Геометрия цилиндрических семейств плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.•.•••.

ГЛАВА I. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ В An.

1.1. р -цилиндр плоскостей в Ац

1.2. р -цилиндрические семейства плоскостей

1.3. Характеристическая поверхность

1.4. Асеканта одшопараметрического семейства плоскостей •••••.•.••••*•••••••.•••••••••••

1.5. Асеканта (X - параметрического семейства плоскостей.

1.6. Геометрия 2-семейства 2-плоскостей в Ац

1.7. Геометрия 3-семейства 3-плоскостей в As

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЯ СЕМЕЙСТВ ПЛОСКОСТЕЙ В С An

2.1. Центральная параллельность плоскостей ••••••

2.2. Цилиндр с центральной ^-параллельностью смежных плоскостей в С An

2.3. Cj - цилиндрические семейства плоскостей в САп

2.4. Коцентры плоскости однопараметрического семейства .••.•.••.•••.••••••••••••••.

2.5. Коцентры плоскости СС- параметрического семейства ••*•••••••••••«•••••••.

2.6. Центральная трансверсаль смежных плоскостей

2.7. Еипараллельность и бицилиндры в С An •••••

2.8. Шцилиндрические семейства плоскостей в САп

2.9. Геометрия 2-семейства прямых в С А 4 •••••

2.10. 3-семейство 2-плоскостей в С

Дифференциальная геометрия си -параметрических семейств п, -мерных плоскостей в различных однородных пространствах развивается с тридцатых годов двадцатого столетия. Обзор работ, опубликованных до 1975 года, имеется в статьях /3/ Р.М.Гейдель-мана, /8/ Ю.Г.Лумисте.

Аффинная дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых трехмерного пространства достигла широкого развития. Геометрия линейчатых многообразий трехмерных аффинных, центроаффинных и эквиаффинных пространств освещена в обзорной статье /34/ Р.Н.Щербакова.

В работе /19/ Д.К.Петрушкевичюте рассмотрела дифференциальную геометрию комплекса прямых четырехмерного аффинного пространства. Найден ряд геометрических объектов, связанных с дифференциальными окрестностями первого и второго порядка комплекса. Эти объекты определяют гиперплоскость, точку и гиперповерхность третьего порядка, инвариантно связанных с прямой комплекса.

В работе /12/ Ю.Г.Лумисте рассмотрел аффинную теорию CL -параметрических семейств прямых, которые можно также трактовать как (а+ О -мерные линейчатые поверхности VQ+f в А п. (a-t { < rv) # Это семейство оснащено следующим образом: к каждой его прямой ^ инвариантно присоединена проходящая через ^ (н- #)-мерная плоскость. Тогда на каждой прямой & семейства существует сс точек (вещественных, мнимо сопряженных или совпадающих), которые при смещении прямой в некоторой двумерной поверхности инфинитезимально не выходят из этой ( «-замерной плоскости. Эти точки Ю.Г.Думисте назвал квазифокусами, а соответствующие линейчатые двумерные поверхности - квазиторсами.

При наличии такого оснащения на прямой определяется аффинно-инвариантный центр»

Ю.Г.Лумисте в /9/ и /10/ рассматривает инвариантные оснащения конгруэнции плоскостей аффинного пространства.

В 1966г. вышла работа /2/ Л.Я.Березиной. В п -мерном аффинном пространстве рассматривается семейство гп -мерных плоскостей Z. , зависящих от р параметров, с каждой плоскостью К связана инвариантная (п-пг)-мерная плоскость TJ , не даёющая общих направлений с Z .

Работа выполнена с применением метода подвижного репера Картана и по своей методике примыкает к работам Московской геометрической школы, то есть семейство £ относится к аффинному реперу, первые ш векторов которого расположены в плоскости Z , а плоскость К определяется через объекты, появляющиеся при продолжении основной системы.

Применяются конечные допустимые преобразования репера, которые разлагаются на элементарные преобразования. Часть этих элементарных составляющих фиксируется, чем в плоскости 21 либо 21' выделяются инвариантные подплоскости. Остальные элементарные преобразования остаются свободными, так что решение дается в "полуканоническом" репере. При оставшихся свободных преобразованиях все объекты являются тензорами. Наличие большого числа тензоров дает возможность развернуть геометрию семейств плоское*-тей, проведена классификация семейств плоскостей.

В.К.Бондаренко в /I/ проводит частичную канонизацию репера на V-n-2 в эквиаффинной геометрии, отнеся репер к системе подмногообразий в Vn-o . Исследуются некоторые частные классы этих систем.

Линейчатые Vm рассматриваются в работах Ю.Г.Лумисте /II/ и (при т. - 3, п = 4) Русчора /21/. В /II/ в предположении, что для подмногообразия Vn-i ^ бесконечно удаленных точек прямолинейных образующих Vm построена нормаль 1-го рода, вводятся понятия квазифокуса, центра, В случае Vm ранга га- 1 строится (т-1)-направление, дополняющие направление образующей в касательном к Vm подпространстве. В /21/ даются в аффинном изложении результаты о связях между строением семейства касательных к гиперплоскостей вдоль образующей и наличием фокусов на образующей.

Т.П.Романькова в своих работах /22,23/ изучает в центроаф-финном пространстве (п~ -параметрические семейства (конгруэнции) прямых, кавдая прямая которого несет tt - 1 различных вещественных фокусов. В такой конгруэнции выделяются центроаф-финно инвариантные линейчатые поверхности. Во второй работе дано оснащение конгруэнции прямых (п- 2) -плоскостью П и2 , пересекающей луч ее в некоторой точке JUL

В /17/ Р.А.Лукина для 2 -семейства прямых построила канонический репер, дала геометрическую характеристику векторов и некоторых инвариантов этого репера.

Русчорэ С,- в /24/ вводит понятие числовой функции, характеризующей частичный параллелизм в Srt . Он называет смешанным линейным многообразием пару, состоящую из собственного пространства $ и несобственного пространства Л - 9 при условии, что размерности 4 и $ отличаются на единицу (или одно из этих подпространств пусто). Размерность Л определяется равенством dW - mox(d[S]9 cfl**]). Для двух смешанных многообразий вводится числовая характеристика их меры параллелизма г dL$n%] + I л причем = I отвечает случаю полного параллелизма, а = 0 -для непараллельных подпространств.

Это понятие частичной параллельности русчора С. использует в дальнейшем для изучения различных соответствий /25-28/.

Ю.Е.Пензов в /20/ дает определение параллельности т -плоскостей в следующем виде. Пусть в ги -мерном аффинном пространстве даны две плоскости и JLг размерностей nti и с направляющими линейными пространствами Vj и V2 соответственно, Тогда 3L, и 1iz называются параллельными, если они не пересекаются и размерность S пересечения их направляющих пространств больше или равна единице:

XtJI Tiz ^ (Ti, 0 Ti2 = gf д ditn(v<f)V2)> 1))

Отношение S/m< называется степенью параллельности. Если степень параллельности равна I, то 31 i полностью параллельна 312 #

Ранее перечисленных авторов П.А.Широков в /33/ ввел понятие параллельных плоскостей следующим образом. Если векторные подпространства II% и Vs плоскостей Е ^ и Е s (z < s) имеют р общих независимых направлений, то плоскости и Ь5 называются р/z -параллельными; дробь рназывается степенью параллельности этих плоскостей. В этом случае векторы и/., и * и векторных подпространств Uz и Vs определяют

S- р независимых направлений. Так как независимых направлений не может быть больше ft , то + s-n- . Таким образом, если 2 + » то векторы Uг j-не независимы, и степень параллельности плоскостей Иг и Rs отлична от нуля. Если р ~ Z , то плоскости и ts полностью параллельны, или просто параллельны.

Установлен критерий параллельности двух плоскостей. Если V-ранг системы uu.t ТУи., lhs , то плоскости и Zs имеют Z+ S- V общих независимых направлений, т.е. степень параллельности (приГ^ S ) равна г + S-V/2 .

Беря за основу рассмотренное определение параллельности плоскостей, запишем его в таком виде. Пусть в две плоскости и заданы уравнениями

1? = Z, + t nvd , ot = i,k ,

R - VT^ , - /77.

Условие Rfl ПрII здесь и ниже Rll II означает ранг матрицы) выполняется только тогда, когда плоскости пересекаются. При этом размерность их пересечения совпадает с размерностью к + I - fclm*, щ\\ ft их направляющих векторных подпространств = L где L - символ линейной оболочки.

Определение. Непересекающиеся плоскости Я^ и ^ называются р -параллельными, если их векторные подпространства и У^ имеют пересечение размерности р . Условия р -параллельности плоскостей и ^ будут, таким образом, состоять из условия

ПрН = кч- t-p (0.1) р -мерного пересечения направляющих подпространств и условия

Rl¥ К (0.2) непересечения плоскостей» Введем число

Н = к + £ - и.

Если c/i-m Vkf)V£ - Н , то ^ Л , поэтому индекс параллельности р изменяется в пределах тах(0,Н) < р ^ tttin,(k9 £). (0.3)

В соотношении (0.1) для матрицы порядка (к+ С) х -rt имеем ранг, равный 1<+ I- р , следовательно, это соотношение накладывает

QpS[c к+е)-(к+ г -p)j[«- (ь е-р)] =р(р-л>о.4) условий на координаты векторов , Лр . Каждое из этих условий является условием равенства нулю определителя порядка к+ Е-р -ь 1 9 окаймляющего базисный определитель порядка к+е-Р .

Если p--min (к, /f), то плоскости называются вполне параллельными. В этом случае меньшее по размерности из подпространств Vfc и Vg является подпространством другого.

Введенная таким образом параллельность использована в /30/ Б.П.Чебышевой при рассмотрении р -цилиндров и р -цилиндрических семейств плоскостей в с вырожденной метрикой.

В /13/ А.С.Лазарев рассматривает геометрию двумерных поверхностей в К гладкой неминимальной поверхности 14 евклидова 4 - пространства, несущей сопряженную сеть, присоединяет подвижной репер (j^, е£-, ё^) , I - 1,2; cL = 3,4, где - ортонормированный базис нормальной плоскости к Vk в ее точке и вектор коллинеарен вектору средней нормали поверхности в точке . Автор изучает поверхность , описанную такой точкой ^ , что у - + ^ёсс * г const * Выделены и рассмотрены случаи параллельности и частичной параллельности Vz и (у) .

В работе /14/ того же автора вводится определение. Гладкие р -поверхности Vp и Vp в евклидовом пространстве называются £/ р -параллельными, если существует гладкое отобра

Eemef: Vp такое, что dim (Т^ПТ^) = fjzQ tfxeVp. В работе рассмотрен случай £ < р . А.С.Лазарев продолжает исследования в работах /15,16/.

В проективном пространстве главным моментом при изучении семейств плоскостей является выявление фокальных и кофокальных свойств этого семейства, т.е. изучаются те семейства плоскостей, каждые две смежные плоскости однопараметрических подсемейств которых или пересекаются, или принадлежат некоторым подпространствам объемлющего проективного пространства. В этом направлении интересные результаты получены С.Е.Карапетяном, Р.М.Гейдельма-ном, Л.3.Кругляковым и их учениками.

Задача рассмотрения фокальных и кофокальных свойств плоскостей, имеющая проективный характер, в аффинном пространстве естественно сводится к нахождению цилиндрических и коцилиндри-ческих свойств этих семейств. Этим и объясняется актуальность данной диссертационной работы, которая состоит из введения и двух глав.

1. Бондаренко В.К. О поверхности в + 2 - Тр. /Томск.-ун-т, 1968, т.196, с.119-125.

2. Березина Л.Я. Аффинная теория многомерных плоскостей.-Тр./Рижск. ин~т инженеров гражд. авиации, 1966, вып.8, с.153.

3. Гейдельман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах.- В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия, 1965: Итоги науки/ВИНИТИ. М., 1967, с.323-374.

4. Ивлев Е.Т. Пара линейчатых поверхностей в трехмерном проективном пространстве.- В кн.: Докл.науч. конф. по теор. и прикл.вопр. математики и механики.- /Томск, ун-т. Томск, I960, с.50-51.

5. Кругляков Л.З. Основы проективно-дифференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей: Учеб. пособие.- Томск, 1980,-109с.

6. Кругляков Л.3.; 0 2-семействах прямых в и парах конгруэнций прямых в .- Сиб. мат.яурн., 1963, т.9, Jfe 3, с.554-567.

7. Карапетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия дву-параметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства.- Изв. АН Арм.ССР. Сер. физ.-мат.наук, 1962, т.15, № 2, с.53-72.

8. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий.-В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия: Итоги науки /ВИНИТИ. М., 1975, т.13, с.273-340.

9. Лумисте Ю.Г. Инвариантные оснащения конгруэнции плоскостей аффинного пространства.- Изв.высш.учеб.заведений. Математика. 1965, £ 6, с.93-102.

10. Лумисте Ю.Г. Средняя поверхность конгруэнции плоскостей аффинного пространства.- Изв.высш.учеб.заведений. Математика. 1965, J* 5, с.86-98.

11. Лумисте Ю.Г. К теории многообразий плоскостей евклидова пространства.-Тагtu UBikooEt toitnefsecly^YL^BSLm /Тартуск. ун-т, 1966, вып.192, с.12-46.

12. Лумисте Ю.Г. К аффинной дифференциальной геометрии многомерных линейчатых поверхностей.- В кн.: Докл. Ш Сиб. конф. по математике и механике. Томск, 1964, с.195-196.

13. Лазарев А.С. К геометрии двумерных поверхностей в Е^ .В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1978, с.55-61.

14. Лазарев А.С. О частично параллельных поверхностях в Еп .- Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Калининград, 1979, J6 10, с.121-126.

15. Лазарев А.С. Об одном классе поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности.- В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1980, с.48-53.

16. Лазарев А.С. О геометрии поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности.- В тр.: Дифференциальная геометрия многообразия фигур. Калининград, 1981, № 12, с.40-43.

17. Лукина Р.Ж. 0 2-семействах прямых в 4ёх-мерном центро-аффшном пространстве.- Тр. /Томск, ун-т, 1973, т.246, с.118-132.

18. Майер 0 *6-eometziQ centso aj-jin е clij-fezentieft des susj-oc&s- Jnrr. See Unto-. Jose 1954, £21, с 1- 7?

19. Peizask evcciute ДТ/es l и кътрРек sas к etas mo Qje cfj-fi ntneje гт^ чен. зап. /Вильнюск. ун-т. Математика-физика, I960, т.ЗЗ, J6 19, с.45-50.

20. Пензов Ю.Е. Аналитическая геометрия.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972,- 364с.

21. Rt/sc со г 5. St/2 опр aPassLj-icaijon ctfj-trie cfs hype^bu? J-cc с e s •seoZeQS clans un £4 — ЪиСвсв. sal Jcaa(. zay. Ле^. 9 1964} аов. So ^3,cio< .

22. Романькова Т.П. О конгруэнции прямых в п -мерном центроаффинном пространстве.- Тр. /Томск, ун-т, 1973, т.246, с.98-117.

23. TZusctoz S,Соответствия мевду многообразиями К всмысле Майера. Cozespa п cfenie fniez fomi€u of е стансе iaati 7Z Ы sens JUa^ez . — Jnst. p о Ci i e А n.Jose sec. o-oe.i& , f9}2 , л 3-4, p. 2?-Ъ1 .

24. Хода В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии.Т. 1-2.- М.: Изд-во иностр. лит. , 1954.

25. Чебншева Б.П. Геометрия цилиндрических семейств плоскостей в пространстве; с вырожденной метрикой.- Изв.высш.учеб. заведений. Математика, 1974, Л 12, с.77-81.

26. Чупахин Н.П. Цроективно-дафф^енциальная геометрия гиперповерхностей с двумерными плоскши образующими: Автореф. дис. .«. канд. физ.-мат.наук.- Томск, 1982.- с.

27. Широков П. А., Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия.- М.: #изматгиз, 1959.- 319с.

28. Широков П.А. Тензорное исчисление. Алгебра тензоров.-М. : ГТТИ, 1934.- 420с.