Имитация материи скалярным полем в 5-мерной теории Калуцы-Клейна тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ярославский государственный

; педагогический универс11тет им. К.Д- ушинского

Ф И 3 И КО - М ЛТЕ М ЛТИ Ч Е СК И Й ФАКУЛЬТЕТ

г.. с;

I- Сч!

На правах рукописи

Кок;»]«;!! Сергей Сергеевич

ИМИТАЦИЯ МАТЕРИИ СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ В 5-МЕРНОЙ ТЕОРИИ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической и экспериментальной физики физико-математического факультета Ярославского Государственного Педагогического Университета имени К.Д.Ушинского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.С.Владимиров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Шикин Г.А. кандидат физико-математических наук г Гаврилов В.Р.

Ведущая- организация : С.-Петербургский университет экономики и финансов -

Защита состоится " /Ь ^¿¿^#¿^1996 г. в /6 час. на заседании Диссертационного Совета К 041.04.02 при ВНИИМС ( 113317, г.Москва, ул. Марии Ульяновой, д.З, кор.1.)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИМС.

Автореферат разослан " /3 " 1996г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 041.04.02 д.ф.-м.н.

М.И.Калинин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Привлечение геометрических идеи в теоретическую физику оказалось чрезвычайно плодотворным для описания физической реальности. На сегодняшний день любая фундаментальная физическая теория содержит и своей основе некоторый комплекс геометрических ндей. Так, калибровочный принцип позволяет единым образом рассматривать различные взаимодействия в рамках комплексной геометрии соответствующим образом подобранной калибровочной группы. При этом, однако, источники или фермионная материя в рамках калибровочного подхода остаются негеомегрнзованными.

К настоящему моменту намечается несколько путей решения проблемы геометризации фермионной материи. Первый и наиболее известный связан с исследованиями но суиерсимметрии л сунергравнтации. В этом подходе бозоны и фермионы рассматриваются на основе единого сунср-пространствеиного континуума с некоторым количеством грассмановых измерений и единой супералгеброй. В рамках суиерсимметрии удается решить ряд внутренних проблем, присущих квантовой теории ноля.

Другое направление, развиваемое группой отечественных физиков-теоретиков под руководством Ю.С.Йладимирова, находит геометрическую базу для описания фермионной материи в рамках иерархии комплексных бинарных геометрий.

Третье направление, получившее активное развитие в настоящее время, связано с анализом возможностей геометризации материи на классическом уровне с помощью единых геометрических моделей типа теории Вейля и теории Калуцы-Клейна.

Целью диссертационного исследования является систематический анализ возможностей классической 5-мерной теории Калуцы-Клейна для геометризацни тензора энергии-импульса идеальной жидкости общей те-

ории относительности (ОТО).

Науч-ная новизна. В диссертационной работе впервые математически формулируется общая проблема геометризации тензора энсрпш-нмиульса идеальной жидкости посредством геометрического скалярного поля -р = у/-С55. Для 4-мерного подхода к проблеме выведены необходимые условия геометризации — условия интегрируемости уравнений для скалярного поля, и с их помощью геометризована материя плоских космологических моделей Фридмана с линейным уравнением состояния. Обнаружение связь конформного преобразования 4-мерной метрики с типом уравнения состояния вещества. Это позволяет уточнить ряд результатов, содержащихся в работах других авторов.

Сформулирован последовательный 5-мерный подход к геометризации материи." В рамках полученных в диссертационной работе новых точных решений вакуумных многомерных уравнений Эйнштейна предложенным методом.исследован вид соответствующей им эффективной материи.

Сформулирован ряд общих теорем, позволяющих объединить ранее полученные результаты по использованию 5-мерной теории для построения новых точных решений 4-мерных уравнений Эйнштейна.

Научная и практическая ценность работы. Разработанные методы распространяют геометрический подход классической теории Калуцы-Клейна на источники типа идеальной жидкости. Полученные результаты позволяют наделить геометрическое скалярное поле и конформные преобразования новым физическим смыслом, приблизиться к ответу на вопрос о размерности физического пространства-времени, дают критерии отбора реалистичных 5-мерных вакуумных решений, пригодных для описания классического 4-мерного мира ОТО. Пятимерные генерационные теоремы дают эффективное средство конструирования новых точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла в присутствии источника без решения самих уравнений Эйнштейна.

Полученные результаты могут быть использованы на физическом факультете МГУ, в Российском университете Дружбы Народов, в Казанском, Красноярском, Томском, Владивостокском государственных университетах, Ярославском государственном педагогическом университете, а также Днепропетровском и Белорусском университетах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной школе-семинаре "Многомерная гравитация и космология" (Ярославль-1994), 1-ой Ионовской школе-семинаре по основаниям теории физического пространства-времени (Ярославль-1995), международной школе-семинаре "Основания теории гравитации и космологии" (Одесса-1995), а также на научных семинарах Москвы, С.-Петербурга и Ярославля.

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ*.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, 3 приложений и списка цитируемой литературы из 125 названий. Объем диссертации составляет 125 страниц текста, набранного в издательской системе La ТЕХ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели исследования и кратко охарактеризовано содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена изложению необходимого для данного исследования математического аппарата.

В первом параграфе прослежена эволюция классических многомерных теорий Калуцы-Клейна от этапа зарождения до настоящего времени. Сформулирован сильный геометрический принцип.

Во втором параграфе изложен мопадный формализм ОТО в общеко-вариантном виде п в хронометрических системах координат.

В третьем параграфе по аналогии с 4-мсрпым моиадпым формализмом изложен 5-мерный монадный формализм в калибровке, аналогичной хронометрической. Этот формализм позволяет выделить из 5-мерных геометрических величин теории Калуцы-Клейна их 4-,мерные проекции, в частности получить фпзпко-гсометрические тензоры и зффсктип-ныс 4-мерные уравнения Эйнштейна. Условие цилиндричпости по 5-ой координате сужает класс допустимых координатных преобразований и расширяет класс инвариантных зеличин. Записана 4-мерная цилиндрическая по 5-ой координате система из 15 уравнений Эйнштейна-Максвелла и геометрического скалярного поля.

В четвертом параграфе рассмотрены общие конформные преобразования метрики, символов Кристоффеля, тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны. Произведено конформное преобразование системы уравнении Эйнштейна-Максвелла и скалярного поля, возможность которого в теории Калуцы-Клейна обусловлена неоднозначностью отождествления наблюдаемой метрики с метрикой локального пространственно-временного сечения, ортогонального направлению вектора 5-мер-ноп монады. Получившаяся система общего вида записана в частном случае степенного конформного фактора вида /"(у) = содержащего в себе все наиболее часто рассматривавшиеся в литературе случаи. При этом в правой части выделен эффективный тензор энергии-импульса скалярного ноля, зависящий от первых и, вообще говоря, вторых производных и показателя конформного преобразования п.

В первом параграфе второй главы математически сформулирован 4-мерный подход к решению проблемы геомстризацпи классической материи с изотропным тензором энергии-импульса пдеадыюп жидкости.

б

Для геомегризации использовал найденный эффективный тензор -энергии-импульса скалярного поля. Все уравнения рассматриваются в отсутствие электромагнитного поля. г

Во втором параграфе выведены необходимые условия интегрируемости системы уравнений для скалярного поля. Записанные в тетрадном представлении, они имеют вид неоднородной системы из 24 линейных уравнений на компоненты градиента с коэффициентами, представляющими собой компоненты тензора кривизны. Правая часть уравнений составлена из характеристик материи: проекций компонент1 физико-гсометрических тензоров системы отсче; а, задаваемой вектором 4-скоростн геометризуемон материи, скаляров плотности энергии, давления и их производным. Совместность этой системы требует линейной зависимости большей части уравнений, что, в свою очередь, требует высокой степени симметрии исходного 4-мерного пространства-времени.

В третьем параграфе полученные условия интегрируемости использованы для геомстризащш материи в 4-мерных космологических'моделях Фридмана с плоскими 3-мерными пространственными Сечениями. В этом случае условия интегрируемости вместе с 15-ым уравнением на скалярное поле приводят к двузначной связи управляющего параметра к линейного уравнения состояния геометризуемой материи р = ке с показателем конформного преобразования п. Это позволяет сделать следующий вывод, справедливый и в общем случае: конформные преобразования рассматриваемого вида в ¿-мерно/) теории Калуцы-Клейна соответствуют в .(-мерной теории переходам между различными уравнениями состояния вещества. Следует отметить, что в рассмотренном случае эффективную 4-мерную материю с произвольным к можно получить с помощью конформного преобразования уже из плоского 5-мерного пространства. Этот факт делает необязательным введение в метрику зависимости от'5-ой координаты для получения уравнения состояния эффективной материи отличного от радиационного, как это утверждалось в работах Вессона.

В четвертом параграфе полученная ранее система условий интегрируемости применена для исследования проблемы существования духовых скалярных поло";. Под духовым скалярным полем понимается поле, на-

иряженность которого отлична от нуля, но соответствующий ему тензор энерпш-ймпульса тождественно обращается в нуль. В общем случае условия интегрируемости накладывают ограничение на тип Г4 по Петрову. Найдены все однородные космологические духовые поля, а также однородные и плоско-волновые поля в пространстве Минковского.

Третья глава посвящена поиску точных решений вакуумных многомерных уравнений Эйнштейна и анализу соответствующей им эффективной материи.

В первом параграфе на основании алгебраической классификации симметричных тензоров второго ранга дана последовательная формулировка 5-мерного подхода к геометризащш материи, позволяющая по любому 5-мерному вакуумному решению установить вид эффективной материи и характеризовать ее физические свойства. Переменное уравнение состояния предложено интерпретировать как эффект присутствия двух невзаимодействующих идеальных жидкостей с нулевой относительной скоростью и с линейными уравнениями состояния. Вакуумное 5-мерное решение при такой интерпретации может определять распределение и динамику относительной концентрации двух компонент идеальной жидкости.

Вторбй параграф посвящен поиску сферически-симметричных нестационарных решений 5-мерных вакуумных уравнений Эйнштейна. В явном виде получен ряд частных решений для случая разделяющихся переменных. В общем случае система уравнений Эйнштейна сводится к уравнению Абеля второго рода неинтегрируемого типа. Полученные решения сопоставлены с результатами, приведенными в предыдущих работах.

В третьем параграфе получено гс-мерное обобщение решения Казнера, для случая, когда многомерная метрика зависит от т < и координат. Из системы многомерных вакуумных уравнений Эйнштейна получены стан-даргные.условия на казнеровские параметры для каждой переменной в отдельности и дополнительные перекрестные ограничения на казнеровские параметры для всех возможных пар переменных. Произведён общий анализ размерности пространства параметров и приведена удобная фор-

ма параметризации казнеровской гиперсферы произвольной размерности. Исследован случай п = 1.

В четвертом параграфе с помощью общей методики 5-мерного подхода проанализирована эффективная материя, соответствующая полученным в предыдущих параграфах вакуумным решениям. Для случая сферической

симметрии получен ишпотропньш тензор энсрпнншпульси с перемен«

ным уравнением состояния, который при некоторых значениях п и параметров решения может оказаться изотропным с постоянным уравнением состояния. Для каждого из полученных в явном виде решений приведены компоненты тензора энергии-импульса, а также относительная концентрация пыли и излучения доя случаев переменного уравнения состояния. Для 5-мерного решения казперовского типа, зависящего от одной переменной, в общем случае получается полностью анизотропный тензор энергии-импульса с постоянным уравнением состояния.

В пятом параграфе проанализирована эффективная материя, описываемая 5-мерными метриками космологического типа. Показано, что ;шя метрик с неплоскими пространственными сечениями уравнение состояния в общем случае получается переменным. При некоторых значениях параметра п 5-мерные вакуумные решения описывают ряд вариантов 4-мерной эволюции Вселенной: эволюцию без сингулярности, несимметричную по времени эволюцию, фазовые переходы вещества (скачки функции к(1)), прохождение веществом различных состояний, топологические переходы от закрытого мира к открытому и наоборот. Для получения постоянного уравнения состояния необходимо рассмотреть конформное преобразование общего вида. В этом случае для конформного фактора получается гипергеометрическое уравнение Гаусса.

В заключительной четвертой главе сформулирован ряд общих теорем, относительно возможности использования 5-мерпой теории Калуцы-Клейна для построения точных решений 4-мерных уравнений Эйиштеипа-Максвелла в присутствии источников.

В первом параграфе дан обзор известных методов конструирования

точных решений, используемых в 4-мерной ОТО.

Во втором параграфе сформулирована теорема, расширяющая допустимые 5-мерные преобразования координат. Она справедлива для случая, когда в 5-мерном римановом многообразии существует несколько векторов Киллинга и имеется связанная с этим неоднозначность процедуры Н^-расщепления. 5-мерное преобразование координат, переводящее какой-либо из векторов Киллинга в вектор монады, дает в общем случае новую 4-мерную систему уравнений Эйнштейна-Максвелла и скалярного поля.

В третьем параграфе на основе результатов предыдущего параграфа исследован случай вектора Киллинга с постоянной нормой и показана его связь с условиями, использованными в работах Рослого.

В четвертом параграфе метод 5-мерных преобразований рассмотрен совместно с 5-мерным подходом к геометризации материи. В частном случае линейного преобразования координат он применен для метрики Крамера.

В пятом параграфе продемонстрирована связь метода 5-мерных преобразований и метода генерации 4-мерных решений с электромагнитным нолем Мицкевича-Хорского.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

В приложении 1 изложены необходимые сведения из тетрадного формализма и приведены тетрадные компоненты тензора кривизны, вычисленные _цля 5-мерной диагональной метрики, независящей от одной из координат.

В приложении 2 исследованы условия интегрируемости для духовых полей в статических сферически-симметричных пространствах.

В приложении 3 произволен анализ системы уравнений Эйнштейна, выписанных в §2 Гл.З для случаев, в которых не удается получить решение явно.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Сформулирован 4-мерный подход к проблеме геометризации материи геометрическим скалярным полем в 5-мериой теории Калуцы-Клейна. Получены условия интегрируемости системы уравнений для скалярного поля как необходимые условия гсомстрилщии.

2. Показано, что конформные преобразования 4-мерной метрики в рамках 5-мерной теории Калуцы-Клейна описывают переходы между материальными источниками с разными уравнениями состояния.

3. Показано, что с помощью выведенных условий интегрируемости можно исследовать проблему существования духовых скалярных полей.

4. Получены сферически-симметричные нестационарные вакуумные решения 5-мерных уравнений Эйнштейна. Найдено многомерное обобщение решений казнсровского типа.

5. На основе алгебраической классификации симметричных тензоров второго ранга последовательно сформулирован 5-мерный подход к проблеме геометризации материи. Исследована эффективная материя, соответствующая полученным решениям.

6. Сформулирован ряд теорем, позволяющих применить 5-мерную теорию Калуцы-Клейна дчя построения точных решений 4-мерных уравнений Эйнштейна-Максвелла с источниками.

7. Установлена связь метода 5-мериых преобразований с известными ранее методами Рослого и Мицкевича-Хорского.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кокарев С.С. Генерирование точных решений уравнений Э: ннитецщ; 5-мерными вращениями //Известия ВУЗоз-(Физика)-190'-1-Ш0-с,22-25

2. Кокарев С.С. Имитация материи скалярным полем в 5-мерной теории Калуцы-Клейна //И за со ия ВУЗоз-(Физика)-1УЭ5-Ы1-с.1!!-) 17

3. Кокарев С. С. Духовые скалярные поля в 5-мерной теории Калуцы-Клсйна //В сб. тезисов докл. межд. школы-семинара "Основания теории гравитации и космологии", Одесса-1995,М.Д995,с.38

4. Кокарев С.С. Нестационарные сферически-симметричные решения 5-мерных вакуумных уравнений Эйнштейна //В сб. тезисов докл. межд. школы-семинара "Основания теории гравитации и космологии", Одесса-1995,М.,19Э5,с.39

5. Kokarev S.S. Geometrization of perfect fluid in 5-D Kaluza-Klein theory //Grav. and Cosm.-1995-v.l-N3-p.247-251

6. Kokartv S.S. Multydimensional generalization of Kasner solution // Preprint

. gr-qc 9510059