Изучение и моделирование трансформаций процессов собственных колебаний многомерных динамических систем при импульсных воздействиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Нгуен Фу Туан АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Иркутск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2014 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.01 КОД ВАК РФ
Автореферат по физике на тему «Изучение и моделирование трансформаций процессов собственных колебаний многомерных динамических систем при импульсных воздействиях»
 
Автореферат диссертации на тему "Изучение и моделирование трансформаций процессов собственных колебаний многомерных динамических систем при импульсных воздействиях"

На правах рукописи

Нгуен Фу Туан

ИЗУЧЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМАЦИЙ ПРОЦЕССОВ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Специальность 01.04.01 - Приборы и методы экспериментальной физики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 I Ш /014

005556617

Иркутск-2014

005556617

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов и строительной механики в ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет»

Научный руководитель: Соболев Владимир Иванович,

доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет»

Официальные оппоненты: Елисеев Сергей Викторович,

доктор технических наук, профессор, директор научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, ФБГУ ВПО ИрГУПС;

Ширапов Дашадондок Шагдарович,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электронно-вычислительные системы», заслуженный деятель науки и образования РАЕ, ФГБОУ ВПО ВСГУТУ

Ведущая организация: Специальное конструкторско-технологическое

бюро «Наука» Красноярского научного центра СО РАН

Защита состоится «30» декабря 2014 года в 16:00 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.073.09 при ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет», по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, корп. «К», конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет», с авторефератом — на официальном сайте университета www.istu.edu.

Автореферат разослан «¿6_» ноября 2014г.

Ученый секретарь /$//

диссертационного совета, //( А.Г. Ченский

к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Колебательные процессы - чрезвычайно распространенные явления, сопровождающие человека в различных областях его деятельности. В процессе производственной деятельности приходится сталкиваться с такими явлениями достаточно часто, и от возможностей количественных и качественных оценок параметров обуславливающих колебательные процессы часто зависит эффективность того или иного решения. Среди многочисленных задач, требующих изучения колебательных процессов, в различных упруго-деформируемых системах следует выделить следующие:

1. Задачи виброзащиты и гашения вибрации, связанные с уменьшением интенсивности вибраций или их устранением в заданных областях динамических систем.

2. Задачи формирования колебательных процессов с заданными параметрами (частотами и формами колебаний); такие задачи востребованы преимущественно в вибротехнологических процессах.

3. Задачи обеспечения прочности и устойчивости конструкций при динамических и ударных воздействиях (например, при сейсмических воздействиях).

4. Задачи обеспечения точности позиционирования (например, для мани-пуляционных систем).

Очевидно, что любое экспериментальное измерение параметров колебательных систем при заданных воздействиях остается лишь фактом, отражающим процесс в отдельной точке параметрического пространства. Поэтому при решении каждой из перечисленных задач невозможно ограничиться отдельными измерениями, а необходимо целенаправленно формировать нужные параметры колебательных процессов на основе определения закономерностей взаимозависимости параметров внешних воздействий, динамических систем и колебательных процессов при моделировании трансформаций колебательных процессов с различной степенью приближения.

Подавляющее большинство упруго-деформируемых объектов, подверженных различным динамическим воздействиям, представляет собой многомерные, достаточно сложные в физическом плане и в математическом описании системы, имеющие сложные границы конструктивных областей и разнородные граничные условия элементов конструкций. Изучение и аппроксимации колебательных процессов в многомерных системах в большинстве своем требуют использования компьютеров и программных разработок; задачи лишь очень малых размерностей позволяют получать в исследованиях результаты в аналитическом виде.

Суть изложенного представляется убедительным обоснованием необходимости использования различных, в том числе и компьютерно ориентированных, математических методов и моделей, позволяющих описать и изучить колебательные процессы в обширной окрестности параметрического пространства, допускающей возможную трансформацию колебаний при заданных воздействиях.

Одним из способов исследования таких процессов являются физико-математические методы, основанные на дискретизации динамических систем, то есть на представлении их в виде дискретных (конечномерных) моделей, позволяющих гибко аппроксимировать сложные границы областей и разнородные граничные условия. Дискретизация параметров динамических систем, в случае необходимости, успешно решается посредством дискретных аппроксимаций, допускающих наперед заданную точность решения.

Анализ работ в области исследований колебательных процессов показал, что наименее исследованными являются процессы собственных колебаний и переходные процессы, обусловленные собственными колебаниями динамических систем. Решение большого количества задач, связанных с такими процессами, можно выполнить при помощи различных воздействий на динамические системы. К одному из таких способов воздействия относятся импульсные воздействия, позволяющие целенаправленно реализовать в конечномерных динамических системах различные виды преобразования колебательных процессов в соответствии с поставленными задачами.

Целью диссертационной работы являются изучение и моделирование трансформаций процессов собственных колебаний в многомерных упругих динамических системах при однократных и многократных импульсных воздействиях.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи:

1. Проведение аналитического обзора литературы по теме исследования, обоснование выбора вариантов математического моделирования динамических систем и колебательных процессов для наиболее распространенных упругих многомерных динамических систем с разнородными граничными условиями.

2. Нахождение условия формирования минимальных и максимальных величин параметров интенсивности процессов собственных колебаний, а также возможность и достижимость устранения трансформированных собственных колебаний упруго-деформируемых динамических систем с одной степенью свободы при импульсных воздействиях.

3. Изучение возможности устранения колебаний по заданному направлению в упруго-деформируемых многосвязных механических системах с конечным числом степеней свободы путем подбора параметров динамических систем.

4. Исследование трансформаций собственных колебаний при увеличении степени свободы одномерной колебательной системы с целью определения закономерностей импульсных воздействий на интенсивность колебаний при различных параметрических данных.

5. На основе разработанных методов и программных средств моделирование многомерных колебаний, изучение свойств трансформаций колебательных процессов при импульсных воздействиях в условиях параметрических ограничений.

6. Разработка методики проведения и обработки результатов физического эксперимента, позволяющей осуществлять экстраполяцию параметров колеба-

тельного процесса по различным значениям момента времени импульсного воздействия.

7. Экспериментальная апробация влияния импульсных воздействий на трансформацию колебаний многомерной динамической системы с оценкой погрешностей теоретических результатов.

Методы и средства исследования. Автором проводились аналитические, численные и экспериментальные исследования. Аналитические исследования основывались на методах механики, динамики сооружений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц и прикладной теории колебаний. В численных расчетах применялись методы численного интегрирования, аппарат теории матриц. При компьютерном моделировании и разработке программных модулей использовался программный пакет МаШ1аЬ 7; некоторые вычисления и графики выполнены с помощью программного комплекса МаЙ1сас114. Лабораторные эксперименты проведены с помощью высокоточного лазерного виброизмерителя Я8У-150. Результаты экспериментов обработаны в соответствии с разработанной в диссертации методикой с использованием сертифицированных программных средств, оснащающих виброизмерительное оборудование.

Объект исследования - колебательные процессы в многомерных упругих динамических системах.

Предмет исследования — трансформации колебательных процессов при импульсных воздействиях.

Достоверность научных положений и выводов, содержащихся в работе, подтверждена совпадением результатов аналитических исследований с численными, а также с результатами, полученными в эксперименте.

Научная новизна работы:

1. Определены условия формирования минимальных и максимальных величин параметров интенсивности процессов собственных колебаний, а также возможность и достижимость устранения трансформированных собственных колебаний упруго-деформируемых динамических систем с одной степенью свободы при импульсных воздействиях.

2. Доказана невозможность достижения нулевых амплитуд собственных колебаний по любым направлениям в упруго-деформируемых многосвязных механических системах с конечным числом степеней свободы посредством варьирования параметров систем.

3. Получены закономерности трансформаций собственных колебаний при увеличении степени свободы одномерной колебательной системы, позволяющие определить закономерности импульсных воздействий на интенсивность колебаний при различных параметрических данных.

4. На основе разработанных авторских алгоритмов и программных средств моделирования многомерных колебаний, определены свойства трансформаций колебательных процессов при импульсных воздействиях в условиях параметрических ограничений.

5. Разработана методика проведения и обработки результатов физического эксперимента, позволяющая осуществлять экстраполяцию параметров коле-

бательного процесса по различным значениям момента времени импульсного воздействия.

6. Экспериментальная апробация влияния импульсных воздействий на трансформацию колебаний двухмерной динамической системы показала возможность использования разработанной физико-математической модели для исследований процессов собственных колебаний в упругих динамических системах.

Практическая ценность полученных результатов:

1. Предложенные методики могут использоваться для разработки установки импульсного подавления колебаний конструкций больших электрофизических установок, оптических телескопов и других динамических систем различного назначения.

2. Результаты исследований могут быть использованы:

- в приборах импульсного возбуждения колебаний и формирования колебательных процессов с заданными параметрами;

— в практике проектирования конструкций и технических объектов, подверженных импульсным воздействиям.

Практическое иснользование результатов диссертации. Научные результаты диссертационного исследования используются при эскизном проектировании сложных динамических систем и в учебном процессе в ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет».

На защиту выносятся следующие научные положения:

1. Аналитические закономерности интенсивности и трансформаций колебательных процессов в одномерных динамических системах при импульсных воздействиях.

2. Методика изучения трансформаций колебательных процессов в многомерных динамических системах, основанная на разделении систем дифференциальных уравнений движения путем отображения процесса в пространстве собственных векторов с одновременным преобразованием начальных условий, сопровождающих импульсное воздействие.

3. Методика проведения и обработки результатов эксперимента, позволяющая интерполировать результаты физического эксперимента на произвольные моменты времени импульсного воздействия.

4. Результаты экспериментальной апробации влияния импульсного воздействия на колебания многомерной упругой колебательной системы.

Апробация работы:

«Механики - XXI веку»: XII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием, БрГУ (г. Братск, 2013 г.);

«Научному прогрессу - творчество молодых»: VIII Международная молодежная научная конференция по естественнонаучным и техническим дисциплинам, ПГТУ (г. Йошкар-Ола, 2013 г.);

«Современные проблемы машиностроения»: VII Международная научно-техническая конференция, ТПУ (г. Томск, 2013 г.);

«Высокие технологии в современной науке и технике»: III Международная научно-техническая конференция молодых ученых, аспирантов и студентов с международным участием, ТПУ (г. Томск, 2014 г.);

«Современные техника и технологии»: XX юбилейная Международная научная конференция студентов и молодых ученых, ТПУ (г. Томск, 2014 г.);

«Проблемы оптимального проектирования сооружений»: III Всероссийская конференция, НГАСУ (г. Новосибирск, 2014 г.);

«Математика, её приложения и математическое образование»: V Международная конференция ВСГТУ, (г. Улан-Удэ, 2014 г.);

«Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений»: V Международный симпозиум, ИрГТУ, (г. Иркутск, 2014 г.).

Работа также обсуждалась на семинарах ИрГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, 7 из которых - в рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 2 свидетельства регистрации программы на ЭВМ.

Структура и объем работы. Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка использованной литературы (125 наименований) и Приложения. Основная часть диссертационной работы изложена на 143 страницах машинописного текста, включая 53 иллюстраций и 6 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, выбраны цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе дан анализ состояния рассматриваемой проблемы и аналитический обзор работ, посвященных исследованию многомерных динамических систем и регулирования динамических процессов. Отмечено, что такие работы проводились преимущественно в отношении строительных конструкций и инженерных сооружений различного назначения. При этом по характеру динамические процессы делятся на собственные - свободные колебания, установившиеся стационарные колебания и нестационарные колебательные процессы. Используемые расчетные схемы делятся на одномерные, многомерные -дискретные, континуальные и дискретно-континуальные, где элементы с распределенными параметрами совмещаются с дискретными и массы сосредоточены в точках - узлах расчетной схемы. Проведенный анализ показал, что наиболее универсальными расчетными схемами, пригодными для решения подавляющего большинства актуальных задач, являются дискретные многомерные расчетные схемы, позволяющие гибко аппроксимировать сложные границы расчетных областей и разнородные граничные условия, свойственные различным техническим объектам современности.

Изучение ранее опубликованной литературы показало, что наиболее распространенными задачами формирования колебательных процессов и являются задачи, связанные с регулированием колебаний (формированием заданных параметров колебаний) вибрационных процессов, которые относятся к стационарным установившимся колебаниям. К таким наиболее распространенным в

исследованиях задачам относятся задачи виброзащиты и задачи динамического гашения вибрации [1*, 2*, 5*, 9*, 10*]. Часть работ посвящена вопросам вибротехнологий, в которых ставятся задачи формирования стационарных колебаний с заданными параметрами. Разработка технических устройств и систем виброизоляции и виброгашения являются также наиболее популярными в области разработки регулирования колебательных процессов [3*, 8*]. Другой достаточно исследуемой областью обширных задач динамики является разработка систем сейсмоизоляции [7*, 11*].

Такие системы разрабатываются, преимущественно, для многоэтажных зданий и ответственных сооружений. Многочисленные работы посвящены развитию методов расчета в этой области [4*, 6*]. В этих работах рассматриваются различные системы, связанные с формой импульсного воздействия, демпфирующими свойствами колебательной системы, динамическими параметрами колебательной системы.

Необходимо отметить, что исследования, посвященные проявлениям многомерности в колебательных процессах при импульсных воздействиях, практически отсутствуют. Отсутствуют также исследования, связанные с регулированием колебаний и влиянием на колебательный процесс параметров многомерной системы и ее свойств. Очевидно, что такие задачи являются особенно актуальными с позиции минимизации колебаний, приводящих к ненужным отрицательным последствиям, а также в задачах формирования колебаний с заданными параметрами.

На основе проведенного анализа определяются основная цель и задачи исследований, заключающихся в изучении и моделировании процессов трансформаций собственных колебаний в одномерных и многомерных упругих динамических системах при многократных импульсных воздействиях.

Вторая глава посвящена аналитическим методам исследования поведения динамических систем при воздействии мгновенного, прямоугольного импульсов и импульса скачка, а также нахождению условий устранения собственных колебаний. В основу аналитических исследований заложены известные уравнения динамического равновесия конечномерных систем с заданными начальными условиями, отражающими характер импульсного воздействия. Результаты, полученные автором, сформулированы в заключении второй главы.

Рассмотрены воздействия импульсов на одномерную систему, колебания которой могут быть описаны уравнением

m-x + rx = f(t), (1)

где т- масса; г - коэффициент жесткости; х— перемещение точки сосредоточения массы; f(t) - функция воздействия, t - время.

В момент времени t = 0 начальные условия воздействия мгновенного импульса могут быть описаны в виде

х(0) = х0;

где х0 — перемещение, аи,- скорость перемещения в момент ? = 0.

После воздействия мгновенного импульса колебания описываются выражением

x(t) = —sin(cot). (О

(3)

Далее рассмотрены трансформации колебаний при воздействии прямоугольного кинематического импульса. Если у- Лт/Т, где Лт - длина кинематического импульса; Т - период собственных колебаний, то влияние Л т на собственные колебания одномерной динамической системы можно записать в виде

х(1,у) = [«м/2я((+ у)) + соэ(2лг.

Зависимость функции х((,у) от коэффициента у и времени представлена на рис. 1.

х(г,у)

Рис. 1. График функции x(t,y) от коэффициента у и времени

График (рис. 1) показывает, что минимальная амплитуда собственных колебаний упругой недиссипативной системы равна нулю и достижение этого значения, то есть гашение процесса собственных колебаний, зависит только от соотношения длины кинематического импульса Лги периода собственных колебаний Т и устранение колебаний достигается при значении у = = .

Допустим, что в момент времени /, на колеблющую систему воздействует мгновенный импульс мощностью , изменяя скорость на величину V,. Изменение интенсивности колебаний можно представить в виде

/Г =

2v. cos(cot.) . + —'--!—— +1.

(4)

где х ~ коэффициент трансформации интенсивности колебаний.

На основе выражения (4) построены графики зависимости х от соотношения v,/v0 и от фазы функции cos(cot,) (рис. 2, 3).

X 2

ч Ч 4 1 ^ 2

ч. \ 3 4 /■■ ' / ' / < / /

X'- \>-; s Х-/ ' -•'

\

-3

О 1.5

Vj/l>0

Рис. 2. График зависимости X ПРИ различных значениях

cos(Ш,): 1 - cos( OXj ) — —1; 2 - cos(Cüt,) = -0,5; 3 - cos(cot,) = 0; 4- cos(cotI) = 0,5; 5 - cos( Ы,) = 1

1 J 5 1.....

2

0 -1

0 0.5

cus(úl¡)

Рис. 3. График зависимости X ПРИ различных значениях

v,/v0:

l-Vj/Vg = -.2; 2~V,/V0 =-1; 3 - V, /V0= 0; 4-V,/Vg =1;

5 — V] /v0 = 2

Минимальное значение коэффициента ^ равно нулю, при этом, при воздействии импульса трансформирования колебания отсутствуют. Таким образом, для устранения собственных колебаний необходимо осуществить мгно-

к7Т

венное импульсное воздействие в момент времени t, =— со скоростью

со

V, = -ь0 соз(кл), (к = 1,2...п).

Собственные колебания многомерной системы рассмотрены без учета внутреннего трения. В этом случае величины перемещений и скоростей колебаний, а значит и амплитуды, ограничивают сверху значения этих величин при наличии трения. В общем случае свободные колебания такой системы могут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида: гпх,(г) + гпх20) +... + гыхп(г) + = °>

(5)

Гп1х,(г) + Гп2х2(г) +... + гшхп (г ) + т,хп (1) = 0, где г.. - элементы матрицы жесткостей линейно-упругой системы; х/0 (] = 1+ ") - функция перемещения некоторого узла модели по направле-

нию j; т - инерционныи параметр при перемещении по направлению с номером j ; t — параметр времени.

В матричном виде система уравнений (5) может быть записана в виде

r-x + m-x = 0, (6)

где r - матрица жесткостей; м - матрица инерционных параметров; x - вектор перемещений.

Колебания конечномерной системы после воздействия мгновенного импульса, то есть при t > 0, описываются системой уравнений (5). При воздействии мгновенного импульса по некоторому направлению с номером j величину скорости по этому направлению в момент времени t - 0 будем считать равной V0, тогда как начальные перемещения и скорости по другим направлениям - нулевые. Без ограничения общности можем считать, что воздействие импульса осуществляется по первому направлению. Тогда начальные условия для системы уравнений (5) имеют вид:

\х(0) = (0 , 0, 0 ... о/;

(7)

X t = Q = (ve ,0, О ...0/.

При осуществлении развязки системы уравнений, то есть при приведении системы уравнений (5) или (6) к системе раздельных уравнений, получим выражение

y + ay = 0. (8)

Необходимо выполнить замену переменных x = фу, где ф— матрица собственных векторов матрицы m~'r, а л — матрица ее собственных значений.

Известно, что осуществление развязки может быть произведено при помощи решения стандартной проблемы собственных значений:

м-'кф = фл.

Если матрица ф представлена элементами a:j, а матрица ф~' представлена элементами bv, то начальные условия, представленные выражением (7), для уравнений (8) запишутся в виде

y(0) = (0, 0, 0 ... of;

(9)

t = 0 = vo(bn . ъ2„ ь}1 ... ъ4!)т.

В силу того, что система уравнений (8) состоит из раздельных уравнений, ее решения могут быть представлены в виде

yi(t) = } = *h±Lsin(JXt) ( (10)

где diag(Л:) = Л; i = 1...п.

Функция перемещения некоторого узла модели по направлению i представлена в виде

х1О)=и0-±а^т(со](). (11)

Таким образом, при воздействии мгновенного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности п попытка устранения собственных колебаний по некоторому направлению с номером не совпадающему с направлением воздействия с номером г, приводит к необходимости обеспечения п кратных собственных значений матрицы £>.

Известно, что

ф-'-ИФ^Л. (12)

Предположим, что матрица Б имеет все кратные (равные) собственные значения А, = Л (г = 1 -ь п ). В этом случае А можно описать как л = Л • Е.

ф-' ~о.ф = Е_ (13)

Л

Умножив обе части равенства (13) наФ, получим условия

гг

— = Л при г = /, г = 1..п; т, (14)

г.. = 0 при г Ф /

Равенства (14) показывают, что попытка устранения собственных колебаний конечномерной динамической системы размерности п по нескорому направлению приводит к необходимости формирования системы, имеющей п кратных собственных частот. Кроме того, условие кратности частот собственных колебаний для систем с размерностью п приводит к необходимости формирования «-несвязанных систем первого порядка. Динамическая система, имеющая упругие связи в виде гд Ф 0 при IФ ], частот кратности п иметь не может.

Результаты исследований, представленных во второй главе, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Предложена методика исследования собственных колебаний многомерной динамической системы на основе принципов разделения систем исходных уравнений динамики, особенностью которой является формирование вектора начальных условий для разделенных уравнений с последующим обратным преобразованием в исходное пространство.

2. Установлено, что устранения собственных колебаний многомерной колебательной системы по некоторому обобщенному направлению требует формирования динамической системы, имеющей «-кратные собственные частоты, где п — размерность системы.

3. Формирование системы с п-кратными собственными частотами приводит к необходимости устранения перекрестных упругих связей.

4. При импульсном воздействии в многосвязной динамической системе устранение собственных колебаний по любому направлению за счет формирования конструктивных параметров многомерной системы невозможно. Очевид-

но, что достижение отсутствия колебаний требует исследований по формированию повторных импульсов.

Третья глава посвящена изучению влияния упруго присоединенной массы на параметры собственных колебаний при импульсном воздействии. Проведены исследования по формированию систем с минимальными амплитудами собственных колебаний при ограничениях на собственные частоты колебаний.

Низшую частоту двухмерной системы можно определить как:

со, =

7

т, т.

т, т2У

4г2

12

(15)

Из выражения (15) видно, что при фиксированных значениях жесткост-ных параметров величина низшей частоты неограниченно возрастает при уменьшении т,, т,. В точке (от, =0, т2 =0) производная равна бесконечности. При удалении от точки (0,0) производные и уменьшаются. Зна-

дт, дт2

чения си, асимптотически стремятся к нулю при возрастании значений т,, т2. Экстремальные значения на всей области т,, т2 отсутствуют. Величина низ-

/'%•>

шеи частоты ограничивается до значения при изменении гп , и до значе-

V т,

ния при изменении г27 . 1т,

Допустим, что на динамическую систему действует мгновенный импульс по направлению с номером 1, то по результатам, представленным во второй главе, перемещения х,- по заданным направлениям с номером г' можно записать в виде

ят( со/ )

(16)

где и0 — начальная скорость импульса.

Поскольку функция х^) — линейна относительно и0, то для определения характера этой функции можно положить, что и0=1.

¡¡п( СОХ ) « Заметим, что У^ а>рр-— <

1=1

со,

«А/

со)

со,

Е «Л/

_

СО,

(17)

Второе равенство выражения (17) выполняется при ^т(со^ = 1, тогда для системы второго порядка перемещения х1 по направлению г достигают максимального значения при зшС) = 8ш(си2!) = 1, то есть

л 2к,л ,

t =-+ —'—, к, =0,1,2...

2со, со,

л 2к,л , „ , „ t =-+ —к, =0,1,2...

2со2 со2

Для системы второго порядка перемещения x¡ по заданным направлениям с номером i при воздействии мгновенного импульса по направлению с номером 1 можно записать в виде

тах(х, (t)) = t

тах( х2( t))

Д/А/ а12Ь2,

Ú), со2

а21Ъ>1

со,

со,

(18) (19)

Подставив значения аи,Ьц в выражения тах(x¡(t)) в правую часть вы/

ражений (18), (19), получим:

тах( x,(t ))--

1-

r„ - Ä2m,

1-

Л,™, ~ гп

тах( x2(t)) =

Ä,m, —rj.

т,(Л, -A2)JÄ~2

А,т, - г

Л2т,-г„

(20) (21)

г,2 т,(Л,-А2)^Л, r,2 m,(A,-A2)JT2

На основе выражений (20), (21) построим график зависимости max(x:(t))

от инерционных параметров т, и т2(рис. 4). При этом фиксируем значения параметров жесткостей.

maxi x,(t У)

max(x2(t У)

' " "12 б) ^"п ™2

Рис. 4. Графики зависимости тах(х,(1)) от инерционных параметров при воздействии

г

мгновенного импульса:

а - тах(х,(1)); б - тах(х2(1))

Из графиков видно, что при увеличении инерционного параметра га,, на который действует импульс, максимум перемещений собственных колебаний по направлению i увеличивается. И при увеличении массы т, максимум перемещений собственных колебаний по направлению 1 увеличивается, а по направлению 2-уменьшается.

На рис. 5 представлены графики зависимости тах(х,(t)) от коэффициен-

г

тов жесткостей гп и г„.

Рис. 5. Графики зависимости тах(х.(t)) от коэффициентов жесткостей ги и г22

t

при воздействии мгновенного импульса:

а - тах(x.(t)); б - тах(x-,(t)) t t

На основании анализа данной зависимости можно сделать вывод, что при увеличении коэффициентов жесткостей гп максимум перемещений собственных колебаний увеличивается. График зависимости max(x2(t)) от ги и г22 показывает, что при фиксированных значениях массовых параметров величина

функции max(x-,(t)) по направлению стремится к нулю при бесконечно боль-

t

ших значениях ги, г,2. Величина максимума перемещения при воздействии мгновенного импульса получает максимальное значение при бесконечно малых

V Y

значениях ги, г22 и при — = .

171 j /Я,

При воздействии мгновенного импульса величина максимума перемещения по направлению 2 неограниченно возрастает при \г12\ и стремится к ijrnr22. В точке г,2 = 0 величина тах(х/1)) достигается минимальным значением (рис. 6).

тах(х1 (Л))

4

1

П I \\ / \<_ .. ч Х^, Л 1 т, гп / (

\ \ / /

\ \ / /

Д'?:

ЫГ!1Г22

Рис. 6. График зависимости

тах(хУг)) от 1

коэффициента жесткости г12 при воздействии мгновенного импульса

Однако остается открытым вопрос, какого минимального значения может достичь амплитуда колебаний по некоторому направлению при фиксированном импульсном воздействии. Для решения этой задачи разработан метод формирования многомерных динамических систем с заданными свойствами (рис. 7).

Рис. 7. Алгоритм формирования многомерных динамических систем с заданными свойствами

Кроме того, разработанная программа формирования многомерных динамических упругих систем с заданными динамическими свойствами реализуется с помощью программного комплекса МаШ1аЬ (рис. 8).

Рис. 8. Фрагменты интерфейса программы для ввода данных и вывода результатов

Таким образом, данное программное обеспечение позволит решить задачу формирования упруго-динамических систем, обладающих минимальным значением амплитуд по заданному направлению, не совпадающему с направлением действия импульса и собственными частотами, находящимися в определенных интервалах.

Результатами исследований, представленных в третьей главе, являются данные о влиянии присоединенной массы к одномерной колебательной системе, которые позволяют иметь представление о целенаправленном формировании параметров (масс и жесткостей) по заданным критериям.

Четвертая глава посвящена экспериментальным исследованиям колебательных процессов при импульсных воздействиях. Рассматривается влияние неоднократных импульсных воздействий на интенсивность собственных колебаний многомерных систем.

Экспериментальные апробации проведены на двухмерной динамической модели, представленной в виде упругого стержня 4, жестко закрепленного в основании, несущего на конце жестко закрепленное твердое тело 3 (рис. 9). Поперечное сечение стержня имеет размер 11,5 х 0,5 мм. Длина стержня от точки закрепления до центра масс твердого тела равна 0,23 м. Материал стержня — сталь 90ХФ. Твердое тело представляет собой параллелепипед размером 105 х 40 х 6 мм. Масса твердого тела 0,13 кг. Материал твердого тела -Сталь 45. Момент инерции массы в плоскости колебаний равен 119,8 • 10"бкг-м2.

Рис. 9. Общий вид экспериментальной установки:

1 - стальной шарик;

2 - отражающая

пленка;

3 — твердое тело;

4 - упругий стержень;

5 -жесткое основание;

6 — нить

В ходе экспериментов рассматривались крутильные и поступательные колебания твердого тела в плоскости наименьшей жесткости изгиба стержня. Возбуждение колебаний осуществилось при помощи ударного устройства (ударника), представляющего собой стальной шарик, закрепленный на гибкой нити длиной 0,2 м. Масса стального шарика 0,01 кг. Время взаимовоздействия ударника и колеблющегося тела мало; импульсное воздействие можно считать мгновенным. Мощность импульсного воздействия регулировала величиной отклонения ударника на вытянутой нити.

Колебательный процесс контролировался при помощи лазерного виброизмерителя Г^\М50 (рис. 10). Результаты отображения колебаний сохранялись в оцифрованном виде в памяти компьютера. Проводились замеры скоростей и перемещений твердого тела в плоскости колебаний (вертикальной плоскости). Одной из цели эксперимента являлось сравнение его результатов с теоретическими, представленными во второй и третьей главах данной работы.

Рис. 10. Общий вид измерительного прибора ИвУ-Ш:

1 - сенсорная головка лазера; 2 - контроллер; 3- персональный компьютер; 4 — плата преобразователя

Я8У-А-160; 5 - видеокабель

-

"5

, , ——

1121 1 Щ

ъ

4-------- '

ь ■шЫ 1 '

Лазерный луч фокусировался на колеблющемся объекте (твердом теле), который модулирует частоту лазера в соответствии с эффектом Доплера. Часть модулированного света отражается и собирается длиннофокусной линзой. Для выделения модуляции и преобразования ее в высокочастотный электрический сигнал в сенсоре используется интерферометр. Контроллер выполняет демодуляцию в сигнал напряжения. После этого выходной сигнал можно зарегистрировать и проанализировать на персональном компьютере. При этом цифровое отображение колебаний записывалось отдельным файлом в памяти жесткого диска.

Возбуждение свободных колебаний твердого тела осуществлялось воздействием ударной массы после ее отклонения на угол Д,. Исследования состояли из двух этапов. На первом этапе исследовались свойства стержневой системы (см. рис. 9, поз. 2-5) при воздействии мгновенного импульса (удара) с помощью ударного тела, скорость в момент удара можно было регулировать изменением угла Д. На втором этапе исследовалось влияние воздействия импульсов (ударов) на амплитуды перемещений твердого тела.

Горизонтальная составляющая колебаний при отклонении ударника на угол Д =7° показана на рис. 11а. Спектральное отображение колебательного процесса, полученного с помощью преобразований Фурье и реализованного в программном обеспечении прибора Я8У-150, приведено на рис. 116.

2

Ю

Г

/Ь /......... Ь—

т X,_ J

а) № б)

Рис. 11. Экспериментальное отображение свободных колебаний при отклонении ударника на угол /30 - 7°

По графику, приведенному на рис. 11а, можно определить период колебаний; он равен 0,975 с. Амплитуда перемещений - 3,6 мм. Зная спектр частот, можно определить число степени свободы и значения частот собственных колебаний. Число степеней свободы определяется по количеству пиков. На рис. 116 видны два пика, соответствующие двум собственным частотам. Первая частота равна 1,05 Гц, а вторая - 9,6 Гц.

По истечении некоторого времени после возбуждения системы по колеблющейся массе был нанесен удар при отклонении ударника на угол Д. В про-

Игц]

цессе экспериментов определялось влияние этих импульсов на изменение скорости и амплитуды колебаний двухмерной системы.

На рис. 12 приведены отображения колебаний динамической системы, полученные при помощи лазерного виброизмерителя 118У-150, при возбуждении повторного импульса, нанесенного в первой четверти периода собственных колебаний массы в поступательном направлении.

Рис. 12. Экспериментальное

отображение свободных колебаний твердого тела при воздействии импульса в первой четверти периода собственных колебаний и

Ро =3°

= 4"

Как видно из графика при иГ < < — Г + иГ, где Т - период собственных

4

колебаний основного тона; и - целое число, направление удара (мгновенного импульса) совпадает с направлением перемещения колеблющейся массы. В результате импульсного воздействия произошло увлечение скорости перемещения массы в момент удара, что привело к возрастанию амплитуды колебаний до величины 3,3 мм.

Изменение интенсивности колебаний равно отношению амплитуды после воздействия импульса к амплитуде колебаний до воздействия, то в данном случае х= 2,23.

Экспериментальные исследования показали, что в результате импульсного воздействия происходит увеличение скорости перемещения массы в момент удара, что приводит к возрастанию амплитуды колебаний, и наоборот. То есть, направление удара (мгновенного импульса) совпадает с направлением перемещения колеблющейся массы (в некоторый момент времени в первой и четвертой четвертях периода собственных колебаний массы в поступательном направлении), или разность скорости ударника и колеблющейся массы больше скорости колеблющейся массы в момент удара.

Для подтверждения результатов экспериментов приведено численное исследование влияния импульсных воздействий на колебательный процесс. Полученные значения первой и второй собственных частот при экспериментальных условиях: 1,08 и 9,8 Гц, которые больше измеренных в эксперименте (1,05 и 9,6 Гц), это связано с тем, что в численном расчете не учитывались масса и момент вращения отражающей пленки. На рис. 13 приведены так же результаты численного расчета для случая, в котором удар был нанесен в первой четверти периода собственных колебаний при углах Д, = 3°, Д = 4°.

Рис. 13. Численные поступательные величины собственных колебаний при воздействии мгновенного импульса в момент = 1,92 /30 = 3°/3, =4°

6 0,5 1 1.5 2 2J j 3.5 4

tic]

Проведенные экспериментальные и численные исследования показали, что импульсные воздействия на многомерную динамическую систему могут быть использованы как для увеличения интенсивности колебаний, так и для их подавления. Увеличение или уменьшение амплитуды колебаний многомерной системы определяется фазой колебаний в момент воздействия мгновенного импульса. Результаты экспериментальных и численных исследований приведены в табл.

Номер эксперимента Начальные углы отклонения шарика,/^, град. Углы отклонения шарика в момент времени, Р,, град. Момент времени воздействия импульса ,í,, с Амплитуды перемещений по экспериментальным исследованиям, мм Амплитуды перемещений по численным исследованиям, мм Погрешность, %

до момента удара после момента удара ДО момента удара после момента удара ДО момента удара после момента удара

1 3 4 1,92 1,48 3,3 1,43 3,32 3,38 0,61

2 10 3 1,30 5,10 3,47 4,97 3,49 2,55 0,58

3 3,5 11 1,35 1,62 4,25 1,59 4,23 1,85 0,47

4 7 10 2,41 3,59 3,15 3,48 3,23 3,06 2,54

5 4 12 1,45 2,05 4,22 2,00 4,40 2,44 4,27

6 4 5 1,80 2,00 4,15 2,03 4,16 1,50 0,24

Приведенные в таблице экспериментальные данные показывают, что используемая методика расчета многомерной динамической системы на импульсное воздействие имеет погрешность, не превышающую 4,27 %.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Определены условия формирования минимальных и максимальных величин параметров интенсивности процессов собственных колебаний, а также возможность и достижимость устранения трансформированных собственных

колебаний упруго-деформируемых динамических систем с одной степенью свободы при импульсных воздействиях.

2. Доказана невозможность достижения нулевых амплитуд собственных колебаний по любым направлениям в упруго-деформируемых многосвязных механических системах с конечным числом степеней свободы посредством варьирования параметров систем.

3. Изучены закономерности трансформаций собственных колебаний при увеличении степени свободы одномерной колебательной системы с целью определения закономерностей импульсных воздействия на интенсивность колебаний при различных параметрических данных.

4. Разработаны метод и программное обеспечение для решения моделирования многомерных колебаний, определены свойства трансформаций колебательных процессов при импульсных воздействиях в условиях параметрических ограничений.

5. Разработана методика проведения и обработки результатов физического эксперимента, позволяющая осуществлять экстраполяцию параметров колебательного процесса по различным значениям момента времени импульсного воздействия.

6. Аналитически, численно и экспериментально получены условия изменения интенсивности собственных колебаний многомерной системы, позволяющие положить их в основу создания прибора, регулирующего колебательный процесс при помощи импульсного воздействия.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

- В изданиях из перечня ВАК РФ:

1. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Вестник ИрГТУ. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2012. -№ 9. - С. 51-53.

2. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Проявление кратности частот в собственных колебаниях конечномерных систем / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Вестник ИрГТУ. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2013. - № 3. - С. 32-34.

3. Нгуен Фу Туан, Соболев В.И. Обеспечение минимального значения амплитуд собственных колебаний упругих систем при воздействии мгновенного импульса / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Системы. Методы. Технологии. -2013. -№3 (19). -С. 34-38.

4. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Синтез многомерной системы с заданной низшей частотой собственных колебаний при воздействии импульса / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Вестник ВСГУТУ. - Улан-Удэ : Изд-во ВСГУТУ, 2013. -№ 5. - С. 27-31.

5. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Синтез динамической системы второго порядка с минимальными амплитудами собственных колебаний по заданному направлению / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Вестник ИрГТУ. - Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2013. - № 9 - С. 89-95.

6. Нгуен Фу Туан. Колебания конечномерной динамической системы при воздействии прямоугольного кинематического импульса // Вестник ИрГТУ. -Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 2014. - № 1. - С. 18-24.

7. Соболев В.И., Нгуен Фу Туан. Синтез динамических систем при ограничениях на частоты собственных колебаний / В.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -2014 - № 2 (42). -С. 26-30.

- Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ:

8. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Программа формирования динамических систем, удовлетворяющих заданным условиям / В.И Соболев (RU), Нгуен Фу Туан (RU) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013618405 / Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - 2013.

9. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Трансформация колебаний многомерной динамической системы при импульсных воздействиях / В.И Соболев (RU), Нгуен Фу Туан (RU) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014661603 / Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. - 2014.

- В научных рецензируемых изданиях и сборниках трудов:

10. Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксимации в моделировании собственных колебаний упругих систем при воздействии функции скачка // Механики - XXI веку : мат-лы XII Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. участием. - Братск. - 2013. - С. 31-33.

11. Нгуен Фу Туан. Условие подавления собственных колебаний упругих систем при воздействии импульса // Научному прогрессу - творчество молодых : мат-лы VIII Междунар. молодеж. научн. конф. по естествен, и техн. дисциплинам. - Йошкар-Ола. - 2013. - С. 83-84.

12. Нгуен Фу Туан. Синтез динамической системы второго порядка с минимальными амплитудами собственных колебаний по заданному направлению при воздействии функции скачка // Современные проблемы машиностроения : мат-лы VII Междунар. науч.-техн. конф. - Томск. - 2013. - С. 48-53.

13. Нгуен Фу Туан. Влияние воздействия импульсов на колебательный процесс конечномерных многосвязных динамических систем // Высокие технологии в современной науке и технике : мат-лы III Междунар. науч.-техн. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов с междунар. участием. - Томск. -2014.-С. 364-367.

14. Нгуен Фу Туан. Собственные колебания упругих систем при воздействии импульса // Современные техника и технологии : мат-лы XX юбил. Междунар. науч. конф. студентов и молодых ученых. - Томск. - 2014. - С. 217-218.

15. Нгуен Фу Туан. Минимаксные решения в задачах динамики упругих систем при импульсных воздействиях // Проблемы оптимального проектирования сооружений : мат-лы III Всерос. конф. - Новосибирск. - 2014. - С. 266-272.

16. Нгуен Фу Туан. Влияние импульсных воздействий на колеблющиеся динамические системы // Математика, ее приложения и математическое образование : мат-лы V Междунар. конф. - Улан-Удэ. - 2014. - С. 238-241.

17. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Численный и аналитический анализ влияния импульсивных воздействий на колеблющиеся многомерные системы /

B.И. Соболев, Нгуен Фу Туан // Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений : мат-лы V Междунар. симпозиума. - Иркутск. - 2014. - С. 167-168.

Цитированная литература

1*. Ананьев И.В. Экспериментальные исследования ударного демпфирования колебаний / И.В. Ананьев, Н.М. Колбин // Рассеяние энергии при колебаниях упругих систем / под ред. Г.С. Писаренко. - Киев : Наукова думка. 1966. -

C. 277-284.

2*. Виба Я.А. Ударное гашение свободных колебаний линейной одномас-совой системы / Я.А. Виба, И.И. Вятерс // Машиноведение. 1977. - № 2. -С. 27-34.

3*. Резников JT.M. Оптимальные параметры динамического гасителя колебаний в переходном режиме / JI.M. Резников, Г.М. Фишман // Машиноведение. 1972.-№ 2. -С. 10-15.

4*. Дукарт А.В. О переходных режимах колебаний одномассовой системы с ударным гасителем при заданных начальных условиях / А.В. Дукарт, Фа-мТханьБинь // Известия вузов. Строительство. — 2011. — № 6. — С. 16—22.

5*. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем,- Новосибирск : Наука, 1978. - 224 с.

6*. Рабинович И.М. Расчет сооружений на импульсное воздействие.- М.: Стройиздат, 1970. - 303 с.

7*. Рутман Ю.Л. Оценка эффективности параметров демпфирования в системах сейсмоизоляции / Ю.Л. Рутман, Н.В. Ковалева // Инженерно-строительный журнал. - 2012. - № 1. — С. 16-22.

8*. Варат C.N. Single unit impact damper in free and forced vibration / C.N. Варат, S. Sankar // Journal of Sound and Vibration. - 1985. - V. 99. - P. 85-94.

9*. Osamu, N. Closed-form solutions to the exact optimizations of dynamics vibration absorbers (minimizations of the maximum amplitude magnification factors) / N. Osamu, A. Toshihiko // Journal of Vibration and Acoustics. Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. - 2002. - V. 124. - P. 576-582.

10*. Cheng. C.C. Free vibration analysis of a resilient impact damper / C.C. Cheng, J.Y. Wang // International Journal of Mechanical Sciences. - 2003. -V. 45.-P. 589-604.

11*. Skinner R. I. An introduction to seismic isolation / R.I. Skinner, W.H. Robinson, G.H. McVerry. - New York : Wiley 2003. - 398 p.

Подписано в печать 20.11.2014. Формат 60 х 90 /16.

Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,75. Тираж 100 экз. Зак. 228. Поз. плана 12н.

Лицензия ИД № 06506 от 26.12.2001 Иркутский государственный технический университет 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83