Границы устойчивости двумерных разностных схем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Численное построение границ устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем

§1.1. Границы устойчивости двумерных разностных схем.

§ 1.2. Безытерационный метод построения границы устойчивости

§ 1.3. Опорные точки. Базисная прямая

§ 1.4. Результаты расчетов.

Глава 2. Свойства границы устойчивости двумерных разностных схем с переменными весовыми множителями

§ 2.1. Монотонность границы устойчивости

§ 2.2. Разностные схемы с одинаковыми границами устойчивости. Симметричные и сопряженные распределения весовых множителей.

§ 2.3. Влияние перестановок весовых множителей на границу устойчивости

§ 2.4. Предельное поведение границы устойчивости.

Глава 3. Границы устойчивости разностных схем в непрямоугольных областях

§ 3.1. Границы устойчивости разностных схем в L-образной области.

§ 3.2. Границы устойчивости разностных схем в треугольной области

Таблицы

1. К первым исследованиям в области теории устойчивости разностных схем относятся работы [1]-[5]. Понятие устойчивости разностной схемы было впервые введено Нейманом и Рихтмайером [1] и определялось как ограниченность всех гармоник решения разностной задачи. Работы А.Ф. Филиппова [3], Лакса и Рихтмайера [4] положили начало современному этапу в теории устойчивости разностных схем. В отличие от предыдущих работ, в статье [3] понятие устойчивости рассматривается не для какой-то отдельной разностной схемы, аппроксимирующей конкретное уравнение, а для любой разностной схемы, и определяется как непрерывная зависимость решения разностной задачи (равномерная относительно шагов сетки) от начальных и граничных условий и от правой части. Подробное изложение работ А.Ф. Филиппова и B.C. Рябенького содержится в книге [5].

Настоящая диссертация посвящена развитию теории устойчивости разностных схем, рассматриваемых как операторно-разностные уравнения в абстрактных пространствах, предложенной А.А. Самарским [6]-[9] и развитой затем в работах [10]-[26], [28]-[36].

Отметим, что результаты теории устойчивости разностных схем, предложенной А.А. Самарским, изложены в книгах [15], [16].

Особый интерес представляют работы по развитию теории устойчивости разностных схем с операторными множителями, к которым принадлежат, в частности, схемы с переменными весовыми множителями. Общей теории устойчивости двуслойных и трехслойных операторно-разностных схем с операторными множителями посвящены работы [17], [18], [28]-[36]. Спектр применения данной теории достаточно широк. В частности, общие результаты теории устойчивости разностных схем с операторными множителями применяются для исследования сходимости и устойчивости конкретных разностных схем, аппроксимирующих некоторые нестационарные задачи математической физики. Разностные схемы с операторными множителями возникают также при использовании локально сгущающихся сеток при решении задач с особенностями и построении разностных схем на таких адаптивных сетках.

В результате быстрого внедрения в вычислительную практику последних лет многопроцессорных ЭВМ возник особый интерес к построению эффективных вычислительных алгоритмов для современных вычислительных систем с параллельной архитектурой. В связи с популярностью параллельных алгоритмов при решении многомерных нестационарных задач математической физики особое внимание уделяется применению методов декомпозиции (разделения) расчетной области на ряд подобластей. Одним из классов схем декомпозиции области являются регионально-аддитивные схемы, которые интерпретируются как схемы с операторными множителями.

Подробному изложению общих результатов теории устойчивости разностных схем с операторными множителями посвящена монография [33].

К классу схем с операторными множителями принадлежат разностные схемы с переменными весовыми множителями, среди которых можно выделить симметризуе-мые операторно-разностные схемы [17]-[19]. Исследованию устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, аппроксимирующих уравнение теплопроводности, посвящены работы [20]-[26].

Отметим, что разностные схемы с переменными весовыми множителями могут использоваться при распараллеливании вычислений, а также в случае быстро меняющихся коэффициентов дифференциального уравнения за счет использования локально-неявных схем [24].

Предметом настоящей диссертации является развитие теории устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, а именно вопросы, связанные с построением и исследованием границ устойчивости этих схем.

2. Остановимся подробнее на результатах, полученных другими авторами и имеющих непосредственное отношение к объекту исследования настоящей диссертации.

Канонический вид двуслойной разностной схемы определяется уравнением вУп+1 - Уп + Ауп = L п = (0Л) т где г > 0 - шаг сетки по времени {tn = пт}, уп = y(tn) (Е Я - функция со значениями в Я, начальное значение у0 задано. Здесь Я - евклидово пространство со скалярным произведением (•,•), А и В - линейные операторы, действующие в Н. В дальнейшем будем предполагать, что операторы А и В не зависят от п, В-1 существует. Поскольку в дальнейшем изучается только устойчивость по начальным данным, правую часть уравнения (0.1) полагаем равной нулю и рассматриваем схему

BVn+l ~ Уп + Ауп = 0, « = 0,1,. (0.2) т

Схему (0.2) можно записать в разрешенном относительно уп+\ виде

Уп+i = Syn, где S = Е — тВ~гА - оператор перехода.

Устойчивость исследуется в нормах, порожденных некоторым самосопряженным положительным оператором D. Пусть задан D* = D > 0 - самосопряженный положительный оператор, действующий в Н. Через HD обозначим линейное пространство, состоящее из элементов y,v,. 6 Н, снабженное скалярным произведением (у,ь)п = (Dy,v) и нормой || у ||d= \/{Dy,y)- Разностная схема (0.2) называется устойчивой в пространстве Но (или, что то же самое, в норме D), если при любых уо Е Я для решения задачи (0.2) справедливы неравенства

Dyn+ ь уп+1) < (Dyn, уп), п = 0,1,. .

Необходимые и достаточные условия устойчивости разностной схемы (0.2) в пространствах На и Нв получены в работе [8]. В частности, было доказано, что если А* = А > 0, то для устойчивости схемы (0.2) в пространстве На необходимо и достаточно, чтобы выполнялось операторное неравенство

В > 0.5тА. (0.3)

Поскольку свойство устойчивости неинвариантно относительно выбора нормы, возникает вопрос о необходимости условия (0.3) для устойчивости в пространствах, отличных от На

В работе [12] показано, что если оба оператора А и В самосопряженные и хотя бы один из них положителен, то неравенство (0.3) необходимо для устойчивости в любой норме. То есть в этом случае условие устойчивости (0.3) не может быть ослаблено за счет выбора оператора нормы D. В работах [13], [14], [17] приведены примеры, показывающие что требование самосопряженности обоих операторов существенно.

В работе [19] введено понятие симметризуемых разностных схем и приведены примеры таких схем. Разностная схема называется симметризуемой, если существует невырожденный оператор К : Н —> Н такой, что оператор

S = KSK-1 (0.4) является самосопряженным.

Необходимые и достаточные условия устойчивости симметризуемых разностных схем, не связанные с выбором нормы, получены в [17], [18]. В этих работах выделен один из таких классов симметризуемых разностных схем (0.2), для которого условие (0.3) не является необходимым для устойчивости в нормах пространств, отличных от На- Этот класс определяется условиями

В = Е + тоА, А* = А, а* = а, (0.5) где Е - единичный оператор, а - самосопряженный оператор в Н. Преобразование подобия (0.4), приводящее S к самосопряженному виду, осуществляется здесь оператором К = В. Отметим, что оператор В здесь не является самосопряженным в случае неперестановочных операторов А и о.

Разностную схему (0.2) с оператором В вида (0.5) и оператором а, действующим в Н, назовем схемой с операторными весовыми множителями. Она имеет вид

Уп+1 " Уп + аАуп+1 + (Е - а)Ауп = 0. (0.6) т

Эта схема является обобщением известной схемы с весами на тот случай, когда вес а есть не константа, а оператор.

В этом случае в работах [17], [18] для схемы (0.6) получено неулучшаемое за счет выбора нормы условие устойчивости в виде операторного неравенства, выполнение которого необходимо для устойчивости в любом пространстве Hp и достаточно для устойчивости в некотором Но- Основной является следующая

Теорема 0.1 (см. [17]) Пусть А* = А, а* = а, существуют А"1, ВЕсли схема (0.6) устойчива в каком-либо пространстве HD, то выполнено операторное неравенство где р, = а — 0.5Е. Обратно, если выполнено (0.7), то схема (0.6) устойчива в На2.

Условие (0.7) достаточно и для устойчивости схемы (0.6) по правой части (см. [17]). В [20] исследуется устойчивость того же самого семейства схем, но не предполагается существование оператора А~1.

Оказалось, что в определенных случаях неравенство (0.7) упрощается, если перейти к эквивалентному неравенству в другом пространстве. В работах [17], [36] показано, что если А = L*L, где L : Н —> К, L* : % —» Н, то неравенство (0.7) эквивалентно операторному неравенству в евклидовом пространстве %

Применение теоремы 0.1 с заменой операторного неравенства (0.7) на эквивалентное (0.8) позволило сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем в виде требования неотрицательности всех собственных значений некоторой симметричной матрицы устойчивости, представляющей оператор Q и порожденной рассматриваемой разностной задачей. Справедлива

Теорема 0.2 (см. [18]) Пусть В = Е + та А, а* = а, А = L*L > 0, где L : Н Н, L* : % —» Н. Если схема (0.2) устойчива в каком-либо пространстве Но, то в пространстве % справедливо операторное неравенство (0.8). Обратно, если выполнено (0.8), то схема (0.2) устойчива в НА2.

В [17]-[22] рассмотрено приложение общей теории к изучению устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, аппроксимирующих одномерное уравнение теплопроводности. В этом случае матрица оператора Q является симметричной трехдиагональной матрицей и зависит только от параметров сетки j = r/h2 и весовых множителей <7,, % = 1,2,. , N — 1 данной схемы. В отдельных

А + тАцА > 0,

0.7)

Q = Е + tL/J,L* > 0.

0.8) случаях задания весовых множителей сг,, i = 1,2,. , N — 1 собственные значения матрицы оператора Q найдены в явном виде. В работе [21] для преодоления жесткого ограничения на шаг сетки по времени предложено использовать локально-неявную схему в области мелкого шага по пространству или большого значения коэффициента теплопроводности.

Устойчивость двумерной разностной схемы с переменными весовыми множителями для уравнения теплопроводности изучалась в работах [23]-[26]. В работе [23] построена матрица устойчивости Q и сформулированы необходимые и достаточные условия устойчивости данной схемы в терминах неотрицательности минимального собственного значения этой матрицы. В общем случае минимальное собственное значение Q может быть найдено только численно. Для этого проверялась неотрицательность собственных значений для заданных соотношений 7х = r/h\, 72 = r/h\, где т - шаг сетки по времени и hi, hi - шаги сетки по пространству. Аналитическое исследование устойчивости схемы с переменными весовыми множителями, аппроксимирующей двумерное уравнение теплопроводности, проведено в [23] для случая шахматного распределения весовых множителей.

В работах [29]-[35] рассмотрены схемы с переменными весовыми множителями в случае переменных, в том числе зависящих от времени коэффициентов, а также для многомерных задач и трехслойных схем.

Рассмотрим трехслойную разностную схему, записанную в каноническом виде [7]

Вуо + r2Rytt,n + Ауп = 0, п = 1,2,. , уо и у\ заданы, (0.9) t }71 где Уп+1 ~ Уп-1 Уп+1 ~ %Уп + Уп-1

У1 ~ 2т ' Ш'п ~ V2 '

В дальнейшем будем предполагать, что операторы А, В и R не зависят от п и оператор (B + 2tR)~1 существует.

В работе [7] получены достаточные условия устойчивости схемы (0.9) в виде операторных неравенств. Основной результат этой работы следующий: если А и R -самосопряженные операторы, то выполнение неравенств

В > 0, А > 0, R > ^А 8 гарантирует устойчивость схемы (0.9) по начальным данным в норме

II уп ||,= (0.25 || уп + Уп-1 На + 11 Уп- Уп-1 Ня-о.25л)1/2

Частным случаем схемы (0.9) является трехслойная разностная схема с операторными весовыми множителями да/о + рт2уи,п + OiAyn-i + (Е - ах - а2)Ауп + а2Ауп+1 = 0, (0.10) t)Tl где а, /3 - заданные числа, а\, ст2 - операторы в Н. Схема приводится к каноническому виду (0.9) с операторами В = аЕ + r(ai — а2)А, R = (ЗЕ + 0.5(cti + о"2)А

Устойчивость трехслойных разностных схем с операторными весовыми множителями изучалась в работах [30]—[35]. Будем рассматривать разностную схему (0.10) в предположении, что А, о\ и <j2 - самосопряженные операторы, не зависящие от п. В работе [31] получены достаточные условия устойчивости схемы (0.10), связанные с выбором нормы.

Теорема 0.3 (см. [31]) Если А* = А - обратимый оператор, <т* = о\, = o<i и выполнены операторные неравенства аА + TA((Ji — <J2)A > 0, рА + АцА> 0, (0.11) где 4ju = 2(<Xi + а2) — Е, то схема (0.10) устойчива по начальным данным в норме ы\d = (||Уп + г/n-ill+ №А + ам)(Уп - Уп-0, Уп - Уп-0)1/2 • (0.12)

Для частного случая схемы (0.10), когда а — 0, cri = сг2 = а (симметричная схема), в работе [34] показано, что неравенства (0.11) являются и необходимыми для устойчивости независимо от выбора нормы, т.е. эти условия являются неулучшаемыми. Справедлива следующая

Теорема 0.4 (см. [34]) Пусть а = 0, ох = <т2 = о, А и а - самосопряженные операторы и существуют операторы A~lu (f3E+oA)~l. Если схема (ОАО)устойчива в какой-либо норме, то

А + АцА> 0, (0.13) где /л = а - 0.25Е. Обратно, если /ЗА + АцА > 0, то схема (0.10) устойчива по начальным данным в норме (0.12).

В дальнейшем в работе будем рассматривать симметричную трехслойную разностную схему с операторными весовыми множителями

Уи + аАуп+1 + (Е- 2а)Ауп + аАупх = 0, (0.14) являющуюся частным случаем схемы (0.10), когда а = 0, <Ti = сг2 = о, /3 = 1/т2. Нетрудно видеть, что для схемы (0.14) условие устойчивости (0.13) теоремы 0.4 имеет вид

А + т2АцА> 0, ц = а-0.25Е, (0.15) при этом норма (0.12) записывается в виде

11уп1Ь =

Уп + Уп-1 2 а2

Уп ~ Уп-1 ч 1/2 ч

0.16)

А+т2АцА^

3. Границам устойчивости одномерных и двумерных разностных схем, аппроксимирующим уравнение теплопроводности, посвящены работы [22], [25], [26]. В работе [22] показано, что устойчивость одномерной разностной схемы и ее граница зависят не только от величины весовых множителей, но и от их расположения на сетке, а также даны рекомендации по оптимальному упорядочиванию весовых множителей.

В работах [25], [26] были численно построены границы устойчивости двумерных разностных схем с переменными весовыми множителями с различными наборами весовых множителей. Для построения границы устойчивости использовался итерационный алгоритм [25], состоящий в следующем. Решая две серии одномерных задач на собственные значения, находятся точки пересечения границы устойчивости с осями координат. Отрезок прямой, проходящей через эти точки, принимается за начальное приближение к искомой границе устойчивости. На соответствующем отрезке оси выделяется конечное число точек. Для каждой точки этого отрезка фиксируется координата 71, и решается уравнение F(71,72) = 0, определяющее неявно границу устойчивости. Из этого уравнения с помощью итерационного метода Стеффенсена находится координата 72 данной точки, причем в качестве начального приближения выбирается координата 72 соответствующей точки исходного отрезка прямой. Существенным этапом вычислительного алгоритма явился предложенный Л.Ф. Юх-но метод нахождения минимального собственного значения больших разреженных матриц [27].

Возникают вопросы о существовании и свойствах границы устойчивости для двумерных разностных схем с переменными весовыми множителями как в прямоугольных, так и в непрямоугольных областях. Также представляет интерес зависимость границы устойчивости от перестановок весовых множителей и поведение границы устойчивости при измельчении сетки.

Другой вопрос, интересовавший автора диссертации, связан с возможностью разработки более эффективного численного алгоритма построения границ устойчивости, который, в отличие от [25], не требовал бы использования итерационных методов, а также позволил бы учесть возможности многопроцессорных ЭВМ.

Настоящая диссертация посвящена границам устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями, и все вышеперечисленные вопросы являются предметом ее исследований.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Neumann J., Richtmyer R. D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks. // J. Appl. Phys. 21. 3 (1950). P. 232-243.

2. Рябенький B.C. О применении метода конечных разностей к решению задачи Коши. // Докл. АН СССР. 1952. Т. 86. № 6. С. 1071-1074.

3. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. // Докл. АН СССР.1955. Т. 100. № 6. С. 1045-1048.

4. Lax P.D., Richtmyer R.D. Survey of the stsability of linear finite difference equations. Commun. Pure Appl. Math. 9. 2 (1956). P. 267-293.

5. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных схем. Гостехиздат,1956.

6. Самарский А.А. О регуляризации разностных схем. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. № 1. С. 62-93.

7. Самарский А.А. Классы устойчивых схем. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. № 5. С. 1096-1133.

8. Самарский А.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двуслойных разностных схем. // Докл. АН СССР. 1968. Т. 181. № 4. С. 808-811.

9. Самарский А.А. Об устойчивости трехслойных разностных схем. // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192. № 5. С. 998-1001.

10. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости разностных схем с несамосопряженными операторами. // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206. № 6. С. 1280-1283.

11. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости трехслойных разностных схем с несамосопряженными операторами. // Докл. АН СССР. 1973. Т. 210. № 3. С. 513-516.

12. Гулин А.В., Самарский А.А. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. // Матем. сб. 1976. Т. 99(141). № 3. С. 299-330.

13. Гулин А.В. Об устойчивости по начальным данным несамосопряженных разностных схем. // Докл. АН СССР. 1979. Т. 244. № 4. С. 797-799.

14. Гулин А.В. Теоремы об устойчивости несамосопряженных разностных схем. // Матем. сб. 1979. Т. 110(152). № 2(10). С. 298-303.

15. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

16. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

17. Гулин А.В., Самарский А.А. Об устойчивости одного класса разностных схем. // Дифф. уравнения. 1993. Т. 29. № 7. С. 1163-1174.

18. Самарский А.А., Гулин А.В. Критерий устойчивости семейства разностных схем. // Докл. РАН. 1993. Т. 330. № 6. С. 694-695.

19. Гулин А.В. К теории устойчивости симметризуемых разностных схем. // Матем. моделирование. 1994. Т.6. № 6. С. 9-13.

20. Гулин А.В., Дегтярев С.Л. Об устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями. // Вестн. Моск. ун-та, вычисл. матем. и кибернетика. 1994. № 3. С. 23-29.

21. Дегтярев C.JI. Об устойчивости разностных схем с переменными весами для одномерного уравнения теплопроводности. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 8-9. С. 1316-1322.

22. Гулин А.В., Гулин В.А. Границы устойчивости разностных схем с переменными весовыми множителями. // Изв. вузов. Математика. 1994. № 9. С. 28-39.

23. Гулин А.В., Дегтярев C.JI. Критерий устойчивости двумерных разностных схем. // Дифф. уравнения. 1996. Т. 32. № 7. С. 1-8.

24. Дегтярев С. Л. Устойчивость локально неявных разностных схем для двумерного уравнения теплопроводности. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 4. С. 50-61.

25. Гулин А.В., Юхно Л.Ф. Численное исследование устойчивости двуслойных разностных схем для двумерного уравнения теплопроводности. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 8. С. 118-126.

26. Гулин А.В., Юхно Л.Ф. Границы устойчивости двумерных разностных схем. // Матем. моделирование. 1998. Т. 10. № 1. С. 44-50.

27. Юхно Л.Ф. Алгоритм вычисления ранга и сигнатуры эрмитовой блочно-трехдиагональной матрицы. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. Т. 36. № 1. С. 42-51.

28. Вабищевич П.Н., Матус П.П. Двухслойные разностные схемы с переменными весами. // Докл. АН Беларуси. 1993. Т. 37. № 6. С. 15-17.

29. Вабищевич П.Н., Матус П.П. Операторно-разностные схемы с переменными весами. // Интститут математического моделирования РАН. Препринт № 31.1993.

30. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Щеглик B.C. Трехслойные операторно-разностные схемы с переменными весами. // Интститут математического моделирования РАН. Препринт № 30. 1993.

31. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Щеглик B.C. Разностные схемы с переменными весами для эволюционных уравнений второго порядка. // Докл. АН Беларуси.1994. Т. 38. № 3. С. 13-15.

32. Вабищевич П.Н., Матус П.П., Щеглик B.C. Операторно-разностные уравнения дивергентного типа. // Дифф. уравнения. 1994. Т. 30. № 7. С. 1175-1186.

33. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск.: ЗАО "ЦОТЖ", 1998.

34. Самарский А.А., Гулин А.В., Вукославчевич В. Критерии устойчивости двуслойных и трехслойных разностных схем. // Дифф. уравнения. 1998. Т. 34. № 7. С. 975-979.

35. Самарский А.А., Гулин А.В., Вукославчевич В. Критерии устойчивости трехслойных разностных схем. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1999. № 4. С. 5-9.

36. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Гулин А.В. Устойчивость операторно-разностных схем. // Дифф. уравнения. 1999. Т. 35. № 2. С. 152-187.

37. Гулин А.В., Шередина А.В. Границы устойчивости разностных схем. j j Изв. вузов. Математика. 2000. № 11. С. 26-33.

38. Гулин А.В., Шередина А.В. Границы устойчивости трехслойных разностных схем. // Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных трудов. Вып. 7. Часть II. М.: "Прогресс-Традиция", 2000, с. 561-568.

39. Шередина А.В. Свойства границы устойчивости двумерной разностной схемы. Препринт. М: МАКС Пресс, 2001. - 26 с.

40. Шередина А.В. Границы устойчивости разностных схем в 1/-образной области // Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных трудов. Вып. 8. Часть II. М.: "Прогресс-Традиция", 2001, с. 299-306.

41. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

42. В азов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд. иностр. лит., 1963.

43. Положий Г.Н., Ляшенко И.Н. К теории собственных значений конечноразност-ного оператора Лапласа для областей, составленных из прямоугольников. // Вычислит, и прикладная математика. Вып. 3. Изд. КГУ, 1967.

44. Ляшенко И.Н. О разностных методах решения проблемы собственных значений для оператора Лапласа и тестовой задачи для L-образной мембраны. // Исследование операций и АСУ. Вып. 2. Киев, 1973, с. 26-41.

45. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

46. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983.

47. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

48. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

49. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиздат, 1951.