Формулы следов для возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.984.5

Зыкова Татьяна Валерьевна

ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЗАМКНУТЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОТОКОМ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 ИДИ 2014

Москва 2014

005549533

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Подольский Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Шейпак Игорь Анатольевич,

профессор кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного уыиворситотл нмспп М. О. Ломоносова,

кандидат физико-математических наук, доцент Артамонов Никита Вячеславович, заведующий кафедрой эконометрики и математических методов анализа экономики факультета международных экономических отношений Московского государственного института международных отношений (университета) МИД России

Ведущая организация:

Башкирский государственный университет

Защита диссертации состоится 20 июня 2014 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д.1, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова (Ломоносовский проспект, д.27).

Автореферат разослан 19 мая 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Возникновение теории интегральных операторов Фурье послужило толчком для новых исследований в теории изучения спектра дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристическим потоком. Первые результаты, полученные в этом направлении (А. Вейнстейном1, Дж. Дейстермаатом и В. Гийеминым2 и др.) показали, что спектр таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра невозмущенного (отвечающего главному символу) оператора. В этой теории оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный оператором умножения на гладкую функцию на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком занимает особое место, как основная модель и как физически наиболее интересный случай.

Кратко обратимся к истории вопроса. Будем рассматривать Д — оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере 52 из Я3. Пусть д — оператор умножения на комплекснозначную бесконечно дифференцируемую функцию на 52. Пусть также и — собственные числа опе-

раторов —Д и — Д + 9 соответственно, занумерованные с учетом кратности в порядке возрастания их действительных частей.

Спектр оператора —Д на известен :

\и = к(к+1), (1)

к = 0,1,...; г = 1,..., Л^, с кратностью Як = 1к+ 1.

Для собственных чисел оператора — Д + д будем использовать двойную нумерацию ци, согласованную с нумерацией Аы-

1Weinstein A. The resolvent of an elliptic boundary problem. Fourier integral operators, quantization and the spectra of Riemmanian manifolds. - Colloque International de Geometrie Symplectique et Physique Mathematique CNRS Aix (Juin 1974). 1976.

2Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacterictics. - Invent.Math., 1975, vol. 29, p.39-79.

3Розенблюм Г.В., Соломяк M. 3., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов, Дифференциальные уравнения с частными производными - 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5-242.

В. Гийемин4 и Г. Видом5 изучили спектр оператора —Д + ^ на 52 и показали, что оценка

получаемая методами теории возмущений6, может быть улучшена лишь для нечетных д (т.е. ц{тх) — —д{х) для каждого х 6 52, где т-антиподальное отображение) до

и О в (3) можно заменить на о только для д = 0.

А. Вейнстейн7 рассмотрел оператор —Д + В на компактном римано-вом многообразии X (мы приводим результат для двумерного случая), где В - псевдодифференциальный оператор нулевого порядка и показал, что для любой функции /(г), аналитической в некоторой области, содержащей последовательность {/лм—(3Десь! аналогично предыдущим обозначениям, /1ы - собственные числа возмущенного, а А¡ц - невозмущенного операторов) верно

О'Л

где Б*Х расслоение единичных сфер в кокасательном пространстве; ¿V -

1 2тг

канонический элемент объема Б*Х, Ва1' = — Г (ехр сг(В)<И -символ

2тг о

усреднения оператора В, здесь сг(5)-символ оператора В, 5 - гамильто-ново векторное поле на Т*Х \ {0}. В.Гиейминым и А.Урибом8 это утверждение было распространено и на случай возмущения оператора Лапласа-

4Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere. - Adv. Math. 27, 273-286. 1978.

sWidom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere - Adv. Math. 31, 63-66. 1979.

6Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М. Мир. 1972.

7Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. Duke Math J., v.44, p.883-892, 1977

sGuillemin V., Uribe A. Spectral properties of a crtain class of complex potentials. - Trans, of the Amer. Math. Soc, v. 279, 759 - 771. 1983

Ifki ~ Afci| = 0(1), i=l,...,Nk,

(2)

(3)

Бельтрами комплексным потенциалом.

Таким образом, относительно асимптотического распределения собственных чисел оператора —Д+д были получены окончательные результаты. Получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора становится важным инструментом в исследовании спектра оператора, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра становится невозможным.

Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида

£(А% - Ак(а)) = В(а), (4)

к

где Хк - собственные числа оператора А, а е Е1, а Ак (а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ означает или обычное суммирование или один из методов суммирования.

Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана9, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля с

7Г

потенциалом q(x), /д(з:)<1х = 0: о

п=1

Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.

В.Б. Лидским и В.А. Садовничим10 был предложен метод доказательства формул типа (4) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке

еГельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных зна-

чений дифференциального оператора второго порядка - ДАН СССР, 1953, том 88, №4,

с.593-596.

10Лидский В.В., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций,- Функц. анализ и его прил., 1967, том 1, №2, с. 52-59.

со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.

Даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды, и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом суммирования.

Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу11 В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мар-тиновича 1987 года. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского12, где рассматривался оператор Лапласа-Бельтрами возмущенный гладким нечетным веществен-нозначным потенциалом на двумерной единичной сфере S2. Этот оператор имеет кластерную асимптотику N(А) и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула:

Позже В. Е. Подольский13, применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским 14 были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.

11 Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. - ДАН СССР, 1987, том 293, №5, с.1062-

12Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. - ДАН СССР, 1991, том 319, №1, с.61-62.

13Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на сфере S2. - Матем. заметки, 1994, том 56, N4, с.71-77.

14Podol'skii V. Е. On the summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. - Russian J. Math. Phys. 4, №1, 123-130. 1996

oo Г 2k

1064.

А.Н. Бобров предпринимал попытку15 найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы) и приведенную им формулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы S2 и произвольной комплекснозначной функции q G С°° был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора, возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для q € C2(S2)16, а в 2011 году дая g € Wj^S2)17, получили формулу регуляризованного следа:

оо 2к

Y^ [№ - *(* + !)(2fc + 1) - со] = 2ci,

к=0¿=0

у ¿¿ ф», с . ¿ / JT ~ ¿I

(ш,шо) - скалярное произведение векторов ш — (eos íp sin é>, sin ip sin в, cos в) vi wa — (cos tpo sin 0o, sin ip0 sin в0, cos в0).

Цель работы. Исследование задач спектральной теории операторов для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими одинаковой длины, метрики которых являются возмущениями стандартной метрики сферы, в том числе иследование дзета- и тета-функций таких операторов, получение формул регуляризованных следов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. исследовано аналитическое продолжение дзета-функции для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими;

15Бобров А. Н. След оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности Цолля - Доклады АН, 368 (2), 154-156. 1999.

1вСадовничий В. А., Фазуллин 3. Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2 — Матем. заметки, 2005, 77:3, с.434-448.

1ТСадовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.И. Свойства резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере и формула следов.-Доклады академии наук, 2011, T.441.W2. С. 174-176.

2. впервые получена формула геометрического регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами при возмущении метрики многообразия;

3. впервые получена формула регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущенного потенциалом, на многообразии с замкнутыми геодезическими (не являющемся сферой) и доказано, что полученная формула верна для всех таких многообразий, не зависит от явного вида метрик, а зависит только от их геометрических инвариантов.

Методы исследования. В диссертации применяются методы теории псевдодифференциальных операторов, методы теории функций действительного переменного и теории функций комплексного переменного, методы дифференциальной геометрии, методы спектральной теории операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области функционального анализа, спектральной геометрии и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

• семинаре «Теория следов операторов» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством В.Е. Подольского) (неоднократно: 2007-2011 гг.);

• конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», г. Уфа (12-16 июня 2011 года);

• XI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», г.Нальчик (4-8 декабря 2013 года);

• семинаре «Спектральная теория дифференциальных операторов» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством академика РАН В.А. Садовничего) (13 декабря 2013);

• 17-й международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова, г. Саратов (27 января - 3 февраля 2014 года);

• семинаре * Операторные модели в математической физике» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством проф. A.A. Шкаликова, доц. И.А. Шейпака, доц. А.М. Савчука, A.A. Владимирова (11 апреля 2014).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых 2 — в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, главы, включающей три параграфа, списка литературы из 48 наименований, включая работы автора. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведена история исследования спектральных свойств дифференциальных операторов, приведено содержание работы и главные результаты.

В основной главе проводится исследование спектральных свойств возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком.

В первом параграфе приведены предварительные сведения:

В пукте 1.1.1 описано многообразие ML, на котором изучаются спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами (многообразие было построено и изучено в монографии A.B. Болсинова и А.Т. Фоменко18).

18Волсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация (Том 2). Ижевск. Издательский дом «Удмуртский университет». 1999

Метрика этого многообразия получается посредством перехода к сфероконическим координатам (г>1,и2,^3) в Я3:

2 _ ш(о + Ц2)(д + из) 2 _ (Ь + г>2)(6 + г>з) 2 _ ш(с + у2)(с + Рз) (о — Ь)(а — с) ,У (Ь — а)(Ь - с) ,г (с-а)(с-Ь) ''

представления метрики стандартной сферы в сферо-конических координатах («1 = х2 + у2 4- г2 = 1):

где Р(у) = (о + г>)(£> + v){c + и); и последующим возмущением этой метрики:

<, = £0*-* + О)

где

<5(^2) = <5+(г>2), Д(из) = А+(г1з), на области соотв. х > 0, г > О

<3(иг) = <Э+(и2), Щуз) = Л-(у3), на области соотв. х < 0, г > О

<Э(иг) = Я(г>з) = В.+ (из), на области соотв. х > 0, г < О

<5(^2).= <3-(^2), К&з) = Я-(уз), на области соотв. х < 0, г < О

Таким образом, получено целое семейство С°°-гладких метрик ¿в^ р (попарно неизометричных) на двумерной сфере, зависящее от двух функциональных параметров а и ¡3, и таких, что

1) все геодезические этих метрик замкнуты и имеют одинаковую длину;

2) все эти метрики йв2а р являются возмущениями метрики стандартной сферы в том смысле, что при а = 0, /3 = 0 метрика превращается в обычную метрику ¿в2 постоянной кривизны на сфере;

3) все метрики ¿з^ф задаются явными формулами.

В пункте 1.1.2 описан сам оператор Лапласа-Бельтрами на много-

образии ML: приведен его явный вид на нем, исследован и описан его полный символ и его компоненты, описан его бихарактеристический поток и выделены особенности его траекторий.

В пункте 1.1,3 изложены основные спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими (собственные значения, их кратность, связь собственных чисел возмущенного и невозмущенного оператора), а так же приведены известные на сегодняшний день результаты в теории регуляризованных следов.

Во втором параграфе проводится построение и вычисление регуля-ризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельграми на ML. Для этого в рассмотрение вводятся:

1) псевдодифференциальный оператор второго порядка —Àjul на ML собственные числа Kki, которого совпадают с собственными числами оператора Лапласа-Бельтрами на стандартной сфере, то есть хы = к(к +1), где к = 0,1,... ; г = 1,..., 2к+1. Также, вводится в рассмотрение тета-функция

оо

этого оператора F(t) ~ f-1 fjtj при t ->• 0;

¿=о

2) оператор Лапласа-Бельтрами —Aml на ML с собственными числами

оо

Aki и тета-функцией L(t) ~ г-1 J2 htj ПРИ * 0>

j=o

3) возмущенный оператор Лапласа-Бельтрами -&ml + g на ML с соб-

ос

ственными числами /хи и тета-функцией M(t) ~ i-1 mjV ПРИ i —^ 0-

¿=о

В пункте 1.2.1 строится формула регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Аиь и — Дмх.> которая имеет вид:

оо / 2к к=О \г—0

= /2_Î2_ao/l + _i_ J (02dU) (б)

S'ML

где aav определен ниже в формулировке Теоремы 1, ао = —т—! U - коэф-

/о

фициенты разложения тета-функции L(t) и fi- коэффициенты разложения тета-функции F(t).

В пункте 1.2.2. строится формула регуляризованного следа для соб-

ственных чисел операторов —Дд/л + g и — Дд//,, которая имеет вид:

оо / 2 к \

-да+i)i =

fc=0 \i=0 /

= /2 - тп2 - Wi + ¿2 / të0")2^. (7)

S-ML

где определен ниже в формулировке Теоремы 1, Ьо — ——г—h -

to

коэффициенты разложения тета-функции L(t) ипц - коэффициенты разложения тета-функции M(t).

В пункте 1.2.3 из формул, полученных в пунктах 1.2.1 и 1.2.2, выводится окончательная формула искомого регуляризованного следа:

оо / 2к \

£ ][>w-fc(fc+l)(2fc + l)-(ao + bo)(2fc + l ) = fc=0 \t=0 /

= /2 - 00/1 + J + J (qav?dv, (8)

S* AIL S'ML

где (7au и gQ" определены ниже в формулировке Теоремы 1, ао = г—-,

/о

^ _ТПх

6о = —:-, mi - коэффициенты разложения тета-функции Mit), k -

lo

коэффициенты разложения тета-функции L(t) и fi - коэффициенты разложения тета-функции F(t).

В пункте 1.2.4 устанавливается связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами, и приводится схема вычисления искомых коэффициентов тета-функций операторов для вычисления правой части формулы (8).

В пункте 1.2.5. проводятся все вычисления недостающих коэффициентов для вычисления окончательного ответа:

m0 = l,mi = ^ - JJ q(v2, v3)у/detgdv2dv3,

ML

т2 = Штг Л+ 2^3+

мь

+ 2^ JJ 2, + 352(г;2,г>з) - 2д(у2,Уз)КмЬ) УсМ^г^г'з,

мь

10 = 1,Ь = = JI (АмьКмь +

мь

где Кмь = —- (у -V )3 --1—— - гауссова кривизна МЬ и х/Яс^д = — 1)3 - корень из определителя матрицы метрического тензора.

Здесь же формулируется основной результат второго параграфа:

Теорема 1. Пусть МЬ — многообразие, заданное некоторым функциональным семейством гладких почти лиувиллевых метрик на сфере и определенное формулами (5). Если д - бесконечно-дифференцируемая комплекснозначная функция на МЬ, то для собственных чисел оператора —Д-мь + Я верно равенство:

К«. \ 4\1 )

= / /

в'МЬ Я- МЬ

/ (ЬшКмь + Кмь)^-

мь

~ ъЬ / + 342(у2>уз) - 2д(»а,«з)(ЛГш; ~ 1)) ¿в,

мь

гое Ккц, = -;-т=- - гауссова кри-

(«2 - г'з)3

визна МЬ, - элемент площади поверхности МЬ, Б*МЬ - расслоение

единичных сфер в кокасателъном пространстве, ¿V - каноническая

1 2тг

форма объема на Б*МЬ, д™ = — Г (exptБ)*(q)dt, где Б - гамильтоново

27Г О

векторное поле на кокасателъном расслоении Т*МЬ \ {0}, определяе-

£ 2тг

мое римановой структурой на МЬ, оа" - — Г (ехр£Е.)*(о)<И, где

27Г о

а = -т{КМь - 1+

), где V - единич-

\{KmlW ¡(KML)vJ3ds - (Kml)vu2J J(KML)vuJ2ds о о

ный вектор нормали к геодезической 7, J{r,w) - объемная плотность в

геодезических полярных координатах, то есть dvol{7) = J(r,u})drdui, и(*)

и v{*) - фундаментальные решения уравнения Якоби вдоль геодезической

( u(O) и(0) \ ( 1 О \ 7 с условиями ) =

I ù(0) v(0) / loi/

В третьем параграфе задача нахождения регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами рассматривается в случае общего положения, когда метрика многообразия задана в абстрактном виде.

В пункте 1.3.1 определяется многообразие М е БС^ж (геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину 2тг), метрика которого, получена возмущением метрки единичной сферы, заданной в некоторых координатах {щ,и2)

¿в2 = А(и 1,и2^и\ + 2В{щ,и2)йи^и2 + С(иии2№и1, (9)

и имеет вид

= Ар{и\,и^и2 + 2Вр(и1,и2^и^и2 + Ср{их,и^и\, (10)

причем Ар(и\,и2) = А(и1,и2) + РАЫ,и2), Вр{иии2) = В(щ,и2) + Рв{и 1,и2), Ср(п1,и2) = С(и1, и2) + Рс(щ,и2), то есть возмущения таковы, что при обнулении функций РА(иии2), Рв{и\,и2), Рс(и 1, и2), мы получим стандартную метрику сферы йв2.

В пункте 1.3.2 описан сам оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии М: приведен его явный вид на нем, исследован и описан его полный

символ и его компоненты.

В пункте 1.3.3 показано, что асимптотики тета-функций F(t), L(t), M(t) соответствующих операторов —Ад/, —Ам, — Дл/ + q взятых уже на произвольном M аналогичны асимптотикам, полученым в пункте 1.2.5, го есть найденные коэффициенты не зависят от вида метрики M, а зависят только лишь от инвариантных характеристик многообразия. Все коэффициенты были получены с помощью символьных вычислений в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica 919, так как при задании метрики в общем виде (10), произвести вычисления вручную становится невозможным. В случае общего положения вид этих асимптотик представляет отдельный интерес, поэтому результат сформулирован в виде Леммы:

Лемма 1: Пусть M € SC2* — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для тета-функций F(t), L(t), M(t) соответствующих операторов —Ам, —Ам, —Ам + q верны асимптотические разложения при t -¥ 0:

F(i) = r1 + i + ^i + 0(i2), L(t) = t-1 + 1 + ^ J(AMKM + t + 0(t2),

m)=rl + U-hJqdS) + \èïI{АмКм+k2m)cIS+

\ m J V M

+ J{-AMq + 3g2 - 2qKM)dS ) t + 0(t2), m /

где Км =---2X

A{Bp{ui,U2)'1 - Ap{ux,u2)cv{ui,u2))

(cp(ui, u2)Ap'U2(ultu2)2 - 2Bp(ui,U2)Ap'U2(щ, u2)Bp'U2(ub^2)+ Ap(ui, u2)Ap'uj(ui, U2)CP'U2{UI,U2) + 2Bp(ui, u2)2AP^U2(ui, u2)~

19Wolfram Mathematica 9 [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.wolfram.com / mathematica/

2AP{U1,U2)CP{U1,U2)AP1ÍUJ(U1,U2) -2Cp{ui,U2)Bp'Uj(u1,U2)Ap'ui{u1,u2)+ Bp{uu U2)CP'U1(UI,U2)AP'U1 {UI,U2) + 4BP(U1,U2)BP'U2(U1, u2)BPui(щ, u2)~ 2Ap(ui,U2)Cp'U2{ui,U2)Bp'Ui(ui,u2)- Bp(иг,u2)Ap'U2(i¿i,u2)Cp'ui(ui,u2)+ Ср{щ,щ)АРи1 (ui,u2)CPui(uuu2) ~ 2Bp{ui,U2)Bp'Ui{ui,U2)CPui(щ,u2)+ Ap(UI,U2)Cp'Ui(ui,U2)2 - 4Bp(U1,U2)2Bp'¿¡U2(U1,U2)+ 4Ap{ui,u2)Cp{ui,u2)Bp'UíU2(ui,u2) + 2Bp(UI,U2)2CpIiUi (щ, u2)-2AP(UI,U2)CP(UI,U2)CPU11¡1(UI,U2— гауссова кривизна M.

В Теореме 2 показано, что результат Теоремы 1, сформулированный в пункте 1.2.5 полностью переносится на случай произвольного М. Результат, приведенный в Теореме 2, является универсальным и не зависит от явного вида метрик многообразия, а зависит только от его геомерических инвариантов. Из Теоремы 2, полученной для произвольного М, сформулированы три следствия, представляющих самостоятельный интерес:

Следствие 1: Пусть М £ SC^ — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для собственных чисел Xki невозмущенного оператора Лапласа-Бельтрами — Ам на М верно равенство:

оо 2 fc fc=0 <=0

= Tb-wJ^lKM+K")dS+ш I {°av?dv>

M S'M

где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.

Следствие 2: Пусть М = S2 — стандартная сфера единичного радиуса, метрика которой задана в виде (9), q - бесконечно-дифференцируемая комплекснозначная функция на S2, тогда для собственных чисел Цы опе-

раторо -Д52 + д верно равенство:

= тЬ I (^-¿/(-Д^ + 3^,

в*

где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.

Следствие 3: Пусть М & БС^ — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы « задана формулой (10), тогда для собственных чисел А/сг невозмущенного оператора Лапласа-Белътрами —Дм и для собственных чисел цм возмущенного комплекснозначной функцией д оператора Лапласа-Белътрами —Дм + 1 на М, верно равенство:

где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.

В Приложении приведены вычисленные значения аналитического продолжения дзета-функции оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии М в случае общего положения в нуле и единице, так как эти значения используются при получении основных результатов, однако они слишком громоздки и приведение их в основном тексте мешает восприятию основных рассуждений.

1

16тг2

/((Г ~ / (~АМ<7+3?2"2я{км ~1}) ^

Б'М

М

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Подольскому Владимиру Евгеньевичу за постановку задач, постоянное внимание и поддержку в работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Зыкова Т.В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на некотором семействе многообразий // Доклады Академии Наук, 2011, 437:5, 590-591;

[2] Зыкова Т.В. След оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом при возмущении метрики многообразия // Научное обозрение, 2014, 2, 95

- 103;

[3] Зыкова Т.В. След оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом при возмущении метрики многообразия // Деп. в ВИНИТИ РАН — 2014.

- ДО85-В2014, 12 с.

[4] Зыкова Т.В. Регуляризованный след оператора Лапласа-Бельтрами возмущенного оператором умножения на функцию на многообразиях со специальным возмущением метрики сферы // е-рппЬз агХ™:Ц04-4810— 2014. — [Электронный ресурс] Режим доступа: http://arxiv.org/abs/1404.4810.

[5] Зыкова Т.В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на некотором семействе многообразий // Международная конференция «Спектральная теория операторов и ее приложения», Тезисы докладов, г. Уфа — 2011.— С. 34-35.

[6] Зыкова Т.В. Регуляризованный след возмущенного оператора Лапласа на некоторых многообразиях //XI Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», Тезисы докладов, г. Нальчик — 2013.— С. 27-31.

[7] Зыкова Т.В. Формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения. // 17-ая международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 170-летию со дня рождения В. А. Стеклова, Тезисы докладов, г. Саратов — 2014. — С. 97-99.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ ■ Тираж (О С экз. Заказ № 31

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи 04201458531 к ™

УДК 519.984.5

Зыкова Татьяна Валерьевна

ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЗАМКНУТЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОТОКОМ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

В. Е. Подольский

МОСКВА 2014

Содержание

Стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1. ФОРМУЛЫ СЛЕДОВ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА-БЕЛЬТРАМИ НА МНОГООБРАЗИЯХ С ЗАМКНУТЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ ПОТОКОМ 25

1.1. Предварительные сведения..................... 25

1.1.1. Многообразие МЬ..................................................25

1.1.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии МЬ............30

1.1.3. Спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами .... 36

1.2. Построение и вычисление регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на МЬ........................39

1.2.1. Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь — ~^мь + В и —Амь...... 42

1.2.2. Построение регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь + Ч и —Амь.................. 48

1.2.3. Сведение общей формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —А + <7 и кы............. 50

1.2.4. Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами ............................. 51

1.2.5. Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на МЬ.................... 53

1.3. Задача нахождения регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения .............. 59

1.3.1. Общий вид метрик в случае общего положения........ 59

1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения 61

1.3.3. Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-

Бельтрами на многообразии в случае общего положения ... 63

ПРИЛОЖЕНИЕ 70

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 86

ВВЕДЕНИЕ

Целью настоящей работы является исследование задач теории регуля-ризованных следов дифференциальных операторов на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими. В диссертации исследован спектр, дзета- и тета-функции и получены формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на разных типах многообразий с замкнутым геодезическим потоком.

Известны два основных метода исследования распределений собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром: вариационный принцип (Г. Вейль [37], Р. Курант [9]) и резольвентный (Т.Карлеман [26]). Преимущество вариационного принципа в том, что он не столь чувствителен к гладкости коэффициентов, границы области и т.п., его же недостаток в том, что он не дает достаточно точных оценок в асимптотике собственных чисел. С резольвентным методом, который основан на изучении резольвенты рассматриваемого оператора (или другой функции от него) и последующем использовании тауберовых теорем, связаны многие важнейшие достижения в области спектральных асимптотик: метод гиперболического уравнения (В.Г.Авакумович [25] и Б.М.Левитан [10]) и метод параболического уравнения (С. Минакшисун-дарам и А. Плейль [32]). Подробный обзор по тематике спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных можно найти в [15]. Приведем основные результаты этой теории.

Пусть Л^(А) число собственных значений с учетом кратности оператора А, не превосходящих Л. В 1913 году Г.Вейлем [36] был получен главный член асимптотики Л^(А) ~ а\п^т (т-порядок оператора, п-размерность многообразия М, на котором он действует) без оценки остаточного члена, и было сделано предположение о существовании второго члена асимптотики N(X), связанного с учетом граничных условий (для многообразия с

краем). Л.Хёрмандер [30] получил следующий результат: пусть А самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор на компактном многообразии М без края, тогда

при Л —у +оо.

Остаточный член в формуле (1) в некоторых случаях может быть исследован, и сейчас принята следующая классификация (см. например, [15]): - говорят, что функция N(\) имеет вейлевскую асимптотику, если

где а, Ь - константы;

- говорят, что функция N(X) имеет квазивейлевскую асимптотику, если

где а, Ь - константы, а ф(А) - ограниченная, равномерно непрерывная на К функция;

- если функция ф из (3) имеет разрывы в точках^, иок —»• оо, то можно построить сходящуюся к нулю положительную последовательность {£&}, для которой

ЩХ) = аХп'т + 0(Л(п"1)/т)

(1)

ЛГ(А) = аХп'т + + о{Х^'т),

(2)

ЩХ) = аХп'т + ЪХ^'т + 0{Х)Х{п~1)1т + (3)

Щ(ик + ек)т)-Щ(ик-ек)т) =

{Я{ык + 0) - <2(ик - 0Ж"1 + «К"1)-

(4)

Если

+ 0) - <2(ик - 0)) > с > о,

то (4) означает, что вокруг точек шк образуются стягивающиеся к при

к —> оо группы собственных значений оператора

А1/т

с сумарнои кратностью порядка Такие группы собственных значений называются кластерами., а про функцию N(\) говорят, что она имеет кластерную асимптотику.

Характер асимптотики Л^А) зависит от свойств бихарактеристическо-го (биллиардного для оператора на многообразии с краем) потока оператора А (работы Дж. Дейстермаата и В.Гийемина [27], В.Я.Иврия [7,31], Д.Г.Васильева [4] и других). Точка € Б*М называется абсолют-

но периодической относительно бихарактеристического потока если £) = (х, £), и график отображения Р1 в точке (х, ж, £) имеет касание бесконечного порядка с графиком тождественного отображения. Говорят, что выполнено условие неабсолютной периодичности, если мера множества точек из 5*М, абсолютно периодических относительно этого потока, равна нулю. Для случая неабсолютной периодичности было показано, что N(X) имеет вейлевскую асимптотику для оператора на многообразии без края [27], для оператора второго порядка [7,31] и для оператора высокого порядка на многообразии с краем [4], а так же для задачи с псевдодифференциальными краевыми условиями [6]. Квазивейлевская асимптотика Л^А) впервые была обнаружена в задаче дифракции [21].

Задачи, для которых условие неабсолютной периодичности не выполнено, исследованы значительно менее полно. Например [27], если все траектории потока на многообразии без края периодичны и имеют общий период, то (при некотором дополнительном ограничении) А^(А) в этом случае имеет кластерную асимптотику.

Во всех перечисленных примерах исследование асимптотики Л^(А) проводилось с помощью метода гиперболического уравнения, в значительной степени развитого Л.Хёрмандером в [30]. В основе этого метода лежит исследование особенностей волновой функции оператора Тгехр(г'^4) - следа фундаментального решения, соответствующего оператору волнового урав-

нения с последующим применением некоторой тауберовой теоремы. Волновая функция имеет особенность при £ = 0 и при £ = ±7), где - периоды траекторий бихарактеристического (биллиардного) потока. Поэтому, для задачи с неабсолютно периодическим потоком достаточно исследовать особенность лишь при £ = О (нуль всегда является периодом траекторий бихарактеристического потока, а в данном случае других периодов нет).

Если нарушается условие неабсолютной периодичности задачи, то каждой абсолютно периодической функции траектории можно поставить в соответствие фазовый сдвиг /3. Характер асимптотики Л^(А) полностью определяется этим фазовым сдвигом [15]. Функция А^(А) имеет кластерную асимптотику тогда и только тогда, когда существует множество ненулевой меры в 5*М, состоящее из абсолютно периодических точек, которым отвечает один и тот же фазовый сдвиг. Если же такого множества, не существует, то функция Л^(А) имеет квазивейлевскую асимптотику. При некоторых дополнительных условиях функция <5(А) из уравнения (3) оказывается периодической.

Получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора становится важным инструментом в исследовании спектра оператора, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра становится невозможным. Так в случае, когда Л^(А) имеет кластерную асимптотику (4), невозможно улучшение остаточного члена в (2), более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики.

Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида

"к-Ак(а)) = В(а), (5)

к

где Хк - собственные числа оператора А, а € К1, а Ак(а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ ^^ может

означать как обычное суммирование, так и применение какого-либо метода суммирования.

Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе [5] И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиу-

Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.

В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в работе [12] был предложен метод доказательства формул типа (5) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.

Даже для обыкновенных дифференциальных операторов регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды (см. например [17]), и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом.

Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мартино-вича 1987 года [18]. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [16], где рассматривался оператор

вилля с потенциалом д(х), J q(x)dx = 0:

о

п=i

Лапласа-Бельтрами, возмущенный гладким нечетным вещественнознач-ным потенциалом на двумерной единичной сфере Б2. Этот оператор имеет кластерную асимптотику Л^А), и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула:

к=0 1_г=0

2 к

^11Ы-к{к + 1){2к + 1)

-к!«43-

52

Позже В. Е. Подольский [14], применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским [33] были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1. А.Н. Бобров предпринимал попытку [2] найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы), и приведенную им фомулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы 52 и произвольной комплекснозначной функции д £ С00 был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для д е С2(52) [19], а в 2011 году для д € \¥?(в2) [20] получили формулу регуляризованного следа:

оо 2 к

XI ^ы ~ к(к+~ с°]= 2сь

а:=0 ¿=0

где с„ = ± / с, = ¿з / /

- скалярное произведение векторов й = (соБсрзтО^тсрэтв^созв)

И C¿ó = (cos IPQ sin во, sin Ifo sin 6q, COS во).

Другой подход — суммирование по Абелю. Впервые этот метод был применен В.Б. Лидским в [11] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых обыкновенных дифференциальных операторов. Позже этот метод был успешно применен В.А. Любишкиным и В.Е. Подольским в работе [13], где была предложена формула суммирования методом Абеля первых регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов порядка т > 0 на римановом многообразии размерности п. Существенное ограничение этого исследования т/п > 1 было снято для компактных симметрических пространств ранга 1 в уже упоминавшихся работах В.Е. Подольского [14] и [33].

Целью настоящей диссертации является получение явных формул регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутым геодезическим потоком. Сначала мы доказываем формулу регуляризованного следа в случае, когда оператор рассматривается на не рассматривавшеемся ранее в задачах спектральной теории типе многообразия с замкнутыми геодезическими (метрика которого задана в явном виде), а затем будет приведено обобщение результата на двумерные многообразия с замкнутыми геодезическими, с помощью представления метрики в абстрактном виде. В основе решения поставленных задач лежит применение различных методов теории регуляризованных следов к псевдодифференциальным операторам (ПДО), действующим на компактных многообразиях без края, с периодическим гамильтоновым потоком. Если у многообразия геодезический поток замкнут, то оператор Лапласа-Бельтрами входит в этот класс.

Пусть М - компактное связное С°°-многообразие без края размерности 2, А - эллиптический ПДО порядка 2 и А е Ф^ДМ), где ЩНд(М) —

класс полиоднородных1 ПДО порядка 2 на М [23]. Будем полагать, что на М фиксирована некоторая положительная плотность р, причем А— симметричен относительно соответствующего скалярного произведения в Ь2р(М):

(и,у)ь2(м) = У идр, и, у е С°°(М), м

и строго положителен.

А является оператором с компактной резольвентой и дискретным спектром, который состоит из вещественных собственных значений конечной кратности, которые могут накапливаться только к +оо. Обозначим собственные значения оператора А через {А^}^ с учетом кратности в порядке возрастания. Мы будем полагать, что весь спектр А лежит на луче (О, +оо) (в противном случае мы можем рассмотреть оператор А + с/ с соответствующей константой с > 0).

Рассмотрим расслоение плотностей О. на М. Сечение расслоения Г2, выраженное в локальных координатах х\, Хч - это функция и, такая что мера и\йх\ не зависит от выбора локальных координат (\йх\ обозначает меру Лебега в локальных координатах). Для функции и', представляющей рассматриваемое сечение в локальных координатах х' имеем

и'\йх'\ = и\йх\.

Для любого а € С можно определить степень Оа расслоения Г2, заменив записанный выше закон преобразования на

и'\йх'\а = и\(1х\а-

1 Нижний индекс фд является сокращением от polyhomogeneous (полиоднородность). ПДО называют полиоднородным, если его символ является полиоднородной функцией, то есть функцией вида

оо

а(х,£) ~ где функция а^ однородна степени тп—] по £ при |£| > 1, где тп - порядок ПДО [23].

¿=о

более формально, расслоение fia строится по функциям перехода

3W - | det(x о у/~1У1а о >/ в М„П М*,

где х и х! - произвольные локальные координаты в координатных окрестностях Мх и М^. Таким образом, можем опеределить расслоение полу-плотностеи — Q}'2 и в дальнейшем обозначать сечение расслоения полуплотностей через С°°(М, П1/2).

Дальше отметим, что если Е и F - комплексные векторные расслоения класса С°° над С°°-многообразием М, то ПДО порядка 2 из сечений расслоения Е в сечение расслоения F - это непрерывное линейное отображение:

А! : С0°°(М, Е) -> С°°(М, F),

удовлетворяющее следующему условию: для всякого открытого множества У С М, над которыми расслоения Е и F тривиализуются с помощью отображений

фЕ : E\y -> V х С, </>f : F|y —> Y х

существует / х е - матрица псевдодифференциальных операторов А¡ - G такая что

(<ЫЛ'и)|г)г- = А^(фви)у, и € С5°(У,£7).

В этом случае мы будем писать, что А' 6 Е, F).

Мы будем рассматривать оператор Р, действующий в сечениях расслоения полуплотностей по формуле:

Ри = р1/2А{ир~1/2), и е С°°(М, Q1/2),

где р - положительная фиксироанная плотность на М. Эта формула определяет классический эллиптический ПДО из Ф2Л (М; О1/2, Г^2), для которого (Рщь) = (щРу), и,у €. С°°(М, О}^2). Собственные значения этого оператора совпадают с собственными значениями оператора А, а собственные функции получаются из собственных функций оператора А умножением на р1//2.

Из асимптотического разложения полного символа оператора Р

оо .7=0

можно определить главный р(х, £) и субглавный символы опера-

тора Р по правилу

к= 1

где р^{х, £) — положительно однородные по £ функции порядка 2 — у:

= г> 0. -

1 д

При этом для дифференциального оператора Р = ра(х)Ва, И = ——

гдх

\а\<2

имеем соответственно

РЫ)=

|а|=2

|а|=1 к= 1

Для операторов, действующих в сечениях расслоения полуплотностей, главный и субглавный символы являются инвариантно определенными функциями на кокасательном расслоении без нулевого сечения Т*М\ {0}. Теперь будем рассматривать гамильтонову систему Т*М, порожденную

главным символом оператора Р1//2:

Idxjt) _ дрУ2{х,£) dt /6) д№= др1,2М

dt дх '

состоящую из четырех уравнений, (х, £) — координаты в Т*М, индуцированные некоторой локальной системой координат в М. Известно, что векторное поле Нр 1/2 на Т*М, опеределяемое правыми частями в (6), не зависит от выбора локальных координат в М.

Введем в рассмотрение гамильтонов поток Р*(х,£): являющийся множеством траекторий гамильтонова п�