Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005060182

АБАШКИН Антон Александрович

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

:У13

Казань — 2013

005060182

Работа выполнена на кафедре "Высшая математика" ФГБОУ ВПО Самарский государственный архитектурно-строительный университет

Научный руководитель: Репин Олег Александрович,

доктор физико-математических наук профессор, ФГБОУ ВПО СГАСУ

Официальные оппоненты: Капустин Николай Юрьевич,

доктор физико-математических наук доцент, ФГБОУ ВПО МГУ

Плещинский Николай Борисович доктор физико-математических наук профессор, ФГБОУ ВПО КФУ

Ведущая организация: Федеральное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования Орловский государственный университет

Защита состоится 20 июня 2013 года в 14:30 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, НБ КФУ)

Автореферат разослан «1^» мая 2013 года и размещен на официальном сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.kpfu.ru.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.212.081.10 к. ф.-м. н., доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Предметом исследования в данной диссертации являются некоторые краевые задачи в прямоугольных областях, часть границы которых лежит на линиях х = 0 и у = 0, для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

Н* р(и(х, у)) = ихх + иуу + — их + — иу + Хи = 0, (1)

х у

где /и, р, А - действительные числа, на которые в дальнейшем будут наложены ограничения.

Коэффициенты данного уравнения имеют особенности на линиях х = 0 и у = 0, такие уравнения называют уравнениями с сингулярными коэффициентами.

Ввиду наличия многочисленных приложений, в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными значительное место занимают исследования вырождающихся уравнений, особый класс которых и составляют уравнения с сингулярными коэффициентами.

Приведем несколько примеров, раскрывающих причины интереса к уравнению (1).

1) Если перевести уравнение Гельмгольца Ди+к2и = 0 в К3 в цилиндрические координаты, то получим уравнение и2г+игг + ^иг + -р^и^и+к211. = 0. При рассмотрении не зависящих от <р, то есть осесимметрических, решений полученного уравнения приходим к частному случаю уравнения (1), поэтому уравнение (1) имеет важное значение для изучения осесимметрических волновых процессов.

2) При Д = 0, р = А < О уравнение (1) описывает распространение радиоактивной эманации в атмосфере1, при этом и(х,у) является концентрацией радиоактивной эманации, а А - постоянной распада.

3) Поиск монохроматических решений и(х,у,1) = и(х, у)е±гХ* волнового оператора Даламбера Д[/ — ии в пространстве Ят+п с координатами

1 Александрович И. Н. О решении краевых задач для уравнения Гельмгольца // Сборник трудов научной конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" Капев. 1974. С. 78-86

(.XI, ...,хт,у1, ...,уп), времешюй координатой t и частными расстояниями х2 = х2 + ... + х^, у2 = у\ + ... + у2 сводится к нахождению решений двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (2/г — т - 1, 2р = п - 1).

4) Уравнение (1) связано с уравнением смешанного типа

1аизв + в^ии + Хи — 0, (2)

а именно, если в области эллиптичности привести уравнение (2) к канонической форме, то получим уравнение (1).

При /3, А = 0 уравнение (2) называется уравнением Геллерстедта.

В случае 0, А = 0, а — 1 уравнение (2) называется уравнением Трикоми и имеет важное прикладное значение для газодинамики.

Отметим также, что общей теории уравнений с сингулярными коэффициентами на данный момент еще не создано.

Таким образом, актуальность изучения краевых задач для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) обусловлена:

1) его востребованностью в приложениях;

2) его связью с классическими уравнениями математической физики и уравнениями смешанного типа;

3) отсутствием общей теории для уравнений данного типа.

Степень разаботанности темы исследования.

Краевые задачи для различных частных случаев уравнения (1) были предметом интереса многих математиков. Так, в 1952 году М.Б. Капилевичем2 была решена задача Дирихле для уравнения А« + -§^ихп ~ Ь2и = 0, а < 1 в полуплоскости у > 0.

Теория краевых задач для частных случаев уравнения (1) активно разрабатывалась и силами самарских математиков. С.П. Пулькин3 исследовал краевые задачи типа Е для уравнения ихх + иуу + ^их - 0, в двух областях, первая из которых ограничена отрезком х = 0, -Ь < у < Ь я кривой Г0 с концами в точках (0,6) и (0, -Ь), вторая - отрезками х = 0, 0 < у < Ь

2Капилевич М. Б. об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Математический сборник. 1952. №1. С.11-38.

3Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения ихх ± иуу + = 0 // Уч. зап. Куйбышевского пед. ин-та, 1958. Вып.21. С.3-5-1.

иу = 0,0<1<1и кривой Г, соединяющей точки (0,6) и (1,0). Была доказана однозначная разрешимость данных задач.

Также краевым задачам для частных случаев уравнения (1) посвящены работы В.В. Азовского, А.Д. Бочкарева, В.Ф. Волкодавовова, JI.E. Вост-ровой, М.В. Коржавиной, И.А. Макарова, В.А. Носова и др.

Отметим исследования O.A. Маричева4 для уравнения (1) при А > 0, в которых построены решения сингулярных задач типа Неймана и Дирихле в полуплоскости у > 0, квадранте х > 0, у > 0 и задачи Дирихле в полукруге {х2 + у2 < а2, у > 0} для случая А = 0.

В работах М.Е. Лернера, O.A. Репина5 и Е.И. Моисеева6 изучена краевая задача с нелокальным условием типа Бицадзе-Самарского в вертикальной полуполосе для уравнения (1) при А < 0, ц = 0, доказана ее однозначная разрешимость.

Для уравнения (1) при А < 0 в статье М.Е. Лернера и O.A. Репина7 доказана однозначная разрешимость и найдены формулы для решения задачи Дирихле в первом квадранте.

Краевыми задачами для уравнения (1) и его частных случаев, занимаг лись Н.Б. Плещинский, Н.Р. Раджабов, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, P.C. Хайруллин, А. Хасанов и др.

Выделим следующие особенности, присущие многим работам по данной теме:

1) из-за поведения решений вблизи линий х = 0 и у = 0 при некоторых значениях коэффицентов ц и р на данных линиях задаются условия с весом;

2) другой вариант постановки краевых задач, который многократно встречается в публикациях, это задачи типа Е, в которых на прямых х = 0

4Маричев О. И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного двуосесимметриче-ского уравнения Гельмгольца // Докл. АН СССР. 1976. Т.230 №3. С.523-526.

5Лернер М. Е., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37. С.1562-1564.

6Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37. С.1565-1567

7Лернер М.Е., Репин O.A. О задаче Дирихле для обобщенного двуосесимметриче-ского уравнения Гельмгольца в первом квадранте // Вестник Самарского Технического Университета. 1998. №6. С.5-8.

и (или) у = О требуется только ограниченность искомой функции.

Цели работы.

Целями диссертационной работы являются:

1) нахождение условий существования и условий единственности решения некоторых краевых задач для уравнения (1) в следующих областях:

- в прямоугольнике £>! = {(ж,у) | 0 < х < а, 0 <у <Ь};

- в вертикальной полуполосе В2 - {(г, у) | 0 < х < а, 0 < у < оо};

- в вертикальной полосе £>3 = {(х, у) \ 0 <х < а у е (-оо, 0)и(0, +оо)};

- в первом квадранте В4 = {(ж, у) | 0 < х < оо, 0 <у < оо}.

2) построение решений данных задач в виде рядов и интегралов.

Научная новизна.

В данной работе поставлены и исследованы новые краевые задачи для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в прямоугольнике, полуполосе и полосе. Отличительной особенностью исследованных в диссертации краевых задач является то, что на параметры уравнения (1) р, ц и Л накладываются минимальные ограничения.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты работы носят теоретический характер и могут быть востребованы при дальнейшей разработке теоретических вопросов, связанных как с двуосссимметрическим уравнением Гельмгольца, так и с подобными и обобщающими его уравнениями. Методы и результаты работы также могут быть использованы при исследовании краевых задач в областях, содержащих участки линий вырождения в качестве части границы.

Методы исследования.

В диссертационном исследовании были применены:

1) метод Фурье;

2) метод интегральных преобразований;

3) аппарат специальных функций;

4) спектральный метод;

5) принцип максимума для эллиптических уравнений. Положения, выносимые на защиту.

1) Теоремы существования и единственности решения следующих краевых задач:

- задач типа Дирихле с весовыми условиями на линиях сингулярности х = 0 и у — 0 для уравнения (1) в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе;

- задач типа Е для уравнения (1) в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе.

- задачи о скачке в вертикальной полосе для уравнения (1).

- задачи для уравнения (1) при р> А < 0 в первом квадранте, в которой 1) на полупрямой х = 0, у > 0 произведение производной по нормали искомой функции и весовой функции должно быть равно нулю. 2) на отрезке у = 0, 0 < х < а произведение искомой функции и весовой функции должно иметь заданные значения, 3) па полупрямой у = 0, х > а произведение производной по нормали искомой функции и весовой функции должно быть равно заданным значениям.

- нелокальной задачи в вертикальной полуполосе с весовым условием на производную по нормали от искомой функции на отрезке г/ = 0, 0 < ж < 1 для уравнения (1) при //, = 0. А < 0.

2) Доказательство существовашш и неединственности решения нелокальной задачи в вертикальной полуполосе с весовым условием на искомую функцию для уравнения (1) при ц = О, А > 0.

3) Нахождение дополнительного условия, обеспечивающего единственность решения нелокальной задачи из пункта 2).

Достоверность полученных в работе результатов достигается использованием классических методов теории уравнений в частных производных. Также в диссертации произведено сравнение полученных результатов с результатами одной из работ, обобщенных в данном исследовании.

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1) I всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 2010 г.;

2) конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения ", Са-

мара, 2011 г.;

3) Восьмой Всероссийской конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2011 г.;

4) международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, 2011 г.;

5) Третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2012 г.;

6) семинаре кафедры высшей математики Самарского государственного архитектурно-строительного университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. К.Б. Сабитов) 2011, 2012 гг.;

7) семинаре кафедры уравнении математической физики Самарского государственного университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. Л.С. Пулькина), 2011, 2012 гг.;

8) семинаре кафедры функционального анализа и его применений ВМК МГУ (научный руководитель - академик РАН Е.И. Моисеев), 2013 г.;

9) семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Пои-волжского) федерального университета (научный руководитель - д.ф.-м.н., проф. В.И. Жегалов), 2013 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [10] семь из которых ([1] - [7]) представлены в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 24 параграфа, заключения и списка литературы, включающего 78 наименований. Общий объем работы составляет 107 страниц.

Основное содержание работы

Во введении дается краткий обзор публикаций, связанных с темой диссертационного исследования, обосновывается актуальность тематики дис-

сертациошгой работы, представлены ее цели, задачи, результаты и краткое содержание.

В первой главе "Краевая задача в прямоугольной области" в прямоугольнике Иг = {(ж, у) | 0 < х < а, 0 < у < 6} исследуется разрешимость задачи типа Дирихле. Основные результаты опубликованы в работе [9].

В параграфе 1.1 приводится постановка краевой задачи В1 для уравнения (1), которая при < \ является задачей Дирихле с условиями

и(а, у) = 0, у €[0,6], и(х,Ь)=0, 1б[0,а]; (3)

«(0,у) = ф{у), у € [0,6], и{х,0) = ф), х € [0, а]. (4)

При других комбинациях значений параметров /лир условия поставленной задачи претерпевают следующие изменения. Если ¡л > то первое равенство в условии (4) нужно заменить на

Ит х2»~1и(х,у) = ф{у), у € [0,6], при /х > (5)

ж—»0 £

Шп^М) = у е[0,6], при „=1 (6)

ж->0 ш X - I

Аналогично, если р > то второе равенство в условии (4) нужно заменить на

Пту2р~1и(х,у) = ф), х € [0, а], при р>\\ (7)

у—>0 2

Иш = ф), х € [0, а], при р=\. (8)

у-*о ту £

Ранее краевые задачи для частных случаев уравнения (1) в ограниченных областях, лежащих в первом квадранте, исследовались в работах Л.Е. Востровой8, И.А. Макарова9, О.А. Маричева10, М.С. Салахитдинова,

8Вострова Л.Б. Смешанная задача для уравнения ихх + иуу + = 0 // Волжский математический сборник. 1969. Вып.7. С.17-20

9Макаров И. А. Решение задачи Коши, Коши-Гурса и задачи N для уравнения с двумя линиями вырождения // Волжский математический сборник. 1966. Вып.5. С.198-210

10Маричев О. И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного двуосесимметриче-ского уравнения Гельмгольца // Докл. АН СССР. 1976. Т.230 №3. С.523-526.

А. Хасанова11 и др.

Отличительной особенностью рассматриваемой задачи является то, что решения ищутся как при положительных, так и при отрицательных значениях коэффициента Л, а на коэффициенты ц и р не накладывается каких-либо ограничений.

В параграфе 1.2 формальное решение задачи В1 строится в виде ряда. При /-¿, р> \ оно находится методом Фурье с использованием разложения в ряд Фурье-Бесселя.

Для других значений параметров /ли р формальное решение получается из решения при /л,р > | с помощью принципа соответствия для уравнения (1), приведенного в монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Маричева12.

Существование решения поставленной задачи установлено в параграфе 1.3 через доказательство равномерной сходимости соответствующих рядов.

Результат данного параграфа формулируется в виде следующей теоремы:

Теорема 1. Пусть функции <р(х) и ф(у) непрерывно дифференцируемы и имеют ограниченное изменение на полуинтервалах (0, а] и (0,6] соответственно и следующую асимптотику вблизи нуля <р(х) = о(х~^~1+6) при х -> 0, ф(у) = о(у-Р~1+6) при у —для некоторого числа 6 > 0, а также ^ (тО + (1г) Для любых п, I е Лг, тогда решение задачи 131 существует, за исключением двух случаев, когда для параметра Л выполняется свойство Л = (Л = )2) для некоторого то £ N и р = \ {ц =

где гп (дт) - нули функции Бесселя (7р_1(.г)), пронумерованные

в порядке возрастания.

В параграфе 1.4 доказывается единственность решения задачи В1. Доказательство опирается на построение такой неособой замены искомой функции, чтобы к получившемуся в результате замены уравнению был применим принцип экстремума для эллиптических уравнений.

Результатом параграфа 1.4 является теорема:

11Салахитдинов М. С., Хасанов Л. Об одной задаче для осесим метрического уравнения Гельмгольца // Доклады АМАН. 2011. С.109-116

12Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

Теорема 2. При Л < или А < решение задачи В1 един-

ственно.

Параграф 1.5 посвящен рассмотрению задачи типа Е при /л > | или р > §, которая получается из задачи, поставленной в параграфе 1.1, если заменить условия на линии вырождения х = 0 (задача Е1) или на линии вырождения у = 0 (задача Е2) на условие ограниченности решения на соответствующей линии. Подобная задача с условием ограниченности решения на линии вырождения, но для другого уравнения, впервые была поставлена и изучена в статье М.В. Келдыша13.

Задачи типа Е в ограниченных областях для различных частных случаев уравнения (1) были рассмотрены в работах И.А. Макарова14, В.А. Носова15, С.П. Пулькина16 и др.

Отличительной особенностью данной задачи является то, что решение строится как для положительных, так и для отрицательных значений А.

В диссертационной работе показывается, что из однозначной разрешимости задачи Б1 следует существование и единственность решения задачи типа Е.

Таким образом, доказана теорема:

Теорема 3. Пусть функция р(х) (-ф(у)) непрерывно дифференцируема и имеет ограниченное изменение на полуинтервале (0, а] ((0,6]) и следующую асимптотику вблизи нуля х) - о{х~^~1+&) (ф(у) = о(у~р~1+6)) для некоторого числа <5 > 0, тогда, при А < )2, решение задачи Е1 (Е2) существкет и единственно.

Вторая глава "Краевые задачи в бесконечных областях" посвящена исследованию четырех краевых задач для уравнения (1) в областях £>2 = {(х,у) | 0 < ж < а 0 < у < +оо} и £>3 = {(ж, у) | 0 < х < а у € (—оо,0) и (0, +оо)}. Большинство результатов изложенных в данной главе опубликовано в работах [3] - [8], [10].

13Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. №2. С.181-183

14Макаров И. А. Теоремы единственности решения задач О, Е и типа N // Волжский математический сборник. 1968. Вып.6. С. 142-144

15Носов В. А. Решение двух сингулярных задач для одного уравнения эллиптического типа // Волжжский матеатический сборник. 1971. Вып.8. С.160-167

16Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения ± Пуу + = 0 // Уч. зал. Куйбышевского пед. ин-та, 1958. Вып.21. С.3-54

В параграфе 2.1 приведена постановка краевой задачи В2 для уравнения (1) в области £>2- На линии сингулярности у = 0 условие задачи имеет такой же вид, как и в задаче, поставленной в параграфе 1.1, также заданы следующие условия на искомую функцию

(9) (10) (И) (12)

и[х,у) = 0(уа), у -» оо, для некоторого действительного а. (13)

Для частного случая уравнения (1) при ц = 0, Л = 0 подобная задача была исследована Е.В. Шимковичем17, настоящая работа развивает методы, примененные в публикации Е.В. Шимковича, и обобщает ее результаты.

Формальное решение поставленной задачи строится в параграфе 2.2 в виде суммы и(х,у) = У] (х, у) + У2(х. у), где слагаемые при ц,р > ~ удовлетворяют видоизмененным условиям исследуемой задачи, а именно, для У\ условие на горизонтальном участке границы изменяется на однородное (с нулевой правой частью), для ^(х, у) таким же образом изменяются условия на вертикальных участках границы.

Для построения У\ (х, у) методом разделения переменных находится частное решение уравнения (1). Функция Ух(х,у) выражается в виде интеграла от найденного частного решения, при этом интегрирование производится по константе разделения. Полученный таким образом интеграл имеет вид преобразования Ханкеля и содержит две неизвестные функции от константы разделения. Данные неизвестные функции определяются при помощи обратного преобразования Ханкеля.

17Шимкович Е.В. О весовых краевых задачах для вырождающегося уравнения эллиптического типа в полуполосе // Литовский математический сборник. 1990. N830. С. 185196

1

и(0,у) =дг(у), у> о, при р <

и(х,у) 1

У>0' ПРИ Р=2>

Нтх2" 1и{х,у) = Я1(у), у> 0, при р>\,

X—>1) £

и(а,у) = дг(у), У> 0,

Функция \/2(х, у) находится тем же методом, что и решение задачи 01.

С помощью доказательства равномерной сходимости соответствующих рядов и интегралов существование решения задачи В2 получено в параграфе 2.3.

Результат параграфа 2.3 формулируется в виде теоремы:

Теорема 4. Пусть А < тогда, если функции <р(х) и <]г(у)< ¿ = 1,2 непрерывны, первая имеет непрерывную производную и ограниченное полное изменение на интервале (0,а), а вторые имеют ограниченное полное изменение на любом интервале (О, Я), Я > 0, г/2(у) - дважды непрерывно дифференцируемая, а кроме того выполняются соотношения ф(х) = о(х~>'~1+5) при X О, 9г(у) = о(у-р~1+5) при т/ ->• О, Чг{у) = о(у~р~1~5) при у —> +оо для некоторого числа 5 > 0, то решение задачи О2 существует.

Единственность решеиия рассматриваемой задачи установлена в параграфе 2.4 способом, аналогичным изложенному в параграфе 1.4. Доказана теорема:

Теорема 5. Решение задачи Г)2 единственно при А <

В параграфе 2.5 поставлены три задачи типа Е в области £>2, которые получаются из задачи В2. Для задачи ЕЗ условие ограниченности решения задается на прямой у = 0, для Е4 - на прямой х = 0, а для Е5 - на обоих прямых. Однозначная разрешимость данных задач следует из однозначной разрешимости задачи 132.

Таким образом, верны три теоремы:

Теорема 6. Пусть функция ([-¿(у) дважды непрерывно дифференцируема, имеет конечную полную вариацию па всяком интервале (0,Я), Я > 0, а также следующую асимптотику ^(у) = о(у~р~1~5), у —> +оо, <5 > 0, тогда при А < решение задачи Е5 существует и притом единственно.

Теорема 7. Пусть функция <71(1/), непрерывна, имеет конечную полную вариацию па всяком интервале (О, Д), Я > 0, с/о (у) дважды непрерывно дифференцируема и имеет конечную полную вариацию на всяком интервале-(О,Я), Я > 0. пусть также верны следующие асимптотики (]г(у) = о(у~р~х~5), у +оо, 6 > 0, тогда при А < решение задачи

ЕЗ существует и притом единственно.

Теорема 8. Пусть выполнены требования теоремы 5 и следующие усло-

вия: г/2 (у) = o(y~p~1+s), у —> 0, 5 > 0, <р(х) - непрерывно дифферепциру-емая функция, имеющая конечную полную вариацию на интервале (0,а), тогда при Л < задача Е4 имеет единственное решение.

Параграф 2.6 посвящен постановке задачи о скачке в области D3. В задаче требуется найти решение уравнения (1), равное нулю на правой границе области. На левой границе области в зависимости от значения параметра ц равняться нулю должно или само решение, или произведение решения и весовой функции. На участке линии вырождения у = 0 задается "скачок", смысл которого в равенстве заданной функции разности односторонних пределов специального вида. При р > | "скачок" означает выполнение равенств

lim У2р~1и(х,у) - lim (-y)2p_1u(x,y) = r(x),

jr->0+ у—> О—

lim у2риу{х,у)~ lim (~y)2pu?J(x,y) = q(x).

у—>04- у-+0-

При других значениях р соответствующим образом изменяется вид весовых функций, входящих в пределы.

Данная задача является обобщением задачи о скачке для обычного уравнения Гельмгольца, рассмотрешюй в работе Н.Б. Плещинского18. К такой задаче приводится скалярная задача о падении на плоскую границу раздела сред горизонтально поляризованных волн.

В параграфе 2.7 решение задачи о скачке строится в виде ряда, отдельно, для полуполосы лежащей выше прямой у = 0 и для полуполосы лежащей ниже прямой у = 0. Для получения каждого ряда используются результаты параграфа 2.2 и свойства оператора 77"Др. В построенных таким образом рядах остаются неизвестными числовые коэффициенты. Используя заданный на прямой у = 0 "скачок", определяются значения данных числовых коэффициентов.

Существование решения задачи о скачке устанавливается в параграфе 2.8 путем доказательства равномерной сходимости соответствующих рядов.

18Плещинский Н. В. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах // Препринт ПМФ-03-02. Казань: Казан, матем. об-во, 2003.- 30 с.

Результат параграфа 2.8 формулируется в виде теоремы: Теорема 9. Пусть Л < функции г(х) и д(х) непрерывны, имеют

ограниченную вариацию на интервале (0, а) и для них верны соотношения: г(х) = o(x~''~2+s), д(х) = при х —> 0+ для некоторого числа

8 > 0, тогда существует решение задачи о скачке.

Единственность решения рассматриваемой задачи получено в параграфе 2.9. Вопрос о едгогственности решения задачи о скачке сведен к вопросу о единственности решения двух вспомогательных задач, одна из которых имеет вид задачи Б2, единственность ее решения доказана в параграфе 2.4. Вторая вспомогательная задача представляет собой задачу типа N. Единственность решения задачи о типа N установлена с помощью метода, изложенного в статье Е.В. Шимковича. Доказательство основано на построении такой положительной функции <3(х,у), что выполняется свойство £<5(а:,у) ± и(х,у) > 0 в /?2> где е - произвольное сколь угодно малое положительное число. Из данного свойства следует, что и(х, у) = 0 в О2. Таким образом, доказана теорема:

Теорема 10. При А < 0 решение задачи о скачке единственно.

В параграфе 2.10 ставится следующая задача:

Задача N0. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

Н* [и(х, у)] = 0, Иш и(х, у) = 0, Нт и(х, у) = О, (14)

^ у—>оо X—юо

Нт х2^их(х,у) = О при 2/е (0, оо), ц> (15)

при уе(0'оо)' <1в>

Нт х~гих(х,у) = 0 при у е (0,оо), // < (17) х—^о 2

Иту2р-1и(х,у) = 11{х), при у £ (0, а], р>\, (18)

ПРИ 2/ € (0,а], р=|, ' (19)

\\ту7риу{х,у) =12(х), при у € [а, +оо), (20)

у—>0

где /1 (х), 12(х) - известные функции достаточной степени гладкости, а -заданное положительное число.

Подобная задача, но для другого частного случая уравнения (1), при ¡1 = р = 0 была рассмотрена в статье И.Н. Александрович19. Там же описано приложение такой задачи к исследованию распространения радиоактивной эманации в атмосфере.

Формальное решение задачи N0 в виде интеграла получено в параграфе 2.11 тем же методом, что и функция V) (х, у) в параграфе 2.2.

Существование решения задачи N0 установлено в параграфе 2.12. Для этого доказана равномерная сходимость соответствующих интегралов.

Результатом параграфа 2.12 является теорема:

Теорема 11. Если 12(а) = 22(1_р)(р1 + 1)к(а) при р > \ и 12(а) = 1г(а) при р — а также 1\{х) = 0(х~м~1+<5) при х —> 0, функция ¿х(ж) имеет ограниченную вариацию на интервале (0, а), функция 12(х) = 0(х~'*1_1_'5), 5 > 0, функция 12(х) имеет ограниченное полное изменение на любом интервале (а, В), тогда решение задачи N0 существует.

Единственность решения задачи N0 доказана в параграфе 2.13. Способ доказательства тот же, что и в параграфе 1.4.

Таким образом верна следующая теорема.

Теорема 12. Решение задачи N0 единственно.

Третья глава "Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе" посвящена исследованию двух нелокальных краевых задач в полуполосе {(ж, у) |0<х<1, 0 < у < оо} для частного случая уравнения (1) при (л = 0. Основные результаты опубликованы в работах [1] и [2].

В параграфе 3.1 приводится постановка задачи N со следующими условиями

Я0А (и(х, у)) = 0, и(0,у) =«(1,у), и*(0,у) = 0, Иш и(х, у) = 0, (21)

у—>оо

19 Александрович И. Н. О решении краевых задач для уравнения Гельмгольца // Сборник трудов научной конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" Канев. 1974. С. 78-86

Р<~1> (22)

V = (23)

2р > -1, (24)

где i/{x) - известная функция достаточной степени гладкости.

Подобные задач!!, но с условием па искомую функцию на линии у = О, были исследованы в статьях М.Е. Лернера, O.A. Репина20 и Е.И. Моисеева21, в данной работе используется методика, предложенная Е.И. Моисеевым.

Решение ищется в виде специального биортогональпого ряда. В параграфе 3.2 доказывается, что если v = 0, то все коэффициенты биортого-нального ряда равны нулю. Поэтому справедлива теорема:

Теорема 13. Если решение задачи N существует, то оно единственно.

В параграфе 3.3 показано существование решения. Для этого установлена равномерная сходимость соответствующих рядов.

Результат параграфа можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 14. Если i/(x) £ С2[0,1], то решсипе задачи N для уравнения (1) при /л — 0 существует.

Условия второй из рассматриваемых в данной главе задач приведены в параграфе 3.4. IIa правой и левой стороне полуполосы они имеют тот же вид, что и условия предыдущей задачи, а на отрезке оси ОХ - тот же вид что и соответствующее условие задачи D2.

В параграфе 3.5 решение ищется методом разложения в биортогональ-ный ряд того же вида, однако полученная формула для решения содержит произвольные постоянные, поэтому решение такой краевой задачи неединственно. Если условия рассматриваемой задачи дополнить еще одним условием специального вида, которое описано в четвертом параграфе данной главы (задача М2), то решение получившейся задачи будет единственно.

20Лернер М. Е., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37. №11 С.1562-1564.

21Моисеев Б. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравненя. 2001. Т.37. №11 С. 1565-1567

lim у 1иу(х,у) = и{х),

у—> 0+

У-+0+ \ \п(у) )

lim у2риу(х,у) = v[x), у-* 0+

Основным результатом параграфа является теорема.

Теорема 15. Если решение задачи М2 существует, то оно единственно.

Существование решения задач исследуемых в этой главе доказывается в параграфе 3.6 путем установления равномерной сходимости соответствующих рядов.

Теорема существования решения формулируется следующим образом.

Теорема 16. Если <р(х) € С2 [0,1], то решения задач М1 и М2 существуют.

Заключение

Выполненное в данной работе исследование позволяет сформулировать следующие основные результаты:

1) Для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца исследованы краевые задачи в прямоугольной области и в вертикальной полуполосе с весовым условиями типа Дирихле. Установлена однозначная разрешимость таких задач.

2) Показано, что из единственности и существования решения задач типа Дирихле в прямоугольнике и вертикальной полосе следует однозначная разрешимость задач типа Е в соответствющих областях.

3) Поставлена задача, обобщающая задачу о скачке для уравнения Гельмгольца на случай обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца. Найдены условия существования решения. Установлена единственность решения.

4) Поставлена задача, аналогичная рассмотренной в работе И.Н. Александрович22, но для других значений параметров уравнения. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи.

5) Методом разложения в биортогональный ряд найдены решения двух нелокальных краевых задач в бесконечной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца. Доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач.

22 Александрович И. Н. О решении краевых задач для уравнения Гельмгольца // Сборник трудов научной конференции " Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" Канев. 1974. С. 78-86

Методы и результаты работы могут быть использованы при исследованиях в теории уравнений в частных производных, а также при решении конкретных задач математической физики.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Репину Олегу Александровичу за постановку задач и постоянное внимание к исследованию, а также доктору физико-математических наук, профессору Сабитову Камилю Басировичу и доктору физико-математических наук, профессору Пулькиной Людмиле Степановне за ценные замечания.

Публикации автора по теме диссертации

1. Абашкин A.A. Однозначная разрешимость нелокальной задачи для осесимметрического уравнения Гельмгольца/ А. А. Абашкин // Вестник СамГУ. - 2011. - № 2. - С. 5-14. (0,63 п.л.)

2. Абашкин А. А. Об одной нелокальной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца / А. А. Абашкин // Вестник СамГТУ. - 2011. - № 3. - С. 26-34. (1,01 п. л.)

3. Абашкин A.A. Об одной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца / А. А. Абашкин // Доклады АМАН. -2011. - № 1. - С. 15-20. (0,7 п.л.)

4. Абашкин А. А. Об одной задаче для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца в бесконечной полуполосе / A.A. Абашкин // Вестник СамГТУ. - 2012. - № 1. - С. 39-45. (1,12 п.л.)

5. Абашкин A.A. О задаче типа Дирихле в бесконечной полуполосе для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца / A.A. Абашкин // Научные ведомости БелГУ. - 2012. - № 11. -С. 5-14. (0,92 п.л.)

6. Абашкин A.A. Об одной задаче в бесконечной полосе для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца /

А. А. Абашкин // Вестник СамГУ. - 2012. - №9. - С.5-13. (0,57 п.л.)

7. Абашкин А. А. Об одной весовой краевой задаче для в бесконечной полуполосе для двуосесимметрического уравнения Гельм-гольца / А. А. Абашкин // Известия вузов. Математика. — 2013. - №6. - С.3—12 (0,84 п.л.)

8. Абашкин А. А. Об однозначной разрешимости одной краевой задачи для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца / A.A. Абашкин // Труды восьмой Всероссийской конференции с межународным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара: Самарский технический ун-т, 2011. - С. 8- 9. (0,016 п.л.)

9. Абашкин А. А. Об одной краевой задаче в прямоугольнике для двуосесимметрического уравнения Гельмгольца / A.A. Абашкин // Материалы международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород: Белгородский ун-т, 2011. — С. 4. (0,08 п.л.)

10. Абашкин А. А. О задаче со скачком для обобщенного осесимметри-ческого уравнения Гельмгольца / A.A. Абашкин // Третья международная конференция "Математическая физика и ее приложения": Материалы конф. Самара: Самарский технический ун-т, 2012. - С. 17-18. (0,17 п.л.)

Подписано к печати 13.05. 2013 Бумага офсетная.

Печать оперативная. Заказ № 297 Формат 60x84 1/16. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии «Порто-Принт»: 443041, г. Самара, ул. Садовая, 156

ФГБОУ ВПО

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи УДК 517.956

04201ТЛОЧЧЯ

АБАШКИН Антон Александрович

Краевые задачи для обобщенного двуосесимметрического

уравнения Гельмгольца

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

по специальности 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические

системы и оптимальное управление»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Репин О.А.

Самара 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. Краевая задача в прямоугольной области 14

1.1 Постановка задачи......................................................14

1.2 Построение формального решения..................15

1.3 Существование решения задачи....................29

1.4 Единственность решения задачи...................38

1.5 Задачи типа Е..............................42

ГЛАВА 2. Краевые1 задачи в неограниченных областях 44

2.1 Постановка задачи типа Дирихле в бесконечной полуполосе ... 44

2.2 Построение формального решения задачи типа Дирихле .....46

2.3 Существование решения задачи типа Дирихле...........56

2.4 Единственность решения задачи типа Дирихле...........62

2.5 Задачи типа Е в бесконечной полунолосе..............63

2.6 Постановка задачи о скачке......................64

2.7 Получение формального решения задачи о скачке.........66

2.8 Существование решения задачи о скачке...............69

2.9 Единственность решения задачи о скачке..............71

2.10 Постановка задачи N0.........................73

2.11 Построение формального решения..................74

2.12 Существование решения задачи N0 .................76

2.13 Единственность решения задачи N0.................77

ГЛАВА 3. Нелокальные краевые задачи в вертикальной нолунолосе 79

3.1 Весовая задача типа Неймана при А < 0, ¿и = 0. Постановка задачи 79

3.2 Единственность задачи N.......................79

3.3 Существование решения задачи N ..................87

3.4 Весовые задачи типа Дирихле при А > 0. // = 0. Постановка задач 91

3.5 Построение формального решения задач М1 и М2. Единственность решения задачи М2.................92

3.6 Существование решения задач М1 и М2...............99

Список использованных источников....................102

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Предметом настоящей работы является изучение различных краевых задач в прямоугольной области, вертикальной полосе, полуполосе и в первом квадранте для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца

тт\ 2и 2р , .

Н11ри = ихх + иуу-{--ихЛ--иу + ли = 0, (1)

х у

где /л, р, Л - некоторые действительные числа, на которые в дальнейшем будут наложены необходимые ограничения.

Данное уравнение является уравнением с сингулярными коэффициентами.

Ввиду наличия многочисленных приложений, в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными значительное место занимают исследования вырождающихся уравнений, особый класс которых и составляют уравнения с сингулярными коэффициентами.

В частности, уравнение (1) имеет важное прикладное значение для изучения осесимметрических волновых процессов. Например, если перевести обычное уравнение Гельмгольца Аи + к2и = 0 в Я3 в цилиндрические координаты, то получим уравнение

1 1 ,2

+ игг + -иг + — и^и + к, и = 0.

Если искать не зависящие от <р (то есть осесимметрические) решения данного уравнения, то придем к частному случаю уравнения (1).

Кроме того, уравнение (1) при /х = 0, р = |,Л<0 описывает распространение радиоактивной эманации в атмосфере, при этом и(х,у) является концентрацией радиоактивной эманации, а Л - постоянной распада

й-

Двуосесимметрическое уравнение Гельмгольца (2// = га — 1, 2р — п — 1) появляется, если искать монохроматические решения

и(х,у,Ь) = и{х,у)е±гХЬ волнового оператора Даламбера Д£/ — ии

в пространстве с координатами (#1, ...,хт,у1, временной координатой 1 и частными расстояниями х2 — х\ + ... + х^, у2 = у2 + ... + у2 [63, с. 203].

Уравнение (1) связано с уравнением смешанного типа

Ьаи33 + аРии + Хи = 0, (2)

а именно, если в области эллиптичности привести уравнение (2) к канонической форме, то получим уравнение (I). Многие работы (например [13], [35], [50], [55]) посвящены краевым задачам для уравнения (2) в области эллиптичности, следовательно, результаты данных работ распространяются на соответствующие краевые задачи для уравнения (1).

В случае /3, Л = 0, а = 1 уравнение (1) является уравнением Трикоми, которое имеет важное прикладное значение для газодинамики ([13]).

Таким образом, актуальность изучения краевых задач для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца (1) обусловлена как его востребованностью в приложениях, так и его связью с классическими уравнениями математической физики и уравнениями смешанного типа.

Степень разработанности проблемы. Уравнение (1) было предметом многочисленных исследований, в частности, в монографии Р1.Р. СШэег1;'а [63] было построено интегральное представление решений уравнения (1) при А > 0 через аналитические функции и найдена формула обращения такого представления через ряды.

Для двух частных случаев уравнения (1), когда ц = 0, р > 0 и когда А = 0, р > 0, в статье О.И. Маричева [30] построены более удобные для использования формулы обращения представления, найденного СПЬег1;'ом.

В статье А. Хасанова [64] для уравнения (1) при А < 0 был построен ряд фундаментальных решений в первом квадранте.

Много публикаций посвящено краевым задачам для различных частных случаев уравнения (1). В 1952 году М.Б. Капилевичем в работе [23] была решена задача Дирихле в области хп > 0 для уравнения

А и + — их — Ь2и = 0, а < 1,

•Ьп

где А - оператор Лапласа в Мп. Позже М.Б. Капилевичем было выполнено еще несколько работ в русле данной тематики ([21], [22]).

С 1958 года разработка теории краевых задач для различных уравнений с особенностями первого порядка в коэффициентах при младших производных активно велась математиками самарской школы. Начало исследованиям положила статья С.П. Пулькина [44], где были изучены две краевые задачи для уравнения

р 1 /оЧ иХх + иуу + -их — 0, р > (3)

X £

В первой задаче требуется найти решение уравнения (3), ограниченное вблизи отрезка :г = 0,— Ь < у < Ь к имеющее заданные значения на кривой Го с концами в точках (0,6) и (0, —6). Во второй задаче необходимо

найти функцию и(х,у), ограниченную вблизи отрезка х = 0, 0 < у < Ь, удовлетворяющую уравнению (3) и следующим условиям иу(х: 0) = ф(х), и |г — гДе Г - кривая, соединяющая точки (0,6) и (1,0). Была

доказана однозначная разрешимость данных задач. Отметим также работы С.П. Пулькина [15], [45], выполненные в данном направлении. Задачи типа Е в первом квадранте и вертикальной полуполосе для уравнения (3) были изучены М.В. Коржавиной в публикациях [20], [27]. В статье [42] В.А. Носовым для уравнения

2 — 2д

^хх 4" Иуу 4"~ Их 11у — I)

ж у

была решена задача типа Е для четверти круга. В серии работ

В.Ф. Волкодавовым и В.А. Носовым для уравнения смешанного типа, в

области 0 < у < х принимающего вид

Р Я

ихх + иуу 4- -их + -щ = 0, (4)

х у

были изучены краевые задачи с условиями Дирихле [11] или Неймана [12] на прямой у — х.

В публикации [7] О.В. Бочкаревой для уравнения (4) в области, ограниченной отрезками координатных осей и гладкой кривой Г, была решена задача с условиями

и{х,у) |г = /(*), \1ту2риу(х,у) = и(0,у) = <р(у).

у-> о

А.Д. Бочкаревым в той же области в серии работ [1], [5] для уравнения

Р

ихх + иуу + -их + с(х,у)и = 0, 0<р<1, с(х,у) < 0

X

исследованы задачи с условиями

|г = (¿(в) в статье [5],

о п

и(х,у)|г = ^(й) в статье [4],

м(0, у) = т(у), иу(х: 0) = 1у{х).

И.А. Макаровым в публикациях [32], [34] были доказаны теоремы единственности для задач типа Э, N и Е в области, ограниченной отрезками координатных осей и гладкой кривой Г, для уравнения

2д 2р . . .

ихх + иуу 4--их 4--иу 4- с{х, у)и = 0, с(:г, у) < 0.

х у

Им же в статьях [31],[33] решены некоторые краевые задачи для уравнения

В русле данной тематики также выполнены работы других самарских математиков: Г.Н. Гудковой [16], [17], В.В. Азовского [1], Р.В. Макушиной

[39], Л.Е. Востровой [14].

Далее отметим исследования O.A. Маричева для уравнения (1) при Л > О, приведенные в статье [78], где автором строятся решения сингулярных задач типа Неймана и Дирихле в полуплоскости у > 0, квадранте х > 0, у > 0 и задачи Дирихле в полукруге {х2 + у2 < а2, у > 0} для случая Л = 0.

Единственность решения краевой задачи в области, ограниченной осями координат и гладкой кривой Г, для уравнения (1) при Л < 0 с условиями

и(0,у) = т(у), lim у2риу(х,у) = v(x), и(х, у)\г = y(s)

0

доказана в публикации М.С. Салахитдинова, А. Хасанова [54] с использованием формулы Грина. Также в данной статье найдено решение описанной выше краевой задачи, если Г является четвертью окружности. В статье Е.В. Шимковича [58] для уравнения

к

i^xx ~Ь "Чу» Uy — (J У

исследованы краевые задачи в бесконечной полу по л осе, которые, в зависимости от значения параметра уравнения, являются задачами Дирихле и Неймана или весовыми задачами типа Дирихле и Неймана, доказана их однозначная разрешимость. Для другого частного случая уравнения (1)

^хх "I- ^уу "I- ^у к U —— 0

У

в публикации И.Н. Александрович [2] рассмотрены краевые задачи в четверти плоскости и в бесконечной полуполосе, условия которой на части границы имеют вид условий задачи Дирихле, на другой части - задачи Неймана. В работах М.Е. Лернера, O.A. Репина [29] и Е.И. Моисеева

[40] изучена нелокальная краевая задача в бесконечной полуполосе для уравнения

ихх + иуу + — иу - Х2и = 0, У

с условиями

их(0,у) = 0, и(0,у) =и(1,у), lim и{х,у) = 0,

у—»+00

lim y2p~lu{x, у) = (р(х), при р > i у-у о 2

lim —-= ip{x), при P =

y—*o ту 2

u(x,0) = ip(x), при P<^,

доказана ее однозначная разрешимость.

Для того же уравнения в статье М.Е. Лернера и O.A. Репина [30] доказана однозначная разрешимость и найдены формулы для решения задачи Дирихле в первом квадранте.

Вопросам теории краевых задач для частных случаев уравнения (1) посвящены и работы Н.Б. Плещинского [43], Н. Раджабова [46], К.Б. Сабитова [51], P.C. Хайруллина [56].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим также работы зарубежных авторов: А. Altin [59]-[61], A.J. Fryant [62], А. Huber [65], C.Y. Lo [66], P.A. McCoy [67], R.J. Weinacht [68].

Подробный разбор некоторых краевых задач для уравнения (1) при А > 0 можно найти в монографии О.И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [38].

Отличительной особенностью большинства упомянутых публикаций является то, что для уравнения (3) и его частных случаев для обеспечения однозначной разрешимости приходится задавать либо краевые условия с весами на линиях сингулярности х = 0 или у = 0, либо условие ограниченности решения вблизи прямых х = 0 или у = 0 (задачи типа Е).

Цели диссертационной работы:

1) Отыскание вариантов корректно поставленных краевых задач для уравнения (1) и его частных случаев.

2) Построение решений данных задач в виде рядов и интегралов.

Методы исследования. В диссертации используются:

1) метод Фурье;

2) метод интегральных преобразований;

3) аппарат специальных функций;

4) спектральный метод;

5) принцип максимума для эллиптических уравнений.

Научная новизна. В диссертационной работе исследованы краевые задачи в прямоугольнике, полуполосе и полосе, которые ранее не ставились для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца, при этом на параметры уравнения (1) ц, р и А в некоторых задачах накладываются минимальные требования, что отличает данную работу от большинства предшествовавших.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они вносят определенный вклад в теорию

уравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами и могут быть использованы при дальнейшей разработке как теории краевых задач для уравнения (1), так и для уравнений, его обобщающих, а также для развития теории краевых задач в областях с границей, содержащей участки линий вырождения.

Апробация работы.

Материалы данной диссертации опубликованы в работах [09] - [78].

Результаты диссертационной работы докладывались на:

1) I всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик, 2010 г.;

2) конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Самара, 2011 г.;

3) Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 2011

г.;

4) Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел", Белгород, 2011 г.;

5) Третьей международной конференции "Математическая физика и ее приложения", Самара, 2012 г.;

6) семинаре кафедры высшей математики Самарского Государственного Архитектурно-Строительного Университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. К.Б. Сабитов) 2011, 2012 гг.;

7) семинаре кафедры уравнений математической физики Самарского Государственного Университета (научный руководитель д.ф.-м. наук, проф. Л.С. Пулькина), 2011, 2012 гг.;

8) семинаре кафедры функционального анализа и его применений ВМК МГУ (научный руководитель - академик РАН Е.И. Моисеев), 2013 г.;

9) семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета, 2013 г.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 20 параграфов, заключения и списка литературы из 76 наименований. Общий объем диссертации 107 страниц.

Краткое содержание работы.

Первая глава настоящей работы посвящена рассмотрению краевой задачи типа Дирихле для уравнения (1) в прямоугольной области, вид условий которой на линиях сингулярности х = 0 и у — 0 зависит от значения параметров /¿и р. Такие задачи ещё не изучались для уравнения столь общего вида, когда на коэффициенты ц и р не наложено никаких требований, а на

коэффициент Л наложено лишь одно условие А < q, где д - конкретное число, определение которого дано в формулировке теоремы 1.

В первом параграфе приведены условия данной краевой задачи.

Во втором параграфе строится формальное решение задачи. Для этого искомая функция представлена в виде суммы двух функций, каждая из которых найдена методом разделения переменных. Собственные функции одной из получающихся при этом задач составляют полную ортогональную с весом систему функций, разложение по которой называется рядом Фурье-Бесселя. Применение данного разложения и помогает выразить искомую функцию в виде ряда.

В третьем параграфе установлено существование решения задачи, для этого доказана равномерная сходимость соответствующих рядов.

В четвертом параграфе приведена теорема единственности решения рассматриваемой задачи. Доказательство теоремы основывается на представлении решения в виде произведения двух функций, при этом одна из функций выбирается таким образом, чтобы другая функция удовлетворяла уравнению, на которое распространяется принцип максимума для эллиптических уравнений.

Задача типа Е для уравнения (1) при р, /1 > граничные условия которой не определены на линии вырождения у = 0 или х = 0, а лишь потребована ограниченность решения на такой линии, рассмотрена в пятом параграфе. Теорема существования и единственности решения данной задачи является следствием однозначной разрешимости задачи, изученной в первых четырех параграфах.

Исследование подобных задач началось с известной статьи М.В. Келдыша [24]. Для частных случаев уравнения (1) задачи типа Е в ограниченных областях различного вида ставились и изучались в работах [34], [42], [44].

Для столь общего случая уравнения (1), когда на параметры уравнения наложены минимальные требования, такая задача была поставлена и исследована впервые.

Во второй главе рассматриваются:

1) краевая задача типа Дирихле в бесконечной полуполосе;

2) задачи типа Е в бесконечной полуполосе;

3) задача о скачке в бесконечной полосе;

4) задача в первом квадранте, условия которой на части границы имеют вид условий типа Дирихле, на другой части границы - типа Неймана.

В первом параграфе для уравнения (1) поставлена краевая задача, вид условий которой на линиях сингулярности х = 0 и у = 0 зависит от значения параметров ц и р. Так, при р < \ на отрезке оси ОХ задается

Щ1 Ш-

значение искомой функции, а при р > | - значение искомой функции с весом. Аналогичным образом вид условия на оси ОУ зависит от параметра ¡1. Также в задаче требуется, чтобы на бесконечности решение имело не более чем степенной характер.

Отметим, что для частного случая /2, Л = 0, уравнения (1) однозначная разрешимость подобной задачи доказана в статье [58]. Для уравнения такого общего вида данная задача рассмотрена впервые.

Во втором параграфе формальное решение поставленной задачи ищется в виде суммы двух функций, для первой из которых граничное условие, заданное на отрезке оси ОХ, является однородным, а для второй -однородными являются граничные условия на полуоси оси ОУ и на прямой х = а.

Первая функция отыскивается в виде интеграла, представляющего собой преобразование Ханкеля некоторой функции. С использованием обратного преобразования вычисляются неизвестные функции, входящие в данный интеграл.

Метод нахождения второй функции совпадает с методом, изложенным во втором параграфе главы I.

Существование решения получено в третьем параграфе через доказательство равномерной сходимости соответствующих рядов.

Единственность решения расс�