Исследование волноведущих систем методами математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Боголюбов Николай Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЕДУЩИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.03- математическая физика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 НОЯ 2015

Москва - 2015

005564536

Научный руководитель: Свешников Алексей Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики физического факультета московского государственного университета

Официальные оппоненты: Кравченко Виктор Филиппович

Доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института радиотехники и электроники РАН им. В .А. Котельникова (ИРЭ РАН)

Апельцин Виктор Филиппович

Кандидат физико-математических наук доцент Московского государственного технического университета (МГТУ) им. Н.Э.Баумана

Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН

имени М.В.Келдыша

Защита состоится "17" декабря 2015 г. в 16.30 час. на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр.2, Физический факультет МГУ, ауд. ЮФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук

профессор ^ Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время большие перспективы в высокочастотной электродинамике, волновой и интегральной оптике связывают с устройствами, построенными с использованием мезоскопических систем. Мезоскопические системы -это искусственно созданные структурированные материалы с характерными размерами структурных элементов от единиц до сотен нанометров. Наряду с электродинамическими системами и устройствами со сложной нерегулярной геометрией и с неоднородным анизотропным заполнением, все большее применение находят системы и устройства с заполнением на основе метаматериалов: с би-изотропным и, в частности, киральным заполнением, с би- анизотропным заполнением и т.д. В связи с этим весьма остро встает вопрос о построении и исследовании математических моделей, описывающих физические процессы, происходящие в подобных системах. Большинство из таких моделей представляет собой краевые и начально-краевые задачи математической физики. Большое значение имеет модернизация известных и создание и реализация в виде алгоритмов новых экономичных методов расчета подобных систем и устройств, позволяющих численно исследовать их наиболее полные математические модели. Насущной необходимостью является исследование этих алгоритмов методами математической физики.

Развитие данного направления исследования составляет главную цель диссертационной работы.

Конкретными задачами, на решение которой направлена диссертационная работа, является создание и исследование математических постановок спектральных краевых задач для волноведущих систем на основе метаматериалов. Строгое математическое исследование построенных спектральных задач на основе изучения возникающих операторов в специальных функциональных пространствах. Разработка эффективных методов и модернизация известных методов исследования построенных математических

моделей и создание на основе разработанных методов алгоритмов для исследования широкого класса волноведущих систем.

Для описания волноведущих систем используются математические модели, представляющие собой краевые и начально-краевые задачи для систем уравнений в частных производных в ограниченных и неограниченных областях с нерегулярной геометрией и сложным неоднородным и анизотропным заполнением. Операторы, возникающие в таких задачах, являются, как правило, несамосопряженными и незнакоопределенными.

Наряду с решением прямых задач, большое значение имеет разработка методов решения обратных задач синтеза волноведущих систем. При постановке задач синтеза существенно используется алгоритм решения прямой задачи расчета синтезируемой системы, основанный на разработанном в диссертационной работе варианте постановки спектральной задачи.

Цель работы. Целью диссертационной работы является создание и исследование математических моделей волноведущих систем на основе метаматериалов, в частности, с использованием киральных и би-изотропных сред, что включает в себя:

1) Постановку спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.

2) Строгое математическое обоснование этих задач на основе изучения возникающих операторов в специальных функциональных пространствах.

3) Исследование спектральных свойств волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.

4) Разработку и реализацию эффективных численных методов, и модернизацию известных методов исследования спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.

Научная новизна работы. Разработан и исследован вариант математической постановки спектральной краевой задачи анализа распространения электромагнитных

волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением, позволяющий существенно снизить при использовании лагранжевых конечных элементов появление не имеющих физического смысла фиктивных решений («духов»). На основе предложенной постановки спектральной задачи построен метод решения прямой спектральной задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением на основе лагранжевых конечных элементов. Разработанный с применением предложенного метода алгоритм использован для расчета постоянных распространения волн и полей собственных мод в волноводах с прямоугольной геометрией поперечного сечения и с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением. Результаты исследования продемонстрировали высокую эффективность разработанной методики, позволяющей исследовать широкий круг волноведущих систем, построенных с использованием метаматериалов.

На основе разработанного метода решения прямой спектральной задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с метазаполнением создан алгоритм решения обратной спектральной задачи синтеза таких систем и с его использованием решена практически важная задача расширения частотной полосы одномодового режима волновода с киральной оболочкой.

Практическая ценность работы. Предложенная в диссертационной работе математическая постановка спектральной краевой задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением позволяет исследовать спектральные свойства широкого класса волноведущих систем, созданных с использованием метаматериалов. На основе данной постановки спектральной краевой задачи разработаны эффективные методы решения прямых спектральных задач анализа, а также задач синтеза таких систем, которые могут быть использованы для практического решения прямых спектральных задач анализа и обратных спектральных задач синтеза широкого круга волноведущих систем.

Личный вклад соискателя состоит в следующем:

1) Разработан и исследован вариант полной векторной математической постановка спектральной краевой задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с би-изотропным заполнением, позволяющий при численной реализации с применением метода конечных элементов значительно снизить число фиктивных решений («духов») при использовании лагранжевых конечных элементов.

2) На основе предложенной постановки спектральной задачи реализован эффективный метод решения прямой спектральной задачи расчета основных спектральных характеристик и полей мод регулярных прямоугольных волноводов с заполнением на основе метаматериалов в полной векторной постановке с использованием лагранжевых конечных элементов, существенно снижающий число фиктивных нефизических решений.

3) На основе предложенного метода решения прямой спектральной задачи анализа распространения электромагнитных волн в волноведущих системах с заполнением на основе метаматериалов создан и реализован алгоритм решения обратной спектральной задачи синтеза таких систем.

Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается корректностью использованных аналитических и численных методов, применением апостериорных оценок точности, сравнением с результатами модельных расчетов, полученными другими методами. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в реферируемых научных журналах и изданиях, неоднократно обсуждались на научных конференциях и семинарах.

Защищаемые положения. На защиту выносится:

1) Исследование полной векторной постановки спектральной краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями би-изотропной среды, описывающая процесс распространения электромагнитных волн в волноводе с заполнением, выполненным на основе метаматериалов.

2) Результаты исследования спектральных свойств волноведущих систем на основе метаматериалов с использованием предложенной постановки спектральной задачи.

3) Метод решения задачи определения постоянных распространения электромагнитных волн и расчета полей мод в волноводе с би-изотропным заполнением, основанный на предложенной постановке, с использованием лагранжевых конечных элементов.

4) Метод решения обратной задачи синтеза волноведущих систем на основе метаматериалов, обладающих заданными свойствами.

5) Программная реализация разработанных методов решения спектральных задач анализа и синтеза волноведущих систем с неоднородным, в частности, киральным и би-изотропным заполнением.

Апробация работы. Материалы конференции докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1) Н.А.Боголюбов. Моделирование методом конечных элементов металлических волноводов с диэлектрическим заполнением // Материалы X международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2011». Секция «Физика». Подсекция «Математика и информатика».

2) А. N. Bogolyubov, Yu. V. Mukhartova, J. Gao, N. A. Bogolyubov. Mathematical Modeling of Plane Chiral Waveguide using Mixed Finite Elements // PIERS. Progress in Electromagnetic Research Symposium PIERS 2012 Moscow. August 19-23. Section 3P5b "The Modern Hybrid Methods in the Problems of Computational Electromagnetics". Moscow 2012.

3) Н.А.Боголюбов, А.А.Кобликов. Применение метода конечных элементов для моделирования металло-диэлектрических волноводов // Современная молодежная конференция - семинар «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Дубна 22-27 августа 2012 года.

4) Н.А.Боголюбов. Моделирование неоднородных волноводов со сложным заполнением на основе метаматериалов // V Всероссийская студенческая научная школа-семинар по физике, нано-, био- и информационным технологиям. Санкт-Петербург, 15 мая 2012 г.

5) Н.А.Боголюбов, А.А.Кобликов. Расчет волноведущих систем методом

конечных элементов с использованием процедуры Банча-Кауфман // 5-я Международная конференция "Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации" (ARMIMP-2012), 18-19 сентября 2012 г., Суздаль, Россия.

6) Боголюбов H.A. «Математическое моделирование неоднородных волноводов методом конечных элементов» // Материалы XI международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2012». Секция «Физика». Подсекция «Математика и информатика».

7) A.N. Bogoliubov, Yu.V. Mukhartova, N.A. Bogoliubov, E.V. Tkach. Mathematical modeling of bi-isotropic waveguides using the finite elements method // The eighth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves (MSMW'13) and workshop on terahertz technology (TERATECH'13). Kharkov, Ukraine, June 23-28, 2013.

8) А.Н.Боголюбов, Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Математическое моделирование волновода с биизотропным заполнением методом конечных элементов // 6-я Международная конференция "Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации" (ARMIMP-2013), 16-18 сентября 2013 г., Суздаль, Р.оссия.

9) Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метаматериалов // Международный научный семинар «Актуальные проблемы математической физики». 28-29 ноября 2014 года. Москва, Россия.

10). Боголюбов H.A., Буткарев И.А., Мухартова Ю.В. Синтез слоистых волноведущих систем на основе метаматериалов // 8-я Международная конференция "Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации" (ARMIMP-2015), 2123 сентября 2015 г., Суздаль, Россия.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Содержание и результаты работы соответствует паспорту специальности 01.01.03 - математическая физика. А именно соответствует области исследований №4 «Математические проблемы оптики и электродинамики». Соответствует основному направлению специальности: исследование математическими методами математических проблем, возникающих в

электродинамике. Соответствует главной научной цели специальности: исследование математическими методами математических проблем, возникающих в электродинамике, приложение полученных результатов в математике, электродинамике, разработка соответствующего математического аппарата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 132 страницы, включая 28 рисунков и 3 таблиц. Библиография включает 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткая характеристика диссертационной работы, показана

актуальность темы, сформулированы основные задачи исследования.

В первой главе рассмотрены характерные черты метаматериалов и устройств на их

основе, а также приводится обзор основных методов, применяемых для исследования

волноведущих систем, в частности систем с использованием метаматериалов.

Для произвольной линейной среды связывающие векторы электрического и

магнитного полей материальные уравнения имеют следующий вид:

D = амЕ + а]2Н, В = а2]Е + л22Н.

Материальные параметры ап, ап, аг1 и а2г зависят от выбора конкретной модели среды.

Линейные среды общего вида называются би-анизотропными. Если материальные параметры являются скалярами или псевдоскалярами, то соответствующие среды носят название би-изотропных.

Основным численным методом моделирования волноведущих систем на основе метаматериалов является метод конечных разностей (МКР) в прямой постановке и метод конечных разностей в вариационной постановке - метод конечных элементов (МКЭ).

Наряду с постановкой и исследованием прямых задач расчета волноведущих систем большое значение имеет постановка и исследования задач синтеза (математического

проектирования) таких систем, представляющих специальный класс обратных задач математической физики.

Вторая глава диссертации посвящена разработке новой постановки дифференциальной спектральной задачи для волноводов с би-изотропным заполнением и исследованию данной постановки.

Одной из сложных проблем, возникающих при использовании МКЭ для расчета волноведущих систем, является появление не имеющих физического смысла решений -«духов». Борьба с нефизическими решениями сильно снижает эффективность построенных алгоритмов. В связи с этим большое значение имеет разработка таких математических постановок задач теории волноведущих систем, при которых не имеющие физического смысла решения не возникают или их число существенно снижается. В данной главе приводится новый вариант полной векторной постановки дифференциальной спектральной задачи на собственные значения, применение которой позволяет при использовании лагранжевых конечных элементов существенно снизить появление нефизических решений.

Рассматривается регулярный волновод с кусочно-постоянным би-изотропным заполнением и идеально проводящей стенкой.

Классическая постановка спектральной задачи формулируется следующим образом: найти постоянные распространения у и соответствующие им вектор-функции Е(;с, у) :

в каждой из подобластей 5 поперечного сечения волновода 5, где заполнение постоянно, удовлетворяющие уравнениям:

Ъ(х,у)='Е.р (х,у), если

го^го1:± Е" + ¡уУ±Е? + ¡у ег сНу± Е" + у2Ер± = ¡к(с

'.'а.

Е'

Шу±Е "+1уЩ =0,

условиям сопряжения [п", п'.Е']^ на общих частях ¿55^ границ

подобластей и и граничному условию [п,Е]|^=0 на внешней границе 55 области 5. В уравнениях (1) использованы обозначения: Е' {х,у)= {Е( (х,у), Е> (х,у), Е1 (х,у)}.

Обобщенная постановка рассматриваемой спектральной задачи формулируется следующим образом:

найти постоянные распространения у и соответствующие им вектор-функции к{х,у),

компоненты которых принадлежат пространству Соболева /У^ (.?), их сужения на границу 35 удовлетворяют условию:

а в области Б для любой вектор-функции Ё(х,у), компоненты которой принадлежат пространствуй^1^), а ее сужение на границу области Б удовлетворяет условию (2), удовлетворяют уравнению:

Г —(го11Е,го1хЁ)Л + «>{ —{( +

+ Ё)- —(го^ Е,Ё) + Г""'"" ([е ,Е],Ё)&-

* К, ] , аа

-к' (Е,Ё)Ф = 0

"и

При применении данной постановки для численного определения постоянных распространения методом конечных элементов с использованием лагранжевых элементов возникает большое число фиктивных решений. Число фиктивных решений может быть значительно снижено, если при постановке обобщенной задачи учесть уравнение для дивергенции Е. На примере задачи для волновода прямоугольного сечения с диэлектрическим заполнением показано, что уже однократное введение дивергентного уравнения в обобщенную постановку задачи снижает появление фиктивных нефизических решений. Причем задача распадается на три задачи,

собственные функции которых представляют собой компоненты электрического поля нормальных волн ТЕ и ТМ типа. Однако для того, чтобы эти компоненты вместе формировали нормальную волну, они должны быть связаны дополнительно условием дивергентного типа, Вторичное введение этого условия в обобщенную постановку задачи позволяет уже кардинально снизить число фиктивных решений.

Для исследования полученной постановки обобщенной задачи вводится гильбертово пространство 7/(5'), состоящее из вектор-функций компоненты которых

принадлежат соболевскому пространству (5), а их сужения на границу ёЕ области 5

удовлетворяют условию (2). Скалярное произведение в пространстве

определяется следующим образом: = ¿{(^б* ))*&> гДе

звездочка означает комплексное сопряжение. Рассматриваются следующие полуторалинейные формы, для которых доказывается ограниченность в пространстве

6, (Е, Ё) = ¡|-Ц( У±£3, Ёх ) - (Е, ) - 2 с^ Е • Ё; + 2Е} - Ё" ,

В пространстве //(.?) вводится эквивалентное скалярное произведение =(Р,С)А + </(Р,С) и эквивалентная норма |1И|Н(5) = ■

При каждой фиксированной вектор-функции Ее//(5) полуторалинейные формы

задают линейные ограниченные функционалы в пространстве Н(5), которые могут быть единственным образом представлены в виде скалярных произведений а(Е,Ё) = рЕ,Ё]вд, б1(Е;Ё) = [В1Е,Ё]я(5), ¿2(Е,Ё) = [4Е,Ё]нм,

^(Е,Ё)=[С1Е,Ё]я(5), С2(Е,Ё)=[С2Е,Ё]нИ, (3)

где А, В — Д +В2, С = С, + С2, - линейные ограниченные операторы, причем

оператор А самосопряженный и положительно определенный. Доказывается, что

операторы А, В и С вполне непрерывны.

Обобщенная постановка рассматриваемой спектральной задачи в волноводе формулируется в операторной форме следующим образом:

найти характеристические числа у и соответствующие им собственные функции Е е Н{5) операторного пучка

Ь{у) = 1+С+уВ+у1А\ Ду]Е = 0, (4)

где вполне непрерывные операторы А, В и С определены равенствами (3), причем

оператор А является самосопряженным и положительно определенным.

Доказаны теоремы о свойствах и структуре спектра рассматриваемой задачи. Теорема 1. Спектр задачи (4) состоит только из собственных чисел уп, причем действительных среди них может быть лишь конечное число.

Теорема 2. Если параметры ап> а22 заполнения волновода вещественны, и выполнено равенство а'2 = а21, то операторный пучок Ь{у) может иметь вещественные собственные числа.

Таким образом, во второй главе разработан и исследован новый вариант обобщенной постановки спектральной задачи в волноводе с идеально проводящими стенками и кусочно-постоянным би-изотропным заполнением, при которой появление нефизических (фиктивных) мод существенно снижается. Поэтому при применении МКЭ при численном исследовании краевой задачи в качестве базисных функций могут быть использованы лагранжевые, а не смешанные, конечные элементы, которые также применяются для борьбы с фиктивными решениями. По сравнению со смешанными конечными элементами лагранжевые элементы имеют существенные преимущества: простоту программной реализации и возможность увеличения точности вычислений путем использования элементов более высокого порядка и/или уменьшения диаметра носителя конечного элемента

В третьей главе диссертации описывается метод факторизации матриц, возникающих при использовании МКЭ для расчета волноведущих систем, в основе которого лежит процедура, предложенная Банчем и Кауфман для факторизации незнакоопределенных матриц.

При применении метода лагранжевых конечных элементов к поставленной во второй главе спектральной задаче на собственные значения с помощью процедуры дискретизации дифференциальная спектральная задача сводится к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений. В процессе вычисления собственных значений матриц методом обратных итераций необходимо производить факторизацию матриц. Однако получаемая в результате дискретизации система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет ряд особенностей (незнакоопределенность, разреженность), которые, затрудняют применение для обработки таких матриц стандартных методов.

Разработанный метод факторизации оказывается весьма эффективным для обработки матриц, возникающих при численном решении задач расчета волноведущих систем методом конечных элементов.

В четвертой главе на основе результатов, полученных во второй и третьей главах, построен и реализован алгоритм вычисления постоянных распространения и полей мод для спектральной краевой задачи, описывающей распространение собственных электромагнитных волн в прямоугольном волноводе с идеально- проводящими стенками и кусочно-постоянным би-изотропным заполнением. В основе алгоритма лежит разработанный во второй главе новый вариант обобщенной постановки рассматриваемой спектральной задачи.

Для проверки правильности работы алгоритма нахождения . постоянных распространения и полей мод, он был протестирована на примере волновода с кусочно-постоянным диэлектрическим заполнением. Из результатов тестирования следует, что при использовании лагранжевых конечных элементов в рамках разработанного во второй главе алгоритма фиктивные решения не возникают.

У

К

I]:2

1,1

1У- К

Рис. 1. Структура поперечного сечения волновода Построенный алгоритм был применен для решения спектральной задачи для волновода с прямоугольным поперечным сечением £ = |х е [0,1х ], у е [о, 1у ]},

таким, что границы подобластей 83 рч параллельны осям Ох и Оу (рис. 1), и

кусочно-постоянным би-изотропным (в частности, киральным) заполнением.

Ряд расчетов дисперсионных кривых был проведен для кирально-диэлектрических волноводов (рис. 1). При этом рассматривались случаи оболочки, состоящей из

обычного диэлектрика, а сердцевины из кирального вещества, и наоборот, когда оболочка состояла из кирального вещества, а сердцевина - из обычного диэлектрика, случай «чисто кирального» волновода, у которого и оболочка и сердцевина были из кирального вещества, волновода, с би-изотропной оболочкой и диэлектрической сердцевиной.

Для оценки порядка точности и получения апостериорной оценки точности для постоянных распространения использовался метод Эйткена. Были проведены расчеты на трех сгущающихся сетках:

/г' = А], = й, = 0.1; ^=^=^=0.05; ^=^=^=0.025.

у — у

Порядок точности р определялся из уравнения др = —--, а погрешность для

Гг-К

величины /3, вычисленной на самой подробной сетке, определялся по формуле: я= (Гг~п)2

Для пустого волновода со значениями геометрических параметров 1Х =1,5 и / =1 и следующими значениями физических параметров: ^=0^2=1', о12=о21=0 при

значении волнового числа к= 3 порядок точности получается равным р=1.97, а погрешность вычисления постоянной распространения у основной моды при й=0.025

равна ^3=2.8181 -КГ4.

На рисунке 2 показана зависимость погрешности вычисления постоянной

распространения пустого волновода у3 на самой подробно сетке при й=0.025 от волнового числа к.

Для волновода с кирально-диэлектрическим заполнением геометрические и физические параметры имели следующий вид: 1Х-1; 1у2 = 0.75; /,,=1,5; £=3; ¿¡¡,=1.5;

а!2 =1.5/; а', =-1.5г; а^ =1; а,2, = 1;а,22 = а2 =0;а222 = 1. Значение погрешности Я3(3) для

первой моды было равно /?3 (3) =0.048, а порядок точности р при к меняющемся в

диапазоне 2.5 <к<6 менялся в диапазоне 1.76 <р <1.88.

Рис. 2. Зависимость Л3(£) для постоянной распространения первой моды пустого волновода от волнового числа к при Ь=0.025 .

Пятая глава посвящена решению обратной задачи синтеза волновода с использованием метаматериалов. Разработан эффективный и универсальный алгоритм для решения спектральных задач синтеза волноведущих систем с заполнением на основе би-изотропных сред. Алгоритм имеет модульную структуру и состоит из модуля решения обратной задачи, модуля решения прямой задачи и вспомогательного модуля. Модульная структура программы позволяют строить универсальные алгоритмы для

решения очень широкого круга задач синтеза. Например, переход от спектральной задаче синтеза к задаче синтеза нерегулярной волноведущей системы ( согласующего перехода между двумя волноводами) сводится к замене блока решения прямой задачи и минимизируемого функционала.. В этой универсальности заключается очень сильная сторона предложенной методики решения задач синтеза.

В качестве модуля решения прямой задачи используется разработанный во второй и третьей главах и апробированный в четвертой главе алгоритм решения прямой задачи расчета волновода с би-изотропным заполнением. Для решения задачи синтеза применяется наиболее полный и универсальный подход, при котором в процессе решения задачи синтеза используются вариационные постановки задач, строятся оценивающие функционалы и ищется их экстремум.

Рис. 3. Дисперсионные кривые синтезированного волокна типа «сэндвич»

Особенностью рассматриваемой задачи синтеза, является то, что она представляет

собой задачу с нелинейным и несамосопряженным оператором, для которой достаточно

18

подробно исследован случай квадратичной целевой функции. Большинство эффективных методов, используемых для минимизации функционала в рассматриваемом случае неприменимо. В разработанном алгоритме для минимизации функционала используется метод Нелдера-Мида (метод поиска по деформируемому многограннику), а для минимизации функционалов в ограниченных областях в диссертации применяется основанный на методе Нелдера — Мида метод скользящего допуска.

С помощью данного алгоритма решена задача синтеза волновода с оболочкой (рис. 4 3), обладающего максимальной полосой одномодового режима. В результате проведенных численных экспериментов выяснено, что в случае киральной сердцевины и диэлектрической оболочки параметры сердцевины мало влияют на положение частот отсечки. В то же время для случая волновода с диэлектрической сердцевиной и киральной оболочкой влияние параметров оболочки оказывается весьма существенным. Наибольшей эффективностью в данном отношении обладает трехслойная конструкция типа «сэндвич»: кирал-диэлектрик-кирал, которая позволяет значительно (в среднем на 30% - 40%) увеличить частотный диапазон одномодового режима.

В заключении кратко формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе, и намечаются направления их целесообразного развития.

Публикации автора по теме диссертации

1. Н.А.Боголюбов, Ю.В.Мухартова. Спектральная задача в волноводе с однородным би-изотропным заполнением // Журнал вычислительной математики и математической физики,- 2014. Т.- 54,- №6,- С. 969-976.

Yu. V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Spectral Problem in a waveguide with Homogeneous Bi-isotropic Filling . // Computational Mathematics and Mathematical Physics.- 2014,- V. 54,-num. 6. - P. 977-983. Pergamon Press Ltd.

2. Ю.В.Мухартова, Н.А.Боголюбов. Расчет волноводов методом конечных элементов с использованием процедуры Банча-Кауфман // Вестник Московского университета. Серия

3. Физика. Астрономия,- 2013.- № 3.- С. 3-7.

Yu. V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Calculation of Waveguides by the Finite Element Method Using the Banch-Kaufman Procedure // Moscow University Physics Bulletin.- 2014.-V. 69,- num. 3,- P. 205-209.

3. Ю.В.Мухартова, Н.А.Боголюбов. Расчет спектральных характеристик волновода с однородным би-изотропным заполнением методом конечных элементов // Математическое моделирование.- 2014,- Т. 26.- № 12,- С. 97-106.

Yu. V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Calculating the Spectral Characteristics of a Waveguide with Homogeneous Bi-Isotropic Filling by the Finite Element Method // Mathematical Models and Computer Simulations.- 2015. -Vol. 7.- No 4,- P. 323-330.

4. Н.А.Боголюбов, И.А.Буткарев, Ю.В.Мухартова. Синтез слоистого кирально-диэлектрического волновода // Журнал радиоэлектроники: электронный журнал,- 2015.-№3. — Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/marl5/17/text.pdf.

5. А.Н.Боголюбов, Н.А.Боголюбов, А.Г.Свешников. Математическое моделирование волноведущих систем методом конечных разностей и конечных элементов // Физические основы приборостроения. -2013,- Т.2,- №1.- С. 10-17.

6. А. N. Bogolyubov, Yu. V. Mukhartova, J. Gao, N. A. Bogolyubov. Mathematical Modeling of Plane Chiral Waveguide using Mixed Finite Elements //PIERS. Progress in Electromagnetic Research Symposium PIERS 2012 Moscow. August 19-23. Section 3P5b "The Modern Hybrid Methods in the Problems of Computational Electromagnetics". Abstracts. - Moscow, 2012. - P. 1224-1227.

7. A.N. Bogolyubov, Yu.V. Mukhartova, N.A. Bogolyubov, E.V. Tkach. Mathematical modeling of bi-isotropic waveguides using the finite elements method // Proceedings of the eighth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves (MSMW'13) and workshop on terahertz technology (TERATECH'13). Kharkov, Ukraine, June 23-28, 2013. Kharkov, 2013,- P 608-610.

8. Боголюбов H.A., Кобликов A.A. Расчет волноведущих систем методом конечных элементов с использованием процедуры Банча-Кауфман // 5-я Международная конференция "Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки

информации" (ARMIMP-2012). Труды Российского НТОРЭС им. А.С.Попова. - Суздаль, 2012.-С. 13-16.

9. Боголюбов А.Н., Боголюбов H.A., Мухартова Ю.В. Математическое моделирование волновода с биизотропным заполнением методом конечных элементов // 6-я Международная конференция «Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации» (ARMIMP-2013). Труды Российского НТОРЭС им. А.С.Попова. - Суздаль, 2013. -С. 75-78.

10. Н.А.Боголюбов, А.А.Кобликов. Применение метода конечных элементов для моделирования металло-диэлектрических волноводов // Тезисы докладов современной молодежной конференции — семинара «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Дубна, 2012.- С. 59-61.

11. Yu.V. Mukhartova, N.A. Bogolyubov A.N., Bogolyubov.. The Spectral Problem in the Waveguide with Bi-isotropic Filling //Abstracts of the Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, 2014,- P. 85-86.

12. Ю.В.Мухартова, Н.А.Боголюбов. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метаматериалов // Международный научный семинар «Актуальные проблемы математической физики». Москва. МГУ им. М.В.Ломоносова. Физический факультет 28-29 ноября 2014 г. Сборник тезисов докладов. М.: Издательство Московского университета, 2014.-С. 72-76.

13. Боголюбов H.A., Буткарев И.А., Мухартова Ю.В. Синтез слоистых волноведущих систем на основе метаматериалов // 8-я Международная конференция "Акустооптические и радиолокационные методы измерений и обработки информации" (ARMIMP-2015). Труды Российского НТОРЭС им. А.С.Попова.- Суздаль, 2015.-С. 72-74.

Подписано к печати 46.10. 2015 г.

Тираж 100 экз. Заказ № 100 Отпечатано в отделе оперативной печати Физического факультета МГУ