Функционально-дифференциальные уравнения второго порядка с быстро убывающими решениями в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 517.9 На правах рукописи

Ф

АТАГИШИЕВА ГУЛЬНАРА СОЛТАНМУРАДОВНА

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С БЫСТРО УБЫВАЮЩИМИ РЕШЕНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

специальность 01.01.02 - «дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала - 2004

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Алиев Р.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Елеев, кандидат физико-математических наук, доцент Алейдаров СМ.

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита состоится 9 марта 2004 г. в 14.00 часов на заседании специализированного совета K212.053.ll в Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3-70)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ДГУ по адресу: г. Махачкала, ул. Батырая, 2.

Автореферат разослан февраля 2004г.

Ученый секретарь Специализированного Совета

Э. И. Абдурагимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория функционально-дифференциальных уравнений привлекала к себе внимание огромного числа исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. Неограниченно расширяющийся круг приложений теории функционально -дифференциальных уравнений к самым разнообразным разделам науки и техники стимулировал ее бурное развитие. Начиная с 50-х годов XX века, под влиянием запросов техники и естествознания была начата разработка теории таких уравнений. В самых разнообразных областях механики, физики, биологии, медицины, техники и экономики стала применяться теория функционально-дифференциальных уравнений.

Много приложений находят дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием. Например, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе. Также во многих экономических-задачах необходим учет запаздывания для правильного описания различных явлений. Например, задачи управления запасами строятся с учетом запаздывания или при рассмотрении проблемы долгосрочного прогнозирования.

Первоначальное появление дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в XVIII веке связывается с именем Кондорсе, Эйлера.

Теория функционально-дифференциальных уравнений сформировалась за последние полвека и играет заметную роль в научных исследованиях. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д.Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950г.)

| рос,: национальная!

| БИБЛИОТЕКА !

Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Здесь следует отметить вклад таких ученых, как А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Э. Пинни, Р. Беллман, К. Кук, Н. В. Азбелев, Г. А. Каменский, В. Хан и другие.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. Исследованиями дифференциально--разностных и функционально-дифференциальных уравнений путем изучения обратимости соответствующих операторов занимался Курбатов В.Г. Классическими стали результаты исследований Э. Хилле, Р. Филлипса, К. Иосиды, Т. Като в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения первого порядка с неограниченным оператором в банаховом пространстве.

Задачу Коши для операторов более широкого класса изучили С. Агмон и Л. Ниренберг. Ими же были получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Власов В.В. рассмотрел корректную разрешимость начально-краевых задач на полуоси для некоторых классов функционально--дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя интегро-дифференциальные, а также дифференциально-разностные уравнения с операторными коэффициентами.

Наиболее близкими к предмету настоящего исследования являются работы Р.Г. Алиева по изучению операторно-дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве вида

Ди(0-2к -Л(')) = А0

Исследования Р.Г. Алиева были продолжены в работах его учеников: С.М.Алейдарова, Асила Мустафы, Чана Рортха, Омара Халеда, Х.И.Дыдымовой, И.С.Эмировой, Мердановой Н.Ш. и др.

В данной диссертации продолжаются исследования, начатые Р.Г. Алиевым на случай уравнения второго порядка

с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

В частности, получены условия на ДД^АДО и на резольвенту

где - гильбертово пространство, которому принадлежат область

определения операторных коэффициентов А^ и

Цель работы. Целью работы является выяснение условий, при которых решения ФДУ второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве убывают быстрее экспоненты, а также обращаются в нуль, начиная с некоторых значений С>Т.

Методы исследования. В представляемой работе применялись: методы интегральных преобразований Фурье, методы функционального анализа.

Научная новизна. Выяснены условия на резольвентные операторы, отклонения аргумента, коэффициенты и на правую часть уравнения, при которых его решение убывает быстрее экспоненты. Получены интегральные оценки решений, условия обращения в нуль решений на полуоси

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты дополняют теорию абстрактных ФДУ первого и второго

д>(0 ■- ± + 4(0К*м<>АМ0 = до

уравнения из обладает свойством

которых любое решение

к>(')||><«>,

порядков и могут быть применены в тех областях, в которых возникают эти уравнения. Актуально их применение в теории уравнений в частных производных, а также при чтении спецкурса для студентов математических факультетов университетов.

Апробация работы. Результаты данной работы доложены на Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 23-25 сентября 1997 года), на весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» (Воронеж, 3-9 мая 1999г.), на VII и X Международных конференциях «Математика. Экономика. Образование» (Ростов-на-Дону, 26 мая-1июня 1999г., 27 мая-2 июня 2002г.), на семинарах кафедры математического анализа ДГУ (1996-2003 гг.), на годичных конференциях профессорско-преподавательского состава ДГУ (1996-2003гг.), на I Международной научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения»(Махачкала, 22-26 сентября 2003г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 86 страницах машинописного текста и состоит из введения, 2 глав, которые разделены на 7 параграфов и списка литературы, включающего 47 наименований.

Содержание диссертации В настоящей работе исследованы вопросы быстро убывающих решений уравнения второго порядка

ачо-ееК=до

с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, которые принадлежат пространству Ь2 вместе со своей первой производной.

Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, обосновывается актуальность и перспективность тематики, приводятся некоторые результаты диссертации.

В диссертации использованы следующие обозначения:

Х,У — гильбертовы пространства, X а ^ ||м|гдля V« е X

ы(/) - абстрактная функция действительного аргумента ? со значениями в

X.

гг.а

"л?

X*"" — пополнение множества

функций м(0, м(0 = 0, / < /0, с

компактными носителями в и со значениями в X, имеющих почти всюду сильно непрерывные вторые производные по

норме

И0| = /ехр(2^)ЦМ(01;+йог,+II»'

—пополнение множества сильно непрерывных функций

u{t),u{t) = 0,t <tü, с компактными в R'* носителями и со значениями в У по норме

|и(0|= Jexp(2crf)|w(0||Vi

v. J

L2(R'° ,Х) —пополнение множества сильно непрерывных функций с

компактными в носителями и со значениями в X по норме

И01=(ТИ0||>1Х

V 'о

С - плоскость комплексного переменного.

С<Г (G) — множество бесконечно дифференцируемых на открытом

множестве G функций с компактными в G носителями.

Ь2 (/) - • пространство суммируемых с квадратом на множестве I CZ R

скалярных функций. Ха^ (ß) —характеристическая функция оператора А Она вводится для

вполне непрерывных операторов и по заданному £ определяется из неравенства.

\\Аи\\г < 4и\\х + хА (4\и\\г ,\/е> 0, VueXcY.

Будем рассматривать оператор

и его частный случаи

Последнее условие на и h^ позволяет применение полученных

результатов для уравнений с отклоняющимся аргументом к обыкновенным уравнениям без отклонения аргумента.

Для фиксированных значений t определим оператор

называемый резольвентой оператора Lpo. Для оператора резольвентой будет

Под решением уравнения Lp<u(t) = f(t) понимается функция u(t),

имеющая сильно абсолютно непрерывную вторую производную в Y и удовлетворяющая этому уравнению почти всюду.

Постановка задачи. Требуется выяснение условий на A (t),h (t)

I т

-1

и на резольвенту Аг£ехрС-гЛА^) , на правую часть

уравнения при которых любое решение I //г((^0,оо)3Х) дает свойством

или обращается в нуль на полуоси ^ > Т > 0.

Основные результаты работы.

В первой главе, состоящей из 3 параграфов, рассматривается начальная задача для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами

-z^bgik =М (1)

с начальными условиями

Первая глава посвящена выяснениям условий на переменные операторные коэффициенты на отклонения аргумента на резольвентный

оператор Rp(A) и на правую часть fit) уравнения (1), обеспечивающие

принадлежность решения u(t) пространству -^if , если только

u(t), u'(t) € L2(R,Х). Эти условия обеспечивают также существование единственного решения задачи (1), (2) в случае

то есть в случае уравнения

В параграфах 1.1 и 1.2 главы I получены условия, при которых любое решение u(t) задачи (1), (2), обладающее свойством

имеет вторую производную принадлежащее

этому же пространству а также показано, как свести начальную

задачу к задаче с однородными условиями.

В параграфе 1.3 рассматривается начальная задача (1)-(2) и выясняются условия на операторные коэффициенты на

отклонения аргумента h^(t) и на резольвентный опер аДД/р)п р и которых любое решение u{t) начальной задачи (1),(2), обладающее

свойством: !/(/), м'(/) е X) обладает и свойством м(?) 6 X^. Из

доказанных теорем видно, что это зависит от скорости убывания А^ (?) и

/г^ (?). В этом параграфе доказаны следующие

Теорема1.3.1.

Если А^ '. У —> У замкнутые, j = 0,1,...,Ш; А^ '. X—вполне непрерывные, ] = \,...,М; =£? ? —» оо, ОТ > 0,

] — 0,...,т, к = 0,1; резольвента К- регулярна,

\\КЛЧг=° T7F .

vH ; К*

П' (О

sup J < go, где a;.(?) < г- < 1, ?0 < ? < CO,

то'лЮбое решение U\t) задачи(1), (2), обладающее свойством

м(?), m'(?)gZ,2(.R'0 принадЛежитпро'странствуХ ,

Как видно из условий теоремы скорость убывания решения u(t) начальной задачи связана со скоростью убывания переменных составляющих операторных коэффициентов уравнения (1) при t со. Заметим, что при рассмотрении начальной задачи предполагается выполненным естественное условие: , то есть уравнение

должно быть уравнением с запаздывающим аргументом.

Теорема 1.3.2.

Если A^'.Y —>Y замкнутые, j = 0,1,...,ГП;А^ '.X—>Y вполне непрерывные, j — ],..., т; существуют пределы lim А^ (?) = 0 в сильном смысле, lim^(0 = O,/?;(/)<r<l,/o <t <<X>J- 0,1,2,..., т; k = 0,1,

I—»CO

h — max{/2^|< cOj резольвента Rp(X) регулярна,

OSiSl liJSm

f ^ 1

viiy

, |Л| —> oo, 1тЯ<а

ЛО^г:,

к:

то любое решение задачи (I), (2), обладающее свойством

И (У), и'(?) е принадлежит пространству X .

я*

Таким образом, получены условия на резольвентный оператор Яр (Я), на переменные составляющие операторных коэффициентов Д^(?)и отклонений аргументов Ль(?), при которых решение и(0 уравнения (1), принадлежащие вместе со своей производной и'(?) убывает как

ехр(-а?).

Во второй главе, состоящей из 4 параграфов, рассматриваются вопросы существования решений убывающих быстрее экспоненты и исчезающих на полуоси ? > Т, Т < со.

Выяснены условия на резольвентный оператор

( 1т V'

на операторные коэффициенты

V к=0]=0 )

А^ (?), на (?), достаточные для существования таких решений. Речь идет о решениях уравнения

Параграф 2.1 носит вспомогательный характер и посвящен преобразованию уравнения к виду удобному для преобразования Фурье. Доказаны следующие Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия:

а) A^'.Y —>Y замкнутые, j = ОД,...,т; Ац'.Х —>У вполне непрерывные, j = 1,..., ГП ;

Vд > 0 1А^(/)[|г =0 (e-a), t —»сю, у = 0,...,m,k = 0,1,

б) резольвента Rp (Я) регулярна в полуплоскости 1ш Л> 0,

в) f(t)e С) v<5>0'

2)h'^t)<r<\, t0<t< оо,

+00

J e2*\hk](t\ VS>0,k = 0Xj = l,...,m;

<0

д) u(t)-решение уравнения (I), u(t), U '(t) 6 L2 ((/,, оо), X),

t2 =min

it.min^o -hkj)

Hj<m

У 0<k<l

; tj = mininf%(t)=t-hkJ-hhJ(t).

li-j-im CKkil

Тогда ] ~ + ^

'о 'о ар

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия:

а) А^ : У У замкнутые, ] — 0,1,..., т;

А^ '. X У вполне непрерывные /=1

= 0 (е"Л)' ' -> V*? > 0, ; = 0,...,т; к = 0,1;

б) резольвента Яр (Я) регулярна в полуплоскости 1т Л > 0,

f , N

vHf,

|A| —> oo в любой полосе 0 < ImA < г < oo, /¡^(^iasc^^^j'^^jj, а>0,а>1, С — Const;

е) f(t)eY^ VJ>0; Z)h'^t)<r<\,t0<t<coi

f e^M'J V<5>0,k = 0,1,j = 1,...,/и.

'о

<3j «(/)-решение уравнения (1), u(t), U'(?) e V {R,X\

Тогда ||M(i1 = 0(e-"' ), t oo, - + - = 1.

a p

В параграфе 2.3. получены условия, при которых решения из некоторых классов обращаются в нуль с некоторых значений f >Г = const. Доказаны следующие

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия:

а) Ab : Y —> Y замкнутые, j — ОД,..., т;

АЬ\Х -+Y вполне непрерывные j —

=0 (е *), *->«, VS>0, у = 0,1,...,«а = 0,1;

б)резольвента Rp (Я) регулярна в полуплоскости 1тЯ > О,

=0{eTW\ 71 > О, |Я| —>оо; \)рр(Л}\х<М, 1тЛ = 0;

в) ЛО-0;

Z)h^(t)<r<\,t0<t<cot +00

J e2%Щ V<J>0,k = ОД,у = l,...,m;

'o

d) u(t)-решение уравнения (1), ||м

Тогда u(t)^ 0 для t >Т.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия:

а) A^'.Y —>Y замкнутые, j — 0,1,...,ТП;

А^ '.X —>У вполне непрерывные, J = \,...,ТП;

IK(01 =0 (е-*), t^ao,VS> 0, j = 0,1,...,m; к = 0,1.

б) резольвента Rp (Л.) регулярна в полуплоскости Im А > О,

'о

ЧГ I/

2

чг I У

W

Щ

—> со

в любой полосе 0 < 1тХ < Г < оо, ЩлЩЦс/Жсо,-

ЪпЛвг в)

г)Щ(!)<Г<\,1й<1<Ю,

+00

решение уравнения (1), Тогда, «(?) = 0 ири t>T,УT> 0.

В параграфе 2.4 приводятся примеры уравнений в частных производных иллюстрации абстрактной теории как уравнений с неограниченными коэф фициентами.

Перечень публикаций автора по теме диссертации.

1. Атагишиева Г.С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве. Четвертая Северо-кавказская региональная конференция, 1997 г. Тезисы докладов, с. 16.

2. Атагишиева Г.С. О поведении резольвенты параболического оператора. //Межвузовский научно-тематический сборник «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» Выпуск 3,1997 г., с.34.

3. Атагишиева Г.С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала:Изд-во ДГУ. Вып.1, 1998, с. 102.

4. Атагишиева Г.С. О существовании быстро убывающих решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. «Понтрягинские чтения - X», Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы в теории краевых задач», 1999г.Тезисы докладов, с.20.

5. Атагишиева Г.С. О существовании решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве, исчезающих на полуоси. VII Международная конференция «Математика. Экономика. Экология. Образование». Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», 1999г. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону,с. 11.

6. Атагишиева Г.С. К вопросу о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений, убывающих быстрее экспоненты. // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: Изд-во ДГУ.Вып.1, 1999,с.44.

7. Атагишиева Г.С. Об одной априорной оценке решения функционально-дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.» II Международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения» , 2002 г. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, с.61.

. 3 9 2а

Формат 60x84.1/16. Печать ризографная. Бумага №1. Гарнитура Тайме Ус.п.л. - 1 изд.п.л. - Заказ № 063-05 Тираж - 100 экз. Отпечатано в ООО «Деловой мир» Махачкала, ул. Коркмасова,35

Введение

Основные обозначения и определения.

ГЛАВА I. Об экспоненциально убывающих решениях

1.1. Вспомогательные леммы.

1.2. Сведение начальной задачи к задаче с однородными начальными условиями.

1.3. О решениях, убывающих экспоненциально вместе со своими производными до второго порядка

ГЛАВА II. О решениях, убывающих быстрее экспоненты

2.1. Преобразование уравнения.

2.2. О росте решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

2.3. О существовании решений, исчезающих на полуоси

2.4. Примеры иллюстрации абстрактной теории.

Впервые дифференциально-разностное уравнение вида у'(х) = у(х-1) было рассмотрено Кондорсе в 1771 году в связи с геометрической задачей Эйлера о нахождении линии, подобной своей эволюте. Далее никто не рассматривал уравнения такого типа, не были сформулированы теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки задачи. Это впервые сделал А.Д. Мышкис в своей диссертации «Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом» (1949-1950).

Начальным этапом было изучение скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Ими занимались А.Д. Мышкис [33], С.Б. Норкин [34], Л.Э. Эльсгольц [44], Э. Пинни [36], Р. Беллман, К. Кук [16], Н. В. Азбелев [2] , А. М. Зверкин, Г. А. Каменский, В. Хан и другие. При исследовании дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием, в основном, применялось преобразование Лапласа и метод шагов.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах. В числе книг, где с единой позиции трактовались многочисленные вопросы современной теории функционально-дифференциальных уравнений, можно назвать монографию Дж. Хейла [38]. Исследованиями дифференциально-разностных и функционально-дифференциальных уравнений путем изучения обратимости соответствующих операторов занимался Курбатов В.Г. [29]. Классическими стали результаты исследований Э. Хилле, Р. Филлипса [39], К. Иосиды [22], Т. Като [23] в этом направлении, которыми были получены первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения вида первого порядка с неограниченным оператором в банаховом пространстве, сформулированные в терминах полугрупп операторов.

Следующим шагом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стала работа Т. Като [24], в которой получена теорема существования решения задачи для уравнения вида х'(/) = А(0х(0 с переменным неограниченным оператором А(().

Задачу Коши для операторов более широкого класса изучили С.Агмон и Л. Ниренберг [1]. Ими же были получены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста. Такие же результаты были получены А. Пази [35] для уравнения, коэффициенты которого отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Власов В.В. [17,18] рассмотрел корректную разрешимость начально-краевых задач на полуоси для некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, включающих в себя интегро-дифференциальные, а также дифференциально-разностные уравнения с операторными коэффициентами.

Дальнейшим шагом было изучение Р.Г. Алиевым в работах [3-7] абстрактных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами вида т

А <0 - £ л «)и(г - к, (0) = ДО (1) у-о в гильбертовом пространстве, которые являются обобщением уже изученных уравнений с отклоняющимся аргументом. Были рассмотрены вопросы существования, единственности решения уравнения (1), устойчивость и асимптотическое поведение решений при ^ —> °о.

Р. Чаном [40-42] было рассмотрено уравнение произвольного порядка вида л-1 гп Г "I

А"«(0 - ЕЕ к + 4 (Ф>е - К - К (')) = ДО. (2) в случае постоянных Ак. и малых в некотором смысле Ак.(1). Им были получены необходимые и достаточные условия существования единственного решения уравнения (2) в случае, когда ДДО = = 0, к > 0, у > 0. В случае маловозмущенного уравнения вида (2) получены достаточные условия однозначной разрешимости. Эти вопросы исследованы как в случае всей оси / е Я, так и полуоси / > /0 > —со, то есть в случае начальной задачи. Исследована также нормальная разрешимость уравнения (2) в случае всей оси

Я.

В работах Эмировой И.С. [45-47] рассмотрен вопрос о разрешимости уравнения

-1 т

АЧ0-Е1Л.(ОА'иС -\(0) = ДО (3) к=О у=0 с произвольными операторными коэффициентами ДДО и произвольными отклонениями аргумента кк. на полуоси t >t0> —со. При этом предполагается для ( решение заданным

Ч0 = + = к = 0,.,п-\. (4)

Доказана непрерывная обратимость оператора, порождаемого задачей (3), (4) в некоторых пространствах, а также получена оценка для ее решения.

Дыдымова Х.И. [19] - [21] рассмотрела вопрос о разрешимости уравнения

1 т к=О у=0 на полуоси í >t0 > —оо. Доказаны теоремы существования, единственности и асимптотическая устойчивость решения данного уравнения. Также рассмотрен вопрос разрешимости функционально-дифференциального уравнения с линейным отклонением аргумента на полуоси.

Вопросу существования решений, убывающих быстрее экспоненты уравнения

1 du . , ч

- — -Аи( 0 = 0, (5) i at посвящена работа Р.Г.Алиева [3]. Доказанные в этой работе теоремы могут быть истолкованы как результаты, аналогичные классической теореме Фрагмена-Линделефа, которая для гармонической в полуполосе 0 < х < 1, t > 0 функции и{рс, t), удовлетворяющей граничным условиям u(0,t) = м(1,/) = 0, утверждает, что если она ограничена в данной полуполосе, то она убывает экспоненциально (по t).

П.Д. Лаке [30] распространил эту теорему на решения эллиптического уравнения, коэффициенты которого не зависят от t, вследствие чего пространство решений этого уравнения становится инвариантным относительно сдвига по t. Лаке доказал, что если S - инвариантное относительно сдвига внутренне компактное пространство, то существует такое положительное число а, что для всех u(t) gS u(t)\Pdt < оо, ]||«(0|Г e"dt <oo. о 0

Из результатов работы Агмона и Ниренберга [1] следует, что если резольвентный оператор Rx = (ЛЕ - А)~х регулярен в верхней полуплоскости Im X > 0 ив любой полосе 0<1т/1<я<оо норма Rx в X удовлетворяет условию ||/2я|| = 0(1) при |Я| —>00, то всякое решение u(t) уравнения (5) с

0||ге 4(0,оо) удовлетворяет оценке \\u(t)\\x < сQxp(-at) для />0, с = const.

В работе Алиева Р.Г.[3] получены условия на , при которых имеет место оценка вида

ЩОЦ* < сехр(-Шр) , а > О, /? > 1.

В данной диссертации продолжаются исследования, начатые Р.Г. Алиевым на случай уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве.

В частности, получены условия на Ак.(^),НкХ/) и на резольвенту то есть убывает быстрее экспоненты.

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. В первой главе рассматривается начальная задача для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами

1. Agmort S. , Nirenberg L. Properties of solutions of Ordinary Differential Equation in Banach Space // Communs Pure and Appl. Math.l6.№2, 1963, p. 121-239.

2. Азбелев H. В. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Алиев Р.Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты. // Вестник Московского университета, №5, 1974, с.3-7.

4. Алиев Р. Г. О разрешимости уравнения с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // ДАН СССР.Т.274, №6,1979,с. 1289-1291.

5. Алиев Р. Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве // Известия вузов, Т.№12, 1981,с. 4-7.

6. Алиев Р. Г. К вопросу о необходимости и достаточности условий однозначной разрешимости уравнений с отклоняющимся аргументом и неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. Т. 267,№1, 1982,с. 11-14.

7. Алиев Р. Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами. Махачкала: Изд-во Даггосуниверситета, 1990.

8. Антонович А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения ,1984.

9. Атагишиева Г.С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовомпространстве. Четвертая Северо-кавказская региональная конференция, 1997 г. Тезисы докладов, с. 16.

10. Атагишиева Г.С. О поведении резольвенты параболического оператора. Межвузовский научно-тематический сборник «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» . Выпуск 3,1997 г., с.34.

11. Атагишиева Г.С. О дифференциальных уравнениях второго порядка с быстро убывающими коэффициентами в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ-98, Вып.1, с. 102.

12. Атагишиева Г.С. К вопросу о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений, убывающих быстрее экспоненты. // Вестник ДГУ 99. Вып.1, с.44.

13. Беллман Р., Кук К. Дифференциально- разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

14. Власов В. В. О поведении решений одного класса функционально- дифференциальных уравнений на полуоси и некоторых спектральных вопросах // Известия вузов. Т.№ 12, 1992,с. 11-20.

15. Власов В. В. Разрешимость одного класса функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Материалы Третьей Северо-Кавказской региональной конференции. Махачкала, 1991,с. 42.

16. Дыдымова Х.И. О некоторых оценках решений начальной задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. Сб. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1997, с.108-113.

17. ИосидаК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

18. Kato Т. On linear differential equations in Banach Space // Comm. on Pure and Appl. Math. V. 9,1956, p.479-486.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

20. Князев П.Н. Функциональный анализ, Минск, «Вышейшая школа», 1985.

21. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

22. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

23. Кузин С.Ю. О поведении решения первой краевой задачи для параболического уравнения с сингулярными коэффициентами при больших значениях времени. // Вестник МГУ Сер.1, Математика. Механика, 1996, №3

24. Курбатов В. Р. Линейные дифференциально- разностные уравнения. Воронеж . Издательство ВГУ, 1990.

25. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

26. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. М.-Л, 1971.

27. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

28. Pazy A. Asumptotic expansions of the solutions of ordinary differential équation in Hilbert Space // Arch. Rat. Mech. and Anal., 24.3,1967, p. 193-218.

29. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально- разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.

30. ТитчмаршЕ. Теория функций.М.-Л.,Гостехиздат.,1951.ЪЪ.ХейлДж. Теория функционально- дифференциальных уравненийМ.:Мир, ИЛ, 1984.

31. Хилле, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.:ИЛ, 1962.

32. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс.-М.: Физматгиз, 1960.

33. Элъсголъц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

34. Эмирова И. С. О разрешимости функционально-дифференционального уравнения п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Сборник. Труды молодых ученых, Махачкала, 1996, с. 55-57.

35. Эмирова И. С. О разрешимости функционально-дифференционального уравнения п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Межвузовский научно- тематический сборник, Махачкала, 1997, с. 227-241.

36. Эмирова И. С. Оценка характеристического показателя решения функционально- дифференционального уравнения п-го порядка с операторными коэффициентами // Материалы Четвертой СевероКавказской региональной конференции , Махачкала, 1997, с. 104105.