Конфигурационные свойства ельмслевовых проективных плоскостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.

§1. Проективные и аффинные плоскости и конфигурации.

§2. Проективные и аффинные ельмслевовы плоскости.

§3. Координатизация ельмслевовнх плоскостей.

§4. Коллинеации.

Глава I.

Конфигурационные свойства Н-плоскостей и их алгебраические эквивалента.

§1 .Основные определения.

§2. Папповы теоремы.

§3. Дезарговы теореш.

§4. Геометрическое представление ассоциативного и дистрибутивного Законов.

§5. Правила знаков.

§6. Геометрическое представление связей между тернарными операциями.

Глава 2.

Конфигурационные свойства Н-плоскостей и их связи с коллинеациями.

Глава 3.

Связи между конфигурационными свойствами Н-плоскостей.

§1. Связи между разновидностями теоремы Дезарга.

§2. Связь между теоремами Паппа и Дезарга.

§3. Другие связи между конфигурационными свойствами.

§1. Проективные и аффинные плоскости и конфигурации.

Инцидентностной структурой IX] называется тройка 5=<9\£;1>, где ; 9 и Я* $ ; i<= «з1* £ .

Элементы множества Я* называются точками и обозначаются цифрами или строчными латинскими буквами. Элементы множества £ называются прямыми и обозначаются прописными латинскими буквами.Отношение I называется отношением инцидентности. п точек будем называть коллинеарными в S , если cytaecis-вует такая прямая L е £ f которой инцидентны эти точки, п, точек будем называть а -кой точек общего положения в S , если никакие три из них не коллинеарны в S .

Наиболее изученными видами инцидентностных структур являются аффинные и проективные плоскости.

Проективной плоскостью называется инцидентностная структура П = < SP jt ; I > » удовлетворяющая следующим аксиомам:

PI. Для любых двух различных точек р и существует единственная прямая L ,такая что р , C^IL.

Р2. для любых двух различных прямых L и М существует единственная точка р такая, что рЦ , И .

РЗ. Существуют четыре точки общего положения в S .

Минимальной проективной плоскостью является плоскость Фано, граф которой представлен на рисунке х.

Инцидентностная структура с параллельностью Р00* I*

I, ||> , где II - отношение эквивалентности на множестве £ , называется аффинной плоскостью, если выполняются следующие условия:

АХ. Для любых двух различных точек р и с^ существует единственная прямая L такая,что р , с^ I L .

А2. для любой точки р и любой прямой М существует единственная прямая ь такая,что р IL и L1IM.

A3. Если для прямых L и N не существует точки, инцидентной одновременно и и И , то L ИМ .

А4. Существует три точки общего положения в А .

Минимальной аффинной плоскостью является плоскость, граф которой представлен на рисунке 2.

Между проективными и аффинными плоскостями существует тесная Рис. 2. связь. Если из проективной плоскости П удалить некоторую пряэдую и инцидентные с ней точки, а отношение параллельности определить на множестве =• \ { L } следующим образом:

М II К р € 9 Yp I м, М , L , то инцидентностная структура с параллельностью П ь = < 9\ Г,1Ц где Л** = \ { р I рI I } , Г= ( х £%)n I , будет аффинной плоскостью, например, удалив из плоскости Фано точки 5,6,7 и прямую, инцидентную этим точкам, можно получить аффинную плоскость /рис. 2/.

С другой стороны, каждая аффинная плоскость А однозначно определяет некоторую проективную плоскость П , в которой существует такая прямая L , что плоскость flL , получаемая указанным выше способом, изоморфна плоскости А .

Конфигурацией называется всякая конечная инцидентностная структура. Примером может служить конфигурация фано /рис. х/.

Пусть П = < ; I > - проективная плоскость и S Г> - конфигурация и Г- определенное подмножество Г , причём 9<= ^ ; ^ ; ^ 1 • Тогда, если Г^ I , то будем говорить, что и обладает конфигурационным свойством 5 / или в П замыкается конфигурация S /.

Наиболее важные конфигурационные свойства называют теоремами / Паппа, Дезарга и т.п./.

Пусть S = I > - инцидентностная структура и 9\ 5 Ii/* - подструктура этой структуры, расширением структуры в S назовём любую инцидентностную структуру Sa= L>, где фсфед* ;

I-i ° Iz ^ I , удовлетворяющую условиям: iACVpop»

2/.(VL4,Lte ^(Vpe £Р)М pi U,, L2=>p^€T2 .

Минимальным пасширением структуры в S называется пересечение всевозможных расширений структура в S .

Системой образующих ' конфигурации назовём подмножество множества удовлетворяющее условиям:

I/. минимальное расширение I* в 5 совпадает с S ;

2/. если Г» «= Г / fW Г /, то минимальное расширение Г< в S1 отлично от 5 .

Рангом конфигурации S называется число

Л = 2 (19ч1 -И ПЫГИ.

Ранг конфигурации можно найти по её системе образующих.

Пусть F — £PS система образующих конфигурации Г У ; , ^ - подмножества" Г такие,что: т/. & и $ = Г ;

2/. никакие три точки из Ф, не коллинеарны в S ;

3/. для любой точки р € существует пара различных точек из коллинеарных с р в S . Тэгда можно показать, что число об = I |9J| + I 911 совпадает с рангом конфигурации S .

В 1943 голу Холл [4] предложил алгебраический метод описания проективных / а вместе с тем и аффинных / плоскостей. Алгебраическая система, координатизирующая указанные инцидентностные структуры, была названа тернарным кольцом. В дальнейшем появились исследования, посвящённые установлению связей между свойствами группы автоморфизмов проективной плоскости, конфигурационными свойствами плоскости и свойствами тернарных колец / [18] , [20], [21] и другие/. Теория проективных плоскостей изложена в работах 1т] , 12] , [3] , [5] , [6] , [19] .

В 1905 году Гессенберг [7] выяснил, что теорема Дезарт следует из теоремы Паппа. Б.И.Аргунов [20] , [21] , Л.А.Скорняков [19] , [22] , а также Клингенберг устано

3 Ц ь вили ряд связей между конфигурационными свойствами про- рис. 3. ективных плоскостей /рис. 4/.

Эти связи устанавливались при условии, что проективная плоскость не обладает конфигурационными свойствами Фано или Рашевскот С X7J /рис. 3/.

5(9

S' (9 J2J3) аШ8; 42 J2) (-а)на+сО=а

JK&'JO jo) (а+а) + С-а)=а Г

3(9J0jo) t(a,b,a-b)=a-b«-a-l>"

Н) а",-са-а) = а

П Оио,9) а-(а-а) = (а-а)а clK (9; Ca+M+ft W J2) j aKJO; 4HJ3)

П(9; а+Ь = 9,-10) Ь + а

S'(-(0; а-(-6)*-(а-Ь)

ЛК а+ЬУс-а-с + Ь-с

JD СЮ JO JO) i(a,b,c)=a-b + c $КМ jo Jo) e-a:(ca~(c-fe-c)); mACiOj-M JO

ЯК Л J6J8)

П (lo;9,9)

Рис. 4.

Результаты исследования приведены в таблицах 4 и 5.

1. W.Kfiagea6er9.3)esar^iesscAea . <S6enen railfeWareeemealea.-H^.MflPi.Sem.Ualv.KamBum.,1955, 20,5. 97-111.

2. H. LiiaeBurg. (\|^Lne HjeEmsCev-ББепеп. miA bcuiiUver TraasMloas9ruppe-MQ{fi.l,-f962,79,5.2Go-28g.гаке,fcxis-tence o| parcxEEeEisras ciad projeK-Uve extensions for strongEy a-uaiform necxr affineHjeEmsPev ptanes.-BeomlDedlc., 1974,5,p. 194-244.

3. J.W.XoKmer. Coordinate theorems for affCne Hjeemseev peanes.4rin.Matfi.pura ed. appC.,1975,ю5,р.W190.

4. IVWoKmer. N.tD.iCane.DesarQueslaa afflne Hjetms-tev pBanes 3. r-eirie und anqew. MaAfi., W5,278/279, p. 536-352.

5. P.K.RasPievSKu. Sur une qeometKe avec de nouvaucc aoclomes de coaf Lgur-a-tioa.-R.ec.Maifi. M0SC0U ff. Ь., 1940, 185-203.

6. М.Холл. Теория групп. M. ИЛ, 1962.

7. JI.А.Скорняков. Проективные плоскости. УМН, 1951, 6:6, с. 112 - 154.

8. Б.И.Аргунов. Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты. Матем.сб.1950, 26, с.425 - 456.

9. Б.И.Аргунов, конфигурационные постулаты в проективных плоскостях и их алгебраические эквиваленты. Beстн.МГУ, 1948,№1, с.47 - 52.

10. Л.А.Скорняков. Некоторые вопросы теории тел и теории проективных плоскостей. Автореферат, Москва, 1957.

11. В.К.Цыганова. Н-тернар ельмслевовой аффинной плоскости. -Уч. зап.Смоленск.гос.пед.ин-та,1967,18, с.44 69.

12. Е.П.Емельченков. РН-тернар проективной ельмслевовой плоскости. Смоленск.матем.сб.,1973,4, с.93 - 101.

13. Е.П.Емельченков. Переносы АН-плоскостей и Н-тернары. -Смоленск.матем.сб.,1973, с.74 -83.

14. Е.П.Емельченков. Гомотетии .АН-плоскостей и АН-тернары. -Геометрия и топология, Л.1974,№2, с. 89 93.

15. Е.П.Емельченков. Сдвиги аффинной ельмслевовой плоскости.-Смоленск.гос.пед.ин-т, 1974,деп.ВИНИТИ №2162 74.

16. Е.П.Емельченков. / F1 , £ /-транзитивные нефановы АН-плоскости и Н-тернары. Смоленск.гос.пед.ин-т,1977, деп.ВИНИТИ №1977 77.

17. Е.П.Емельченков. О / П Л /-коллинеациях АН-плоскостей.-Современная геометрия, Л.1978, с.58 60.ЗОЗ Е.П.Емельченков. / П , Е /-транзитивные АН-плоскости.-Смоленск.гос.пед.ин-т,1977, деп.ВИНИТИ №1540 78.

18. Е.П.Емельченков. Проективные отражения Н-плоскостей и Н-тернары. Смоленск.гос.пед.ин-т,1974, деп.ВИНИТИ №2161 - 74.

19. Е.П.Емельченков. Тернары и автоморфизмы ельмслевовых плоскостей. Канд.дисс.Смоленск,1972.

20. В.К.Цыганова. 0 невозможности внесения универсально понимаемых конфигурационных предложений в проективную плоскость со смежными элементами. Уч.зап.Смоленск.гос.пед. ин-та,1967,18, с.35 - 43.

21. В.К.Цыганова. Н-тернар* и конфигурационные предложенияс их алгебраическими эквивалентами аффинных ельмслевовых шюскостей. Изв. АН БССР, се р. физ.-матем. наук, 1973, №3, с.125 - 126.

22. В.К.Цыганова. Зависимость между некоторыми конфигурационными предложениями в аффинных ельмслевовых плоскостях. -Изв.АН БССР,сер.физ.-матем.наук,1973,$3,с.127 128.

23. В.К.Цыганова. Аффинная специализация /8,11,14/ в АН-плоскости и её алгебраический эквивалент. Изв.АН БССР,сер. физ.-матем.наук,1975,№5, с.104 - 105.

24. В.К.Цыганова. Конфигурационное предложение /9,13,17/ и его алгебраический эквивалент. Изв.АН БССР,сер.физ.-матем.наук,1978,№1, с.120 - 121.

25. Б.И.Аргунов, Е.П.Емельченков. Инцидентностные структурыи тернарные алгебры. УМН, 1982,т.37,вып.2/224/, с.1 - 37.

26. Б.И.Аргунов, Е.П.Емельченков. Проективные и аффинные плоскости и их обобщения. Смоленск.мат.сб.1981, с.З - 30.

27. Е.М.Елисеев. Дезарговы теоремы и их связь с коллинеация-ми ельмслевовой проективной плоскости. Смоленск.матем. сб.,1981, с.30 - 40.

28. Е.М.Елисеев. 0 конфигурационных свойствах ельмслевовой проективной плоскости. Горьковск.пед.ин-т,1982, деп. ВИНИТИ №547 - 83.

29. Е.М.Елисеев. Об определении конфигурационных свойств в проективной ельмслевовой плоскости. "Материалы УТ конф. мол.учёных Ун-та дружбы народов:Мат.,физ.,химия. Москва, 17 - 21 марта, 1983,ч.х" УДН,М. ,1983, с.Цб -Ц9.Деп.ВИНИТИ №13X6 84.