Энтропийные характеристики квантовых каналов и проблема аддитивности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ
|
Широков, Максим Евгеньевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
М АТЕМАТ11ЧЕСК11II ИНСТИТУТ им. О. А.СТЕКЛО РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Па правах рукописи УДК 519.248.3
Широков Максим Евгеньевич
ЭНТРОПИЙНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВЫХ КАНАЛОВ И ПРОБЛЕМА АДДИТИВНОСТИ
01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2007
003066553
Работа выполнена в Отделе теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А.Стеклова РАН.
Официальные оппоненты: доктор физик©-математическ и х паук, профессор Д.Х. Муштари, доктор физико-мз$ематичесних наук, профессор О,Г. Смолянов, доктор физико-математических наук, профессор A.M. Чеботарев.
Ведущая организация: Институт проблем передачи информации РАН,
Защита диссертации состоится 18 октября 2007 г. в 14 чае. 00 мин. на заседании диссертационного совета Л002.022.01 п Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 119991. ГСП-1, Москва, ул. Губкина, д. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.
зрат разослана " i 7-" СЛ^итт ^
Автореферат разос
3j2007r.
Ученый секретарь диссертационного совета Д002.022.01 д.ф.-м.п.
В.А.Ватутин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Начиная с классических работ А Н Колмогорова и А Я Хинчина вероятностные методы широко использовались в теории информации В последние годы интенсивно развивается квантовый аналог теории К Шеннона, в котором важную роль играют методы некоммутативной теории вероятностей Начало этим исследованиям было положено в 1970-х годах, когда была установлена верхняя граница С(Ф) для количества классической информации, которое можно асимптотически безошибочно передать по квантовому каналу связи Ф 1 С математической точки зрения квантовый канал есть некоммутативный аналог марковского отображения, а величина С(Ф) является одной из целого ряда энтропийных характеристик, описывающих такие отображения Вопрос о точном значении так называемой классической пропускной способности С(Ф) квантового канала Ф оставался открытым вплоть до 1990-х годов, когда возросший в связи с появлением знаменитых работ П Шора2 интерес к квантовой теории информации привел к появлению в этой области новых методов и представлений В 1996 г А С Холево и независимо Б Шумахером и М Вестморлендом была доказана теорема об асимптотической достижимости указанной выше границы,3 которая дает общее выражение для классической пропускной способности квантового канала
С(Ф)= Ига (1)
п—*+оо П
Для многих конкретных каналов Ф доказано равенство С(Ф) = С(Ф) Однако вопрос о справедливости тождества С(Ф) = С(Ф) до сих пор остается открытым
В силу теоремы Холево-Шумахера-Вестморленда величина С(Ф) имеет смысл пропускной способности квантового канала Ф при кодировании классических сообщений с помощью состояний-произведений В данной диссертации эта величина называется х~пРопУскн°й способностью квантового канала Ф
1 Холево А С Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи// Проблемы передачи информации - 1973 - Т9 N3 - С 3-11
2Shor Р W Quantum computmg//International congress of mathematicians, Berlin, 1998
3 Холево А С Квантовые теоремы кодирования//УМН - 1998 - Т53 N6 - С 193230
Для доказательства тождества С(Ф) = С(Ф) достаточно показать, что для любых двух квантовых каналов Ф и Ф имеет место следующее свойство аддитивности х-пропускной способности
<7(Ф ® Ф) = С(Ф) + С{Ф) (2)
В настоящее время равенство (2) доказано для конечномерных квантовых каналов Ф и Ф определенных типов Гипотеза о справедливости этого равенства для всех квантовых каналов является одной из основных открытых аналитических проблем квантовой теории информации
Причиной возможного нарушения равенства (2) является наличие т н сцепленных состояний составной квантовой системы, которые характеризуются особым видом зависимости составных систем, не имеющей аналога в классической теории вероятностей Именно использование сцепленных состояний в качестве кодов гипотетически может увеличить количество передаваемой квантовым каналом классической информации
Наличие сцепленных состояний проявляется и при анализе другой открытой проблемы - гипотезы о справедливости для любых двух квантовых каналов Ф и Ф следующего свойства аддитивности минимальной выходной энтропии
ят1П(Ф ®Ф) = Втш(Ф) + #тт(Ф), (3)
где минимальная выходная энтропия Нтт квантового канала определяется как точная нижняя грань выходной энтропии канала на всем множестве входных состояний этого канала
Проблемы аддитивности х-пропускной способности и минимальной выходной энтропии показывают особую роль сцепленных состояний составной квантовой системы В настоящее время изучение эффекта сцеп-ленности представляет собой одно из основных направлений исследований в некоммутативной теории вероятностей В частности, нерешенным является вопрос о выборе меры сцепленности - количественной характеристики состояния составной квантовой системы, определяющей "уровень его сцепленности". Одним из наиболее перспективных кандидатов на роль меры сцепленности является тн сцепленность формирования EF (Entanglement of Formation=EoF), в конечномерном случае определенная в 4 Одно из важных требований к мере сцепленности сводится к
4 Bennett С Н , DiVincenzo D Р, Smolm J А , Wootters W К Mixed State Entanglement and Quantum Error Correction//Phys Rev A -1996 -V54 N5 -P3824-3851
выполнению следующего свойства аддитивности EoF
Ер{рх ® <гу) = EF(px) + Ef{gy)
для всех состояний-произведений рх ® оу составной квантовой системы XY, полученной объединением двух составных квантовых систем X и Y Недавно было показано 5, что это свойство равносильно формально более сильному свойству супераддитивности EoF
Ef{uxy) > Ер(шх) + Ef(lûy)
для всех состояний lux y составной квантовой системы XY указанного выше вида, где ш^иыу- частичные (маргинальные) состояния составных квантовых подсистем X и У, соответствующие состоянию ojxy, -частичные следы состояния lûXy Как и случае проблем аддитивности ^-пропускной способности и аддитивности минимальной выходной энтропии препятствием доказательства (супер) аддитивности EoF является наличие сцепленных состояний составной квантовой системы XY
Важное направление исследований - поиск адекватного определения EoF для состояния бесконечномерной составной квантовой системы и исследование аналитических свойств EoF при таком определении
Существенным достижением явилось доказательство в 2003 г эквивалентности в конечномерном случае всех рассмотренных выше свойств (супер)аддитивности на глобальном уровне, те эквивалентности гипотез об их выполнении для всех конечномерных квантовых каналов и состояний, которая показывает существование единой глобальной гипотезы аддитивности (в конечномерном случае) Отдельные этапы этого доказательства получены несколькими авторами, а окончательное завершение - П Шором 6 В 7 установлена связь гипотезы аддитивности с чисто аналитической проблемой мультипликативности р-норм вполне положительных отображений (см обзор в 8)
5 Pomeransky A A Strong superadditroty of the entanglement of formation follows from îts additmty// Phys Rev A - 2003 - V 68 - 032317
6Shor P W Equivalence of additivity questions m quantum information theory// Comm Math Phys - 2004 -V246 N3 - P 4334-4340
1 Амосов Г Г, Холево АС О гипотезе мультипликативности для квантовых кана-лов//Теория вероятностей и ее применения - 2001 -Т47 N1 - С 143-146
8 Холево А С Мультипликативность р-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации//УМН - 2006 -Т61 N2 - С 113-152
В последнее время возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системам и каналам, в частности, к квантовым гауссовским каналам Однако, переход к бесконечномерному случаю связан с радикальным ухудшением аналитических свойств основных энтропийных характеристик Достаточно сказать, что множество квантовых состояний перестает быть компактным, а такая важная характеристика квантового состояния, как энтропия, из непрерывной ограниченной функции превращается в полунепрерывную снизу функцию, принимающую бесконечные значения на плотном подмножестве квантовых состояний Поэтому представляет значительный интерес разработка специальных методов аппроксимации, позволяющих, вопреки указанным выше трудностям, переносить на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной модели
Цель работы. Данная диссертация тесно связана со всеми рассмотренными выше проблемами, причем основное внимание уделяется в ней бесконечномерным системам и каналам К числу основных целей диссертации относятся
1) исследование свойства аддитивности х-пропускной способности конечномерных и бесконечномерных квантовых каналов с произвольными ограничениями,
2) исследование свойств обобщенных ансамблей квантовых состояний -вероятностных мер на множестве квантовых состояний,
3) исследование аналитических свойств энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов и состояний,
4) построение методов аппроксимации, позволяющих обобщать на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной квантовомеханической модели,
5) исследование вопроса об адекватном определении меры сцепленности для состояния бесконечномерной составной квантовой системы,
6) доказательство сильной аддитивности х-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для определенных типов бесконечномерных квантовых каналов,
7) доказательство бесконечномерной версии теоремы Шора и теоремы об эквивалентности конечномерной и бесконечномерной глобальных гипотез аддитивности
Методика исследований. В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории операторов в гильбертовом пространстве и теории вероятностных мер на сепарабельных метрических пространствах
Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми Впервые для исследования энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов применен подход, основанный на использовании результатов теории меры в метрических пространствах Новыми также являются реализованные в диссертации методы доказательства свойств аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов, основанные на конечномерной аппроксимации
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития математической теории квантовых каналов, в теории сцепленности и в других разделах некоммутативной теории вероятностей В диссертации разработаны аппроксимативные подходы к исследованию глобальной проблемы аддитивности и энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ (4 работы — в соавторстве)
Вклад автора в совместных работах. В работах [1-2] автору принадлежит доказательство теорем об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов и теоремы о свойствах расширения Шора В работе [3] автору принадлежит доказательство теоремы, в которой получено достаточное условие существования оптимальной меры для квантового канала с ограничением, а также конструкция примера, показывающего, что оптимальная мера существует не всегда В работе [4] автором построен пример бесконечномерного квантового канала, разрушающего сцепленность и определены его основные характеристики
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях
• "General Theory of Information Transfer and Combinatorics" (April 26 - 30, 2004, Bielefeld, Germany),
• "Квантовая информация - 2004" (4-8 октября, 2004, Москва),
• "Quantum Statistics - quantum measurements, estimation and related topics" (November 15 -19, 2004, Newton Institute, Cambridge),
• VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2-8 октября 2005 г, Сочи),
• Конференция в институте Макса Планка по квантовой оптике, (18-23 апреля, 2006, Мюнхен, Германия)
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах
• Семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (рук д ф -м н ЕС Половинкин),
• Семинар "Бесконечномерный анализ и математическая физика" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук д ф -м н О.Г Смолянов),
• Семинар "Ортогональные ряды" механико-математического факультета Московского государственного университета
(рук. д ф -м н , чл корр РАН Б С Кашин),
• Семинар 'Теория приближений и теория экстремальных задач" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук д ф -м н В.М Тихомиров),
• Семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им В А Стеклова РАН
(рук. д ф -м н академик РАН Ю В Прохоров)
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, и библиографии Объем диссертации - 330 страниц Список литературы содержит 97 наименований
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении дается краткий обзор современного состояния и основных открытых проблем квантовой теории информации, формулируются цели диссертации и приводится краткое описание полученных результатов
В главе 1 рассматривается у-пропускная способность конечномерных квантовых каналов с ограничениями и свойство сильной аддитивности для таких каналов
Устанавливается используемая далее система обозначений, в частности, &{7~1) обозначает множество квантовых состояний - операторов плотности в сепарабельном гильбертовом пространстве 7Н., {-кг,рг} ~ ансамбль квантовых состояний - набор состояний {рг} с распределением вероятностей {7гг}, - множество всех конечных ансамблей {пг, рг}у среднее состояние р = 7Ггрг которых лежит в ЛС G(fi)
Квантовый канал Ф - это линейное сохраняющее след вполне положительное отображение банахового пространства Т(Н) всех ядерных операторов на входном гильбертовом пространстве Л в банахового пространство 1(Н') всех ядерных операторов на выходном гильбертовом пространстве Н' Таким образом, канал Ф отображает входные состояния из 6{Н) в выходные состояния из 6(W) Двойственным отображением Ф* к каналу Ф называется линейное отображение пространства Я3(Ti') = %{7i')* в пространство 05(7^) = 1(H)*, определяемое равенством
ТЪ4Ф(р) = ТгФ*(А)р, VA € ®(W)» VP е ©(W)
Важными характеристиками канала Ф являются его выходная энтропия Нф(р) = Н(Ф(р)) - вогнутая полунепрерывная снизу неотрицательная функция на множестве входных состояний ©(H) и ее выпуклое замыкание Нф(р) = сбНф(р) Минимальная выходная энтропия канала Ф определяется выражением
#тга(Ф)= mf ЯФ(р) (4)
рев(н)
Состояние, на котором достигается точная нижняя грань в (4) называется оптимальным состоянием для канала Ф Преобразование Фенхеля выходной энтропии канала Ф - это функция Нф на множестве эрмитовых операторов, определяемая выражением
НЦА)= sup {ЪАр - НФ{р)), АеЪн(Н)
р€б(Н)
Если на множество входных ансамблей канала Ф накладывается ограничение {7гг,рг} 6 Л4{а, А С ©(H), то такой канал будем называть
Д-ограниченным %-пропускная способность Л-ограниченного канала Ф определяется выражением
С(Ф,Л)= sup ^7г,Я(Ф(А)||Ф(р)), (5)
{■к„рг}ем1л г
в котором Я( || ) - относительная энтропия х-пропускную способность канала Ф без ограничений (Л = &(Н)) будем обозначать С{Ф)
Х-функцией канала Ф называется функция Хф(р) = С(Ф, {р}) на множестве входных состояний &(Н) этого канала
Если Ф - конечномерный канал (dim И < +оо и dim ТС < +оо), то при любом замкнутом множестве Л С <5(Ti) существует оптимальный ансамбль для Л-ограниченного канала Ф, на котором достигается точная верхняя грань в (5) Для случая выпуклого множества Л получено следующее характеристическое свойство оптимальных ансамблей для А-ограниченного канала Ф, обобщающее известное свойство "максимальной равноудаленности" оптимальных ансамблей для канала без ограничений ансамбль {tvг,рг} G Л4{Л со средним р является оптимальным для Л-ограниченного квантового канала Ф тогда и только тогда, когда
Ф(^)||Ф(р)) < 5>#(ФЫ||Ф(р))
3 г
для любого ансамбля {А^сг^} из Из этого свойства следует выражение
С(Ф,Л)= inf ( sup ]Га,Я(Ф(о,)|И)
и существование единственного состояния 0(Ф, Л), на котором достигается точная нижняя грань в правой части данного выражения Это состояние - выходное оптимальное среднее А-ограниченного квантового канала Ф - является образом среднего состояния любого оптимального ансамбля для этого канала и обладает рядом специальных свойств, в частности, позволяет получить следующее важное неравенство для Х-функции
Хф(р) < С(Ф, Л) - Н(Ф(р) р(Ф, Л)), УреЛ (6)
В случае Л = &(Н) состояние П(Ф, в(Н)) будем обозначать Г2(Ф) и называть оптимальным выходным средним для канала Ф
Пусть Ф &(7i) ^ @(Н') и Ф 6(/С) ь* ©(/С') - квантовые каналы, а Ля В - произвольные подмножества множеств &(7i) и ©(/С) соответственно Аддитивность х-пропускной способности для ^-ограниченного канала Ф и B-ограниченного канала Ф означает равенство
С(Ф<8)Ф,Л®В) = С(Ф,Л)+б(Ф,Б), (7)
в котором Л® В - подмножество множества 6(Ti<S>fC), состоящее из всех состояний и> таких, что = Тг^ш е Л и и>к = Тт-цш & В Выполнение равенства (7) для произвольных подмножеств Л и В называется свойством сильной аддитивности х-пропускной способности для каналов Ф и Ф
С помощью неравенства (6) и некоторых других вспомогательных результатов доказана следующая теорема об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов 9
Теорема 1.3.1. Пусть Ф &{П) в(П') и Ф ©(/С) ©(/С') -квантовые каналы Следующие свойства равносильны
(i) сильная аддитивность х-пРопУскн°й способности имеет место для каналов Ф и Ф,
(п) аддитивность х~пРопускной способности имеет место для каналов Ф и Ф с произвольными линейными ограничениями,
(ш) для любого w Е &(Н ® /С) имеет место неравенство
хф®фм < Хф(Мн) + хф(шк), (8)
(iv) для любых р € ©(Н) и сг £ ©(/С) имеет место равенство
Хф®ф (Р <Е> ст) = Хф(Р) + ХФИ,
(v) для любого ш € 6(7i ® /С) имеет место неравенство
НФт(ш) > ЯФ{шп) + ЯФ(шк), (9)
9 Эквивалентность гипотез о выполнении приведенных в теореме 13 1 свойств для всех квантовых каналов следует из упомянутой выше теоремы П Шора, однако, используемый в ее доказательстве метод построения специальных расширений квантовых каналов нельзя применить для доказательства эквивалентности этих свойств для двух конкретных каналов
(VI) для любых р 6 &(Н) и а Е ©(/С) имеет место равенство #ф®ф(/э <8> а) = Нф(р) + Яф(ег),
(уи) для любых А £ и В е имеет место равенство
Щт(А®1,с + 1п®В)=Н*(А) + Щ(В) (10)
Показано, что свойство сильной аддитивности имеет место для двух конечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а второй является каналом одного из нескольких классов
Исследуется связь между свойствами аддитивности х-пропускной способности для конечномерных квантовых каналов без ограничений и при наличии ограничений Как оказалось, эту связь можно установить с помощью специального расширения квантового канала, которое первоначально использовалось П Шором в доказательстве теоремы об эквивалентности различных гипотез аддитивности Теорема 1.4.1 показывает, что при исследовании свойства аддитивности х-иропускной способности переход от исходного канала к его расширению Шора позволяет автоматически учесть наличие ограничений на этот канал, те. расширение Шора играет ту же роль, какую функция Лагранжа играет в задачах оптимизации Данное наблюдение позволило, в частности, показать, что из выполнимости гипотезы аддитивности х-нропускной способности для всех конечномерных квантовых каналов без ограничений следует выполнимость гипотезы сильной аддитивности х-пропускной способности для всех конечномерных квантовых каналов
Далее рассматриваются специальные подмножества состояний, названные оптимальными, которые связаны с х-пропускной способностью и минимальной выходной энтропией конечномерного квантового канала Ф. Первое оптимальное множество Л® определяется как множество всех состояний р, для которых имеет место равенство в (6) при А = ©(Н), второе оптимальное множество А^ определяется как выпуклое замыкание множества всех оптимальных состояний (состояний с минимальной выходной энтропией) для канала Ф Исследована структура оптимальных множеств, получено необходимое и достаточное условие их совпадения
Теорема 1.5.1. Пусть Ф ©(Н) &{Т-С) - квантовый канал с двойственным отображением Ф* 25^(7^') >—► 33^(7^) Пусть Рф - проектор на минимальное подпространство Нф пространства ТС, содержащее носители всех состояний из А% и А§
Множества Л% и Л% совпадают тогда и только тогда, когда
Ф*(-1оёа(Ф))РФ = ЛРФ
при некотором Ае1, причем в этом случае А = С(Ф) + НШ1П(Ф)
С помощью теоремы 15 1 получена характеристика канала, у которого любой оптимальный ансамбль состоит из оптимальных состояний Доказана теорема 1.6.1 о структуре подмножеств состояний составной квантовой системы, обладающих специальными свойствами наследственности
ш е Л =>■ и сильной наследственности
ш1,ш2еЛ и™ <8> 6 Л, г, 2 — 1,2
С помощью теоремы 16 1 доказана следующая теорема (в которой О-ц и О/с - операции частичного следа в 6(7^ <8> /С) по пространствам К, и Н соответственно)
Теорема 1.7.1. Если для квантовых каналов Ф &(ТС) >—> &(Н') и Ф ©(/С) 6 (/С') имеет место сильная аддитивность х-пропускной способности, то множества А®®*6 и являются сильно наслед-
ственными подмножествами множества &(Н ® /С) и имеют место проекционные соотношения
&п(Л*®ф) = -Л£, ©/с(-4*®ф) =
Э«(л|®ф) = л%, ек.(л1Г) = л*
В главе 2 исследуются в бесконечномерном случае свойства множества М = Л4(&(7{)) обобщенных квантовых ансамблей - вероятностных борелевских мер на множестве квантовых состояний с топологией слабой сходимости, в частности, свойства барицентрического отображения /х I—► р(/г) из М на &(Н) и его сужения на подмножество А4 С Л4, состоящего из мер с носителем на множестве чистых состояний - крайних точек множества &(Н)
С помощью критерия компактности для подмножеств мер из Л4 (который является следствием теоремы Прохорова), получены некоторые вспомогательные результаты, в частности, аналог теоремы Шоке о барицентрическом разложении для выпуклых подмножеств множества 6(Н),
утверждение^ плотности атомических мер в выпуклом подмножестве множества A4, состоящего из мер с заданным барицентром, наблюдения о свойствах порядка Шоке на множестве М. Получены следующие свойства открытости барицентрического отображения 10
Предложение 2.1.3. Отображение М. Э ц p(ß) € ©(H) является открытым
Предложение 2.1.4. Отображение Л4 Э р. —> р{р) е ©(H) является открытым
Пусть -М{Р} - подмножество множества A4, состоящее из мер с барицентром р С помощью установленных свойств барицентрического отображения получен следующий результат
Теорема 2.3.1. Пусть f - ограниченная снизу полунепрерывная снизу функция на множестве ©(H)
A) Функции
f(p) = inf / f{a)(J,(da) и f(p) = sup / / (er) (¿(der) ^m{p} Je(H) рем{р} Je(H)
полунепрерывны снизу на множестве ©(H)
Б) Функция f совпадает с выпуклым замыканием со/ функции f,
B) Для любого состояния р из ©(H) существует мера р* из М{р} такая, что
f(p) = [ mßl(dv)
J<5(H)
Если дополнительно f - такая функция, что — / € Р(©(Н)),П то в качестве меры можно выбрать меру из -М{р}
Г) Функция f является минимальной вогнутой функцией, мажорирующей функцию f, - вогнутой оболочкой f, причем
f(p)= sup 5>J(pO, Ур € ©(H)
Из теоремы 2 3 1 следует, в частности, что выпуклое замыкание любой непрерывной ограниченной функции f на множестве ©(H) является
10 В
К™ при п> 3 существуют выпуклые компакты, для которых барицентрическое отображение не является открытым
U.P(6(W)) - множество выпуклых функций, лредставимых в виде пределов монотонных последовательностей выпуклых непрерывных ограниченных функций на множестве &(Н)
непрерывной ограниченной функцией на множестве <5(Н), определяемой выражением
со/(р)= ц* У>,/(А), Ур£&(Н),
которое показывает, что выпуклое замыкание со/ функции / совпадает с ее выпуклой оболочкой со/
Пусть М{р) - подмножество множества Л4, состоящее из мер с барицентром р В силу спектральной теоремы множество Л4{ру непусто при каждом р из 6 (ТС) С помощью установленных свойств барицентрического отображения получен следующий результат
Теорема 2.3.2. Пусть / - ограниченная снизу полунепрерывная снизу функция на множестве ех^гб(Н)
A) Функции
Мр) = 1п| / ¡(а)р((1а) и Г{р) = вир / /(ст)^(^а)
1ЛвМы ЛхЬ-б(И) 1^€М{р} ¿ех*.те(Н)
полунепрерывны снизу на множестве &{Н),
Б) Функция /» является максимальным полунепрерывным снизу выпуклым расширением функции / на множество &(Н),
B) Для любого состояния р из &{Н) существует мера р/р из такая, что
Ш = [
Г) Функция /* является минимальным ограниченным снизу12 вогнутым расширением функции / на множество причем
Г(Р) = Ур&6(Н)
{щ, Рг}€м{ру г
Из теоремы 2 3 2 следует, в частности, что любая ограниченная непрерывная функция / на множестве ехЬт<В(ТС) имеет выпуклое ограниченное непрерывное расширение на множество &(И.), определяемое выражением
ш= $>,/(Л), Чр£б(П),
{Кг,рг}еМ{р} г
12 требование ограниченности снизу существенно
причем это расширение совпадает с точной верхней гранью всех ограниченных сверху выпуклых расширений функции f на множество ©(W)
В главе 3 исследуются в бесконечномерном случае свойства квантовой энтропии и х-пропускной способности, рассматриваемой как функция множества квантовых состояний и поэтому называемой х-емкостью множества.
Получены различные результаты о непрерывности энтропии, в частности, достаточное условие непрерывности и ограниченности энтропии, применимое к некомпактным невыпуклым множествам состояний (в диссертации показано, что всякое выпуклое множество с ограниченной энтропией является относительно компактным) Один из результатов связан с понятием Д-сходимости последовательности состояний {рп} к состоянию ро, определяемой условием lim„__,+00 Н(рп\\ро) = 0. Показано13, что
lim Н(рп) = Н(р0) < +оо
п—>+оо
для любой последовательности состояний {рп}, Н-сходящейся к состоянию ро, тогда и только тогда, когда
d(po) = mf{A > 0 | Trpg < +00} < 1 Х-емкостью множества состояний A Ç © (И.) называется величина С{А) = sup V" тггН (рг||р), ,5 = YVp,,
где ЛЛ1(Л) - множество всех конечных ансамблей состояний из А Последовательность {{7ггп, ргг1}}п С Л41(А) такая, что
lim ШРп) = С(Л), ри = Х>>Г,
п—*+00 *-' *-*
г г
называется аппроксимирующей последовательностью для множества А Теорема 3.2.1. Пусть А - множество с конечной х-смкостью Существует единственное состояние О(Л) в &(7i) такое, что
Н(р\\С1(Л)) < С (А) для всех р из А
13Это утверждение можно рассматривать как некоммутативный аналог результата, полученного в Harremoes Р, Information Topologies with Applications// Entropy, Search, Complexity - Bolyai Society Mathematical Studies, Sprmger, 2007 - P 113-150
Состояние Q(y4.) принадлежит со(Л) Для любой аппроксимирующей последовательности ансамблей {{тС,/?™}}« для множества А, соответствующая последовательность средних состояний {рп} Н-сходится к состоянию
Для х-емкости множества Л имеет место выражение
С(Л)= ml 8ир#ЫИ= ш£ зпрН(р\\а) = supН(р\\П(А)), (И)
<т€в(И) реЛ о-бсо(Д) реЛ реЛ
в котором первые два равенства выполнены и в случае С(А) = +оо
Определение 3.2.1. Состояние введенное в теореме 3 21,
называется оптимальным средним состоянием множества А
Если А - замкнутое множество, то можно показать, что
С(А) = sup [ H(p\\p{p))p(dp), (12)
реМ(А) J А
где ЛЛ{Л) - множество всех вероятностных мер на А
Определение 3.2.2. Мера из М(А), на которой достигается точная верхняя грань в (12), называется оптимальной мерой для множества А
Достаточные условия существования оптимальной меры дает следующая теорема
Теорема 3.2.2. Пусть А - замкнутое множество с конечной Х'ем~ костью Оптимальная мера для множества А существует, если выполнено одно из следующих условий
• H(Cl(A)) < +оо и limп^+00Н(рп) = Н(ЩА)) для любой последовательности {р„} состояний из со(.А), Н-сходящейся к состоянию
• функция р н-► Я(р||Г2(^4)) непрерывна на множестве А
Дальнейшие исследования показали, что условия непрерывности в теореме 3 2 2 обеспечивают не только существование оптимальной меры, но и выполнение некоторых других свойств, связанных с понятием Х-емкости, которые аналогичны свойствам множеств состояний в конечномерном гильбертовом пространстве Поэтому множества состояний, для которых выполнено одно из условий в теореме 3 2 2 названы регулярными Эти условия различны существуют множества, для которых
выполнено первое условие, но не выполнено второе и наоборот Заметим, что первое условие регулярности выполнено, если с1(Г2(У1)) < 1, те когда оптимальное среднее П(Л) имеет быстро убывающий спектр
В теореме 3.2.3 установлены различные свойства у-емкости и оптимального среднего, главные из которых
• относительная компактность множества с конечной у-емкостью,
• существование у любого регулярного множества с конечной у-ем-костью минимального замкнутого подмножества с той же самой у-емкостью,
• устойчивость х-емкости и оптимального среднего по отношению к малым возмущениям множества
Получено следующее свойство инвариантности оптимального среднего
Следствие 3.2.8. Пусть Л - множество с конечной х-емкостъю Тогда £1(А) - инвариантное состояние для любого канала Ф такого, что Ф(Д) С со(Л) и С(Ф(А)) = С {А) В частности, О(Л) = иЩА)и* для любого унитарного оператора и такого, что VА11* С со(Л.)
Следствие 3.2 8 позволяет определять или, по-крайней мере, локализировать оптимальное среднее 0(.Д) произвольного множества состояний А и с помощью выражения (11) вычислять ^-емкость этого множества путем поиска достаточно большого семейства унитарных операторов и таких, что иАС1* С со(А) Этот прием активно используется в разделе главы 3, посвященном исследованию различных примеров, в котором рассмотрены следующих типы множеств
1) конечные множества состояний, сходящиеся и //-сходящиеся последовательности состояний,
2) /Ся,/г ~ {р £ &(Н) | ТгНр < к}, где Н - положительный неограниченный оператор в дискретным спектром конечной кратности и К > О,
3) Уст,с = {р 6 <3{И.) \ Н(р\\а) < с}, где а - квантовое состояние и с > О,
4) £(<т) ={р6 &{Т1) | {к\р\к) = {к\а\к)}у где {|к)} - базис из собственных векторов состояния сг,
5) Л® В = {ш е <5{Н <8) /С)| Тг^ш £ Л, Ъ:нш € В}, где Л и В - подмножества множеств &(ТС) и ©(/С) соответственно,
6) орбита группы симметрий множества &(Н),
Для указанных типов множеств решены следующие задачи
• определены условия ограниченности и непрерывности сужения квантовой энтропии на выпуклое замыкание множества,
• определены условия существования состояния с максимальной энтропией для выпуклого замыкания множества,
• определены условия конечности ^-емкости, в большинстве примеров получены явные выражения для х-емкости и оптимального среднего,
• определены условия существования оптимальной меры,
• определены условия регулярности
Построены следующие примеры множеств с конечной ^-емкостью
1) замкнутое счетное множество, не имеющее оптимальной меры,
2) замкнутое множество, не содержащее минимального замкнутого подмножества с той же самой х-емкостью,
3) убывающая последовательность замкнутых множеств с одинаковой положительной х~емкостью> пересечение которых имеет нулевую Х-емкость,
4) замкнутое множество, имеющее оптимальную меру, но не имеющее атомической оптимальной меры
В последнем разделе главы 3 показана возможность конструктивного определения х-емкости и оптимального среднего для произвольного множества состояний Для заданного проектора Р € *В(Н) рассмотрим отображение Др(р) = (ТгРр)~хРрР множества &(Н) в себя с областью определения Э(ДР) = {р € &(Н) \ Рр ф 0}
Теорема 3.4.1. Пусть А - подмножество множества <Э(Н) Если х-емкостъ множества А конечна, то
1ип С(АРп(Л)) = С (А) и 1ш1 П(ДРя(Л)) = П(Л)
п—>+оо п—>+со
для любой последовательности проекторов {Рп} С сильно схо-
дящейся к оператору 1-н
Если существует последовательность проекторов {Рп} С сильно сходящаяся к оператору 1-ц, такая, что Л С Э(Дрп) при всех п и последовательность {С'(А_рга (^4))} ограничена, то х-смкость множества А конечна
Поскольку для любого замкнутого подмножества состояний в ¿-мерном гильбертовом пространстве точную верхнюю грань в определении х-емкости можно брать по множеству всех ансамблей из сР состояний, х-емкость и оптимальное среднее состояние такого множества определяются методами линейного программирования Поэтому, выбирая в теореме 3 4 1 последовательность {Рп}, состоящую из проекторов конечного ранга, получаем определение х-емкости и оптимального среднего, которое (в принципе) может быть использовано для численной аппроксимации этих величин
В главе 4 рассматривается х~пРопУскная способность бесконечномерных квантовых каналов с ограничениями и связанные с ней энтропийные характеристики - х-функция и выпуклое замыкание выходной энтропии
х-пропускная способность бесконечномерного квантового канала Ф &(1~С) н-> <5(Н') с ограничением, задаваемым множеством А С &(И), определяется выражением (5) В отличие от конечномерного случая, ансамблей, на которых достигается точная верхняя грань в (5), как правило, не существует Последовательность ансамблей {{7г™, р"}}п с М?А такая, что
Ьш Х>:#(Ф(рГ)||Ф(/У) = С(Ф,Л), =
п—»-Ьоо с—* *—*
г г
называется аппроксимирующей последовательностью для А-ограничен-ного канала Ф
Теорема 4.1.1. Пусть Ф <3(Н) ь-» 6(Т~С') - квантовый канал, а А -выпуклое подмножество множества &(Н)
Если С(Ф, А) < +оо, то множество Ф(Л) компактно14 и содержит
14 Это утверждение верно и без условия выпуклости множества А
единственное в &{7i') состояние 0(Ф,.4) такое, что
^\Н(Ф(а3)МФ,Л))<С(Ф,А)
j
для любого ансамбля {Ajиз Мл. Для любой аппроксимирующей последовательности ансамблей {{7гдля А-ограниченного канала Ф с соответствующей последовательностью средних состояний {рп}п последовательность {Ф(р„)}„ Н-сходится к состоянию й(Ф,Л)
Для х-щопускной способности А-ограниченного канала Ф имеет место выражение
С(Ф,А)= inf ( sup £а,Я(Ф(<г,)|М] у^^еми j J
Если С(Ф, А) < +оо, то С1(Ф, А) - единственное состояние, на котором достигается точная нижняя грань в правой части данного выражения В конечномерном случае 0(Ф, .А) - образ среднего состояния любого оптимального ансамбля для .А-ограниченного канала Ф Теорема 4 11 показывает, что несмотря на отсутствие оптимальных ансамблей в бесконечномерном случае, существует состояние, играющее роль образа среднего состояния оптимального ансамбля Именно это состояние позволяет обобщить на бесконечномерный случай некоторые результаты, полученные в главе 1, в частности необходимое для доказательства теоремы 5 11 неравенство (6)
Определение 4.1.2. Состояние 0(Ф, А) называется выходным оптимальным средним для А-ограниченного канала Ф Показано, что
С(Ф,Л)= sup [ Н(Ф(р)\\ФШ)М<1р) (13)
Если существует мера из -М_д, на которой достигается точная верхняя грань в (13), то она называется оптимальной мерой - обобщенным оптимальным ансамблем для ^.-ограниченного канала Ф Достаточные условия существования оптимальной меры для ^-ограниченного канала Ф дает теорема 4.2.1 Важность этих условий подтверждается примерами каналов с ограничениями, для которых не существует оптимальной меры
Для бесконечномерного квантового канала Ф также вводятся %-функция Хф (р) = С(Ф, {р}) и Я-функция Йф(р) = соЯф (р) - выпуклое замыкание выходной энтропии Существенное отличие от конечномерного случая проявляется в том, что выпуклое замыкание выходной энтропии соЯф(р), как правило, не совпадает с выпуклой оболочкой выходной энтропии соЯф(р) бесконечномерного квантового канала Ф Результаты главы 2 позволили получить следующее выражение для выпуклого замыкания выходной энтропии:
Показано, что при каждом р е <3(7^) точная нижняя грань в этом выражении достигается на некоторой мере с носителем в С
помощью этого выражения установлено следующее наблюдение если соНф(р) < +оо, то
Основное внимание в главе 4 уделяется исследованию аналитических свойств функций хф и соЯф, причем эти функции рассматриваются как функции пары (канал, состояние) Такое рассмотрение необходимо для реализации методов исследования бесконечномерных квантовых каналов, основанных на конечномерной аппроксимации этих каналов, развитию которых уделено значительное внимание в диссертации В частности, все основные результаты главы 5 получены с использованием этих методов
Пусть ^(Н, ТС) - выпуклое множество всех каналов из &(Н) в &{ТС), снабженное топологией сильной сходимости, которая порождается сильной операторной топологией на множестве всех линейных ограниченных отображений банахова пространства Т(7т!) в банахово пространство %{ТС) Из сепарабельности множества 6 (ТС) следует метризуемость топологии сильной сходимости на множестве ТС) Сходимость последовательности {Фи} каналов из "5(П., ТС) к каналу Фо означает, что
Топология сильной сходимости на множестве ТС) совпадает с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах множе-
{соНф(р) = соНф(р)} <£> {Нф(р) < +оо}
(14)
Ьт Фп(р) = Ф0(р), Ур € в(Н)
71—>4- оо
ства &(Н) Такой выбор топологии связан с необходимостью аппроксимировать произвольных квантовый канал последовательностью каналов, энтропийные характеристики которых обладают хорошими аналитическими свойствами, например, последовательностью 1Р-каналов, характеризуемых конечномерностью выходного пространства
Для любого канала Фо 6 $(ТС, ТС') в качестве аппроксимирующей последовательности можно использовать последовательность Ш-каналов
фп(р) = РпЫр)Рп + (ТН/и' - рп)Мр)) Тп (15)
из ТС), где {Рп} ~ любая последовательность проекторов конечного ранга из 58 (Н'), сильно сходящаяся к тождественному оператору 1-ц>, а {т„} - произвольная последовательность чистых состояний из &{ТС)
Показано, что множество $(Н,Н') с топологией сильной сходимости изоморфно некоторому подмножеству состояний составной квантовой системы (с топологией следовой нормы) Этот изоморфизм позволяет исследовать структурные свойства подмножеств каналов, отождествляя их с подмножествами состояний С его помощью установлен простой критерий компактности для подмножеств каналов подмножество Зо С $(ТС, ТС') компактно, тогда и только тогда, когда в &{ТС) существует состояние полного ранга а такое, что {Ф(сг)}ф6^0 - компактное подмножество множества &(ТС)
С помощью результатов главы 2 установлено следующие важное наблюдение о свойствах энтропийных характеристик как функций пары (канал, состояние), те как функций, определенных на декартовом произведении множества всех каналов (с топологией сильной сходимости) и множества входных состояний (с топологией следовой нормы)
Предложение 4.6.2. Функции (Ф,р) н-> Хф(р) и (Ф, р) >—> соН$(р) являются полунепрерывными снизу на множестве $(ТС,ТС') х &(Н)
Отметим, что геометрические свойства функций (Ф,р) н-> Хф(р) и (Ф,р) > соНф противоположны первая является вогнутой по р и выпуклой по Ф, а вторая - выпуклой по р и вогнутой по Ф
Из предложения 4 6 2 следует важное наблюдение об аппроксимации х-функции
Следствие 4.6.3. Пусть Фо - квантовый канал из $(Н,ТС) и ро - состояние из <5(ТС) Для последовательности каналов {Ф„}, определенных формулой (15), и последовательности {рп} состояний из &(ТС), сходящейся к состоянию ро, такой, что Хпрп < р0 для некоторой по-
следователъности {Аге} положительных чисел, сходящейся к 1, существует
lim ХфЛРп) =ХФ0(РО)
п—>+оо
Если Рп = при всех п, то утверждение следствия 4 6 3 является обобщением на случай х-функции теоремы Саймона15 о мажорированной сходимости для квантовой энтропии (которая совпадает с х-функцией тождественного канала).
Из предложения 4 6 2 с учетом свойства (14) следует достаточное условие непрерывности х-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии
Теорема 4.6.1. Пусть {Фп} - последовательность каналов из $(TL,Tl'), сильно сходящаяся к каналу Фо, и {рп} ~ последовательность состояний из &{Ji), сходящаяся к состоянию ро Если
lim НФп(рп) = ЯФо(р0) < +оо,
п—>+оо
то
lim ХфЛРп) = Хф0(Ро) и lim с5НФп(рп) = соЯФп(р0)
п—>+оо Tb—»+00
Определенная парадоксальность утверждения теоремы 4 6 1 состоит в том, что значение выходной энтропии Нф в некотором состоянии р зависит только от действия канала Ф на это состояние, а значения функций Хф и соЯф в этом состоянии р зависят, в силу их определения, от действия канала Ф на все состояния, лежащие в объединении носителей всех мер с барицентром р
Полученные результаты о свойствах х-функции как функции пары (канал, состояние) позволили получить следующее утверждение о свойствах х-пРопУСКной способности канала с ограничением как функции канала
Предложение 4.6.4. Пусть {Фп} ~ последовательность каналов из сильно сходящаяся к каналу Фо, а Л - произвольное подмножество множества &{T~L)
15Simon В Convergence theorem for entropy// appendix in Lieb EH, Ruskai MB Proof of the strong subadditmty of quantum mechanical entropy// J Math Phys - 1973 - V 14 - P1938-1941
A) Имеет место неравенство
Ьтп^С(Ф„,-4) > С(Ф0, Л)
п-^+оо
Б) Равенство
Ьт С(Фп,А) = С(Ф0,Л),
п—>-Ьоо
имеет место, если выполнено одно из следующих условий-
1) Ф„ = П„оФ0 при каждом п, где Пп - некоторый канал из ТС),
2) множество А компактно и 1ш1и_*+00 Нфп(рп) = Нф0(ро) < +оо для любой последовательности {р„} состояний из А, сходящейся к состоянию ро
B) Если 1ш1„^+00 С(Фп, А) — С(Фо, А) < +оо и множество А выпукло, то
Ит £1(Фп, А) = О(Ф0, А)
п—>+оо
С помощью предложения 4 6 4с условием 1 в утверждении Б можно показать, например, что для любого канала Фо £ 3{ТС, ТС) и соответствующей последовательности каналов {Ф„}, определенных формулой (15) посредством произвольных последовательностей {Рп} и {т„}, при любом выпуклом множестве А С &{ТС) таком, что С(Фо, Л) < +оо, имеют место соотношения
Ит С(Фп,А) = С(Ф0,А) и 1ип П(Фп,А) = П(Ф0,А)
п—*+оо п—*-Ьоо
С помощью предложения 4 6 4 с условием 2 в утверждении Б можно показать, что при ограничениях "энергетического типа" х-пропускная способность непрерывна на множестве всех каналов с ограниченным "коэффициентом усиления"
В силу утверждения А предложения 4 6 4 х-пропускная способность является полунепрерывной снизу функцией канала Условия 1-2 в утверждении Б предложения 4 6 4 являются существенными, что подтверждается примерами, показывающими, что у-пропускная способность не является непрерывной функцией канала даже относительно топологии равномерной сходимости на множестве всех каналов Можно показать,
что именно разрывность х-пропускной способности как функции канала в бесконечномерном случае лежит в основе данного П Шором доказательства глобальной равносильности различных гипотез аддитивности, в котором используется специальное расширение канала и операция предельного перехода
Отдельный раздел главы 4 посвящен применению рассмотренных выше общих результатов для исследования класса бесконечномерных квантовых каналов, имеющих при отсутствии ограничений конечную х-пропускную способность Этот класс содержит, в частности, каналы с непрерывной выходной энтропией, которые, обладая непрерывными энтропийными характеристиками, проявляют и специфические свойства бесконечномерных каналов такие, например, как отсутствие оптимальной меры Для каналов указанного класса получено бесконечномерное обобщение свойства "максимальной равноудаленности" оптимальной меры Приведены примеры квантовых каналов, для которых определены х-пропускная способность и выходное оптимальное среднее, получены условия существования оптимальной меры
В последнем разделе главы 4 рассматривается проблема обобщения на бесконечномерный случай понятия сцепленности формирования EoF Рассмотрим составную квантовую систему, состояния которой - это операторы плотности в тензорном произведении TL <g> К, двух гильбертовых пространств TL и К, характеризующих отдельные подсистемы Рассмотрим канал
0„ &{Н ® 1С) Э ш н^ Trjçw е &(П),
где Тг/с( ) - частичный след по пространству К.
Если пространства TL я 1С конечномерны, то EoF определяется как выпуклая оболочка соНен выходной энтропии канала On, которая в силу компактности множества состояний &(TL® К.) и непрерывности выходной энтропии Hqu совпадает с выпуклым замыканием cöHqh выходной энтропии канала 0-н
Обобщение понятия сцепленности формирования EoF на бесконечномерный случай было рассмотрено в 16, где EoF определялось выражением
E%(w) = mf_ V ХгНвп (гиг), и) G &(TL ® /С),
i6Eisert J, Simon С, Plemo MB The quantification of entanglement m lnfimte-dimensional quantum systems //J Phys A Math and Gen - 2002 - V 35 - P 3911
где М-{и} ~ множество всех вероятностных мер на extr©(H ® /С) с барицентром ш Недостатком такого определения является отсутствие доказательства полунепрерывности снизу функции Ер на &(Ti ® К) 17
В качестве альтернативного определения EoF рассмотрим функцию
inf I HeH(w)iJ,{dzv), и е &(Н <8> К) (16)
Из общих результатов главы 4 следует, что Ер - выпуклая полунепрерывная снизу функция на множестве &(ТС 01С), совпадающая с выпуклым замыканием coffe^ выходной энтропии канала &гс и что для любого состояния oj из &(Т1®1С) точная нижняя грань в выражении (16) достигается на некоторой мере из М-{ш} Функция Ер обладает естественным свойством EoF
{Ер(ш) = 0} {состояние ш разделимо},
где множество разделимых (несцепленных) состояний определяется как выпуклое замыкание множества всех чистых состояний-произведений
Из полученных в главах 2 и 4 результатов вытекают следующие свойства функции Ер
Предложение 4.8.1. А) Функция Ер непрерывна на &(Н®1С) тогда и только тогда, когда либо dim 7Y < +оо, либо dim К < +оо
Б) Если С - такое подмножество множества &(7i ® К.), что либо функция Нвп, либо функция Hqk непрерывна на С, то функция Ер непрерывна на С.
В) Если из - такое состояние из &(TL®K,), что либо HQn(to) < +оо, либо Hqk(lo) < +оо, то Ер(и>) — Ер{и>)
Г) Функция Ер является максимальной полунепрерывной снизу (замкнутой) выпуклой функцией, совпадающей на множестве чистых состояний с энтропией частичного состояния
Из предложения 4 8 1 следует важное для приложений наблюдение функция Ер непрерывна на множестве всех состояний составной квантовой системы с ограничениями энергетического типа и совпадает на этом множестве с функцией Ер
^Доказательство полунепрерывности снизу функции Ер равносильно доказательству совпадения этой функции с функцией Ер
В главе 5 рассматриваются свойства сильной аддитивности у-про-иускиой способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов
С помощью теоремы 4 11 доказана следующая теорема о связи свойств (суб, супер) аддитивности для двух произвольных квантовых каналов - бесконечномерный вариант теоремы 13 1
Пусть = {ш е &(ТС <g> К) | НФ(шп) < +оо, < +оо} -
выпуклое подмножество множества © {ТС® К)
Теорема 5.1.1. Пусть Ф 6(ТС) ^ &(П') и Ф ©(/С) н-» ©(/С') -квантовые каналы
А) Супераддитивностъ выпуклого замыкания выходной энтропии для каналов Ф в I равносильна выполнению равенства (10) для всех операторов А € Ън(ТС) и В & 25^(/С), из которого следует аддитивность минимальной выходной энтропии (3),
Б) Выполнение неравенства (9) для всех состояний и> € ©ф,ф равносильно выполнению неравенства (8) для всех состояний ш € которое означает аддитивность у-пропускной способности (7) для любых множеств - ограничений Л и В таких, что
Нф(р) < +оо, Ур е Л и Яф(о-) < +оо, Va G В
В отличие от конечномерного случая теорема 5 1 1 не позволяет показать, что субаддитивность у-функдии (выполнение неравенства (8) для всех состояний ш) эквивалентна супераддитивности Я-функции (выполнение неравенства (9) для всех состояний ш) для двух произвольных каналов Основная трудность, не позволяющая доказать указанную эквивалентность, связана с существованием состояний с бесконечной выходной энтропией, для которых значения у-функции и Я-функции нельзя выразить друг через друга В частности, исходя только из субаддитивности у-функции для каналов Ф и Ф нельзя доказать ни супераддитивность Я-функции, ни даже аддитивность минимальной выходной энтропии для каналов Ф и Ф из-за наличия чистых состояний в 6(ТС <2> /С), имеющих частичные следы с бесконечной энтропией
В главе 5 разработаны методы доказательства сильной аддитивности у-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания
выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов, использующие технику конечномерной аппроксимации и основанные на результатах главы 4 Эти методы позволили доказать справедливость указанных свойств для двух бесконечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а другой является прямой суммой тождественного канала и канала, разрушающего сцепленность Также доказана эквивалентность сильной аддитивности х-пропускной способности для пар бесконечномерных квантовых каналов, связанных отношением компле-ментарности, при условии, что выходная энтропия этих каналов конечна на множестве чистых состояний Данные результаты показывают, что для нетривиального класса бесконечномерных квантовых каналов х-пропускная способность при произвольных ограничениях совпадает с классической пропускной способностью
Полученные аппроксимативные методы позволили доказать следующее утверждение
Теорема 5.3.1. Из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует, что
А) сильная аддитивность х~пРОпускной способности имеет место для всех бесконечномерных квантовых каналов,
Б) супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии имеет место для всех бесконечномерных квантовых каналов
Следствие 5.3.1. Из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует свойство супераддитивности ЕоР для всех состояний бесконечномерной составной квантовой системы
Поскольку из супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для двух каналов следует аддитивность минимальной выходной энтропии для этих каналов, из теоремы 5 3.1 следует бесконечномерный вариант теоремы Шора
Теорема 5.3.2 Следующие свойства равносильны-
• сильная аддитивность х-пр°пускной способности для всех квантовых каналов,
• супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех квантовых каналов,
• аддитивность минимальной выходной энтропии для всех квантовых каналов
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ:
доказаны сильная аддитивность х-пропускной способности и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для двух бесконечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а другой является прямой суммой тождественного канала и канала, разрушающего сцепленность,
доказано, что из выполнимости гипотезы аддитивности для всех конечномерных квантовых каналов следует как сильная аддитивность х-пропускной способности для всех бесконечномерных квантовых каналов, так и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех бесконечномерных квантовых каналов, в частности, супераддитивность ЕоГ для всех состояний бесконечномерной составной квантовой системы, получено бесконечномерное обобщение теоремы Шора - утверждение об эквивалентности различных гипотез (супер)аддитивности для всех квантовых каналов,
исследованы аналитические свойства х-фуикции и выпуклого замыкания выходной энтропии бесконечномерного квантового канала как функций пары (канал, состояние), в частности, получено достаточное условие непрерывности этих функций для сходящихся последовательностей таких пар и обобщение на случай х-функции теоремы Саймона о мажорированной сходимости для квантовой энтропии,
доказана открытость барицентрического отображения на множестве всех борелевских вероятностных мер на множестве квантовых состояний и получены связанные с этим свойством результаты, в частности, установлена непрерывность выпуклой оболочки любой непрерывной ограниченной функции на множестве квантовых состояний и непрерывность максимального ограниченного сверху выпуклого расширения на множество квантовых состояний любой непрерывной ограниченной функции, определенной на множестве чистых состояний,
для любого множества с конечной х-емкостью доказано существование и единственность оптимального среднего, относительная компактность этого множества, показана устойчивость по отношению к квантовому шуму и возможность конечномерной аппроксимации х-емкости и оптимального среднего, исследованы свойства х-емкости
как функции множества квантовых состояний, выделен класс множеств, названных регулярными, для которых доказаны свойства аналогичные свойствам множеств состояний в конечномерном гильбертовом пространстве, такие, например, как существование оптимальной меры, построены примеры нерегулярных множеств, проявляющих существенно бесконечномерные свойства
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:
1 Holevo A S, Shirokov М Е. On Shor's channel extension and constrained channels// Comm Math Phys - 2004 - V 249 - P 417-430
2 Холево А С, Широков ME Проблема аддитивности для квантовых каналов с ограничениями // УМН - 2004 - Т 59 N 2 - С 195-196
3 Холево А С, Широков М Е Непрерывные ансамбли и классическая пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности / / Теория вероятностей и ее применения - 2005 - Т 50 N 1 -С 98-114
4 Вернер Р Ф , Холево А С, Широков MEO понятии сцепленности в гильбертовом пространстве // УМН - 2005 - Т60 N 2 - С 153-154
5 Shirokov ME The Holevo capacity of infinite dimensional channels and the additivity problem// Comm Math Phys - 2006 - V 262 -P 137-159
6 Широков MEO структуре оптимальных множеств квантового канала// Проблемы передачи информации - 2006 - Т 42 N4 - С 23-40
7 Широков М Е Энтропийные характеристики подмножеств состояний -1 // Известия РАН Серия Математическая - 2006 - Т 70 N 6 - С 193-222
8 Широков ME Энтропийные характеристики подмножеств состояний - II // Известия РАН. Серия Математическая - 2007 -T71N1 - С 187-224.
9 Широков MEO супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии квантового канала //УМН - 2006 -Т 61N 6 - С 198-199
10 Широков MEO свойствах квантовых каналов, связанных с классической пропускной способностью // Теория вероятностей и ее применения - 2007 Т 52 N 2 - С 293-329.
Обозначения
Введение
0.1 Проблематика и цели работы.
0.2 Содержание диссертации.
0.3 Основные результаты, полученные в диссертации
0.4 Апробация работы.
1 Сильная аддитивность х-пропускной способности конечномерных квантовых каналов
1.1 Основные понятия и определения.
1.2 Свойства оптимальных ансамблей для квантовых каналов с ограничениями.
1.3 Свойство сильной аддитивности х-пропускной способности
1.4 Расширение Шора.
1.5 Оптимальные множества квантового канала.
1.6 О наследственных множествах состояний составной квантовой системы.
1.7 Структура оптимальных множеств тензорного произведения двух квантовых каналов.
2 Вероятностные меры на множестве квантовых состояний
2.1 Свойства вероятностных мер на множестве квантовых состояний.
2.2 Энтропийные функционалы.
2.3 О выпуклых замыканиях и выпуклых расширениях полунепрерывных снизу и непрерывных функций.
2.4 О сильном СЕ-свойстве выпуклых множеств.
2.4.1 Об одном классе выпуклых множеств.
2.4.2 О выпуклом замыкании.
2.4.3 Сильное СЕ-свойство для выпуклых //-компактных множеств.
3 Квантовая энтропия и ^-емкость
3.1 О свойствах квантовой энтропии
3.2 хемкость.
3.2.1 Оптимальное среднее.
3.2.2 Оптимальная мера.
3.2.3 Свойства ^-емкости.
3.3 Примеры.
3.3.1 Конечные множества состояний и сходящиеся последовательности
3.3.2 Множества С(а) и Кн,h.
3.3.3 Множество Va,c.
3.3.4 Множество Л® В.
3.3.5 Орбита компактной группы симметрий.
3.4 Другой подход к определению С (А) и ЩЛ).
4 ^-пропускная способность и связанные с ней характеристики бесконечномерных квантовых каналов
4.1 Х"пРопУскная способность и выходное оптимальное среднее квантового канала с ограничением.
4.2 Оптимальная мера.
4.3 Х"ФункДия квантового канала.
4.4 Выпуклое замыкание выходной энтропии квантового канала
4.5 О непрерывности функций и Яф.
4.6 Аппроксимация квантовых каналов.
4.6.1 Вводные замечания.
4.6.2 Топология сильной сходимости на множестве квантовых каналов
4.6.3 хФУпкЦия и выпуклое замыкание выходной энтропии как функции канала.
4.6.4 Об аппроксимации Яф-оптимальной меры
4.6.5 ^-пропускная способность как функция канала
4.7 Квантовые каналы с конечной х-пропускной способностью
4.7.1 Общие свойства.
4.7.2 О расширении квантового канала на множество всех положительных нормированных функционалов
4.7.3 Об одном классе каналов.
4.8 Об определении меры сцепленности.
5 О проблеме аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов
5.1 Свойства аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов.
5.2 Метод конечномерной аппроксимации при исследовании свойств аддитивности и его применение.
5.2.1 Сильная аддитивность ^-пропускной способности
5.2.2 Супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии.
5.3 Эквивалентность конечномерной и бесконечномерных гипотез аддитивности.
0.1 Проблематика и цели работы
Начиная с классических работ А.Н. Колмогорова и А.Я.Хинчина вероятностные методы широко использовались в теории информации. В последние десятилетия прошлого века началось интенсивное развитие квантового аналога теории К.Шеннона, в котором важную роль играют методы некоммутативной теории вероятностей. В настоящее время данное направление исследований выделилось в отдельную научную дисциплину - квантовую теорию информации [23],[61].
Начало исследованию проблемы передачи классической информации по квантовому каналу было положено в 1970-х годах, когда была установлена верхняя граница С(Ф) (the Holevo bound) для количества классической информации, которое можно передать по квантовому каналу Ф [20]. С математической точки зрения квантовый канал есть некоммутативный аналог марковского отображения, а величина С(Ф) является одной из целого ряда энтропийных характеристик, описывающих такие отображения. Важнейшей характеристикой квантового канала Ф является классическая пропускная способность С(Ф) этого канала, которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи сообщений при кодировании их состояниями на входе канала и квантовом измерении-декодировании на выходе. Вопрос о точном значении классической пропускной способности С(Ф) квантового канала Ф оставался открытым вплоть до 1990-х годов, когда возросший в связи с появлением знаменитых работ П.Шора (см.[76]) интерес к квантовой теории информации привел к появлению в этой области новых методов и представлений. В 1996 г. А.С.Холево и независимо Б.Шумахером и М.Вестморлендом была доказана теорема об асимптотической достижимости указанной выше границы (см.[22],[70]), которая дает общее выражение для классической пропускной способности квантового канала
С( Ф)= lim 1 >.
00 П
Для многих конкретных каналов Ф доказано равенство С(Ф) = С(Ф). Однако вопрос о справедливости тождества С(Ф) = С(Ф) до сих пор остается открытым.
В силу теоремы Холево-Шумахера-Вестморленда величина С(Ф) имеет смысл пропускной способности квантового канала Ф при кодировании классических сообщений с помощью состояний-произведений. В данной работе эта величина называется х-пРопУСКной способностью квантового канала Ф.
Для доказательства тождества С(Ф) = С(Ф) достаточно показать, что для любых двух квантовых каналов Ф и Ф имеет место следующее свойство аддитивности х-пропускной способности
С{Ф ® Ф) = С(Ф) + С(Ф). (0.1.1)
В настоящее время равенство (0.1.1) доказано для квантовых каналов Ф и Ф определенных типов, в частности, когда Ф - произвольный канал, а Ф - либо тождественный канал [23], либо канал, разрушающий сцеплениость [75], либо унитальный (бистохастический) кубитный канал [53]. Таким образом, для канала Ф одного из указанных типов имеет место равенство С(Ф) = С(Ф).
Гипотеза о справедливости равенства (0.1.1) для всех квантовых каналов является одной из основных открытых аналитических проблем квантовой теории информации.
Причиной возможного нарушения равенства (0.1.1) является наличие т.н. сцепленных состояний составной квантовой системы, которые характеризуются особым видом зависимости отдельных подсистем, не имеющей аналога в классической теории вероятностей. Математически составная квантовая система описывается тензорным произведением гильбертовых пространств, а сцепленные состояния соответствуют единичным векторам из Н ® К, не представимым в виде тензорных произведений единичных векторов из Н и /С. Использование сцепленных состояний в качестве кодов гипотетически может увеличить количество передаваемой квантовым каналом классической информации, подобно тому, как сцепленное измерение при декодировании увеличивает количество классической информации [47]. Такая ситуация не имеет классического аналога и связана с возможностью достижения выпуклым функционалом максимальных значений на чистых сцепленных состояниях (см. подробности в [23]).
Наличие сцепленных состояний проявляется при анализе другой открытой проблемы квантовой теории информации - гипотезы о справедливости для любых двух квантовых каналов Ф и Ф следующего свойства аддитивности минимальной выходной энтропии
Нтф <3 Ф) = Ят;п(Ф) + Нт1п(Ф), (0.1.2) где минимальная выходная энтропия Нтт квантового канала определяется как точная нижняя грань выходной энтропии канала на всем множестве входных состояний этого канала. За счет чистых сцепленных состояний левая часть равенства (0.1.2) гипотетически может быть меньше правой. В [1] установлена связь гипотезы аддитивности минимальной выходной энтропии квантового канала с аналитической проблемой мультипликативности р-норм вполне положительных отображений.
Проблемы аддитивности х-пронускной способности и минимальной выходной энтропии показывают особую роль сцепленных состояний составной квантовой системы. Следует, однако, заметить, что сам факт существования сцепленных состояний не только является препятствием для обобщения на квантовый случай свойств классических каналов и систем, но и дает принципиально новые возможности построения таких систем обработки и передачи информации, как квантовый компьютер, квантовые криптографические протоколы и системы сжатия данных. Сцепленные состояния являются информационным ресурсом для построения таких систем (см. [6],[23],[61]). Изучение эффекта сцеплен-ности представляет собой одно из основных направлений исследований в некоммутативной теории вероятностей. Актуальным является вопрос о выборе мер сцеплениости - количественных характеристик состояния составной квантовой системы, определяющих "уровень его сцеплениости". Из общих соображений сформулирована система аксиом, которым должна удовлетворять любая мера сцепленности и предложено несколько функций на множестве состояний составной квантовой системы - кандидатов на роль такой меры (см., например, обзор в [51]). Однако, ни для одной из этих функций в настоящее время не доказано выполнение всех указанных аксиом. Перспективным кандидатом на роль меры сцепленности продолжает оставаться т.н. сцепленностъ формирования Ер (Entanglement of Formation=EoF), в конечномерном случае определенная в [33]. Одним из основных требований к мере сцепленности является выполнение следующего свойства аддитивности EoF
EF(px ® о-у) = EF[px) + EF(aY) (0.1.3) для всех состояний-произведений рх®&у составной квантовой системы XY, полученной объединением двух составных квантовых систем X и Y. В [68] показано, что это свойство равносильно формально более сильному свойству супераддитивпости EoF
Ef(U>xy) > Ef(cjx) + Ef{uy) (0.1.4) для всех состояний шху квантовой системы XY указанного выше вида, где сих и иу - частичные (маргинальные) состояния составных квантовых подсистем X и Y, соответствующие состоянию loXy- Как и в случае проблем аддитивности ^-пропускной способности и аддитивности минимальной выходной энтропии квантового канала, причиной возможного нарушения равенства (0.1.3) (неравенства (0.1.4)) является наличие сцепленных состояний составной квантовой системы XY.
Важное направление исследований - поиск адекватного определения ЕоБ для произвольного состояния бесконечномерной составной квантовой системы и изучение аналитических свойств ЕоР при таком определении.
Существенным этапом в развитии квантовой теории информации явилось доказательство в 2003 г. эквивалентности в конечномерном случае всех рассмотренных выше свойств (супер)аддитивности на глобальном уровне, т.е. эквивалентности гипотез об их выполнении для всех конечномерных квантовых каналов и состояний, которая показывает существование единой глобальной гипотезы аддитивности (в конечномерном случае). Отдельные этапы этого доказательства получены несколькими авторами, а окончательное завершение - П.Шором [77]. Исследованию глобальной гипотезы аддитивности в последнее время посвящена обширная литература (см. обзор в [28]). Несмотря на активные попытки многих исследователей, до сих пор не удается ни доказать эту гипотезу, ни опровергнуть ее путем поиска контрпримера, в том числе и с помощью современных ЭВМ. Без преувеличения можно сказать, что в настоящее время данная гипотеза является главной открытой математической проблемой квантовой теории информации и ее разрешение (положительное или отрицательное) во многом определит дальнейшее развитие этой научной дисциплины.
В последнее время возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системам и каналам, в частности, к квантовым гауссовским каналам [46]. Переход к бесконечномерному случаю связан с радикальным ухудшением аналитических свойств основных энтропийных характеристик. Достаточно сказать, что множество квантовых состояний перестает быть компактным, а такая важная характеристика квантового состояния, как энтропия, из непрерывной ограниченной функции превращается в полунепрерывную снизу функцию, принимающую бесконечные значения на плотном подмножестве множества квантовых состояний. Поэтому представляет значительный интерес разработка специальных методов аппроксимации, позволяющих, вопреки указанным выше трудностям, переносить на бесконечномерный случай некоторые важные результаты, доказанные в рамках конечномерной модели.
Для каналов бесконечной размерности характерны следующие особенности. Первая состоит в необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (таких, например, как ограничение на среднюю энергию состояний ансамбля для гауссовских квантовых каналов), хотя входные ограничения оказываются полезными и при исследовании гипотезы аддитивности для каналов конечной размерности. Другая особенность состоит в естественном появлении бесконечных, вообще говоря, континуальных ансамблей, которые определяются как борелевские вероятностные меры на множестве всех квантовых состояний.
Данная работа посвящена систематическому исследованию рассмотренных выше проблем, причем основное внимание уделяется в ней бесконечномерным квантовым системам и каналам. К числу основных целей диссертации относятся:
1) исследование свойства аддитивности ^-пропускной способности конечномерных и бесконечномерных квантовых каналов с произвольными ограничениями;
2) исследование свойств обобщенных ансамблей квантовых состояний - вероятностных мер на множестве квантовых состояний;
3) исследование аналитических свойств энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов и состояний;
4) построение методов аппроксимации, позволяющих обобщать на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной квантовомеханической модели;
5) исследование вопроса об адекватном определении сцепленности формирования ЕоР для произвольного состояния бесконечномерной составной квантовой системы;
6) доказательство сильной аддитивности х-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для определенных типов бесконечномерных квантовых каналов;
7) доказательство бесконечномерной версии теоремы Шора и теоремы об эквивалентности конечномерной и бесконечномерной глобальных гипотез аддитивности.
0.2 Содержание диссертации
Диссертация состоит из 5 глав, краткое содержание которых представлено ниже.
В главе 1 рассматривается х-пропускная способность конечномерного квантового канала с ограничениями. Получено характеристическое свойство оптимальных ансамблей для такого канала, обобщающее известное свойство "максимальной равноудаленности" оптимальных ансамблей для канала без ограничений. Вводится понятие сильной аддитивности х-пропускной способности и доказывается теорема об эквивалентности этого свойства и нескольких других свойств (суб, супер) аддитивности для двух заданных конечномерных квантовых каналов. Показано, что сильная аддитивность х-проиускной способности имеет место для некоторых нетривиальных классов каналов. Исследуется связь свойств аддитивности и сильной аддитивности х-пропускной способности.
Изучаются структурные свойства двух подмножеств состояний, названных оптимальными, которые связаны с х-пРопУскн°й способностью и минимальной выходной энтропией квантового канала. Показано, что именно свойство сильной аддитивности х-пропускной способности для двух квантовых каналов гарантирует определенные соотношения между оптимальными множествами их тензорного произведения и оптимальными множествами самих этих каналов.
В главе 2 исследуются свойства обобщенных квантовых ансамблей - вероятностных борелевских мер на множестве квантовых состояний, а также свойства некоторых энтропийных функционалов на этом множестве. Полученные результаты, в частности, доказательство открытости барицентрического отображения позволили установить некоторые свойства функций на множестве квантовых состояний, а также наблюдения о возможности расширения функций, определенных на множестве чистых состояний, до выпуклых или вогнутых функций на всем множестве квантовых состояний.
В главе 3 исследуются в бесконечномерном случае свойства квантовой энтропии и х-пропускной способности, рассматриваемой как функция множеств квантовых состояний и поэтому называемой ^емкостью множества.
Рассмотрены условия ограниченности и непрерывности сужения квантовой энтропии на некоторые подмножества квантовых состояний, а также условия существования состояния с максимальной энтропией для этих подмножеств. Получены условия сходимости для квантовой энтропии, расширяющие известные ранее результаты.
Подробно изучаются свойства %-емкости как функции множеств квантовых состояний. Для каждого множества с конечной х-емкостыо показано существование оптимального среднего - однозначно определенного состояния, обладающего рядом специальных свойств. Получены достаточные условия существования оптимальной меры для множеств состояний с конечной ^-емкостью, а также построены примеры множеств, не имеющих оптимальной меры. Выделен класс множеств, названных регулярными, для которых свойства, связанные с х-емкостыо, аналогичны свойствам множеств состояний конечномерной квантовой системы. Приведены примеры нерегулярных множеств, демонстрирующие существенно бесконечномерные свойства %-емкости. Показана возможность конечномерной аппроксимации хемкости и оптимального среднего произвольного множества состояний с конечной х-емкостыо.
В главе 4 рассматриваются х-пропускная способность бесконечномерных квантовых каналов с ограничениями и связанные с ней энтропийные характеристики - Х"ФункЧия и выпуклое замыкание выходной энтропии. Вводится понятие выходного оптимального среднего для квантового канала с ограничением, определяемым выпуклым подмножеством состояний. Получены достаточные условия существования оптимальной меры, приведены примеры их применения, а также примеры, показывающие, что оптимальная мера существует не всегда. Исследуются аналитические свойства х-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии бесконечномерного квантового канала.
Рассматривается метод конечномерной аппроксимации бесконечномерных квантовых каналов. Для его реализации исследуются свойства топологии сильной сходимости на множестве всех каналов и свойства непрерывности относительно этой топологии основных энтропийных характеристик канала.
Рассматривается класс квантовых каналов, имеющих при отсутствии ограничений конечную хпропускную способность. Этот класс содержит, в частности, каналы с непрерывной выходной энтропией, которые, обладая непрерывными энтропийными характеристиками, проявляют и специфические свойства бесконечномерных каналов такие, например, как отсутствие оптимальной меры. Для каналов указанного класса получено бесконечномерное обобщение свойства максимальной равноудаленности оптимального ансамбля. Приведены примеры квантовых каналов, для которых определены хпропускная способность и выходное оптимальное среднее, получены условия существования оптимальной меры.
С помощью полученных результатов исследуется проблема обобщения на бесконечномерный случай понятия сцепленности формирования ЕоР.
В главе 5 исследуются связи между различными свойствами (суб, супер)аддитивности для квантовых каналов бесконечномерной размерности.
Разработаны методы доказательства сильной аддитивности хпР°пускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов, использующие технику конечномерной аппроксимации и основанные на результатах главы 4. Полученные методы позволили доказать справедливость указанных свойств для некоторых классов бесконечномерных каналов, а также основной результат этой главы - теорему, утверждающую, что из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует как сильная аддитивность х~пропускной способности, так и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех бесконечномерных квантовых каналов. Эта теорема позволяет получить бесконечномерное обобщение теоремы Шора - утверждение об эквивалентности различных гипотез аддитивности для всех квантовых каналов.
0.3 Основные результаты, полученные в диссертации
1) доказаны сильная аддитивность х-пропускной способности и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для двух бесконечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а другой является прямой суммой тождественного канала и канала, разрушающего сцепленность;
2) доказано, что из выполнимости гипотезы аддитивности для всех конечномерных квантовых каналов следует как сильная аддитивность х-пропускной способности для всех бесконечномерных квантовых каналов, так и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех бесконечномерных квантовых каналов, в частности, супераддитивность ЕоГ для всех состояний бесконечномерной составной квантовой системы; получено бесконечномерное обобщение теоремы Шора - утверждение об эквивалентности различных гипотез (супер)аддитивности для всех квантовых каналов; исследованы аналитические свойства ^-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии бесконечномерного квантового канала как функций пары (канал, состояние), в частности, получено достаточное условие непрерывности этих функций для сходящихся последовательностей таких пар и обобщение на случай х-функции теоремы Саймона о мажорированной сходимости для квантовой энтропии; доказана открытость барицентрического отображения на множестве всех борелевских вероятностных мер на множестве квантовых состояний и получены связанные с этим свойством результаты, в частности, установлена непрерывность выпуклой оболочки любой непрерывной ограниченной функции на множестве квантовых состояний и непрерывность максимального ограниченного сверху выпуклого расширения на множество квантовых состояний любой непрерывной ограниченной функции, определенной на множестве чистых состояний; для любого множества с конечной х-емкостыо доказано существование и единственность оптимального среднего, относительная компактность этого множества, показана устойчивость по отношению к квантовому шуму и возможность конечномерной аппроксимации Х-емкости и оптимального среднего; исследованы свойства х-емко-сти как функции множеств квантовых состояний, выделен класс множеств, названных регулярными, для которых доказаны свойства аналогичные свойствам множеств состояний в конечномерном гильбертовом пространстве, такие, например, как существование оптимальной меры, построены примеры нерегулярных множеств, проявляющих существенно бесконечномерные свойства.
0.4 Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
• "General theory of information transfer and combinatorics" (April 26 - 30, 2004, Bielefeld, Germany);
• "Квантовая информация - 2004" (4-8 октября 2004 г., Москва);
• "Quantum statistics - quantum measurements, estimation and related topics" (November 15 - 19, 2004, Newton Institute, Cambridge);
• VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2-8 октября 2005 г., Сочи);
• Конференция в институте Макса Планка по квантовой оптике, (18 - 23 апреля 2006 г., Мюнхен, Германия).
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:
• Семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (рук. д.ф.-м.н. Е.С.Половинкин);
• Семинар "Бесконечномерный анализ и математическая физика" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. О.Г.Смолянов);
• Семинар "Ортогональные ряды" механико-математического факультета Московского государственного университета рук. д.ф.-м.н., чл.корр. РАН Б.С.Кашин);
• Семинар "Теория приближений и теория экстремальных задач" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. В.М.Тихомиров);
• Семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А.Стеклова РАН рук. д.ф.-м.н. академик РАН Ю.В.Прохоров).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ ([81-97]), из которых 10 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций ([81-90]).
Вклад автора в совместных работах. В работах [1-2] автору принадлежит доказательство теорем об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов и теоремы о свойствах расширения Шора. В работе [3] автору принадлежит доказательство теоремы, в которой получено достаточное условие существования оптимальной меры для квантового канала с ограничением, а также конструкция примера, показывающего, что оптимальная мера существует не всегда. В работе [4] автором построен пример бесконечномерного квантового канала, разрушающего сцепленность и определены его основные характеристики.
1. Амосов Г.Г., Холево A.C. О гипотезе мультипликативности для квантовых каналов // Теория вероятностей и ее применения. -2002. Т.47. N.1. - С.143-146.
2. Балашов М.В. О Р-свойстве выпуклых компактов// Математические заметки. 2002. Т.71. N.3. - С.323-333.
3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М: Мир, 1977.
4. Богачев В.И. Основы теории меры. Москва-Ижевск: РХД, 2003.
5. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М: Мир, 1982.
6. Валиев К.А., Кокин A.A. Квантовые компьютеры: Надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002.
7. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М: Наука, 1974.
8. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.:Наука, 1978.
9. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989.
10. Кудрявцев J1.Д. Курс математического анализа. М.:Высшая школа, 1988.
11. Муштари Д.Х. Избранные теоремы теории банаховых пространств. Учебно-методическое пособие. Казань, 2002.
12. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.
13. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М: Физматлит, 2004.
14. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей// Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т.1. N.2 - С.177-238.
15. Pud М., Саймой Б. Методы современной математической физики. Т.1: Функциональный анализ. М.:Мир, 1977.
16. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
17. Сарымсаков Т. А. Введение в некоммутативную теорию вероятностей. ФАН, Ташкент, 1985.
18. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М.:Мир, 1968.
19. Холево A.C. О квазиэквивалентности локально-нормальных состояний/ / Теоретическая и математическая физика. 1972. Т.13. N.2. - С.184-199.
20. Холево A.C. Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи// Проблемы передачи информации. 1973. Т.9. N.3. - С.3-11.
21. Холево A.C. О пропускной способности квантового канала связи/ / Проблемы передачи информации. 1979. Т.15. N.4. - С.3-11.
22. Холево A.C. Квантовые теоремы кодирования// УМН 1998. Т.53. N.6. - С.193-230.
23. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. -М.-МЦНМО, 2002.
24. Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. -Москва-Ижевск, ИКИ, 2003.
25. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд., доп. Москва-Ижевск, РХД, 2003.
26. Холево А. С. Классическая пропускная способность квантовых каналов с ограничениями// Теория вероятностей и ее применения. 2003. T.48. N.2. - С.359-374, e-print quant-ph/0211170.
27. Холево А.С. Комплементарные каналы и проблема аддитивности// Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т.51. N.1. -С.134-143, e-print quant-ph/0509101.
28. Холево А.С. Мультипликативность £>-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации// УМН 2006. T.61. N.2. - С.113-152.
29. Чепцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы.- М.: Наука, 1972.
30. Alfsen Е. Compact convex sets and boundary integrals. Springer Verlag, 1971.
31. Amosov G.G. On strong superadditivity for a class of quantum channels // e-print quant-ph/0610098.
32. Audenaert K.M.R., Braunstein S.L. On strong subadditivity of the entanglement of formation// Comm. Math. Phys. 2004. V.246. -P.443-452, e-print quant-ph/0303045.
33. Bennett C.H., DiVincenzo D.P., Smolin J.A., Wootters W.K. Mixed State Entanglement and Quantum Error Correction. //Phys. Rev. A 1996. V.54. N.5. - P.3824-3851, e-print quant-ph/9604024.
34. Bourgin R.D. Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodiym property. Lecture Notes in Mathematics, V.993, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
35. Bourgin R.D., Edgar G.A. Noncompact simplexes in Banach spaces with the Radon-Nikodiym property// J. Functional Analysis. 1976. V.23. N.2. - P.162-176.
36. Dell'Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states// Commun. Pure Appl. Math. 1967. V.20. - P.413-430.
37. Davies E.B. Information and Quantum Measurements// IEEE Trans.Inf.Theory. 1978. V.24. - P.596-599.
38. Devetak I., Shor P. W. The capacity of a quantum channel for simultaneous transmission of classical and quantum information// quant-ph/0311131.
39. Donald M.J. Further results on the relative entropy// Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 1987. V.101. - P.363-373.
40. Edgar G.A. Extremal integral representations// J. Functional Analysis. 1976. V.23. N.2. - P.145-161.
41. Eisert J., Simon C., Plenio M.B. The quantification of entanglement in infinite-dimensional quantum systems// J. Phys. A 2002. V.35. - P.3911, e-print quant-ph/0112064.
42. Fukuda M. Simplification of additivity conjecture in quantum information theory// quant-ph/0608010.
43. Harremoes P., Topsoe F. Maximum Entropy Fundamentals// Entropy. 2001. V.3. - P.191-226.
44. Harremoes P. Information Topologies with Applications// Entropy, Search, Complexity. Bolyai Society Mathematical Studies, Springer, 2007. - P.113-150.
45. Holevo A.S. On quantum communication channels with constrained inputs// e-print quant-ph/9705054.
46. Holevo A.S., Werner R.F. Evaluating capacities of Bosonic Gaussian channels// Phys. Rev. A. 2001. V.63. - P.032312.
47. Holevo A.S. Remarks on the classical capacity of quantum channel// quant-ph/0212025.
48. Horodecki M., Horodeeki PHorodeeki R. General teleporta-tion channel, singlet fraction and quasi-distillation// e-print quant-ph /9807091.
49. Horodeeki M., Shor P.W., Ruskai M.B. General Entanglement Breaking Channels// Rev. Math. Phys. 2003. V.15. - P.629-641, e-print quant-ph/0302031.
50. Giovannetti V., Guha S., Lloyd S., Maccone L., Shapiro J.H. Minimum output entropy of bosonic channels: a conjecture // e-print quant-ph /0404005.
51. Keyl M. Fundamentals of Quantum Information Theory// e-print quant-ph/0202122.
52. King C.y Ruskai M.B. Minimal Entropy of States Emerging from Noisy Quantun Channels// IEEE Trans.Inf.Theory. 2001. V.47. -P.192-209.
53. King C. Additivity for unital qubit channels// J.Math.Phys. 2002. V.43. N.10. - P.4641-4653.
54. King C., Matsumoto K., Nathanson M., Ruskai M.B. Properties of Conjugate Channels with Applications to Additivity and Multiplica-tivity// quant-ph/0509126.
55. Lima A. On continuous convex functions and split faces// Proc. London Math. Soc. 1972. V.25. N.3. - P.27-40.
56. Lindblad G. Entropy, Information and Quantum Measurements// Comm. Math. Phys. 1973. V.33. N.4. - 305-322.
57. Lindblad G. Expectation and Entropy Inequalities for Finite Quantum Systems// Comm. Math. Phys. 1974. V.39. N.2. - P.lll-119.
58. Lindblad G. Completely Positive Maps and Entropy Inequalities// Comm. Math. Phys. 1975. V.40. N.2. - P.147-151.
59. Majewski A.W. On the мера of entanglement// J.Phys.A. 2002. V.35. N.l. - P.123-134, e-print quant-ph/0101030.
60. Matsumoto K., Shimono Т., Winter A.j/ Remarks on additivity of the Holevo channel capacity and of the entanglement of formation// e-print quant-ph/0206148.
61. Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation и Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.
62. Nielsen M.A. Continuity bounds for entanglement// Phys. Rev. A. 2000. V.61. - P.064301.
63. Ohya M., Petz D. Quantum Entropy and Its Use. Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1993.
64. Ozawa M. On information gain by quantum measurement of continuous observable// J.Math.Phys. 1986. V.27. - P.759-763.
65. Parthasarathy K. Probability measures on metric spaces.- New York and London: Academic Press, 1967.
66. Parthasarathy K. Extremal States in Coupled System// e-print quant-ph/0307182.
67. Paulsen V.I. Completely Bounded Maps and Operators Algebras. -Cambridge University Press, 2002.
68. Pomeransky A.A. Strong superadditivity of the entanglement of formation follows from its additivity// Phys.Rev.A. 2003. V.68. P.032317, e-print quant-ph/0305056.
69. Powers R.T., Stormer E. Free states of the canonical anticommutation relations// Comm. Math. Phys. 1970. V.16. - P.l-33.
70. Schumacher B., Westmoreland M.D. Sending Classical Information via Noisy Quantum Channels// Phys. Rev. A. 1997. V.56. -P.131-138.
71. Schumacher B., Westmoreland M.D. Optimal signal ensemble// e-print quant-ph/9912122.
72. Schumacher B., Westmoreland M.D. Relative entropy in quantum information theory// e-print quant-ph/0004045.
73. Shannon C.E. A mathematical theory of communication//Bell System Tech. J. 1948. V.27. - P.379-423, 623-656.
74. Shor P. W. Quantum computing//International congress of mathematicians, Berlin, 1998.
75. Shor P. W. Additivity of the classical capacity of entanglement breaking quantum channel// J.Math.Physics. 2002. V.43. - P.4334-4340, e-print quant-ph/0201149.
76. Shor P.W. Capacities of Quantum Channels and How to Find Them// e-print quant-ph/0304102.
77. Shor P. W. Equivalence of additivity questions in quantum information theory // Comm. Math. Phys. 2004. V.246. N.3. - P.4334-4340, e-print quant-ph/0305035.
78. Simon B. Convergence theorem for entropy// appendix in Lieb E.H., Ruskai M.B. Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy// J.Math.Phys. 1973. V.14. - P.1938-1941.
79. Uhlmann A. Entropy and optimal decomposition of states relative to a maximal commutative subalgebra// e-print quant-ph/9704017.
80. Wehrl A. General properties of entropy// Rev. Mod. Phys. 1978. V.50. - P.221-250.Работы, содержащие основные результаты диссертации:
81. Холево А.С., Широков М.Е. Проблема аддитивности для квантовых каналов с ограничениями // УМН 2004. Т.59. N.2. -С.195-196.
82. Вернер Р.Ф., Холево А.С., Широков М.Е. О понятии сцеплен-ности в гильбертовом пространстве// УМН 2005. Т.60. N.2. -С.153-154.
83. Холево А.С., Широков М.Е. Непрерывные ансамбли и классическая пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности// Теория вероятностей и ее применения. 2005. Т.50. N.l. - С.98-114, e-print quant-ph/0408176.
84. Широков М.Е. О структуре оптимальных множеств квантового канала// Проблемы передачи информации. 2006. Т.42. N.4. -С.23-40, e-print quant-ph/0402178.
85. Широков М.Е. Энтропийные характеристики подмножеств состояний I// Известия РАН. Серия Математическая. - 2006. Т.70. N.6. - С.193-222.
86. Широков М.Е. Энтропийные характеристики подмножеств состояний II// Известия РАН. Серия Математическая. - 2007. Т.71. N.1. - С.187-224.
87. Широков М.Е. О супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии квантового канала// УМН 2006. Т.61. N.6. -С.198-199.
88. Широков М.Е. О свойствах квантовых каналов, связанных с классической пропускной способностью// Теория вероятностей и ее применения. 2007. T.52. N.2. - С.293-329.
89. Holevo A.S., Shirokov М.Е. On Shor's channel extension and constrained channels// Comm. Math. Phys. 2004. V.249. - P.417-430, e-print quant-ph/0306196.
90. Shirokov M.E. The Holevo capacity of infinite dimensional channels and the additivity problem// Comm. Math. Phys. 2006. V.262. -P.137-159, e-print quant-ph/0408009.
91. Shirokov M.E. On the additivity conjecture for channels with arbitrary constrains// e-print quant-ph/0308168.
92. Werner R.F., Holevo A.S., Shirokov M.E. Separability and entanglement-breaking in infinite dimensions// e-print quant-ph /0504204.
93. Shirokov M.E. On channels with finite Holevo capacity// e-print quant-ph/0602073.
94. Shirokov M.E. Properties of probability measures on the set of quantum states and their applications// e-print math-ph/0607019.
95. Shirokov M.E. The convex closure of the output entropy of infinite dimensional channels and the additivity problem// e-print quant-ph/0608090.
96. Широков M.E. О непрерывности классической пропускной способности квантового канала// Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 2004. С.155-160.
97. Холево А.С., Широков М.Е. Непрерывные ансамбли и пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12 N.4. - С.1225-1226.
