Когомологии пространства свободных петель односвязных 4-мерных многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.145.2 + 515.146.3

4846716

Онищенко Александр Юрьевич

КОГОМОЛОГИИ ПРОСТРАНСТВА

СВОБОДНЫХ ПЕТЕЛЬ ОДНОСВЯЗНЫХ 4-МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва — 2011

4846716

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Попелеиский Федор Юрьевич доктор физико-математических наук Ахметьев Петр Михайлович кандидат физико-математических наук Ершов Андрей Владимирович Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 27 мая 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерат ция, 110991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математически факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 27 апреля 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа относится к области алгебраической топологии. В работе исследуется пространство свободных петель Xs1 : где X — произвольное односвязное четырехмерное многообразие.

Пространство свободных петель (множество непрерывных отображений стандартной окружности S'bXb компактно-открытой топологии) давно используется в топологии, поскольку его свойства тесным образом связаны со свойствами X. Вычисление тех или иных алгебро-^гопологических инвариантов этого пространства позволяет устанавливать новые свойства пространства X. Так, например, Громол и Менер1 методами бесконечномерной теории Морса установили связь между когомологкями Xs' и количеством различных замкнутых геодезических на пространстве X.

За последние 8 лет пространства свободных петель оказались в центре внимания исследователей в связи с работой Салливана2, в которой на когомологиях Xs' введена новая структура — петлевое умножение (loop product). Исследования, связанные с этой структурой, объединяются в рамках так называемой "струнной топологии"(String topology)3 4 — этот термин используется последние несколько лет.

Одной из первоочередных задач в исследовании свойств этой структуры является вычисление алгебры когомологий пространства Xs' в явном виде. Явные вычисления /Г (Xs') проделаны для относительно небольшого числа примеров. Результаты для сфер, комплексных проективных пространств, а также для пространств, когомологии которых порождены одной или двумя образующими, получены в работах К. Курибаяши, Т. Ямагучи0, а также Р. Коэна, Дж. Джонса и Дж. Яна6. Целью диссертационной работы является разработка методов вычисления когомологий с рациональными коэффициентами пространств свободных петель для одно-связных четырехмерных многообразий, образующих достаточно широкий класс пространств.

Наш подход основан на методе минимальных моделей Салливана7. Напомним. что минимальной моделью односвязного пространства X называ-

1D. Gromoll, W. Meyer Periodic geodesies on compact Ricmannian manifolds — J. Differential Geometry, 19G9

2M. Chas, D. Sullivan Strmg topology — preprint, arXiv:math/9911159vl. January 2004

3D. Sullivan String topology: background and. present state, preprint, AT/0710.4141. October 2007

4R. Г-. Cohen, K. lies«, A. A. Voronov String topology and cyclic homology — Basel, Birkhauscr, 2006

'K. Kuribayashi. T. Yamaguchi The cohomology algebra of certain Jree loop spaces — Fund. Math, 154 (1997), pp.57-73

6R. Cohen, J. Jones, J. Yan, The loop homology algebra of spheres and projective spaces — Progr. Math. 215, Birkhauscr, Basel (2004) pp.77—92

7D. Sullivan Infinitesimal computations in topology — Publications Mathe'matiques de lTIIE'S, 1977

ется свободная градуированная коммутативная алгебра kV над Q с дифференциалом d. обладающая рядом свойств. Отметим, что минимальная модель X единственна в естественном смысле, причем ее когомологии H"(AV1 d) совпадают с Н*(Х, Q).

Стандартное применение метода минимальных моделей состоит в следующем. По алгебре когомологий пространства строится минимальная модель, которая используется для получения информации о рациональном гомотопическом типе исходного пространства.

Если же минимальная модель пространства известна, то ее можно использовать для вычисления когомологий самого пространства.

В нашем случае минимальная модель пространства Xs' может быть явно выражена через минимальную модель многообразия X с использованием работ Д. Салливана, М. Вигю-Пуарье, Д. Бургелеа8 9, а также И. Фели и Ж.К. Тома 10.

Минимальная модель многообразия X для нашего случая неявным образом описана в работах И.К. Бабепко11 и Дж. Нейзендорфера12.

Непосредственные вычисления когомологий Hn(Xsl) с помощью минимальной модели Х5' при 62 = 0,1, 2 проводятся несложно (и уже известны), а при 62 > 2 требуют огромного объема вычислений уже для малых п. В самом деле, лишь при ¿2 = 0Д> 2 минимальная модель Xs1 имеет конечное число мультипликативных образующих. С другой стороны, при b-i > 2 число образующих минимальной модели в размерности п растет экспоненциально по п. В диссертационной работе разработан и применен метод, позволяющий вычислить Hn(Xsl) в явном виде (в виде формулы, зависящей от п и характеристик пространства X).

Цель работы. Вычисление в явном виде размерностей пространств когомологий H*(XS ; Q) для произвольных односвязных четырехмерных многообразий.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Решена задача вычисления размерностей пространств Яга(Х5'; Q) для

8М. Viguc-Poirrier, D. Sullivan The homology theory nf the closed geodesic problem — J. Differential Geom. Vol. 11, N 4, 1970

9M. Vigué-Poirrier. D. Burghelea, A model for cyclic homology and algebraic K-theory of 1-connected topological spaces - J. Differential Geom. Vol. 22. N 2, 1985 pp.243-253.

l0Y. Felix, J.C. Thomas, M. Vigu6-Poirricr77ie Hoch-ichild cohomology of a closed manifold , Publications Mathématiques de L'IHE'S, 99 (2004). pp.235-252

nI. Babenko, On real homotopy properties of complete intersections. — Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 43 (1979), 1004-1024

12.T. Nciscndorfcr The rational homotopy groups of complete intersections. — Illinois Journal of Mathematics, Vol. 23, No. 2 (Jun., 1979), pp.175-182

произвольного п и произвольного односвязного четырехмерного многообразия X со вторым числом Бетти 62 > 2.

2. Построена спектральная последовательность для вычисления H*(Xsl\Q) в комплексе минимальной модели Салливана. Доказано, что данная спектральная последовательность изоморфна, начиная с члена Ег, классической спектральной последовательности Jlepe-Ceppa расслоения

3. Решена задача вычисления центра Z(ULx) = Z(#„(fiX, Q). x) алгебры гомологии пространства петель произвольного односвязного четырехмерного многообразия X относительно умножения Понтрягина.

Методы исследований. В работе используются методы теории минимальных моделей, аппарат спектральных последовательностей, теория базисов Гребнера.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны в исследованиях, относящихся к струнной топологии, теории гладких одно-связных четырехмерных многообразий.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством А.Т. Фоменко в 2010,

• на семинаре «Некоммутативная геометрия и топология» МГУ под руководством A.C. Мищенко в 2006-2008 (неоднократно),

• на международной научной конференции молодых ученых «Ломоносов-2010», МГУ, Москва, 2010,

• на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, и их приложений», МГУ, Москва, 2009,

• на международной научной конференции «Ä"-Theory, C*-Algebras and Index Theory», г.Геттинген, Германия, 2010

• на семинаре по топологии под руководством проф. Лаурес и проф. Книппера, университет г.Бохум, Германия, 2010.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 106 страниц. Библиография содержит 38 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель исследования и приведен краткий обзор результатов и методов, имеющих отношение к теме диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и описывается ее содержание.

В первой главе формулируются основные определения, приводится обзор уже известных методов и результатов, а также вводятся необходимые дополнительные конструкции и вспомогательные результаты, необходимые для решения поставленной в диссертации задачи.

В §1 приводится определение минимальной модели многообразия, а также приводятся известные теоремы и вычисления из работ И.К. Бабен-ко13, позволяющие описать минимальную модель 4-мерного многообразия. Приводятся также результаты о свойствах минимальной модели 4-многообразий (в частности, результат о коформалыюсти 4-многообразий Дж. Нейзендорфера)14.

В §2 описаны известные результаты М. Вигю-Пуарье, Д. Салливана15. И. Фели, Ж.К. Тома16, Д. Бургелеа17 , позволяющие строить минимальную модель пространства свободных петель Xs1 по минимальной модели пространства X. Приводится описание минимальной модели в виде M = (AV®AF,¿).

В §3 исследуется возможность разложения минимальной модели пространства Xs в прямую сумму. Устанавливается вспомогательный результат о том, что если пространство X — коформально. то минимальная модель пространства Xs1 может быть разложена в прямую сумму определенным способом.

В §4 вводится спектральная последовательность минимальной модели пространства X , задаваемая фильтрацией F^{KV®W) = $ AVk®AV.

к>п

13I. Babenko, On real honiotopy properties of complete intersections. — Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 43 (1979), 1004-1024

l4J. Neisendorfer The rational homotopy groups of complete intersections. — Illinois Journal of Mathematics, Vol. 23, No. 2 (Jun., 1979), pp.175-182

l0M. Vigué-Poirrier, D. Sullivan The homology theory of the closed geodesic problem — J. Differential G com. Vol. 11, N 4, 1976

16Y. Félix, J.С. Thomas, M. Vigué-Poirrier The Hochschild cohomology of a closed manifold , Publications Mathe'matiques de L'IHE'S, 99 (2004), pp.235-252

17M. Vigué-Poirrier. D. Burghelea, A model for cyclic homology and algebraic K-theory of t-connected topological spaces - J. Differential Geom. Vol. 22. N 2, 1985 pp.243-203.

Данная спектральная последовательность будет активно использоваться впоследствии для вычисления когомологий Н*(ХЬ ).

В §5 формулируется результат о стабилизации в члене Ез (а не в члене £5, как могло бы следовать из соображений размерности) введенной в предыдущем параграфе спектральной последовательности. Этот результат является основной теоремой первой главы и формулируется в виде:

Теорема. Пусть X — односвязное четырехмерное многообразие, такое что второе число Бетти 62 (X) > 2. Тогда в когомологической спектральной последовательности Лере расслоения X^ X дифференциал йх равен нулю.

Во второй главе проведено исследование связи построенной спектральной последовательности минимальной модели и канонической спектральной последовательности Лере. Спектральная последовательность, построенная в первой главе обобщается до спектральной модели минимальной

f

модели произвольного расслоения Ссрра Е —> В над компактным од-носвязным многообразием В. Следующая теорема является основным результатом главы 2.

Теорема. Пусть л : Е —-> В — расслоение в смысле Серра, над гладким многообразием В. Тогда спектральные последовательности комплексов, ^оДАК ® ЛИ^, с!) и каноническая спектральная последовательность Лере-Серра естественно изоморфны, начиная со второго члена.

Доказательство этого факта само по себе нетривиально и создает несколько вопросов о совпадении различных конструкций спектральной последовательности Лере-Серра. Во второй главе эти вопросы разбираются подробно. В частности, строится еще ряд конструкций спектральных последовательностей. относительно которых будет показано, что все они изоморфны между собой, начиная с члена Ёг-

Такими конструкциями будут фильтрация £/,0ГП*(.Е) на комплексе глад-

Р

кпх форм гладкого расслоения Е ——> В, фильтрации и Есеск комплекса Чеха-де Рама С*(У\того же расслоения. А также будут рассмотрены спектральная последовательность минимальной модели и спектральная последовательность комплекса Чеха сингулярных форм ^сеслС*(£/, 3*(тг~1и)).

В §1 построен пример двух спектральных последовательностей, у которых члены £2 и Еаа изоморфны, для которых, однако, не существует изоморфизмов во всех членах к > 2. Таким образом показывается, что вопрос о совпадении различных конструкция спектральных последовательностей нетривиален даже при одинаковом члене Ег-

Во §2 формулируются вспомогательные результаты и леммы, имеющие характер общих замечаний о спектральных последовательностях, необходимые для доказательств результатов второй главы.

В §3 доказывается теорема о совпадении, начиная с члена Е2, спектральных последовательностей комплексов FhorQ*(E) и FcechG*{V\ fi*) в случае гладкого расслоения. Этот случай можно рассматривать как модельный, поскольку результаты для него формулируются наиболее просто, а основная схема доказательства может быть использована и в более сложных случаях. В дальнейшем в доказательстве заменяются привычные леммы (например, Лемма Пуанкаре) на более технически трудные.

В §4 доказывается теорема о совпадении, начиная с члена Е^., спектральных последовательностей минимальной модели и комплекса FcechG*{U, 5**(тг—16г)) для произвольного расслоения Серра. Из результатов четвертого параграфа вытекают основные результаты второй главы.

В §5 устанавливается, что все четыре последовательности, когда они определены, совпадают с канонической последовательностью Лере-Серра. начиная со второго члена. В качестве доказательства устанавливается связь последовательности FcechP*{U, S*(ir~lU)) и канонической спектральной последовательности.

В §6 второй главы содержится доказательство одной технической леммы, доказательство которой в литературе обычно не приводится, или приводится в сокращенном виде.

В третьей главе исследуется связь спектральной последовательности минимальной модели с геометрией расслоения. Основным результатом главы 3 является теорема о том, что для произвольного односвязного многообразия X, где dimX — п. фильтрация F, спектральной последовательности расслоения удовлетворяет условию AnnFn = Kerl,, где — отображение пересечения со слоем.

Этот результат позволяет при известном /т/, делать выводы о изучаемой спектральной последовательности. Также описываются известные результаты И. Фели, Ж.К. Тома и М. Вигю-Пуарье18, позволяющие вычислять Iml» через центр алгебры когомологий Н,(0,Х) относительно умножения Понтрягина.

В четвертой главе решается задача вычисления центра алгебры Н,(ПХ) относительно умножения Понтрягина для односвязных 4-многообразий. Эта самостоятельная задача решается при помощи базисов Гребнера. Заме-

l8Y. Félix, J.С. Thomas, M. Vigué-Poirrier The Hochschild cohomology of a closed manifold , Publications Mathe:matiques de ГЛНЕЗ, 99 (2004). pp.233-252

тим однако, что алгебра IIt(Q.X) в рассматриваемом случае бесконечна. Ее также можно рассматривать как универсальную обвертывающую алгебру над алгеброй Ли L(X) = 7Г,(ПХ)19. И хотя ее задание с помощью образующих и соотношений довольно просто — она отличается от свободной лишь одним соотношением — вообще говоря для таких алгебр нет общего алгоритма вычисления центра20.

В четвертой главе эта задача решена, результат получен в виде следующей теоремы.

Теорема. В случае b2 > 2 центр алгебры IIt(flX) тривиален. В случае ¿2 = 2 центр порождается элементами [Х1.Ж2] и [х\,хг].

Таким образом, результаты глав 3 и 4 позволяют произвести вычисления одного из столбцов члена Е00 изучаемой спектральной последовательности.

В пятой главе результаты предыдущих глав объединяются для вычисления размерностей II(Xs ). Основной результат главы, он же — главный результат диссертации выражает #n(Xsl) в виде явной формулы от п и

Ь2:

Теорема. Ряд Гильберта ^ хкIIк(Xs') для X — односвязных ^-многообразий с 62 > 2 выражается в виде:

(1 + х)Р{х) + 1 + х2 + 2х3 + х\

СО

Р(Х) = ^TV^-l)^1^,

П=1 d\n

где fi — функция Мебиуса.

В приложении приведена таблица значений Hn(Xsl) для некоторых п и ¿>2-

Благодарности.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Ф.Ю. Попелснскому за постановку задачи и постоянное внимание и помощь в работе.

19J. Milnor, J.C. Moore, On the structure of Hopf algebras, - Annals of Math. 81 (I960), pp.211-264.

2tJL.A. Bokut Unsolvability of the equality problem and subalgebras of finitely presented Lie algebras. — Russian Acad. Scknce Izv. Math. Vol. 6 (1972), pp.1153-1199

Автор глубоко благодарен академику РАН А.Т. Фоменко и всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений за внимание к работе и создание творческой атмосферы.

Работы автора по теме диссертации.

1. Онищенко А.Ю. Попеленский Ф.Ю. Об эквивалентности некоторых спектральных последовательностей расслоения. Спектральная последовательность Лере в дифференциальных формах и в минимальной модели. Математический сборник. № 4, 2011, 85-110

2. Онищенко А.Ю. О центре алгебры рациональных когомологий некоторых пространств петель относительно умножения Понтрягина. Вестник Московского Университета, 2008, № 2, 28-33

3. Онищенко А.Ю. Попеленский Ф.Ю. Вычисление когомологий Хох-шильда односвязных четырехмерных многообразий. Деп. в ВИНИТИ РАН 09.07.10 N 429-В2010

В работе 1 автору принадлежат теоремы 5. 6 а также леммы 5, 7 и 8.

В работе 3 автору принадлежат результаты о стабилизации спектральной последовательности минимальной модели пространства свободных петель в члене Ез, а также о вычислении ряда Гильберта пространства свободных петель через второе число Бетти исходного пространства.

Подписано в печать 23.04.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1105 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Минимальная модель ХБ1 для односвязного 4—многообразия

1.1 Минимальная модель односвязного 4-многообразия и ее свойства.

1.2 Минимальная модель Х*.

1.3 Разложение минимальной модели в прямую сумму для коформальных X.

1.4 Спектральная последовательность Е™ минимальной модели Xя1.

1.5 Вырождение Е^,д для односвязных 4-многообразий.

2 Спектральная последовательность минимальной модели расслоения

2.1 Пример не совпадающих спектральных последовательностей с одинаковыми членами Е2.

2.2 Некоторые общие замечания о спектральных последовательностях.

2.3 Эквивалентность для случая гладких форм.

2.4 Эквивалентность в минимальной модели.

2.5 Связь с последовательностью Лере-Серра.

2.6 Лемма о продолжении.

3 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения.

3.1 Связь морфизма пересечения со спектральной последовательностью расслоения.

3.2 Вычисление четвертого столбца спектральной последовательности расслоения X51 X для односвязных 4-многообразий.

4 Вычисление центра иЬх

4.1 Базис Гребнера-Ширшова идеала </.

4.2 Вычисление центра

5 Вычисление ряда Гильберта Н*(Хб1)

5.1 Отображение /3 в когомологиях.

5.2 Вычисление Е.

5.3 Вычисление

Рассмотрим замкнутое односвязное многообразие X. Через Xs1 обозначим пространство свободных петель над X, т. е. пространство непрерывных отображений стандартной окружности S1 = {2; Е С, = 1} в X. Это пространство может быть представлено также в виде расслоения Xs X, где QX — пространство петель с отмеченной тонкой. Работа посвящена вычислению когомологий пространства Xs1 с рациональными коэффициентами в том случае, если X — произвольное односвязное 4-миогообразие.

Свойства пространства Xsi в настоящий момент активно изучаются. В частности, интерес вызывает изучение некоторых алгебраических структур, таких как произведение петель (loop product), структуры когомологий Хохшильда, структуры алгебры Баталина-Вилковиского. Более подробный обзор можно найти в работах [17j, [18] и [19].

Одним из направлений в изучении свойств пространства Xs1 является задача вычисления когомологий H*(Xsl]<Q>). Результаты вычислений H*(Xsl) известны для X = Sn, для X = СРп [24]. Мы также считаем известными когомологии H*(Xsl) для тех односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 меньше или равно двум, так как они могут быть получены из работ [20, 24].

В нашей работе мы вычисляем H*(Xsl, Q) для односвязных четырехмерных многообразий, у которых второе число Бетти 62 больше двух. Сложность данной задачи, как будет видно из дальнейшего, заключается в том, что для рассматриваемого случая размерности пространств Hn(Xsi, Q) растут экспоненциально вместе с п.

По видимому, наиболее мощным аппаратом для решения данной задачи, является метод минимальных моделей, который был разработан Салливаном [21] и применен к пространству свободных петель для общего случая в работах [21, 22, 23].

Напомним, что минимальной моделью односвязного пространствах называется свободная градуированная коммутативная алгебра АV над <0> с дифференциалом с/, обладающая рядом свойств. Точное определение мы дадим в главе 1, а пока отметим, что минимальная модель X единственна в естественном смысле, причем ее когомологии Н*(АУ, в) совпадают с Н*(Х,0). Напомним, что здесь V — ф V; — градуированг>0 ное векторное пространство, а АV — свободная градуированная коммутативная алгебра, порожденная V, т. е. тензорное произведение кольца многочленов от образующих четной размерностей и внешней алгебры от образующих нечетной размерности.

Для рассматриваемого класса пространств X некоторые свойства минимальной модели установлены в работах [27] и [26]. В частности, вычислены размерности пространств Уг (мы приведем соответствующие результаты в главе 1), найдено описание пространства К в виде градуированной алгебры Ли, а также установлены важные свойства дифференциала минимальной модели.

Кроме того, в работах[21, 22, 23] приводится явный метод построения минимальной модели пространства расслоениях54 X по минимальной модели X.

Эти результаты позволяют построить минимальную модель пространства свободных петель над односвязным 4-многообразием. Размерности пространств минимальной модели в каждой градуировке можно получить из результатов [27] и [28], а дифференциал задавать в каждой градуировке последовательно с помощью некоего рекуррентного правила, выводимого из результатов работы [26].

Это означает, что при вычислении когомологий Н* (Х^) как когомо-логий минимальной модели возникают дополнительные сложности. В частности, для односвязных 4-многообразий лишь при 62 = 0,1,2 минимальная модель Хь1 имеет конечное число мультипликативных образующих и тогда соответствующие вычисления Н* (Х5*) несложно провести в явном виде. Однако уже при Ь2 > 2 число образующих минимальной модели в размерности п растет экспоненциально по п [26], поэтому непосредственное применение упомянутых результатов не позволяет эффективно вычислять

Результаты настоящей работы позволяют вычислить когомологии для односвязных 4-многообразий в случае 62 > 2 в явном виде, т.е. в виде явной формулы, зависящей от 62 и п.

Содержание диссертации:

В главе 1 приведены основные определения и предварительные сведения из теории минимальных моделей. С использованием известных результатов работ [27, 26, 21] описывается минимальная модель пространства свободных петель одиосвязного 4-многообразия.

Также в главе 1 приводится конструкция спектральной последовательности в минимальной модели пространствах51 по некоторой специальной фильтрации Рп. В дальнейшем мы будем называть ее спектральной последовательностью минимальной модели Исследованы свойства этой спектральной последовательности для односвязных 4-многообразий. Получены следующие результаты:

• Приведено разложение минимальной модели расслоения видаХ5 — X для коформальных пространств X в прямую сумму. (Следствие 1)

• Доказана теорема о том, что в спектральной последовательности минимальной модели выполнено тождество d^ — 0, в том случае если X — односвязное 4-многообразие, > 2 (Теорема 7)

В главе 2 показывается, что рассматриваемая в главе 1 конструкция спектральной последовательности минимальнои модели X допускает обобщение до спектральной последовательности минимальной модели произвольного расслоения Серра. Новым результатом является теорема 21, которая доказывает, что такая спектральная последовательность совпадает, начиная с члена i?2, с классической последовательностью Лере-Серра.

В главе 3 мы исследуем связь спектральной последовательности минимальной модели Xs1 с геометрией расслоения. В главе 3 показано, что для произвольного односвязного многообразиях, где dimX = п, фильтрация F* классической спектральной последовательности Jlepe расслоения удовлетворяет условию Ann Fn = Кег i*, где /* — отображение пересечения со слоем. В этой же главе показано, что данный результат р верен для произвольных расслоений Серра тг : Е —> X над односвяз-ными многообразиями.

Этот результат позволяет при известном Im I* делать выводы о изучаемой спектральной последовательности. Результаты работы [23] позволяют вычислять Im /* через центр алгебры когомологий Н*{£1Х) относительно умножения Понтрягина. Для односвязного 4-многообразия X центр Z(H*(ttX)) можно вычислить. Вычисление Z(H*(QX)) является самостоятельным нетривиальным результатом и вынесено в главу 4.

Два этих результата позволяют получить соотношение для четвертого столбца изучаемой спектральной последовательности = Q.

Глава 5 объединяет результаты глав 1-3 для вычисления Основным результатом главы 5 является формула, выражающая ряд Гильберта Н*(Хчерез размерности пространств минимальной модели ЛV многообразия X. Результаты вычислений для некоторых конкретных 62 и п приведены в приложении.

1 Минимальная модель xs1 для односвязного 4-много-образия

1. A.K. Bousfield, V. Gugenheim On PL de Rharri theory and rational homotopy type — Mem. Amer. Math. Soc, 179 (1976), No. 8

2. J. Neisendorfer Lie algebras, coalgebras and rational homotopy theory for nilpotent spaces — Pacific Journal of Mathematics, Vol. 74 No. 2 (1978), 429-460

3. P. Deligne, P. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan Real homotopy theory of Kahler manifolds— Inventiones Mathematicae, 29 (1975), 245-274

4. Ф. Гриффите, Дж. Харрис Принципы алгебраической геометрии — Москва, Мир, 19829J Ботт Р., Ту JI.B. Дифференциальные формы в алгебраической топологии — Москва, Наука, 1989

5. А. Фоменко, Д. Фукс, Курс гомотопической топологии. — Москва, Наука, 1989

6. McCleary J. A User's Guide to spectral sequences — Cambridge Univesity press, 2001

7. Barnes D.W. Spectral sequence constructors in algebra and topology. — Merri. Amer. Math. Soc., 1985, 53, no. 317

8. Vick J.W. Homology Theory. — Academic Press, 1973

9. M. Chas, D. Sullivan String topology — preprint, arXiv:math/9911159vl, January 2004

10. D. Sullivan String topology: background and present state, preprint, AT/0710.4141, October 2007

11. K. Kuribayashi, T. Yamaguchi The cohomology algebra of certain free loop spaces Fund. Math, 154 (1997), 57-73

12. M. Vigué-Poirrier, D. Sullivan The homology theory of the closed geodesic problem— J. Differential Geom. Vol. 11, N 4, 1976, 633-644

13. M. Vigué-Poirrier, D. Burghelea, A model for cyclic homology and algebraic K-theory of 1-connected topological spaces — J. Differential Geom. Vol. 22, N 2, 1985, 243-253

14. I. Babenko, On real homotopy properties of complete intersections. — Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 43 (1979), 1004-1024

15. И. Бабенко Об аналитических свойствах рядов Пуанкаре пространства петель — Матем. заметки, т. 26, No. 6 (1979)

16. Е. Witt, Treue Darstellung Liescher Ringe, J. Reine Angew. Math., 177, No. 3 (1937), 152-160

17. J. Neisendorfer, T.J. Miller Formal and Coformal spaces — Illinois.J. Math, 22 (1978), 565-580

18. J. Milnor, J.C. Moore, On the structure of Hopf algebras, — Annals of Math. 81 (1965), 211-264

19. H. Samelson A connection between the Whitehead and the Pontryagin product — American Journal of Mathematics, Vol. 75, No. 4 (Oct., 1953), 744-752

20. L.A. Bokut, A.A. Klein Serre relations and Groebner-Shirshov bases for simple Lie algebras. — International J. Algebra Comput. Vol. 6 (1996), 389-400, 401-412

21. L.A. Bokut Unsolvability of the equality problem and, subalgebras of finitely presented Lie algebras. — Russian Acad. Science Izv. Math. Vol. 6 (1972), 1153-1199

22. L. Bokut, S.J. Kang, K.H. Lee, P. Malcomson Groebner-Shirshov bases for Lie superalgebras and their universal enveloping Algebras— Journal of Algebra, Vol. 217, 2, 1999, 461-495

23. Онищенко А. Понеленский Ф. Об эквивалентности некоторых спектральных последовательностей расслоения. Спектральная последовательность Лере в дифференциальных формах и в минимальной модели. — Мат. Сборник, 2011, No. 4, 85-110

24. Онищенко А. О центре алгебры рациональных когомологий некоторых пространств петель относительно умножения Понтрягина. — Вестник Московского Университета, 2008, No. 2, 28-33

25. Онищенко А. Понеленский Ф. Вычисление когомологий Хохшиль-да односвязных четырехмерных многообразий. — Деп. в ВИНИТИ РАН, 09.07.10 N429-B2010