Гомологическая алгебра полумодулей и полуконтрамодулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. A.A. Харкевича Российской академии наук

На правах рукописи УДК 512.55, 512.66

005051001

Посицельский Леонид Ефимович

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА ПОЛУМОДУЛЕЙ И ПОЛУКОНТРАМОДУЛЕЙ: ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА АССОЦИАТИВНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

18 МАР 2013

Москва 2013

005051001

Работа выполнена в секторе алгебры и теории чисел Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН,

зав. отделом МИ РАН Орлов Дмитрий Олегович

доктор физико-математических наук,

профессор НИУ ВШЭ Пионтковский Дмитрий Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор,

зав. кафедрой СПбГУ Яковлев Анатолий Владимирович

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Петербургское отделение Математического института им. В.А. Сте-клова РАН

Защита состоится 28 мая 2013 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 002.077.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127994, г• Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок 19, стр. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН.

У/у

Автореферат разослан « '' » марта 2013 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета, .А

кандидат физико-математических наук, I ' Мч. Соболевский А.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена построению полубесконечной гомологической алгебры ассоциативных алгебраических структур как математической теории в рамках современной гомологической алгебры.

Определение полубесконечных гомологий бесконечномерных алгебр Ли было впервые дано в работе Фейгина1 (1984). При этом речь шла о конкретных алгебрах Ли Вирасоро и Каца-Муди, а полубесконечные гомологии определялись в терминах явного стандартного комплекса полубесконечных форм. Связь конструкции Фейгина с теорией струн обсуждалась в работе Френкеля-Гарланда-Цукермана2 (1986).

Феномен двойственности между представлениями бесконечномерной алгебры Ли на дополнительных уровнях был впервые отмечен в работах Фейгина-Фукса3 (1983) и Рока-Кариди-Уоллака4 (1984), в которых рассматривались модули Верма над алгеброй Вирасоро. Перечисленные работы положили начало полубесконечной гомологической алгебре бесконечномерных алгебр Ли.

Задача построения полубесконечных гомологий алгебр Ли как двусторонних производных функторов в соответствии с общими принципами современной гомологической алгебры рассматривалась в работе Воронова5 (1993); при этом речь шла о бесконечномерных алгебрах Ли, градуированных целыми числами так, что все компоненты градуировки конечномерны.

Современное определение полубесконечных гомологий локально линейно компактных (тейтовских) алгебр Ли было дано в монографии Бейлинсона и Дринфельда6 (2004).

1Б.Л. Фейгин. Полубесконечные когомологии алгебр Ли, Каца-Муди и Вирасоро. Успехи матем. наук 39 (1984), №2, стр. 195-196.

2I.B. Frenkel, H. Garland, G.J. Zuckerman. Semi-infinite cohomology and string theory. Proc. Natl. Acad. Sei. USA 83 (1986), #22, pp. 8442-8446.

3Б.Л. Фейгин, Д.Б. Фукс. Модули Верма над алгеброй Вирасоро. Функц. анализ и его прилож. 17 (1983), Х*3, стр. 91-92.

4A. Rocha-Caridi, N. Wallach. Characters of irreducible representations of the Virasoro algebra. Math. Zeitschrift 185 (1984), #1, pp. 1-21.

5A. Voronov. Semi-infinite homological algebra. Inventiones Math. 113 (1993), #1, pp. 103-146.

eA. Beilinson, V. Drinfeld. Chiral algebras. AMS Colloquium Publications, 51. American Math. Society, Providence, RI, 2004.

Определения полубесконечных гомологий и когомологий ассоциативных алгебр впервые появились в работах Архипова7,819'10 (1997-1998) и далее рассматривались в статье Севостьянова11 (2001). Эти конструкции нашли свое применение в теории представлений малых квантовых групп (Безрукавников-Финкельберг-Шехтман12, 1998). Одним из истоков построений Архипова стала работа соискателя [8] (1993) (идеи которой позже нашли свое развитие и более полное изложение в главе 5 монографии соискателя [9] (2005), написанной в соавторстве с А. Полшцуком).

Архипов и Севостьянов рассматривали ассоциативные алгебры следующего весьма специального вида. Алгебра А над полем к градуирована целыми числами и снабжена двумя градуированными подалгебрами В и N. Отображение умножения N<E>kB —> А является изоморфизмом; алгебра В градуирована неположительными числами, в то время как алгебра N градуирована положительными числами и имеет конечномерные компоненты.

В этой ситуации делаются некоторые дополнительные предположения, позволяющие построить по градуированной алгебре А с подалгебрами N и В градуированную алгебру А# с теми же двумя подалгебрами N к В, такими что отображение умножения В <S>k N —> А* является изоморфизмом. Комплексу правых Л-модулей М' и комплексу левых А#-модулей L' (с определенными ограничениями на градуировки) сопоставляются векторные пространства полубесконечных гомологий Tor^/2+i(M-, L'). Комплексу левых А* -модулей L* и комплексу левых Л-модулей Р* (с некоторыми другими ограничениями на градуировки) сопоставляются пространства полубесконечных когомологий Ext^2+i(L*,P*).

7S.M. Arkhipov. Semi-infinite cohomology of quantum groups. Comm. in Math. Physics 188 (1997), #2, pp. 379-405.

8S.M. Arkhipov. Semi-infinite cohomology of associative algebras and bar-duality. Internat. Math. Research Notices 1997, #17, pp. 833-864

9S.M. Arkhipov. Semi-infinite cohomology of quantum groups II. Topics in quantum groups and finite-type invariants, pp. 3-42, American Math. Society Translations, Ser. 2, 185 (1998).

10S. Arkhipov. A proof of Feigin's conjecture. Math. Research Letters 5 (1998), #3, pp. 403-422.

11 A. Sevostyanov. Semi-infinite cohomology and Hecke algebras. Advances in Math. 159 (2001), #1, pp. 83-141.

12R. Bezrukavnikov, M. Finkelberg, V. Schechtman. Factorizable sheaves and quantum groups. Lecture Notes in Math. 1691, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1998.

В настоящей диссертации [1] решается задача построения функторов полубесконечных гомологий и когомологий ассоциативных алгебр в максимальной естественной общности. Показано, что (в обозначениях выше) ни вторая подалгебра В, ни градуировка с условиями положительности не нужны для определения полубесконечных (ко)гомологий. Достаточно иметь ассоциативную алгебру Л над полем к, подалгебру К С Я, и коалгебру С над к, в подходящем смысле слова "двойственную" к алгебре К (должно быть задано спаривание е (8>к К —► к, согласованное с умножением в К и коумножением в 6). Подходящие условия плоскости/проективности/инъективности и "интегрируемости" накладываются на эти данные.

Более общим образом, в настоящей работе полубесконечные гомологии и когомологии сопоставляются ассоциативным алгебраическим структурам следующего вида. На комодулях над коалгеброй С над к есть операция котензорного произведения Ше; котензорное произведение бикомодулей является бикомодулем. Категория бикомо-дулей над е является (ассоциативной, некоммутативной) тензорной категорией относительно этой операции с единичным объектом С. Полуалгеброй над С называется объект-алгебра в этой тензорной категории. (Термин "полуалгебра" призван указывать на то, что рассматриваемый объект является коалгеброй "по части переменных" и алгеброй "по остальным переменным".)

Другими словами, полуалгебра Б над коалгеброй е — это С-С-би-комодуль, снабженный отображениями полуумножения & Пе § —► § и полуединицы С —> Б, удовлетворяющим подходящим версиям обычных аксиом ассоциативности и единицы. Накладывается условие, согласно которому 8 должно быть инъективным левым и правым С-комодулем. В этих предположениях, всякому комплексу правых §-полумодулей 3\Г* и комплексу левых полумодулей Ж* сопоставляются векторные пространства полубесконечных гомологий ЭегшТог8 (3\Г*, М*).

Есть два существенно разных типа модулей над коалгебрами: наряду с широко известными комодулями, имеются также контрамо-дули. Если § — полуалгебра над коалгеброй С, то С-контрамодули ф, снабженные действием называются 8-полуконтрамодулями. В предположениях выше, всякому комплексу левых Б-полумодулей Ж* и комплексу левых 8-полуконтрамодулей ф* сопоставляются векторные пространства полубесконечных когомологий SemiExts(M,, ф").

Понятие полуалгебры над коассоциативной коалгеброй, определенное выше, двойственно к понятию коколъца над некоммутативным кольцом. Кокольцам в последние годы уделялось некоторое внимание в научной литературе; отметим в этой связи монографию Бжезинского и Висбауэра "Corings and comodules"13 (2003). В то же время, хотя контрамодули аналогичны комодулям и есественным образом должны рассматриваться параллельно с ними, они не получали того внимания, которое заслуживают, и оставались почти совершенно забытыми с 1970-х годов (в книге Бжезинского-Висбауэра они не упоминаются). Настоящая работа вновь привлекла внимание к этому классическому определению, принадлежащему Эйленбергу и Муру14 (1965).

Альтернативный подход к определению полубесконечных кого-мологий ассоциативных алгебр был предложен Безрукавниковым15 (2000). Современное изложение этого подхода было дано в совместной работе Безрукавникова с соискателем [2]. Насколько сейчас известно, подход Безрукавникова имеет смысл только для конечномерных ассоциативных алгебр и эквивалентен подходу Архипова-Севостьянова при дополнительном ограничительном требовании наличия градуировки с условиями положительности/отрицательности. В общем случае, можно сказать, пользуясь аналогией с алгебраической топологией, что Безрукавников определяет "полубесконечные когомологии с компактным носителем для ассоциативных алгебр", в то время как Архипов и Севостьянов рассматривали "обычные полубесконечные когомологии". Настоящая диссертация [1] посвящена развитию подхода Архипова-Севостьянова.

Антиэквивалентность категорий модулей Верма над алгеброй Ви-расоро на дополнительных уровнях с и 26 — с, построенная в работах Фейгина-Фукса и Рока-Кариди-Уоллака, указывает на возможность построения (анти)эквивалентности производных категорий представлений на дополнительных уровнях, основанной на использовании резольвент, составленных из модулей Верма. Проблема, возникающая

13Т. Brzezinski, R. Wisbauer. Corings and comodules. London Math. Society Lecture Note Series, 309. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

14S. Eilenberg, J.C. Moore. Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Math. Society 55 (1965).

15R. Bezrukavnikov. On semi-infinite cohomology of finite dimensional algebras. Electronic preprint arXiv:math.RT/0005148, 2000.

в этой связи, состоит в том, что функтор, о котором идет речь, переводит неацикличные комплексы в ацикличные и обратно: например, он сопоставляет тривиальному одномерному модулю на уровне 0 ацикличный бесконечный комплекс модулей на уровне 26.

Построение двойственности между представлениями на дополнительных уровнях в виде эквивалентности триангулированных категорий требует, таким образом, развития подходящей теории "экзотических" производных категорий модулей, в которых некоторые ацикличные комплексы представляют нетривиавльные объекты. Такая теория полупроизводных категорий полумодулей и полуконтра-модулей, позволяющая сформулировать двойственность между представлениями локально линейно компактной алгебры Ли на дополнительных уровнях в виде ковариантой эквивалентности полупроизводных категорий категории интегрируемых модулей О и ее "контра" версии, развита в настоящей диссертации.

В заключительных замечаниях к работе Воронова "Semi-infinite homological algebra" поднимался вопрос об определении понятия двустороннего производного функтора, не зависящем от предзаданного класса резольвент. Как известно, в классической гомологической алгебре определяются левые производные функторы (в терминах проективных или им подобных левых резольвент) и правые производные функторы (в терминах инъективных или им подобных правых резольвент). Общее определение двустороннего производного функтора двух аргументов дано в настоящей диссертации. Производный функтор, производимый на свет этой конструкцией, может оказаться, в зависимости от входных данных, как левым, так и правым или двусторонним производным функтором.

Соответственно, конструкция чувствительна к входным данным, таким как отношение эквивалентности на комплексах, задающее версию производной категории, на которой двусторонний производный функтор должен быть определен. Построение производных функторов полубесконечных (ко)гомологий SemiTor и SemiExt требует введения в рассмотрение полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей.

Как известно, в классической гомологической алгебре обычно рассматривались либо ограниченные сверху комплексы и их проективные (или плоские, и т.п.) резольвенты, либо ограниченные снизу

комплексы модулей и их инъективные резольвенты. Обсуждение неограниченных с обеих сторон комплексов ограничивалось случаем абелевых категорий или функторов конечной гомологической размерности. Можно приблизительно охарактеризовать классическую гомологическую алгебру как теорию производных категорий, определяемых как локализации гомотопических категорий по классу квазиизоморфизмов, и эквивалентных полным подкатегориям в гомотопических категориях, состоящих из комплесов, подлежащие градуированные объекты которых проективны или инъективны.

Рассмотрение неограниченных комплексов над абелевой категорией бесконечной гомологической размерности, с применением к ним функторов бесконечной гомологической размерности, выводит за пределы классической гомологической алгебры. Одно из решений возникающих в этой связи проблем было предложено в работах Спал-тенштейна16 (1988), Келлера17 (1994), Берншейна-Лунца18 (1994) и др. Оно предполагает необходимость накладывать на рассматриваемые резольвенты условия гомотопической проективности, инъективности, плоскости и т.д., зависящие не только от членов комплексов, но и от дифференциалов в них, и, по существу, более сильные, чем соответствующие почленные условия. В терминологии, восходящей к работе Хьюзмоллера, Мура и Сташефа19 (1974), такие теории (производные категории, производные функторы) называются теориями первого рода.

В противоположность предыдущему, теории второго рода предполагают рассмотрение комплексов с точностью до отношения эквивалентности, несколько более деликатного, чем классический квазиизоморфизм. Исторически, хотя определение дифференциальных производных функторов второго рода было дано уже в упомянутой работе Хьюзмоллера-Мура-Сташефа, определения производных категорий второго рода впервые появились в связи с задачами про-

leN. Spaltenstein. Resolutions of unbounded complexes. Compositio Math. 65, #2, pp. 121-154, 1988.

17B. Keller. Deriving DG-categories. Ann. Sei. École Norm. Sup. (4), 27 (1994), #1, pp. 63-102.

18J. Bernstein, V. Lunts. Equivariant sheaves and functors. Lecture Notes in Math. 1578, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

19D. Husemoller, J.C. Moore, J. Stasheff. Differential homological algebra and homogeneous spaces. Journ. Pure Appl. Algebra 5 (1974), #2, pp. 113-185.

изводной неоднородной кошулевой двойственности. Различные варианты таких теории предлагались в работе Хинича20 (2001), манускрипте Бейлинсона и Дринфельда21 (конец 1990-х), диссертации Лефевра-Хасегавы22 и изложении Келлера некоторых результатов из нее23 (20 03), и, позже, в работе Келлера, Лоуэн и Николаса24 (2010).

Современное определение производных категорий второго рода (копроизводных и контрапроизводных категорий) принадлежит соискателю [1, 3]; им же разработаны и основные методы работы с ними. Полупроизводные категории, играющие важную роль в полубесконечной гомологической алгебре, представляют собой некоторую "смесь" производных категорий первого рода "вдоль по переменным алгебры" и второго рода "вдоль по переменным коалгебры".

Цели работы. Основными научными целями настоящей работы являются

• построение теории полубесконечных гомологий и когомологий ассоциативных алгебраических структур в максимальной естественной общности, позволяющей включить как частные случаи классическую теорию полубесконечных гомологий алгебр Ли и такие примеры, как полубесконечные гомологии локально компактных вполне несвязных топологических групп и конечномерных алгебр;

• построение гомологического формализма, делающего возможной формулировку классической двойственности между представлениями бесконечномерных алгебр Ли, таких как алгебры Вирасоро и Каца-Муди, на дополнительных уровнях как эквивалентности триангулированных категорий и обобщение ее на случай ассоциативных алгебр.

20V. Hinich. DG coalgebras as formal stacks. Joum. Pure App. Algebra 162 (2001), #2-3, pp. 209-250

21 A. Beilinson, V. Drinfeld. Quantization of Hitchin's integrable system and Hecke eigensheaves.

22K. Lefèvre-Hasegawa. Sur les Aoo-catégories. Thèse de doctorat, Université Denis Diderot - Paris 7, November 2003. arXiv:math.CT/0310337

23B. Keller. Koszul duality and coderived categories (after К. Lefèvre). October 2003.

24B. Keller, W. Lowen, P. Nicolás. On the (non)vanishing of some derived categories of curved dg algebras. Journ. Pure Appl. Algebra 214 (2010), #7, pp. 1271-1284.

Дополнительными научными целями работы являются:

• построение гомологической теории комодулей, контрамодулей, полумодулей и полуконтрамодулей над коалгебрами, коколь-цами и полуалгебрами;

• построение левых, правых и двусторонних производных функторов естественных операций, определенных на комодулях, кон-трамодулях, полумодулях и полуконтрамодулях;

• построение производного комодульно-контрамодульного соответствия как эквивалентности копроизводной категории комодулей и контрапроизводной категории контрамодулей над ко-ассоциативным кокольцом;

• построение полумодульно-полуконтрамодульного соответствия как эквивалентности полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей над полуассоциативной полуалгеброй;

• построение производной относительной неоднородной кошуле-вой двойственности для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй над кокольцом.

Методы исследования. Для целей настоящей работы соискателем были разработаны и/или использованы такие методы и технические средства, как

• тензорные операции на комодулях и контрамодулях над кокольцом: котензорное произведение, СоЬот, контратензорное произведение, Нот комодулей и контрамодулей,

• тензорные операции на полумодулях и полуконтрамодулях над полуалгеброй: полутензорное произведение, ЭегшНот, контратензорное произведение, Нот полумодулей и полуконтрамодулей,

• свойства ассоциативности тензорных операций между комоду-лями, контрамодулями, полумодулями и контрамодулями, имеющие место при различных условиях приспособленности, наложенных на участвующие кольцевые и модульные объекты,

• конструкции резольвент для комодулей и контрамодулей над кокольцом С над кольцом А конечной гомологической размерности: сюръективное отображение в произвольный 6-комодуль из Л-плоского С-комодуля, вложение произвольного С-контра-модуля в Л-инъективный е-контрамодуль,

• конструкции резольвент для полумодулей и полуконтрамо-дулей над полуалгеброй S над кокольцом С: сюръективное отображение в произвольный S-полумодуль из Л-плоского S-полумодуля, вложение Л-плоского S-полумодуля в С-коплоский S-полумодуль, вложение произвольного S-полуконтрамодуля в Л-инъективный S-полуконтрамодуль, сюръективное отображение в Л-инъективный S-полуконтрамодуль из С-коинъект-ивного S-полуконтрамодуля,

• описание взаимосвязей между естественными классами приспособленных комодулей и контрамодулей над коалгебрами и ко-кольцами, эквивалентности между о priori разными свойствами приспособленности и их комбинациями,

• общее понятие двустороннего производного функтора от функтора двух аргументов со свойством сбалансированности,

• технические приемы и методы работы с производными категориями второго рода и полупроизводными категориями, эквивалентности между экзотическими производными категориями и различными категориями резольвент,

• относительная неоднородная квадратичная двойственность для полуалгебр над коалгебрами/кокольцами и CDG-коалгебр/ква-зи-дифференциальных коколец,

• лемма Накаямы для (бесконечно порожденных) контрамодулей, структурная теория контрамодулей над коалгебрами над полями.

Научная новизна. Диссертация содержит следующие новые концепции и результаты:

построена полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур как гомологическая теория полумодулей и полуконтрамодулей над полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами и кокольцами;

введены определения копроизводных, контрапроизводных и полупроизводных категорий комодулей, контрамодулсй, полумодулей и полуконтрамодулей, разработаны методы работы с такими категориями;

предложено общее определение двустороннего производного функтора от функтора двух аргументов со свойством сбалансированности;

следуя этому общему определению, построены полубесконечные версии функторов Ext и Тог как двусторонние производные функторы от не точных ни слева, ни справа функторов полутензорного произведения и полугомоморфизмов;

в частности, дано определение полубесконечных гомологий и когомологий ассоциативных алгебр, не зависящее ни от наличия градуировки с условиями положительности и отрицательности, ни от существования второй, дополнительной подалгебры (зависящее только от ассоциативной алгебры с одной подалгеброй и двойственной к этой подалгебре коалгеброй, с наложенными условиями приспособленности и "интегрируемости");

даны определения полубесконечных гомологий и когомологий локально компактной вполне несвязной топологической группы относительно ее компактной открытой подгруппы;

введены понятия контрамодулей над топологическими группами и топологическими кольцами;

построена эквивалентность полупроизводных категорий полумодулей и полуконтрамодулей над полуассоциативной полуалгеброй над коалгеброй над полем или над кокольцом над некоммутативным кольцом конечной гомологической размерности — производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие;

• построены относительные неоднородные варианты квадратичной и производной кошулевой двойственности для полуалгебр над кокольцами и квази-дифференциальных коколец;

• построена структурная теория контрамодулей над коалгебрами над полями.

Большинство методов и технических средств, перечисленных в предыдущем разделе, являются новыми и специально разработанными для целей настоящей диссертации. В частности, к таковым относятся

• конструкции контратензорного произведения ко/контрамодулей над коалгеброй и кокольцом, полу/контра/модулей над полуалгеброй, функтора БетШот,

• результаты о свойствах ассоциативности тензорных операций,

• конструкции резольвент для комодулей и контрамодулей над кокольцами, полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгебрами,

• результаты о взаимосвязях между свойствами приспособленности контрамодулей над коалгебрами, комодулей и контрамодулей над кокольцами.

Научная значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Она проясняет природу полубесконечных гомоло-гий и когомологий ассоциативных алгебр и развивает новую технику производных категорий второго рода и полупроизводных категорий в гомологической алгебре. Кроме того, введенные в работе алгебраические понятия и конструкции позволяют определить новый класс объектов теории представлений групп и алгебр Ли — контрамодули над топологическими алгебрами Ли, алгебраическими парами Хариш-Чандры и их тейтовскими обобщениями, образующие "контра" версию классической категории О. Таким образом, работа вносит вклад в разработку и осмысление фундаментальных вопросов гомологической алгебры и теории представлений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались

• на Оберсеминаре Математического Института Макса Планка (в г. Бонне) 16 января 2003 года,

• на семинаре отдела алгебры Математического Института им. В.А. Стеклова (в г. Москве) 13 марта 2007 года, 7 октября 2008 года,

• на семинаре "Геометрия алгебраических многообразий" Математического Института им. В.А. Стеклова (в г. Москве) 22 мая 2008 года,

• на конференции "Молодая математика России" (конференция победителей конкурсов П. Делиня и фонда Дмитрия Зимина "Династия", в г. Москве) 13 января 2009 года,

• на секции по алгебрам и коалгебрам Первой Международной Конференции по Математике и Статистике в Американском Университете Шарджи (ОАЭ) 20 марта 2010 года,

• на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д.К. Фаддева (в ПОМИ РАН) 21 ноября 2011 года,

• на совместном семинаре по теории чисел Лаборатории Пон-селе НМУ и сектора алгебры и теории чисел ИППИ РАН (в г. Москве) 14 мая 2012 года,

• на Билефельдском семинаре по теории представлений (в Университете Билефельда, Германия) 28 августа 2012 года.

Результаты мемуара [3], представляющего собой в значительной степени развернутое введение к настоящей работе, докладывались и обсуждались

• на Топологическом Оберсеминаре Математического Института Макса Планка (в г. Бонне) 16 июля 2001 года,

• на семинаре по алгебре в Институте Анри Пуанкаре (в г. Париже) 6 апреля 2009 года,

• на семинаре сектора алгебры и теории чисел ИППИ РАН (в г. Москве) 6 апреля 2010 года.

Результаты препринта [5], основанного на методах, развитых в настоящей работе, докладывались и обсуждались:

• на семинаре отдела алгебры Математического Института им. В.А. Стеклова (в г. Москве) 15 февраля 2011 года,

• на международном воркшопе "Производные категории в алгебраической геометрии" (в г. Москве) 6 сентября 2011 года,

• на семинаре факультета математики НИУ ВШЭ "Гомологические и гомотопические методы в геометрии" (в г. Москве) 2 ноября 2011 года.

Ключевые идеи настоящей диссертации были использованы в работе Гайцгори и Каждана о представлениях групп точек алгебраических групп над двумерными локальными полями25 (20 06).

Объем и структура диссертации. Диссертация защищается в виде монографии на английском языке, состоящей из предисловия, введения, двенадцати глав (включая одну вводную главу), шести приложений, списка литературы из 86 наименований, указателя терминов и указателя обозначений. Объем монографии составляет 373 страницы.

Авторство всей монографии принадлежит соискателю, за исключением двух приложений С и D, написанных соискателем в соавторстве с Д. Румыниным и С. Архиповым, соответственно. В качестве диссертации к защите представляется вся монография, за исключением этих двух приложений.

Таким образом, диссертация состоит из предисловия, введения, двенадцати глав, четырех приложений, и списка литературы из 86 наименований. Объем диссертации составляет 300 страниц.

Публикации. Диссертация опубликована в виде монографии [1] (см. список публикаций в конце автореферата). Близкие и смежные результаты соискателя опубликованы в виде журнальной статьи

25D. Gaitsgory, D. Kazhdan. Algebraic groups over a 2-dimensional local field: some further constructions. Studies in Lie theory, pp. 97-130, Progress in Math. 243, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2006.

(в соавторстве) и мемуара [2, 3]. Дальнейшее развитие тематика диссертации получила в работах соискателя, опубликованных в виде журнальной статьи [4] (в соавторстве) и трех препринтов [5, 6, 7]. Предшествовавшими работами соискателя, имеющими отношение к теме диссертации, являются журнальная статья [8] и монография [9] (в соавторстве).

Содержание работы

Короткое предисловие содержит обсуждение общематематического контекста, в котором находится работа, и природы класса математических объектов, с которыми она имеет дело. Более развернутое введение включает описание ключевых идей, короткие формулировки важнейших определений и результатов и обсуждение сходств и различий подходов, использованных в настоящей работе, с другими основными публикациями по ее тематике.

Еще более подробная вводная глава 0 соединяет в себе функции перечня предварительных сведений и сводки основных результатов книги. В параграфе 0.1 дается краткий пересказ теории производных категорий неограниченных комплексов модулей над кольцом и функторов Тог и Ext между такими комплексами, развитой в работах Спалтенштейна, Келлера и др. Параграф 0.2 содержит описание основных определений и результатов теории производных функторов и производных категорий второго рода для неограниченных комплексов комодулей и контрамодулей над коалгеброй над полем. Рассматриваются конструкции функторов котензорного произведения, когомоморфизмов и контратензорного произведения комодулей и контрамодулей, производные функторы Cotor, Coext, Ctrtor и Ext второго рода.

Контрпример, иллюстрирующий сильную зависимость двустороннего производного функтора двух аргументов от отношения эквивалентности на комплексах, в присутствии которого такой функтор строится, приведен в разделе 0.2.3. В разделах 0.2.6-0.2.7 дается набросок конструкции производного комодульно-контрамодуль-ного соответствия для коалгебр над полями и приводится контрпример, показывающий, что эта эквивалентность триангулированных категорий может переводить ацикличные комплексы в неацикличные (т. е., она определена только для производных категорий второго, но не первого рода). Обсуждение производных функторов Cotor первого и второго рода и, в этом контексте, истории гомологической теории коалгебр, комодулей и контрамодулей, а также производных категорий второго рода содержится в разделе 0.2.10.

Сводка конструкций и результатов гомологической теории полуалгебр над коалгебрами над полями дается в параграфе 0.3. При-

водятся определения абелевых категорий полумодулей и полуконтра-модулей, конструкции функторов полутензорного произведения, полугомоморфизмов и контратензорного произведения над полуалгеброй, наброски конструкций двусторонних производных функторов SemiTor и SemiExt, левого производного функтора CtrTor, правых производных функторов Ext для комплексов полумодулей и полукон-трамодулей. Производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие обсуждается в разделе 0.3.7. Несколько ссылок на предшествующие публикации других авторов, в которых рассматривались полуалгебры над коалгебрами и им подобные объекты, можно найти в разделе 0.3.10.

В параграфе 0.4, содержащем предварительные сведения и сводку результатов к главе 11, обсуждаются конструкции неоднородной кошулевой двойственности над базовым кольцом. Определяются свойства квадратичности и кошулевости неотрицательно градуированных колец (удовлетворяющих подходящим условиям плоскости над нулевой градуировочной компонентой), неоднородной квадратичности и кошулевости колец с неотрицательной возрастающей фильтрацией.

В разделе 0.4.3 дается определение категории CDG-колец и строится (для случая колец с компонентами, проективными и конечно порожденными над нулевой компонентой) двойственность между неоднородными кошулевыми кольцами и кошулевыми CDG-кольцами. Формулируется вариант теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта, утверждающий, что эта двойственность является эквивалентностью категорий. В разделе 0.4.4 вводится язык квазидифференциальных колец и модулей, и DG-категория CDG-модулей определяется в разделе 0.4.5.

В разделах 0.4.6-0.4.7 содержится обсуждение производной неоднородной кошулевой двойственности (эквивалентности экзотических производных категорий модулей над фильтрованным кольцом и CDG-модулей над двойственным CDG-кольцом) в ситуации над базовым кольцом и, в частности, производной D—Г2 двойственности, связывающей комплексы модулей над кольцом дифференциальных операторов и DG-модули над комплексом де Рама. История производной кошулевой двойственности коротко рассказывается в разделе 0.4.8.

Глава 1 посвящена теории коколец над ассоциативными кольцами, полуалгебр над кокольцами, комодулей над кокольцами и по-

лумодулей над полуалгебрами. Пусть к — фиксированное коммутативное кольцо, и пусть А — ассоциативная алгебра с единицей над к. Коколъцом С над А называется объект-коассоциативная коалгебра с коединицей в тензорной категории А-А-бимодулей над к (с операцией тензорного умножения над А). Левым комодулем над С называется левый Л-модуль, снабженный структорой объекта-комодуля над С модульной категории левых А-модулей над тензорной категорией А-А-бимодулей (определение правого комодуля над С аналогично). Категория левых С-комодулей абелева, если С является плоским правым А-модулем (большая часть результатов монографии предполагает, что С — плоский левый и правый А-модуль).

Определение операции котензорного произведения N Пе М правого комодуля N и левого комодуля М над кокольцом С формально двойственно классическому определению тензорного произведения правого и левого модулей над ассоциативной алгеброй над полем. Поскольку, однако, речь идет о кокольце над кольцом (а не просто ко-алгебре над полем), операция котензорного произведения соединяет в себе тензорное произведение над кольцом А и собственно котензор-ное произведение в направлении С относительно А. Поэтому котен-зорное произведение комодулей над кокольцом С не является, вообще говоря, ни точным слева, ни точным справа функтором (комодули, подстановка которых в один из аргументов делает этот функтор точным по другому аргументу, называются коплоскими).

По той же причине котензорное произведение (би)комодулей над кокольцом не является, вообще говоря, ассоциативным. Ряд достаточных условий (приспособленности), гарантирующих ассоциативность котензорного произведения, сформулированы в параграфе 1.2. Предполагая одно из таких условий наложенным, можно рассматривать объекты-ассоциативные алгебры с единицей в тензорной категории С-С-бикомодулей относительно котензорного произведения над С.

Такие объекты 5 называются полуалгебрами над С, а объекты-модули над ними в тензорных категориях (левых и правых) С-комодулей над тензорной категорией Є-С-бикомодулей — полумодулями над 5. Категория левых §-полумодулей абелева, если 8 является коплоским правым С-комодулем (большая часть результатов монографии предполагает, что § — коплоский левый и правый С-комо дуль).

Правому S-полумодулю DSf и левому S-полумодулю М, для которых ассоциативно тройное котензорное произведение N Пе S Пе М, сопоставляется ¿-модуль IN" О 3VC — их полутензорное произведение. Этот не точный ни слева, ни справа и, вообще говоря, частично определенный функтор соединяет в себе тензорное произведение над кольцом А, котензорное произведение в направлении кокольца С относительно А, и тензорное произведение в направлении полуалгебры S относительно кокольца С.

Построение производных функторов требует существования приспособленных резольвент. Оказывается, что конструкции таких резольвент в ситуации кокольца С над ассоциативным кольцом А и полуалгебры S над С требуют еще одного предположения — конечности гомологической размерности кольца А. В этих предположениях, в параграфе 1.1 построено сюръективное отображение на произвольный С-комодуль из А-плоского С-комодуля. В параграфе 1.3 построено сюръективное отображение на произвольный S-полумодуль из А-плоского S-полумодуля, а также инъективное отображение из произвольного А-плоского S-полумодуля в Б-коплоский S-полумодуль. Достаточные условия ассоциативности полутензорного произведения рассматриваются в параграфе 1.4.

Целью главы 2 является построение двусторонних производных функторов Cotor и SemiTor функторов котензорного и полутензорного произведения над кокольцом G и полуалгеброй S. Областями определения этих двусторонних производных функторов служат не обычные производные категории абелевых категорий комодулей и полумодулей, но их копроизводные и полупроизводные категории.

Точной тройке (короткой точной последовательности) комплексов над аддитивной категорией А можно сопоставить ее тотализа-цию (тотальный комплекс) как бикомплекса с тремя строками. Комплекс над точной категорией А с точными функторами бесконечных прямых сумм называется коацикличным, если он принадлежит минимальной триангулированной подкатегории гомотопической категории Hot (А) комплексов над А, содержащей тотализации точных троек комплексов над А и замкнутой относительно бесконечных прямых сумм.

Копроизводной категорией точной категории А с точными функторами бесконечных прямых сумм называется факторкатегория ее гомотопической категории Hot(A) по толстой подкатегории коаци-

кличных комплексов. Полупроизводной категорией (левых или правых) полумодулей над полуалгеброй 5 над кокольцом е называется факторкатегория гомотопической категории комплексов §-полумо-дулей по ее толстой подкатегории, состоящей из всех комплексов 5-полумодулей, коацикличных как комплексы С-комодулей.

Комплекс (скажем, правых) 8-полумодулей называется полуплоским, если его полутензорное произведение над § с любым С-коаци-кличным комплексом левых 5-полумодулей является ацикличным комплексом ^-модулей. Аналогично можно определить коплоские комплексы С-комодулей условием ацикличности котензорного произведения над е с любым коацикличным комплексом С-комодулей (понятие это, однако, является менее важным, чем предыдущее, поскольку всякий комплекс коплоских С-комодулей является коплоским комплексом С-комодулей).

В параграфе 2.5 доказывается, что комплексов коплоских С-комодулей достаточно много, т. е., факторкатегория гомотопической категории комплексов коплоских С-комодулей по ее пересечению с толстой подкатегорией коацикличных комплексов С-комодулей эквивалентна копроизводной категории С-комодулей. В параграфе 2.6 получен аналогичный результат для полуплоских комплексов С-коплоских 5-полумодулей: факторкатегория гомотопической категории таких комплексов по ее пересечению с толстой подкатегорией С-коацикличных комплексов Б-полумодулей эквивалентна полупроизводной категории 5-полумодулей.

Следующая обшая схема построения двусторонних производных функторов двух аргументов сформулирована в параграфе 2.7. Пусть Нх и Нг — две категории, Н С Нх х Нг — подкатегория, К — категория, и 0: Н —> К — функтор. Пусть Бх С Нх и Бг С Нг — локализующие классы морфизмов. Чтобы построить двусторонний производный функтор 106: Нх^1] х Нг^1] —► К, предположим, что удалось найти подкатегории ("резольвент") Рх С Нх и С Нг со следующими свойствами.

Прежде всего, требуется, чтобы обе подкатегории Рх X Н2 и Нх х

С Нх х Н2 содержались в области определения Н С Нх х Н2 функтора в. Далее, нужно, чтобы подстановка объекта из Р{ в один из аргументов функтора 0 делала его точным по второму аргументу: для любых объектов ^ € и морфизмов € Б,- морфизмы 0(.Рх, вг)

и ©(si,^) должны быть изоморфизмами в К. Кроме того, резольвент должно быть достаточно много: для каждого i = 1, 2, функтор Fj[(Fj П Si)-1] —> Hits,"1] должен быть эквивалентностью категорий.

Тогда ограничения функтора 0 на подкатегории Fi х Нг и Hi х F2 С Н факторизуются через локализации этих подкатегорий по их пересечениям с Si х S2, индуцируя искомые двусторонние производные функторы DiG и ©2©: HifS^1] х Нг^—> К, естественно изоморфные между собой. Отсюда следует, что построенный таким образом производный функтор D0 не зависит от выбора подкатегорий резольвент Fi и F2, при условии, что обе подкатегории с перечисленными свойствами существуют.

Применение описанной схемы к функторам котензорного произведения комплексов С-комодулей Ше и полутензорного произведения комплексов S-полумодулей Os (с подходящими локализующими классами морфизмов, состоящими из всех морфизмов комплексов С-комодулей с коацикличными конусами и всех морфизмов комплексов S-полумодулей с С-коацикличными конусами, соответственно), производит двусторонние производные функторы Cotore(!Nf*,M*) и SemiTors(N*, М*). При этом в роли подкатегорий резольвент используются полные подкатегории комплексов коплоских С-комодулей и полуплоских комплексов С-коплоских S-полумодулей, соответственно.

В главе 3, композиция и логика изложения материала в которой параллельны главе 1, строится теория контрамо дулей над ко кольцами и полуконтрамодулей над полуалгебрами над кокольцами.

Пусть е — кокольцо над некоммутативным кольцом А. Левым контрамодулем ф над С называется левый Л-модуль, снабженный гомоморфизмом левых Л-модулей (называемым отображением контрадействия) 7г<р: Нотл(С,ф) —> ф, удовлетворяющим подходящим условиям контраассоциативности и коединицы. Категория левых С-контрамодулей абелева, если С является проективным левым Л-модулем (большая часть результатов монографии, упоминающих контрамодули, предполагает, что С — проективный левый и плоский правый Л-модуль).

Контрамодули двойственно-аналогичны комодулям; в частности, аналогом операции котензорного произведения является функтор ко-гомоморфизмов Cohome, сопоставляющий левому С-комодулю М и левому С-контрамодулю — fc-модуль Cohome(M, ф). Поскольку

речь идет о кокольце над кольцом (а не просто коалгебре над полем), функтор СоЬоте, соединяющий в себе Нот над кольцом А и собственно когомоморфизмы в направлении 6 относительно А, не является, вообще говоря, ни точным слева, ни точным справа функтором. Комодули, подстановка которых в первый аргумент этого функтора делает его точным по второму аргументу, называются копр оективными, а контрамодули, подстановка которых во второй аргумент делает этот фунтор точным по первому аргументу, называются коинъективными.

Для левого С-комодуля М, С-С-бикомодуля X и левого С-контра-модуля ф, изоморфизм ассоциативности

СоЬоте(ЭС Пе М, Я?) ~ СоЬоте(М, СоЬоте(ЭС, ф))

имеет место при одном из достаточных условий (приспособленности), сформулированных в параграфе 3.2. Предполагая одно из таких условий наложенным, можно дать определение левого полуконтрамодуля ф над полуалгеброй § над кокольцом С как левого С-контрамодуля, снабженного гомоморфизмом левых С-контрамодулей (называемым отображением полуконтрадействия) р<р: ^ —> СоЬоте (5, ^р), удовлетворяющим подходящим условиям полуконтраассоциативности и полуединицы. Категория левых 8-полуконтрамодулей абелева, если § является копроективным левым С-комодулем (большая часть результатов монографии, упоминающих полуконтрамодули, предполагает, что § — копроективный левый и коплоский правый С-комодуль).

Левому §-полумодулю Ж и левому й-полуконтрамодулю ф, для которых имеется изоморфизм ассоциативности СоЬоте(§ПеМ, *р) ~ СоЬоте(М, СоЬоте(§, сопоставляется /¡-модуль полугомоморфизмов 8етШот§(Ж,Я?)- Этот не точный ни слева, ни справа и, вообще говоря, частично определенный функтор соединяет в себе Нот над кольцом А, когомоморфизмы в направлении кокольца С относительно А, и Нот в направлении полуалгебры § относительно кокольца 6.

Сюръективное отображение на произвольный С-комодуль из А-проективного С-комодуля и инъективное отображение из произвольного С-контрамодуля в А-инъективный С-контрамодуль строятся в параграфе 3.1. Сюръективное отображение на произвольный

§-полумодуль из А-проективного 5-полумодуля и инъективное отображение из произвольного §-полуконтрамодуля в А-инъективный §-полуконтрамодуль построены в параграфе 3.3. В том же параграфе строятся инъективное отображение из произвольного А-проективного §-полумодуля в С-копроективный 5-полумодуль и сюръективное отображение на произвольный А-инъективный §-полуконтрамодуль из С-коинъективного 8-полуконтрамодуля.

Достаточные условия ассоциативности полугомоморфизмов рассматриваются в параграфе 3.4.

Целью главы 4, изложение в которой параллельно главе 2, является построение двусторонних производных функторов Соех1 и SemiExt функторов ко- и полугомоморфизмов над кокольцом С и полуалгеброй §. Областями определения вторых аргументов этих двусторонних производных функторов являются контрапро-изводная категория С-контрамодулей и полупроизводная категория §-полуконтрамодулей.

Комплекс над точной категорией А с точными функторами бесконечных произведений называется контр аацикличным, если он принадлежит минимальной триангулированной подкатегории гомотопической категории Но^А), содержащей тотализации точных троек комплексов над А и замкнутой относительно бесконечных произведений. Контрапроизводной категорией точной категории А с точными функторами бесконечных произведений называется факторка-тегория ее гомотопической категории Но^А) по толстой подкатегории контраацикличных комплексов.

Полупроизводной категорией левых полуконтрамодулей над полуалгеброй § над кокольцом С называется факторкатегория гомотопической категории (комплексов) левых §-полуконтрамодулей по ее толстой подкатегории, состоящей из всех комплексов, контраацикличных как комплексы левых С-контрамодулей. Комплекс левых 8-полумодулей называется полупроективным, если комплекс полугомоморфизмов из него в любой С-контраацикличный комплекс левых §-полуконтрамодулей является ацикличным комплексом к-модулей. Аналогично, комплекс левых §-полуконтрамодулей называется полу-инъективным, если комплекс полугомоморфизмов в него из любого е-коацикличного комплекса левых 5-полумодулей является ацикличным комплексом /г-модулей.

В параграфе 4.5 показано, что факторкатегория гомотопической категории комплексов копроективных С-комодулей по ее пересечению с толстой подкатегорией коацикличных комплексов С-комодулей эквивалентна копроизводной категории С-комодулей, а факторкатегория гомотопической категории комплексов коинъ-ективных С-контрамодулей по ее пересечению с толстой подкатегорией контраацикличных комплексов С-контрамодулей эквива-лентнта контрапроизводной категории С-контрамодулей. Аналогично, в параграфе 4.6 доказывается, что факторкатегория гомотопической категории полупроективных комплексов С-копроек-тивных §-полумодулей по ее пересечению с толстой подкатегорией С-коацикличных комплексов 5-полумодулей эквивалентна полупроизводной категории 5-полумо дулей, а факторкатегория гомотопической категории полуинъективных комплексов С-коинъективных §-полуконтрамодулей по ее пересечению с толстой подкатегорией С-контраацикличных комплексов §-полуконтрамодулей эквивалентна полупроизводной категории §-полуконтрамодулей.

С помощью этих резольвент, в параграфе 4.7 строятся двусторонние производные функторы Соех1е(М*, ф*) и Зе1шЕх1§(М*, ЯЗ*) функторов когомоморфизмов из С-комодулей в С-контрамодули и полугомоморфизмов из 8-иолумо дулей в §-полуконтрамодули.

В главе 5 строится производное комодульно-контрамодульное соответствие — эквивалентность между копроизводной категорией левых комодулей и контрапроизводной категорией левых контрамо-дулей над кокольцом С над некоммутативным кольцом А конечной гомологической размерности. Кроме того, в главе доказываются более сильные версии некоторых результатов главы 4.

Различные варианты понятий относительной инъективности (С/А-инъективности) С-комодулей и относительной проективности (С/А-проективности) С-контрамодулей (необходимые также для построения производного полумодульно-полуконтрамодульного соответствия в главе 6) определяются в параграфе 5.1.

Контратензорное произведение N 0е правого С-комодуля К и левого С-контрамодуля ф — это /г-модуль, определяемый как коядро естественной пары отображений N Нотд(С, ф) гз ф. Для любых двух коколец С и Ъ и В-С-бикомодуля ЗС, функтор из категории левых С-контрамодулей в категорию левых Т>-комодулей,

сопоставляющий С-контрамодулю ф контратензорное произведение сопряжен слева к функтору из категории левых D-комодулей в категорию левых С-контрамодулей, сопоставляющему D-комодулю М модуль всех D-комодульных гомоморфизмов НоП1'Х)(ЗС) М).

Достаточные условия для взаимной ассоциативности котензор-ного и контратензорного произведений, когомоморфизмов и гомоморфизмов комодулей и контрамодулей над кокольцами приводятся в параграфе 5.2, где из них выводится также важная лемма об эквивалентности некоторых свойств приспособленности комодулей и контрамодулей над кокольцами.

Сопряженные функторы Фе и Фе между категориями левых С-комодулей и левых С-контрамодулей определяются правилами Фе(М) = Ноте(е,М) и Фе(Ф) = е©еф. В параграфе 5.3 доказывается, что функторы Фе и Фе индуцируют взаимно-обратные эквивалентности между точными категориями С/А-инъективных С-комодулей и С/Л-проективных С-контрамодулей.

Описание копроизводной категории С-комодулей и контрапроиз-водной категории С-контрамодулей как факторкатегорий гомотопических категорий комплексов С/Л-инъективных С-комодулей и С/А-проективных С-контрамодулей по подходящим толстым подкатегориям дается в параграфе 5.4 (другое подобное описание, применимое в несколько большей общности, предлагается в параграфе 5.5, где оно используется для построения левого производного функтора Ctrtor над кокольцом). Теорема о производном ко-контра соответствии выводится отсюда как следствие.

Производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие

— эквивалентность полупроизводных категорий левых полумодулей и левых полуконтрамодулей над полуалгеброй S над кокольцом С

— строится в главе 6. Сопряженные функторы Ф§ и Ф§ между категориями левых S-полумодулей и левых S-полуконтрамодулей, производные функторы которых МФ§ и ЬФ§ задают эту эквивалентность триангулированных категорий, определяются правилами Ф§(М) = Homs(S,M) и Ф8(«р) = S ®s ф-

Здесь контратензорное произведение IN" @s Ф правого S-полу-модуля N и левого S-полуконтрамодуля ф — это ¿-модуль, определяемый как коядро естественной пары отображений (TNfDeS) ©е^Р

а через Horns обозначается к-модуль гомоморфизмов в абеле-

вой категории полумодулей. Функторы Ф§ и Ф§ образуют коммутативные диаграммы с функторами Фе и Фе и забывающими функторами из категорий 5-полумодулей и 8-полуконтрамодулей в категории С-комодулей и е-контрамодулей.

Достаточные условия для взаимной ассоциативности полутензорного и контратензорного произведений, полугомоморфизмов и гомоморфизмов полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгебрами над ко кольцами приводятся в параграфе 6.2. Описание полупроизводных категорий 5-полумодулей и §-полуконтрамодулей как факторкатегорий гомотопических категорий комплексов С/А-инъективных 8-полумодулей и С/А-проективных 8-полуконтрамо-дулей дается в параграфе 6.3, где также выводится теорема о производном полумодульно-полуконтрамодульном соответствии.

Морфизмы в полупроизводных категориях §-полумодулей и 5-полуконтрамодулей вычисляются (с помощью частично проектив-ных/инъективных резольвент обоих аргументов) в параграфе 6.5; там же приводится конструкция левого производного функтора СНгТог5 функтора контратензорного произведения 5-полумодулей и 5-полуконтрамодулей. Теорема, согласно которой производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие преобразует функтор полубесконечных когомологий ЗепиЕх1§ в функтор Нот в полупроизводной категории полумодулей или полуконтрамодулей, а функтор полубесконечных гомологий ЭегшТог5 — в левый производный функтор С1гТог8, доказывается в параграфе 6.6.

Целью главы 7 является описание свойств функториальности зависимости теорий Со1оге(3\Г', М') и Соех1е(М', ф*) от их неабелева аргумента — кокольца С над некоммутативным кольцом А. Понятие совместимой пары морфизмов А —► В и С —> Т) для кокольца С над кольцом А и кокольца 2) над кольцом В, а также морфизма из С-комодуля в И-комодуль или из И-контрамодуля в С-контрамодуль, совместимого с такой парой морфизмов, вводится в параграфе 7.1. Там же строятся пары сопряженных функторов замены базового кольца, сопоставляющих С-ко/контрамодулю 1)-ко/контрамодуль, и замены кокольца, сопоставляющих 2)-ко/контрамодулю С-ко/кон-трамодуль.

В разделе 7.2.2 доказывается важная теорема, согласно которой всякий комплекс А-плоских С-комодулей, коацикличный по отноше-

нию к абелевой категории произвольных е-комодулей, коацикличен также и по отношению к точной категории А-плоских С-комодулей. Производные функторы функторов замены кольца и кокольца строятся в параграфе 7.3.

Отношение эквивалентности на кокольцах, связывающее кокольцо е над кольцом А и кокольцо Ъ = В б <2>л В над кольцом В, где А —> В — гомоморфизм колец, превращающий В в строго проективный левый и строго плоский правый Л-модуль, рассматривается в параграфе 7.4. Теория морфизмов и эквивалентностей Мориты между кольцами и кокольцами обсуждается в параграфе 7.5.

Свойства функториальности зависимости полубесконечных гомологии ЗеппТог5(?\Г*, М*) и полубесконечных когомологий Зе1шЕх1§(М*, ф*) от их неабелева аргумента —■ полуалгебры Б над кокольцом С — рассмативаются в главе 8. Понятие морфизма полуалгебр 5 —► Т, совместимого с морфизмом колец А —> В и морфизмом коколец С —> В (для полуалгебры § над кокольцом С над кольцом А и полуалгебры 7 над кокольцом Т> над кольцом В), вводится в параграфе 8.1. Там же строятся пары сопряженных функторов замены базового кокольца, сопоставляющих Т-полу (контра)модулю 5-полу(контра)модуль, и замены полуалгебры, сопоставляющих §-полу(контра)модулю Т-полу(контра)модуль.

Производные функторы функторов замены кокольца и полуалгебры строятся в параграфе 8.3. В том же параграфе показано, что производное полумодульно-полуконтрамодульное соответствие преобразует правый производный функтор замены кокольца в полумодулях в левый производный функтор замены кокольца в полуконтра-модулях.

Теория морфизмов и эквивалентностей Мориты между кокольцами и полуалгебрами обсуждается в параграфе 8.4. Эквивалентности Мориты между полуалгебрами, вообще говоря, не индуцируют эквивалентностей полупроизводных категорий полумодулей и полу-контрамодулей над такими полуалгебрами, поскольку полупроизводная категория полу (контра) модулей не определяется абелевой категорией полу(контра)модулей, а зависит также от забывающего функтора в абелеву категорию ко/контрамодулей. Соответственно, полубесконечные (ко)гомологии эквивалентных по Морите полуалгебр могут быть существенно разными.

Достаточное условие для эквивалентности полупроизводных категорий при эквивалентности Мориты полуалгебр, связанной с заменой кокольца с помощью строго копроективного/коплоского мор-физма Мориты между кокольцами приводится в разделе 8.4.4.

Глава 9 посвящена построению структур замкнутых модельных категорий на категориях комплексов комодулей и контрамодулей над кокольцами (рассматриваемых в параграфе 9.1) и комплексов полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгебрами над кокольцами (обсуждаемых в параграфе 9.2). Модельные структуры, о которых здесь идет речь, имеют "полубесконечную" природу, т. е., ко-фибрантные объекты в них выделяются условиями проективности "по части переменных", в то время как фибрантные объекты выделяются условиями инъективности "по оставшимся переменным".

В частности, фибрантно-кофибрантными объектами модельной категории комплексов С-комодулей являются комплексы копроектив-ных С-комодулей, а фибрантно-кофибрантными объектами модельной категории комплексов С-контрамодулей являются комплексы коинъективных С-контрамодулей. Фибрантно-кофибрантными объектами модельной категории З-полумо дулей являются полупроективные комплексы полупроективных с>-полумодулей, а фибрантно-кофибрантными объектами модельной категории 8-полуконтрамо-дулей являются полуинъективные комплексы полуинъективных 8-полуконтрамо дулей.

Точнее, корасслоениями в модельной структуре на категории комплексов С-комодулей являются почленно инъективные морфизмы комплексов с Л-проективными коядрами, а расслояниями являются почленно сюръективные морфизмы комплексов с С/Л-инъективными ядрами. Корасслоениями в модельной структуре на категории комплексов С-контрамодулей являются почленно инъективные морфизмы комплексов с С/Л-проективными коядрами, а расслоениями — почленно сюръективные морфизмы комплексов с Л-инъетивными ядрами. Корасслоения и расслоения комплексов 5-полумодулей и 5-полуконтрамодулей описываются аналогичным образом, с той разницей, что условия проективности и инъективности в направлении § относительно С относительно А применяются не только к каждому члену комплексов, но и к комплексам в целом.

"Обычные" инъективная модельная структура на категории комплексов 5-полумодулей и проективная модельная структура на ка-

тегории комплексов §-полуконтрамодулей коротко обсуждаются в замечании 9.2.2 в конце главы. Необходимый запас инъектив-ных комплексов инъективных 5-полумодулей и проективных комплексов проективных 5-полуконтрамодулей может быть получен применением функторов полумодульно-полуконтрамодульного соответствия и к полупроективным комплексам полупроективных 5-полуконтрамодулей и полуинъективным комплексам полуинъектив-ных 8-полумодулей, соответственно.

В главе 10 излагается важный способ построения полуассоциативных полуалгебр по таким исходным данным, как ассоциативная алгебра с фиксированной подалгеброй и отдельно заданная коалгебра или кокольцо, двойственное к подалгебре. Более элементарная конструкция кокольца, двойственного к кольцу, являющемуся конечно-порожденным проективным правым модулем над своим подкольцом, дана в разделе 10.1.1.

Пусть С — кокольцо над ассоциативным кольцом А и А —> К — гомоморфизм ассоциативных колец. На гомоморфизм А-А-бимо-дулей

ф: е <8>д К —► А

накладываются условия совместимости с коумножением в С и умножением в К. Такое отображение ф позволяет определить на любом правом С-комодуле структуру правого Х-модуля и на любом левом С-контрамодуле структуру левого /¿"-модуля. Достаточное условие для того, чтобы первый из этих двух функторов был вполне строгим, сформулировано в разделе 10.1.4.

Пусть теперь /: К —► Л — гомоморфизм ассоциативных колец, такой что Л является проективным левым /¿"-модулем. Предположим, что структура правого /¿"-модуля на тензорном произведении С <8>д Л происходит из структуры правого С-комодуля, согласованной с некоторыми естественными отображениями ("условие интегрируемости"). Тогда на С-С-бикомодуле Б = е Л появляется структура полуалгебры над кокольцом С.

На всяком правом 5-полумодуле имеется естественная структура правого Л-модуля. Более того, правые §-полумодули могут быть описаны как ¿-модули, снабженные одновременно структурами правого е-комодуля и правого Л-модуля, удовлетворяющими некоторым условиям согласования. Аналогично, на всяком левом

полуконтрамодуле имеется естественная структура левого /¿-модуля; более того, левые S-полуконтрамодули могут быть описаны как к-модули, снабженные одновременно структурами левого С-контра-модуля и левого -R-модуля, удовлетворяющими некоторым условиям согласования.

В то же время, в общем случае неизвестно никакого явного описания категории левых S-полумодулей в терминах набора данных (е, К, R, ф, /). Можно построить только естественную пару сопряженных функторов между категориями левых S-полумодулей и левых Л-модулей.

Конструкции коколец и полуалгебр, связанных со структурами сплетения (entwining structures) рассматриваются в параграфе 10.3. Конструкция полупроизведения двух модулей, принадлежащая Се-востьянову, находит свою естественную общность в этом контексте. Приводится также двойственно-аналогичная конструкция модуля по-луморфизмов между модулем и контрамодулем над структурой сплетения.

Глава 11 посвящена построению теории неоднородной кошуле-вой двойственности над базовым кокольцом. Условия кошулевости в относительной ситуации над неполупростой базой рассматриваются в присутствии условий плоскости или проективности над такой базой.

Неотрицательно градуированная полуалгебра S над кокольцом С над ассоциативным кольцом А называется коплоской справа кошу-левой, если ее нулевая компонента градуировки совпадает с С, относительная приведенная бар-конструкция S над G не имеет гомологий вне диагонали, полуалгебра S плоска справа над А, и диагональные гомологии удовлетворяют условию коплоскости справа над 6. Аналогично определяется класс плоских справа и относительно коплоских слева кошулевых градуированных полуалгебр S над С.

Неотрицатрельно градуированное кокольцо D над кольцом А, нулевая компонента градуировки которого равна С, называется коплос-ким справа кошулевым над кокольцом С, если относительная приведенная кобар-конструкция D над С не имеет когомологий вне диагонали, диагональные когомологии удовлетворяют условию плоскости справа над А, и кокольцо 2) коплоско справа над С. Аналогично определяется класс плоских справа и относительно коплос-

ких слева кошу левых градуированных коколец 2) над С. Согласно теореме 11.4.3, категории кошулевых градуированных полуалгебр и кошулевых градуированных коколец (с соответствующими условиями (ко)плоскости) над одним и тем же (фиксированным, или даже переменным) базовым кокольцом эквивалентны между собой.

Известная теорема о градуированных алгебрах над полями утверждает, что если в такой алгебре есть центральный элемент степени 1, не являющийся делителем нуля, то факторалгебра по идеалу, порожденному таким элементом, кошулева тогда и только тогда, когда исходная алгебра кошулева. Иными словами, это значит, что прямая сумма компонент фильтрации (алгебра Риса) ассоциативной алгебры с возрастающей фильтрацией кошулева тогда и только тогда, когда присоединенная градуированная алгебра кошулева. В параграфе 11.5 доказывается аналогичное утверждение для полуалгебр над кокольцами, снабженных возрастающей фильтрацией, удовлетворяющей подходящим условиям (ко)плоскости. Полуалгебра с возрастающей фильтрацией, удовлетворяющая этим эквивалентным условиям, называется неоднородной кошулевой (с соответствующими условиями (ко)плоскости) над своим кокольцом.

Понятие квазидифференциального кокольца призвано отвечать на вопрос о том, какая структура на коалгебре поливекторных полей на гладком многообразии соответствует дифференциалу де Рама на алгебре дифференциальных форм. Квазидифференциальным кокольцом над ассоциативным кольцом А называется градуированное кокольцо, снабженное нечетным кодифференцированием д степени 1 с нулевым квадратом и нулевыми /с-модулями когомологий. Подлежащим градуированным кокольцом квазидифференциального кокольца 2)~ считается коядро Т> = ¡дЪ~ дифференциала д. Квазидифференциальное кокольцо Т>~ называется кошулевым (с подходящими условиями (ко)плоскости), если градуированное кокольцо Т) кошулево над своей нулевой компонентой.

В параграфе 11.6 рассматривается конструкция неоднородной квадратичной двойственности, сопоставляющая неоднородной кошулевой полуалгебре Р) над кокольцом С кошулево квазидифференциальное кокольцо над С. Присоединенная градуированная полуалгебра § фильтрованной полуалгебры связана при этом (однородной) кошулевой двойственностью с градуированным кокольцом

D, а прямая сумма компонент фильтрации полуалгебры — с градуированным кокольцом

Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витпта в контексте относительной неоднородной квадратичной двойственности утверждает, что описанный функтор является эквивалентностью категорий. Нетривиальная часть этого утверждения состоит в том, что всякое кошулево квазидифференциальное кокольцо происходит из некоторой неоднородной кошулевой полуалгебры. Теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для алгебр Ли над полями, плоских алгебр Ли над коммутативными кольцами, и плоских алгеброидов Ли над коммутативными кольцами являются частным случаем этого общего утверждения. Другим частным случаем является теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных кошулевых алгебр и CDG-алгебр над полями, полученная в предшествовавших работах соискателя [8, 9]26.

Квазидифференциальным комодулем или контрамодулем над квазидифференциальным кокольцом д) называется произвольный градуированный К~-комодуль или контрамодуль (без дифференциала). В параграфе 11.7 показано, что квазидифференциальные комодули и контрамодули образуют DG-категории. Теорема производной кошулевой двойственности, доказанная в параграфе 11.8, утверждает, что для неоднородной кошулевой полуалгебры и кошулева квазидифференциального кокольца полупроизводная категория 5~-полумодулей эквивалентна копроизводной категории квазидифференциальных комодулей над а полупроизводная категория §~-полуконтрамодулей эквивалентна контрапроизводной категории квазидифференциальных контрамодулей над Эти эквивалентности триангулированных категорий преобразуют функтор SemiTors в функтор Cotor квазидифференциальных комодулей над

, а функтор SemiExtg~ в функтор Coext квазидифференциальных комодулей и контрамо дулей над

Целью приложения А является построение основ структурной теории контрамодулей над коалгебрами над полями. В разделе А.1.1 приводится интерпретация контрамодулей над коалге-брой, двойственной к алгебре формальных степенных рядов Тейлора,

26См. также A. Braverman, D. Gaitsgory. Poincaré-Birkhoíf-Witt theorem for quadratic algebras of Koszul type. Journ. of Algebra 181 (1996), #2, p. 315-328.

как векторных пространств с операцией бесконечного суммирования; при этом показано, что такое бесконечное суммирование не может быть, вообще говоря, интерпретировано как какой-либо предел конечных частичных сумм.

Известно, что всякий комодуль над коассоциативной коалгеброй С над полем к является объединением своих конечномерных подкомо-дулей, причем последние являются комодулями над конечномерными подкоалгебрами С. Контрпримеры показывают, что контрамодули не обладают такими свойствами: что естественное отображение из С-контрамодуля в проективный предел его конечномерных фактор-контрамодулей может не быть инъективным. Более того, структура С-контрамодуля на конечномерном векторном пространстве может не происходить из структуры контрамодуля ни над какой конечномерной подкоалгеброй С.

Классическая лемма Накаямы, широко используемая в коммутативной алгебре, применима к конечно порожденным модулям. Лемма Накаямы для контрамодулей, доказанная в параграфе А.2, не зависит ни от каких предположений конечной порожденности. В том же параграфе доказывается лемма о классификации контрамодулей над бесконечной прямой суммой коалгебр. Взятые вместе, эти результаты позволяют получить классификацию неприводимых контрамодулей над коалгеброй С. Все такие контрамодули конечномерны и происходят из неприводимых контрамодулей над простыми конечномерными подкоалгебрами С; в частности, имеется биективное соответствие между неприводимыми С-контрамодулями и неприводимыми С-комодулями.

Важная лемма об эквивалентности трех свойств приспособленности контрамодулей над коалгеброй над полем — контраплоско-сти, коинъективности и проективности — доказывается в параграфе А.З. Длинное замечание в конце этого параграфа вводит понятие контрамодуля над топологическим ассоциативным кольцом и намечает пути обобщения результатов приложения на случай таких контрамодулей.

Сравнению теории полубесконечных гомологий и когомологий полуалгебр над коалгебрами, построенной в настоящей работе, с теориями полубесконечных гомологий и когомологий ассоциативных алгебр, рассматривавшимися в предшествовавших работах Архипова и

Севостьянова, посвящено приложение В. По градуированной ассоциативной алгебре Я над полем к, снабженной двумя градуированными подалгебрами К и В, такими что К сосредоточена в отрицательных градуировках и имеет конечномерные компоненты, а В сосредоточена в неотрицательных градуировках, и при этом отображение умножения К В —> Я является изоморфизмом, можно построить градуированную полуалгебру § над градуированной ко-алгеброй е, двойственной к алгебре К.

Предположим, что ту же полуалгебру § можно получить аналогичной с точностью до перемены левой и правой сторон умножения конструкцией из градуированной алгебры с теми же двумя подалгебрами К к В, для которой отображение умножения В ®к К —> Я# является изоморфизмом. Тогда категория градуированных правых §-полумодулей, сосредоточенных в неположительных градуировках, описывается как категория градуированных правых /¿-модулей; категория градуированных левых §-полумодулей, сосредоточенных в неположительных градуировках, описывается как категория градуированных левых Д^-модулей; и категория градуированных левых 5-полуконтрамо дулей, сосредоточенных в неотрицательных градуировках, описывается как категория градуированных левых Я-модулей (с соответствующим ограничением на градуировки).

Налагая на один из модулей условие проективности над К, функтор полугомоморфизмов 8епиНот£ можно описать, следуя подходу Архипова, в терминах функторов тензорного произведения над Я и гомоморфизмов над Аналогичный подход к описанию функтора полутензорного произведения {>8 в общем случае не проходит из-за того, что функтор контратензорного произведения над 5 хотя и близок, но отличается от функтора тензорного произведения над Я. Эта проблема не встает в рамках подхода Севостьянова, позволяющего описать функтор полутензорного произведения в терминах функторов котензорного произведения над С и тензорного произведения над В в предположении проективности одного из перемножаемых модулей относительно К.

Применительно к комплексам модулей, сосредоточенных в, соответственно, неположительных и неотрицательных градуировках, полупроизводные категории полумодулей и полуконтрамодулей не отличаются от обычных производных категорий модулей. Конструк-

дии резольвент, предложенные в работах Архипова, обладают необходимыми свойствами приспособленности, позволяющими использовать их для вычисления производных функторов SemiTor и SemiExt. Как объяснено в параграфе В.4, это позволяет сделать заключение о согласованности конструкций функторов SemiExt и SemiTor из настоящей работы с конструкцией функтора Ext°°/2+*, данной Ар-хиповым, и конструкцией функтора Тогоо/2+*> принадлежащей Се-востьянову.

Отдельный интерес представляет случай, когда подалгебра К С R конечномерна. В этом случае, предполагая, что R является проективным левым _К"-модулем и не используя ни градуировки, ни существования дополнительной подалгебры В, всегда можно построить полуалгебру S = е ®к R> где С = К*. Предполагая дополнительно, что S является инъективным правым /¿"-модулем, можно построить и соответствующую алгебру R& = S Oq К с подалгеброй К.

Категории правых S-полумодулей, левых S-полумодулей и правых S-полуконтрамодулей описываются как категории правых R-модулей, левых Д^-модулей, и левых .R-модулей, соответственно. В подходящих предположениях приспособленности модулей, функторы полутензорного произведения и полугомоморфизмов над S описываются в терминах функторов тензорного произведения и гомоморфизмов над R и R* формулами N Os М ~ N ®я Нотд# (S, М) и SemiHoms(M, Р) ~ Нотд#(М, S <Эд Р), следуя подходу Архипова.

Предполагая, что дополнительная подалгебра В С R, R* все-таки имеется, применимы и конструкции резольвент из работ Архипова. Последние удовлетворяют необходимым условиям приспособленности и С-ко/контраацикличности конусов, позволяющим использовать их для вычисления функторов полубесконечных (ко)гомологий SemiTor5 и SemiExts. Соответствующие явные комплексы выписаны в параграфе В.5.

Приложение С, написанное в соавторстве с Д. Румыниным, не является частью настоящей диссертации. В приложении D, написанном в соавторстве с С. Архиповым и также не являющемся частью диссертации, результаты диссертации находят свои приложения к теории представлений бесконечномерных алгебр Ли и их полубесконечных (ко)гомологий.

Две конструкции, "левая" и "правая", полуассоциативной полуалгебры над коалгеброй по центральному расширению х тейтов-

ской пары Хариш-Чандры (g, С) (состоящей из тейтовской алгебры Ли д, компактной открытой подалгебры t) в ней, и действующей на них кокоммутативной алгебры Хопфа С, связанной спариванием с F)) приведены в параграфе D.2. Левые полумодули над "левой" полуалгеброй 5^(0, С) описываются как алгебраические модули Хариш-Чандры над (д, С) с центральным зарядом х, а левые полуконтра-модули над "правой" полуалгеброй S^(g, С) — как контрамодули Хариш-Чандры. Последние образуют "контра" версию 0"r(g, Є) категории О = 0(д, С) Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда.

Согласно теореме из параграфа D.3, доказательство которой основано на результатах главы 11, "левая" и "правая" полуалгебры, связанные с тейтовской парой Хариш-Чандры (д, С), изоморфны с точностью до сдвига центрального заряда на величину канонического центрального заряда яо, т. е., — G). Ввиду этого изоморфизма, следствием теоремы о полумодульно-полуконтрамодульном соответствии из главы 6 настоящей диссертации становится теорема об эквивалентности полупроизводных категорий категории 0„(д, С) алгебраических модулей Хариш-Чандры с центральным зарядом х и категории (g, С) контрамодулей Хариш-Чандры с центральным зарядом к + hq.

Классическое понятие полубесконечных (ко)гомологий бесконечномерных алгебр Ли, называемых вразнобой различными авторами "полубесконечными гомологиями" или "полубесконечными когомо-логиями", интерпретируется в контексте приложения D как полубесконечные гомологии алгебр Ли. Определение полубесконечных кого-мологий алгебр Ли, принадлежащее авторам приложения, дается в параграфе D.5.

Теорема сравнения полубесконечных гомологий полуассоциативных полуалгебр и бесконечномерных алгебр Ли доказывается в параграфе D.6. При этом необходимо предполагать, что линейно компактная алгебра Ли f) двойственна к конильпотентной коалгебре Ли, а алгебра Хопфа С является ее конильпотентной кообертываю-щей коалгеброй. В этом случае для любого комплекса Г\Г* в категории O-jt-^g, С) и комплекса М* в категории 0^(д, С) имеет место естественный изоморфизм градуированных векторных пространств SemiTorf * (N*, М*) ~ N* ®k М'). Аналогичный изомор-

физм связывает пространства SemiExt над полуалгеброй S^.(g, С) с полубесконечными когомологиями алгебры Ли д.

Целью приложения Е является определение понятий полубесконечных гомологий и когомологий локально компактных вполне несвязных топологических групп. Группе С? из этого класса с фиксированной компактной открытой подгруппой Н и коммутативному кольцу к сопоставляется полуалгебра §¿((7, Н) локально постоянных ¿-значных функций с компактным носителем на (? над коалгеброй/кокольцом локально постоянных ¿-значных функций на Н над кольцом к.

Все полуалгебры §¿((2, Н) при фиксированных в и к и разных выборах подгруппы Н С С? эквивалентны по Морите, т. е., абелевы категории §>к{С,Н)-полумодулей и £¿(6?, #)-полуконтрамодулей не зависят от Н. Первая есть категория гладких (дискретных) С-модулей над к. Вторая называется категорией й-контрамодулей над ¿; ее объекты суть ¿-модули Р, снабженные отображением, сопоставляющим каждой конечно-аддитивной Р-значной мере с компактным носителем, определенной на открыто-замкнутых подмножествах б, элемент из Р (и удовлетворяющие подходящим условиям контраассо-циативности и единицы).

Однако, полупроизводные категории #)-полумодулей и

#)-контрамодулей зависят очень существенно от Н. Соответственно, от Н сильно зависят и функторы БепиТог и 8еппЕх1 над §д;(Сг, Н). Полубесконечными гомологиями группы С относительно ее подгруппы Н с коэффициентами в комплексе гладких

с тт\

С-модулей № над к называются ¿-модули ЗегшТог* ' к).

Полубесконечные гомологии локально компактных вполне несвязных топологических групп представляют собой некую "смесь" гомологий дискретных групп и когомологий проконечных групп. Аналогично, полубесконечными когомологиями группы (9 относительно Н с коэффициентами в комплексе С-контрамодулей Р* над к называются ¿-модули ЗегшЕх^^(¿, Р'). Зависимость полубесконечных (ко)гомологий в от кольца коэффициентов к не является существенной (однако, кольцо ¿ должно иметь конечную гомологическую размерность, чтобы определение было применимо).

Параграф Е.4 содержит ряд замечаний о конструкции Гайцго-ри-Каждана кокольца "про-полумер", связанного с группой двумерных петель или, более общим образом, с групповым объектом в категории инд-про-инд-про-конечных множеств. Переход от векторных

пространств к про-векторным пространствам меняет местами роли алгебр и коалгебр в гомологической теории, изложенной в настоящей работе, поскольку тензорное произведение векторных пространств коммутирует с прямыми суммами, а про-векторных пространств — с прямыми произведениями, но не наоборот (как объясняется в замечании 2.7). Соответственно, при работе с про-векторными пространствами роль полуалгебр над коалгебрами в этой теории переходит к кокольцам.

Пусть Н -— групповой объект в категории про-инд-про-конечных множеств, представимый проективной системой локально компактных вполне несвязных топологических групп и открытых сюръектив-ных отображений между ними, и пусть к — поле характеристики 0. Категория представлений НхНв про-/с-векторных пространствах имеет естественную структуру тензорной категории с единичным объектом, задаваемым проективной системой пространств гладких мер с компактным носителем на локально компактных вполне несвязных топологических факторгруппах группы Ы (с отображениями прямого образа мер). Категория представлений Ы является модульной категорией над этой тензорной категорией.

Пусть С —■ групповой объект в категории инд-про-инд-про-конечных множеств, содержащий Ы в качестве подгруппы и удовлетворяющий некоторым условиям. У такой группы есть каноническое центральное расширение со с ядром к*. Произвольному центральному расширению с' группы С с ядром к* сопоставляется пространство "про-полумер на С относительно Н на уровне с"', являющихся мерами в направлении Н и функциями в направлении <С/Ы на <Е. Это пространство оказывается кокольцом с коединицей в тензорной категории представлений Нх1; левые комодули над ним суть представления С на уровне с', а правые — на уровне с" = со — с'. Функтор котензорного произведения над кокольцом про-полумер сопоставляет двум представлениям С на уровнях с' и с" про-/г-векторное пространство. Пользуясь методами, развитыми в настоящей работе, можно построить двусторонний производный функтор этого не точного ни слева, ни справа функтора двух аргументов. Областью определения этого производного функтора являются соответствующие полупроизводные категории.

Цель приложения Р — привести нетривиальный пример полуалгебры над кокольцом, не являющимся коалгеброй. Такая полуал-

гебра сопоставляется гладкому аффинному алгебраическому группоиду (М, О), снабженному гладким замкнутым подгруппоидом (М, Н) с тем же многообразием вершин. В приложении показано, что "левая" и "правая" конструкции такой полуалгебры приводят к двум полуалгебрам, естественным образом эквивалентным по Морите между собой.

С аффинным алгебраическим группоидом (М,Н) с многообразием вершин М и многообразием стрелок Н связывается кокольцо С = О(Н) регулярных функций на Н над коммутативным кольцом А = 0{М) регулярных функций на М. Левое и правое действия А на е при этом различны и происходят из отображений "конца" и "начала стрелки" Н М, в то время как коумножение в С происходит из отображения композиции Н у. м Н —> Н. Если многообразие М и отображения Н М гладкие, то у кокольца (А, С) есть естественная автоэквивалентность Мориты, определяемая в терминах модулей дифференциальных форм старшей степени на М и Н.

С гладким аффинным группоидом (М, б) можно связать алге-броид Ли д над кольцом А = 0{М) и его обертывающую ассоциативную алгебру И а (з)- Если группоид (М,Н) вложен в качестве замкнутого подгруппоида в группоид (М, С), конструкция из главы 10 позволяет построить по ассоциативным кольцам А С ил{Ь) С С/д(д) и кокольцу (А, С) "левую" и "правую" полуалгебры 5'(б, Я) = иА(д) ®ил(ц) е и §г(£,#) = еОс/^ор иА(в)0*. Естественная автоэквивалентность Мориты кокольца С трансформирует одну из этих полуалгебр в другую. Последнее утверждение является обобщением классической эквививалентности Мориты между алгеброй дифференциальных операторов на гладком аффинном многообразии и противоположной к ней ассоциативной алгеброй.

Список публикаций

[1] L. Positselski. Homological algebra of semimodules and semicon-tramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures. Appendix C in collaboration with D. Rumynin; Appendix D in collaboration with S. Arkhipov. Monografie Matematy-czne IMPAN, vol. 70, Springer/Birkhauser Basel, 2010. xxiv+349 pp.

[2] R. Bezrukavnikov, L. Positselski. On semi-infinite cohomology of finite-dimensional graded algebras. Compositio Math. 146, #2, p. 480-496, 2010.

[3] L. Positselski. Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence. Memoirs of the American Math. Society 212, #996, 2011. vi+133 pp.

[4] A. Polishchuk, L. Positselski. Hochschild (co) homology of the second kind I. Transactions of the American Math. Society 364, #10, p. 5311-5368, 2012.

[5] L. Positselski. Coherent analogues of matrix factorizations and relative singularity categories. Electronic preprint arXiv: 1102.0261 [math.CT], 68 pp., 2011.

[6] L. Positselski. Weakly curved Aoo-algebras over a topological local ring. Electronic preprint arXiv: 1202.2697 [math.CT], 167 pp., 2012.

[7] L. Positselski. Contraherent cosheaves. Electronic preprint arXiv: 1209.2995 [math.CT], 186 pp., 2012-13.

[8] JI.E. Посицельский. Неоднородная квадратичная двойственность и кривизна. Функц. анализ и его прил. 27 (1993), №3, стр. 57-66.

[9] A. Polishchuk, L. Positselski. Quadratic algebras. University Lecture Series, 37. American Math. Society, Providence, RI, 2005. xii+159 pp.

Подписано в печать: 27.02.2013 Объем: 2,0 п.л. Тираж: 140 экз. Заказ № 107 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru