Градуированные кольца частных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК 519.766.23

Канунников Андрей Леонидович Градуированные кольца частных

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

I ^ ^ ¿013

Москва 2013

005538250

005538250

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Михалёв Александр! Васильевич.

Официальные оппоненты: Кожухов Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО „Национальный исследовательский университет „МИЭТ").

Туганбаев Аскар Аканович, доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО „Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова").

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО „Тульский государственный педагогический университет имени Л. Н. Толстого".

Защита диссертации состоится 6 декабря 2013 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, о^^горы, д. 1, ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова", Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО „Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова" по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, 8 этаж.

Автореферат разослан 6 ноября 2012 года.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ,

доктор физико-математических наук, профессор

А. О. Иванов

МА/

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена градуированным кольцам частных градуированных по группе колец. В диссертации доказаны градуированные аналоги теоремы Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах, теорем Голди о порядках во вполне приводимых кольцах, а также построено и исследовано ортогональное градуированное пополнение — аналог кольца частных, лежащего в основе теории ортогональной полноты Бейдара—Михалёва. Все кольца предполагаются ассоциативными с ненулевой единицей, а модули — унитальными.

Актуальность темы. В последнее время отмечается значительный интерес к кольцам и другим алгебраическим структурам, снабжённым градуировкой. Это объясняется тем, что многие важные классы колец допускают естественную градуировку, например, кольца многочленов, матричные кольца, групповые кольца. В 1979 и 2000 годах вышли монографии1 2, посвящённые кольцам и модулям, градуированным по группе, причём в работе1 рассматривалась только градуировка по группе Ъ целых чисел. В 1980-х годах появилось множество работ, посвящённых модулям, кольцам, алгебрам, градуированным по произвольной группе или полугруппе.

При построении структурной теории градуированных колец важную роль играют градуированные кольца частных — такие кольца частных, которые естественным образом наследуют градуировку кольца. Каждое градуированное кольцо R обладает полным правым градуированным кольцом частных Qgr(R), которое является градуированным аналогом полного правого кольца частных Q{R) и может быть построено аналогичными способами2 3 4. Другим градуированным правым кольцом частных является классическое Q¿(R), которое строится с помощью локализации относительно системы всех однородных регулярных элементов кольца R и существует при выполнении условий Ope. Одной из первых проблем в теории градуированных колец частных является получение градуированной версии теоремы Голди, описывающей кольца, чьи классические кольца частных вполне приводимы. Строение вполне приводимых колец описывает теорема Молина—Веддербарна—Артина, градуированный аналог которой известен2 5 6.

1Nästäsesca С., van Oystaeyen F. Graded and Filtered Rings and Modules. Lect. Notes Math. Springer. 1979.

2Nästäsescu С., van Oystayen F. Graded ring theory. — Amsterdam, North-Holland, 2004.

3Jespers E., Wauters P. A general notion of noncornmutative Krull rings // J. of Algebra, 1988. V. 112. P. 388-415.

4Балаба И. H. Кольца частных полупервичных градуированных колец. Труды международного семинара „Универсальная алгебра и приложения", Волгоград, 2000, с. 21—28.

5Балаба И. Н. Градуированные кольца и модули // Дисс. ... докт. физ.-мат. наук, специальность 01.01.06, М., 2012 - 212 с.

5Liu Shaoxue, Beattie M., Fang Hoiigjin. Graded division rings and the Jacobson density theorem.

В конце 1950-х годов английский математик Альфред Голди доказал7, что классическое правое кольцо частных С}¿(К) кольца Я существует и вполне приводимо в точности тогда, когда кольцо Я полупервично и удовлетворяет следующим двум условиям:

1) условие максимальности для правых аннуляторов;

2) условие конечномерности справа (в кольце нет бесконечных прямых сумм правых идеалов).

Кольца с условиями 1) и 2) стали называть правыми кольцами Голди.

В монографиях8 9 10 доказано также, что для полупервичного правого кольца Голди Я справедливо равенство (¿¿(Я) — С?(Я).

Перейдём к градуированным правым кольцам Голди. Так называются1 2 градуированные кольца, не содержащие бесконечных прямых сумм градуированных правых идеалов ^г-конечномерные справа) и удовлетворяющие условию максимальности для правых градуированных аннуляторов.

Один из первых градуированных вариантов теоремы Голди доказан в монографии1 1979 года. Там же приведён пример gr-пoлyпepвичнoгo коммутативного градуированного кольца Голди, для которого классическое градуированное кольцо частных не является вполне gr-пpивoдимым.

Пример1. Пусть к — поле, кольцо Я = к[Х,У]/{ХУ) градуировано группой Ъ (обозначим х = X + (ХУ) и у = У + (ХУ)):

Тогда кольцо QS^(R) совпадает с кольцом R и не является gr-apmu-новым (и тем более, вполне gr-приводимым), в то же время (х,у) — gr-существенный идеал, все однородные элементы которого — делители нуля.

Мы покажем, что полное градуированное кольцо частных Qgr(R) кольца Я из этого примера вполне gr-приводимо и, в частности, не совпадает с классическим Q9^(R). Поэтому градуированный вариант теоремы Голди следует рассматривать для колец частных QSJ и Qgr отдельно. Отметим, что как вопрос о совпадении этих колец, так и вопрос о полной gr-приводимости кольца упираются в проблему существования однородного регулярного элемента в каждом gr-существенном правом идеале

Journal of Boijing Normal University (Natural Science), 1991, vol. 27, N 2, 129-134.

7Goldie A. W. Semi-prime rings with maximal conditions// Proc. London Math. Soc. — 1960. — V 10 -P. 201-220.

8Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, I. М.: Мир. 1977.

'Ламбек И. Кольца и модули. — М.: Факториал Пресс, 2005,

10Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.: МЦНМО, 2009.

кхп, П > 0, к, П = 0,

ку~п, п < 0.

кольца R. В неградуированном случае это условие выполнено и такой проблемы не возникает, но повторение рассуждений Голди в градуированном случае приводит, вообще говоря, к неоднородному регулярному элементу. Эта проблема решалась в работах1 2 11 12 13 наложением дополнительных ограничений на однородные компоненты кольца R и градуирующую группу G. В 2000 году Гудёрл и Стэффорд11 доказали градуированную версию теоремы Голди для gr-первичных колец, градуированных абелевой группой. В монографии2 доказан вариант теоремы Голди для gr-полупервич-ных колец, сильно градуированных конечной группой.

Автором диссертации получены новые градуированные варианты теорем Голди. Доказано, что для gr-полупервичного правого градуированного кольца Голди R кольцо Qgr вполне gr-приводимо. Также доказано обращение теоремы Голди для градуированных колец и найдены различные условия, при которых кольцо существует и вполне gr-приводимо (и тогда совпадает с кольцом Q9r). В качестве следствия получен полный аналог теоремы Голди (в форме критерия) для колец с конечным носителем.

В диссертации также введено понятие gr-pri-кольца и получены градуированные аналоги третьей теоремы Голди14 15 о строении первичных и полупервичных pri-колец (колец главных правых идеалов). Доказано, что для gr-pri-колец условие gr-полупервичности гарантирует существование и полную gr-приводимость кольца

Мощным логическим средством исследования в теории колец является метод ортогональной полноты16 17 18 19 20 21 22, разработанный К. И. Бей-даром и А. В. Михалёвым в 1970-х и 1980-х годах. Его основная идея состоит в рассмотрении полупервичных колец как булевых произведений первичных, что позволяет теоремы с определённой логической структурой о первичных кольцах „поднимать" до теорем об ортогонально полных полу-

"Goodearl К., Stafford Т. The Graded Version of Goldie's Theorem, Contemporary Math. 259, 2000, 237-240.

12Nästäsescu С., van Oystaeyen F. Graded Ring Theory // North-Holland, Amsterdam. 1982.

13Nästäsescu С., Nauwelaerts E., van Oystaeyen F. Arithmetically graded rings revisited // Comm.Alg., 1986, v.l4, N10, p. 1191-2017.

14Goldie A. W. Non-commutative principal ideal rings// V. XIII. 1962.

15Jatengaonkar A. V. Left principal ideal rings // Lect. Notes Math. Springer. 1970.

'"Бейдар К. И. Кольца с обобщёнными тождествами, I // Вестник МГУ, Мат., мех., 1977, №2, с. 19-36.

17Бейдар К. И. Кольца частных полупервичных колец // Вестник МГУ, Мат., мех., 1978, №5, с. 36-43.

18Бейдар К. И., Михалёв А. В. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи математических наук, 1985, т. 40, Вып. 6, с. 79-115.

19Бейдар К. И., Михалёв А. В. Функтор ортогонального пополнения // Абелевы группы и модули. Вып. 4. 1986. С. 3-19.

20Михалёв А. В. Ортогонально полные многосортные системы // ДАН СССР, №6, 1986, С. 13041308.

21Beidar К. I., Martindale W. S., Mikhalev А. V. Rings with generalized identities. M.Dekker, 1995.

22Chen-Lian Chuang. Boolean valued models and semiprime rings. Proc. of the International Conference of Algebra in Memory of Prof. К. I. Beidar, p. 23-53, 2005.

первичных кольцах. Основные объекты теории строятся последовательно по заданному полупервичному кольцу А: его полное правое кольцо частных Q = Q(A), центр С кольца Q (называемый расширенным центроидом кольца А) и булево кольцо В идемпотентов кольца С. С помощью кольца В вводится понятие ортогональной полноты и строится ортогональное пополнение О(А) кольца А. На кольцо О {А) удаётся перенести теоремы, справедливые в классе первичных колец, если их условия и заключения имеют определённую логическую структуру.

В диссертации построены и исследованы основные объекты теории ортогональной полноты для градуированных колец. Для данного gr-полупер-вичного кольца R вместо колец Q(R) и C(R) рассматриваются их градуированные аналоги — кольцо Q9T(R) и максимальное градуированное под-кольцо Cgr(R) его центра (градуированный расширенный центроид кольца R). Среди идемпотентов кольца C9T{R) используются только однородные для согласования построений с градуировкой. Ортогональная полнота рассматривается относительного образуемого указанными идемпотентами булева кольца В.

На следующем этапе в неградуированном случае устанавливается17 ортогональная полнота кольца Q(R). В градуированном случае это оказывается верным не всегда. В диссертации доказан критерий ортогональной полноты кольца Q9r(R), который в случае точной градуировки кольца R приобретает следующую форму: кольцо В конечно или группа G конечна.

Чтобы каждое (а не только удовлетворяющее условиям критерия) gr-полупервичное кольцо имело ортогональное градуированное пополнение, вводится понятие ортогональной gr-полноты — ортогональной полноты однородных компонент.

Ортогональное градуированное пополнение находит интересное применение к градуированным кольцам Голди. Так, для кольца R из примера на с. 2 кольцо Ogr(R) является прямой суммой к[х] © к[у] двух градуированных областей. В диссертации доказано, что ортогональное градуированное пополнение Osr(R) gr-полупервичного правого градуированного кольца Голди R является прямой суммой gr-первичных колец Голди. Этот факт позволяет редуцировать полупервичный случай к первичному, реализовав генеральную идею метода ортогональной полноты.

Цель работы. Получение аналогов теоремы Фейса—Утуми о строении порядков в матричных кольцах, теорем Голди для градуированных колец, а также построение ортогонального градуированного пополнения градуи-рованно полупервичных колец.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят

в следующем:

1. Доказан градуированный аналог теоремы Фейса—Угуми о строении порядков в матричных кольцах над градуированными телами.

2. Доказаны градуированные варианты теорем Голди:

1) о строении полного правого градуированного кольца частных (получен критерий его полной приводимости);

2) о существовании и строении классического правого градуированного кольца частных (из полученных результатов, в частности, следует, что для градуированных колец с конечным носителем справедлив критерий Голди);

3) о строении первичных и полупервичных колец главных правых идеалов (доказаны градуированные аналоги третьей теоремы Голди);

3. Построено ортогональное градуированное пополнение и получены его применения:

1) доказаны критерии ортогональной полноты полного градуированного кольца частных gr-полупервичного кольца;

2) построение ортогональное градуированное пополнения и описана его структура;

3) с его помощью доказаны новые градуированные варианты теорем Голди, а также получен градуированный аналог теоремы Бейдара— Михалёва о перестановочных дифференцированиях на полупервичном кольце.

Методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец, теории градуированных колец, а также методы теории ортогонального пополнения Бейдара—Михалёва, развитые для градуированных колец.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер; полученные результаты вносят вклад в развитие теории градуированных колец на основе градуированных колец частных.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• международный алгебраический симпозиум, посвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва (Москва, 15-18 ноября 2010 г.);

• VIII международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 12-17 сентября 2011 г.);

• X международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Волгоград, 10-16 сентября 2012 г.);

• международная конференция „Мальцевские чтения", посвящённая 80-летию В. П. Шункова (Новосибирск, 12-16 ноября 2012 г.),

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

• научно-исследовательский семинар по алгебре (2011-2013, неоднократно);

• семинар „Кольца и модули" (2009-2013, неоднократно);

• семинар „Алгебра и теория моделей" (2007-2013, неоднократно).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[6], из них первые четыре — в журналах из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, содержащих 18 разделов, и списка литературы. Библиография содержит 41 наименование. Текст диссертации изложен на 108 страницах.

Содержание работы

Глава 1 имеет вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения и доказываются предварительные результаты. Раздел 1.1 содержит начальные сведения из теории градуированных колец и модулей. Кольцо R называется градуированным по группе G, если

seG

где {Rg | g е G) — семейство аддитивных подгрупп кольца R таких, что RgRh Я Rgh для всех g,h 6 G. Элементы множества h(R) — (J Rg назы-

g eG

ваются однородными, ненулевой элемент г е Rg называется однородным элементом степени д. Кольцо R называется д-точным справа (слева), если RgRg-i 0 (Rg-iRg ф 0) и точным, если оно g-точно справа и слева для всех д € G. Подмножество градуированного кольца называется градуированным, если вместе с каждым своим элементом оно содержит все его однородные компоненты.

Раздел 1.2 посвящён градуированным матричным кольцам с т. н. хорошими градуировками: если R — G-градуированное кольцо, п е N, 9 = (ffii • • •, 9п) € Gn, то через Rn(g) обозначается матричное кольцо Rn с градуировкой Rn(g)h = (Rg-ihg.)ij, h 6 G. Полученные в этом разделе результаты применяются при доказательстве градуированного аналога теоремы Фейса—Утуми в разделе 4.2. В разделе 1.3 приводятся стандартные

градуированные аналоги классических понятий, обозначаемые приставкой gr-. Например, дг-артинов (дг-нётеров) модуль — это градуированный модуль с условием минимальности (максимальности) для градуированных подмодулей; дг-полупервичное кольцо — это градуированное кольцо, не содержащее ненулевых градуированных идеалов. В разделе 1.4 собраны сведения о булевых кольцах и ортогональной полноте, которые понадобятся в главе 4.

Подмножество М несингулярного С-модуля X называется14,15,18 ортогонально полным относительно ортогонально полного булева кольца В, если для любой плотной ортогональной системы (и7)7£г в В и любой системы (х7)7£г в М существует элемент х £ М, удовлетворяющий равенствам хуиу = хи1 для всех 7 £ Г. Элемент х в данном определении определён однозначно18; он обозначается через

Глава 2 содержит ряд результатов о градуированных кольцах частных. В разделе 2.1 собраны предварительные сведения о gr-cyщecтвeн-ных и gr-paциoнaльныx расширениях модулей и градуированном сингулярном подмодуле. Раздел 2.2 посвящен полному правому градуированному кольцу частных <3дг(Я). Доказан критерий его gr-peгyляpнocти (состоящий в gr-нecингyляpнocти кольца Я), а также установлен изоморфизм между кольцами (ЦГ(Я) и С^(Ие) в каждом из двух случаев: 1) кольцо Я е-точно справа и gr-нecингyляpнo справа; 2) кольцо Я точно справа и слева. Раздел 2.3 содержит предварительные сведения и результаты о классическом правом градуированном кольце частных (¿¿¡(Я). В разделе 2.4 доказаны градуированные аналоги теорем Утуми о кольцах частных матричных колец и Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах.

Теорема 2.4.4. Пусть кольцо <2 градуировано по абелевой группе С, п € М, д — ((?!,..., дп) е С?", М — {е^ 11 < г, ^ ^ тг} — система матричных единиц в <iegeij = р»«^1, Я ~ градуированное подпредколъцо в Яп{д), 3 — множество всех однородных регулярных элементов в Я. Считая, что <2 = Сегйд^^М), введём обозначения:

Ам — {а € Я | аМ С й} - градуированный левый идеал в Я,

Вм — {Ь е Я | МЬ С Л} - градуированный правый идеал в Я,

Рм = ВмАм П <Э — градуированный идеал в Я Л <£.

Тогда верны следующие утверждения:

1- (РмЫд) = ВМАМ.

2. Если ЯпШ) = то найдётся система N однородных матричных единиц в <Эп(<7), для которой Д/уЛдг — градуированный правый порядок в Яп{д).

3. В предположениях пункта 2: если <2 — градуированное тело, то ^ (для любой системы N из пункта 2) — градуированный правый по-

рядок в некотором градуированном теле = <Э, и С}п(д) — Я'п{9) —

(ад^п^)-1.

Глава 3 посвящена градуированным кольцам Голди. В разделе 3.1 доказаны вспомогательные утверждения о gr-пoлyпepвичныx правых градуированных кольцах Голди. Основной результат раздела 3.2 — следующая теорема.

Теорема 3.2.2. Рассмотрим следующие условия на градуированное кольцо Я:

(1) Я — дг-полупервичное правое градуированное кольцо Голди;

(2) кольцо Я дг-полупервично, дг-несингулярно справа и дг-конечномер-но справа;

(3) кольцо Я дг-несингулярно справа и дг-конечномерно справа;

(4) кольцо <59Г(Д) дг-несингулярно справа и дг-конечномерно справа;

(5) кольцо С}дг(Я) вполне дг-приводимо.

Между условиями (1)-(5) имеются следующие логические связи: (1) ^ (2) (3) (4) (5).

В разделе 3.3 доказан ряд результатов о кольце для правого

градуированного кольца Голди Я, каждый из которых является градуированным аналогом теоремы Голди для полупервичных колец.

Теоремы 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5. Для градуированного правого кольца Голди Я кольцо существует и вполне дг-приводимо в каждом из следующих случаев:

(1) кольцо Я е-точно справа и кольцо Яе полупервично;

(2) группа й периодична и кольцо Я дг-полупервично;

(3) кольцо Я имеет конечный носитель и дг-полупервично.

В разделе 3.4 доказаны градуированные аналоги третьей теоремы Голди. Градуированное кольцо Я назовём дг-ргг-кольцом, если каждый правый градуиированный идеал в Я порождается одним однородным элементом.

Теорема 3.4.2. Для градуированного кольца Я равносильны следующие условия:

(1) Я — дг-полупервичное дг-рп-кольцо;

(2) Я = 0"=1 Я^, где п£Йи каждое кольцо Щ — дг-первичное дг-рп-кольцо, причём существует такой элемент д 6 <2, что каждый правый градуированный идеал в каждом, кольце Д» содержит порождающий элемент степени д.

При выполнении этих условий кольца г = 1,...,п, С}д^{Я)

существуют, вполне gr-приводимы и при этом

Q%{R) = Q°T(R) = 0 дда) = ф Q9r(Ri)-i=l

Теорема 3.4.3. Для gr-pri-кольца R равносильны условия:

(1) R — gr-первичное кольцо;

(2) R = hDn{g)h~\ где D — некоторая правая градуированная область Ope, п 6 N, g = (gu... ,gn) 6 Gn, h e G.

При выполнении этих условий Q9r(R) = Q^(R) = Tn(g), где T — градуированное тело. Если к тому же группа G абелева, то R = Dn(g) и Q9r(D) = Т.

Глава 4 посвящена ортогональному градуированному пополнению. Всюду R — gr-полупервичное кольцо, Qgr = Q9T(R), С — максимальное градуированное подкольцо центра кольца Q9r — градуированный расширенный центроид кольца R. В разделе 4.1 построено основное булево кольцо В — B(R), относительно которого далее рассматривается ортогональная полнота модулей и колец. Мотивирован выбор кольца В, дано его описание и установлена его ортогональная полнота. В п. 3 теоремы 4.1.3 доказано, что булева алгебра (5; 0,1, А,'), где и A v = uv, и' = 1 — и, изоморфна булевой алгебре (Ann9r{R); С, О, R, П,*) аннуляторных градуированных идеалов кольца R.

В разделе 4.2 введено понятие ортогональной gr-полноты.

Градуированное подмножество Т несингулярного Се-модуля назовём ортогонально gr-полным, если множества Т3 ортогонально полны для всех g 6 G. Доказано, что кольцо Qgr(R) ортогонально gr-полно, а также доказан критерий его ортогональной полноты. В случае точной градуировки кольца R критерий приобретает следующую форму.

Теорема 4.2.8. Если gr-полупервичное кольцо R точно во всех компонентах слева или справа, то кольцо Q3T(R) ортогонально полно в точности тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий: группа G конечна или кольцо В конечно.

В разделе 4.3 построено ортогональное градуированное пополнение Ogr(R) кольца R, дано его поэлементное описание, установлена его связь с ортогональным пополнением кольца Re при условии полупервичности последнего.

Ортогональным градуированным пополнением Ogr(T) градуированного множества Т С Qgr назовём пересечение всех ортогонально gr-полных подмножеств в Qgr, содержащих Т.

Предложение 4.3.1. 1. Одт(Т)д = {Е7 Мт | {*тЬ £ -

плотная ортогональная система вВ}.

2. Множество 0ЗТ(Т) ортогонально дг-полно.

Предложение 4.3.2. Для всякого дг-полупервичного кольца К градуированное множество Одт = Одг(Я) является градуированным правым кольцом частных кольца Я. В частности, кольцо Одг дг-полупервично.

В разделе 4.4 ортогональное градуированное пополнение применяется к исследованию gr-пoлyпepвичныx градуированных колец Голди.

Теоремы 4.4.3, 4.4.5. Пусть Л. — дг-полупервичное правое градуированное кольцо Голди. Тогда

п

09Г(й) = фйь ¿=1

где Я\,..., Дп — дг-первичные правые градуированные кольца Голди.

Если при этом группа абелева, то

<эдг(щ = <э9г(одгт =

1=1

В разделе 4.5 исследуются локализации ортогонально полных gг-полупервичных колец по ультрафильтрам кольца В. Установлена цг-первичность образуемых факторколец. В разделе 4.6 применение метода ортогональной полноты иллюстрируется на градуированных кольцах с однородным дифференцированием (при котором производные однородных элементов однородны). С однородным дифференцированием й на градуированном кольце Я связывается функция 6, переводящая степени однородных элементов в степени их (ненулевых) производных. Данная функция частично определена на группе б, и её область определения, вообще говоря, расширяется при продолжении дифференцирования на кольцо <29Г. С помощью введённой функции удаётся доказать однородность продолженного дифференцирования, что позволяет включить его в сигнатуру кольца и применить метод ортогональной полноты. Доказаны градуированные аналоги теоремы И. Херстейна для первичных колец и её обобщение на полупервичные кольца, полученное К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым.

Теорема 4.6.11. Пусть Я — дг-полупервичное кольцо с однородным дифференированием А таким, что й(х)<1(у) = й(у)й(х) для всех х,у е Я. Предположим, что кольцо <2гг ортогонально полно. Тогда существует такой элемент и £ В, что кольцо иОдт коммутативно и ограничение в, на (1 - и)Одг — дифференцирование с нулевым квадратом.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Васильевичу Михалёву за постановку задач, руководство работой и поддержку, а также Виктору Тимофеевичу Маркову, Ирине Николаевне Балабе и Елене Игоревне Буниной за ценные советы и плодотоврные обсуждения. Автор благодарен всему коллективу кафедры высшей алгебры за тёплую атмосферу и полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Канунников А. Л. Градуированные варианты теоремы Голди // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 2011, №3, с. 46-50.

[2] Канунников А. Л. Градуированные варианты теоремы Голди, II // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 2013, №3, с. 47-51.

[3] Канунников А. Л. Порядки в градуированных матричных кольцах // Вестник МГАДА, 2013, №1(20), с. 52-56.

[4] Канунников А. Л. Об одном применении метода ортогональной полноты в теории градуированных колец // Алгебра и логика, 2013, том 52, №2, с. 145-154.

[5] Балаба И. Н., Канунников А. Л., Михалёв А. В. Градуированные кольца частных ассоциативных колец, I // Фундаментальная и прикладная математика, 2012, 2, с. 3-74. А. Л. Канунникову принадлежат главы 2, 6, 8, 9, 10. И. Н. Балабе принадлежат главы 1, 3, 4, 5, 7. А. В. Михалёву принадлежит введение и общая редакция работы.

[6] Канунников А. Л. Ортогональное градуированное пополнение граду-ированно полупервичных колец // Фундаментальная и прикладная математика, выпуск 7, 2013, с. 117-150.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ №

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.552.2

04201451666

Каиунников Андрей Леонидович Градуированные кольца частных

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Александр Васильевич Михалёв

МОСКВА - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Предварительные сведения и результаты 16

1.1 Основные понятия теории градуированных колец и модулей 16

1.2 Градуированные матричные кольца..........................21

1.3 Градуированные аналоги классических понятий......24

1.4 Ортогональная полнота в теории колец......................35

2 Кольца частных градуированных колец 39

2.1 Существенные и рациональные расширения..................39

2.2 Полное градуированное кольцо частных...........45

2.3 Классическое градуированное кольцо частных..............52

2.4 Порядки в градуированных матричных кольцах............54

3 Градуированные кольца Голди 58

3.1 Основные свойства..............................................58

3.2 Строение полного градуированного кольца частных .... 60

3.3 Существование и строение классического градуированного кольца частных..............................................63

3.4 Случай главных правых градуированных идеалов..........69

4 Ортогональное градуированное пополнение 74

4.1 Основное булево кольцо........................................75

4.2 Критерий ортогональной полноты кольца С^9Г(]:1) ..........79

4.3 Построение ортогонального градуированного пополнения . 85

4.4 Случай градуированных колец Голди............ 89

4.5 Локализации.......................... 91

4.6 Кольца с однородным дифференцированием........ 96

Литература 103

Введение

Диссертация посвящена градуированным кольцам частных градуированных по группе колец. В диссертации доказаны градуированные аналоги теоремы Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах, теорем Голди о порядках во вполне приводимых кольцах, а также построено и исследовано ортогональное градуированное пополнение — аналог кольца частных, лежащего в основе теории ортогональной полноты Бейдара— Михалёва.

В последнее время отмечается значительный интерес к кольцам и другим алгебраическим структурам, снабжённым градуировкой. Это объясняется тем, что многие важные классы колец допускают естественную градуировку, например, кольца многочленов, матричные кольца, групповые кольца. В 1979 и 2000 годах Настасеску и ван Ойстаейен выпустили монографии [28, 32], посвящённые кольцам и модулям, градуированным по группе, причём в [28], как и во всех работах раннего периода, рассматривалась только градуировка по группе Ъ целых чисел.

Естественный и важный вопрос в теории градуированных колец — какие свойства градуированного кольца или модуля, рассматриваемого без градуировки, равносильны соответствующему градуированному аналогу этого свойства, и при каких условиях. Стандартный градуированный аналог понятия классической теории колец получается, если в определении этого понятия вместо всех элементов рассматривать только однородные, вместо всех идеалов (подмодулей) — только градуированные и т. п. Такие градуированные аналоги принято обозначать приставкой gr-. Например, gr-apтинoв ^г-нётеров) модуль — это гра-

дуированный модуль с условием минимальности (максимальности) для градуированных подмодулей.

При построении структурной теории градуированных колец важную роль играют градуированные кольца частных — такие кольца частных, которые естественным образом наследуют градуировку кольца. Каждое градуированное кольцо R обладает полным правым градуированным кольцом частных Qgr(R), в которое вкладывается любое другое правое кольцо частных кольца R. Кольцо Qgr(R) является градуированным аналогом полного правого кольца частных Q(R) и может быть построено аналогичными способами [2, 26, 32, 38]. Другим важным правым кольцом частных является классическое Qci(R), образуемое с помощью локализации по мультипликативной системе всех регулярных элементов данного кольца R (и существующее при выполнении условий Ope). При построении его градуированного аналога Q9^{R) используется та же конструкция, но среди регулярных элементов берутся только однородные для наследования градуировки [32]. Одной из первых проблем в теории градуированных колец частных является получение градуированной версии теоремы Голди, описывающей кольца, чьи классические кольца частных вполне приводимы. Строение вполне приводимых колец описывает теорема Молина—Веддербарна—Артина, градуированный аналог которой известен [3, 27, 32].

В конце 1950-х годов английский математик Альфред Голди исследовал порядки во вполне приводимых кольцах, установив, что для полупервичного нётерова справа кольца R кольцо Qci(R) существует и вполне приводимо. Позднее Голди показал, что условие нётеровости справа можно ослабить до системы следующих двух условий:

1) кольцо R удовлетворяет условию максимальности для правых аннуляторов;

2) кольцо R не содержит бесконечных прямых сумм правых идеалов.

Кольца со свойством 2) стали называть конечномерными справа, а кольца со свойствами 1) и 2) — правыми кольцами Голди. Например, кольцо к[хi,£2,...] многочленов над полем к от счётного числа коммутирующих переменных — коммутативное ненётерово кольцо Голди с полем частных к(хi, Х2, ■ • •)•

Голди доказал не только достаточность, но и необходимость условий 1), 2) и полупервичности кольца для полной приводимости его классического правого кольца частных.

Теорема Голди ([14, 17, 21]). Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — полупервичное правое кольцо Голди;

(2) правый идеал в R существен в точности тогда, когда он содержит хотя бы один регулярный элемент;

(3) кольцо R обладает правым классическим кольцом частных Qd{R), которое является вполне приводимым кольцом.

При выполнении этих условий кольцо Qci(R) просто в точности тогда, когда кольцо R первично.

Часто утверждение о первичных кольцах Голди называют первой теоремой Голди, а о полу первичных кольцах — второй, так же, как в случае теорем Молина—Веддербарна—Артина. Отметим также, что вполне приводимые кольца являются правыми (и левыми) кольцами Голди и совпадают со своими кольцами частных, поэтому для полупервичного правого кольца Голди R справедливо равенство Qci{R) = Q(R)-

Отдельно выделим случай колец главных правых идеалов, так называемых pri-колец (от англ. principal right ideal rings). В 1962 году А. Голди [22] описал первичные и полупервичные pri-кольца.

Третья теорема Голди ([22, 25]).

1. Полупервичные pri-кольца — в точности конечные прямые суммы первичных pri-колец.

2. Первичные pri-кольца — в точности матричные pri-кольца

над нётеровыми справа областями Ope.

Перейдём к градуированным правым кольцам Голди. Так называются [28, 32] градуированные кольца, не содержащие бесконечных прямых сумм градуированных правых идеалов (gr-конечномерные справа) и удовлетворяющие условию максимальности для правых градуированных аннуляторов.

Один из первых градуированных вариантов теоремы Голди доказан в монографии [28] 1979 года.

Теорема ([28], предложение 9.2.3). Пусть R = 0n€2-Rn — gr-no-лупервичное правое градуированное кольцо Голди, Rq = фп^0 Rn> = фтг>0Яп. Предположим, что выполнено хотя бы одно из условий:

(1) R+ содержит центральный однородный регулярный элемент;

(2) R = Rq и ни один минимальный gr-первичный идеал кольца R не содержит R+ ;

(3) R = Rq и R+ содержит однородный регулярный элемент;

(4) все однородные элементы в Rq нильпотентны.

Тогда существует и вполне gr-приводимо кольцо Q9^{R).

Там же приведён пример gr-полупервичного коммутативного градуированного кольца Голди, для которого классическое градуированное кольцо частных не является вполне gr-приводимым. Тем самым показано, что стандартный градуированный аналог второй теоремы Голди неверен.

Пример ([32], пример 8.4.7; [23]; [28], пример 9.2.2). Пусть к -поле, кольцо R = k[X,Y\f(XY) градуировано группой Ъ (обозначим х = Х + {XY) и у = Y + (XY)):

Rn — <

kxn, п > О, k, п = О, ку~п, п< 0.

Легко видеть, что кольцо Q9J(R) совпадает с кольцом R и не является gr-артиновым (и тем более, вполне gr-приводимым), а [х,у) — gr-существенный идеал, все однородные элементы которого — делители нуля.

Мы покажем, что полное градуированное кольцо частных Q9T(R) кольца R из этого примера вполне gr-приводимо и, в частности, не совпадает с классическим Q9Jl(R). Поэтому градуированный вариант теоремы Голди следует рассматривать для колец частных Q9^ и Qgr отдельно. Отметим, что как вопрос об их совпадении, так и вопрос о полной gr-приводимости кольца Q^, упираются в проблему существования однородного регулярного элемента в каждом gr-существенном правом идеале кольца R. В неградуированном случае это условие выполнено и такой проблемы не возникает, но повторение рассуждений Голди в градуированном случае приводит, вообще говоря, к неоднородному регулярному элементу. Эта проблема решалась в работах [23, 28, 29, 30, 32] наложением дополнительных ограничений на однородные компоненты кольца R и градуирующую группу G.

В 1986 году в работе [30] был доказан градуированный вариант теоремы Голди в предположении, что Re — полупервичное левое кольцо Голди, а на само кольцо R было наложено ограничение, эквивалентное е-точности слева (Rg ф 0 => Rg-iRg Ф 0 для всех g G G). Сформулируем правосторонний вариант этой теоремы.

Теорема ([30], предложение 1.4). Пусть R — е-точное справа градуированное кольцо с множеством однородных регулярных элементов S, Re — полупервичное правое кольцо Голди. Тогда верны следующие утверждения:

1) S — правое множество Ope в R;

2) множество Se = S П Re совпадает с множеством всех элементов кольца Re, регулярных в Re;

3) кольцо Q9cl(R) = RSсуществует, вполне gr-приводимо и

е-точно справа;

4) дб1-1 = Л51-1 и (д^-Че = ад-1-

В 2000 году Гудёрл и Стэффорд [23] доказали градуированную версию первой теоремы Голди для gr-пepвичныx колец, градуированных абелевой группой. Этот результат вошёл в монографию [32] 2004 года.

Теорема ([23]; [32], теорема 8.4.4). Если группа С абелева и С-градуированное кольцо Л gr-первично, то кольцо существует и

вполне gr-пpивoдимo.

В этой же монографии получен вариант второй теоремы Голди для gr-пoлyпepвичныx колец, сильно градуированных конечной группой.

Теорема ([32], теорема 8.4.9). Если К — дг-полупервичное правое градуированное кольцо Голди, сильно градуированное конечной группой (3, то Яе — полупервичное правое кольцо Голди, кольцо (5с/(-й) = существует, сильно С-градуировано и вполне дг-приводимо, при этом

(¿ЙГ(Д))е = ОсКДе) = ад"1.

Мощным логическим средством исследования в теории колец является метод ортогональной полноты, разработанный К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым в конце 1970-х и начале 1980-х годов ([1, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 18, 19] и др.). Его основная идея состоит в рассмотрении полупервичных колец как булевых произведений первичных, что позволяет теоремы с определённой логической структурой о первичных кольцах „поднимать" до теорем об ортогонально полных полупервичных кольцах. Основные объекты теории строятся последовательно по заданному полупервичному кольцу А: его полное правое кольцо частных ф = (¿(А), центр С кольца ф (называемый расширенным центроидом кольца А) и булево кольцо В идемпотентов кольца С. С помощью кольца В вводится понятие ортогональной полноты и строится ортогональное пополнение О (А) кольца А. На кольцо О (А) удаётся перенести теоремы, справедливые в классе первичных колец, если их условия и заключения имеют

определённую логическую структуру.

Целью работы является развитие структурной теории градуированных колец с помощью полного и классического градуированных колец частных, а также построенного ортогонального градуированного пополнения для градуированно полупервичных колец.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты состоят в следующем:

1. Градуированный аналог теоремы Фейса—У ту ми о порядках в матричных кольцах (теорема 2.4.4).

2. Градуированные варианты теорем Голди:

1) о строении полного градуированного кольца частных (теорема 3.2.2);

2) о существовании и строении классического градуированного кольца частных (теоремы 3.3.3, 3.3.4, 3.3.5);

3) о строении колец главных правых градуированных идеалов (теоремы 3.4.2, 3.4.3);

3. Построение ортогонального градуированного пополнения и его применения:

1) строение основного булева кольца (теорема 4.1.3);

2) критерии ортогональной полноты полного градуированного кольца частных gr-пoлyпepвичнoгo кольца (теорема 4.2.4, следствие 4.2.6, теорема 4.2.8);

3) построение ортогонального градуированного пополнения и описание его структуры (предложение 4.3.1);

4) его применение к градуированным кольцам Голди (теоремы 4.4.3, 4.4.4);

5) его применение к градуированным кольцам с однородным дифференцированием (теоремы 4.6.7, 4.6.11).

Методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец, теории градуированных колец, а также методы теории ортогонального пополнения Бейдара—Михалёва, развитые для градуированных колец.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер; полученные результаты вносят вклад в развитие теории градуированных колец на основе градуированных частных частных.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

— международный алгебраический симпозиум, посвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва (Москва, 2010);

— VIII международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 2011);

— X международная конференция „Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Волгоград, 2012);

— международная конференция „Мальцевские чтения", посвящён-ная 80-летию В. П. Шункова (Новосибирск, 2012),

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

— научно-исследовательский семинар по алгебре;

— семинар „Кольца и модули";

— семинар „Алгебра и теория моделей".

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36]-[41].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, содержащих 18 разделов, и списка литературы. Библиография содержит 41 наименование. Текст диссертации изложен на 108 страницах.

Краткое содержание диссертации по главам

Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней приводятся необходимые сведения и доказываются предварительные результаты. Раздел 1.1 содержит начальные сведения из теории градуированных колец и модулей. В разделе 1.2 исследуются градуированные матричные кольца с хорошими градуировками, то есть такими, при которых матричные единицы однородны. Указано условие, при котором подколь-цо скалярных матриц является градуированным и может быть отождествлено с основным кольцом. Полученные в этом разделе результаты применяются при доказательстве градуированного аналога теоремы Фейса—Утуми в разделе 4.2. В разделе 1.3 приводятся и кратко обсуждаются стандартные градуированные аналоги классических понятий, встречающиеся в диссертации. В разделе 1.4 собраны сведения о булевых кольцах и ортогональной полноте из [7], которые понадобятся в главе 4.

Глава 2 содержит ряд результатов о градуированных кольцах частных. В разделе 2.1 собраны предварительные результаты о gr-существенных и gr-paциoнaльныx расширениях модулей и градуированном сингулярном подмодуле. В разделе 2.2 рассматривается полное правое градуированное кольцо частных Сд9Г(Я) градуированного кольца Я. Доказан критерий его gr-peгyляpнocти и установлен изоморфизм между кольцами С29Г(Я) и С}(Яе) в каждом из двух случаев: 1) кольцо Я е-точно справа и gr-нeeингyляpнo справа; 2) кольцо Я точно справа и слева. Раздел 2.3 содержит предварительные сведения и результаты о классическом правом градуированном кольце частных С^у^Я) градуированного кольца Я. В разделе 2.4 доказаны градуированные аналоги теорем Утуми о кольцах частных (в том числе полных) матричных колец и Фейса—Утуми о порядках в матричных кольцах.

Теорема 2.4.4. Пусть ф — С-градуированное кольцо, п Е М, д = (#1,... ,дп) е Сп, дъ ■ ■ ■ ,дп € Сеп^Эиррф), Я — градуированное

подпредколъцо в С^п^д), $ — множество всех однородных регулярных элементов в Я, Для системы М = {е^}^ матричных единиц в Сдп(Л)), с^бу = 1, обозначим Ам := {а 6 Я | аМ С Вм = {Ь € Я | МЪ С Я} и = ВмАм П (2- Тогда верны следующие утверждения:

1- (Рм)п(д) = ВМАМ.

2. Если ф п{д) — ЯБ , то найдётся система N однородных матричных единиц в Сдп{д), для которой В^А^ — градуированный правый порядок в (дп{д)-

3. В предположениях пункта 2: если ф — градуированное тело, то ^дг (для любой системы N из пункта 2) — градуированный правый порядок в ф и С2п(д) = N П 5)-1.

Глава 3 посвящена градуированным кольцам Голди. В разделе 3.1 доказываются вспомогательные утверждения о gr-пoлyпервичных правых градуированных кольцах Голди. В разделе 3.2 доказывается критерий полной gr-пpивoдимocти полного правого градуированного кольца частных С}9Г{Я) гр