Геометрические аспекты теории нелинейных дифференциальных уравнений: особенности, характеристические классы и нормальные формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 514.763.8Г> -

I

ЛЫЧАЭДН Валентин Васильевич

ГЕОМЕТРИЧЕСШ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: ОСОБЕННОСТИ, МРАКТЕРИСТЙЧЕСКИЕ КЛАССЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРШ

01.01.04 - геометрия и топология

АВ ТО РЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск -

Работа выполнена на кафедре прикладной математики а вычислительной техники Всесоюзного заочного инженерно-строительного института.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В»£рушин; доктор физико-математических наук, профессор А.П.Шроков доктор физико-математических наук, профессор В.И.Кузьманов

Ведущее предприятие: Математический институт АН СССР

им, В.А.Стеклова

Защита оостоатся " . "__,1989т» в чао.

на заседании Специализированного совета Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Института математики СО АН СССР по адресу: 630090, г.Новосибирск 90, Университетский проспект,4®

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института матештики СО АН СССР, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан " " 1989г.

Ученый секретарь . специализированного совета д.ф.-м.н. Я^му

В.СоБедоносов

I.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш я ев соотоякие.

В настоящее время дифференциальйо-гвометричесгае я топологические метода играют вое более вавну» роль в исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями.Особенно это касается нелинейных систем.

Фактически дифференциально-геометрический подход возник однс зреыенно о дифференциальными уравнениями в частных производных» Так Л«Эйлер интегрировал "уравнение Эйлера", с современной точки зрения, - методом нахождения первых интегралов- соответствующей системы Щаффа» Систематически этот подход начал попользовать Софуо Ли, а последовавшие затем работы В.Картана, Эресмана, Спенсера и др, позволили, о одной стороны, использовать дифферен-циалько-геометричеекий подход в наибольшей общности, а с другой-использовать результаты и нетоды дифференциальных уравнений в, дифференциальной геометрии.

Основная идея этого подхода состоит в интерпретации системы дифференциальных уравнемШ. как подмногообразия в пространстве струй фиксированного порядка» а его решений - как4 интегральных многообразий фиксированной размерности некоторого универсального распределения (распределения Кэртана) на пространстве струй.

Наиболее выпукло этот подход проявляется в теории скалярных диф-

» -

ферепииальных уравнений первого порядка (особенно, - в теории уравнений Гамильтона-Якоби)* V

Решения и особенности. Хорошо известно, что решения нелинейных дифференциальных уравнений, даже при гладких однозначных начальных условиях, о течением времени становятся многозначными» Так, например, появление каустик в теории Гамильтона- Якоби -

следствие этого факта, с точки 'зрехш геометрической теории дзф-фбренцпаяьаю: уравнений, это обуплсалзно явы, что у соответствующего интегрального кногообразия, ьредогввлявдзго решение, иекмс-ся особенности проегавш на конфзгураодоизоа пространство.

Изучение таких особенностей в расслоениях I - струй функций пссвяц-зна созданная. В»Н.Драогьдог4 теория дачроагкзш: я лексан-дровых особенностей«'*"^

Изучение особенностей проекций интегральные маогоообразяй актуально.как с чисто теоретической» так и с прикладной точки зрения. Достаточно.указать,что такие явления как ударные волны, каустики, градиентные катастрофы, а такЕе особенности лагранке» вых и леаанцрОЕШ: многообразий, ветвления решений нелинейных диф~. ференияальных уравнений и др< связаны с такого рода особенностями.

Условно, ч?г' интегральное многообразие распределения Картана " реализует решение данной састеш ва$фер«.лиалышх уравнений, нею-ладавает ограничения на характер особенностей» Так, например,осо» бе ности типа ¿Ц «е могут ргализовываться ш решениях эллиптических систем д.у.', а особенности типа ¿-2. - ветвления могут. Обще условия, гарантирующие отсутствие особенностей Тома-Боард-ыана типа у решений данной системы дифференциальных урав-

нений, могут бить сформулированы в терминах комплексного лсракте» ристического многообразия

с?] .

Для 2!>1 -особенностей решений'квазилинейных скалярных да. дифференциальных уравнений, А.П.Йрищенко®^ показал, что аналогично особенностям решений линейных уравнений,~ги особенности Ге)Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусьйн-Заде С.М.Особенности диффе~ ренцируемых отображений, I.,М.;Наука,1982* .

хх^Крищенко А.П. О строении особенностей решений квазилинейных Уравнений. -УШ, 1976,ШЗ,219-220. . .. . .

■■ 2 ' -

ог

"распространяются вдоль бахаракторпогак". Изолецсг:шие особенностей и операторов переноса на них, в общей сятуошя, начато з ÎG.ïh

Интегральные ь&огообракш, с акз;:дгл»ес:ссй точки зро-.1шя, можно рассматривать кг» пюгозаачниз решвшот двффзреикяа-льшх урпзнбшШ» Оцпеко со шогях задачах, во сглсяу входдзих веяячая, регзяие колото <№& ОЕПэзяачшал» .В лжзйнси ояучае, пользуясь прш?1глко?.: супсряозлцзя, могло связать с лнтетральнш многообразней обобщенную Оупяцшо Г31 , подобно "кслсшпаско-глу оператору" Иасловз з ccsKEffOTiwecnoa теория д^ффэрояц.таль'- . eux уравизгШг'*» В аолявййоа одетао, кссйходзмо разрезать интегральное гзогосбрание пй взякт ir «лета«»«* аз шс одногнп"-ше рввюшь Возншагоко дрп этом раергнпчэ 'регошя чребузт цополи:;твлького анализа» Прзздз всего это касается; правила es-бхфн estecS tt <лх стакопк?. Последняя задана рапаетсл. трзСоваи:'« Cî Г:*полнск!!я усяо^лЗ иогок:тс--?2!::::н:а (по закону со: ~

ранс-гпя) п враглл "акеззлг'з С151 р Чгг; ггс^стея дервo:i за г;**4 «гт» ~ отбора зотгзй» - то тололсгд!'ес.кяц; характер«

5'сло-гтл еок:о~!.'ост:: osiepa ^зтзей, талгз *caic :: услсегл, позвал,"— ш?то огягата о- ептегрзгьгйм «язсзгСразсзя обоЗяэгвдэ ^ужагкг» состоят в 'гркйпал.пеот7* ллракхсртетл'гескэго пяесоз0 Этот i::.aoa является ойобцеяшл па ojt/чхй. г^еззвозыиве пространств orps'fi гарпктертстичеокого класса »ьохова^Араольда« Полное овговаке когшояогий лагрзнкового хрзесштэва .п ооотвзтеягуэще^ oïoï.^ тсорил высках классов ' Шолога-Арнольгш дано Д0Б»$укооьг^0 '

Соотаетсявущоя задача для произвольных пространств струй решзаа в ÎV.h Высшие илзеен Вэслова-Лркояьаа к .^пользуются з Мэолов В.П.Теория возмущений и асимптотические мгтодн.М.

«F65* '

,гй'Фуко Д„Б» 0 характеристических классах 1йюлова®Аркодьца -ДАН СССР, 1968,178,№3,30-3-306»

3 . '■ -

теории яагранкевых в лежандровшс кобордизмов. Соответствующие классы в произвольных пространствах струй - в теория интегральных кобордизмов, одним из приложений которой является теория граничных задач Кош о особенностями.

уравнения. Действенность дяффвревциально^геометрическо-го подхода особенно четко проявляется в исследовании дифференциальных уравнений первого порядка, где воподь&ованзе сампяек? тичеокой и контактной геометрии, а .такао теории лагранеевше и дежандровых многообразий, позволяет получать практически всю информации о решении»

Следующим по важности классом дифференциальных уравнений является класс уравнений взорого порядка« и особенно уравнений Шнжа-Ашера. Црячзва шдздвнш! уравнений Моыаа-йгпзра, с геометрической токи ареная» 'такова. Скалярное дифференциальное уравнение второго порядка» зто вораогоофазяе в цроотрааотвв 2 » страй оечзаяй яряваального сзаейного раездовная

И над гдадкжд гаагообраазез й , Срз'сбразоваззя Ш т.е, преобрагоаекаа, .cospassraa распоо.дйдепяв Картона, в салу тоореш JK-Бэкяувда, ядазтоя поднатаяш келгакстак дя$феокор~

, котораз, в сасэ очародь, пндугарув* дро«во-ланейаав преобразования сдозв рзссадвзая 5 (в)

Том саьэм, лрз выаелааии того ада Ёаого класса ура*всанй второго порядка, аеобходаш увдтават* рго ззш>ариантнощ-ь отеоск-тельно группы контакт®« цреоСразовагвдЗ» С этой точки зрения, естественным классом» аашкаадм класс квазилинейных дифферен-шадьных уравнений второго порядка, является клаос уравнений Шика-Ампера. Этот же класс, который имеет важное прикладное значение, допускает простое геометрическое описание в терминах дифференциальных форм на . Соответствие между дифферен-

циальными операторами и дифференциальными формами позволяет более непосредственно использовать геометрию и анализ на 'J №)

v. ;/о ::¡ cpc: »."-.trep^ „ O'jcísü^j •: " ■■ ■

1; .г п.: ^лг/\ Ü . г:;-- ука'г u.^o- , ,

í; сгтгозгорг.'.:;!, д:ос :

ПОЛ7.0". гаг'^-г?::::-- у o?:i:i~ax етглза ..:-;:•■':>" i'

: г. ,; /; ^ 'j р 'i ■

•:.■■;?;)::-ir.c::"''; тосг,естеотгеь.о .. -

í: :л Зс^'н: i/j^iüm, уотоузя суть г; о

' У.'1-. I'C'.'Tiüj" . '..К:.'

' \

rj:. -re.:," грдлг;:; ■>'-,

За!:з.Мл;:н BJL О даграр-^внх: - Окк:ьанализäГЭ?3,10,.'":1ч2&-2Ô

ле":эн7р">з!!х сос^инозт»::,»

Для интегральных многообразий, лежащих в пространствах 1-струй сечений векторных расслоений, размерности > 2, уме для-~ особенностей появляются модули, о для Ед,-особенностей, за исключением особо выделенных случаев, - функциональные модули с?] .

Классификация общих скалярных дифференциальных уравнений-относительно контактной груош, в салу теореш /й-Боклунда,бессодержательна для уравнений порядка . Классификация уравнений первого порядка в кеоообой точке дана Софусом Ли, для особах точек зто сделано в СЫЗ , Дри классификации дифференцяаяь-ных уравнений второго порядка необходимо'. дополнительное ограниченно на тип нелинейности по старшим производным. Для дифферен-•циольных уравнений типа Монка-Адшэра, заданных на 2-мерных ; но-гообразйях, задача классификации© относительно контактной группы била поставлена Софусом Ли в 1874 году, тогда гЛ им били сформулированы теореш о приведении уравнений Монжа-Ампера и квази-

г'

линейному и линейному вивдку. , .

Задача о классификации особых точчк дифференциальных уравнений первого порядка, в частности, задача о классификации особых точек алгебр Ли векторных полей, возникает в различны разделах геометрии, анализа и приложений. Первые результаты о классификации действия групп Ли в окрестности неподвижной то™и быт. получены Э.Картаном, который пока-ал, что действие компактной группу Ли в окрестности неподвижной точки эквива-^нтно линейно-, ад. Для алгебр Ли Р.Г^рман49^ показал, что полупростая алгебра Ли формала.них векторных полей в "собой .точке формально эквивалентна линейной, а затем А.Г.Куэниренко, В.1Мемин, Щ.Стернберг "''Едойи •!'. Быспая геометрия.?,!.: Г0НТИЛ93Э.

И«.*-»»»*« Ц, Тйе £огта£ ¿¿««ьи'гя^Оп Оф -¿¿С

перенесли этот результат яа аналитический Случай^. Применение спектральных последовательностей для построения решений д дифференциальных уравнений с заданным типом особенностей í^l к гомологическому уравнению, возникающему в данной запча, позволило дать полный ответ в форма ль н&м случае, á для. некоторых представления алгебр Ли ~ к л С «случае ¡J'ú .Отметим, что впервые спектральные последовательности при исследовании на разрешимость гомологического уравнения в задаче классификации выроненных особых точек фушший были использованы В.И.Арнольдом

'Цель работы ~ исследование нелинейных дифференциальных 'уравнений и особенностей их решений с геометрической точки эре~ ния, вопросы классификации.

Соответственно этому диссертацию мокпо разбить на две части. В главах 1,2 ■пссденуются. общие вопроси геометрии"дифференциальных урапнепнй и их решений. Задачи рассматриваемые здесь - это особенности интегральных многообразий, реализующих -решения нелинейных дифференциальных уравнений, и возникающие з этой' связи вопросы алгебра, геометрии и топологии»

В главах 3,4 рассматриваются вопросы классификации ляф^е-роипинльных уравнений и -особенностей их решений.

''^Кушниренко Л.Г., Аналитическое'действие полупростой группы

Ли й окрестности неподвижной точки эквивалентно липоШюну.

- суики. аппл;73,1967,1.Ы03-Т04.- , ,,

Л . Vít-a»^ÍÍ-S. ¡ic^^íss s» а. paw-г Ц /и««««.. и'м" К«.«1. $сс- lis), цо-a i

^Арнольд В,И. Спектральные поолецоватслыюстп для гфилсаския 'функций к нормальным формам. ~ В сб.: "Задачи механики и математической физики, - 1,5.: Наука, 1976,7-20.

лад,) тсир:;к пг.и^лу^слл;;::;; .

Лгсбри, адгх«ллил;;; и ю^олл , Нсщ ура^ьекп-,,

Слл^лсс рст.л.лл'ш илсосртслл:; пов^« Ь гагка И нзучо.гл'ол стру^турь* ыЗосш/^.-а«.-:«» с шгесхрэль» ииш кгюгообразкй^й расьрсда;;иь;гя Гл-лс-;;?-. ол г/вдастся сгяз! интегральных кногоооразяй ( в лкис^ло.я о обо0г;8вшка

фуикакшш.

Для исследования граосйкжн..:; ;ш?&тчйдышх плоскостей ~ • гроосг,янгшна иоу^остракетв, кг-шташг--'. « ь'отиграаьшиз того* обрэгиям, определяйте^ «е?ао;«~алекхичсская структура па 'раовро-цзленли вэргсг», сбоб^-азгиа ой^ясктичвовз,'» структуру. Нзучяат*-дяуслохьШ пр;,:.,. „ л.Е -исмОО;:;:оотай, и доказывается, .что эта уоловйл ыигыл о огрукеурсш ь нормальном

расслоении особешос-гл., Шкауапо, что в случае обзжо йо^ог.ешя, атиотруктурн явшзхся ^рдгаозиш, а для -особекносто5 на 1:ри;ч:щса:ги?п; гс- '¿-; , ¿И > , гак називае.ллл п^чмягчгакда особенностям, •- КЯИфХСОДОЕиЛд,

. Еачвояевы когокологяа грассглаалаиа яптсгральках плоскостей (до размерности м. ). Эю обобщает на случай цроязвольвил. прост« ракст'г струй результаты л.Бореля к Д.Б.Фуксз.

Для грасклашана интегральных плоскостей, касающихся- заданной сястеш иифферевцйальюпе уравнений, получена теорема, яБлхшцаяся топологическим аналогом теореш -Картана-Кураниаи о продолжении: когомологии этого гпассманиана для достаточное число раз продолженной системы дифференциальных уравнений, характе-р;;ст;1ческое многообразие которой не лежит ни в какой гиперплоскости, совпадают (до размерности я ) с когомологияш грассшниана • и-ах .штпральшх плоскостей. Вычислены также когомологии грассмд-. » '¡¡сп-, ассошыуорашмх с системами дифференциальных уравнений.

Й

первого порядка.

В главах Ш и 1У рассмотрены задачи классификации, возникающие в геометрической теории \дифференциальных уравнений.}! главе Ш, используя отмеченное соответствие меяду дифференциалышли формами и операторами Монаа-Ампера, проводится классификация уравнений Монжа-Ампера относительно контактной группы. Еначале ш приводим доказательства теорем Ли. Первая из них - теорема о приведении (локальном) уравнения Лонжа-Ампера на двумерно;,г многообразии к квазилинейному - доказывается в предположении

аналитичности. Вторая теорма Ли - о приведении к уравнению с пос-

п

тоянныш коэффициентами - доказана в О -случае. Здесь да указываем более общие, чем у Софуса Ли, условие' приводимости., охватывающие и эллиптический случай.

Для уравнений Монка-Ампера, заданных на многообразиях размерности приведены условия приводимости к уравнениям

с постоянными коэффициентами, а для уравнений на 3-х мерных, шо-гообразиях вычислен« нормальные формы. При этом получена классификация аффективных Э-форгл на 6-та мерном оимплектическом пространстве, обобщающая (для поля (Я ) результата В.Л.Попова и Игусы.

В главе 1У приведена классификация устойчивых «-особен» несший проекций интегральных многообразий, яекащзх в расслоениях 1 -струй сечений. Эта классификация переносит на случай рас« слоений размерности известные результата В.И.Арноллда.Исс-ле-* дование распространения-.особенностей интегральных, многообразий требует анализа построения решений уравнений с заданным тиром особенностей на подмногообразиях, естественная формулировка ко«-торого возможна лишь в терминах с <ектрадьных последовательностей. В этой главе приводится общая конструкция и описание начальных членов данной спектральной последовательности, которая затем при»

; еннется к гомологическое уравнению в задаче о классификации алгебр Ли векторных полей в окрестности особой точки. Использо- , вэние спектральных последовательностей позволяет дать решение задачи формальной классификации, начатое Р.Аормаиом, в.Гийемином и М,Стернбергом, и обобщить также результаты Э.Картана,А.Г.Кушнирен~ ко, В.Гийевдша и-Ш.^тернберга (в аналитическом и гладком случаях) на более широкий класс алгебр Ли. Более важной является задача о классификации алгебр Ли векторных полей внутри заданной псевдогруппы Ли. В главе 111 построены спектральные последовательности, описывающие формальные нормальные формы подалгебр ЛИ контактных и гакильтоновых полей в окрестностях .обшей особой точки, а при некоторых условиях на алгебру Ли указаны нормальные формы в аналитическом и С -случаях".

Приложение, работа носит теоретический характер. Ее результаты могут бить г, .подсованы в различных разделах дифференциальной геометрии, теории особенностей, ояф£ решдааяьных уравнений, механики, математической физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автороы на Всесоюзной школе "Дифферешиально-геоыитричеокие методы .. математической'физике" (Шнек, 1979), на Международной топологической конференции в Ленинграде (1982), на конференции им.И.Г.Петровского (ЗДМ983), на ко- ¿еренциях им.П,С.Александрова и^У. 1984,1^85,1986,1987гг.) на ХШ-ХУ1 Воронежских зимних матемзтичео-ких школах (1981-1984гг.) Эти результаты таюке докладывалась "на сокмнарах кафедры Высшей геометрии и топологии, и кафедры дифференциальных уравнений МГУ, а такте в циклах /шк'чй, прочитанных п ВЦ АП СССР (1984-1985), а СГГИПН (^есса, 1985). Отдельные результаты диссертации воалп в состав монография, налисанной авто-

соз-.мсстно с А.М.Ыкоградошы и И.С.Красильщиком,

''у'л-.'":',:у]п. результаты диссертации опубликованы- в работах О*

Структура диссертации. Диссертация состоит из введении, 22 параграфов, разбитых на 4 главы и списка литературы, цумзр«-ни я теорем, предложений, определений и т.п. оалная в каждой главе: первое число указывает номер параграфа, второе номер пункта. Библиография содержит 117 наименований.

П. ОБЗОР С0ДВР1ШЖ1 ДИССЕРТАЦИЙ Глава I носит подготовительный характер. Вторая глава является центральной в диссертации. Здесь исследуются основные свойства интегральных многообразий распределения Картана, представляющих обобщенные, в геометрическом смысле, решений нелинейных дифференциальных уравнений. В линейном случае указана овязь менад интегральными многообразиями и обобщенными-функциями.'

распределения Клр?ана на многообразии -струй сзче-

Ш1й векторного расслоения £(*}-> В глокно определять различными способами. Во-первых, чисто геометрически, Для этого в каждой точке ^ = -являющейся к -струей сечения $'

в точке хе й , выделим подпространство О и )

- линейную оболочку объединения касательных подпространств к образам сечений Ь "> 3 (а) , при условии, что сечения

выбраны так, чтобы

г те = хк . Полученное распределение С на г) ''Х^) - назашетед рмлре-

делени ем Картана. Отметим, что интегральные под'лиогообрапин и этого распределения имеют виц I

3 ТО" И ТОЛЬКО том случае, когда проекция ^ : (4 Ь • яьлпегач адфиз^о,-физмом. ДвоЗств&инш» образом распределение №руцн& опродолчзтиа I - форш'.;л Щ!) (-форма?,:;! Картана), оервчиьлмя -'«

Т*5- С" <*■■/ « Геометрический сг-'иол &тих-дорм тико?*« К!''"л.и.: элемент' = С^З.-е. определяем разложение каоатояиюги про-страпства н) , хк-/ = 7Л 1 , ъ пря-уь >>./<.::,/

двух подцростршют в Ь « (^(^Ю " 1 ) -пил-

II

пространства, касательного к слою естественной проекции У'Х*) е , Езли для вектора v €. (ЗЪ) через /.t FCa*.,.) обозначить проекцию образа v в et) вдоль

[(С**), то значение V(4) на векторе v по определению будет равно (£) . В специальных' сиотемах"координат

f>£ ) , где бг(£(,..-,с,) - мультииидекс, 1<П*1с ,

фарш U(() имеют олоауюший виц: Щ1)а j,^ , где

dp£ - X f\r»ij d^ , а распределения Картана - обычный вид условий интегрируемости: Wf so , / £ с s м , jCjik-i .

В случае,, когда c&W» I , к' 1 , распределение Картана определяет контактную структуру на 3 С') , В общем случае (!<• •JtVA^i^ дифференциалы форм Картана определяют метаоишлекти-ческую структуру на распределении Картана. А, именно, ограничим

на ССлк) , С (jti)-f sto ограничение тривиально, если -f является образом изС Q **■) , а поэтому операция ограничения определяет гомоморфизм

называемый метасимплектической структурой.

Если k-Awdlsl , то образ SX -одномерен, и как^-л его образующая - суть симплектическая структура на С(х,) .

Ыетасимплектйческая структура используется для описания касательных.пространств к интехральним многообразиям распределения Картана. Эти подпространства - суть изотропные подпространства метасимплектической структуры, т.е. такие подпространства в • ограничение на которые внешних 2-форм' (&) ,

tip б? $ ^¡,6 тривиально. •

Среди изотропных подпространств особенно важно выделить следующие два типа: максимально изотропные или обобщенно лагран-

каш и интегральные«

Максимально изотропные подпространства определяются пара-га вида » где х^е Л (р) - элемент» проектирующий-

ся в о^ , а К сТ^^Тж-й , фа этом самое подпространство яплл-. ется прямой сумой е<л © & ® 5 7х £> и поапространст-

ва ^О*^) с ¿(х^л, _) образованного такими векторами \/€ Ь } , проекция которых на & лежит в ЛчяИ , Привэ-денное описание показывает, что размерность максимальных изотропных подпространств, если к-Мм Л <>1 , кокет быть больше Иг с&гл В , Поэтому, имея в виду исследование касательных подпространств к интегральным многообразиям распределения Кзртана размерности п (в дальнейшем такие многообразия называются просто - интегральными), выцерм особо интегральные подпространства, понимая- под последними изотропные подпространства размерности И » Какдое интегральное подпространство определяется триадой СаЬ«>'Ц> ^в ) „ где -подпрсст-рацотБО размерное гя

е&тИ, а является прямой суммой и ¿о-

Интегральный грастаниан Тс^) - граосмаяяан интегральных подпространств - за исключением нескольких выделенных случаев, одкям из которых является лаграннсев грае опаяна н, устроен довольно любопытно,. Наиболее пеокаданным в нем является появление клеток - "шнстроая? - клеток, образованных интегралышкя ■ подцростразствекя, • не примнкаэдяка к регулярной клетке, - клет-, ке» соотоящай из интегральных плоскостей, изоморфно проектирую-вдхся на % В „ Следствием этого является, 'например, такой факт: существует интегральные многообразия-множество особых точек проекции которых на базу имеет внутренние точки, которые не устранимы малыш кевелениями в классе интегральных многообразий.

13

Назовем Я -плоскости интегральные подпространства,лежащие в замыкании регулярной клетки.

Теорема 2Т9 . Интегральное подпространство |.а ^Л»)

является И - плоскостью в том и только вом ояучае, когда существует, последовательность вложенных'подпроотранотв Тх^'^о0^»3" .. , и симметрических тензоров &$•

таких, что подпространство ¿-о порождено тензорами вида Уа 1 Гд0 $ _ оператор спенсера.

Пусть 1€ сХ(&) - множество интегральных плоскостей, имеющих ^ -мерное ядро ори рроекции т . Тогда в грассманиа- | не Я -плоскостей ¿о можно определить подмноже-

ства » 'оостсящие из Я -плос-

костей, лежащих в примыкающих к , .Тог*

да, если А. «плоскость ¿» допускает представление, описанное в теореме то {*€ й!^...,^ , , где

Наиболее просто представление теоремы 2.9 выглядит для регулярных Я -плоскостей, т.е. для Я -плоскостей, допускаю-щи" цейь подпространств длины 1 , или, что эквивалентно, для тех Я -плоскостей, первое продолжение ¿¡¡.Ф^М-подпространства 1-е которых, не лежит в конуое вырожденных тензоров из ¿ц © 5 Ы „ Для регулярных Я -плоскос-

тей подпространство ¡.^¡^(б) натянуто на производные 'невырожденного симметрического тензора ¿я® В . „тот факт позволяет связать с регулярной Я -плоскостЫо йор-данову алгебру. Рассмотрим два представления ¿о8 ии -и ев1; , и отвечающий В линейный оператор £1:

, аяя всех , Шокеотво

операторов а. из Ц* , удовлетворяющих ■ этощу условию, для некоторых симметрических тензоров & , образуют йордано-ву алгеору Тог. 9 относительно операции антикоммутирования, а

и

а пространство Т*/л«М- - оказывается модулем над этой, алгеброй. Пусть А* 0 с Еа4Й* - ассоциативная оболочка

». операция смены порядка сомножителей определяет инволюцию #.в 4*0 , относительно которой совпадает с множеством эрмитовых элементов.

Отметим зависимость алгебраических структур в Мв от порядка ^ «А именно, при к»2- алгебра ~ коммутативна и ц*Ы (теорема 3.8)» фи к» 1 в качестве А*б кокет реали-зовываться, анпример, произвольная конечномерная подупростая алгебра над о инволюцией, эрмитовы элементы которой порождают всю алгебру. , '

йорданова структура позволяет описать примитивные особенности,т.е. особенности типа ^ не примыкающие к особенностям типа о где 0< £ * & »А именно, назовем Я -плоскость примитивной, если , но I 4> , 0<€<£ » Соответственно, невырожденный тензор назовем примитивным, если такова Я. -пяоскооть

Теорема 3.23 (I) Тензор примитивен в том

я только том одучае, когда алгебра является алгеброй

Клиффорда СЕц о образующими, а инволюция совпадает

с вяиффордовой». . .

(2) Тензор

, примитивен в том и только том случае, когда алгебра А*& <Ьг 0 изоморфна $ юл С .

С геометрачеокой точки зрения сказанное выше означает, что в нормальном расслоении к образу проекции интегрального многообразия в особых точках имеется йорданова структура или, что все равно, структура модуля над ассоциативной .лгеброй о инволюцией, Для примитивных особенностей - это структура клиффордо» вых модулей»

Возможные реализации примитивных особенностей приведены в следующей теореме, где тип.особенности указывает на ооответст-

15

ну вдую алгебру Клиффорда.

Теорема 4.12, (1) Щриматившс- Я -плоскости £ б КХ^ Схк ) возможна при одо'цувдх. значениях 4.Д,м=> & - мт при всех кроко

Ф при вббх м, Кроме ц*1,

Щ при

(н в * ш, ««* Ць )» •

где о Шш Ы(4-С), Щ. « ^ „ а С «-обра»

зуюцая цолтрц С!} 4 к ^ £. 1.

(2) Корзймарйоотй цришгквша й-ндоскоотей из Схк) в црассашабае воех Я -алоокоотай таковы:

ЛЯ - тип, коразмерность равна Л ы \ г

С - гик, коразмерность равна "¿С^ц)*^' ^

{И - тип, коразмерность равна *

- тип, коразмеркооть равна

Откетам, что наименьшая коразмерность для С . -типов равна »ч ,ддя (И -типов , для -Тйаов

'Поэтому, в ситуации общего'подокейкя, Ш »••типы » например, могут встречаться в размерности й ? И , а ¿4 - типа при Н ^

Пусть t с-^Ъ1) -„истема дяйзеренцаазышх уравнений - ^ го порядка на сечениях расслоения с£, и ее решение,.т.е.

интегральное многообразие распределения Картана ,

лежащее в £ .¿Обозначим через 6* ) множество тех точек ¿ , где проекцгл Т^Ц,-» & имеет особенность Тоьл-Еоардмана типа X» « Система дифференциальных уравнений ? запрещает некоторые типы особенностей. Так, например, если ^ £ ) , то аннуля-тор образа (Ту I ) должен быть характеристическим для дифференциальных уравнений £ в точке ^ , и .следовательно решения «эллиптических систем цл^ферекпяадишх уравнении не могут ' 1С '

иметь особенности типа ¿1 . С другой стороны решения эллипти- -ческих дифференциальных уравнений шгут иметь особенности типа

Так, если $ £ '¿г.(Ь) лежит но границе множества особых точек я Я -плоскость имеет С. -тип, то аниулятор обра» за ) , который является 2-мерным подпространством в ко-

касательногл пространстве к В • , цолкэн обладать' тайга базисом , что ковектор ^ является комплексной характеристи-

кой в точке у »

Для формулировки общего результата введем следуйте обозначения« Пусть - шюгообрагае комплексных хзракте* "р.четпк £ з точка , Х?« #) его прсектзвизация, а к (а) , ^ О векторное семейство ядер символа х^ц.) . . . . . _ - «•.•

Пусть регулярная сзсте;,:а ;дефферекцзальних уравнений о я подпространотво таковы,

(I) 'линейное подмногообразие Р(ие) _ проективного коьз» Ш!в.коно£о пространства ^Т^,)3*. пэррсакаот характэраотическоа 'Многообразие

¡рСКси'Чед

з конечном число точек

и х ,

(2) г. Жг^ц^)-* «//«¿и-.

Тогда существует такое- число , зависящее только от я-порядка система , что йродйляенне <5^,

системы дифференциальных уравнений £ , при зр & , не имещт

решений, задаваемых гладкими интегральными многообразиями .¿с ¡«.СО

С , которые проходили бы через точку ^ и проектировались в этой точке на ЛччМ . •

, С интегральными мне ообразиями, представляющими решения

линеМяых оасгеи дифференциальных уравнений в геометрическом смыоле, можно связать обобщенные функции,, дающие решения этих хе систем дифференциальных уравнений в смысле теории распределений. Изложению етой конструкции посвящен § 6 главы П. Идея построения обобщенной функции по интегральному многообразию, аналогична конструкции "канонического оператора" Б.П.Маолова по дагранжевому многообразию, о тем отличием, что в особых точках проекции интегрального многообразия невозможно использовать преобразование Фурье* Ш предлагаем здесь альтернативный подход, основанный на обобщенной формуле Й>ина, записанной на прострай-ствах струй. Возможность применимости данной конструкции, как и в теории В.П.Маелова, гарантируется тривиадьноотыо клаооа когомо-догий, двойственного циклу особенностей Z^{L)1,

Связь между обобщенными решениями линейных систем дифференциальных уравнений в геометрическом омиоле и в ошоле теории распределений, а также тот факт, что вболюция особенностей решений линейных дифференциальных уравнений описывается линейными дифференциальными операторами„ показывает, что должна существо® вать некоторая общая конструкция дифференциальных операторов на циклах особенностей. Реализацией этого наблюдения является §?, в котором на циклах особенностей проекций интегральных многообразий, реализующих, решения нелинейных систем дифференциальных уравнений, строятся линейные дифференциальные операторы первого по-* рядка (^операторы переноса). Отметим, что дейотвуют эти, операторы ровно в тех пространствах, на которых вше бали определены йорцановы структуры.

Построение этих операторов в общем, нелинейном одучае процедурой линеаризации сводится к построению решений систем линей кых дифференциальных уравнений с заданным типом особенностей на подмногообразии. Общее решение этой задачи дается в §3 главы 17,

В

где строится спектральная последовательность, ассоциированная о заданным типом особенностей. В терминах которой операторы переноса являются дифференциалами в первом члене.

Конструкция операторов переноса также связана с формальной интегрируемостью на подмногообразиях. Развиваемая в этом параграфе и §3 главы 1У теория является обобщением теорий формальной интегрируемости Спенсера-Квиллена-Гольдамидта. Специфика этой теории овязана о операторами переноса, которые отсутствуют в обычной теории формальной интегрируемости. При этом вторые группы £ •» когомологий Спенсера, отвечают, как обычно, за гладкость рассматриваешь объектов» "Тривиальность следующих, третьих групп У - когомологий обеспечивает определяемость операторов переноса, действующих в струях высокого порядка, начальными членами.

Заключительный параграф второй главы (§8 > поовяиен пост» роению ггвычислению характеристических кяаооов решений дифференциальных уравнений. Вначале вычисляется кольцо когомологий грае» сманиана интегральных плоскостей, лежащих в картаяовоком

'подпространстве СОс^) , до размерности "«4'мй . в следующих двух случаях топология 10%) хорошо изучена. Это, во-первых, случай, когда »•! .Здесь 1(£я} - совпадает с проективизам-ей картаиовского подпроотранотва С(хь) , и тем самый 2(*к)* 1НРМ » . д кроме того, в случав, когда , .

Здесь 1(Л|) - грасманиан лагрввжввнх подпространств в СЬь) . Поэтому предполагается, что ,

Теорема 8^1. Кольцо когомологий до размер-

ности Ц , во всех случаях кроме , »н* 1 , изоморфно коль-

цу полиномов от образующих и/^ , с ,

являющим;, л класс;цл1 Штифеяя-Уатна тавтологического расслоения

19 -

т • 1 -

над Цщь) « фа t | кольцо когомологий до размер- .

'ностл'2 изоморфно ¿^£V.1], где W,1 - 1-й класс Штифеля^Уат» ни тавтологического расслоения.'

Пусть £с j'Çi} формально интегрируемая система дифференциальных уравнений. Для каждого элемента , лежащего на £- м продолжении t , € , через %£(<'C*ot) обозначим гр&ссманаан интегральных плоскостей в CUîh), касашдахся c£î)

С . Следующая теорема явпетсл тоиологическим аналогом теоре-ш йартана-Куранкая о продояЕении.

' Теорема 6,5» Дусть Z с 3\а) » формально интегрируемая система'дифференциальных уравнений, характеристическое многообразие которой ) кз лежат ни в какой гиперплоскости к СttXx)>0 » Тогда, если . с" -характеристически регулярно в течке , тс Вдогшше ÏÎ^fofri Ьь), ери достаточно больших I, иидуцвру.е? изоморфизм алгебр когомологий до размерности h включительно.

\ уояовао характеристической регулярности, участвующее в формулировке теореш означает сяодуадое» Дусть ¡.'С**? с - сдааол сиотег.щ дифференциальных уравнений £ в течке

г си Lit -. - а

а у Î4) с & - его С ~ цродоятае, Обозначим

через Cio^C^J- ) многообразие г »» марких характеристических подпространств "Ix. » С каадам -таким подпространством W G СМО свяжем семейство векторных пространств 5p(U) , -подпространств в о î* t .образованных такими тепзораш G , что 8@ е Uof '%) + ИО$171 , Гае £ г оператора Спенсера, Условие характеристической регулярности означает, что семейства векторных пространств ^ ^ являются

векторными расслоениями над (€» ) , для всех iiiiH-l, и всех £ , шчиная с некоторого номера t0 . Ыокно получить условия характеристической регулярности в терминах S - когомо-

логий Спенсера, аналогичные критерий формальной интегрируемости Гольашмидта.

Для определенных систем дифференциальных (а) , т,е.

для таких систем дифференциальных уравнений, что со£&м£»>и , ц СЫ(&*0*Т*лО , У^е £ , теорема 8.5 может быть усилена. Здесь стабилизация наступает при первом продолжении системы, а для справедлив следующий результат.

Теорема в.13. Пусть определенная система диффе-

ренциальных уравнешШ. Тогда вложение ^ТСъ) индуцирует

изоморфизм алгебр когомологлй над до размерности и но всех случаях, кроме следующи .

1) N=2. , , - где кольцо Н (!£(%)> до размерности Л. изоморфно кольцу полиномов %3 •

2) !мг 3 , к г I , - где кольцо

до размерности 2 изоморфно кольцу полиномов С > 3 , где - С число компонент связности 1РСюл(€)*д.) , над которыми расслоения ядер символа одномерны.

3) >«¿««2 , - где 1£№0 диф£еоморфно либо тору & * £ , 'если ? - гиперболично в точке , либо Р* , если ¡5* »эллиптично;

Здесь- классы Штифеля-Уитни тавтологического расслоения над ХбС^г) , нижний индекс указывает размерность, -квадрат Стинрода. ^ ' -

Пусть J - пространство Есех £ -струй подмногообра-

зий 1 М коразмерности т , а 3 (к,м) -тотальное пространство расслоения, слоем которого в точке является грас-

сманиан интегральных плоскостей в картановском подпространстве . Каядое интегральное многообразие

•"•^-определяет

тангенциальное ото^ ,>а~сние , ^ ) ,

а какдий класс когом^.огий и) £ Н (I хар-'ктсристачеокай

класс на интегральных г.:ногообра;нтях; ¿1 ^ О*-' )

. ' . 21 •

Теорема Хирша вместе с теоремой B.I показывает, что кольцо ко-гомсяогий X (Him) до размерности и»с/''**Н ~т ( как адгсбра -на и ¿г) порождена и/,*..., Ч,* , где w/ «-классы

Штифеля-Уитни тавтологического расслоения над X (ii,*) . .

Начиная с третьей главы диссертации, мы рассматриваем, в основном, ¡задачи классификации, возникаюаде в геометрической теории дифференциальных уравнений. Первая из них касается локальной классификации дифференциальных уравнений. Назовем две системы дифференциальных ураавнений , ((ло-

кально) эквивалентными, если существует такой (локальный) ¿¡.иф5-феоморфизм г пространства J (<*) ,.сохраняющий распределение Картана (=преобрйзованке Ли)., что

. V вестно (теорема Ли-Бэкяунда), что для расслоений , преобразования Ли явпяются поднятиями преобразований тотального пространства расслоения, а для , с^си1 , ~ поднятиями контактных преоб-' разоьаннй

Исходным пунктом для подхода к классификации уравнений Монжа-Ампера, используемого ь диссерташи, является следующее, наблюдении. Каждую дифференциальную k -форму ЫйЛ ($), Ф-З(О) , где -тривиальное лилейное расслое-

ние с базой В , можно рассматривать как нелинейный дифференииа-. ■ альный оператор второго порядка Д^У- С A '(b\t действую-

'вдЕ по следуюi^eiviy закону: L^) . при этом под-

ходе, в отличие от общего, изложенного ь главах 1,П иополизует-ся геометрически более простое пространство а -не V) ,

а перенос контактной геометрии J1(4j на уравнения, определяемого такого рода опсратораш, становится более нецосредственипи. • Оператора ытч " it{jJ , юсА"(|) , Иг citWb, ш иазих-а&м операторами Моцял-Акперл. Лотявариш'.оц этому служит то обстоятельство,

'¿'с • 1

что операторы Д,^ , записанные в локальных координатах, приводят к нелинейностлм того же типа, что и классические операторы 1,5онжа-Ампера. Соответствие ы>~» д^ можно использовать в различных направлениях. Прежде всего,'как yace указывалось, оно позволяет непосредственно перенести контактную геометрий на дифференциальные уравнения второго порядка, кроме того, ото соответствие выделяет дополнительные структуры в алгебре внешних форм на З (ti) аналогичные встречающимся в-келеровой геометрии. Анализу этих структур посвящены § 1,2.третьей главы (теории Ходка-Лепака на■контактных многообразиях). Здесь же показано как можно использовать предлагаемы!- аппарат для нахождения алгебр Ли контактных симметрия из законов сохранения дифференциальных уравнений второго порядка.

Для уравнений Хсхлова-Заболотской, Кармана, Клейна-Гордона приведено описание полной алгебры контактных симметрии и законов сохранения, полученное этим методом.

Отображение не является мономорфизмом. Однако ис-

пользование контактной структуры позволяет выделить в классе форм, представляющих один и вот яе оператор, единственный представитель - эффективную форму. Формально: эффективная й- форма (ai на называется аффективной, если w вырождается

вдоль ядра 2-форш cíV и удовлетворяет дополнительно условий ЛГьо , где ]f ,-фор:.а Картана, задающая стандартную контактную структуру на J"*Í4) • Соответствие между дифференциальными с-перг.-орами ?,!снка-Акпера д эффективными и -формам! взаимно однозначно» Поэтому задача классификации уравнений »лжгл-Амперз эквивалентна описанию орбит псевдогруппы контактных днффеолюр-фязыов в пространстве элективных форм. Лспояьзуя это замечание, í.'u приводим вначал-- доказательство перкой теорела Ли о приведении (в аналитической ..атуацаи) произвольного яеЕГ оь-декного '

23

(т.е. гиперболического или эллиптического) уравнения Монжа-Ампера на двумерном многообразии "(локально) к квазилинейному. Софу с Ли привел также условия, при выполнении которых уравнение Мошка-Ампера на двумерном многообразии приводится к линейному. дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами (вторая теорема Ли). Эти условия были сфорг.гу дарованы им в терминах промежуточных интегралов и тем .самым автоматически"исключали эллиптические уравнения. В следующей теореме даются более широкие чем у С.Ли условия«.

Теорема 3.5» Для того, чтобы уравнение йЖлса-Амлера,определяемое аффективной 2-чрормой 6 А (Г £ , в окрестности Точки <хеТаВ , где Р, -было с: „тплектически эквивалентно линейному уравнению Монка-Ампера-, имеющему постоянные коэффициенты, относительно некоторой канонической системы координат, необходимо-и достаточно, чтобы ¿е?-О-Здесь через <¿0 обозначен пфаффиан -2-форгш и). Задача резко меняется при переходе к классификации уравнений Монжа—Ампера, заданных на многообразиях размерности . Первая теорема Ли о квазилинеаризации, начиная с размерности 3, ■ ■ ' неверна, и ситуации общего положения здесь отвечают уравнения не квазилинеаризуеше даке в точке (§4, глава Ш). Что ке каоает-. ся приводимости к уравнения!.! .с постоянными коэффициентами, то в § 6 этой главы приведены условия, при которых уравнение Шн-ка-Ампера контактным преобразованием приводится к постоянным коэффициентам. Получение нормальных форм сводится к описанию . орбит группы на пространстве,эффективных И -форм в 2 ц -мерном сиг,шлектическом пространстве. Дляй=5 (надполем С ) эта задача гхлена Игусой**). Однако методы этой работы не

А^Л. коЧ-.Ц+ЪЫ.^ЗН-ы»-

■;: г. * аМи"г;":т о :у::'и

урат^к.-¡рк?о-лло д-гг:;. ''-1 •■■:

г:г;т ч в-:;; ;пгс

п ?а;г::о полечить для слу-,?л

г», (г. "'■> \

■"иглшжсжг прссгоейстпГ с-::;

с полу г""!;::

(I) > -

(2) - ^«с**

(3) + + • С4) * ■ (б/^А«^«** •

<7)

(8)

>-■>?!, - сш-зшясг«ческпй Оазис в У , а /1

~ душшшй базис в

Србя^ая общего положения отЕвчактг лоедотаватзяя (1),(2)Р

ч

- гор-и (3), (4), (5) - отвечают певнрозаешши уравнениям «онга-Лшзра, :;,опускаэ^:;:.1 квазаязнсЕрйзашп в точке,- ,

Соответственно, уравнения Ь'онаа-Дкпера общего положения, щя вшоянейш условна щлводяг-оэти к лсстсянкш коэффициентам, з подходящей свотеме ксордкнпт глогут бить загасали з следующем виде: „г?/

(1) МП 'Яиъ!/■<■>^

(2)

' где - постойные,

В заключительной четвертой главе -рассмотрены две задачи

' классификации:, (а) классификация 2Г( -особенностей проекций интегральных многообразий, и (В) . .лассификация алгебр Ли векторных полей в окрестности общей неподвижной точкл.

В первой из них дается классификация простых X, -особенностей проекций интегральных многообразий, лежащих в 3" , где Л - векторное расслоенле размерности ->2 . В качество классифицирующей группы этой задачи выбрана группа аффинных преобразований тотального пространства расслоения <Л . Такой выбор объясняется тем фактом, что ланкая труппа является наибольшей подгруппой преобразований Ли, сохраняющей класс линейных дифференциальных уравнений,' Ограничение на размерность расслоения • обьяоняетоя тем, что, как это отмечалось выше, в случае, когда интегральные многообразия распределения Картаиа на - суть ленандровы многообразия, классификация особенностей проекций которых относительно меньшей группы, была получена В» И. Арнольдом.

Б первом параграфа главы 1У строятся инварианты особенностей проекций интегральных многообразий ~ морфязш

£&) , где = 0,//, - модуль ■ линейных

дифференциальных операторов, действующих из сечений расслоения в сечения А • , ¿С-) -алгебра ростков в нуде гладких функций на (¡ч*1 , морфизм определяется ростком С'- $ интегрального "многообразия: Ч(Ц) * ) ♦ (?< ) • Здесь- VI 6 С О*) „- производящая функция диффереищалыюро оператора &€

ни*,*), ин^Ф); и и ст и г^.

Прежде чем формулировать основную теорему о нормальных формах простых -особенностей нроекпий интегральных многообразий, приведем координатное описание интегральных многообразий в" окрестности ¿^-особенности. рассмотрим росток «■''• ^ ~7 ^ (*) интегрального т.огообразйя, ^ -осоЗбшюоть в'нуле.Ьибе-

. 2С.

берем канонические локальные координаты в таким образом, чтобы ковектор аннулировал образ , а вектор 'являлся образующей в ядре .

Вдеоь г - локальные координаты в 6; к}.--, и."*-послой-

ные координаты в Я ; ^(¡М))»'*^/^.' , ддя каждого локального сечения А*1) расслоения. При таком выборе локальных

координат в ${*) в качестве яокальиых координат в окрестности мояно выбрать следующие функции: Положим, V1* ¿*(и<- ^I I тогда,

из интегральности 3 , следует,-что ограничения осталь-

ных координатных функций имо^т вид:

Р] » - ГГ%, ■ - % %]<Ч

где у - произвольные гладкие функции , и

• Таким образом, интегральное многообразие в окрестности Х-, - особенности определяется набором функций О

, а условие того, что 0$ \ (¿>) , в терминах атих функций озичзет, что ° <0>* О , при , но ^

£ О. •

Теорема 2.1. Устойчивые -особенности проекций интегральных многообразий из возможны лишь'в том слу-

чае, когда «ь, , Ч'^'мв, и аффинными

преобразованиями приводятся к нормальной форме:

у^эс^ас*г.

Заключительная часть '-той главы посгя.исна формализму построен;- • рененп« липеХных дифференциальных уравнений с заданным. типом особенностей н его приложениям к за*- чзм класси-^нкг.ети.

D^ü.úíiOTb «:а пэдунегооар.ис.т í .'.->•» ац'зр.з.ггл;*« ■

üj; us: íí'itbTpossi'HH/ L сплочу ;.ь f V ■ ";'"Ч. .

uûïoporo доаолкч'че;^:'; уцо'илс'гьуряс!' 1рчм boisctboaa:.:.: граетч:.*-

^¿¿опаш^аяьноЛ учаа.ччлиач.;, /;адц:>тч

¡:. ььчччч' чччч^роч та: .;гч сч.ссс,«::,

«esac-îO."- у» адч^чз^ч. с..:;:ьг'г>и::,я s ft - f.'/, ч-ч /• -¿-£,з:-.г: ' »

ОаоЗепьзол. (J поавоч-.е» о ;.ачч;'ч;.: •ч.лчииччч'

0,срап1,ча:и«;ч;. с-лег-a ..caí-. , Ч •„' ;;:: чччцччч,.. _чч anoaa опччз-

ï'jpCï} ciijLto-Da a'-ч,:..

Ь Ч"; Ci.. ■ , ООаЧЪ^.ЧЧЧЧгь.ь G4i44_.

ЛдЧ. Г-Ч^ /^-ЧаЧ-ЧЧаЧЧ. /..w, 4r?4J '. Ч^ЧЧ; G4í.j. .„ЧЧЧ."' 44 ч 44

; л ч:;-;! >... ччччч чч(ч,чгч

G aia^a^a.. - ■ i '.Ч: T'.Í. . Ч Ч.. ■ Í'.. .. .. .. -.. -Ч,,.- . . с - .. .4

I '

,íáa; тачага Ч' ... ч ' ч: чч ч;чч: a.., ' . _ "

аачччочаочч-w..;;*. х;чч.чч.ч-гч,:ччч Чч, ¡чч.-ч ч;.ч..:„.л чч'.ч .¡ч^чь^чй., Счч-ччда^ начоичча агтахчиО:;. ч: ч : :-ч.'.ч.: . ччч .гт , иле;: cpsíyi^rb-.-KOVij подгсо^а, крэ^а иачач; чч^ач^чачч/ч-ч- {¡a va. ía: лнаол заззча раграааааота го.чолск'чес^чго го ü ааГ.ааах В эгсч: с.^'чио опоа'лчадайаа nasaaaa-»

ьадБльносх;: нг только да;ох усяох>;;я счораздаиоа paapayaaoû'ïîi, но ¡; указывают в дальние к когорим ьта&г бить- приведена раоо*»

¡латр.;вае;.:ал кдасса^акашонная задача»

28

* Впервые спектральные последовательности были пршеяенн В.И.Арнольдом для нахождения нормальных форм функций в окрест» ности вырожденных особых точек. Здесь мы применяем спектральные последовательности для нахождения нормальных форм алгебр Ли вен» торных полей (контактных,- спмпяектическях или обеих) в окрестности общей точки покоя.

Пусть - представление конечномерной алгебры Ля

над в векторных полях на многообразии В, я »обг^я особая точка, <5 , » рассмотрим комплекс для взчиодеяяя

шгоаологий алгебры Ли со* значениями в ^ - модуле && -фор-таьшх векгордах полей, обраяатеах в нуль в точке <к&Н % о А ^Л4^©* ..... Ащ%*®9*

где те

Введем фздьтр&цаю в этот кошяеко» полежав

где ^ « идеал функций, офащажцахся э пуль в течке

Начальные члени спектральной последовательности, построенной по этой фздьтрацлз, шгею? следу кзззй вяд:

где , Г-Т^М. . *

.Теораш' 4» 6» (нор;,альпа? йовиа |> -го цряб спасения). Щоть V,/ '•/¿Ъ^Фр'Ь . таковы, что эх образа порождают а

, Тогда для каадого предстазлеппя алгебра вида

» где существует, такой локальный' диффеомор-

физм Д 8 Д(а) зеи, что . . ■

А* (?) ** £ •

для некоторых конбтант С^й . ■

Последовательное ^раменеше этой теореш цае? следующий результат.

Теорема 4,9. Если элемента ~.. / «с € / 4 С < ^

таковы, что их образы порождает все Вр!^ , то.для каждо-

го представления алгебра Ли ^ гида , гдз ,

' fpl , найдется такой локальный даЗ&еоаорфиш Â, Ачто

Аналогичные теореш справедлива при класоифсеац:«« otuoou--тельно оиштектичеокой (контактной) -грушш ирвдставловйЕ акгеб--рн Лп гашльтоновыма (контактный) взх'торныш поляка. йачаль-дае члены соответствующих спектральных оооледоватольноотей, »квит аиэлогечний ¿щ» Так, zszpsusp, для црсдзгазяеняй алгебра Ля 7 гашяьтеновшш ао/лгс;? , •• .... • ., »

Подученные опектральш-ю последовательности применяются затем для получеьая нормальных фор:.; врсдашзЕеиш кощ^таишвах» полупростых и радуктавинх алгебр Jm форшяьшша воктррпаш по» лаг,а в ' 4 -

Что касаотся опаоакзя представлений алгебр Ы в клаооо au«-.» яптичеша um ишаках so гугя представлений колаакшх

групп Xi, пояушго, оледущзз обобщекг тзореш iöpa'aKs-Eoxsspa.

2222SíííL.ü:J™ Гладкое дз£оято кокпактиой rpjfímu Яд коижагт-i-ür.Cj на коп-гагацом шох'оофьгйк в окрестности .

53П0ДО1СТ0й ТО41": i - ДСС'ХаТОЗДОЕ -

Слсдудая теорема перекосят ка ксцтактгай osy&ói результаты Д„Г»Кушкйрзкко, Е.В;йб;йлна и Ш.Огер'пберга.

1еорс.га 5-8» Представление содупроотой алгебры jb тйчэскигдл контакта® векторнша »полякл в окрестности o6ajsß подвшшо точки контактно аналитически Л ^достаточно.

Прямой перенос этих результатов на сишлектическай случай' - неверен» Однако, используя контакт«задию симплектических многообразий, получаем следующие результаты?-

(I) Ан; 'этическое представление полупростой алгебры Ли га^-шльтсноеыми векторными поля.® в окрестности неподвикной точки контактно эквивалентно линейному,

, • - зо-

(2) Гладкое дсйотвяе компактной трупид Лп еищяоктячеокаш преобразованиями в оггрестясстя неподвижной тсда ковтггктно эк« кшадентно яинзйноцр.

Для представлений алгебр Л:з уг , _т?.и;х, что хотя.бн одно г.окгрряой поле , имеет точку й, центром» в общем а контактных случает, тсорзга 4=9 даст списашш ксркадышх форм в

п» -

классе V »

Публикации по теме диссертапки

1,£&чаглн В,В. Локальная классификация нзяинейних дифферента» лькых уравнений в частных прсязводншс*порвого порядка. -ДАН. СССР, 1373,210,."33,525-528®

2-»Дцчагйя В.В.Локальная классификация нелпкз&шх даффоренциадьл мох уравнений в частных производите первого порядка. «• УШ»

. 1975,¡30,»1,101-171. '

• 1 ■' -

3.£»чагшз В,В,Достаточна орбяты группы-контактных диффеоморфизмов. - Штем. сборник, 1077,104,32,248-270.

4,Лычаган В, В* Нэлинёйныа дифференциальные уравнения и контакт^' нал геомотрая» »ДАН СССР,1973,238,.'52,273*276.

б.Лачагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка» -У®, 1979,34,^1, 137-165»

6.Дйчагин в.в. Об особенностях решений дафференоиалышх уравнений. - ДЛ11 СССР, 1930,251,154,794-799. :

7.Дйчагйн В,В. Геометрические особенности решзняй нелинейных 1 дифференциальных уравнений. -ДАН СССР, 1981,261,йб, 1299« 1303.

8»Лачагин В.В. (совм. о Виноградовым А.М» и Красильщиком И.О.) Введение в геометрию нелинейных.дифференциальных уравнений.

М.: Наука. 1986.

^ 9

9.ЛЫчагин В»В.Геометрия я топология ударных волн. - ДАН СССР,

1982,26*,«, 551-555. Ю.Лычагин В.В. Спектральные последовательности а нормальные .формы алгебр Ял чектоиных полей. - УМН, 1983,38,ЙВ, 199-2^0.

П.Лычагин Б.Ч. Характеристические классы решений дифференциальных уравнений. - ДАН СССР,1983,271,№6,1320-13,44.

ЗТ

12. Лычаган В.В. (сош. о Рубцовым В«Ц.) О теоремах Софуса

Ли для уравнений Монжа-Ампера. - ДАН СССР. 1983,27,Й5 * 396-398.

13.Лычагин В.В.(совм. с Рубцовым В.Н.) Локальная классификация дифференциальных уравнений Монка-Ампера. -ДАН СССР, 1983,272,й1.34-38.

14.лачагин в.В. Топологические методы в геометрической теории дифференциальных уравнений. - "Применение топологии в современном анализа",иэд-во В1У.1985.10&-123. .

15. ЦсЬйаЛ« \Z.V- Ъыул&ч-кч с/

• Ц^кШМ , рйш«**«.

Аь4й. » Ш6, 3 * р- /«*-*« .

16. 4 Ж»** •Г^- иам

1?.Дычагин В.В. Особенности решений, спектральные последовательности и нормальные формы алгебр Ли векторных полей. »Известия АН СССР, серия Математическая, 1987,51,¿£3,0.584-612.

•Подписано к П2Ч37И 1,12,, 88 МН 08632

Форма? букь.'и 60x84 1/1£. Обгем Я л.л.1 1,5 уч.-изд. д. Заказ -325 . Тирзз 100 экз.

Отпэчатано з Институте кзтематики СО АН СССР 630090 , Новосибирск, 90