Исследование динамики некоторого класса колес с деформируемой периферией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Исследование динамики некоторого класса колес с деформируемой периферией

Специальность: 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Кожевников Иван Федорович

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор В.Г. Вильке

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Самсонов Кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Шатина

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына Российской академии наук

Защита состоится 26 ноября 2004 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501.001.22 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 26 октября 2004 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22 доцент

В.А. Прошкин

-4

4 №Ъ§ЬЪ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задаче о качении абсолютно твердых и деформируемых тел посвящено значительное число работ теоретического и прикладного характера. Уже более полувека внимание ученых и инженеров привлекает проблема качения колес с пневматическими шинами. Интерес к этому кругу задач значительно возрос в последние десятилетия в связи с появлением новых технологий и конструкций шин, а также в связи с развитием вычислительных и аналитических методов при исследовании динамики качения колес с пневматическими шинами. Диссертация посвящена проблеме моделирования одного класса колес с деформируемой периферией, выступающей в качестве модели армированной шины, как механической системы с бесконечным числом степеней свободы, и исследованию методами аналитической динамики стационарных режимов качения колеса по плоскости при наличии проскальзывания и без него.

Цель работы. Предложить механическую модель колеса с деформируемой периферией в качестве одной из возможных моделей колеса с армированной шиной. Получить полную систему уравнений движения методами аналитической механики, позволяющую определить все параметры движения при заданных внешних силах и моментах. В частности, изучить простейшие режимы движения колеса при его качении по плоскости без проскальзывания и с проскальзыванием в зоне контакта с учетом сил сухого трения. Численными и аналитическими методами определить собственные формы колебаний бандажа и спектр собственных частот.

Научная новизна. Предложены новые модели колеса с деформируемой периферией, описывающие его движение как системы с бесконечным числом степеней свободы и позволяющие описать процессы взаимодействия колеса с твердым основанием. В рамках этих моделей диск колеса представляет собой абсолютно твердое тело, имеющее шесть степеней овободыга деформируемая периферия, мо-

делирующая шину, разбивается на бандаж, по части которого происходит контакт колеса с плоскостью, и две боковые поверхности, соединяющие его с диском. Шина заполнена совершенным газом постоянного давления. К диску колеса приложены внешняя сила и внешний момент, имеющие все три компоненты. В случае проскальзывания в зоне контакта учитываются силы кулонова трения.

Методами аналитической механики получены полные системы интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных для режимов качения колес с проскальзыванием и без проскальзывания в зоне контакта, описывающие поведение системы и позволяющие определить заранее неизвестные границы зоны контакта, деформированную форму бандажа как внутри, так и вне зоны контакта, распределение реакций в зоне контакта.

Исследованы равновесие колеса и стационарный режим качения без проскальзывания по прямой с уводом и развалом колеса, а также два режима скольжения заблокированного колеса, а именно, поступательное прямолинейное скольжение и верчение вокруг нормали к опорной плоскости. Найдены условия существования стационарных режимов.

Численным методом определена форма бандажа шины в случае качения колеса с постоянной скоростью при фиксированных давлении и внешней нагрузке и различных значениях двух геометрических параметров, определяющих форму ее боковых поверхностей, а также при фиксированных геометрических параметрах и различных внешних нагрузках. Результаты этих расчетов позволяют оценить величины деформаций и зоны контакта бандажа с плоскостью.

Для свободного колеса с закрепленным диском найдены собственные частоты и собственные формы колебаний. В случае контакта колеса с плоскостью аналогичная задача решена численными методами, что позволяет оценить спектр возможных шумов.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы получены на основе сформулированных в ней гипотез и стро-

го обоснованы с применением как классических, так и современных методов теории динамических систем.

Используемые методы. В работе используются методы аналитической механики, в частности, принцип Гамильтона-Остроградского для неконсервативных систем, из которого получается замкнутая система интегро-дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными, а также уравнения скачков на заранее неизвестной границе зоны контакта. Для проведения численных расчетов использовались программы, написанные на языке программирования Turbo С++.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, полученные результаты описывают один из возможных механизмов взаимодействия деформируемых колес с основанием, позволяют оценить потребные силы и моменты для реализации различных стационарных режимов. Методические приемы, использованные при выводе уравнений движения и исследовании динамики ряда стационарных режимов, могут быть полезными в процессе исследования динамики сложных механических систем, а результаты работы использованы в МГУ им. М.В. Ломоносова, ВЦ РАН и других научных центрах, а также в специальных курсах по теории динамических систем.

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.;

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна, 2004 г.;

- Семинар кафедры теоретической механики и мехатроники

МГУ "Задачи и проблемы робототехники "под руководством проф. В.Е. Павловского, 2004 г.;

- Семинар кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Б.Е. Победри, 2004 г.;

Исследования по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант N. 99-01-00253) и Федеральной целевой программы "Интеграция "(И. Б0053/2125).

По теме диссертации имеется 4 основных публикации, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 43 наименований. Работа содержит 13 рисунков. Общий объем диссертации - 103 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, относящихся к теме диссертации, и изложены основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается качение колеса с деформируемой периферией, выступающей в качестве модели армированной шины, по плоскости без проскальзывания. Механическая система состоит из деформируемой и недеформируемой частей. Недеформи-руемой частью колеса является диск, который представляется абсолютно твердым телом, имеющим шесть степеней свободы, а деформируемой частью колеса является шина. В §1.1 строится модель армированной шины. Предполагается, что она состоит из бандажа, по части которого происходит контакт колеса с плоскостью и двух боковых поверхностей, соединяющих бандаж с диском. В недефор-мированном состоянии бандаж представлен круговым цилиндром, а боковые поверхности - частями поверхностей двух торов. Через каждую точку бандажа проходит три семейства нерастяжимых нитей, а через каждую точку боковых поверхностей шины одно семейство. В первой главе в модели армированного бандажа учитываются линейные члены от компонент вектора перемещения его точек. Следствием этого обстоятельства является тот факт, что бандаж в деформированном состоянии близок к линейчатой поверхности. В области контакта часть бандажа совпадает с плоскостью, и предполагается, что область контакта шины с плоскостью представляется в виде прямоугольника постоянной ширины, равной ширине бандажа, и переменной длины, границы которого описываются двумя функциями времени <р\{Ь), <Р2^)- В условиях отсутствия проскальзывания в зоне контакта, в процессе качения колеса его след на плоскости контакта будет представляться в виде прямолинейной полосы, оставляемой бандажом шины.

В первой главе предполагается, что каждая нерастяжимая нить, армирующая боковую поверхность шины имеет постоянную кривизну (для каждой нити - своя кривизна). На основании приведенных

гипотез перемещения точек боковых поверхностей шины и бандажа выражаются через перемещения точек срединной линии бандажа и, V, V). Далее находится выражение потенциальной энергии деформаций, зависящей от перемещений срединной линии бандажа, при изотермическом процессе в совершенном газе, заполняющем шину.

В §1.2 из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для неконсервативных систем

где Т - кинетическая энергия колеса, которая складывается из кинетической энергии диска и кинетической энергии шины в предположении, что вся масса шины равномерно распределена по срединной линии бандажа с линейной плотностью, a SA - работа сил, складывающаяся из работы внешних сил и моментов, приложенных к диску колеса (Рис. 1), из работы потенциальных сил (работа давления на возможных перемещениях при деформациях боковых поверхностей шины и бандажа) и работы реакций связей, получается с использованием формулы Грина в соответствующих интегралах полная система интегро-дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными производными и уравнения скачков на заранее неизвестной границе зоны контакта по отношению к 26 неизвестным: Xi, Х2, Хз, ¡3, к, в - координаты центра масс диска и углы Крылова; u(ip,t),v(<p,t),w(tp,t) - перемещения точек срединной линии бандажа в зоне контакта Li и вне ее 1,2 по осям цилиндрической системы координат; fi{t),- границы зоны контакта; fil(<Р, t), Ц2(<р, t), flZ(<Р, t), fin, fi 12. М21, fin, fiAl, M42, fib\, M52, Kv, t) -множители Лагранжа, соответствующие голономным связям.

В §1.3 исследовано равновесие колеса, а в §1.4 стационарный режим качения, когда центр колеса движется по прямой с постоянной

h

(1)

скоростью, а углы увода /3 и развала к также постоянны:

Xi =ril, Х2—const, Х3 —const, (3=const, const, 9—Cl,

7Г 1Г

a~<p+Qt--, ak = Vkitf+Qt—-=const, ipk(t) = -Q, k — 1,2.

(2)

Для этих режимов найдены все характеристики деформированного состояния шины, а именно, форма шины вне области контакта и внутри нее, зона контакта шины с плоскостью и ее расположение, распределение реакций в зоне контакта, натяжение бандажа, а также условия, накладываемые на силы и моменты, приложенные к диску колеса, для существования данных режимов движения:

Рис. 1:

4 4 6

«(«)=- Е »(о)=Yj w(<*)=£ a e ¿2-»=1 »=1 j=l

fi = AA, F2 = A2(X2 + rn), P — Аз(а2 — aj), Mi = AtF2, M2 = —rFi, M3 — Аф, a2 + ai = A6Fu

где pi, Qj - корни характеристических уравнений, Д, Ej - постоянные, Р - нормальная нагрузка, F\ - продольная сила, - боковая сила, Mi - опрокидывающий момент, Мг - крутящий момент, М2 sin к + М3 cos к - поворачивающий момент колеса. Константы Ai, i = 1, • • • ,6 зависят от величины давления в шине и ее геометрических параметров (для этих констант получены аналитические выражения).

Таким образом, стационарный режим существует в случае, если силы и моменты постоянны и если они подчиняются условиям (3). Это означает, что величины сил F\,F2 пропорциональны величинам моментов M2,Mi соответственно. Величина зоны контакта пропорциональна нагрузке Р, а ее смещение вдоль оси ОХ\ пропорционально силе Fj. Развал колеса к и его схождение /? порождают моменты Mi и Мз, приложенные к диску колеса. Это обстоятельство позволяет при движении автомобиля ликвидировать люфты в его подвеске и улучшить его управляемость.

Во второй главе рассматривается аналогичная модель с учетом нелинейных членов в модели бандажа, армированного кордом с нерастяжимыми нитями. Это частный случай предыдущей модели, при котором бандаж в деформированном состоянии представляет собой не просто линейчатую поверхность, а цилиндрическую поверхность с образующей, заданной деформированной плоской срединной линией бандажа, и семейством ортогональных к ней прямых, что приводит к голономной связи Хъ = —Tw{t).

Вторая особенность модели - отказ от гипотезы постоянства кривизны нерастяжимых нитей, армирующих боковые поверхности шины. Перемещения точек боковых поверхностей шины представляются в виде первых членов их разложений в ряды Тейлора с учетом нерастяжимости нитей корда, а третья особенность состоит в том, что сама боковина обладает упругими свойствами, и ее материал описывается в рамках модели несжимаемой резины Муни-Ривлина. Потенциальная энергия растяжения резины в моде-

ли Муни-Ривлина представляется функционалом:

£[V] = J[кх{1с - 3) + k2(IIc - 3)]Аг, IIIC = 1, (4)

<71

где ki,k2- постоянные положительные коэффициенты, а /с, /7С, IIIC - инварианты тензора деформаций Коши-Грина.

В §2.2 из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получена полная система 17 уравнений относительно 17 неизвестных: Х1,Х2,Хз,(3,к,в; u(<p,t),v((p,t) в зоне контакта и вне ее; ¥>i(t), fíi(<P, t), fiz(<py t), Mil. Mi2» <).

В §2.3 и §2.4, как и в первой главе, исследуется статика и стационарный режим качения колеса по прямой с постоянной скоростью без проскальзывания, при этом формулы (3) представляются в виде: 4 4

¿=i .-=1 (5) Fl = B1Xl, F2 = B2X2, Р = В3(а2-а1),

Mi = В^к, М2 = -rFi, M3 = B40, a2 + a1 = B5F1.

В третьей главе за основу взята модель армированной шины, предложенная во второй главе, и исследован режим движения с проскальзыванием с учетом сил сухого трения в предположении постоянства давления гибкого бандажа на плоскость в зоне контакта. Работа сил кулоновского трения, действующих на точки площадки контакта, на возможных перемещениях задается в виде:

Щ+М&Ь, (6)

yJZ¡ + Z¡

где ¿i, ¿2 - проекции поля скоростей точек шины в зоне контакта на оси системы координат, повернутой относительно инерциальной системы координат ОХ\Х2Хз на угол Д> вокруг оси ОХ3, а / - коэффициент трения.

В §3.2 из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского получается полная система 17 уравнений относительно 17 неизвестных: Хх,Х2,Хз; (3,к,в - углы Крылова, определяющие положение

6А/ = —fp J

диска; /% - угол поворота бандажа (Д/3 = /3—/?о - угол рассогласования плоскости диска и бандажа, засчет деформаций боковин); ги{Ь)\ и((р,1),ь(<р,Ь) в зоне контакта и вне ее; <рг(£), /13(9?, £); А (у, <)

в зоне контакта и вне ее.

В §3.3 исследованы два простейших режима скольжения заблокированного колеса, а именно, поступательное прямолинейное скольжение колеса и верчение вокруг нормали к опорной плоскости.

В случае поступательного прямолинейного скольжения предполагается, что площадка контакта колеса с плоскостью движется поступательно с постоянной скоростью: Х\ = V сов 7, Х2 = ^¡117, где V, 7 - постоянные величины. Уравнения в рассматриваемом случае становятся по сути условиями равновесия механической системы относительно системы координат, связанной с диском колеса и движущейся поступательно с постоянной скоростью.

М1 = С2к, М2 = -Х3Р1-'Р1^<Р2гР, M3 = -tëкM2,

Здесь константы С\, С2, Сз зависят от величины давления в шине и ее геометрических параметров.

Второе стационарное движение заблокированного колеса со скольжением определяется как верчение с постоянной угловой скоростью ш вокруг нормали к опорной плоскости. В этом случае стационарного движения силы и моменты, необходимые для реализации верчения, представляются в следующем виде:

FI = F2 = О, Р = С\2ф2,

Mi = С2к — (Jai - Jid)u2 cos к sin к, М2 = 0, (8)

М3 cos к = + r2y%sign/3o,

где Ju, ./¡и моменты инерции диска относительно оси, лежащей в плоскости диска, и оси, ортогональной ей.

В четвертой главе в предположении качения колеса с постоянной скоростью, когда боковое смещение Х-2, углы увода /3 и развала к равны нулю, проводится численный расчет формы бандажа на основе аналитических соотношений, полученных в первой главе. Этот расчет позволяет наглядно продемонстрировать форму срединной линии бандажа шины в зависимости от геометрических параметров колеса а, с (эти параметры определяют центр М окружности, дуга которой является боковиной шины), а также внешних сил и моментов, приложенных к диску (Рис. 2).

175 I 70 К 13 а * 2.80 ся с = 22.62 ся

Г = 2500 Н И = 388 Н р = 2 яХя

а 1рЪш2-в 1рка1 - 8.2875 гей а1рЬа1= -8.1ЭИ га* а!р1и2= 8.1511 гаД

Рис. 2:

В §4.2 и §4.3 на основе модели второй главы определяются собственные частоты и собственные формы колебаний свободного или нагруженного колеса в окрестности положения равновесия. Для случая свободного ненагруженного колеса с закрепленным диском спектр собственных частот и собственных форм находится аналитически (Рис. 3 а). В случае нагруженного колеса спектр собственных частот {с^п}^! определяется из характеристического уравнения /(ш) = 0, которое аналитически неразрешимо (содержит алгебраические и гиперболические функции), и соответствующая задача решена численными методами. Точки пересечения графика

v, = MlHz v3 = 10,64 Hz

5

\l

с

Y, - 13,96 Hz v, = 21,29 Hz

a

b

Рис. 3:

функции f(uj) с осью абсцисс определяют бесконечный спектр частот ( Рис. 3 b).

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первом и втором приложениях аналитически определяются используемые константы.

В третьем приложении приведена программа вычисления формы срединной линии бандажа в зависимости от геометрических параметров колеса, написанная на языке программирования Turbo С++.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания // ПММ, 2001, Т. 65, Вып. 6. С. 944-957.

2. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестник МГУ, 2004, Сер. 1. Матем. механ. С.37-45.

3. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // ПММ, 2004, Т.68, Вып. 6. С. 1022-1036.

4. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // Пятый Международный Симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Москва-Великие Луки. ВЦ РАН, 2004. С.64-65.

С(.С(- СУ.

РЫБ Русский фонд

2006-4 1380

Подписано в печать

Формат 60x90 1/1 б - Объем 0

Заказ

{

Тираж экз.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ г.Москва, Ленинские горы.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математическом факультета

Введение

1 Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания

1.1 Моделирование колеса с армированной шиной.

1.2 Уравнения движения.

1.3 Равновесие колеса и статические характеристики шины.

1.4 Качение колеса с постоянной скоростью.

2 Модифицированная модель колеса с армированной шиной

2.1 Учет нелинейностей в связях и упругости материала боковин шины

2.2 Уравнения движения.

2.3 Равновесие колеса и статические характеристики шины.

2.4 Качение колеса с постоянной скоростью.

3 Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием

3.1 Учет сил сухого трения в модели колеса с армированной шиной

3.2 Уравнения движения.

3.3 Простейшие движения заблокированного колеса.

3.3.1 Поступательное прямолинейное движение.

3.3.2 Верчение с постоянной угловой скоростью.

4 Численное определение формы бандажа и его малых колебаний

4.1 Определение формы срединной линии бандажа вне зоны контакта

4.2 Собственные частоты и формы шины.

4.2.1 Свободное колесо

4.2.2 Нагруженное колесо.

Колесо было изобретено более пяти тысяч лет назад. Шли столетия, колесо совершенствовалось, но настоящая революция произошла только в 19-м веке -была изобретена шина. Геометрически шина представляет собой горообразную поверхность; механически - сосуд с деформированными стенками, заполненный газом высокого давления; по структуре - это композиция с высокими эксплуатационными характеристиками; с химической точки зрения шина состоит из материалов, имеющих макромолекулы с длинными цепями. Покрышка автомобильной шины, как видно из рисунка, имеет непростую конфигурацию и состоит из нескольких конструктивных элементов:

Корд - обрезиненный слой ткани, состоящий из частых прочных нитей основы и редких тонких нитей утка, которые обеспечивают хорошее обрезинивание нитей корда, высокую гибкость и прочность. Корд изготавливается из хлопкового, вискозного или капронового волокна. В настоящее время большее применение находит металлокорд, имеющий нити, свитые из стальной проволоки, толщиной около 0,15 мм. Есть и более дорогие материалы, например кевлар, которые не получили массового распостранения по причине своей дороговизны. В радиальной шине корд каркаса натянут от одного борта к другому без перехлеста нитей. Направление натяжения нитей явствует из названия. Тонкая мягкая оболочка каркаса по наружней поверхности обтянута мощным гибким брекером - поясом из высокопрочного нерастяжимого корда, как правило, стального.

Каркас - важнейшая силовая часть шины, обеспечивающая ее прочность, воспринимающая внутреннее давление воздуха и передающая нагрузки от внешних сил, действующих со стороны дороги, на колесо. Каркас состоит из одного или нескольких, наложенных друг на друга слоев обрезиненного корда.

Брекер - часть шины, состоящая из слоев корда и расположенная между каркасом и протектором шины. Он служит для улучшения связей каркаса с протектором, предотвращает его отслоение под действием внешних и центробежных сил, амортизирует ударные нагрузки и повышает сопротивление каркаса механическим повреждениям. В брекере нити корда в смежных слоях пересекаются друг с другом и с нитями корда соприкасающегося слоя каркаса, т.е. расположены диагонально, независимо от конструкции шины.

Протектор - массивный слой высокопрочной резины, соприкасающийся с дорогой при качении колеса. По наружной поверхности он имеет рельефный рисунок в виде выступов и канавок между ними, так называемую "беговую дорожку". Протектор предохраняет каркас от механических повреждений, от него зависит износостойкость шины и сцепление колеса с дорогой, а также уровень шума и вибраций. Рисунок рельефной части определяет приспособленность шины для работы в различных дорожных условиях.

Плечевая зона - часть протектора, расположенная между беговой дорожкой и боковиной шины. Она увеличивает боковую жесткость шины, воспринимает часть боковых нагрузок, передаваемых беговой дорожкой и улучшает соединение протектора с каркасом.

Боковины - часть шины, расположенная между плечевой зоной и бортом, представляющая собой относительно тонкий слой эластичной резины, являющийся продолжением протектора на боковых стенках каркаса и предохраняющий его от влаги и механических повреждений.

Борт - жесткая часть шины, служащая для ее крепления и герметизации (в случае бескамерной шины) на ободе колеса. Основой борта является нерастяжимое кольцо, сплетенное из стальной обрезиненной проволоки. Состоит из слоя корда каркаса, завернутого вокруг проволочного кольца, и круглого или профилированного резинового наполнительного шнура. Стальное кольцо придает борту необходимую жесткость и прочность, а наполнительный шнур - монолитность и эластичный переход от жесткого кольца к резине боковины. С наружной стороны борта расположена бортовая лента из прорезиненной ткани, или корда, предохраняющая борт от истирания об обод и повреждения при монтаже и демонтаже.

Таким образом, автомобильная шина представляет собой сложную механическую систему, задача моделирования которой важна с теоретической и прикладной точек зрения.

Задаче о качении абсолютно твердых и деформируемых тел посвящено значительное число работ теоретического и прикладного характера. Уже более полувека внимание ученых и инженеров привлекает проблема качения колес с пневматическими шинами. Интерес к этому кругу задач значительно возрос в последние десятилетия в связи с появлением новых технологий и конструкций шин, а также в связи с развитием вычислительных и аналитических методов при исследовании динамики качения колес с пневматическими шинами.

Теория качения представляет область механики, в которой определяются силы, действующие на катящееся деформируемое или абсолютно твердое колесо в области контакта с недеформируемой или деформируемой опорной поверхностыо, выявляются зависимости этих сил от фазовых переменных, т.е. координат, характеризующих положение диска колеса, и их производных по времени, а также отыскиваются уравнения кинематических связей при качении. Кроме того, к теории качения относится разработка экспериментальных методов определения упомянутых зависимостей, коэффициентов жесткости и кинематических параметров деформируемого колеса.

В теории качения рассматриваются два вида движений: стационарное качение, сопровождающееся равномерным и прямолинейным перемещением центра колеса при постоянной ориентации его диска в пространстве и неизменной реакции в области контакта, и нестационарное качение, при котором движение диска колеса может быть произвольным, а реакция изменяется во времени. Более простая теория стационарного качения предшествовала развитию теории нестационарного качения.

В области нестационарного качения все результаты можно подразделить на две группы. К первой относятся очень немногочисленные исследования, касающиеся формулирования определяющих уравнений теории нестационарного качения, устанавливающих связь между реакцией в области контакта с опорной поверхностью и фазовыми переменными абсолютно твердого диска колеса. Второй группе принадлежат многочисленные работы, в которых изучается динамика практически важных конкретных систем с использованием той или иной теории качения. В настоящее время число работ второй группы выросло на порядок. В некоторых из этих работ содержатся предложения, оказавшие определенное влияние на развитие теории нестационарного качения, а также способы и результаты определения параметров колеса с шиной. В работах первой группы выделяют два подхода: модельный и феноменологический.

Модельный подход характеризуется рассмотрением колеса с конкретным представлением деформируемой периферии в виде непрерывной совокупности элементов в форме пружин или деформируемых стержней, связанных нитями, балками, кривыми брусьями и т.д., которые моделируют, в частности, и оболочку под давлением (шину). Описанная конструкция деформируемой периферии допускает математическое описание в форме совокупности дифференциальных операторов, которые можно рассматривать как математическую модель деформируемого колеса. Для колеса с пневматической шиной на результат составления определяющих уравнений в теории качения должны влиять конструктивные особенности шины: оболочка переменной толщины, нетонкая, неоднородная, анизотропная (из-за различного расположения нитей корда и слоев каркаса).

Получил также распространение феноменологический подход, при котором соотношения, характеризующие зависимости сил и моментов, действующих на колесо, от параметров движения, носят эмпирический характер, а связь между константами теории и практическими данными устанавливается опытным путем. При этом внутренняя структура деформируемого колеса и детальный характер взаимодействия элементов деформируемой периферии колеса с опорной поверхностью не рассматриваются. Таким образом, предмет изучения представляется в виде некоего "черного ящика", поведение и свойства которого определяются его внешними характеристиками.

Проблемам качения пневматических колес автомобиля и самолета был посвящен ряд исследований, основывающихся на различных подходах к выбору моделей и набора параметров, характеризующих взаимодействие колеса с опорной поверхностью.

Впервые на явления упругой деформации при качении и на их последствия обратил внимание Осборн Рейнольде. В 1874 году в журнале Engineering он указал на то, что явление продольного псевдоскольжения (или упругого скольжения)1 должно наблюдаться при качении колес железнодорожного состава по рельсам. Это явление проявляется в несовпадении пути, пройденного центром колеса локомотива, и произведением угла поворота колеса на его радиус. Кажется, будто большую часть пути колесо проходит качением, а маленькую часть - как бы скольжением, причем эта последняя составляет тем большую долю пути, чем больше сила тяги. Сущность явления состоит в том, что материалы обладают упругостью, и если при посредстве колеса земле передается сила тяги, то условие равновесия сил требует, чтобы материал колеса сжимался (относительное местное уменьшение длины окружности колеса в точке контакта), тогда как земля оказывается растянутой. Таким образом, получается, что по растянутому всюду материалу пути катится всегда сжатый материал колеса. Качение колеса беспрерывно возобновляет его отставание, вызванное этим явлением, что и создает упругое скольжение.

Затем в 1925 году автомобилистами (Г. Брулье) было обнаружено явление бокового псевдоскольжения (или поперечного упругого скольжения, или бокового увода2). Боковой увод легко наблюдать на автомобилях. Если закрепить каким-то образом рулевое управление и слегка нажать на педаль газа, чтобы придать автомобилю некоторую скорость, тогда автомобиль опишет круг. Если прибавить газ, то автомобиль опишет круг большего радиуса. Следует подчеркнуть, что боковой увод наблюдается у балонного колеса, которое катится без проскальзывания. Это явление обусловлено наличием у колеса деформируемой периферии. Под действием боковых сил, например на повороте (центробежные силы), колесо упруго отклоняется и катится "криво"в направлении, образующем угол с геометрической плоскостью недеформированного колеса, которая совпадает с видимым направлением качения.

Теория нестационарного качения, объединяющая явления продольного и бокового псевдоскольжений применительно к движению локомотива, была развита в 1926-1928 годах Ф.М. Картером [30]. Картер феноменологически ввел линейные соотношения для продольной и боковой составляющих реакции в области контакта в функции от соответствующих псевдоскольжений.

Боковая составляющая реакции в функции бокового псевдоскольжения изу

1 Впервые явление псевдоскольжения наблюдалось в ременной передаче. Это явление состоит в том, что при вращении двух жестких шкивов, связанных ременной передачей(один шкив ведущий, а другой - ведомый), отношение угловых скоростей вращения шкивов не совпадает с отношением их радиусов. Вследствие упругого растяжения ремня произведение угловой скорости ведущего шкива на его радиус оказывается больше произведения угловой скорости ведомого шкива на его радиус. Это отклонение возрастает с увеличением передаваемого момента. Таким образом, происходит как бы скольжение ремня относительно шкивов, хотя в действительности скольжение отсутствует. Описанное явление получило название псевдоскольжения или крипа (creep (англ.) - ползти) гТермин, предложенный академиком Е.А. Чудаковым чалась с точки зрения динамики автомобиля И. Рокаром [22]. В его работе было подробно рассмотрено явление бокового увода колеса и предлагалась линейная зависимость угла увода3 /3 от поперечной силы F2. f2 = т

P = LX2, (Л)

F2 = НХ2

Далее с целью "вписать "новое явление в рамки теоретической механики предлагалось рассматривать недеформируемые колеса, снабженные свойством упругого скольжения и бокового увода. При такой схематизации пропадает кинематическое уравнение связи, которое накладывается на балонное колесо при его качении без проскальзывания и содержит величину поперечной деформации пневматика Х2. Но в уравнениях движения появляется член, связанный с наличием поперечной силы, которая пропорциональна углу увода. Рокар сформулировал свою гипотезу увода в случае отсутствия наклона колеса (к ~ 0). Таким образом, эта гипотеза применима лишь при изучении движения таких экипажей, оси колес которых остаются всегда параллельными плоскости дороги. Поэтому область использования гипотезы Рокара является довольно ограниченной. Она не охватывает, например, движений велосипеда и мотоцикла, переднего колеса шасси самолета при упругой стойке, передних колес автомобиля при учете наклона осей шкворней и т.д.

В большинстве исследований, основанных на этом подходе ставится целью определение компонент сил реакции и моментов действующих на колесо при контакте с опорной поверхностью как функций от параметров движения, в частности от продольного и поперечного скольжения (псевдоскольжения).

Теория качения пневматика Ж.Х. Грейдануса [33] является более полной по сравнению с теорией Рокара. В качестве параметров, характеризующих деформацию пневматика, выбираются отклонение "средней "точки линии контакта от своего равновесного положения и угол поворота касательной к линии качения4 в "точке контакта". Эти параметры определяют силы и моменты взаимодействия шиньт с дорогой и участвуют в формулировке неголономных связей.

Явление увода, возникающее при качении наклонного колеса с пневматиком, ориентация средней плоскости которого сохраняется постоянной, было описано в работах Ю.А. Ечеистова (10] и Е.А. Чудакова [23, 24]. Это явление они объясняют возникновением поперечной силы и момента сил, стремящихся повернуть колесо в сторону угла его наклона. Для малого угла к наклона плоскости колеса можно принять, что поперечная сила F2 и момент пропорциональны величине угла к, где коэффициенты пропорциональности могут быть найдены из опыта.

F2 = Сгк, .

Мг = С2к. ytS)

Теория, разработанная М.В. Келдышем и описанная им в работе [14] по изучению явления шимми5, является классическим примером феноменологического подхода. В модели Келдыша деформация пневматика характеризуется

3envirage (фр.), или квазивираж по терминологии Рокара

4или путевой кривой, или грузовой линии, согласно американской терминологии

5Шимми - это название модного западного танца. На переднем колесе трехколесного шасрасстоянием Л от линии пересечения диаметральной плоскости смещенного обода колеса с опорной плоскостью до центра площадки контакта до деформации, углом (р от этой линии до средней линии площадки контакта до деформации, углом к наклона плоскости диска колеса по отношению к вертикали и смещения h опорной плоскости в вертикальном направлении. Реакция опорной плоскости на пневматик сводится к нормальной реакции N, поперечной реакция F2, моментам Мг, Предполагается, что центр колеса в своем движении мало отклоняется от прямолинейного и равномерного, а составляющие реакции являются линейными функциями параметров упругой деформации в центре области контакта.

F2 = аЛ -I- aNn,

Mi = —crNX - pNn, (CI)

Mz = hp.

Величины a, b, a, p зависят от внутреннего давления р в пневматике и нормальной нагрузки N. Точное определение этих констант должно проводиться статическими испытаниями.

Из допущений об отсутствии скольжения в центре контакта следует, что касательная к экваториальной линии деформируемой периферии совпадает с касательной к линии качения и точно так же в этой точке совпадают кривизны обеих линий. Причем используется гипотеза о линейной зависимости кривизны от трех параметров деформации

4 = А1\-А2<р-А3к. (С2) ti

Влияние ширины области контакта проявляется только в значениях коэффициентов теории, а проскальзывание в области контакта не рассматривается.

Способы понижения порядка системы дифференциальных уравнений теории Келдыша, позволяющие построить ряд приближений, предложены Ю.И. Неймарком и Н.А. Фуфаевым [19].

В работе И.И. Метелицына [18] предлагалось моделировать поверхность шины частью поверхности тора, однако, в дальнейшем деформации сводились к перемещению грузовой линии вдоль оси колеса, а сила и момент пропорциональны этому перемещению и его производной по натуральному параметру в точке контакта. Кроме того, Метелицын считает, что соотношение (С2) нельзя рассматривать, как уравнение кинематической связи, т.к. уравнения связей по самой идее должны выражать соотношения, которые соблюдаются, какие бы силы ни действовали на колесо. Соотношение же (С2) может быть осуществлено, если подобрать надлежащие внешние силы, но при произвольных силах оно не соблюдается. си самолета (как и на передних колесах автомобиля) при определенной скорости движения наблюдается явление самовозбуждения колебаний. Эти колебания состоят из поворотов колеса относительно вертикальной оси и боковых смещений и получили название "шимми". На автомобиле явление шимми стало наблюдаться при переходе на баллонные колеса и связано с наличием упругости пневматика. Явление шимми часто называют "флаттером колеса", и оно имеет много аналогий с флаттером несущих поверхностей самолета. Впервые самолеты "затанцевали"у американцев. Уже у первых машин с трехколесным шасси переднее колесо при некоторой скорости начинало произвольно поворачиваться вокруг стойки - то немного вправо, то чуть-чуть влево. Самолет съезжал с бетонной дорожки и зарывался носом в землю, а того хуже - стойка ломалась на большой скорости

Рассмотренные выше теории Рокара и Картера являются теориями линейного увода, когда боковая сила связана с углом увода линейным образом. Когда приложенное усилие становится равным силе, способной преодолеть сухое трение между материалом колеса в отсутствие качения и землей, то возникает полное боковое скольжение. Однако опытные данные показывают, что зависимость силы от величины увода носит нелинейный характер, и существует участок частичного проскальзывания, разделяющий линейный участок и участок полного скольжения. Таким образом, гипотеза увода справедлива лишь для достаточно малых величин угла. В работах Н.В. Pacejka, Е. Bakker [25,26,39,40] рассматриваются эмпирически найденные нелинейные зависимости реакций от параметров качения, позволяющие получить приемлемые экспериментально подтверждаемые результаты при достаточно больших значениях параметров ("магическая формула"). Силы Fi, F2 и момент Мз являются функциями параметров продольного и бокового скольжения, вертикальной нагрузки, углов развала и схождения. у{х) — D sin [С arctan (Вх — Е (Вх — axctan(Bar)))], . п. s = X + Х0, у(х) = У(Х) - П, К ) где В - "фактор жесткости", С - "фактор формы", D - максимум функции, Е - "фактор кривизны".

В исследованиях Y.Q. Wang [43] изучается зависимость вертикальной реакции Fz от вертикального смещения zq при различных режимах качения колеса.

М.А. Левин в [17] включил в рассмотрение такие факторы как возможность существования по крайней мере двух областей проскальзывания, анизотропное трение, различие коэффициентов сухого трения и трения скольжения на малых скоростях, наличие вязко-упругих элементов в конструкции шины.

В работе М.А. Левина и Н.А. Фуфаева [16] излагается подход к исследованию проблем качения деформируемого колеса, при котором задача теории качения состоит в нахождении шести компонент обобщенной реакции связи, распределенных сил и моментов в области контакта с учетом деформационных и фрикционных свойств периферии колеса и опорной поверхности как функций фазовых переменных диска колеса. Модель колеса с деформируемой шиной представляет набор тонких твердых дисков с деформируемой периферией, закрепленных на общем валу. Деформируемая периферия каждого диска состоит из набора радильно расположенных безмассовых стержней, соединенных по концам безмассовой растяжимой нитью. Деформации задаются функциями от угла (р и предполагаются существенными лишь вблизи области контакта.

F. Bohm в [27, 28, 29] предложил модель пневматического колеса с бесконечным числом степеней свободы в виде криволинейной балки, связанной с диском непрерывно распределенными упругими силами, а также модель, в которой учитывается масса элементов периферии, состоящей из бандажа (упругий ремень) и боковых стенок.

Проскальзывание пневматика в зоне контакта учитывалось рядом авторов в моделях с контактными элементами6, в частности, И.В. Новожиловым [20], Т. Fujioka, К. Goda [32], G. Mastinu, М. Fainello [36]. Распределение нагрузок в

6"щетками", или "brush-моделн" области контакта определяет разбиение последней на "область скольжения "и "область прилипания". В модели Новожилова опорный элемент7 состоит из недеформируемой подложки и бесконечно тонкого деформируемого пограничного слоя по границе с опорной поверхностью. А пограничный слой состоит из бесконечно малых невзаимодействующих друг с другом контактных элементов. Каждый из них связан с подложкой упругим образом и взаимодействует с опорной поверхностью по Кулону. Набор соотношений, полученных в работе, позволяет определить зоны проскальзывания и непроскальзывания контактных элементов, главный вектор и главный момент сил, воздействующих со стороны поверхности качения на опорный элемент. В случае когда все контактные элементы не проскальзывают, а область контакта является прямоугольником с длинами соответствующих сторон 2о и 26, получаются следующие соотношения на составляющие главного вектора и главного момента системы сил касательных реакций

F\ = —Ka{s\ + —о»з),

X а2

F2 = -Ka{Si---а;з) + K—uj3, (Е) чг ОТ а2 Xi . ab2

Мз = -K—{s2--- К— а>з, or or где Хх,Х2 - координаты точки приведения сил взаимодействия с опорной поверхностью, К - суммарная сдвиговая жесткость пограничного слоя, si - продольное псевдоскольжение, S2 - угол бокового увода, и?з - нормализованная угловая скорость верчения.

Динамическое взаимодействие деформируемых твердых тел с использованием модели сухого трения исследовалось В.Ф. Журавлевым [11], А.Ю. Ишлин-ским [12, 13], G. Duvaut, J.L. Lions [31], J.J. Kalker [34]. Калькер описал нелинейную теорию контакта с проскальзыванием, которая впоследствии была реализована в известных программах CONTACT и FASTSIM.

В целом ряде работ приводится подход, при котором деформированная поверхность оболочки пневматика моделируется методом конечных элементов [35, 38]. При этом подходе для каждого малого фрагмента поверхности записываются условия равновесия и общая система уравнений решается численными методами. В [37] приведен подробный обзор статей, основанных на методе конечных элементов.

Существуют исследования [41, 42], посвященные выработке более точных контактных моделей с учетом асимметрии контактной площадки.

В работах А.И. Весницкого, С.В. Крысова, С.Р. Шохина, А.И. Потапова [1, 2, 3, 15] применяется подход, основанный на применении вариационного принципа в задачах о движении нагрузок вдоль упругих балок с неизвестными подвижными границами возможных разрывов производных искомой функции.

В.Г. Вильке, М.В. Дворников [9] предложили модель пневматика как системы с бесконечным числом степеней свободы, когда его поверхность представля

7Механическая система, образованная материальными частицами пневматика, которые в данный момент времени находятся внутри фиксированного по форме, малого по толщине геометрического элемента, прилегающего к опорной плоскости и целиком включающего пятно контакта при возможных изменениях его размеров , ется деформированной поверхностью тора (в отличие от предложенной ранее модели [18] рассматривается деформация всей поверхности тора по всем направлениям и определяется форма деформированного пневматика как в зоне контакта, так и на его свободной поверхности). Предполагается, что колесо состоит из диска, имеющего пять степеней свободы (срединная плоскость диска колеса ортогональна плоскости качения), деформируемой боковой поверхности птани и бандажа (гибкая нерастяжимая нить), по части которого происходит контакт без проскальзывания колеса с плоскостью. На основе ряда гипотез найден функционал потенциальной энергии деформаций пневматика в зависимости от деформаций бандажа. Получена полная система уравнений движения по отношению к 23 неизвестным. Исследованы два частных случая качения колеса с уводом и на вираже.

Рабочим инструментом механики является модель, пригодная для описания определенного класса природных явлений. Созданная модель всегда является приближенной и далеко не единственной для описания данного объекта. Однако предпочтение всегда следует отдавать наиболее простым моделям, кратчайшим путем приводящим к необходимому результату, и талант и интуиция механика, как раз и состоят в том, чтобы уловить наиболее существенные параметры механической системы, сформулировать правильные гипотезы и с помощью них получить результаты, мало отличающиеся от результатов экспериментов.

В классической механике изучаются механические системы, состоящие из конечной совокупности точек и твердых тел, однако исследуемая в работе механическая система (колесо с деформируемой периферией, моделирующая армированную шину) представляет собой сложную механическую систему, состоящую из твердых тел и деформируемых элементов. Методы аналитической механики, обобщенные на системы такого вида, позволяют получить уравнения движения в виде уравнений Лагранжа второго рода с неопределенными множителями и динамические граничные условия.

Диссертация посвящена проблеме моделирования одного класса колес с деформируемой периферией, выступающей в качестве модели армированной шины, как механической системы с бесконечным числом степеней свободы, и исследованию методами аналитической динамики стационарных режимов качения колеса по плоскости при наличии проскальзывания и без него. Механическая система состоит из деформируемой и недеформируемой частей. Недеформиру-мой частью колеса является диск, который представляется абсолютно твердым телом, имеющим шесть степеней свободы. Деформируемой частью является шина, которая в свою очередь разбивается на три части: бандаж, по части которого происходит контакт колеса с плоскостью и две боковые поверхности, соединяющие бандаж с диском. В педеформированном состоянии бандаж представлен круговым цилиндром, а боковые поверхности - частями поверхностей двух торов. Конструкция современных шин автомобиля такова, что через каждую точку бандажа проходит три семейства нерастяжимых нитей, а через каждую точку боковых поверхностей шины одно семейство. К диску колеса приложена внешняя сила F и внешний момент М. Колесо катится по плоскости и контактирует с ней по некоторой заранее неизвестной части бандажа. Качение колеса может происходить как без проскальзывания, так и с проскальзыванием в зоне контакта.

На основе анализа конструкции шины сформулирован рад гипотез, позволяющий найти выражение потенциальной энергии деформаций, зависящей от перемещений срединной линии бандажа. Уравнения движения и условия на скачки в граничных точках зоны контакта получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, содержащего помимо лагранжевых координат, неопределенные множители Лагранжа, соответствующие голономным связям. Полная система интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных позволяет найти движение колеса, деформации в зоне контакта и вне ее, реакции связей и зону контакта.

В первой главе рассматривается качение колеса с деформируемой периферией, выступающей в качестве модели армированной шины, по плоскости без проскальзывания. В модели армированного бандажа учитываются линейные члены от компонент вектора перемещения его точек, а боковая поверхность шины представляется армированной нерастяжимым кордом, и используется гипотеза о постоянстве кривизны каждой нити в деформированном состоянии. Получена полная система уравнений движения по отношению к 26 неизвестным. Исследовано равновесие колеса и стационарный режим качения по прямой с уводом и развалом колеса. Для этих режимов найдены все характеристики деформированного состояния шины, а именно, форма шины вне области контакта и внутри нее, зона контакта шины с плоскостью и ее расположение, а также условия, накладываемые на силы и моменты, приложенные к диску колеса.

Во второй главе рассматривается аналогичная модель с учетом нелинейных членов в модели бандажа, армированного кордом с нерастяжимыми нитями. Это частный случай предыдущей модели, при котором бандаж в деформированном состоянии представляет собой не просто линейчатую поверхность, а цилиндрическую поверхность с образующей, заданной деформированной плоской срединной линией бандажа, и семейством ортогональных к ней прямых. Перемещения точек боковых поверхностей шины представляются в виде первых членов их разложений в ряды Тейлора с учетом нерастяжимости нитей корда. Сама боковая поверхность моделируется тонкой мембраной, материал которой описывается в рамках модели несжимаемой резины Муни-Ривлина [21]. Получена полная система уравнений движения по отношению к 17 неизвестным. Как и в первой главе исследуется статика и стационарный режим качения колеса по прямой с постоянной скоростью без проскальзывания.

В третьей главе за основу взята модель армированной шины, предложенная во второй главе, и исследован режим движения с проскальзыванием с учетом сил сухого трения в предположении постоянства давления гибкого бандажа на плоскость в зоне контакта. В случае качения колеса с проскальзыванием в зоне контакта бандажа с плоскостью по заранее неизвестному участку бандажа получена полная система уравнений движения по отношению к 17 неизвестным. Критерий перехода от режима качения колеса с проскальзыванием к режиму качения без проскальзывания предложен В.Г. Вильке в работе [8]. Исследоваг ны два простейших режима скольжения заблокированного колеса, а именно, поступательное прямолинейное скольжение колеса и верчение вокруг нормали к опорной плоскости.

В четвертой главе на основе модели первой главы в предположении качения колеса с постоянной скоростью, когда углы развала и схождения равны нулю, проводится численный расчет формы бандажа на основе аналитических соотношений, полученных в первой главе. Этот расчет позволяет наглядно продемонстрировать форму срединной линии бандажа шины в зависимости от геометрических параметров колеса, а также внешних сил и моментов, приложенных к диску. Помимо этого, в четвертой главе определяются собственные частоты и собственные формы колебаний свободного или нагруженного колеса в окрестности положения равновесия. В представленном расчете использована модель второй главы. Для случая свободного ненагруженного колеса с закрепленным диском спектр собственных частот и собственных форм находится аналитически. В случае нагруженного колеса аналогичная задача решена численными методами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении А и приложении Б аналитически определяются константы теории.

В приложении В приведена программа вычисления формы срединной линии бандажа в зависимости от геометрических параметров колеса, написанная на языке программирования Turbo С++.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложены две модели колеса с деформируемой периферией, описывающие его движение как системы с бесконечным числом степеней свободы и позволяющие описать процессы взаимодействия колеса с твердым основанием. В рамках этих моделей диск колеса представляет собой абсолютно твердое тело, имеющее шесть степеней свободы, а деформируемая периферия, моделирующая шину, разбивается на бандаж, по части которого происходит контакт колеса с плоскостью, и две боковые поверхности, соединяющие его с диском. Шина заполнена совершенным газом постоянного давления. К диску колеса приложены внешняя сила F и внешний момент М, имеющие все три компоненты. В случае проскальзывания в зоне контакта учитываются силы кулонова трения.

2. Методами аналитической механики получены полные системы интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных для режимов качения колес с проскальзыванием и без проскальзывания в зоне контакта, описывающие поведение системы и позволяющие определить заранее неизвестные границы зоны контакта, деформированную форму колеса как внутри, так и вне зоны контакта, распределение реакций в зоне контакта.

3. Исследованы равновесие колеса и стационарный режим качения без проскальзывания по прямой с уводом и развалом колеса, а также два режима скольжения заблокированного колеса, а именно, поступательное прямолинейное скольжение и верчение вокруг нормали к опорной плоскости. Найдены условия существования стационарных режимов.

4. Численным методом определена форма бандажа шины в случае качения колеса с постоянной скоростью при фиксированных давлении и внешней нагрузке и различных значениях двух геометрических параметров, определяющих форму ее боковых поверхностей, а также при фиксированных геометрических параметрах и различных внешних нагрузках. Результаты этих расчетов позволяют оценить величины деформаций и зоны контакта бандажа с плоскостью.

5. Для свободного колеса с закрепленным диском найдены собственные частоты и собственные формы колебаний. В случае контакта колеса с плоскостью аналогичная задача решена численными методами, что позволяет оценить спектр возможных шумов.

Заключение

Работа носит теоретический характер, полученные результаты описывают один из возможных механизмов взаимодействия деформируемых колес с основанием, позволяют оценить потребные силы и моменты для реализации различных стационарных режимов. Методические приемы, использованные при выводе уравнений движения и исследовании динамики ряда стационарных режимов, могут быть полезными в процессе исследования динамики сложных механических систем, а результаты работы использованы в МГУ им. М.В. Ломоносова, ВЦ РАН и других научных центрах, а также в специальных курсах по теории динамических систем.

1. Весницкий А.И., Крысов С.В. Возбуждение колебаний в движущихся упругих элементах конструкций // Машиноведение, N. 1, 1983, С. 16-17.

2. Весницкий А.И., Крысов С.В., Шохин С.Р. Параметрическое возбуждение импульсов в распределенных механических системах с нестационарными границами И ПМТФ, N. 4, 1976, 145 с.

3. Весницкий А.И., Потапов А.И. О некоторых общих свойствах волновых процессов в одномерных механических системах переменной длины / / Прикладная механика, Т. 11, N. 4, 1975.

4. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания // ПММ, 2001, Т. 65, Вып. 6. С. 944-957.

5. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестник МГУ, 2004, Сер. 1. Матем. метан. С.37-45.

6. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // ПММ, 2004, Т.68, Вып. 6. С. 1022-1036.

7. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // Пятый Международный Симпозиум по классической и небесной механике. Тезисы докладов. Москва-Великие Луки. ВЦ РАН, 2004. С.64-65.

8. Вильке В.Г. Условия качения колеса с армированной шиной без проскальзывания // Вестник МГУ, Сер. 1, Матем.,механ, 2002, Вып. 5, С.38-42.

9. Вильке В.Г., Дворников М.В. Качение колеса с пневматиком по плоскости // ПММ, 1998, Т.62, Вып. 3. С. 393-404.

10. Ечеистов Ю.А. Исследование увода мотоциклетных тин // Вопросы машиноведения (сборник статей), Изд. АН СССР, 1950.

11. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ, 1998, Т. 62, Вып. 5, С. 762-767.

12. Ишлинский А.Ю. Механика. Идеи, задачи, приложения // М.: Наука, 1985, 624 с.

13. Ишлинский А.Ю. Трение качения // ПММ, 1938, Т.2, Вып. 2, с. 245-260.

14. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси // Тр. ЦАГЙ, 1945, N. 564, 34с.

15. Крысов С.В., Филатов J1.B. Стационарное качение без проскальзывания твердого колеса по эластичной направляющей, лежащей на вязкоупругом грунте // Изв. вузов, N. 40, М.: Машиностроение, С. 80-84. 1988.

16. Левин М.А., Фуфаев Н.А. Теория качения деформируемого колеса // М.: Наука, 1989, 271 с.

17. Levin М.А. Investigation of features of tyre rolling at non-small velocities on the basis of a simple tyre model with distributed mass periphery / / Vehicle system dynamics 23 (1994) p. 441-466.

18. Метелицын И.И. Устойчивость движения автомобиля // Укр. мат. журн., 1952, Т. 4, N. 3, С. 323-338; 1953, Т. 5, N. 1, С. 80-92.

19. Неймарк Ю. И. Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем // Наука, 1967.

20. Новожилов И.В. Фракционный анализ // Изд-во Механико-математического факультета МГУ, 1995.

21. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред // М. Мир, 1976, 464 с.

22. Рокар Н. Неустойчивость в механике. Автомобили. Самолеты. Висячие мосты // М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 278 с.

23. Чудаков Е.А. Качение автомобильного колеса // М. Машгиз, 1947.

24. Чудаков Е.А. Качение автомобильного колеса при наклонном расположении его средней плоскости // ДАН СССР, 1953, Т. 90, N. 3.

25. Bakker Е., Nyborg L., Pacejka Н. Type modeling for Use in Vehicle Dynamics Studies // SAE paper 870421, 1987.

26. Bakker E., Pacejka H.B., Lidner L. A new tyre model with applications in vehicle dynamics studies // 4th Autotechnologies Conference, Monte Carlo 1989, SAE Paper 890087, P. 83-95.

27. Bohm F. Mechanik des Gurtelreifens // Ingenieur Archiv, 35. 1966. P. 82.

28. Bohm F. Grundlagen der Rolldynamik von Luftreifen // Fahrzeugdynamik-Fachtagung, 1988 Essen.

29. Bohm F. Elastodynamik der Flahrzeugbewegung // Tagungsband "Fortschritte der Fahrzeugdynamik" (Hrsg. Stiihler, W.), 4 Fahrzeugdynamik-Fachtagung, 1990 Essen.

30. Carter F. M. On the stability of running of locomotives // Proc. of the Roy. Soc. of London, 1928, V.121, ser. A 788, P. 585-611.

31. Duvaut G., Lions J.L. Les inequations en mecanique et en physique // Dunod. Paris, 1972, 387 p. (Русс. пер. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике // М.: Наука, 1980, 384 е.).

32. Fujioka Т., Goda К. Discrete brush tire model for calculating tire forces with large camber angle // Vehicle system dynamics 25, 1996, P. 200-216.

33. Greidanus J.H. Besturing en stabiliteit van het neuswielonderstel // NLL raport, V. 1038, 1942, Amsterdam.

34. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact // Kluwer Academic Pablishers. Dordrecht, 1990.

35. Kim K.O., Tanner J.A., Noor A.K. and Robinson M.P. Computational methods for frictionless contact with application to Space Shuttle orbiter nose-gear tires // NASA technical paper 3073, May 1991.

36. Mastinu G., Fainello M. Study of the Pneumatic Tyre Behaviour on Dry and Rigid Road by Finite Element Method // Vehicle System Dynamics, 21, 1992, P. 143-165.

37. Noor A.K., Tanner J.A. Advances and trends in the development of computational models for tires // Computers & Structures 20, P. 517-533, 1985.

38. Noor A.K., Kim K.O., Tanner J.A. Analysis of aircraft tires via semi-analytic finite elements // Finite elements Analysis Des. 6, P. 217-233, 1990.

39. Pacejka H.B., Sharp R.S. Shear force development by pneumatic tyres in steady state conditions: a review of modeling aspects // Vehicle System Dynamics, Vol. 20, N. 3-4, 1991, P. 121-176.

40. Pacejka H.B., Bakker E. The magic formula tyre model // Proc.lst.Colloq. Tyre Models for Vehicle Dynamics Analysis. Delft, 1991. Amsterdam: Swits and Zeitlinger, 1993. P. 1-18.

41. Pascal J.-P., Sauvage G. The available method to calculate wheel/rail forces in non-Herzian contact patches and rail damaging // Vehicle system dynamics 22, 1993, P. 263-275.

42. Piotrowski J. Contact loading of a high rail in curves. Physical simulations to investigate shelling // Vehicle system dynamics 17, 1988, P.57-79.

43. Wang Y.Q., Gnadler R., Schieschke R. Vertical Load-deflection behaviour of a pneumatic tire subjected to slip and camber angles // Vehicle system dynamics 25, 1996, P. 137-146.