Конечные группы с малыми кратностями в разложении квадратов неприводимых представлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Поляков Сергей Владимирович

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С МАЛЫМИ КРАТНОСТЯМИ В РАЗЛОЖЕНИИ КВАДРАТОВ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 2014

5 игл

ЛН 2014

005549935

005549935

Диссертационная работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Казарин Лев Сергеевич

Официальные оппоненты:

Ведерников Виктор Александрович

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания института математики и информатики ГБОУ ВПО «Московский городской педагогический университет».

Чанков Евгений Игоревич

кандидат физико-математических наук, старший инженер-программист ООО «Конфёрмит»

Ведущая организация:

ФГВОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова»

Защита диссертации состоится 20 июня 2014 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144, аудитория 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова: 150003, г. Ярославль, Полушкина роща, д.1а, а также на сайте Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова: http://www.rd.uniyar.ac.ru / upload/iblock/36d/d42.pdf

Автореферат разослан «_» апреля 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

локова Светлана Ивановна

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Изучение особенностей строения конечных групп через заданные свойства неприводимых представлений широко используется в теории групп. Существуют как и очевидные утверждения, так и далеко не тривиальные факты, касающиеся, например, простых групп1.

Если уз и ip — обыкновенные неприводимые представления группы G, то существует разложение

в

где в — неприводимые попарно неэквивалентные представления группы G. Структурные константы с^,, могут быть определены с помощью характеров представлений в из соотношений ортогональности.

Интерес представляют случаи, когда на структурные константы накладываются определенные ограничения. В одном из них количество ненулевых констант с® ^ невелико, в другом — сами константы ограничены сверху.

В первом направлении имеются результаты, касающиеся разрешимых групп, и, в первую очередь, р-групп. Достаточно подробно исследован случай, когда характер, полученный как произведение некоторого неприводимого характера на свой сопряженный, имеет в своем разложении малое число различных слагаемых2'3.

Во втором направлении нас интересуют следующие случаи. Рассмотрим группы, у которых тензорные произведения любых двух неприводимых представлений имеют в своем разложении малые кратности.

Конечную группу G назовем 5Aím -группой4, если тензорный квадрат любого ее неприводимого представления разлагается в сумму неприводимых представлений группы G с кратностями, не превосходящими т.

В 1941 году лауреат нобелевской премии по физике Юджин Виг-нер (Эухенио Вигнер) ввел понятие SR-группы.

1Kazarin L.S. Sagirov I.A. On the degrees of irreducible characters of finite simple groups //Proc. of the Steklov Inst. Math. Suppl., 2001, Vol. 2. p. 71-81.

2 Ad an-В ante E. Squares of characters and finite groups.// J.Algebra. 2007. 310(2). p.619-623.

3Adan-Bante E. Products of characters with few irreducible constituents. // J.Algebra. 2007. 311(1). p.38-68.

4от английского (Square multiplicity>

Просто приводимыми группами (или SR-группами5) называются вещественные группы, в которых тензорное произведение любых двух неприводимых представлений не имеет кратностей (то есть кратности не выше единицы). Вигнер показал6, что для произвольной конечной группы G справедливо следующее неравенство

£ Ш" < £ \Со(9)\2, (*)

gea geG

где -Jg = {а: € G \ х2 = g}, а Са{д) — централизатор элемента д. Конечная группа G является просто приводимой тогда и только тогда, когда вышеуказанное неравенство обращается для этой группы в равенство. Получаемое из (*) равенство называется «условием Вигне-ра». Несмотря на предложенный критерий, в общем случае проверка условия Вигнера для конкретной конечной группы G является трудоемкой задачей, поэтому вопрос о свойствах и строении SR-rpynn долгое время оставался открытым.

Для неравенства, предложенного Вигнером, существует обобщение. В своей работе7 Дж. Макки доказал, что для произвольной конечной группы G справедливы неравенства.

£ Шп+1 < £ IСа(д)\п..

geG g£G

где п — произвольное натуральное число. Там же приведено доказательство неравенства Вигнера для конечных групп (п = 2 — это условие Вигнера).

В приложении «Нерешенные задачи» книги Введение в алгебру8 А.И. Кострикин, в качестве нерешенной проблемы, сформулировал вопрос о SR-rpynnax:

Как выразить в общем принадлежность к SR-классу в терминах структурных свойств группы?

С.П. Струнковым были сформулированы конкретные проблемы относительно строения SR-группы: «Дать описание всех просто при-

5от * Simply reducible»

6Wigner Е.Р. On representations of certain finite groups// Amer. J. Math., 1941. Vol.63, p.57-63.

?Mackey G.W. Symmetric and anti symmetric kroneker squares and interwining numbers of induced representations of finite groups//Amer. J. Math., 1953. Vol.75. N3. p.387-405,

8Кострикин А.И. Введение в алгебру, часть 3. Основные структуры алгебры. М.: Физ.-мат. лит., 2001. 272 с.

водимых групп ... (вопрос, интересный для физиков). Не будет ли конечная просто приводимая группа разрешимой9?»

Заметим, что в 1984 году, в 9-м издании Коуровской тетради под номером 9.56 был опубликован вопрос Яна Саксла (J. Saxl): «Найти все конечные группы, для которых тензорный квадрат любого обыкновенного неприводимого представления свободен от кратностей10.»

Впоследствии задача С.П. Стрункова была решена JI.C. Каза-риным, В.В. Янишевским11 и Е.И. Чанковым12. При этом был рассмотрен новый класс групп, более широкий чем SR. При отказе от вещественности и замены требования на разложимость без кратно-стей только квадратов неприводимых представлений, получаются группы, названные авторами ASR-группами13. ASR-группы, как и содержащиеся в их множестве SR-группы, оказались разрешимы.

Необходимо отметить, что вопрос о разрешимости ставится только для конечных SR-групп. Для бесконечных групп существует контрпример: трехмерная группа вращений 0{3) — .S'/¿-группа14.

Можно сказать, что ASR-группы являются своеобразной границей. Если хотя бы одна из кратностей больше единицы, то в общем случае говорить о разрешимости группы нельзя.

SMm-группы являются естественным обобщением SR и ASR групп. Понятно, что в множество ЭМг-групп входят как ASR, так и SM2-группы.

Для удобства введем еще одно определение. Назовем SM-харак-теристикой группы G наибольшую кратность в разложении квадратов неприводимых представлений этой группы. SM-характеристику группы G можно также определить как число mx(G), такое, что G — SMmx(G), но уже не SMmx(G)_1-rpynna.

Вероятно, что существует связь между наибольшей кратностью в разложении квадрата неприводимого характера и количеством характеров, входящих в это разложение. Например Edith Adan-Bante доказала, что если G — конечная нильпотентная группа нечетного порядка и х — ее неприводимый характер простой нечетной степени

'•'Коуропская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006. С.61, вопрос 11.94.

10Там же, С.40, вопрос 9.56.

11Казарин Л.С., Янишевский В.В. О конечных просто приводимых группах. // Алгебра и анализ, 2007. Т.19. N6. С.86-116.

12Казарин Л.С. Чанков Е.И. Конечные просто приводимые группы разрешимы. // Математический сборник, 2010. Т.201. N5. С.27-40.

13от <Almost simply reducible>

14Хамермеш M. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966. 588 с.

р, то наибольшая кратность в разложении характера х2 связана с количеством неприводимых слагаемых в его разложении. Более точно, эта кратность равна 2, если слагаемых (р + 1)/2, и равна р если слагаемое всего одно15.

Заметим, что достаточно часто встречаются конечные разрешимые группы, у которых SM-характеристика больше единицы.

Если рассматривать группы с кратностями в квадратах неприводимых представлений не больших двух (БМг-группы), то возникает ряд вопросов, связанных с их строением:

Какие из простых неабелевых групп являются БМг-группами?

Какими особенностями строения обладают неразрешимые SM2-группы?

Какие из разрешимых групп являются вМг-группами?

ЭМг-группы представляют особенный интерес, поскольку являются в каком-то смысле минимальным «расширением» класса ASR-групп.

В общем случае возникает вопрос о связи между SM-характерис-тикой конечной группы и ее строением.

Цель и методы работы.

Целью работы является исследование строения конечных групп, у которых тензорный квадрат любого неприводимого представления содержит неприводимые представления с небольшими кратностями, в частности, не больше двух. В диссертации используются методы доказательств теории конечных групп и теории характеров, в частности теорема Классификации простых конечных групп. В некоторых случаях для дополнительных вычислений была использована система компьютерной алгебры GAP.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Получено описание строения неабелевых композиционных факторов конечных неразрешимых БМг-групп.

2. Получено описание строения всех конечных почти простых SM2-групп.

15Adan-Bante Е. Squares of characters and finite groups. Теорема С.

3. Для всех конечных простых и почти простых групп получены нижние оценки БМ-характеристики.

4. Вычислены БМ-характеристики для некоторых конечных почти простых групп (в частности, для всех спорадических простых групп).

5. Получены нижние оценки БМ-характеристики для групп Фро-бениуса, вычислены БМ-характеристики некоторых 2-групп.

Положения, выносимые на защиту

1. Доказано, что среди всех конечных почти простых групп БМг-группами являются только группы РСЬг(д) и знакопеременная группа А5.

2. Доказано, что неабелевыми композиционными факторами конечных неразрешимых БМ2-групп могут быть только группы, изоморфные группе ¿г(<?)-

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по теории конечных групп и их представлениям, в алгебраической комбинаторике, а также в интерпретации некоторых задач теоретической физики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно-практической конференции «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2010), на конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей», Новосибирск (2010), на 64-й научной студенческой конференции (Ярославль, 2011), на международной (43-й Всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2012), на XI Белорусской математической конференции (Минск, 2012), а также на научных семинарах «Избранные вопросы теории групп» кафедры алгебры и математической логики ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2011-2013).

Публикация результатов.

Материал диссертации был опубликован в цикле работ, состоящем из 4 статей (в том числе 2 статьи в журнале из списка рекомендованных ВАК РФ), и 4 тезисов докладов. Все 4 статьи написаны без соавторов. Список работ приведен в конце диссертации.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из оглавления, введения, шести глав (22 параграфов), заключения, списка литературы из 41 наименования и приложений. Текст диссертации изложен на 102 страницах.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации.

Введение

Во введении обосновывается актуальность проблемы, делается постановка задачи, приводится краткий обзор уже известных результатов. Далее следует содержание диссертации, а также обзор полученных в ней результатов.

Глава 1. Предварительные сведения

Данная глава носит вспомогательный характер. В ней формулируются основные определения и результаты, используемые в диссертации.

В параграфе 1.1 изложены сведения теоретико-группового характера. Даны определения полупрямого произведения, нормального и композиционного ряда, почти простой группы, цоколя группы.

В параграфе 1.2 приводятся сведения из теории представлений и теории характеров. Вводится понятие индуцированного характера, характера Стейнберга простой неабелевой группы лиева типа, закон взаимности Фробениуса. Приводятся основные формулировки теории Клиффорда, сведения о характерах знакопеременной группы Ап, в частности, «формула крюков», указаны наибольшие значения степени неприводимого характера знакопеременной группы Ап при 5 ^ п < 12.

Далее в параграфе приводятся таблицы характеров группы Ь2(д) для четных д, и РСЬ2(д), а также значения двух характеров группы Ь2(ц) для нечетных д. В конце параграфа даны таблицы значений двух специальных характеров групп 1-3(9) и ^з (?) и доказываются леммы о кратности вхождения одного характера в разложение квадрата другого.

В параграфе 1.3 излагаются сведения о простых неабелевых группах: оценки классового числа, порядки групп внешних автоморфизмов, степени характера Стейнберга групп лиева типа. Для групп Ьп(д), С/П(д), Вп(д), Сп(д) при небольших п и ц вычислены точные значения классового числа. В конце параграфа приведены сведения о спорадических группах, а именно: значения классового числа, порядков самих групп и групп их внешних автоморфизмов.

В параграфе 1.4 приводится неравенство Галлахера, дающее верхнюю и нижнюю оценку для классового числа группы через индекс и классовое число ее подгруппы. Кроме того, дается оценка числа неприводимых характеров нормальной подгруппы конечной группы через классовое число этой группы. Также приведены оценки классового числа группы 5П и ее подгрупп.

Параграф 1.5 посвящен выводу основных свойств ЯМщ-групп. Доказываются неравенства, связывающие порядок 8Мт-группы б, ее классовое число к (С) и степень неприводимого представления:

Лемма 1.5.2. Пусть й — конечная БМт-группа. Тогда, для любого неприводимого характера х группы С, х(1) ^ тк(С).

Лемма 1.5.3. Пусть С — конечная БМт-группа. Тогда |^ ^ т2к(С)3.

Лемма 1.5.4. Пусть С — конечная БМт-группа. Тогда для любого ее неприводимого характера х выполняется: х2(1) ^ ту\С\к(С)

Лемма 1.5.5. Пусть С? — неразрешимая БМт-группа. Тогда степень любого ее неприводимого характера х удовлетворяет неравенству х(1) ^ тк(О) — т.

Первые три свойства выводятся из определения. Для доказательства четвертого свойства используется факт, что количество степеней неприводимых характеров неразрешимой группы не меньше 3 (предложение 1.2.6).

Кроме того, указывается критерий, по которому удалось получить нижние оценки т{С) для ЭМ-характеристики гпх(С). С помощью этого критерия отсеивались группы, заведомо не попадающие в класс БМ^-групп.

В параграфе 1.6 приведен список простых и почти простых групп, для которых удалось определить их БМ-характеристику. Отдельно даны результаты для спорадических групп и их групп автоморфизмов.

Глава 2. Кратности в разложении квадратов неприводимых представлений почти простых групп с цоколем, изоморфным ¿2(9)

В этой главе исследуются почти простые группы с цоколем, изоморфным группе ¿2(9), Для которых определяется БМ-характерис-тика.

В начале главы в параграфе 2.1 доказываются вспомогательные утверждения, касающиеся сумм примитивных корней из единицы в поле комплексных чисел.

В параграфе 2.2 рассматриваются группы Ь2(д). С помощью вычислений по таблице характеров доказывается при четном д, что для любых двух неприводимых характеров кратность вхождения одного в разложения квадрата другого не превосходит 2. Другими словами, доказывается, что для четного д, ¿г(?) — БМг-группа и ее БМ-харак-теристика равна двум.

Для нечетного д ^ 3 выбирается пара подходящих характеров, с помощью которых показывается, что в этом случай БМ-характерис-тика равна трем (кроме случаев ? = 3 и 5). Здесь не проводилась полная проверка для всех пар неприводимых характеров, но, как показывают вычисления для групп ¿2(9) при 5 < д < 125, именно это значение и будет наибольшим. Таким образом, можно предполагать, БМ-характеристика группы ¿2(9) в случае нечетного д будет равна трем.

В параграфе 2.3 доказывается, что группы РОЬ2(9), д > 3 являются БМг-группами.

Следует отметить, что в начале исследования среди простых неа-белевых групп была известна только одна БМг-группа — А5. Поскольку существует изоморфизм групп = ¿2(4) = Ь2(5), то появление групп ¿2(9), по крайней мере, для четных д, в списке БМг-групп было вполне логично. Неожиданным оказалось то, что класс простых БМг-групп содержал только эти группы (исключение д — 5). Как оказалось впоследствии, и эти группы — частный случай групп РСЬ2(д) ввиду изоморфизма ¿2(9) — РСЬ2{д) для четных д.

Наконец, в параграфе 2.4 разбираются случаи, когда б — почти простая группа с цоколем, изоморфным ¿2(9), отличная от Ь2(д) и РСЬ2(д). В каждом из них доказано, что БМ-характеристика тх(С7) группы С больше двух. Итог главы — теорема:

Теорема 2.4.4. Пусть С конечная почти простая БМ2-группа с цоколем, изоморфным Ь2(д). Тогда С изоморфна А5 или РОЬ2(д).

Глава 3. Простые БМг-группы

При изучении конечных групп, у которых квадраты неприводимых представлений имеют небольшие кратности, первым возник вопрос, какие из простых неабелевых групп будут БМг-группами. Выбор БМг-групп объясняется тем, что АБИ-группы (БМх-группы) уже достаточно хорошо изучены16 -17.

16Казарин Л.С., Янишевский В.В. О конечных просто приводимых группах.

17Казарин Л.С. Чанков Е.И. Конечные просто приводимые группы разрешимы.

В общем случае вопрос можно сформулировать так: для указанного т определить, какие из простых неабелевых групп входят в класс 8Мт-групп, в частности перечислить группы, у которых ЭМ-характеристика в точности равна т.

Для получения необходимой информации о конечных БМ „^группах использовались леммы 1.5.2 и 1.5.5. Для каждой простой неабе-левой группы Ь было рассмотрено число т(Ь), равное отношению степени некоторого ее неприводимого характера х к числу классов сопряженных элементов к(Ь). В силу леммы 1.5.5, если Ь — неразрешимая БМщ-группа, то х(1) < т(к(Ь) - 1) для любого неприводимого характера х группы Ь. Поэтому, если для группы Ь значение т(Ь) больше некоторого числа г, то и ее БМ-характеристика тпх(Ь) больше г. Другими словами, Ь не является БМг-группой.

Неоднозначность определения т(Ь) объясняется тем, что не всегда известна наибольшая из степеней неприводимых характеров. С другой стороны, здесь важнее были оценки значений т(Ь) снизу. В качестве подходящего характера, как правило, использовался характер Стейнберга, но в ряде случаев, для уточнения полученного числа, были использованы другие неприводимые характеры большей степени.

В конце главы подводится итог исследований для простых групп:

Теорема 3.4.2. Пусть Ь—конечная простая набелева БМ'2-группа. Тогда Ь изоморфна группе Ь2(д), где д = 2' ^ 4.

Глава 4. Почти простые БМг-группы

Как и в предыдущей главе, здесь была использована лемма 1.5.5. Для каждой из почти простых групп С с цоколем Ь рассматривалось число т(С) = ф0(1)/к(С), где -ф0 — неприводимый характер группы С, имеющий наибольшую степень. С учетом результатов главы 3, окончательную оценку снизу для т(С) можно записать так:

т(0> ™{Ь) > т{Ь)

к(Ои1Щ) " |Ои1(Ь)|"

В том случае, когда эта оценка неэффективна, используется дополнительная информация о группе <3, а также лемма 1.5.4.

Оказалось, что если Ь ф Ь2(я), то в этом случае БМ-характерис-тика тх(С) > 2 поэтому С не будет являться БМг-группой. Окончательный результат этой главы обобщает теорему 2.4.4:

Теорема 4.4.2. Пусть С? — конечная почти простая 5Мг-группа. Тогда С изоморфна или РС?!^?).

Глава 5. Неразрешимые ЯМг-группы

Для неразрешимых БМг-групп небольшого порядка удалось установить, что все их неабелевы композиционные факторы изоморфны группе L2(q). Цель исследований главы 5 — выяснить, верно ли это и для остальных конечных неразрешимых БМг-групп.

Дальнейшие рассуждения строились в предположении, что существуют неразрешимые вМг-группы с неабелевыми композиционными факторами, отличными от L2(q). Среди всех таких групп была выбрана группа G наименьшего порядка — минимальный контрпример.

В четырех последующих утверждениях в качестве ЯМг-группы G рассматривается этот контрпример. В начале главы доказывается

Лемма 5.0.3. Пусть N — минимальная нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1. N — единственная минимальная нормальная подгруппа G, то есть N — цоколь группы G.

2. N = Li х - • ■ х Lm — характеристически простая группа; все Li изоморфны простой неабелевой группе L.

3. G изоморфна подгруппе сплетения Aut(L)lS, где S — подгруппа симметрической группы Sm, действующая транзитивно на множестве минимальных нормальных подгрупп группы N.

Далее с учетом этих структурных особенностей группы G и в этих обозначениях доказывается:

Лемма 5.0.4. Пусть Хо — неприводимый характер группы G наибольшей степени. Тогда

Хо(1) <c \Out(L)\-k(L),

где с = (2 • fc(5))1/,m, a k(S) — классовое число группы S.

Если m > 2, то с ^ 1, 82 и с = 2, если т = 2.

В следующих двух утверждениях, мы ограничиваем список рассматриваемых групп до конкретных случаев.

Теорема 5.0.5. Пусть m ^ 2. Тогда группа L изоморфна одной из следующих групп: АТ, L3(3), L3(4), L3{8), U3(3), U3{4), U3(5), I/3(8), U3(16).

Следствие 5.0.6. Пустт m > 3. Тогда L — одна из следующих групп: L3(3), L3(4), L3(8), U3{3), U3(4), U3(5), U3(8).

В конце главы, после дополнительной проверки для оставшихся групп, показывается, что L не может быть ни одной из перечисленных групп. Таким образом, доказывается:

Теорема 5.0.7. Пусть G — неразрешимая SMi-группа. Тогда ее простые неабелевы композиционные факторы изоморфны группе

L2(q).

Глава 6. Некоторые классы конечных SMm-rpynn

Глава 6 посвящена БМг-группам в некоторых частных случаях.

В параграфе 6.1 разбирается случай, когда G = М Н — группа

Фробениуса с ядром А/. Доказано, что SM-характеристика mx(G)

|Я|2 _

группы G не меньше, чем ^-—. В качестве примера приводится

список некоторых метациклических групп Фробениуса, для которых вычислена SM-характеристика.

Далее в главе 6 рассматриваются разрешимые группы. В параграфах 6.2-6.4 приведены результаты вычислений SM-характеристи-ки mx(G) для 2-групп. Сначала даются сведения о количестве SM2 и sm4-rpynn среди неабелевых, в частности метабелевых 2-групп порядков, не превосходящих 256. Далее, для некоторых случаев указывается строение, классовое число, SM-характеристика mx(G) и идентификатор группы в системе GAP. Показано, что mx(G) может принимать значения, равные только 1, 2 и 4.

В отдельной таблице приводятся сведения о ступенях разрешимости 2-групп с характеристикой mx(G) ^ 2. Установлено, что все группы порядков 32 и 64 — ЗМг-группы, причем группы, у которых mx(G) = 2, имеют ступень разрешимости не меньше двух. Для групп порядков 128 и 256 ситуация несколько сложнее. Значения ступеней разрешимости для групп с SM-характеристикой большей единицы равны только 2 или 3.

Параграф 6.5 содержит сведения о количестве всех SMm-rpynn среди разрешимых неабелевых групп порядков 6-400 (за исключением 2-групп).

Заключение

Заключение содержит гипотезы, формулировки которых обобщают полученные в диссертации результаты. Эти гипотезы могут служить ориентирами для дальнейших исследований по SMm-rpynnaM.

Далее следует список литературы из 41 наименования.

Приложения

В приложениях описывются команды GAP, использованные в работе. Приводятся тексты программ.

Заключение

В качестве заключения стоит добавить, что хотя структура неразрешимых БМ2-групп описывется достаточно четко, остается ряд вопросов, которые могут представлять интерес.

Вопрос 1. Было установлено, что неабелевы композиционные факторы неразрешимой БМг-группы изоморфны группе ¿2(9)- Тем не менее, неизестно количество таких факторов. Для групп небольших порядков оказалось, что такой фактор всего один. Вопрос, какое количество будет в общем случае?

Вопрос 2. Экспериментально было установлено, что БМ-характеристика конечных р-групп небольших порядков равна р1 ^ 0. Верно ли это в общем случае?

Вопрос 3. Какие из 2-групп являются БМг-группами? Есть основания полагать, что БМ-характеристика связана со ступенью разрешимости этих групп.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России:

[1] Поляков, C.B. О тензорных квадратах неприводимых представлений конечных почти простых групп. I. / С.В.Поляков // Моделирование и анализ информационных систем. - 2011. - T.18,

- N1 - С.130-141.

[2] Поляков, C.B. О тензорных квадратах неприводимых представлений конечных почти простых групп. И. / С.В.Поляков // Моделирование и анализ информационных систем. - 2011. - Т.18,

- N2 - С.5-17.

Другие публикации:

[3] Поляков, C.B. О тензорных квадратах неприводимых представлений почти простых групп с цоколем, изоморфным L2(q). / С.В.Поляков // Вестник Пермского университета. - 2011. Вып. 1(5). - С.4-10.

[4] Поляков C.B. О неразрешимых SM2-группах. / С.В.Поляков // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. ЯрГУ им. П.Г.Демидова. - Ярославль, 2010. - Вып. 11.

- С.14-23.

[5] Поляков, C.B. О тензорных квадратах неприводимых представлений почти простых групп. / C.B. Поляков // Тезисы школы-конференции «Алгоритмические вопросы теории групп и смежных областей», - Новосибирск, 2010. Режим доступа:

http://math.nsc.ru/conference/isc/2010/thesis/Polyakov.pdf

[6] Поляков, C.B. О тензорных квадратах неприводимых представлений конечных простых групп / С.В.Поляков // «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» сборник тезисов областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Ярославской области,

- Ярославль, 2010. - С.84-85.

[7] Поляков, C.B. О структуре неразрешимых sm2-rpynn. / С.В.Поляков // Тезисы международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики». - Екатеринбург, 2012. - С.79-81. Режим доступа: http://conf.uran.ru/kungurka/School-2012.pdf

[8] Поляков, C.B. Особенности строения конечных групп с небольшими кратностями в разложении квадратов неприводимых представлений. / С.В.Поляков //XI Белорусская математическая конференция: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 5-9 ноября 2012 г. Часть 5 / Институт математики НАН Беларуси, Белорусский государственный университет. - Минск, 2012, -С.44. Режим доступа: http://elib.bsu.by/handle/123456789/28854

Подписано в печать 17.04.14. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ 6/14. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская, 14.