Квантовый хаос при взаимодействии нелинейных резонансов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Берман, Геннадий Петрович АВТОР
доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1989 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.04.03 КОД ВАК РФ
Автореферат по физике на тему «Квантовый хаос при взаимодействии нелинейных резонансов»
 
Автореферат диссертации на тему "Квантовый хаос при взаимодействии нелинейных резонансов"

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

А/}

На правах рукописи УДК 530.145:530.182

Берман Геннадий Петрович

КВАНТОВЫЙ ХАОС ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСОВ

(01.04.03 - радиофизика, включал квантовую радиофизику)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ъ о?.£9

Сра&и-с^рсе -исимлшм

Москва - 1989

у

Работа выполнена в Институте физики им. Д.В.Киренского СО АН СССР

Официальные оппоненты: Чириков Борис Валерианович

Татарский Валерьян Ильич

Федоров Михаил Владимирович

Ведущая организация

член-корреспондент АН СССР (Институт ядерной физики СО АН СССР, г.Новосибирск) член-корреспондент АН СССР (Институт физики атмосферы АН СССР, г.Москва)

доктор физико-математических наук (Институт обшчй физики АН СССР г.Москва)

Институт прикладной физики АН СССР, г.Горький.

Защита состоится "_" _1989 г. в_чао.

на заседании Специализированного совета Д-003.49.02 при Институте общей физики М СССР, Москва, ул. Вавилова, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей флэшей АН СССР.

Автореферат разослан * "_1989 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических неук

Е.А.Заболотская

6. Ж.Я!

-. .-А^ууьпость темы. В последние годи большое внимание уделяет-ггсязизу^едфо явления стохастичностя в динамических с;?стомах. Сто-ластйчнасть в данном случае означает яеустойчирнй, нерегулярный раним движения, не связанный с наличие« внешних случайных сил, а возникающий вслздетвис слоглого взаимодействия различных степеней свобода либо влияния внешних регулярных полей. Возникшая по существу е.'.чъ в работах А.Пуанкаре проблема стохастичности динамических систем является актуальной и ваяной в настоящее время, поскольку переход от регулярного движения к случайному является типичным свойством нелинейных динамических систем, которое необходимо учитывать в различных фундаментальных и прикладных доследованиях. Достижения современней теории стохастичности динамических систем используются в задачах физики, химии, биологии и т.д.

Особый интерес кал в теоретическом отношении, так и с точки зрения приложений, связан с изучением стохастически« свойств квантовых динамических систем. Согласно существующей терминологии зта область исследований носит название "квантовый хаос". 2 теоретическом отношении речь в общем случав идет о нелинейных квантовых системах с разрушенными интегралами движения, необходимость игу-чения которых возникает в различных областях естествознания. Благодаря появлению мощных источников когерентного излучения, методов селективного возоуздения атомов и молекул, техники сверхкоротких импульсов, спектроскопии высиг.ого разрешения в последние года началось интенсивное экспериментальное исследование поведе- • ния квантовых динамических систем, обладающих свойстеом стохас-тичности. Таким образом, изучение нелинейных квантсвых систем в области параметров квантового хаоса является ва;шой и актуальной задачей как в отношении дальнейшего развития теории динамических систем, так и с точки зрения применения результатов теории в интенсивно развивающихся прикладных исследованиях по квантовой радиофизике, нелинейной оптгаез, физике твердого тела, теории элементарных частиц и т.д. Б связи с этим возникает проблема развития адекватных методов анализа квантового хаоса, удобных для физических приложение и описания с помощь» этих меюдов характерных особенностей возникающих здесь явяелий.

В диссертации представлены исследования по проблеме квантового хаоса, проЕедякнне на основе развития теории нелинейного резонанса и взаимодействия нелинейных резонансоэ в квантовых дина- 3 -

мкческих системах. Основное вниманке уделяется следующим вопросам: построение квазнклассической нестационарной теории возмущений для квантовых динамических систем, стохастических в классическом пределе; построение теории квантового нелинейного резонанса и взаимодействия квантовых нелинейных резонансов; поведение корреляционных функций в области сильного взаимодействия квантовых нелинейных резонансов; квантовый хаос в представлении Вигне-ра; стохастичность в полуклассических системах гамильтоновского типа; хаотические пространственные структуры в квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

Цель работы состоит в теоретическом исследовании явлений, возникающих в области параметров квантового хаоса, обусловленных взаимодействием нелинейных резонансов.

Объекты исследования. Основные исследования проведены на моделях, допускающих аналитический анализ, возможность проведения численного эксперимента, а также выявляющих существенную роль взаимодействия нелинейных резонансов в процессах, ответственных за переход к квантовому хаосу, В основном использованы модели нелинейного квантового осциллятора и квантового ротатора, взаимодействующих с внешним регулярным во времени полем, содержащим различное число частот (главы 1-5), к с само согласованным полем излучения (глава 6). В главе 7 использована дискретная квантовая модель Френкеля-Конторовой.

Научная новизну работы состоит в следующем.

Для квантовых систем, обладавших в классическом предела свойством стохастичности, впервые определена "квантовая граница сто-хасгичности", отделяющая существенно квантовую область движения системы от области параметроз, в которой на конечных временах • квантовая динамика близка к стохастическое движению соответствующей классической системы. Показано, что время применимости классического рассмотрения в области параметров квантового хаоса является логарифмически малым по величине параметра квазиклассичности.

На основе введения понятий квантового нелинейного резонанса (КНР) и взаимодействия КНРов и определения их основных характеристик, развит конструктивный подход, позволивший описать динамичес-кио и спектральные свойства в области параметров квантового хаоса, и применимый на больших временах.

Для систем с бесконечным числом взаимодействующих ИЙРов (максимально развитый квантовый хаос) рассмотрен вопрос о поведении во времени квантовых корреляционных функций, дающих вклад в процесс квантовой диффузии. Показано, что экспонслциалышй закон затухания корреляционных функций на малих временах.(при развитой стохастичности в классическом пределе) изменяется в дальнейшем ка степенной, с наличием в общем случае постоянной составляющей. Установлена связь между законом затухания квантовых корреляционных функций и статистикой спектра квазиэнергкй - параметром расталкивания квазиэнергетических уровней.

В представлении Вигнера показана определяющая роль дискретности фазового пространства по действии в процессах квантового ограничения диффузии (КОД) в кьазиклассической области параметров.

Определены условия реализации и характерные особенности динамического хаоса в полуклассических системах гашльтоновского типа (ансамбло атомов, взаимодействующих с полем излучения и с внешним когерентным полем), и пространственного хаоса в одномерных дискретных квантовых системах с конкурирующий взаимодействием.

Научная и практическая значимость. Определение квантовой границы стохастичности представляет значительный интерес для последующих теоретических н экспериментальных исследований проблемы квантового хаоса. Сфорглулировая новый подход в теории нелинейных квантовых систем, обладающих свойством стохастичвости, позволяющий определять характерные динамические и спектральные свойства в области параметров квантового хаоса. Полученные результаты по свойствам кваа«энергетических функций и спектра ква-зкэкергий в области квантового хаоса представляют интерес для спектроскопии квазнэнаргетичесшх состояний атомов и молекул в рядберговской области. Результаты-по исследованию квантовых корреляционных функций могут быть использованы при анализе процессов взашлодействия нелинейных квантовых систем (атомы, молекулы) с внешним когерентным полем и с полем излучения; для определения роли корреляционных эффектов при описании таких систем в рамках кинетического подхода. Проведенные исследования по определению свойств пространственных хаотических структур и их устойчивости представляют интерес для изучения фазовых переходов з квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

Основ;;»? положения, выносимче на зашту:

1. для кг-антовых динамических систем, стохастических в классическом пределе, времена применимости классического рассмотрения является логарифмически машаш по параметру квазиклассичностя. Квантовая граница стсхастичноети определяет область парамэтров,

в коуоро.*! на конечных Бременах динамика квантовой системы ол/зка к классическому стохастическому двюаешао.

2. построенная теории, ьзадчодействия квантовых нелинейных рсгонансов позволяет определит'з динамические и спектральные свойства квантовых систем в области параметров квантового хаоса.

3. 1'еэультага анализа поведения во времени квантовых корреляционных функций дают возможность определить характерные свойства диффузии энергии г корреляционные эффекты в области развитого квантового хаоса.

•4. Рассмотрение кештового хаоса в представлении Вигнера позволяет списать свойства квантовых траекторий, определяющих • диффузионные процессы в модели квантового ротатора, и основные закономерности квантового ограничения диффузии.

5. В ансамбле атсмоз, взаимодействующих с полей излучения и с внешним резонансным полем, переход к хаосу метет осущзств-лятьоя вследствие взаимодействия нелинейных резонансов, в том числе и в области малых величин константы взаимодействия атомов с полем излучения.

6. Метод нелинейной динамики, использующий понятия нелинейного резонанса и взаимодействия нелинейных резонансов, дает возможность описать характерный свойства хаотических пространственных структур и частотного спектра малых колебаний атомов в одномерных дискретных квантовых системах с конкурирующим взаимодействием. (

Совокупность научных полежзпий и полученных в диссертации результатов позволяет сформулировать новое перспективное направление в теории стохастичности динамических систем - взаиюдой- . . сгвие нелинейных резонансов в динамических системах с квантовым хаосом.

Апробация работы'. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на советско-американском симпози>мэ по теории солито-пов и Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев; 1979); Всесоюзном самшире "Автостохас-

тические яздзния и системы" (Горький, 1^60); ссмгнаро по математическим задачам нелинейной оптики (Дивногорек, 1980); УШ Ваьи-лояской коьфзренц,:и по нелинейной оптике (Новосибирск, ¿984); сэ-•¿инаре на XX Уральской зимней школе-сгадюгиумо фгзиков-тзореатов (Пермь, 1984); Научной сессии Отделения общей физики и астрсноиик и Отделения ядерноУ физики АН СССР (Москва, 29-30 октября 198S); Всесоюзной конференции "генорм-груша-30' (Дубна, J986); Меж,чуна-родной рабочей груме "Нелинвйныз и. турбулентные процессы в физике" (Киев, 1987); семинарах "Проблемы квантовой опгшек" (Дубна, 1987,1988); В^есоазпом семлл&ре "Неоднородные ?лектронлые состояния" (Новосибирск, 1987).

Личное участие. Автору принадлежат постановка задач (и участие в постановке совместно с Г.К.Заславским) по всэм проблемам, рассмотренным и диссертации; разработка математических методов анализа, получение ос.юыих аналитических результатов и оценок. До гасти результатов глав 1-5,7 под руководством аитора защипни доз кандидатские диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из взеде-ния, семи глав я заключенья. Пошый объем диссертации - 292 страницу машинописного текста, вклшея 50 рясуякоз (49 страниц) и список литературы - 242 наименования (25 страниц).

ООДЕРХАНКЕ деОНРГАЩИ

Эо Введении дается общая характеристика проблеш квантового хаоса, называется цель работы, обсуждается зе актуальность, теоретическая и практическая значимость, перспективность проводимых исследований. Дается общая характеристика работы и чратг.ое содержание по главам. Приводятся основные положения, янносише не. защиту з сведения об апробации.

Первая глава дизеертаиди посещена псстроегзсэ квазякласск-ческой нестационарной теории возмгеепий для квантовых динамических систем, стохастических в хлассичееком пределе. Метод основал на с -числовом проектировании операторов и операторных функций на базис когерентных состояний. Для нелинейных нестационарных гамильтонианов достаточно произвольного вида в квазиклассзческом пределе получено замкнутее с -числовое уравнение ;для наблюдаемых средних е когерентных состояниях (§2), проведен &нал/з гремен приме-

нишстл разложений по при наличка нэлинеЗности (§3). Результаты теории ксполь'позан'а в §4 при рассмотрении квазиклассической теории воьмущений для нелинейного резонанса в когерентных состояниях, который образуется при взаимодействии нелинейного квактсво-го осциллятора с внеашы периодическим во времени полем. Поскольку негкшзГаюегь осцалляуора предполагается малой, то в резонанс захватывается большее чиг.ло уровней ££ " 4 . В классическом пределе гакой ?ип движения называется нелинейным резонансом (ИР), характеризующийся параметрам: шириной но действию (расстоянием мех-ду сепгратрисакк) и частотой фазевнх колебаний в окрестности резонанса. В §4 определены квантовые поправки в НР в когерентных состояниях и времена применимости квазиклаосического рассмотрения, которые оказываются порядка 7 £ Тн . Основными резуль-

татами первой глазы являются установление экспоненциального закона роста ьо времени кэантовых поправок для физических средних в квантовых системах, стохастических в классическом пределе, и определение для таких систем "квантовой границы стоудотичкости" (области параметров квантового хаоса) - области характерных параметров, лри которых движение квантовой системы на конечных временах близко к стохастическому движению соответствующей классической системы. С этой целью в §5 рассмотрена динамика квантового нелинейного осциллятора., возбуждаемого периодической последовательностью о -импульсов. Такал система содержит бесконечное число взаимодействующих НРоз, и в классическом пределе при условии их сильного взаимодействия (перекрытии): К > Кс ( К - параметр сто-хаотичности, Кс - граница глобального хасса) происходит переход к хаосу в основной области фазового пространства. В квазиклассическом приближении получены квантовые отображения дая средних в когерентных состояниях (§5), провидено дополнительное усреднение по начальной патрице плотности и показано, что времена применимости классического рассмотрения прц условии стохасткзации движения в классическом пределе ограничены логарифмически малыми временами

^ёпСх/^) ( ~ параметр квазиклассичностк, имеющий

смысл числа уровней, вовлекаемых в динамику за время действия ил-пульса внешнего пеля) (§6). Наличие времени связано с отличием динамика при классическом и квантовом рассмотрении, к нэ зависит от способа построения решения. Определена область параметров пзантового хаоса (§7), которая может быть представлена в виде: X > К > К с » гке "Р^06 неравенство означает наличие глобальной

отохастчгшости в классическом пределе, .гезое - наличие времени примоншости классическом рассмотрения для квантовой системы.

Вторая глава. В связи с логарифмически палым временами применимости квазиклассичсекого рассмотрения, ьо второй главе разливается теорля КНР (который является обобщением на квантовнй случай понятия НР) л теория взаимодействие! пШ'ов. В связи с этим в §2 вводится удобное для последующего анализа квантового хаоса квантовомеханическое представление "утол-действив", которое при Ь -О соответствует рассмотрен*«) задачи в переменных "угол-действие". Используя это представление, в ?3 получено укороченное уравкокие типа Шредлягера для описания динамических и спектральных свойств изолированного КНР и двух взаимодействующих КНРов -простейшей динамической квантовой системы, обладающей при %-0 свойством стохастгчности. Тнкив уравнения получены в §3 для модели квантового нелинейного осциллятора, возбуждаемого внешним регулярном во времени полем, содержащим одну и две частоты. Показано (§3), что условием применимости укороченных уравнений является приближение умеренней нелинейности, что и оправдывает прямоне-нио метода для анализа квантового хаоса в каазиклассичзской области (ридберговские состояьия). В вводится гамильтониан изолированного КНР. и проводится подробный анализ его динамических и спектральных характеристик. Показано, что КНР характеризуется эффективной шириной 'ьЕ. = (Ч/Ъ') У¿\¡У 'л частотой фазовых колебашй в окрестности резонанса - У2\'И (имекщнх классические аналоги в области ; - безрззма^ные параметры возмущения к нелинейности). Наличие у КНР хорошо определенной граншы ( ЗД ) позволило в дальнейшем рассматривать его как элементарную ячейку обрамзанля квантового хаоса. Частота ("Уу) в случае КНР фактически ягмяется сбобцэнием частоты Раби V) на случай захвата в резонанс большого числа (~?ГЬ ) уровней. В §5 на основе представления "угол-действие" развлт метод ренормировки при построении квазиэнергетглеских функций и спектра ква-зионергий двух взаимодействующих КНРов при условии- относительно слабого их взаимодействия: К < Кс (К. - параметр Чиряков а перекрытия НРов; Кс - критическое значение параметра К ). Процедура ренормировки позволила свести задачу о згаьмодейотвии КНРов к исследованию свойств ренормированного гамильтониана (§5) к по-

лу-тть ряд интересных а важных результатов. Общая картгаа чроцес- . са взаимодействия КНРов на языке кБазиэнергетЕческкх функций выглядит следующий образом. Воздействие на нелинейную квактовут систему внешнего резонансного возмущения приводит к образованию КНРов различных порядков с Матье-подобнкм спектром 1сзазиэнергий, расположенных меаду перзичныш резонаксами, что в конечном итоге приводит к реяормированио* картина расположения квазизкергегичсс-ких фуякпиЛ в виде "клювов" на диаграмме (ЯД ; п - "цен'|?р тяжесть къязиэнвргетгческой фунгат.и, I - ее среднеквадратичная ширина; . Каждому неразрушенному КНР Ш. -го порядка соответствует свой га -й клюз на диаграмме (п,1 ). Показано, что в общем случае ренормировка имеет конечное число шагов за счет существенной кваКтовости резенааоов высокого порядка. Получен« условие К когда все вторичные рьзонансы является квантовых®, и процедура ренормировки обрывается на первом шаге. В §6 рассмотрена структура квазизнергетичеоких функций двух взаимодействующие КНРов в 'критической области существования квантового хаоса Кс). Показано, что разрушение реформированной структуры при переходе к кванговоигу хаосу сопрозоядаегся делокализэцией квазкэнергетдаэс-ких функций (увеличение ¿ ), связанной с разрушением вторичных резонанссв, и появлением нерегулярности в их структуре. Гаксй нерегулярный характер долокализации квазиэнергетических функций является квантовым проявлением классического хаоса. В §7 проведан статистический анализ кгоэиэнергетичесох функций и спектра к£.а-зиэноргий в области максимального хаоса. Анаяиз распределений фурьс-амшштуд далокализоваккых квазиэноргегкчееккх функций, соответствующих разрушенным КНРам и расстояний между ближайшими уровнями квазиэнергий, показывает наличие корреляций, связанных как с судествованязм зам&тнор дели устойчивей компоненты движения в ограниченном фазовом пространстве классической систола*, так и с квантовыми корреляционными эффектами, привоглщими к ограничению классического хаоса. В §3 рассмотрены динамические свойства сис-.теш двух вааимодействугацих КНРов. Показано, что при перекрытии КНРов и достаточно большом параметре квазиклассичности Ш2;

^¡Х - число уровней кевезмущэнмй системы, вовлеченных з динамику) происходит типичное для стохастического движения быстрое затухание корреляционных функций матрицы плотности с малым остаточным уровнем корреляций (порядка нескольких процентов). В случае,

когда КНРы перекрываются, ко параметр квазилласскчности кал ( < 50), затухаме ко.зреляичонни}: функций практически отсутствует, и дакание является существенно квантовым. Частотный спектр в рзмтме кванаогс^о хаоса близок к непрерывному спектру стохастического движения; эволюция волнового пакета практически не зависит 07 начального эасзленая. Анализ квантовой диффузии показывает, чтс в области квантового хаоса динамика сродней эивргик системы на конечных временах хороко согласуется с классической диффузией. Времэна соответствия классической и кзагаовсй диффуоил могут превышать зрэ.л-1 распл:шашя пакета до всей доступной области фазового пространства.

Третья глава посвящена теоретическому анализу нел'лейной квантовой системы, з которой КНР и взаимодействие КНРсв могут быть реализованы в области глубокой кэазиклассики, что, согласно результатам второй главы, позволяет реализовать в этом случае движение, б/лзкое к стохастическому движению классической системы. Б качестве физического объекта исследования рассмотрены электроны, находящиеся нзд поверхностью телш в постоянном пр'лтамахкрм и перпендикулярно поляризованном к поверхности резонансном. СШ полях. В этом случае движение электрона с с>?юргией < I эЗ (энергии проникиоьоотя электрона за поверхность гелия) представляет собой нолшейнне колебания вблизи погорхпсстк. Система является эффективно одномерной, к представляет собой обобщенна (за счет вхлючения прижимаючего поля} модели, предложенной ранзэа[1] . Проведенный а §§2,3 класс1гческий и квактозомехакическйй (на основе результатов второй глава) влатаз показывает, что в случаэ отсутствия. прляимяю'гего поля условие. КЕазиклассичнэсти ( ) взаимодействующих КЯРов % области заселения рпдбэргогских состоянии

40) фактически не шлюляяется. Приведены оценки, показывающие, что путем изменения величины прихимакдаго поля мояно варьировать число уровней, захваченных в каздый из КИГов, что позволяет изучать в такой системе переходной режим от квантовой динамики взаимодействия КИРов к двяганяю, близкому к классическому хаосу с

^етвеотая глава посвяшсна изучении динамики корреляционных функций в области сильного взаимодействия КНРоб. В качество исходных выбраны модели ниллнейного квантового осциллятора и квантового ротатора, возбуждаемых периодической последовательностью ^ -имкульсов. Одним из преимуществ ьабранных систем является

- Л -

бесконечное число взаимодействующих первичных КНРов, что приводит к максимально разьигому- хаосу. Кроме того, в таких системах юн товые корреляционные вф^ектц проявляются в наиболее явьом видз, поскольку на них не накладываются классические остаточные корреляции, связанные с конечной областью фазового п;зостраяства но действию у. со срааштально большой областью устойчивой компоненты деиквнкя (как в случае двух взаимодействующих КН?ов). Б §§й-1 анализ гопедения квантовых коррэляиионных функций на временах

проведен в базисе когерэнтных состояний (для модели нелинейного кзактового осциллятора),. Рассмотрен предельный переход точш.'х квантовых выражений в области квантового хаоса к класси-чеокслу пределу. Г[ол'/чтя зналиические оценки, иоказываицке, чго экспоненциальный характер затухания квантовых корреляций на временах. Т в области параметров квантового хаоса, изменяется для больших времен на степенной закон затухания (°< Т'//г). Дальнейший анализ, проведенкьй в отой главе, оснозан на модели квантового ротатора. В §5 введена обобщенная корреляционная функция (ОКО), позволяющая еычислять зависимость от времени произ-волышх средних. Для ОКФ з §§5,6 получено с -числовое рекуррентное выражение, и определено время примеотюсти классического рассмотрения, которое совпадает с Ть . Показано, что ОКФ в общем случае имеет постойную составляющую и зависящую от времени компоненту. Аналитически показано, что в частном случае вклад постоянной составляющей отсутствует. Показано, что при квантовомека-няческом рассмотрении эволюции во времени средней энергии следует различать два типа временных корреляций: I) возникающих при усреднении чисто фазовых динамических переменных; 2) смешанных, возникающих при усреднении операторных функций от комбинаций операторов действия и фазы, ответственных за явление квантового ограничения диффузии (КОД) [2] . Установлена с-зязь между законом затухания квантовых корреляций и статистикой спектра квазиэнергий - законом поведения функции распределения расстояний между ближайшими уровнями квазиэнергий. Показано (§?), что динамика затухания квантовых корреляций может быть достаточно хорошо описана некоторой эмпирической формулой, имеющей скейлинговую структуру, и позволяющей описать явление КОД.

Пятая глава посвящена анализу процесса диффузии энергии в система с бесконечным числом взаимодействующих КНРов (модель кван-

тового ротатора) в г.редстазлеыш Вигкера. Такой подход имеет ряд оуцествешшх прешчуч.эств при статистическом описании движенья в области параметров квантового хаоса. В §2 рассмотрено пррсбразо-вание Зейля произвольного оператора, заданного в представлении, "уюл-дейстъие", введенного во второй главе. Используя результаты §2, в §3 полученс- дяокретяоз отображение для функции ¿Зигнеоа для модели ротатора з предстздлешга "/гол-действие*. Полазано, что переход к классическому пределу соответствует эволюция функция Лиуьилоя с уравнениями движения, соответствующими стандартному отображению Чярикова. В §4 получены квантовые отображения, описывавдие эволзщяю квантовой сдстемп п являющиеся обобщением "классической модели квантовой стохастичности" . Показано, что отличие в поведении во времени квантовых корреляционных Функций от классических обусловлено двумя факторами: I) дискретностью фазового пространств.', по действию в квантовом случае; 2) наличием в квантовых отображениях дополнительного (по сравнению с классическим случаем) квазт случайного процессч. Показано, что в квазиклассической области (с£. »1 ) первый фактор является определяющим при анализа, процесса квантовой дкффузаи анергии. В §5 дополнительно рассмотрен вопрос о влиянии дискретности фазового пространства на поведение фазовых корреляционных функций. Показано, что дискретность фазоього пространства приводит к усилению корреляционных эффектов. В §6 изучена динамика кззактошх траекторий г> квазиклассической области, и построена функция распределения времен замыкания траекторий. Используя формализм квантовых траекторий, описаны как явление КОД с определением характерных времен процесса, совпадающих с полученным? разеэ [2,з]из свойств локализации квазкэнэргетических функций, так и квантовый резонанс -■квадратичный рост во времени (** Сг ) средней энергии системы. Развитый .в этой главе подход к изучению динамики системы б облас-' ти параметров квантового хаоса фактически яэлаэ\;ея вариантом ква-з1шлассического приближения в случае, когда в классическом пределе имеет место стсхастизеция движения. При таком подходе в качестве исходного выбираются не классические траектории двгстоьия, а траектории, учитывающие дискретность квантового фазоЕого цроет-ранства по действию, что позволяет описать такое эажьое свойство системы ка;: КОД.

В аестой г.чапе рассмотрены условия возтткновенм хаоса в ло-

- ТЗ -

лукласеичэской гашльтсновой скс?еме, состоящей им ансамбля много уровнсгых атомов, взаимодействующих с собственным полем излучения (которое рассматривается з классическом одномодовом приблоте-нки) и с внешним когерентным пслем. íaIvoe рассмотрение приводит к аффективному классическому гамильтониану с нелинейным взаимодействием атомов с полем, что позволяет проводить анализ условий возникновения хаоса в рамках классической теории взаимодействия НРов. В §§2,3 поручена основаце уравнения для. описания ансамбля многоуровневых атомов, взаимодействующих с полем излучения к с внешним когерентным полем. Изучается возможность стохастического возбуждения атоычой потстетеш з область выссколг халдах уровней. Показано, что в режиме сильного взаимодействия НГоь в основной об пасти фазового пространства (<А ; Л - константа взаимо-

действия атомов с полем излучения) происходи! установление кваск-стациокарнсй функции распределения засоленностей уровней; при этом эффективное возбуждение высоколежащих уровней происходит в области гараметров стохастической неустойчивости одноьременно о генерацией в система салосогласозанногс поля излучения с характерными амплитудами, превышающими амплитуду внешнего поля. Показано также, что наличие внешнего резонансного поля, действующего одновременно на нескольких переходах, увеличивает скорость развития локальной неустойчивости и привода к росту энергии атомной под-систеш. Кьазистадионарпая функция распределения устанавливается в этом случае зн?лаггелыю сыстрэо (по сравнения со случаем воздействия внешнего поля, рззспансного одному переходу), и происходит суиеетвеипоэ зозбуздогшв выспкололсащих уровней. Б §§4-6 для ансамбля даухурог-овых агоиов показано, что возможно существенное вонигмЪв порога ( Л 1) адохастизатш движения в основной области фазового пространства. Это достигается в определенной области параметров (С- ~ ь)с ~ Д ) за счет отстройки Д частоты внешнего поля от частоты перехода в двухуровневом атоме ( С -резонансная частота Раби, о)с - кооперативная частота). В этом случае в системе выделяются НРы, сильное взаимодействие которых реатизу&тся в области параметров, реальных для наблюдение явления стохастичности в условиях вксперимента.

Седьмая глава госвящена исследованию ро;д НР и взаимодействия НРоь при описания структурных переходов ооразмзрносчь-яесо-размерность-хаос в одномерных дискретных квантовых системах с, кон-

курирующим взаимодействием. Анализ проводится км: з г,агшое когерентных состояний (одлоузельних и коллективных), так и в рамках самосогласованного оп.тсакия проотраяствег.ш;.х структур и спектра малых колебаний ч когерентных состояниях и в приближении самосогласованных Кононов при отлрчкой от нуля температуре. В качестве модели для проведения аналитических и численных расчетов использована дискретная квантовая модель Фринкэля-Коиторовой. В этом случае в квазивлассдческой области квантовые, отображения, описывающие возможные пространственные структуры, имеют вид стандартного отображения с учетом порэнорьаро'вкк параметра стохастичносаи К. за счет квактознх и температурах флуктуаиий. И в этом случае, однако, анализ возможных пространственных структур удобно проводить, используя понятия НР и взаимодействия НРоз. Основное внимание уделено исслодованм- свойств хаотических пространственных структур и соотз'ггетвующего им частотного спектра малых колебаний. Фактически рассмотрений подход представляет процедуру квазикласскческогс кгавтоьзлг^. в длскр&пмх моделях классических равновесных структур, гостоящи! из регулярных я случайных участков солитоннсго типа, и является обобщением квазшслассяческого квантования континуальных решений солитоняого типа. В §2 приведэ-иы характерные параметры, возникающие при рассмотрении системы .в континуальном приближении. В §3 в квазиклассическом приближении развит метод квантовзьия пространственных структур в когерентных состояниях при Т= О . Получены замкнутые уравнения для определения положений равновесия атомов структуры и спектра малых колебаний. В §4 решения полученных уравнений анализируются методом нелинейной динамики в приближении изолированного НР (что оказывается эквивалентном континуальному приближению) в одноузелькых когерентных состояниях. Показано, что эффектом кваятовости является эффективное уменьшение потенциала взаимодействия атомов с полем.

■ Рассмотрэние структур в коллзктгакых когерентнчх состояниях позволило получить крлтерий разрушения соразмерной фазы за счет квантовых флучтуагргй, который в приближении изолированного НР совпадает с результатом континуального подхода. В §6 рассматриваются самосогласованные структуры в когерентных состояниях при условии сильного взаимодействия НРов, иогда эффекты дискретности существенны. ТаксЯ подход позволяет определять характерные свойства хаотических пространственных структур и спектра малых колебаний атомов в таких структурах. В рассмотрены самосогласованные хно-

тячеекио структуры в дискретной цепочке с учетом кванювости и конечной температуры, состоящие из областей с солитонной составляющей и соразмерной фазой. Характерной особенностью спектра малых колебаний хаотических структур является (как к в случае когерентных состояний, §6) наличие щели и разрывный хзрактер га-вискмости ^2 типа "дьявольской лестницы". Показано, что с увеличением температуры (параметра квантовости) разрушение случайной солитонной структуры, связанное с "размягчением" спектра малых колебаний, происходит локально-собственный вектор низкочастотного колебания, определяющий щель в спектре, локализован в области разрушающегося солитона. Обсуддаются преимущества методов нелинейной динамики, использующих понятие НР при изучении пространственного хьоса в дискретных квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, указаны возможные приложения и дальнейшие пути развития теоретических исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Развит подход, позволяющий анализировать динамику средних в кваяиклассическом приближении для квантовых динамических систем, стохастических в классическом пределе:

а) показана логарифмическая малость времени применимости классического раземотрения по параметру квазиклассичности;

б) определена "квантовая граница стохастичности" - область параметров, в которой на конечных временах динамика квантовой системы близка к классическому стохастическому движению.

2. Построена теория квантового нелинейного резонанса п взаимодействия квантовых нелинейных резонансов, позволяющая проводить анализ квантового хаоса на больших временах:

а) на основе представления "утол-действие" построен квантовый нелинейный резонанс, характеризующийся эффективной шириной и характерной частотой фазовых колебаний, имеющих классические аналоги;

б) определены динашческие и спектральные характеристики системы двух взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов как в области их слабого взаимодействия, так и в области развитого

хаоса в классическом предвлэ; е) развит метод ренормализации при построении киазкояергатячэс-ких функций и спектра квазизнергии системы двух взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов. Найден квантовый предел ренор.гаровки классического фазового пространства, связанный с существованием резонансов высокого порядка; г) показано, что переход в область максимального квантового хаоса связан с делоквлизацией квазиэнергетических функций и появлением случайной компоненты з их структуре.

3. В систомо электронов, находящихся над поверхностью гелия в постоянном прижнчалщем и СВЧ полях, определены условия реализации квантового нелинейного резонанса и квантового хаоса в квазиклассической области и при дополнительном условии захвата в каждый из резонансов большого числа уровней.

4. Найден закон аволщш во времени квантовых корреляционных функций, дающих вклад в диффузию энергии, для случая бесконечного числа сильно взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов:

а) показано, что экспоненциальное затухание корреляций, соответствующее области времен применимости классического рассмотре-. ния, переходит на больших временах в степенной закон затухания с наличием в общем случае постоянной составляющей; 6} установлена связь между законом затухания квантовых корреляций и статистикой спектра квазиэнергий.

5. Развит подход для анализа квантового хасса в дредотавле-нии Вигнера в системе квантового ротатора, взаимодействующего с периодическим во времени "ь -образным полем:

а) показано, что в области квазиклассаки процесс квантовой диффузии определяется квантовыми отображениями, учитывающими дискретность фазового пространства по действию; • б) предложенный подход позволил описать в рамках формализма квантовых траекторий как явление квантового ограничения диффузии, так и квантовый резонанс - квадратичный рост во времени ерэд-ней энергии системы; з) показано, что время ограничения квантовой диффузия определяется характерным временем зашкан:и "кваптовых траекторий".

6. Определены условия перехода к хассу вследствие взаимодействия нелинейных резонансов в полуклассической системе гакияь-

' тоновского типа, состоящзй из ансамбля многоуровневых атомов.

взаимодействующих с собственным полем излучения и с внешним резонансным полем. Показана возможность перехода к хаосу при малой величине константы взаимодействия атомов с полем кзлучэния.

7. Методами нелинейной динамики проведен шш характерных свойств хаотических пространственных структур в одномерной дискретной квантовой системе атешз с конкурирующим взаимодействием. Показан локальный характер разрушения хаотических структур за счет низкочастотных колебаний атомов в участках с солитонной компонентой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Beriraii G.P., £a&laveky G.M. Condition of stcchaeticity in quantum iionlinear вуаtarns // Physica A. - 1976. -V.91. N3,4. - P.450-460.

2. Берман Г.П., Заславский Г.М. Стохастическая неустойчивость нелинейного квантового осциллятора //ДАН СССР. - 1978. -Т.240, #5. - C.I082-I085.

3. Вехтоап G.r., lomin A.M., Zaolaveky G.M. Method of quaaicleu-sical approximation for С -number projection in coherent etubes basis // Phyeica D. - 1981. - V.4, N1,2. - K113-121.

4. Berrcnn G.P., Ioain A.M.. Quaoicleesical perturbation theory for quantum К -system // Phys. lett. A. - 1Э83. - V-95, Я2. - P.79-S1.

5. Берман Г.П., Иомин A.M. О диффузии в квантовых К-системах. -Препринт / ИФ СО АН СССР. - Красноярск, 1981. - И 17ЙФ. -

20 с.

6. Berm&n G.P., Zaalavsky G.1I. auantum mappings and the problem o£ etocfcaeticity ill quantum systems // Physica A. -1982, - V.111, H1. - P.17-44.

7. Берман Г.П., йомин A.M. О квазшсласоическом приближении для нелинейного осциллятора, стохастического в классическом пределе. - Препрклт/ИФ СО .АН СССР. - Красноярск, 1986. ~ К93Ф. -14 с.

8. Берман Г.П., Иомин A.M. Метод нелинейной динамики и пространственные структуры квантовых одномерных цепочек // ЖЭТФ. -1985. - Т.89, выл. 3(9). - С.946-958.

9. Вегшш G.P., Kclovsky А.Н. Correlation function behaviour in quantum systems which are classically chaotic //

. Phyoicn D. - 1S33. - V.8, K1,2. - P.117-141.

10. Eerman G.P., Zaalavsky G.M. Theory of quantum nonlinaar resomrca // Fhjo. Lett. A. - 1977. - 7.61, N5. -

F. 295-296.

11. Берман Г.П., Заславский Г.И., Коловскг"! А.Р. Взаимодействие квантовых нелинейных резояансов // ЖЭТФ. - 1981. - Т.81, вып. 2(8). - С.506-516.

12. Berman G.P., Zaslaveky G.M., Koloveky A.R. On the spectrum of the system of interaction quantum nonlinear resonances // Fhys. Lett. A. - 1962. - V.87, N4. - P. 152-155.

13. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Взаимодействие резонансов в многоуровневых системах // Тезясы докладов.

XI Всесоюзная конференция по когерентной и нелинейной опти-г тике. Часть I. - Ереван, 1982. - С.421-422. -

14. Берман Г .П., Колоиский А.Р. Динамика нелинейных квантовых систем, стохастических в классическом предела // Тезисы докладов. X Международная токференция по нелинейным кслеба-hskm. - Варна, IP34. - С.31.

15. Взгшзп G.P., KolovaUy А.Я. Structure and stability of ttie quasi-energy spectrum of two interacting quantum nonlinear resonances // Phys. Lett. A. - 1983. - V.95, N1. - P.15-18.

16. Бэрасаз Г.П., Власова 0.$., Израйлев Ф.М. Кзазиэнергетическяэ Оугйсдгт! и спектр квазиэкергиЯ двух £зашяоде{;ствукщгос нелинейных резокаксов в областз классического хаоса // ЖЭТФ, -1987. - Т.93, был. 2(8). - С.470-482.

17. Бэрдан Г.Д., Власова О.Ф., Израйлев Ф.М., КсловсккЙ А.Р. Динамические и спектральные свойства взаимодействующих квантовых нелинейных резонансов: Труды Совещания "Ренорм-грутпга-86". - Дубна: СИЯИ, 1986. - С.233-244.

18. Берман Г.П. О некоторых свойствах квантового хаоса // УФН. -IS87. - T.I52, вып.1. ~ C.I7I-I73.

19. Bernan G.P., Kolovaty А.Н. Renorraalization method for the quantum system of interacting resonances // Fhys. Lett. A. -1987. - V.I25» H4. - P.188-192.

•„О, Berman G.P., Kolovsicy A.H., Zaslavaky G.K. A aonlinear resonance in a eystea of surfa-je-stats electrons // Phys. Lett. A. - 1984. - V.105, И9. - P.483-486.

21. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Нелинойннй резонанс и стохастичкость в системе поверхностных электронов //

ЕЭТФ. - 1585. - Т.88, вып.5. - C.IE5I-1559.

22. Berman G.P., Kolovsky ¿.It. Dvnamics of classically chaotic quantum systems in Signer representation // Physics D. -

1985. - 7.17, K2. - P.183-1S7.

23. Berman G.P., Izrailev F.M., Kolovaky A.R. Quantum chaos and peculiarities of diffusion in Wignei- representation // Physics A. - 1968. Y.152, K2. - P.273-286.

24. Бермач Г.П., Коловскпй А.P. О диффузии в системе квантового ротатора, возбуждаемого периодической последовательностью

S" -ккаульсов. - Препринт/® СО АН СССР. - Красноярск, . 1985. - А 338Ф. - £.9 с.

25. Белобров П.И., Бермая Г.II., Заславский Г.М., Слчвкнский А.П. О стохастическом механизме возбуадения молекул, взаимодействующих с собственным полем излучения // НЭТФ. - 1979. -

' Т.76, JJ6. - С.1960-1968.

26. Bermen G.P., Zaslavsky G.M. On stochastic behaviour of nulti-level dynamic quantum systems // Pfcysica D. - 19S1- -T.2, N1. - P.25-29.

27. Alekseev K.H., Beria<m G.F. Regular and stochastic oscillations in tbe eystera of atoms interacting with radiation field: Abet, of 21 later. Oonf. Honlioear Oac. - Budapest, Hungery, 1987. P.34.

'28. Алексеев K.H., Бермак Г .П. Динамический хаос при воздейст- . вии внешнего монохроматического излучения на двухуровневую среду с учетом кооперативных аффектов // ЕЗТФ. - 1987. -Т.92, вып.6. - С.1985-1994.

29. Берман Г.П., Иокин A.M. Соразмерная, несоразмерная и хаотическая структуры в одномерной квантовой цепочке атомов, взаимодействующей с внешним пространственно-периодическим полем. - Препринт/!® СО АН СССР. - Красноярск, 1984. -

» 267Ф. - 26 с.

30. Berman G.P., lonin A.M. Structural order and chaos in a one-dimensional quantum chain // Phye. Lett. A. - 1985. -V.107, H7. - P.324-328.

31. Белошапкин В.В., Берман Г.П., Иомин A.M., Третьяков А.Г. Самосогласованная теория пространственных структур и динамических возбуждений в одномерных квантовых системах // 2ЭТФ. -

1986. - Т.90, вып. 6. - С.2077-2089.

32. Beloahapkin V.V., £спдаи G.P., Tret'yakov A.G. Self-consiotent structures in discrete quantum Prenlrel-Konto-rova model nt finite temperature // Phye. Lett.A. - 1987. -V.124-, N1,2. - P.90-94.

33. Белошапкин В.В., Берман Г.П., Третьяков А.Г. Самосогласованные структуры к спектр динамических возбуждений в дискретной квантовой цепочке атомов при конечной температуре // Тезисы докладов. Второй Всесоюзный симпозиум "Неоднородные электронике состояния". - Новосибирск; J987. - C.I74-I77.

34. Борман Г.П., Израйлев Ф.М. О динамике корреляционных функций и ограничении диффузии в области квантового хаоса. -Препринт/ИФ СО АН СССР. - Красноярск, J9S8. - № 497Ф. -

24 с.

35. Берман Г.П., Смокотина-О.Ф. О динамике взаимодействия квантовых нелинейных резокансов в области классической стохастичности. - 11рспр;?лт/ИФ СО АН СССР. - Красноярск, 1980. -

№ 498Ф. - 13 с.

1. Jenson R.V. Stochastic ionization of surface-state electrons // Phys.Rev.Lett. - 1982. - V.49. H12. - P.1365-1368.

2. Chlrikov B.V.. Izrailev F.M., Shepelyansky D.L. Dynamical atochasticity in classical end quantua nechanierua // Soviet Scientific Reviews. - 1981. - V.2C. - P.209-267.

3. Чириков Б.В., ШепелянскиЗ Д.Л. Локализация динамического хаоса в квантовых системах //Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1986. - Т.29, ¿'9. - С.1041-1049.

Цитируемая литература