Группы автоморфизмов G - структур и метрики Эйнштейна тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР" СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 5Г4.747

АЛЕКСЕЕВСКИЙ Дмитрий Владимирович

ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ 6-СТРУКТУР И МЕТРИКИ ЭЙНШТЕЙНА 01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1988

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Московского государственного заочного педагогического института ■

Официальные оппоненты : диктор физико-математических

наук, профессор О.В.Мантуров, доктор физико-математических наук, профессор А.Л.Оншцик, • доктор физико-математических наук, профессор А.Т.Фоменко

Ведущее предприятие": Казанский государственный университет

Защита состоится * ' *_1988 г. в час.

на заседании Специализированного совета Д 002.2S.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики СО АН СССР по адресу : 630090, г. Новосибирск 50, Университетский проспект,4. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект,4.

Автореферат разослан " . " _1988 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

д.ф»-м.н. • . $жЛ(-7 В.С.Белоносов

I. ОБЩАЯ ХШШРИШКА РАБОТЫ

Актуальность темы и ее состояние. Существуют три основных подхода к геометрии: синтетический, восходящий к Евклиду» и строго обоснованней Д.Гильбертом, групповой, впервые четно сформулированный в Эрлангенской программе Ф.Клейна, и полевой, предложенный Б.Ринаном и развитый Г.Вейлем. •»

При синтетическом подходе геометрия определяется 'заданием множеств основных объектов - точек, прямых, плоскостей и т.п. и постулированием р$ща.отношен^ между этими множествами.

С точки зрения группового подхода геометрия определяется заданием б -пространства - множества М с фиксированной группой (у .его преобразований и изучает инварианты группы б .преобразован^. Содержательная теория; получается, если предполагать, что группа 0 достаточно велика, например, если она действует на М тршшттивко. В атом случаэ шоаастзо 'М отождествляется с фактор-простршстзом 6/^ группы по стационарной подгруппа Н . Ори естсствзшом дополнительной предположении, что есть группа ля, а Ц - ез замкнутая подгруппа, ш пр!5Ходим к геометрия одкородкнх пространств групп Дм. Эзу теор:ш мояко рассматривать как соаремешдг» реализация Эрлангенской програмш Клейна. Откетаы два основных достоинства такого подхода к геометрии:

1) Ряд вазяейших геоизтраЯ (евющцоза, аффшшая» конформная, щюективная) допускает единообразное описание в рамках теории однородных пространств.

2) Основные вопросы геометрия однородных пространств допускают формулировку в терминах групп Ли. Замечательная теория групп

и алгебр Ли позволяет свести эти вопросы к чисто алгебраическим вопросам теории алгебр Ли. Благодаря этому ряд слс -ньпс проблем

геоыатрии однородных пространств сводится к линейным задачам алгебры и допускает полное решение.

Основной недостаток группового подхода состоит в том, что ряд геометрических систем, возникающих в математике и физ^е, не укладывается б рамки такого подхода, т.к. геометрическая система кокет иметь тривиальнуо группу автоморфизмов.

Исключительно плодотворным оказался полевой подход, предложенный Риыаноы. Согласно этому подходу, геометрий задается полевой вел1ишюй ("геометрической структурой") на многообразии -М (т.е. грубо говоря, на'множестве8 снабженном координатами), Первым и . важнейшим притрои такой геометрии явилась ршлано'ва геометрия, -которая .задается рщдановой метрикой - полем скалярных произведений в касательных пространствах, Г.Вейль обнаружил, .что по аналогии с ркмановой геометрией можно рассматривать геометрия, задаваемые друтш геометрическими структурами, и развил геометркз) пространства лннойной связности, задаваемую некоторой геометрической структурой - линейной связностью. Ряд новцх типов геометрий, задаваемых различными геометрическими структурами, определил и исследовал Э.Картам. Он обнаружил, что с.кккдой из этих геометрий связана некоторая группа, действующая в многообразии корелеров, и развил общий метод изучения таких геометрий (так называемый "метод подвижного репера", использовавшийся ранее в теории поверхностей Дарбу), основанный на выборе специальной неголономной системы координат - поля кореперов и рассмотрении продолжений, Анализируя работы З.Картана, Черн " охарактеризовал класс геометрий, определяемых геометрическими структурами, к которым применим ме-

й Скег^ $. ТЬе- ^еотеЫ^ & - ^гссс^с г

тод подвижного репера Э.Картана. Такие геометрические структуры характеризуются некоторой группой б и могут быть описаны а терминах главных (у -расслоений кореперов. Черн назвал такие геометрические структуры- (у - структурами и развил теорию (у -структур, являющуюся по существу вариантом метода подвижного репера Картона в инвариантной изложении»

Теория в -структур модно рассматривать как'синтез группового подхода Клейна, и полового подхода Рим&на, С одной стороны, 6 -структура ооисызаетсп в терминах некоторого (5 -пространства Р многообразия кореп'-роэ, С другой стороны» ее можно интерпретировать пак некоторую голевую величину'- сечение фактор-рас слоения расслоения всех кореперов по ГРУПП 3- (у « Большинство изучаемых в дифференциальной геометрии структур (риманову, псевдориманову, (почти) симплектическуи, (почти) комплексную, кэлерозу, квантернионнуя5 аффинную проек-тивну», флаговую, конформную и т.д.) можно рассматривать как £ -структуры» Развитые в теории -структур общие штоды позволяя? с единых.позиций исследовать разнообразные геоыетрическиэ структуры.

Перечислим основныа геометрические задачи', которые допускают формулировку я решение в рамках теории {у -структур:

1) описание структуры группы автоморфизмовг

2) классификация геометрических структур с максимальной групь^й автоморфизмов |

3) построение полного набора дифференциальных инвариантов до порядка к в полностью описывающих дифференциально геометрическую окрестность порядка К данной структуры. Важнейшими примерами таких инвариантов являются скалярные дифференциальные инварианты и инварианты со значением в дифференциальных формах

~ о -

(в частности, интегранти характеристических классов и лагранжианы полевых теорий);

4) проблема эквивалентности, т.е. нахоэдениэ необходимых и достаточных условий эквивалентности двух геометрических структур, и проблема интегрируемости - нахождение условий эквивалент-поста данной геометрической структуры стандартной плоской структуре;

5) проблема модулей - проблема' описания классов эквивалентных б-структур.'

Вагяыэ результаты по теории (у -структур, в частности, по проблемам эквивалентности и интегрируемости, пг-учена в работах . Пэраал часть диссертации (главы 1-3) дасвяцена дальнейшему развитие об&ей теории -структур. й еа применении I различным задачам дифференциальной геометрии. Особо важную роль в геометрии играет ¿-кгеогрируеуиз, но не интегрируемые ^ С -структура, е, б -структуру," 'которые с. «гочностьа до малик второго порядка эквивалента ст&едартной плоской б »структуре, Цргазероы является произвольная «елдоская ркманова ыетрика. Отые-«и, теория сурерграввтации тжщ быть- описана в рамка:

:5 ttouibui Ъ. u a¡íom¿t'o¿t ¿СЦьи^СгССе des

S-sttiuí^es ¿l»vvt, liist. fow,¿üZjtf$of 10, isi- ¿jó.

^ Gueee&HÙb V.W.^Uù bsàu^iùtùU г,и>вее»ь j-ог

tó-lilttfúufb&s'^л»s, dm гл. nt^th. Soc., HùS} Ub ^/-si ■ 5355 Васильев A.M, Теория дифференциально-геометрически структур, МУ,' 198?.

»ш®5 Стернберг С. Лекции во дифференциальной геометрии, ' M.î Мир, 1970,

2352555 Кобая л lil. Группы преобразований в дифференциальной Геометрии» Mí Наука, 1986.

таких I-интегрируемых Q -структур31^. Нетрудно показать, что [-интегрируемость (у -структури равносильна существования а ней связности без кручения. Из рэзультатов M,Bepsexx> следует огшеа-те всех неприводимых линейных групп Ли 0 , для которых могу? существовать I-интегркруеше неплоские (у -структуры [16J * 3 частности, если дополнительно предположить,, что груша G связана и компактна, то либо она совпадает с группой изотропии симметрического риманова пространства (и соответствующие нетривиаяь-шз Q -структуры ассоциируются с симметрическими пространствами : точность» до локальной эквивалентности), либо G^ $0{>ъ) , Uff-)^ St/{^)) Sp(-l)'5p[Ç) , %(&•) ) Gz, '»m- Sp^i?) . В последнем слу-tac геометрию (у -структуры мдкна отождествить с рщяановой гео-?зтрной ( G = SО(н-) ), кзлеропой геометрией ( G~V(%) > ¡vmSV(x)j -чтерколеровсй геометрией ( G ~Sp(.-j} ) ),'кватернионной геометри-:л ( Q - Spit}' Sp('v) ) гаи римснопой геометрией с группой голо-юкки G или Sptn(?j . Замечательно, что s случае Qf S0(:i) » U ( т ) определяемая G '-структурой ряжноза метрика является метрикой Эйнлтейиа. Таким образом, любая инструкция• такой Q -структуры дает решение уравкешэд Эйнштейна. В общем случае строить штршшальнне структуры непросто. Положение упрощается', если рассматривать однородные Q -структура, т.е. (у -структуры, допу-жйищиз трзизкт;гв£5уэ группу азтсморфизмов. Построение н изучение щнородннх структур в раыхэх группового подхода Ли -.Клейна сво-щтся к некоторым заделам теории алгебр Ли. Развитии такого под-сода посвящена зторря часть диссертации (.главы 4~о). Все одно|гад-аго Q -структуры с неприводимой компактной связной группой Q .

; A.S. ^ьхуглуСЦt Convex G&mziuf й,neL

G-ßibiicttvzü$.~ Common. iYl<Uh. Î3C1, ST , i'i-оъ.

Se^nt. Swt ^eapes dl kihna^c {¿oma -

files, va-r^tes a, -coivnexù'ow - ■

SоСг.^ЬаЛк. F-UuvCc, ^ 1ЪТ ¿20.

тI Ц ■

исчерпываются Q -структурами, ассоциированными с однородными романовыми пространствами ( G - S£?(h) )„ кэлеровыми пространствами ( Gc кватернионными пространствами ( G с £p{l)'Sf>(gJ )

или римановыми симметрическими пространствами. Поскольку все ри-Пановы симметрические пространства известны , ш ограничиваемся -изучением однородных римановых, кэлеровых и кватернионных пространств» Это приводит х конструкциям ряда новых метрик Эйнштейна. -Отметим, что проблема построения метрик Эйнштейна является одной, из важнейших задач современной дифференциальной геометрии*8} имеющих важные приложения в теоретической физике

Приложение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных разделах дифференциальной Геометрии, теории однородных пространств и груш преобразований, общей теории относительности, супзргравитации, теории нелинейных сигма-моделей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных конференциях по дифференциальной геометрии' в Г&рвице (ГДР, 1981) и Брно (ЧССР, 1966), на Всесоюзной конференции по геометрии, "в целом" (Новосибирск, 198?),-на воронежской зимней математической школе (1985). Эти результаты также докладывались на семинарах кафедр Дифференциальной геометрии, Высшей геометрии и топологии, Функционального анализа. Высшей алгебры в МГУ, на Объединенном семинаре по геометрии « анализу Института математики СО АН СССР и в цикле лекций, прочитанных в ВЦ АН СССР (1985-1986).

^ Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, М.: Мир, 1964.

к«) basse, А г. ЬС^ЬОк «ыи¿¿оШ, Sf^vt-Vvify »и) HbttuUv^i 0f> ¿J*e йя^еп-пе S^tftpon. ' &Kom.a,tu!4 f fifco/ие^г^ a^nd Торобс^и

Отдельные результаты диссертации вопли в состав энциклопедической статьи "Цп,еи-и результаты дифференциальной геометрии", написанной .автором совместно с А.Н.Виноградовым и В.В.Лычзгиким 5! вкходяцс1 в серии ВИНИТИ "Итоги науки. %нд8меяталькш направяв-ния".

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах

Структура рясеертздиц. Диссертация состой? из введения, 46 • параграфов» разбитнх на 6 глав и списка литературы. Нумерации теорем, оцределе№!Й и т.п. ег.иная а казвдой главе: первое число указывает иомор параграфа, второе - номер таореггы, определения и т.п.- Библиография содэртот 93 наименования.

п. обзор содввшщ десвдшш

Пахта I пссзязсна изложен»» сбт,зй 'теории (2 «структур» Крона ряда методических упрочений, здесь пркгодятся следущкз результата. Дано абстрактное определение 0 -структур!* как главного От -расг чоенкя, снабженного 1-формой екзщопиа я показано,, ч?о сио оквиволентио класс№?сяо*гд определенно* Это Абстрактное оврадлгигивэ дризодат к естастзсгакзцу обобщения шит £ «струк-тури,

Рассяоадио сп::.ч-ропоров п расслозгше, аесоцтгропанноз -с одно-родню» арсстрапствои» ирляятсз вакидоп крямеракя обо&рподх £ « сурздаур. Провидено гзеисэ штсленпе функция щц/чят (т -структуры а нсгопошаапйС координатах, спределясигк сечеиксм О- -структуры. Показано 8 что тдяоо ссчеииб в случае ио евргдеяяет тризиализации щюяодюетшя (у .¿структур«. Для того, чтебя пот'-чить тает» *рипкзлпзац1гз, и тем сш'.ум определить коордгаша з про-

Г 10-

доляении, надо зафиксировать некоторую специальную связность - . Ъ -связность. Выведены структурные уравнения (? -структуры, обобщающие классические структурные уравнения Э.Картана $0(л)-структуры (т.е. римановой метрики).

В предположении, что б -инвариантное подпространство 5Нот(У,У^ пространства Ног« V] (где -^¿¿ев >

имеет б -инвариантное дополнение й и (з с&1>[4) есть линейная группа Ли типа I. (т.е. первое продолжение г \ ), доказано, что первое цродолжение 0 -структуры Т • Р-»М можно рассматривать как некоторую каноническую линейную связность на многообразии М . Этот результат является обобщением классического результата о существовании единственной .связности Леви-•Лщнта без кручения, ассоциированной с структурой (т.е.

с риыановой метрикой). Ш.Кобаяси заметил, что для многих структур существование связности без кручения необходимо и достаточно для ее интегрируемости. В § .8 дано объяснение этоцу на-бдвденио. Показано, что существование связности без кручения в -структуре (что эквивалентно обращения в нуль первой структурной функции ми¡, иначе, I-интегрируемости) необходимо и достаточно для интегрируемости б" -структуры при условии, что $ есть неприводимая линейная группа, не принадлежащая списку Верже груш гологамии линейных связностей бе? кручения.

Важнейшим инвариантом 0 -структуры 1Г является ее группа автоморфизмов Аи/£ (Р) , Особый интерес представляют (5 -структуры, обладающие достаточно большой группой автоморфизмов.

В главе 2 определяется понятие максимально однородной С- -структуры как £ -структуры, группа автоморфизмов которой тран-

3-

Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986.

зитивно действует на всех ее продолжениях. Например, для 50(1\) -структуры, которую можно отождествить с р¡меновой, метрикой на ориентируемом многообразии, все максимально однородные структуры исчерпываются классическими пространствами постоянной кривизны -1» <Л>\ 8 § 2 для каждой группы Ли б са(У) конечного типа определяется каноническая (у -структура, являющаяся максимально однородной (у -структурой. Например, для СО(^) -структуры (или, иначе, конформной 'структуры) каноническая структура отождествляется со стандартной конформной структурой на,сфере ' (т.е. с "конформным пространством" по терминологии классиков 19 века). Описание максимально однородных £ -структур конечного типа сводится в § 2 к известной алгебраической задаче классификации фильтрованных алгебр Ли (удовлетворяющих некоторым условиям) с дамой градуированной алгеброй Ли. При этом в качестве градуированной алгебры Ли

выступает полное продолжение ^аа алгебры Ли группы (у . Алгебре Ли ^^ , рассматриваемой как фильтрованная алгебра Ли, отвечает каноническая максимально однородная -структура. Если алгебра Ли ^^ является жесткой, т.е. изоморфна любой фильтрованной алгебра Ли X с градуированной алгеброй

"Уоо , то вез максимально однородные (у -структуры исчерпываются канонической (у -структурой. Отметин, что известны различию критерии аесткости градуированной алгебры Ля. В § 3 вводится танятке рэдукткзкой фильтрованной алгебры Ли с градуированной алгеброй и получено алгебраическое описание соответствую-

щих им родуктквныэс :.:аясимально однородных -структур в. терминах некоторых пространств -инвариантных когоыологий Спенсера. В простейшем случае, -огда первое продолаэние это описание сводится к описании радуктквных однородных пространств в терминах (3- -инвариантных тензоров Т , Я крушения и кривизны

и 12

канонической связности. Получено описание максимально однородных . (у «структур» где Q -нЬцриаодимап линейная груша Ли коночного ?ипа. В § 4 оцределяэтся конформное расширение (J -структура, S^GL(V) « как pj- Q -структура и конформные автоморфизма Q -структуры как автоморфизма ее конформного' расширения. В случае s когда группа £lr,G- {a:s8? тш I и подпространство о Не,v. iVjif) шэет G -инвариантное дополнение в Мот V) на многообразии к определяется I-форма iL , являющаяся инвариантом G «отдуктуры. Ее д!;|фергщнад является конформным дашариаигои Q -структуры, <р.е. зависи-у только от ее конфррш.о~ го рдсш5!рз!iия* Группа £ конформных преобразований (у -структуры Ж- Р~>М называется (несущественной, если (не)существует G -структура TTj. : N , конформная Q "-структуре тг , да . которой груша £ язляатся группой автоморфизмов. В § 4-5 приводится ряд достаточных условий несущественности группы конформных преобразований. В частности, полезно описание пространства орбит и показано, что пучок'ростков Q • -инвариантных функций, является тонким. Доказывается также, что стационарно компактная группа конформных преобразований £ -структуры 7Г : Р~> И конечного' ?ша действует на многообразии М совершенно. Из этих результатов выводится, что стационарно компактная группа конформных преобразований Q -структуры конечного типа несущественна.

Последний результат используется в § 6 для доказательства обобщенной гипотезы Лихнеровича которая утверждает, что'риыа-иово многообразие (М, (j ) допускающее существенную группу конформных преобразований, конформно стандартной сфере или евклидову пространству.

й LiobbbVOtyLCsi А./Su/t 6es Ьчлм^огма^и^л Ctfjifownes dVue vi>jwet& ■'ьС&П'Л^лп/С&лпс cornpn.c,te ~ СЛ.&йаЛлсо^

Этот результат не обобщается на псевдориыановц »многообразия. Существует бесконечно иного различных псевдоримано^ых (и, в частности, лоренцовых) многообразий, допускающих существенную группу конформных преобразований. 11х полная классификация неизвестна,

В главе 3 газ ограничимся рассмотрением более узкой задачи Океания лоренцевше многообразий ( М „^ ) (или, иначе, Ю(},!1-1) -структур), допускающих однопараиетричеа:уэ группу подобий Ф, Такие многообразщ иазываэтеа самоподобными и интенсивно изучается- в общей теория относительности, В зависимости от структуры множества М ^ неподвкзтйс точех группы , самоподобнке шогообразия делятся на три класса! • X) р 2) 4 , ЛЬ М1) 3) ¿¿т М

йэ результатов § 5 глзви 2 выводятся, что в случае I) группа несущественна» Зто позволяет легко описать все сеетподобша шо-гсобразия первого класса,

В остальных двух случаях группа подобий Ф существенна. Са-моподобкые гшогообразия масса три допуекгаот полну» классифика-циа. Они исчерпызаится так называемыми пространствами плоских волн, игравшими (при ¡\. =4) ваглуа роль в общей теории относительно-

^^ ] Большая часть 'глава 3 посвящена изучении самоподобннх

к. Ь(ЬЪ(1£б<л 5&.М; Т'пс, ьсЦим-Свлл, : ^Сом^гу сЦытос^.- Сотппм.п. МаД/). ^ Шц^

**) ВалсСи^ 1, гИй/м^е«^., т^ь-и^ V.

8вя) НютоШШс спА софг^е ^

ЩЦ 106 ; В?- (УЗ. '

Релго^И. ъ^ыл-Ы^ь Кы а, рвме. ше.

многообразий класса 2. Важным инвариантом таких многообразий является неотрицательное число ^ , выражаемое в терминах вещественного собственного значения инфшштезимального оператора изотропии группы Ф в ^ -неподвижной точке. В аналитическом случае получено описание метрик самоподобных лоренцовых многообразий класса два в Ф -инвариантной окрестности неподвижной точки в виде некоторого ряда.

Главы 4-6 посвящены изучению различных классов однородных ри~ мановых пространств инфинктез ¡шальными методами Ли, основанными на сведении вопросов теории групп Ли и однородных пространств к " задачам теории алгебр Ли. В § I выводятся формулы, выражающие тензор кривизны, тензор Риччи и секционную кривизну риманова однородного пространства } ^ ) в точке О в терминах скобки-Ли в алгебре Ли и евклидовой метрики <' в М ,

определяемой римановой метрикой- ^ . Доказ-лзается теорема', которая утверждает, что однородное пространство унимодулярной некомп ктной неполупростой группы Ли не может иметь инвариантной метрики Эйнштейна. Этот результат можно рассматривать как частичное подтверждение гипотезы автора С11~) ^ том, что инвариантные метрики Эйнштейна на некомпактных однородных про- ■ странствах исчэогываатся метриками некомпактных симметрических ри- . меновых пространств»

I § 2 рассматривается случай, когда односвязное риманово многообразие (14 , ^ ) допускает просто транзитивную группу движений Р . В этом случае алгебра Ли 3" снабжается евклидовым скалярным. произведением' <}> , индуцированным метрикой ^ и пара ( , •С у у ), называемая метрический алгеброй Ли, однозначно

к) А .¿л > ЬьььЬи,ии т^ухС^Ш, '/38?

определяет риманово многообразие (Н , ^ ), Описывается соответствие между метрическими алгебрами Ли и римановыми многообразиями с просто транзитивной группой движениям в терминах метрических алгебр Ли определяются основные понятия геометрии риманова многс -образия. Доказывается, что риманово однородное пространство неположительной кривизны обладает просто транзитивной разрешимой группой движений. Эта сводит изучение таких пространств к изучений метрических алгебр Ли неположительной кривизны. В § 3 описывается строение метрических алгебр неположительной кривизны. До-' казывается, что всякая такая алгебра разлагается в ортогональную полупрямую сушу З-'МхМ* нильпотектвого радикала ^ и коммутативной картановской подалгебры Отсюда, в частности, выводится, что рннаново многообразие неположительной кривизны, допускающее унимодулярнуи просто транзитивную группу Движений, является плоским. В § 4 рассматривается случай, когда нильпотентный радикал

оГ коммутативен. Описывается семейство эйнштейновых метрических алгебр рассматриваемого веда, и тем самым однородных пространств Эйнштейна с ыет^абеяеэой просто транзитивной группой движений. Эти результаты используются в § 5 для классификации однородных пространств Эйнштейна неположительной секционной кривизны размерности ¿5, ■

Глава 5 посвящена явному описанию инвариантных метрик Кэлера--Эйнштейна на компактных однородных пространствах. Этими метриками исчерпываются все неплоские несимметрические метрики 'Ьлера--Эйнштейна, обладающие транзитивной унимодулярной группой изомет-рии, а также вне метрики Кэлери - Эйнштейна на компактных ко'мплекс--ных многообразиях с транзитивной группой голоморфных преобразований.

В основе классификации инвариантных метрик Кэлера - Э:'шштейнв

- ъ -

дехих слодавГлез наблюдение.' Пусть -¿^«терное однородное

пространство с инвериагшюй формой объака У . С коздой инвариантной комплексной структурой 3 - в связывается каноническая вршиова форма , созшдааадя с точностью до знака с тензором Риччи гь1с^ любой иааариалтной кэлеровой метрики в 6/¡( , Поэтому для существования в комплексном однородной пространство (3 ) инвариантной метрики Кэкора - Зйнаггейна с не» нулевой скалярной кривизной* , необходима и достаточна знакоопределенность кенонкчоокой эрмитовой форма кд » Если это условие выполнено, то матрика. Колера -Эйнштейна | со скалярной кривизной дается форгдаой

§ = " Тс п'3 •.

Отметим, что любая инвариантная метрика Эйгатсйна <}■ в однородном пространстве с кулевой скалярной кривизной ян-ллется плоской. Псзтсцу приведенные визе соображения свсдяг задачу -писания неплоеккх каварлантных метрик Кэлера - Эйнштейна в однородных пространствах к задаче описания инвариантных комплексных структур 3 которых каноническая эрмитова фор-' на к-! знакоопределена.. Кд&сагческке результаты А.Бореля, Дз.Ко-щуля и /&.Хано " показывают, чго.в случае ушшодулярной грущш условна кд >0 вшояняетск только, еса»ч ) есть эрмитово еишсгрическое пространство некомпактного типа, а условкз

¡г^^О выполняется тогда и только тогда, когда J есть инвариантная комплексна;! структура на орбита присоединенного представления компактной полупростой группы Ли без центра- Зтй ре~ гультаты сводят зядачу классификации инвариантных метрик Колера -

Ьегэе ДЛ-. ЬСпЦсСл лгл-афе^., ш?.

Эйнштейна на однородных пространствах унимодулярных групп Ли к /

двум задачам:

1) задаче описания инвариантных комплексных структур J на орбитах присоединенного представления компактных простых групп Ли,

2) задаче вычисления для каждой комплексной структуры ] канонической эрмитовой формы к^ *

В работе задача I) была сведена к задаче описания.параболических подалгебр J алгебры Ли с данной полупростой частью , Задачу 2) можно рассматривать как задачу вычисления первого класса Черна комплексной структуры J . Для непри-

к)

водимых эрмитовых симметрических пространств сна была решена в , а для орбит общего положения групп Ли типа - в работе

В главе 5 дается полное решение задач I), 2) в терминах черное-белых схем Дынкина. Полученные результаты показывают, что число-недиффеоморфных инвариантных метрик на орбита растет как к/ , с ростом числа к простых сомножителей группы К , В § 8 для ля-бой орбиты Н классической группы Ли (г с инвариантной комплексной структурой 0 строятся канонические комплексные координаты, определенные в открытом всоду плотном подмножестве ^ • Они определяются как независимые матричные элементы унипотентной матричной группы /V. из обобщенного разложения Гаусса бЦ^/Ч К^/У^ В терминах этих координат описаны кэлеровы потенциалы инвариантных 3-форм на.М (которые все имеют тип (I, I)). Оказывается, что они являются произведениями некоторых главных миноров, взятых в степенях, которые равны-коэффициентам разложения соответствующего вектора ¡Е картановской подалгебры по биаису фундаментальных

«> ВогееА., НСъиёги^ р. СЛми&яМ* сЛйш% аМе6 ^т,-' ГЪъШтъ* Д М рга*,- м Г с , '

1 гг^'^^ж^

босов. При этом форма Черна отвечает потенциал, совпадающий с плотностью инвариантной меры на орбите. Эти результаты позволяют по черно-белой схеме Дьшкина,'задающей инвариантную комплексную структуру, написать потенциал соответствующей метрики Кэлера --Эйнштейна. Результаты имеют ряд применений. Укажем два из них:

1) Явный вид потенциалов метрики Кэлера - Эйнштейна позволяет написать лагранжиан нелинейной суперсимметричной (У -модели со оказанием в кзлеровом многообразии и, ^ем самым, получить , уравнения поля.

2) Существует- ряд конструкций (ЬЬ^ , которые позволяют сопоставить метрике Кэлера - ЭГшатейна на шогообразии

М

новые метрики Эйнштейна и Кэлера - Эйнштейна на различных голоморфных расслоениях над М » При этом новая метрика вцрахсается в терминах потенциала исходной метрики Кэлера - Эйнютейна. Яриме-нение этих конструкций к списанным метрикам Кзлера - Эйнштейна позволяет получить большое семейство неоднородных метрик'Эйнштейна, в том числе Риччи-ллоскио метрики Эйнштейна на компакгщх многообразиях, являющихся ^"-расслоениями над орбитами . В простейшем случае, когда орбита . есть дзумерная сфера, таким образом получается "нелинейный гравитон Пейджа " - первый пример Риччи-плоской ноплоской метрики на компактном четырехмерны многообразии.

Глава 6 посвящена изучению кватернвднных риманоеых многообразий (или, что эквивалентно, 1-плоских

й) а VиЧ^ Е; Шигиелпа е£ уСйгъ ^тоф^

т) " ЬС. Мш. , (М, »¿у Ш-2ЛГ. -

н классификации таких шогообразий, обладающих просто транзитивной вполне разрешимой группой движений. В § I даются основные определения, связанные с кватернионными многообраз. лш? и доказываются 'некоторые глобальные свойства таких многообразий и их изокет-рий, В частности, получена оценка дайны минимальной замкнутой геодезической в компактном кватернионном ршановом многообразии М При 1т, - 1 условие кватернионнрста риманова многообразия сводится :с у слов эйнштейновости, Поэтому указанный- результат приводит к ицешсе длины минимальных геодезических в четырехмерном компактном -шогообразия Эйнштейна, Этот результат показывает, что условна эйнштейновости накладывает ограничети на поведение геодезического потока (по" крайней мзре для четырехмерных шогообразий). Вопрос о существований какой-либо связи язяду эйнштейновостьа риманова многообразия и свойствами ?годез5«вского потока был поставлен в книге А.Еессе „ Остальная часть главы б посвящена. классификацип кватернионных римановых »шогообразий, допускающих "просто транзитивную вполне разрешимую группу движений. Эта классификация сводится к классификации специального класса метрических алгебр Ли -нормальных кватернионных метрических алгебр Ли. Используя теоржа нормальных кэлеровых алгебр и их Представлений» а также теортяз специальных изометрических отображений и теорию клифордовых модулей, 5/'¡а получаем полную классификацию кватернионных многообразий рассматриваемого вида, Оказывается» что кроме симметрических кватернионных многообразий, имеется два дискретных семейства несимметрических кватернионных многообразий 1\/(рл<}) и V ("ватер-нионной размерности Ц + р+^ и соответственно ^ +. р + Д<| //(<]),

где -> ед^д; ф)

з) Йе.55с"А .и, ЬС^рС'л. ¡Ш.

Кватернионные многообразия , находятся в

естественном взаимнооднозначном соответствии с модулями над алгебрами Клиффорда. Операции суммы и тензорного произведения клиф-фордовых модулей превращают множество кватернионных многообразий в кольцо. Операции в этом кольца можно рассматривать как некоторые принципы суперпозиции для кватернионных решений уравнений Эйнштейна. Отметим, что кватернионные римановы многообразия (и, в частности, 'кватернионные римановы многообразия с нулевой скалярной кривизной - .гшзркзяеровы многообразия) интенсивно изучаются как математиками , так и физиками . В частности теория супэргравитации описывается в радаах геометрии кватернионных многообразий . В последние годы предложен ряд конструкций гиперкэ-леровых многообразий

Однако описанные в главе 6 кватернионные однородные многообразия н У(р^) ) по-прежнему яьляются единственными известными примерами несимметрических кватернионных р5здановшс многообразий, не являющихся гиперкалеровыми ' ^К С физической точ-кри зрения кватернионные негиперкэлеровы многообразия отличаются от гиперкэлеровых тем, что с первыми многообразиями связывается нелинейная суперсимметричная -модель с Ы-%. локальной суперсимметрией, а со вторым - б*-модель с глобальной суперсимметрией кК

» ^¿ЬЬм, е. ть-ЬЬт и,

Публикации по теме диссертации

1. Алексеевский Д.В. О группах голономии римановкх пространств.-Укр. шт.ж., 1957,19,100-104.

2. Алексеевский Д.В. Римановы пространства с яеобычныш группа- • ш голономии.-^нкц. анал. и его прял, ,1й38«.'«2,1-10.

3. Алексеевский Д.В. Компактные кватернионнне пространства.-Функц. анал. и его пры, ,1Уо8,2,.ч!2,11-20..

4« АЛэксеевокий Д.В. Кватершюнные римановы пространства, с транзитивной редукгивяои или разрешимой группой движений.- функц. анал. и его прил, ,1^70 «4, К >38-69.

5. Алексеевакий Д.В. Сопряженность полярных разложений групп Ли.-Мат. сб.,1У71,84>йГ,Й-2б. '

6. Алексеевсшй Д.З. Группы конформных преобразовать рималовкх

пространств;- Мат.сб. »1У72»89,.%2» 260-2^3. .

-""' б и.' -

7. Алексеевскин Д.В, о и » - единственные римановы пространства , допускавдие существенное конйоршое преобразование.-

£. Адексеевскии Д.В» Гругаш голоноьгеи и рекуррентные тензорные : поля в лоренцевых пространствах.- сб. " Проблемы теории гравитации и элементарные частицы",1974,вып.5»АтотаДат«5-17.'

9. Алексе'евски., Д.В. Однородные римановы пространства отрицатедь-яоа К1НВЛЗНЫ.-Чат. сб. ,1У75.95,Я,У5-П7.

10. АдексееБскиЛ Д.В. Классификация кватеряяоняых пространств с гранзлтдБю.. разрешимой группа;: делений .*- Язв. АН СССГ, сер. мат. ,Ь75»аЭ,.."2| 315-332. - , • '

II". Алексееве кий Д.В. Группы гол^оши в общей теорил относительности.- Тезлсц докл. 3-й Советское гравиг. конференции» Ь72, Ереван,3-3. •"•'.,

12. Алешеевакий Д.В. Сашюдобяыв пространства,группы голонога«! к инварианты линейного представления прядай.-тезисы докл. Воесоюзн. конф, "150 лет геометрий Лобачевского",1У76»о.8.

13. Алекоеевогай Д.В. Рямановы метрики,согласованные с О-струк-туро,ь- тазисы докл. Бсеоашн. юкф, "150 лет геометрии Доба-

чевокого", Ia7G»c.a.

* +

К. Алекоеовокщ; Д.В. О совершенных действиях групп Ли.~ Ш ЛУТэь 04, бш.1 »219-220.

t г .

15. Адакоеевский.Д.В. Инвариантная метрика,- Матем. анцикя.', ; I97i/» т.2,52а-531, • • ' ' _ '

16. Адексеевокщ Д.В. S-отруктура щ многообразия,- Матем. знцикд. ,1985, т. 5, 2^&-253.

17. KUU&bvikic. ЪЛ Se^sCjTH-'б^ 1ог&п,1гич тлт^-^cgfik An-a. &М. A»wte. М im^Af lj^-Wj

18. Алексеевский Д.В. /совм, с Перелоь^вым A.M. / Инвариантные.,/ ' метршя Кэлера-ЗЕнштейна на. компактных однородных пространот -•зах.- Функц. анан. и его при л. ,1983.20,.>3,1-16.

19. МъЬлгьчъШ &.V. Ноmo^nto^ Sun.de,vn mctuc^.i

6сом. &М,-¿U <fUe. P^vueJ. «f 0>n$ Лтр¿чя^-я

20. Алексеевский Д.В. О длине шншзльных геодезических в квате*-. ниояных многообразиях,- Взесоюзн. конф, па геометрия "в целом"^ .

тезисы докл. »Ii£7tНовосибирск,с.

21.. Алексеевский Д.В. Максимальна однородные О-струмуры и цшьтрэванные алгебры Ли.- ДяН СССР,1988.2УУ,&»521-525.

Подписано к печати 08.09.88 мн 08460

Формат бумаги 60x84 1/16 объем I п.л., 0,75 уч»-иэд» л. Заказ 263 Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СХ? 630080 , Новосибирск , 90