123125.

Подписано к печати /У ¿У/^1 Формат 60 х 84/ Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. ЗаказЩ;

Отдел полиграфии

Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 3&

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель работы.

3. Методы исследования.

4. Научная новизна.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикация.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объем работы.

10.Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинно-метрической связности.

§1. Пространство аффинно-метрической связности.

1. Теорема Картана-Лаптева.

2. Пространство аффинно-метрической связности.

§2. Двойственные пространства проективной связности.

1. Поля геометрических объектов нормализованного пространства аффинной связности.

2. Индуцированные пространства проективной связности.

3. Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства.

§3. Двойственные пространства аффинно-метрической связности.

1. Двойственные аффинные связности.

2. Двойственные пространства аффинно-метрической связности.

ГЛАВА 2. Двойственная геометрия регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов в пространстве аффинно-метрической связности.

§1. Тангенциальное пространство проективной связности, индуцируемое регулярным гиперполосным распределением т-мерным линейным элементов.

1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на регулярном гиперполосном распределении Н в А*п п.

2. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения и тангенциальное пространство проективной связности.

3. Двойственные пространства аффинной связности.

4. Двойственные пространства аффинно-метрической связности без кручения.

§2. Двойственный образ регулярного гиперполосного распределения Н в

§3. Поля соприкасающихся гиперквадрик на регулярном гиперполосном распределении в Шпп.

1. Поле соприкасающихся гиперквадрик на взаимном гиперполосном распределении Н вМй)1.:.

2. Поле соприкасающихся гиперквадрик на гиперполосном распределении Н в МИ)Я.

§4. Двойственные аффинные связности на нормализованном гиперполосном распределении Н в Ыпп.

1. Двойственная нормализация распределения Н в М

2. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией распределения Н в Мя/г.

3. Двойственные пространства аффинной связности, индуцируемые нормализацией распределения Н в Мпи.

ГЛАВА 3. Пространство аффинно-метрической связности на нормализованной гиперповерхности.

§1. Регулярная гиперповерхность Упх в пространстве аффинной связности Ап,п.

§2. Пространство аффинно-метрической связности Ми-1,л-1 на нормализованной гиперповерхности ¥пх а Ми п.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [89] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [94] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [88], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [37] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [91], [92] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

В 1950 году В. В. Вагнер [26], [28] и Ш. Эресман [87] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

А. П. Норден [50] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [50], нормализация п -мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость », где А0 <£ ¿¡(). При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Р„, двойственное исходному пространству Ри. Нормализации А0 —> £о отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Р„ позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Ри, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Р,г и Р/г индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного-пространства Р„, А. П. Норден [50], В. В. Вагнер [27], А. П. Широков [85], А. В. Чакмазян

80], Ю. И. Попов [58] - [60], Г. В. Бушманова [22], Г. Н. Тевзадзе [74], М. А. Василян [29] - [31] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Упх сРн, гиперполосы Н/;г с:Р,г, нормализованного пространства Р„. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [45].

В 1926 г. Э. Картан [86] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой О».

Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегри-руемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В. В. Вагнера [24], А. В. Гохмана [34], П. К. Рашевского [62], С. А. Чаплыгина

81]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /77-мерных пучков направлений не задаёт семейства 777-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [23], [25], Д. М. Синцова [65], А. И. Схоутена [93], монографию Михэйлеску [90]).

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [19], [20]. Ю. Г. Лумисте [46] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [18] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве., А. П. Норден [51], [52] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 70-х годах 20-го столетия теория распределений 777-мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Р/7 и пространстве проективной связности Р , получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [56], [57]).

Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [69] для построения основ двойственной теории оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Ри п. При этом определение двойственных пространств с линейной связностью дано с точки зрения инволютив-ных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило А. В. Столярову при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [50] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяров строит [69] инвариантную двойственную теорию нормализованного пространства проективной связности Р;г п, регулярного гиперполосного распределения Н с: Р/; п, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погруженного в пространство проективной связности Р,г п.

Согласно А. П. Нордену [50], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кн называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой — подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства К,г. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства К„ с невырожденным абсолютом . В случае, когда абсолют (2пх овального типа, поляритет называется гиперболическим.

Гиперболическое пространство К„ представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.

В работе Г. Ф. Лаптева [39] вводится понятие пространства проективно-метрической связности К,г п: пространство К есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик 0,п{ (локальных абсолютов). А. В. Столяровым найдено [73] инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Р становится пространством проективно-метрической связности .

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах

А. Э. Хатипова [76] - [78], Р. Г. Бухараева [21],А. П. Нордена [48], И. Н. Ми-галевой [47].

Е. А. Голубевой [32], [33] получены результаты по изучению геометрии оснащенных подмногообразий в пространстве проективно-метрической связности Кпп.

А. В. Столяров показал [73], что с пространством аффинной связности

Апп ассоциируется расширенное пространство аффинной связности А* , которое является пространством проективной связности Рпп, центропроективные слои которого являются расширениями центроаффинных слоев пространства Аи п. В работе А. В. Столярова [75] вводится понятие пространства аффинно-метрической связности М: пространство аффинной связности

Апп, называется пространством аффинно-метрической связности Мли, если пространство проективной связности Р;г п = А* п является пространством проективно-метрической связности Ки и.

1. Абруков Д. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2003. — 140 с.

2. Аленина Т. Г. Геометрия невырожденной нормализации пространства аффинной связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 236. -В2008.- 17 с.

3. Аленина Т. Г. О двойственных пространствах аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. Чебоксары : ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2008. — № 1 (11).-Т. 1.-С. 5-10.

4. Аленина Т. Г. Регулярное гиперполосное распределение и двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2008. - № 909. - В2008. - 19 с.

5. Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности, индуцируемые гиперполосным распределением / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 140. - В2009. - 19 с.

6. Аленина Т. Г. Двойственные пространства аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // Известия вузов. Матем. — Казань, 2009. — № 7. — С. 65-70.

7. Аленина Т. Г. Линейные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 697. - В2009. - 15 с.

8. Аленина Т. Г. Аффинные связности на гиперполосном распределении в пространстве аффинно-метрической связности / Т. Г. Аленина // ВИНИТИ РАН. М., 2009. - № 7973. - В2009. - 22 с.

9. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Инт научн. информ. АН СССР. М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

10. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1971. Т. 11. - № 1. - С. 63-74.

11. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

12. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. Казань, 1954.-Т. 114.-С. 39-52.

13. Буишанова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. - Т. 110. - С. 1933.

14. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобаческого : сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

15. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу/МГУ. 1941.-Вып. 5.-С. 301-327.

16. Вагнер В. В. Геометрия (п -1) -мерного неголономного многообразия в и-мерном пространстве / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1941. - Вып. 5. - С. 173-225.

17. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945^ 46. -№8. -С. 335-338.

18. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. — Вып. 8.-С. 197-272.

19. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1950. - Вып. 8. -С. 11-72.

20. Васнлян М. А. Об инвариантном оснащении . гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

21. Васнлян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН АрмССР. 1971. - Т. 6. - № 6. - С. 477-481.

22. Васнлян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

23. Голубееа Е. А. Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // Известия вузов. Ма-тем. 2006. -№1.- С. 73-75.

24. Голубева Е. А. Двойственная геометрия нормализованного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективно-метрической связности / Е. А. Голубева // ВИНИТИ РАН. М., 2006. - № 397. - В2006. -28 с.

25. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1966.-Т. 1.-С. 111-138.

26. Евтуишк JI. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Jl. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

27. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961. -580 с.

28. Картам Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

29. Кобаясн Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу.-М.: Наука, 1981.-Т. 1.-344 е.; Т. 2.-414 с.

30. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. М., 1953. - Т. 2. - С. 275382.

31. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые пространства / Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). — Ленинград, 1964. — Т. 2.-С. 226-233.

32. Лаптев Г. Ф. О выделении одного класса внутренних геометрий, индуцированных на поверхности пространства аффинной связности / Г. Ф. Лаптев // ДАН СССР. 1943. - Т.41. - №8. - С. 329-331.

33. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. — С. 29-48.

34. Лаптев Г. Ф. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

35. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

36. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ АН СССР. -М., 1971.-С. 123-168.

37. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

38. Мигалева И. 77. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. - Т. 208. - С. 252-264.

39. Норден А. 77. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1948. - Вып. 6. - С. 125-224; Вып. 7. - С. 31-64.

40. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1952. - Вып. 9. - С. 198-212.

41. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. - 432 с.

42. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11 - С. 87-97.

43. Норден А. 77. Теория композиции / А. П. Норден // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. - Т. 10. -С. 117-145.

44. Остиану 77. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии/ВИНИТИ АН СССР.-М., 1977.-Т. 8.-С. 89-111.

45. Остиану H. M. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / H. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). — 1962. T. 7. - № 2. - C. 231-240.

46. Остиану H. M. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева / H. М. Остиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. Семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 7-70.

47. Остиану H. М. Распределения /w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

48. Остиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973. Т. 4. - С. 71-120.

49. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. - С. 102-117.

50. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983 - 82 с.

51. Попов Ю. И. Специальные классы регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов, А. В. Столяров. — Калининград: Калининградский унт, 1992.-80 с.

52. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. -М.: Гостехиздат, 1947. 354 с.

53. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. - 664 с.

54. Рашевский 77. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. - Вып. 8. - С. 82-92.

55. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. -Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

56. Столяров А. В. Аффинно-метрическая связность / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. Чебоксары, 2006. — №5. - С. 158-167.

57. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научных трудов / Калининградский ун-т. Калининград, 2001. -Вып. 32.-С. 94-101.

58. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности / А. В. Столяров // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та. Чебоксары, 2005. - №4. - С. 21-27.

59. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий / А. В. Столяров. 2-е изд., доп. — Чебоксары : Изд-во Чуваш, гос. пед. ин-та, 1994.-290 с.

60. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности, i / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 1. - С. 79-82.

61. Столяров А. В. Пространство аффинно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. 2007. - №9. - С. 71-82.

62. Столяров А. В. Проективно-дифференциалвная геометрия регулярного гиперполосного распределения т -мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. — 1975. —Т.7. — С. 117-151.

63. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. — 2003. — №11. — С. 70-76.

64. Тевзадзе Г. Н. О паре сопряженных аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Р3 / Г. Н. Тевзадзе // Сообщения АН ГрССР. 1966, 42. —№2. - С. 257-264.

65. Фиников С. 77. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

66. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряженных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. - С. 105-132.

67. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек. ун-та.- 1956, 65.-С. 11-15.

68. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. -М., 1956. -. Вып. 10. -С. 285-308.

69. Христофорова А. В. Двойственная геометрия гиперповерхности в пространстве аффинной связности / А. В. Христофорова // Вестник Чуваш, гос. пед. ун-та. 2006. - № 3(50). - С. 35-42.

70. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. — Т. 28.-№4.-С. 151-157.

71. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. — Л., 1933.-Т. 1.-С. 212-214.

72. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтау-ри // Труды Тбилиского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15. -С. 101-148.

73. Широков 77. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М. : ГИФ-МЛ, 1959. - 320 с.

74. Широкое А. П. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. - Т. 11 - С. 153-207.

75. Широков А. 77. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. - Т. 17 -С. 131-151.

76. Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P. 1-42.

77. Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre dif-ferentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). — Paris, 1951.-P. 29-55.

78. König R. Beiträge zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. König // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920, 28. - P. 312-228.

79. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. Palermo, 1917, 42. -P. 173-205.

80. Michäilescu T. Geometrie differentialä projectivä / T. Michäilescu // Bu-cure§ti Acad. RPR, 1958. 494 p.

81. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la connexion lineaire generale de M. König / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924, 178. - P. 2044-2046.

82. Schouten J. A. Erlanger Programm und Übertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. — Palermo, 1926, 50.-P. 142-169.

83. Schouten J. A. Über nicht-holonome Übertragungen in einer Ln / J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929, 30. -P. 149-172.

84. Weyl H. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.