Исследование асимптотики решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ,.

ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ^'Чс^ху^НгО

§ I. Общее исследование уравнения (I.I).

§ 2. Исследование вспомогательного уравнения в случае ^ оо

§ 3. Исследование вспомогательного уравнения в случае

§ 4# Асимптотика решений уравнения (I.I)

ГЛАВА 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ О

§ 5. Общее исследование уравнения (5.1) с приведением его к вспомогательному уравнению

§ 6. Исследование -Вспомогательного уравнения (5.6).

§ 7. Исследование вспомогательного уравнения (5.9).

§ 8. Асимптотика решений уравнения (5.1). . . . •

§ 9. Применение полученных результатов к одному нелинейному.уравнению в частных производных третьего порядка . . . •••••••

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИКА решений УРАВНЕНИЯ

Ч Х^-О ПРИ 0<

§ IQ. Приведение уравнения (10.I) к вспомогательному и его исследование •••••••••••

§ II. Асимптотика особых решений уравнения (10.I).

§ 12. Асимптотика п.п. решений уравнения (IO.I).

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотического поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений где VW-3, Ъ—.

Уравнение (I) называется обобщенным уравнением типа уравнения Эмдена-Фаулера. Частные случаи этого уравнения ( VY\=1?

Ъ -i ОС. ) имеют ряд физических приложений в астрофизике (уравнения Эмдена) и в атомной физике (уравнения Ферми-Томаса).

Изучение асимптотических свойств решений существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений; данный вопрос давно привлекает внимание исследователей.

В последние двадцать пять лет стали широко изучаться свойства решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: колеблемость, монотонность, асимптотика решений, существование особых решений и т.д. Это прежде всего объясняется тем, что многие нелинейные уравнения, описывая реальные физические процессы, приводят к новым физическим эффектам. В качестве примера можно указать математическую теорию нелинейной теплопроводности, разработанную академиком А.А.Са-марским и его учениками [15] .

Уравнение (I) является существенно нелинейным» Исследование различных свойств его решений даже в случае сопряжено с определенными трудностями. Тем не менее в настоящее время многие свойства решений уравнения второго порядка вида (I) хорошо изучены (см., например, работы И.Т.Кигурадзе [29] (случай VI?i), Т.А.Чантурия [6l] (случай 0<И<1 ) и др.).

Приведем некоторые определения, которые будут в дальнейшем использованы.

Определение I. Решение уравнения (I) назовем правильным, если оно определено в некотором промежутке [Х0 и при ХеСОС^^о) для любого Х^О^.

Определение 2. Правильное решение уравнения (I) назовем колеблющимся, если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к -V 00 и неколеблющимся - в противном случае.

Определение 3. Нетривиальное решение (X.) уравнения (I) назовем особым, если оно тождественно равно нулю, начиная с некоторого значения аргумента.

Основные результаты исследования асимптотического поведения при X—правильных решений уравнения типа уравнения Эмдена-Фаулера изложены в монографиях Р.Белдмана t8] , Дж. Сансоне 149] , И.Т.Кигурадзе [25] , в работах Т.А.Чантурия [б1~\ , А.В.Костина ^3,3,35} и др.

Общего метода нахождения асимптотических представлений решений для нелинейных уравнений нет. Однако для уравнений вида (I) при 1. эффективный метод исследования разработали И.Т.Кигурадзе [25-29] , P.V.Atkinson ^6};ТД.Чантурия [62,63] , В.А.Кондратьев [31,32] , М.М.Арипов [2,3] , В.М.Евтухов [21,34] , Г.А.Стойкова [36,52] , В.Вазов [Ю], I.W.Haidel [бО] ,Seda Valter [50] , Ohme Paul А.^б]

И др.

Особенно хорошо изучен класс квазилинейных уравнений (см. работы А.М.Ляпунова [39] , А.Коддингтона, Н.Левинсо-на [30"} , Ф.Хартмана [59*] ).

В разработку асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений существенный вклад внесли А.А.Дородницын [20] , М.В.Федорюк [54-56] , И.М.Рапопорт [481 , И.П. Еругин[22] » И.Я.Лященко 140 ] , М.А.Наймарк 145] ' , М.М.Ханаев 157,58] , Л .А .Беклемишева [7] , А.Б.Васильева, В.Ф.Буту-зов [12,13} , Б.Р.Вайнберг ^П] , Ф.Трикоми [53] , С.А.Ломов [38}, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов [43Д , Азамов A. [i] и др.

Результаты исследования различных асимптотических свойств решения линейного уравнения третьего порядка приведены В Монографии M.Grequs [l6*][ .

И.Т.Кигурадзе [28] для уравнения (I) при VY17/1. . получил необходимые и достаточные условия существования монотонных решений, имеющих на бесконечности полиномиальную асимптотику. Он яе указал на существование решения уравнения (I), не имеющего полиномиальной асимптотику.

В обзоре И.Т.Кигурадзе [27] можно найти результаты исследований советских и зарубежных математиков, касающихся различных свойств решений уравнения типа уравнения Эмдена--Фаулера, и познакомиться с рядом новых проблем, поставленных автором. Для уравнения (I) в случае здесь отмечена важность нахождения асимптотических видов решения уравнения (I) со следующими свойствами: И

Z) Ч

2) IJ

3) ^

4) Vj г>и оо

I» со, ч о, ^ i о, ^

Всюду далее зашсь оо оо со

ОО г У 0

Х^ означает о а ftJLvw ■

X-^OG Ц) (х) сО — liwv jJ^X)-О , ilwv Ц)^ ^оо

ОС.*"*'00

Для нелинейных уравнений Л^Д^О dtm Т

3)

И.Т.Кигурадзе при некоторых условиях, наложенных на

126} , теорема 4 ), доказал, что все неколеблющиеся, монотонно стремящиеся к нулю при "t-, нетривиальные решения уравнения (3) особые*

Различные краевые задачи как в конечных, так и в бесконечных областях для нелинейного уравнения третьего порядка изучены Т.Д.Дкураевым ( [18], гл« Я1 ).

Асимптотика различных решений уравнения подробно исследована итальянским математиком Ohme Paul а. Однако он не получил асимптотические виды решения уравнения (4) со свойствами (2).

Г.А.Стойковой[36 , 52) для случая , VI>1 при соответствующих условиях, налагаемых на ^ (/эсЛ » получены асимптотические представления частных решений уравнения (I). Однако в этих работах нет результатов, касающихся асимптотического поведения всех положительных правильных (п.п.) решений уравнения (I).

В настоящей диссертационной работе развивается и обосновывается метод ВКБ СГ.Вентцель ^14] , Н.А.Крамерс ]^37] , Л.Бриллюэн ^9 )) для установления асимптотики п.п. решений существенно нелинейного уравнения третьего порядка типа уравнения Эмдена-Фаулера. Доказаны теоремы об асимптотическом поведении всех п.п. решений уравнения (I). В частности получены асимптотические представления решений, обладающих свойствами (2). При этом с привлечением ВКБ решения исходное уравнение преобразуется к некоторому другому, которое легче исследовать, и доказывается, что ВКБ решение является хорошим инструментом для установления асимптотики решений уравнения оО ^

При ^U'HteU < функция оо . Ь

1 / ( ^

СсГ*^ ( \ су^сЫм t = const называется ВКБ решением уравнения (I), Эта функция при является частным решением уравнения (I) в случае jb^i . При

Т ^^ 00 ВКБ решением уравнения (I) называется функция г

J I? ± Суы. С а ) .

Отметим, что идея преобразования линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к более простому принадлежит В.А.Стеклову. Так, в монографии [51] исследование асимптотики решений уравнения при определенных условиях, налагаемых на коэффициенты, сводится к изучению решений более простого уравнения d^ 1 В.А.Стеклову удалось получить этим способом асимптотические выражения для многих специальных функций.

Некоторую модификацию этого метода с применением к физическим задачам дали Г.Вентцель, Р.А.Крамерс, Л.Бриллюэн. Существенный вклад в обоснование метода ВКБ внесли А.А.Дородницын [20} , В .П.Мае лов [41,42] , М.В.Федорюк [54-5б] , И.А.Пав-люк[47] , Н.НЛоисеев [441 и др.

Для одного класса нелинейных уравнений метод ВКБ был применен и обоснован М.М.Ариповым [2, з] .

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Диссертационная работа состоит из трех глав» В первой главе исследована асимптотика неколюблющихся решений уравнения

VI 71, (5) где О < Cj(x) еСЬ[х0 ?оо) ; при Х-^ .

Другие условия, налагаемые на функции CJ(X.) , будут приведены в формулировке теорем.

Мы ограничимся исследованием положительных решений, поскольку либо Ц (^Х^ не является действительным при отрицательном V^X^ , либо (^У1- V^ , если И четное, и d если И нечетное. В § I описываются результаты общего исследования уравнения (5) при ОС—• Приведем две теоремы из этого параграфа.

Теорема I.I. Если функция (^(Х) положительная и непрерывная в (^Х Q , то п.п. решения уравнения (5) и их производные до второго порядка включительно являются монотонными и имеют предел (конечный или бесконечный) при X—. 6о

Теорем а1.3. Если ^ ^Х^хМх < 00 , то не существует п.п. решений уравнения (5), стремящихся к нулю при

В зависимости от сходимости или расходимости интеграла V для получения асимптотики решений исследование уравнения (5) разбивается на две части.

При Ч^^со в (5) произведем преобразование

A— I 1 \Гйч

- i rf X а при j,^ oo — и , 1

ЭСг

-о

X J (7)

ОС о

В § 2 исследуется вспомогательное уравнение где д

Сформулируем две основные теоремы из этого параграфа.

Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия:

I) существует

Пук А(±)=1 >

•Ь о унг з) —- • la-1

Тогда п.п. решение уравнения (8), удовлетворяющее условию W (А^в U (t0 , при "t—имеет один из следующих асимптотических видов: t t t t0 ALtT)dr, to где

Теорема 2.3. Пусть выполняются первое и второе условия теоремы 2.2 и

VH1 . ^

VI-1 L ^ оо

При дополнительно требуется, чтобы

Тогда п.п. решение уравнения (8) имеет один из следующих асимптотических видов: ^ хр( ^Cbeapj Ai.lt)d-г^ ^0 t pL^i^cit, Ыд,

I 1 to о';«ti»i Q^t-ti 1 или пересекается с функцией ( - ^ бесконечное число раз при t сю

В § 3 исследовано вспомогательное уравнение

УЫ где

K+ls1 Го , . dA I <L Л о i /miv1 mir^, /.п+г d A

Здесь также приведено несколько теорем, подобных теоремам 2*2 и 2.3.

В § 4 с помощью результатов предыдущих параграфов описана асимптотика п.п. решений уравнения (5). Приведем некоторые теоремы из этого параграфа.

Теорема 4.1. Пусть выполняются следующие условия:

I) существует где со |

Aix^-l--^ Q <рчXldSE; (Ю)

2) A^eLKXo,00) , i-M,

Где oo .

A^-—f-А -;(II)

3) -< L 00 •

При дополнительно потребуем, чтобы v п-1

• Тогда п.п. решение уравнения (5) имеет один из асимптотических видов ^^ ~ Сг>О, ~ 0, ^[ix) ~ 0 ,

Ос» либо (^Х4) пересекается с функцией U ^Х^ бесконечное число раз при X—•

Теорема 4.2. Пусть выполняются:

I) первое и второе условия теоремы 4.1;

- 14 n УМ-2-2) условие U < L < •

Тогда п.п. решение уравнения (5) при X—имеет один из асимптотических видов: vo. MS ~ о

Теорема 4.5. Пусть выполняются следующие условия:

1) существует (Llm, А(Х)-с , где рч^г, (12) х0

2) 1-1Д, где ^ 1 i^l г, ^Шг —-f*-; - —fj-; з) со <

1<~

И-1

Тогда п.п. решение уравнения (5) при X—имеет асимптотический вид

11

VjCX4)^ Cl-CGVlSrbO , ,

Теорема 4.6. Пусть выполняется первое условие теоремы 4.5, где

М1<?<- Л. у\~ 1 1 И.-1 ли Llwv Ал^ > СО L

Тогда либо п.п. решение уравнения (5) имеет асимптотический вид

1 I X либо U (Х> пересекается с функцией

Щх) бесконечное d IT и+г число раз и стремится к нулю при X—• При 1С ^ ^ п.п. решение уравнения (5) стремится к нулю при X—• Во второй главе исследуется п.п. решение уравнения VI? i. (14)

В § 5 проводится общее исследование уравнения (14), которое с помощью преобразования (6), (7) приводится к вспомогательным уравнениям. Исследование этих вспомогательных уравнений аналогично исследованию уравнений (8), (9). Приведем некоторые теоремы из § 8.

Теорема 8.1. Пусть выполняются следующие условия: существует tlvvl AlX) , ос-*00

-16

2) AlCX)€:L(X0,oo>) f L =

3)

VI-1 где AlOcJ) » AlC^C.) » 1-1.Д » определяются соответственно формулами (10), (II). Тогда п.п. решение уравнения (14) при ОС.—имеет один из следующих асимптотических видов:

• > (15)

Теорема 8.3. Пусть выполнено первое и второе условия теоремы 8.1 и г vv-i

Тогда п.п. решение уравнения (14) имеет при X—один из следующих асимптотических видов: .^(Х) удовлетворяют соответственно формулам (15), (16),

1 оо ^ — 3 X где 1

V\H-l) VV-1 J или i^) либо пересекается с функцией бесконечное число раз при X-, либо

X) ~ , ■— , ц (ОС) оо .

Теорема 8 «5. Пусть выполняются следующие условия: I) существует LlWL , х-^оо

2) А^^и^о,00), I—\

3) < < 4з

И-1 где » , , определяются соответственно формулами (12), (13). Тогда либо п.п. решение уравнения (14) имеет один из следующих асимптотических видов: u^so д^нг^зЛ*-1 либо ^(X) пересекается с функцией С. U"(X) , где V\ 1 \ VI-1 / / бесконечное число раз при X —* .

В § 9 исследована асимптотика п.п. автомодельных решений нелинейного уравнения в частных производных где г.

Приведем одну из теорем этого параграфа.

Теорема 9.3. Если -(И.+2) ^ Со < , то п.п. автомодельное решение уравнения (17), где — , при больших имеет один из асимптотических видов:

X4 X

В третьей главе исследуются асимптотические представления особых и п.п. решений уравнения

Ш , лп^П^

XJ -О при 0<VL<i, £ +

18)

В § 10 уравнение (18) с помощью преобразования переменых j V

19) где

1 + 3 о р приводится к вспомогательному уравнению

4геЩсirbjiUi) +W (20) где

1 (Л-и-У1 (Л-и-К^+З) qdCMiy с e-t 1 -t i-HX^Sf Приведем одну из теорем этого параграфа.

Теорема 10.3. В уравнении (20) существуют решения, имеющие при t —> м асимптотический вид

4 ' 1-VL ^ 3 1-Й,

В § II доказана следующая теорема.

Теорема II.I. Если <£+3 ,>0 , то в уравнении (18) существует особое решение, имеющее следующие асимптотики при 3 1

2> \ 1-Ц при X ^ X* Шх) .

В § 12 исследована асимптотика п.п. решений уравнения

18) при X -•

Приведем одну теорему из этого параграфа. Теорема 12.2. Если ^ + Ь > 0 , + то п.п. решение уравнения (18) при X—имеет один из асимптотических видов: нием уравнения (18).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях 14, 5, 19, 23, 24] .

В заключение считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность члену-корреспонденту АН УзССР, профессору Т»Д»Джураеву и доценту М.М.Арипову за постановку задач и ценные замечания. причем это решение является особым реше

1. А замов А. Применение характеристических показателейftt-го порядка к изучению асимптотической устойчивости. Дифференциальные уравнения, 1971, т.УП, Я II, с. 2086-2090,

2. А р и п о в М,М. О решении обыкновенного нелинейного уравнения второго порядка. Докл. АН УзССР, 1970, JS 7, с. 6-8.

3. А р и п о в М.М. Метод "эталонных" уравнений (ВКБ-метод)для нелинейных уравнений второго порядка. Изв.АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1970, J8 4, с.4-8.

4. А р и п о в М.М., К а ю м о в Т, К асимптотическому поведению решений одного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям, Ашхабад, 1978, с, 93-94,

5. А р и п о в М.М., К а ю м о в Т. Асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения Докл. АН УзССР, 1982, В 6, с. 11-13.

6. Atkins on F.V. The asymptotic solution of second order differential equations. .Ann.mat.pura ed. appl. 1954, vol.37, p.347-378.

7. Беклемишева Л.А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка. Матем. сборник, 1962, т. 56(98), X 2, с. 207-236.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954, 216 с.

9. Васильева А.Б., Б у т у з о в В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярновозмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 107 с.

11. Wentzel G. Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen fur die zweck der Wellenmechanik (10).- Phys., 1926, vol. 38, p. 518-529.

12. Галактионов B.A., Курдюмов C.JI., Михайлов А.П., Самарский А.А. Локализация тепла в нелинейных средах. Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, А 10, с. I826-I84I.

13. Grequs М. Linearna diferencialna rovnica tretieno radu. Bratislava, 1981. 205 c.

14. Демидович Б.П. Лекции по математической теорииустойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

15. Д ж у р а е в Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.Ташкент: Фан,1979. -438 с.

16. Д ж у р а е в Т.Д., К а ю м о в Т. Об асимптотике решений нелинейного дифференциального уравненияi-^CX^^Q . Изв.АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1982, J 3, с, 20-25.

17. Дородницын А.А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка.- JHH, 1952, т. УП, вып. 6, с.3-98.

18. Е в т у х о в В.М. Об одном нелинейном дифференциальномуравнеии второго порядка. Докл. АН СССР,1977, т.233, Я 4, с. 531-534.

19. Е р у г и н И.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР,1963.- 272 с.

20. Каюмов Т. К асимптотике нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка.- В кн.: Краевые задачи для уравнений математической физики. Ташкент: Фан, 1980, с. 120-133.

21. Каюмов Т. К асимптотике решений нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения. Докл.АН УзССР, 1980, Jfi.2, с. 14-16.

22. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси, Изд-во Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

23. К и г у р а д з е И.Т. Асимптотические свойства решенийодного нелинейного уравнения типа Эмдена-Фаулера. Изв. АН ССОР, серия матем., 1965, т.29, IS 5, с. 965-986.

24. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теорияобыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

25. Кондратьев В.А., С а м о в а л B.C. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена-Фаулера.-Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, Д 4, с. 749-750.

26. Кондратьев В.А., Никишин В.А. 0 поло1. Vжительных решениях уравнения Vj . В кн.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управлением движением. Саранск, 1980, с. I34-I4I.

27. К о с т и н А.В. К вопросу о существовании у системыобыкновенных дифференциальных уравнений ограниченных частных решений и частных решений, стремящихся к нулю при "L —* 00 . Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, В 5, с. 585-604.

28. Костин В.В., Е в т у х о в В.М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального уравнения. Докл. АН СССР, 1976, т.231, Я 5, с. 1059-1062,

29. Костин А.В., Стойкова Г.А. Асимптотическоепредставление решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения VI -го порядка. Докл. АН СССР, 1980, т.250, 18 5, с. 1050-1053.

30. К о с т и н А.В., Стойкова Г.А. Исследование одного нелинейного дифференциального уравнения Yl -го порядка. Одесса, Деп. в ВИНИТИ,1980, )S 3289-80 Деп.

31. Kramers N.A. Das Eigenwertproblem im eindimensiohaben periodischen Krafftfelde (4.10). Phus., 1935, vol 2, p. 489-490.

32. Л о mob C.A. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, I98lj 398 с.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теорет. лит., 16-я тип. 1950. 472 с.

34. Л я ш е н к о Н.Я. Об одной теореме полного разделениялинейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторых свойствах матрицы разделения. Укр. матем. журн.,1955, т.УП, & 4, с. 403-418.

35. М а с л о в В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 553 с.

36. М а с л о в В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейныхуравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

37. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и редакционные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

38. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 с.

39. Н а й м а р к М.А. Линейные дифференциальные операторы.М.: Наука, 1969. 526 с.

40. О h m е Paul A. Asumptotic behavior of the solutionsof the third order nonlinear differential equations U"1 ite U « 0 . Annali di Matematica Ригаed Applicota. Italia, 1975, vol.104, p. 43-65.

41. П а в л ю к И.А. Асимптотическое интегрирование некоторых классов неавтономных систем дифференциальных уравнений с помощью дифференциальных инвариантов.- Дифференциальные уравнения, 1970, т.У1, J6 6, с. 975-988.

42. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954. 290 с.

43. С а н с он е Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. т. 2, М.: ИЛ., 1954. 416 с.

44. Seda Valter. On a generaliation of the Thomar- Fermi equation. Acta math Uniw comen. 1980, No 39. p. 37-114.

45. Стеклов В.А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка и их применении к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харьков: Изд-во ХГУ, 1956. 138 с.

46. Стойкова Г .А. Об асимптотике одного нелинейногодифференциального уравнения. Одесса, 1976. Деп.- 2289-76.

47. Т р и к о м и Ф.Д. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ,1962. 351 с.

48. Ф е д о р ю к М.В. Асимптотика решений обыкновенных линейных уравнений VI -го порядка. Дифференциальные уравнения, 1966, т.2, Л 4, с.492-507.

49. X а п а е в М.М. Об устойчивости положения равновесиясистем дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, Л 5, с. 848-855.

50. X а п а е в .М.М., 0 неустойчивости при постоянно действующих возмущениях. Докл. АН СССР, 1968, т.178, JS I, с. 47-51.

51. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

52. Н е i d е 1 I.W. The existence of oscilatory solutionsfor a nonlienear odd order differential equation.- Gzech. Mat. Jorn. 1970, vol.20 (95), No 1, p.93-97.

53. Чантурия T.A. Об асимптотическом представлении решений уравнения U^CUt) IILI^SL^VlU. . Дифференциальные уравнения, 1972, т.8, JS 7, с. II95-I206.

54. Чантурия Т.А, Об асимптотическом представлении решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференциальные уравнения, 1970, т. У1, Д 6, с. 948-961.

55. Чантурия Т.А. Об асимптотическом представлении колеблющихся решений уравнения типа Эмдена-Фаулера. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, JS 6, с. 1035-1040.