Исследование оптимизационных моделей управления с неопределенными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

1 Стабилизация наблюдаемой линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами

1.1 Постановки задач.

1.2 Литературный обзор проблемы.

1.3 Редукция задачи

1.4 Субуниверсальное решение системы линейных интервальных уравнений.

1.5 Синтез управления.

1.6 Асимптотический идентификатор.

1.7 Стационарная система наблюдения.

1.8 Примеры стабилизации систем.

1.9 Вычислительные эксперименты.

2 Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

2.1 Постановка задачи.

2.2 Литературный обзор проблемы.

2.3 Двумерный случай.

2.4 Вычисление объема отсеченной части параллелепипеда

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Формализация идеи.

2.4.3 Вычисление объема симплекса.

2.5 Многомерный случай.

2.5.1 Формализация идеи.

2.5.2 Редукция задачи

2.5.3 Оценка риска.

2.5.4 Анализ устойчивости задачи.

2.5.5 Вычисление риска.

2.6 Вычислительные эксперименты.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы управления системами в условиях действий на них возмущений или при наличии различного рода неопределенностей, затрудняющих принятие того или иного управленческого решения [9]. Необходимость изучения этих вопросов диктуется потребностями практики - они возникают во многих областях человеческой деятельности, связанных с принятием рационально обоснованных решений в условиях неполноты информации. Подобные вопросы возникают при проектировании сложных инженерных объектов, подверженных естественным или целенаправленным воздействиям (возмущениям), которые должны с высокой степенью точности выполнять свое целевое назначение.

Учет неопределенных факторов может осуществляться по-разному. В теории вероятностей [1], например, используются статистические или вероятностные характеристики случайных величин: математическое ожидание, функции распределения, ковариационные матрицы, центральные моменты и т.д. В контексте данного подхода необходимо уметь априорно получать и оценивать указанные свойства возмущений.

В теории автоматичекого регулирования [46] используют аппарат функций чувствительности, свойства робастности системы для того, чтобы распознать тип неопределенного воздействия и включить отвечающую ему корректирующую оптимальную программу управления. В рамках этого подхода, заранее должно быть известно возмущение, соответственно которому подстраивается корректирующее управление.

Априорные характеристики возмущений, а тем более их точные значения, зачастую неизвестны. Это обстоятельство затрудняет решение рассматриваемых задач.

Всвязи со сказанным, представляют интерес методы и подходы теории живучести, которые предполагают лишь знание областей изменения неопределенных факторов, в большей или меньшей мере отвечающее действительности. Это дает возможность широко использовать теорию интервального анализа. Для решения задач привлекается теоретико - множественный аппарат, позволяющий работать и давать ответы в терминах множества возмущений и его подмножеств.

Термин "живучесть" введен в научный обиход известным русским ученым и флотоводцем вице - адмиралом С.О. Макаровым в 1890-е годы применительно к кораблестроению. В узком значении слова он означал "выносливость корабля к повреждениям" [25]. В более широком современном толковании живучесть означает способность системы противостоять действию возмущений [3], [23].

Постановки проблемы повышения живучести, близкие к теме диссертационной работы, вопросы аксиоматики, методологии и другие рассматривались в работах ряда авторов [3], [23]. В предлагаемой работе методами теории живучести исследуются задачи с неопределенностями.

Обычно [3] в моделях живучести отражают взаимодействие трех различных факторов: состояний управляемого объекта х, собственно управляющих воздействий и и возмущений у. Будем считать х,и,у элементами некоторых множеств X, II, V. В терминах этих факторов, исходя из содержательного смысла задачи, формулируется целевое назначение системы - требование, чтобы заданные функции (или операторы) на переменных состояния, управления и возмущения принимали желаемые или заранее определенные значения. Если ввести в рассмотрение оператор .Р, определенный на множестве Р = X х17 х V, множество его желаемых значений, то целевое назначение системы можно сформулировать в виде включения

Р(х, м, у) Е С} для элементов (х, и, у) Е Р

Основная движущая идея подхода к решению задач повышения живучести состоит в том, чтобы система сохраняла свое целевое назначение ( за счет выбора состояний и управлений ) для максимального в некотором смысле подмножества из множества возмущений. Максимальность множества понимается в смысле максимума некоторой его числовой характеристики, например, меры, диаметра и т.д.

С использованием понятий теории живучести [3] в диссертационной работе рассмотрены задачи стабилизации наблюдаемой линейной дискретной системы с неопределенными коэффициентами и формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

В первой из них система задается линейным рекуррентным соотношением хш = Агхх + Вт с интервальными коэффициентами, где вектор х1 - состояние системы, и1 - управление, ~ интервальные матрицы неопределенных коэффициентов - возмущения на шаге t = 0,1,2,. . Целевое назначение системы состоит в стабилизации решения в близи точки покоя т.е. переводе траектории в малую окрестность положения равновесия и удержание траектории там неограниченное время.

Во второй задаче о формировании оптимального портфеля ценных бумаг рассматривается распределение капитала по ценным бумагам, наилучшее с точки зрения минимума риска неполучения заданной доходности. Искомым является вектор долевого распределения капитала и, неопределенной величиной -вектор v доходности ценных бумаг. Целевое назначение системы - составить портфель таким образом, чтобы значение функции риска было минимальным.

В диссертации разработаны и обоснованы методы решения расмотренных задач. Эфективность предлагаемых методов подтверждается численными экспериментами.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе исследуются задачи стабилизации управляемого объекта в условиях интервальной неопределенности коэффициентов уравнений движения и наблюдения. Каких - либо уточняющих предположений о реализации коэффициентов в заданных интервалах не делается. Используемый подход автоматически приводит к необходимости рассматривать состояние системы на несколько тактов времени вперед. Вектор состояния в силу рекуррентных соотношений зависит от всех предыдущих значений управления и неопределенных коэффициентов. Если выбирать управление из условия "совпадения" вектора состояния с положением равновесия системы, получим систему линейных алгебраических уравнений с известными интервальными оценками коэффициентов. Полное ее исследование методами интервального анализа позволяет найти искомое управление в виде линейной обратной связи и сформулировать достаточные условия асимптотической устойчивости в целом положения равновесия замкнутой системы. Найденное управление удобно для реализации в реальном времени. По известному вектору состояния в данный момент времени его можно однозначно экстраполировать на несколько тактов времени вперед. Для восстановления вектора состояния в случае неполного наблюдения предлагается использовать традиционные уравнения асимптотического идентификатора [21], позволяющего в пределе с ростом числа наблюдений восстановить фазовый вектор и реализовать управление типа обратной связи.

Во второй главе ставится и приближенно решается специальная задача математического программирования, возникающая при составлении оптимального портфеля ценных бумаг. Специфика задачи проявляется в том, что целевая функция - объем части многомерного параллелепипеда, отсекаемого плоскостью, - имеет сложную структуру в общем случае. Поэтому естественно приходится использовать приближенные методы решения задачи на основе тех или иных внутренних аппроксимаций отсекаемой части параллелепипеда.

Используемый детерминированный подход приводит к задаче линейного программирования, в которой минимизируется функция риска при условии, что доход от выбранного набора ценных бумаг, будет не ниже заданного. В реальных задачах заранее не известно, какой доход даст та или иная ценная бумага за интересующий нас период. Связанная с этим неопределенность моделируется в работе с помощью интервалов, в которых, по-мнению экспертов, равновероятно могут колебаться доходности ценных бумаг, претендующих на "попадание в портфель".

Подробно рассмотрен частный случай с двумя ценными бумагами. Полученные качественные результаты подтверждены численными экспериментами на модельных задачах. В многомерном случае используется аппроксимация допустимого множества семейством параллелепипедов, что приводит к хорошо решаемой задаче линейного программирования. Разработанная процедура вычисления объема допустимого множетсва позволяет получить точное численное значение функции риска.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [4], [5], [6] и докладывались на Дальневосточной математической школе -семинаре имени академика Е.В. Золотова [37], [38], 1-й и 2-й Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (г.Владивосток) [35], [36], международной конференции "Динамические системы:стабилизация, управление, оптимизация" (г.Минск) [7], Байкальской школе - семинаре (г.Иркутск) [8]. Результаты диссертации неоднократно обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Дальневосточного государственного университета и Института прикладной математики ДВО РАН.

В диссертации используется следующая система обозначений и ссылок. Все векторы (вектор-функции) считаются столбцевыми. Модули матриц и матричные неравенства понимаются поэлементно. В каждой главе формулы имеют двойную нумерацию: первое число - номер данной главы, второе - номер формулы. Цитируемая литература указана в скобках. Список литературы в алфавитном порядке вынесен в конец работы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю

Леониду Тимофеевичу Ащепкову за постановку задач, полезные замечания и чуткое внимание к работе.

Заключение

Основная цель диссертационной работы состояла в исследовании на основе единого подхода двух моделей управления с неопределенными коэффициентами. Учет неопределенных коэффициентов с помощью методов интервального анализа является сравнительно новым методом моделирования, а возникающие при этом математические задачи, как правило, открытые. Использование аппарата теории живучести позволяет получить эффективные результаты как для задачи стабилизации наблюдаемой линейной дискретной системы с неопределенными коэффициентами, так и для задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Для первой из них предложен способ построения стабилизирующего управления типа обратной связи для многошаговой системы с мультипликативными интервальными неопределенностями. В теории автоматического регулирования такие модели традиционно считаются трудными для анализа, поскольку содержат произведения неопределенных коэффициентов на фазовые переменные и управления.

Основной вывод состоит в том, что при определенной малости длин интервальных коэффициентов стабилизирующее управление может быть найдено из детерминированных уравнений движения (эталонной системы), соответствующих серединам интервалов. Более точно, если существует программно-синтезированное управление, переводящее траектории эталонной системы из любой начальной точки в начало координат за р последовательных тактов времени ¿ + 1, ., ¿ + — 1, Ь = 0,р,2р,. , и если длины интервальных коэффициентов за эти р тактов малы в совокупности (матрица вида (1.30) удовлетворяет условию \\Mt\l < 1), то данное управление будет стабилизирующим и для интервальной системы. В случае неполной наблюдаемости фазового вектора предложен способ построения асимптотического идентификатора, позволяющий в пределе с ростом числа наблюдений восстановить фазовые векторы и реализовать управление типа обратной связи. Установлены оценки близости и достаточные условия сходимости решений замкнутой системы к положению равновесия.

Отметим одну характерную особенность синтезированного управления, которая обусловлена способом решения задачи стабилизации. По известному на шаге £ вектору состояния х1 управление однозначно определяется на шагах t,t + + р — 1 при любом заданном р > пг. Другими словами, управление позволяет в р раз увеличить шаг по времени в замкнутой системе по сравнению с шагом исходной системы. С такими же большими шагами строится и идентификатор состояния. Последнее удобно в практическом отношении, когда информация о результатах наблюдения поступает дискретно через большие промежутки времени, кратные шагам квантования времени в исходной системе.

Приведены примеры приложения полученных результатов для анализа конкретных задач, а также численные эксперименты.

Рассмотрена также задача составления оптимального портфеля ценных бумаг. Подробно исследован двумерный случай: построена функция риска, монотонно возрастающая с ростом требуемой ожидаемой доходности. Методами теории живучести общий случай задачи сведен к приближенной нелинейной задаче аппроксимации множества ожидаемой доходности параллелепипедом, которую, в свою очередь, можно заменить линейной. Разработана процедура вычисления объема множества неопасных возмущений, позволяющая получить точное значение функции риска. Не оставлен без внимания аспект устойчивости задачи - сформулировано сответствующее утверждение об устойчивости решения к возмущениям параметров.

Проведенные численные эксперименты показали, что результаты решения двумерной задачи формирования портфеля различными способами (с помощью геометричнеских формул и методами линейного программирования) по управлениям совпадают.

Предложенная модель представляется удобной для предварительного анализа, предшествующего принятию управленческих решений, поскольку рекомендации по составу портфеля ценных бумаг могут быть получены быстро, не требуя знания вероятностных характеристик ожидаемых доходностей.

1. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. - М.: Наука, 1982.

2. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1988.

3. Ащепков Л. Т. К проблеме повышения живучести управляемых систем // Модели и методы исследования операций. Сб.н. трудов / Отв.ред. Б.А. Бельтюков, В.П. Булатов. Новосибирск:Наука, 1988, С. 69-85.

4. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг // Дальневосточный математический сборник, 1997, N 3, С. 67 77.

5. Ащепков Л. Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами // Известия Вузов. Математика, 1998, N 12, С. 1 10.

6. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация наблюдаемой линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами // Автоматика и телемеханика, 1999, N 7, С. 85 95.

7. Ащепков JI. Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами. // Тез.докл. межд.конф. "Динамические системы: Стабилизация, управление и оптимизация" (DSSCO'98). Минск. Беларусь. 1998. Т.1. С. 46 -48.

8. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами. // Труды 11-й межд. Байкальской школы семинара "Методы оптимизации и их приложения". Т.2. Иркутск: Институт систем энергетики СО РАН, 1998.

9. Брусин В.А. Об управлении динамическими системами в условиях неопределенности // Соросовский образовательный журнал, 1996, N 6, С.115 121.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

11. Гасс, Саул И. Линейное программирование. М.: Наука, 1973.

12. Гихман П.П., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965.

13. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем (состояние проблемы). I, II // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1991. N 1. С. 3-23. N 2. С. 3-30.

14. Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966.

15. Джури Э. И. Робастность дискретных систем // А и Т. 1990. N5. С. 3-28

16. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Асимптотическое слежение за постоянным сигналом в системе с неопределенными параметрами // Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 20-21.

17. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости системы с неопределенными параметрами // А. и Т. 1990. N 11. С. 176181.

18. Емельянов C.B., Живоглядов П.В., Коровин С.К. Способ стабилизации дискретных объектов с компактной неопределенностью.// ДАН СССР. 1991-319, N1. С. 91-97.

19. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Синтез многоуровневых систем управления динамическими объектами с неопределенными параметрами // Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 20-21.

20. Захаров А.В., Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математической модели // ДАН СССР. 1988. Т. 299. N 2. С. 292-295.

21. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

22. Калмыков С. А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

23. Кирилюк B.C. Математическая теория живучести / Препринт АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 89-4. Киев. 1989.

24. Крылов А.Н. Мои воспоминания. Л.: Судостроение, 1984.

25. Кукушкина Е.В. Модель управления портфелем коммерческого банка // Вопросы прикл. мат. и мат. моделир./ Дншропетр. дер-жавн. ун-т. Дншропетровсък. 1997. С. 94-98.

26. Лакеев A.B., Носков С.И. О множестве решений линейного уравнения с интервально заданным оператором и правой частью // Сибирский математический журнал. 1994. Т 35. N 5. С. 1074-1084.

27. Лозинский JJ.Д., Мееров М.В. Синтез одного класса САУ с жесткой структурой, обладающего адаптивными свойствами // А. и Т. 1986. N 9. С. 22-31, N 10. С. 46-56, N И. С. 45-54.

28. Оморов P.O. Робастность интервальных динамических систем. II. Робастность дискретных линейных интервальных динамических систем // Теория и системы управления. 1995. N3. С.З 7.

29. Первозванский A.A., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994.

30. Поляк Б. Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Техн. кибернетика. Т. 32. М.: ВИНИТИ 1991.

31. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973.

32. Пылаев П.К., Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью // А. и Т. 1989. N6. С. 63-73.

33. Скибицкий Н. В., Тянъ Юйпин Управление линейным динамическим объектом в условиях интервальной неопределенности на параметры задачи // Завод, лаб. 1993 59. N 3. С. 71-75.

34. Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы с интервальными коэффициентами. // Тез.докл. 1-й Дальневосточной конф. студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1997. С. 58

35. Стегосгпенко Ю.Б. Стабилизация наблюдаемой дискретной системы с интервальными коэффициентами. // Тез.докл. 2-й Дальневосточной конф. студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998. С. 58

36. Стегостенко Ю.Б. Стабилизация наблюдаемой дискретной системы с интервальными коэффициентами. // Тез.докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золо-това. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1998. С. 81.

37. Стегосгпенко Ю.Б. Вычисление функции риска в задаче фор-миирования оптимального портфеля ценных бумаг. // Тез.докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 1999. С. 77.

38. Уланов Б. В. Управление динамическими системами при неполной информации об их параметрах, состоянии и размерности // ДАН СССР. 1989. Т. 308. N 4. С. 803 806.

39. Фихтенголъц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3 ~ М.: Наука, 1966.

40. Хлебалин Н.А. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин т., 1988. С. 107-123.

41. Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия симейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. N11. С.3-10.

42. Ходъко С. Т. Проектирование систем управления с нестабильными параметрами. Д.: Машиностроение, 1987.

43. Черноусъко Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределенной матрицей // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60.вып. 6. С.940-950.

44. Шарый С. П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью / Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Красноярск: ВЦ СО РАН, 1995. С. 331-354.

45. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. JL: Энергия, 1975.

46. Argoun М.В. On the sufficient condition for the stability of interval matrices // Int. J. Contr. 1986. V.44. N 5. P.110-121.

47. Aschepkov L.T., Dolgy D.V. The universal solutions of interval systems of linear algebraical equations // International Jornal of

48. Software Engineering and Knowledge Engineering. 1993. V.3. N 4. P. 477-485.

49. Aubin Jean-Pierre A survey of viability theory // SIAM. J. Contr. and Optim. 1990 -28. N 4. P.212-223.

50. Bartlett A.C., Hollot C. V., Lm H. Root location of an entire polytope polynomials: it suffices to check the edges// Proc. Amer. Contr. Conf. Minneapolis: MN, 1987. P.427-431.

51. Bartlett A.C., Hollot C.V. A necessary and sufficient condition for Shur invariance and generalized stability of polytopes and polynomials // IEEE Trans.on Autom. Control. 1988. V.AC-33. N6. P.323-326.

52. Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of convex combination of stable polynomials and matrices // Bull. Polish Acad. Sci. Techn. Sci. 1985. V. 33. N 9. P.123-126.

53. Bose N.K., Juri E.I., Zeheb E. On robust Hurwitz and Schur polynomials// Proc. IEEE 25th Conf. on Decision and Control. Athens. 1986.

54. Bose N.K., Juri E.L, Zeheb E. On robust Hurwitz and Schur polynomials// IEEE Trans.on Autom. Control. 1988. V.AC-33. N12. P.963-969.

55. Branda Jaroslav Problem vyberu cennych papiru jako model antagonisticheho konflictu // Econ.-mat.obz.- 1990-26. N 4. P. 366378.

56. Browne Sid, Whitt Ward Portfolio choice and the Bayesian Kelly criterion.// Adv. Appl. Probab. 1996. N 4. P. 1145 - 1176.

57. Cieslik J. On possiblities of the extension of Kharitonov's stability test for interval polynomials in the discrete-time case // IEEE Trans.on Autom. Control. 1987. V.AC-32. N 3. P.637-649.

58. Cvitanic Jaksa, Karatzas Ioannis Convex duality in constrained portfolio optimization. // Ann. Appl. Probab. 1992. N 4. P. 767-818.

59. Duffie Darrel Martingales, arbitrage and portfolio choice // 1st. Eur. Congr. Math., Paris, July 6-10. 1992. Vol.2.Pt.2.-Basel etc. 1994. P.4-21.

60. Evans R.J., Xianya X. Robust regulator design // Int. J. Contr. 1985. V.41. N 2. P.237-246.

61. Ehrabar Hans G. A revised geometry of mean-variance efficient portfolios // Metroeconomica. 1993. N 3. P. 215-238.

62. Faxun Liang. Simple criteria for stability interval polynomials // Int. J. Control. 1989. V. 50. N 1. P.374-389.

63. Galimidi A.R., Barmish B.R. The constrained Lyapunov problem and its application to robust output feedback stabilization // IEEE Trans.on Autom. Control. 1986. V.AC-31. N 5. P.841-850.

64. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales, stohastic integrals and continous trading. // Stoch. Processes Appl. 1981. V.3. N 7. P.215-260.

65. Heinen J.A. Sufficient condition for stability of interval matrice // Int. J. Contr. 1984. V.39. N 6. P.759-771.

66. Hollot C.V., Bartlett A.C. Some discrete-time counterparts to Kharitonov's stability criterion for uncertain systems // IEEE Trans, on Autom. Control. 1986. V.AC-31. N 4. P.495-510.

67. Jiang Chung Li Another sufficient condition for the stability of interval matrices // Int. J. Contr. 1988. V.47. N 1. P.159-164.

68. Jiang Chung-Li. Sufficient and necessary condition for the asymptotic stability of discrete linear interval systems // Int. J. Contr. 1988. V.47. N 5. P.519-524.

69. Juang Y.-T., Kuo T.-S., Hsu C.-F., Wang S.-D. Root locus approach to the stability analysis of interval matrices // Int. J. Contr. 1987. V.46. N 3. P.723-731.

70. Karl W.C., Verghese G.C. Comments on Sufficient and necessary condition for the asymptotic stability of discrete linear interval systems // Int. J. Contr. 1988. V.48. N 4. P.913-919.

71. Kolla S.R., Farison J.B. Counter examples to Sufficient and necessary condition for the asymptotic stability of discrete linear interval systems // Int. J. Contr. 1988. V.48. N 4. P.1031-1034.

72. Korn Ralf, Trautmann Siegfried Continouous-time portfolio optimization under terminal wealth constraints. // Z. Oper Res. 1995. N 1. P. 69-92.

73. Kraus F.J., Anderson B.D.O., Juri E.I., Mansour M. On the robustness of low-order Schur polynomials // IEEE Trans.on Autom. Control. 1988. V. 35. N 5. P.315-319.

74. Kwon W.H. Advances in prediclive control: theory and application. Seoul: Seoul National University, 1995. 43 p.

75. Liao X.-X., Qian J.-L. Some new resalts for stability of interval matrices // Contr. Theory and Adv. Techn. 1988. V.4. N 2. P.221-231.

76. Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments. N.Y.: John Wiley and Sons, 1959.

77. Merton R.C. Theory of rational opting pricing. // Bell Journal of Economics and Manegment Science.1973. 4 (Spring).P.141-183.

78. Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator // Int. J. Contr. 1988. V.47. N 1. P.548-553.

79. Mori T., Kokame H. Comments on "On the stability of discrete time linear interval systems" // Automatica. 1995-31. N 6. P. 921-922.

80. Naimark Leonid, Zeheb Ezra A new test for stability of interval matrices // Proc. 33rd IEEE Conf. Decis. and Contr. Lake Buena Vista, Fla. Dec. 14-16. 1994. Vol.3, Piscataway (NJ). 1994. P. 30153016.

81. Ostermark R. A super criterion for testing portfolio efficiency: Empirical evidence on Finnish stock data. // Eur. J. Oper. Res. 1990. N 3. P. 304-312.

82. Pikovsky Igor, Karatzas Ioannis Anticipative portfolio optimization 11 Adv. Appl. Probab. 1996.-28. N 4. P. 1095-1122.

83. Pilzweger Konrad Zur Schätzung der Ausscheidewahrscheinlichkeiten eines Kollektivs einander a hnlicher Bestände // Bl. Dtsch. Ges. Versicherungsmath. 1993. N 2. P. 241-260.

84. Pliska Stanley R., Selky Michael J.P. On a free boundary problem that arises in portfolio mamagment . // Phill. Trans. Roy. Soc. London. A. 1994. N 1684. P. 555-561.

85. Roy Santanu Theory of dynamic portfolio choice for survival under uncertuinty // Math. Soc. Sei. 1995.-30. N 2. P. 171-194.

86. Sengupta Jati.K. Measuring portfolio efficiency: a critique. // Int. J. Sys. Sci. 1990. N 3. P. 511-525.

87. Soh Y.C., Evans R.J. Stability analysis of interval matrices -continuous and discrete systems // Int. J. Contr. 1988. V.47. N 1. P.481-489.

88. Sonner H.M., Shreve S.E., Cvitanic J. There is no nontrivial hedging portfolio for option priceing with transaction costs.// Ann. Appl. Probab. 1995. N 2. P. 327-355.

89. Speranza M. Grazia A heuristic algoritm for a portfolio optimization model applaied to the Milan stock market.// Comput. and Oper. Res. 1996. N 5. P. 433-441.

90. Xu Daoyi Stability criteria for interval matrices // Comput. and Comb. Methods in system Theory. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V., 1986.

91. Yedavally R.K. Stability analysis of interval matrices: another her sufficient condition // Int. J. Contr. 1986. V.43. N 3. P.622-628.

92. Wang S. D., Kuo T. - S., Lin Yu. - H., Hsu S. - F., Juang Ja. - T. Robust control for linear systems with uncertain parameters // Int. J. Contr. 1987. V.46. N 5. P.742-748.