Факторизация подстановочных матриц-функций на компактных римановых поверхностях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

' ftg О 3 ä ">:

. ОДЕССКШ ОРЛШ ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.И.МЕЧНИКОВА' . \

Но правах рукописи.

ЕЖОВ МИХАИЛ БОРИСОВИЧ -

, УДК. 517.544'

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПОДСТАНОВОЧНЫХ МАТРИН5УНКШП . НА КОМПАКТНЫХ.РИМАНОЭЫХ.ПОВЕРХНОСТЯХ:/

(01.01.01 - математический анализ).

т

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание 5ченой степени кандидата физико-математических наук

Одесса-1992

Работа выполнена на кафедре методов математической физики Одесского государственного университета им. И.И.Мечникова

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент В.Е.КРУГЛОВ

*

Официальные оппоненты : 'доктор физико-математических наук, : профессор Э.И.ЗВЕРОВИЧ.

кандидат физш -математических наук Ю.ИьКАРЛОВИЧ

■Ведущее1 шсшее учебное заведение - Ростовский государственный • университет

Защита диссертащщ состоится * 20 * марта 1992 г.

в 15 часов на заседании специализированного совета К 068.24.10 по $изикочютематическиы наукам / математика / в 'Одесском государственном университете 270000, г. Одесса, ул. Петра Великого, 2, ауд. 94

О диссертацией можно ознакомиться, в научной.библиотека' университета.

Автореферат разослан " '-''■'■'» ___ 1992 г.

Ученый секретарь специ^лизгровакного совета " рД/' /РОоСо^)

' .' -доцент• : ; ' в.г.кротов

" Сг/^л ^ 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена исследованию векторно-мат- •

■ рнчтшх краевых 'задач Ггмана теории ■ аналитических 'фушеций с ' 1 матрицами подстановочного типа-на.компактных римянових по^

■ верхностях.Актуальность таких задач обусловлена приложениями матричной задачи Римина в теории упругости 1-2' .теоретической физика "К теории сингулярных уравнений и теории фильтрации жидкости. '

Под задачей Римана с подстановочными матрицами мы понимаем' задачу Римана,матричный коэффициент которой.задашшй на се--мействе кривых, на каждой из этих кривых является матрицей подстановочного типа (постоянной или функциональной).Матрица, называется матрицей подстановочного типа (или просто под- ' становочной)' /если ее определитель но'равен нулю тождоствэ-.ппо и в каждой ее строке имеется только один ненулевой элемент. - '

".Кулиев В.Д..Садахов А.Э. Проблема Римана для дьух пар функций и ее применение в теории упругости.-Изв.А!1 АрмССР . ■ ' Механика. I979.T.32.J6 о.26-37. '

71 Храпков А.А. Некоторые- случаи упругого равновесия бес'конеч-.

ного клина с несимметричным разрезом в вершине под действием

• сосредоточенных сил.-Прикл.матем. имех.,.1971, т.35< п.4,

с.677-£89. . - •

" Rodln Í.L. The Ríemánri boundary valué problera оп closed . Riemann euríacea and Integrable ayatems.-Phyalca ,1987,í£4 & 1-3.p.1-53. ' - - .•

Ю.С.Крутий "^показал, чю задача Римана'с матрицами подстановочного типа является бажным случаем'матричной задачи Римана, к которому удастся свести определенный класс' 'задач.-

Наиболее законченные результаты получены к настоящему вро-мони-для скалярной задачи Римзна.Теория скалярией задачи Римана на плоскости к компактной ¡плановой поверхности подробно изложена соответственно в монографии Ф.Д.Гахова" и обзорной статье Э.И.Зверо-зича'3, где дана полная картина ее разрешимости ц поитро-но общее решение. • . -

Матричная задача .Романа исследована в меньше? степени.Картина ее разрешимости в различных классах на плоскости дана в • монографиях Н.П.Векуй" .Г.С.Литвиичука и И.М.Спитковского1", в которых также имеется обширная библиография.. • , Теорема о числе решений матричной задичи Римана на римановой 'поверхности (которые' являются', естественным обобщением . теоремы Римана-Роха) ¿ули опубликованы в.работах В.Коппельма-

*' Круткй Ю.С. Метод неполной' факторизации. решения

некоторых'матричных задач Римана. -В сб.: Современный анализ

• и его Приложения .-Киев:Науковэ думка,Т989,с.85-в9. '

Гахов Ф.Д.Краевые задачи.- М.гНаука. 1977.-640 с. 4,1 Зворович Э.И.Краевые задачи теории аналитических функций в. гельдеровских классах на римановых поверхностях.- Усп.матем. ■ наук, .1Э7Г,т.26.в.1,с.113-179; ' • / '. "'Цекуа Н.П. Системы.сингулярных интегральных уравнений и '.

некоторые'граничные задачи .- М.:Наука. 1970.-380с. ТЛитвинчук Г.С..Спитковский И.М. Факторизация матриц-функций.

--Одесса.1984.-^480 с. Деп. в ВИНИТИ-. № 2410-64.

• - 5

на", В.Л.Родина ,0). В работе "" введены понятия фунда-. ментальной и"канонической матриц для матричпой вадочи'Римана 1 вэ'. римановой поверхности '. Понятие канонической матрицы здесь . не предусматривает введение частных индексов. Заметил, что не--смотря на введешю некоторыми автор;.:.зд частных индексов для матричной задачи Римана на римановой поверхности, попытки •строгого обосновагшя этого понятия для римановой поверхности ненулевого рода нам неизвестны.

Имеющиеся публикации дают основания предполагать, что 'пос-'

• • троёнио общего решения задачи Римана с произвольным матричным :■ .коэффициентом в конечном виде, что равносильно факторизации

..этого коэффициента, по-видимому, невозможно. Поэтому математиками ведется поиск различных классов факторизуемых матриц. ■ . Так, Н.Г.Чеботарев и Ф,Д.Гахов фпкторизовали на плоскости на замкнутом контуре матрицу,' являющуюся с точностью до умножения. . На гельдеровский вектор краевым значением матрицы, элементы которой аналитичны внутри контура. Г.Н.Чеботарев рассмотрел . факторизацию функционально- коммутативной матрицы.'^А.А.Храпков • факторизбвал на замкнутом контуре на плоскости матрицу споци- • ального вида. A.B.Месис рассмотрела матричную задачу Римана на .плоскости и римановой поверхности на замкнутом контуре, когда "

• элементы матрицы являются алгебраическими функциями.

• / ' ___. *

"'Koppelman W. Singular Integral equations, boundary value . problem,and Rieman-Roch. theorera.-J. oi Math. and. Uech.10:2,

1961.,p. 247-277.; . * •

""Родин D.I. Структура общего, решения краевой задачи Римана для голоморфного вектора на кодаактно*» римацовой поЕерхнос-' ' ТИ. . -Локл.АН СССР; .1977,Т.23.2,* 5',С .1019-1022.- ,

■ 6 . .

Ппиведем теперь основные результаты, касающиеся матричной" ;за-•дачм'Ркманз с подстановочными матрицами. Э.И.Зверович'и Л.И.Померанцева своли задачу Ркмана с матрицами пойстановочйого _ ; 'тгаа из плоскости к.скалярной задаче-Римана на .некоторой.. 'риманово'й поверхности. условия . 'В.Е.Круглов 171 факторизовал • на плоскости ' матрицы- , яаляюЩеся м'атрич1шми. представлениями.' разлтпм^. "групп подстановок •. : • циклической,, абелевой,групп подстановок третьего -'и четвертого порядков." За. счет о того . /ему удалось построить функц налы на ' римановых. поверхностях, накрывающее плоскость по закону соответствующий групп • 'подстановок и факторизовать некоторые функциональные подагано-' вочные матрицы . И.'Ю. Дмитриева'3' обобщила некоторые результаты. ' В'.Е.Круглова ; на случай ' птерэллиптической римановой- поверх-iïçcth '. KpoMà того, она получила, факторизацию кусочно-.постоянной функциональненнекоммутативной' награды,- подстановочного типа порядка 2п на плоскости за счет факторизации на гнперэллип-

"'Зверович Э.И. .Померанцева Л.Й.Задрча,'Римана для 'п пар . ■функций с матрицами подстановочного типа.-Докл.'АН СССР, ■ 1974 .т.217,Jfc'I.e.20-23. ' ."■■"•. '

"'Круглов В.Е. Частные индексы-и одно, приложение факторизации ' некоторых матриц , подстановочного типа' не .выше, четвертого ..порядка'. I, II ,III. -Новосибирск •',1984.- Дел. в ВИНИТИ

)6 № 3278-82'. 3279-32,3280^-82'. : , -, "'Дмитриева И.Ю'.Тешете матричных 'задач Римана с-.Матрицами 'подстанов'очного типа на двулистных римановых поверхностях алгебриических функций'. Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.-Одесса, 1935', 20 с." '

' • 7.

тической поверхности матрицы, являющейся представлением. цжлпчео-кйй группы подстановок .п-го порядка . Ю.С.Крутий4' выделил ■ некоторые классы задач Римона на плоскости, которые сводя- . /тся к факторизации подстановочных матриц..

,. Целью датюй 'работы является .исследование общих 'свойств . решений матричной задачи Римана с -постоянными подстановочными ' матрицами на разомкнутом контуре на римановой поверхности . ■. заданной алгебраическим уравненном , а также построение^ решений некоторых конкретных задач Романа с постоянными и 'функциональными подстановочным^ матрицами на различных компактных ричэношх . Поверхностях. ;

Научная новизна работы и результаты, которые выносятся уа • защиту: • •,-'.. . . ,

1. Исследование матричной задачи Римана с матрицами из преде-. . • тавления произвольного мною ства-подстановок на римановой поверхности И, заданной алгебраическим уравнением. Получение

* * ■ - ) представления для определителя фундаментальной матрицы этой

задачи.' - .

2. Введение понятий канонической матрицы и частных индексов"^ матричной задачи Римана на римановой поверхности. Бнчисленио суммарного индекса задачи, указатой в п.1,для случая, когда ее

' каноническая 'матрица существует. . ' , •'

'3. Построение'функционалов римановой поверхности й*. накрыва-.пцей дэмиую поверхность И.по закону.циклической группы подста-.ноеок'п-го порядка; Т=. • . *

4. Построение в явном виде решения матричной задачи Римана на- ■ й с.функциональными подстановочными мат.ркцпщ, когда педстансз-' ки берутся из группы I .'

5. Факторизация на R матричного■представления группы подстановок Sa--и'построена функционалов поверхности. К*.накрывавдей поверхность R по закону подстановок групп S3.

6. Использованиё результатов п.п.З'и 5"ллл построения канони- • чес<шх матриц задач .Римана на. плоскости, -коэффициенты которых есть соответственно матричные представления групп мо'но'дромии Поверхностей К* и . R*. как\накр'ытий плоскости . .. '

7. Обобщение р ультат'ов п.6: построение факторизации нокото- ■ рой.подстановочной матрицы-на К*аа счет решения на-ее' накрытии R* задачи с матрицами из продставления группы Т.. Эта -задача рассмотрена при различных предположениях относительно контура.-

■Методика исследования. В диссертации используется аппарат ' Teopim алгебраических функций и теории .функций на римановых поверхностях-. ' . ■ .. .

•Теоретическая ценност!, диссертации. '• Введены понятия ' канонической матрицы и частных индексов матричной задачи Римана ' на рю,«новой поверхности,решены'некоторые'конкретные матричные задачи Римана. .

■ ' ■ Аггуюбация работы. ."''■. '•...■■.

Основные результаты .диссертации докладывались- на Одесском .городском семинаре'по краевым задачам (руководитель- профессор, Литвинчук:Г.С.), на Минском городском семинаре по краевым . задачам имени академика ф.Д.Гахова при кафедре.теории функций- '■ Белорусского госуниверситето... (руководитель - профессор' Зверович Э.И.), ла научно^ семинаре кафедры дкф^ренциальных.уравнений Ростовского, государственного университета (руководитель-профессор Сам;со.С,"г.) •

9 . ..

Некоторые задачи докладывались на научных конференциях "Гахов-скпе чтения - 88", ."Гаховские чтения - 91". на Республиканской ' конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения" (г.Одесса, 1987) на Ме;хвузовской научно-пректичес- • кой'конференции молодых ученых (г.Одесса,И&7), на конференции молода ученых механико-математического факультета МГУ (1991), па'Всесоюзной школе по теории функций (г.Одесса,1991).

' Публикации. • Основные результаты диссертации опубл; званы в работах, список которых находится в конце автореферата.

Структура диссертации: • • .Диссертация состоит из введет«.трех глав и списка литературы из 83 наименований. Первая и третья главы содержат по 3 параграфа,вторая глава - 6 параграфов.Объем дассертацш1-102 машинописных страницы.

' СОДЕИАНИЕ РАБОТЫ:.

' §0 содержит предварительные сведения из алгебры и теории функ-' ций и.основные обозначения.

• ГлаЕЗ I.посвящена исследованию на римановой поверхности R матричной задачи Римана .'коэффициент которой,заданный на кон-' туре Ь, является матричным- представлением некоторого произвольного множества подстановок.Римапова поверхность R задается неприводимым алгебраическим уравнениём. ' •

. 1 (2,ц)= иГ+а1 (г)иГ1;...-а^ (z)-0 . гда a (s)- полиномы. Контур L состоит из гладких разомкнутых непересекающихся кривых L ,1^,'.'..,1^'.

В.§1 дана постановка задачи с матрицами из представ., ¡мя произвольного множества подстановок Т.Доказывается, что множество решений этой задачи есть кольцо Ог целых элементов поля Кг •, явля-

10 •

ьедгося алгебраическим -расширением поля Kt рациональт'х. функций исходной поверхности R . Строится, накрыта? • R* поверхности ft ,на котором голоморфен элементы ноля К ..." ' ' .

Р 5?. цается определенно. фундаментальной матрицы-задачи Римана на рнмановой поверхности . Доказывается, что фундаментальная мат-, рица задачи , -введенной в <И, всегда'существует.. Дается следуй, цее представление определителя sv>vl матрицы: ';. '. ..'...■ ''•' •.

N (detJX)= const П (z-a У^4 "п (z- с )2/?i , : ■■■" - . ■ • * . ч

' где Х - фундаментальная матрица, N - норма-из Kj в К4, ■ а-.проекции концов контура L. avj- длины циклов, в ггроиз- '•. вед?;tira которых .разлагаются ' соответствующие •. подстановки, сх- проекта! тех тачек поверхности R. в-которых базис Пг над .-" Кх -, .состоящий из столбцов матрицы X,- не является, целым.. Ё этих ■ точках det. X тлеет цули.р - кратности..■ ;•■':•.■■■■■

В §3 дается определение- канонической матрицы''задачи Римана на римановой поверхности, отличное- от. соответствующего <?пределения ■ • работы "". Канонической .называется матрица X, удовлетворяющая следующим условиям: • ; ..'•-■ , • . ;

1) любое.решение S данной задачи представимо в виде '. ■ .

■ 4 -- х р ; " •-..■.- .•.••.■■'.

•где p=(pt-,pz,...,pn)T. р* К,: ■ ' . ■

2) fice компоненты вектора р.-имеют неполо гелыше порядки в " бесконечных точках Dj,D¿,•..,Dm поверхности R (то есть имеют ;' там подасы либо принимают конечные, отличные от нуля значения);

3). во бсех бесконечно удаленных точках поверхности R порядок •■• определителя матрицы X равен' суше -порядков 'ее столбцов ;

Доказывается, чк> для такой матрицы-мотаю ввести'чветнй'е' индек-

- ; ' и . ■ •

сы',. которые будут 'инвариантны по отношогага к выбору канонической стстеш' решений;. Вводится ш систем часттта индексов - по числу бесконечных точек поверхности И. Вычисляется суммарный ■индекс задачи, введенной л ¿Г, для случая, когда ее капотпоскпя матрица 'существует. Формула для суммарного «шдекса имзет тли ,

2 1». = - Е ( « - 1) - 2/9".

Ч Ч .

*■ . J . *■ • ^

где * . - частные, индексы, /3= £ , г ( <\.- 1) - .•■идеГ'.п

4 1 . * J

относительной критичности расширения X.': К . йз приведенной

выше .формулы следует, ч- число /3 является инвариантом задачи. Строится пример канонической матрицы .

Глава II лосвйяенз задаче Романа, коуМяцйон? 'которой ость ■ ричпое представление Т.- циклической группы подстановок п-Т'О по -' рядка ', II некоторым ее приг.сжнгям . Эта глава состой1:' из 0 пзра -графов.' , ■

В §4 дается решение указанной задай сведением к совскуп-' .ности скалярных задач и строится-нормальный базис соответстьу-!щвго кольца целых элементов над СГа'].

В §5 вводится понятие' точки поверхности Я* , построенной для ' 'случая Т=Т.. п доказывается теорема о структуре множества особых точек. Точки поверхност и* задаются в виде (г,и,Я), где' • ' (2,'и) - проекция данной точки на К, И е Кг. «К . ■

В §6 с Использованием результатов §4 строятся функционалы по-• верхностп К*, накрывающей исходную поверхность И.по закону'подстановок''из группы Т> Тем самйм создается аппарат для решения . на д* скалярной задачи Римана'.

1В .§7' за счет построений §4 получена в явном, виде каноничоскай матрица задачи Римана н'а плоскости, коэффициент которой - 'фу/гк—

цинально-некоммутативная' матрица вида:

(Т: 1) »"¿'(I^.Uatt.I^) + 2 (it. l)a(t.U) ...

где символ вида (It, 1) означает матричное представление под— станов-..: Т., Т.о - подстановка , являющаяся расширением -подстановки ••'..•'.

(г,г + ш,...,г. + (n-1)m )' на множество {1,2,....т), число . •' rk - это номер листа поверхности R (ветви ii). на котором лежит кривая контура Ь ; Lo - проекция на. плоскость кривой ; ,

Т = 8^(1,2,..,.,ш)«в. (гпtl ,пн-2,...,2 m)®...«•si((ri-1 )m+1,...,пга).

s. - подстановки из .группы' монодромии поверхности R, к; нак-' ' рити" плоскости, * - символ прямой суммы,- М. .- гладкие разомк- • нутые кривые . соединяющие точки ветвления поверхности R отно- •

• сительно z - кпоскости, a(t,L) = 6 при t « L'-

В §8 обобщаются результаты §7 :: строится решение матричной задачи Римана с коэффициентом вида. (Т* 1) на. римановой поверх- .• сти R за счет решения на накрытии R* этой поверхности задачи Римана с коэффициентом из матричного представлений группы Т.;. В §9 рассмотрена та ке 'задача.при расширении предположений

• относительно^контура.При этом факторизуются'матричные пред— ' ' .

w ы

ставления подстановок вида I ^, Hi , Т.0 Т. и Т^. Глава III посвящена решению матричной задачи Римана с функцио^-налышми подстановочными матрицами , когда подстановки берутся- . из группы Т. , v одному ее приложению.Глав III состоит из 3 параграфов. ; • •■ -

В §10 дается конструктивное решение указанной задачи с помо- . щью сведения ее к скалярной задаче на поверхности R*. накры-вэюцсй исходную поверхность R. При этом-используется методика работы1", где аналогичная задача рассматривалась ла плоскости.

В §11.с использованием результатов §10 роаена задача с коэффициентом' из матричного представления группы подстановок третьего порядка S3.

В §12. строятся функционалы поверхности R*,накрывающей исходную 'поверхность R по закон" подстановок группы S3 и канонично- -кая матрица соответствующей задачи на плои сти с коэффициентом

(Т*,П =2 (T*ü .1) aít.L^) + 2 (T.1)a(t.U) ,

Í я i V * 1

" где Т*0 - 'расширение подстановки (г4 + m г(+ 2т) на множество {1,2,...,3т> ( будем для краткости писать про с—о

ТГо= (Г». Г1 + 1,1 Г1+ 2т))' Т*0= (Гг Г2 +2ТП га)' Т*0= (г,)(г5+га г,+ 2т); _ Т*0= (г^ +2п) га) ',

Т*0= (гя . Гэ + т) (г,+ 2я) .

• а г

I® в UL + U И ■ L U М. i...10 i.. 1

. Остальные обозначения введены ранее и сохраняют прежний . смысл. .■

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических, наук доценту Виктору Евгеньевичу Круглову за внимательное руководство работой.

.' Список работ, опубликованных по теме диссертации.

I. Ежов М.Б. О построешш/кормалышх базисов колец целых элемен-»

тов некоторых полей алгебраических функций.-Укр.магом.ж., 1990,т.42, * 7,с.I004-1007. 2.. Ежов М.Б. О свойствах решений одной матричной задачи Римана ' на римановой.поверхности.-Одес'са',1989.-18 е.- Рукопись ' представлена Одесск.ун-том.Деп. в УкрЮШТИ 15 декабря 1989,

А 2935 Ук-89. ' . '

3. Еков M.Б. Факторизация некоторих подстановочных матриц . ■ ' • —Фушна риманоЬой поверхности.-Одесса,Î99I.-68 с.-Рукописъ представлена Одесск'.гадримот.ин-том.деп. в УкрНИИНГИ

■ 2 апреля 1991, * 430 Ук-9Г.

4. Ежов М.Б1 00 одном случае матричной факторизации.-В сб.: Республиканская конференция."Дифференциальные и интегр^ .ьные • уравнения и их приложения".Тезисы.докладов.- -Одесса, 1987,

с.87-88. . ■ ' • " - ; ' .

5. Ежов М.Б. Об.одной задаче Рчмана на рймановой поверхности. -В сб.: Тезисы докладов межвузовской научно-щ этической конференции-молодых .учешх.-Одесса,1987,с.11-12.

ПздпД печати 17.02.92г. форма т 60x84 1/16.

Ой'еч 0,5уч.изд. п. 0,Т5п.п. Заказ 533. Тяраж 100экз.

Гортипдграфия Оиосского обллоли*-рафк;мата,цех№3.

Ленина 49.