Квазилинейные эволюционные уравнения в частных производных с операторными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша Академии Наук СССР

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Лаптев Геннадий Иванович

Москва 1991

Работа выполнена в Тульском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте.

Официальные оппоненты: доктор физико-математичесглх наук В.А.Галактионов, доктор физико-математических наук профессор Ю.А.ДубинскиЙ, доктор физико-математических наук профессор Д.Г.Гордезиани.

Ведущая организация - Ленинградское отделение ордена Ленина Математического института км. В.А.Стеклова АН СССР.

Запита состоится "_" 199./г. в "_" часов

на заседании специализированного совета Д. 002.40.03 при Институте прикладной математики им, М.З.Келдыша АН СССР / 125047 Москва, русская пл., 4 /.

С диссертацией козшо ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. '.'.В.Келдыша АН СССР

Автореферат разослан 1?э/ гсда.

Ученый секретарь /

специализированного совета ■доктор физ.-мат, наук

[ I

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

""" ~—~-Ъггтальность теми. Начально-краевые задачи для квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений с-частными производными являются в настоящее время одним из интенсивно развивающихся направлений математической физики, так как они описывают реальные физические процессы при больших скоростях, высоких давлениях и температурах. При составлении математических моделей таких процессов возникает, как правило, система дифференциальных уравнений.При попытке сведения ее к одному или меньшему числу уравнений могут появиться в коэффициентах интегралы от разыскиваемой функции и ее производных, которые определяют нелокальный оператор над неизвестной функцией.Подобные уравнения возникли фглстически одновременно с дифференциальными уравнениями с локальными коэффициентами, однако их математическая разработка началась относительно недавно. Это объясняется в частности тем, что первоначально были неясны свойства уравнений дане с л5кальными коэффициентами, не содержащими интегралов. К настоящему времени теория разрекимости квазилинейных уравнений с локальными коэффициентами построена в своей фундаментальной части по крайней мере для случая уравнений второго порядка. Тем самым на очередь встали более общие уравнения, в том числе квазилинейные дифференциальные уравнения, содержащие в своих коэффициентах интегралы от разыскиваемой функции и ее производных.Пос-. леднему классу уравнений посвядена диссертация.

Цель работы и общая методика исследовачия. Цель работы заключается в том, чтобы выяснить границы применимости известных теорий о разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений с локальными коэффициентами к новому классу уравнений в частных производных с нелокальными операторами в коэффициентах, изучить особенности таких уравнений и создать новые методы их исследования. При этом используются и развиваются идеи о разрешимости общих нелинейных операторных уравнений, предложенные в работах Ю,А.кубинского, С.И.Похожаева, I.-Л.Лионса и других авторов, а также методы исследования квазилинейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, изложенные в работах В.А.Галактионова, А.В.Иванова, С.Н.Кружкова, Н.В.Крылова, O.A.Ладыженской,H.H.Ураль-цевой,А.Фридмана, Н.Н.Яненко и многих других математиков.

Научная новизна. В диссертации впервые установлены следующие результаты.

1. Предложен и разработан метод решения нелинейных эволюционных уравнений с условно слабо замкнутыми операторами. Установлены также теоремы о гомеоморфизмах, осуществляемых такими операторами.

2. Получены теоремы о существовании решений квазилинейных параболических уравнений высокого порядка, содержащих в коэффициентах оператор Вольтерры, примененный к степеням пространственных производных разыскиваемой функции.

3. Найдены условия существования решений одного класса уравнений, возникающих в задаче о диффузии магнитного поля в вещество при учете нагрева тела.

4. Доказаны теоремы о существовании решений квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры при условии подчиненности интегрального оператора локальному, а также при возможном вырождении коэффициентов уравнения.

5. Выделены классы квазилинейных уравнений Вольтерры, а также класс существенно нелинейных уравнений с сосредоточенной главной частью, допускающих классические глобальные решения,

6. Установлены условия существования решения задачи Коши для квазилинейных гиперболических уравнений с функциональны:.! коэффициентом при пространственных производных для начальных данных бесконечной гладкости.

7. Получены теоремы о существовании решения задачи Коей Для систем дифференциальных уравнений в частных производных с функциональным коэффициентом при пространственных производных для началь- ' ных данных конечной гладкости.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанный в диссертации метод услолно слабо за\жнутых операторов объединяет как новые классы операторов, так и хорошо известные ранее, например, монотонные коэрцитивные или операторы полуограниченной вариации. В этом теоретическая значимость работы. Кзучэнные в диссертации классы дифференциальных уравнений с частными производными имеют своим .источником математические модели конкретных физических процессов. Примером служит система, описывающая процесс диффузии переменного магнитного поля в вещество при учете нагрева тела, детально изученная в диссертации. Еадача о диффузии магнитного поля весьма актуальна в настоящее Еремя и служит источником многочисленных исследование как в теоретическом плане, так и в плаке экспериментальной проверки теоретических результатов. 'Лногие задачи меха-

Ники и физики описываются системами дифференциальных уравнений с частными производными. При сведении такой системы к одному уравнению в его коэффициента:: наряду с частными производными могут появиться также интегралы от разыскиваемой функции и ее производных. Результаты диссертации раздвигают границы применимости строгих математических методов к подобным задачам.

Активный интерес к нелинейным физическим процессам, характерный для настоящего времени, породил ряд задач, которые сведены к нелинейным уравнениям Вольтерры. Примером служат задачи вязкоупру-гости, а также нелинейной теплопроводности для материалов с памятью. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении таких задач. Уравнения и системы дифференциальных уравнений с функциональными коэффициентами, рассмотренные в работе, также возникают при описании конкретных физических задач, таких, как колебания упругой растяжимой струны, или при математическом описании процесса полимеризации. Результаты диссертации можно использовать во всех указанных направлениях исследований и близких к ним.

Апробация саботы. Основные результаты диссертации докладывались в школах по теории операторов в функциональных пространствах /Новосибирск - 1975 г.,Новгород - 1976 г..Новосибирск - 1979 г./, в Воронежской зимней математической пколе /1972, 1973, 1973 гг./, на Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященн<?й 75-летию со дня рождения И.Г.Петровского /Москва -1976 г./,' ..'га Всесоюзной конференции, посвященной .Пни советской науки /Тула"- 1988 г./, на 5-ой Республиканской конференции "Нелинейные задачи математической физики" /Донецк - 1937 г./,на Второй Северо-Кавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям /Махачкала - 1988 г./, а такле на ежегодных научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава Тульского политехнического института. Детально результаты неоднократно докладывались на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожае-ва. В целом диссертация доложена на объединенном научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. АН СССР С.И.Похожаева, проф. Ю.А.Дубинского и проф.С.А. Ломова в Московском энергетическом институте» а также на. семинарб-отдела в Институте прикладной математики АН СССР игл.М.В.Келдыша.

Публикации т Основные результаты диссертации опубликованы в 29 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы и занимает 267 страниц машинописного текста. Библиография содержит 139 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация посвящена изучению условий разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений преимущественно параболического . типа, которые наряду с частными производными разыскиваемой функции содержат интегралы от нее и ее производных. Во введении обосновывается актуальность темы, описываются предшествующие исследования в их историческом развитии, характеризуется состояние научных исследований по данной тематике в настоящее время и приводятся основные результаты автора диссертации.

Глава I посвящена выяснению условий разрешимости начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений, содержащих в своих коэффициентах оператор Вольтерры, то есть интегральный оператор по переменной -Ь . Примером таких уравнений служит следующее I - - л

г[а(//Л/ЩЛ!1' Га] =/а,х\ {1)

I ¡ы.1=т [ \0 ■ / -1 /

где /Л/ '¿¡^ 11>"и>1 . Оно является аналогом уравнений, возникающих в задаче о диффузии магнитного поля в вещество при учете нагрева тела.Коэффициенты введенных уравнений содержат интеграл, определяющий нелокальный оператор. В теории дифференциальных уравнений часто используется тот факт, что оператор Вольтерры вида / № а-ъ является улучшающим. Однако в комбинации с производными по пространственным переменным его улучшающие свойства могут теряться. Например, уравнение - ^¿/^(^¿¿г . параболическое по виду, заменой ^ и- оИ = У переводится в нелинейное гиперболическое уравнение ^^ ' К0Т0Р°е в общем случае не имеет глобального решения. Таким образом, уравнения вида (I) являются в определенном смысле промежуточными между гиперболичес--кими и параболическими.

Рассматриваемые уравнения не подходят под известные теории. Это побуждает создать новую операторную схему, изложению которой посвящен первый параграф главы, где развивается теория разрешимости эволюционных уравнений с так называемыми условно слабо замкнутыми операторами. Теория имеет самостоятельное значение, ибо включает как частный случай эволюционные уравнения с коэрцитивными монотонными операторами, которым посвящена обширная литература.

Изложим основные моменты предлагаемой операторной схемы. Изучаемые в диссертации задачи рассматриваются как абстрактные эволюционные уравнения вида и/+ Л И =* . Для доказательства существования слабых и сильных решений таких уравнений в настоящее время наиболее распространен метод Галеркина, приводящий к последовательности приближенных решений и>д/ 2, ■■■) . Для обеспечения сходимости этих приближений к истинному решению введены многочисленные классы операторов: слабо замкнутые.монотонные, полуограниченной вариации.В диссертация вводится еще один масс операторов,названных условно слабо замкнутыми. Фактически в определении таких операторов аксиоматизируется возможность предельного перехода в 'галеркинских приближениях, что позволяет включить в теорию ::овые классы операторов. Применение метода сводится к проверке конкретных условий. На этой стадии предполагается использование индивидуальных особенностей рассматриваемых уравнений.

Сформулируем требования, которые метод предъявляет к операторам. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением , •) . Введем гильбертово пространство Н) , элементами которого являются абстрактные функции ) , определенные на отрезке [О, Т] и принимающие значения в Н . Норма порождается скатярнот произведением V) = /0 (и(¿), сИ • Пусть еще^ задано реа.-;с!'.:;:вное банахово пространство X и его сопряженное X , удо ат е т во р яюг е включ е ниям

X - 11{0,Т}Н)с:Х*,

где 'влот.ения плотны л непрерывна.Предполагается также, что в пространстве X плотно множество конечных линейных комбинаций

у [ К- I

- полная в п ортонормированная система элементов.

По заданному непрерывному и ограниченному, но не обязательно линейному оператору : Х~*Х* построим эволюционный оператор ¿¿и = ЦГ+ Ли, где штрих обозначает производную по £ функции

)• Оператор уже не ограничен как оператор из X в X* , что и составляет трудность его изучения.В качестве его области определения введем множество

= и'еХ*}.

Из класса эволюционных операторов выделим те,которые обладают следующим свойством.

I. Пусть для последовательности 11л/ € выполнены условия: си) и слабо в X; ¿¿0 в Н при

В)(I,-*(/,М-); кш всех \/€ Х0.

Тогда ¿¿в Ш п при этом L^JL=j•, ¡¿-(О) - 1С0 .

Такие операторы названы условно слабо замкнутыми, так как они слабо замкнуты не на всех слабо сходящихся последовательностях, а только на тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Свойством I обладают эволюционные операторы / II = и'+ Ли с коэрцитивным монотонным оператором. Однако это свойство может сохраняться при отсутствии как коэрцитивности, так и монотонности оператора Л , то есть является более общим. Используется оно для доказательства сходимости галеркинских приближений, существование которых постулируется условием II. Для его формулировки требуются • дополнительные построения.

В пространстве Н введем подпространства /^у , натянутые на первые векторы базиса е^,..., В^ . Соответствующий ортогональный проектор на подпространство .и обозначим. Р^ . Пусть С(0,7}%?)-пространство непрерывных функций на отрезке [ 0}Т] , принимающих значения в . Введем оператор Ь^Ц, = 21 (Ди^^е^.Требуется, чтобы он удовлетворял следующему условию конечномерной аппроксимации.

II. Оператор Ад, действует в пространстве С(0,//у), непрерывен и ограничен. Лдя катдого возшзииго ^ееэзея задачи Ксши

где 1([0,1]- faßt Г-//J;/ в//^виполняютсм'априорные оценки li^l^^f.^) fUy//x Зпесь постоянная К не зависит ни от параметра X , ни от номера М=1)2г... .Постоянные^/ могут зависеть от номера А/ , но не зависят от X .

Приведенное условие обеспечивает существование галеркинских приближений, которые удовлетворяют требованиям d)- S) условия I. Сформулируем основные результаты параграфа.

Теорема .1 ' I гл.1. Пусть выполнены приведенные выше условия I - II. Тогда задача Коши

Lu, = u'+ Jfu.= и>(0)= и0

имеет решение LitW для любых заданных функций f G ¿¿0 6 //. Производная Цг , определяемая как элемент пространства распределений

принадлежит пространству X* , так что уравнение понимается как равенство в пространстве X*. Кроме того, решение Utt)G С(0,Т;Н) и как непрерывная функция принимает значение ¿¿(0)=Uq.

Далее оператор L изучается с точки зрения его непрерывности. Как оператор из X в X* он неограничен, поэтому область его определения сужена на множество IV. Для каждой функции Uefa/ определено ^значение ll(0)€ Н , поэтому удобно ввести расширенный оператор L U. L U; ¿¿fp)j , который действует из ¡V в прямую сумму

Н '.. 1 также суженный оператор L0U^ L ¿¿. . определенный на множестве- D(L0)~j^Utli/- где Ч0 -фиксированный эле-

мент. Оказывается, множество D(L0) является гиперплоскостью так что оно наследует топологию пространства Ii/.'

Для операторов, порождаемых уравнениями с частными производными, часто удается установить следующее дополнительное свойство.

III. Пусть последовательность ¿¿^ € Ii/ такова, что ¿U^-^LU то есть Lily-* Lie В х* И ¿¿„(OJ+llp в И . Тогда ¡¿„-+U в X при А/-*- оо.

Условие это фактически означает непрерывность обратного.оператора I'* в предположении, что такой оператор существует.

Теорема 4 'ч гл.1. Пусть в дополнение к условиям I - II выполнено также условие III. Тогда следующие отображения являются гсг:с-

*

морфизмами: /. : М/-* Х*Ф И; ¿0 : ])(X у , / I Кроме того, определено и непрерывно отображение ¿ •'-а ®"-*Ци,/;п/.

Завершается параграф операторной схемой метода компактности, приводящего к сильным решениям. Во многих случаях для приближенных решений рассматриваемого уравнения удается установить оценки в более сильном пространстве У , компактно вложенном в X , что обеспечивает сильную сходимость и^ -- И в X • При этом обычно повышаются требования на гладкость исходных функций у и II0. Метод компактности удобно формализовать в виде следующего условия.

II'. Пусть в дополнение к условию II, обеспечивающему существование приближенных решений ¿¿^ , выполняется соотношение: и^+и, в X при А/-*-оо . Тогда Не IV, и при этом ¿и=/} и(0)=

Теорема 5 §1 гл.1.Пусть для заданных начальных функций feX)e, ¿¿9 € Н выполнены условия II - II7. Тогда задача Коши /}

¿¿(0)= ¿4? с этими данными имеет решение 1Ле1А/ . При этом уравнение понимается как равенство в пространстве X*, решение Ч(С(0,Т-,Н\ причем и (О) = ССр .

Первое приложение изложенной схемы посвящено следующей задаче

ЦРц/^-О (/¿¡¡¿т-1); и(0,х)-11е(х),

которая рассматривается в ограниченной области йс^*1 с границей £> . Показатель 2 .На коэффициенты уравнения накладываются условия подчиненности степенному росту:

а0$г * (л) ^ л г+ а2 (а1>0} г>0:, ^О). (з)

Задача (2) рассматривается как эволюционное уравнение Выяснению свойств оператора Л посвящен второй параграф. Там устанавливается, что оператор Я коэрцитивен, более точно, удовлетворяет ^соотношению (Ди}и)>}сЦи.11^ъ специфическом пространстве к^^д; / % Т)), норма в котором определяется формулой

Обратим внимание, что,здесь вначале ведется интегрирование ' по переменной Ь , а затем^,только по пространственной переменной Х-€<2 . Если в уравнении (2) считать все коэффициенты а^ = то получится дифференциальное уравнение с локальными коэффициентами, относительно которого хорошо известно, что соответствующий оператор А является монотонным в пространстве ¿1(0,7"; для любого

показателя ^ ? % . Если же коэффициенты СС^С^) отличны от константы, то включение в уравнение оператора Вольтерры приводит к тому, что монотонность оператора Л- сохраняется только при условии вогнутости коэффициентов, то есть в предположении, что Это соответствует в условии (3) показателям О^р^ / . Монотонность оператора Л тогда определяется неравенством ^Аи-Л^и-У^сЦи-Х/Ц^. Заметим, что теории эволюционных уравнений с коэрцитивным монотонным оператором в традиционных пространствах^/^/^^/^^Й,),) посвящена обширная литература. Для пространств с симметрично расположенным; символами соответствующей теории создано не было. ^

В третьем параграфе на основе изложенных выше свойств операторе Л устанавливается, что эволюционный оператор ¿и = и'-*Ли является условно слабо замкнутым. Еолее точно, для него выяолншэтс.т условия I - III §1, что приводит к следующему утверждению.

Теорема I £3 гл.1.Пусть функции ¡2^, (4) определены и дважды непрерывно' дифференцируемы для значений 6 О , монотонно возрастают и вогнуты, то есть 0.^(6)^0, . а также удовлетворяют условие степенного роста (з). Если функция то задача (2) имеет единственное решение 11(1-- 1.44т)), где (£(¿+2) • При этом и^^Л* и уравнение понимается как ч равенство в пространстве X* . Кроме того, решение и £ С{&, ¿2(£1)), то есть является непрерывной абстрактной функцией, принимающей значения в пространстве Ь^(^) • В частности, для нее определено значение ¡¿(^х), и при этом ¿¿(д, х) =иа{х),,

Для задачи (2) справедлива также теорема 4 §1 гл.1 о гомеоморфизмах, осуществляемых оператором ¿, , порожденным этой задачей. Аналогичные утверждения могут быть сформулированы для уравнения {I).

Вторая глава посвящена изучению убловий разрешимости задачи о диффузии магнитного доля в вещество при учете нагрева тела. С ма-

тематической точки зрения задача интересна тем, что приводит к новым классам уравнений с частными производными. Впервые эти уравнения предложены в работе Д.Г.ГЪрдезиани, Т.А.Джангвеладзе, Т.К. Коршия /Дифференц. уравнения, 1983, т.19, с.1197-1207/. Случай плоского поля с конкретным коэффициентом t%(i) = /+ изучен в серии работ Т.А.Джангвеладзе. Первый параграф главы посвящен выводу уравнений. Подчеркнем, что физическая задача здесь рассматривается как источник нового класса уравнений, а также с целью четкой формулировки условий, при которых эти уравнения получаются. Глазными ограничениями язляются предположение о квазистационарности электромагнитного поля и применение закона Дяоуля-Ленпа для нагрева вещества. В конечном счете уравнения принимают вид

Ui + iot[а, (/ \/W и ¡2Jt) iot и]-/fc х)} divü^O. с 4)

Здесь U^U^j:) - искомая вектор-фушишя, зависящая от времени it-О и пространственной переменной Хв . Эта функция соде-

ржится также в коэффициенте уравнения под знаком интеграла, который определяет нелскачьныЗ оператор, что и составляет главную особенность уравнения. Однако имеются и другие особенности. Так, для уравнений ¿4) нельзя ставить, например, первую краевую задачу с условием U.Jg - О , ибо это потребует, Kai: показывает теория уравнений Навье-Стокса, дополнительного слагаемого с давлением fjtiadр, которое не получено в процессе вывода уравнений ("4). В диссертации уравнения (4) дополняются следующими граничным* условиями

vxüj^O; v-zoiüj^O- й(0}сс)^й0(х}. (5).

Здесь V - внешняя нормаль к границе $ области ¿2 . Эти условия имеют физический смысл, определяя так называемую идеально проводящую границу. Согласно этиу. условиям вектор напряженности

магнитного поля направлен перпендикулярно границе, а вектор плотности тока не проходит через нее. Краевая задача (4)-{Ь) формулируется во втором параграфе главк как эволюционное уравнение ll'-tAu = J- .Строится пространство X и сопряженное к нему X* так, что оператор Л действует из X ъ X* ограниченно, непрерывно и монотонно. Построить такое пространство удается лись для случая, когда коэффициент CL(i) уравнения (4) евглетсл гнутой функцией.

Норма в этом пространстве определяется Формулой

Здесь р ï) , где число Z берется из условия степенного

роста {3). В основе определения операторам? лежит операция ïûii, которая при граничных условиях (5) имеет бесконечномерное нуль-пространство. По этой причине оператор^ оказывается необратимым и некоэрцитивным. Тем не менее в целом эволюционный оператор ¿и^иг-Ь У?¿¿- < построенный по задаче (4)-(5), является условно слабо замкнутым. Точнее, он удовлетворяет условиям T-III §1 гл.1, что устанавливается в третьем параграфе данной главы. Для формулировки результата введем подпространство J пространства ¿2(SÎ;Kb) как пополнение множества гладких вектор-функций, удовлетворяющих уравнению div U. = 0.

Теорема 6 §3 гл.2.Пусть выполнены следующие условия: функция а , Удовлетворяет условию степенного роста (3),

монотонней вогнута, тс есть ct'fti^ûj &"($) ; элемент Л^^Д*

функция f имеет представление f - /¿, + toi А. , где f06i?(o}T5j)> А в¿2(; граница области принадлежит классу С1 . Тогда задача (4}-(5) имеет единственное решение, которое обладает следующими свойствами: И 6 X , где норма определяется формулой (&); Л'^Яие X* и уравнение понимается как равенство ¿l'+dcl - f в простран нее X* ; U и в этом смысле решение удовле-

творяет уравнению div U - О , а также начальному условию U(û,x) граничные условия удовлетворяются как равенст-

ва в пространства обобщенных функций &))•

Сформулированная теорема подводит итог изучению разрешимости задачи о диффузии магнитного поля для случая растущего коэффициента. В следующем четвертом параграфе глапы устанавливаются условия разрешимости изучаемой задачи для случая немонотонных, но ограниченных коэффициентов d(i). При этом рассматривается только плоское поле, для которого уравнение имеет вид

= ///^{Wv///7^ f ({,*)■> о)

. ^/ g = 0- u(û}x) = U0(x).

Эта задача рассматривается в ограниченной области ¿2 К с границей 5 • Предполагается, что функция Л-(4) определена для 4 и непрерывно дифференцируема, а также удовлетворяет условию равномерной параболичности, то есть 5 а'/ . Этих не-

равенств недостаточно для разрешимости задачи. Требуется еще довольно специфическое условие, которое для случая выпуклой области принимает вид следующего неравенства

< ш/ а2(б). (в)

о ' о

Чтобы не вводить громоздких определений, ограничимся формулировкой результата, относящегося к выпуклым областям.

Теорема I §4 гл.2.Пусть область .0 выпукла, ее Гранина является кусочно-гладкой поверхностью с ограниченной кривизной и выполнено условие равномерной параболичности и неравенство (8). Если начальный элемент Ы>0€ функция , то существует единственная функция

которая удовлетворяет уравнению (7) в смысле равенства элементов в пространстве ¿2(@) , в частности, почти всюду в (^ = .0. * (О, Т). Кроме того, она удовлетворяет начальному условию как непрерывная функция из пространства 0(0)7} ¡л/^

Доказательство проводится методом компактности. При этом предельный переход к решению задачи осуществлен на основе операторной схемы, изложенной в теореме 5 §1 гл.1.

Изложенная выше общая теория обеспечивает существование решения задачи о диффузии магнитного поля либо для ограниченных коэффициентов О-(З), либо для коэффициентов, сравнимых со степенной функцией для показателей ^ — / . Условия разрешимости для более высоких степеней пока проблематичны. При проведении вычислительных экспериментов достаточно располагать конкретным коэффициентом, для которого задача имеет решения хотя бы специальной структуры. Для изучаемой задачи таким коэффициентом служит степенная функция а(6)~ ^ ^ эгом случае задача допускает решения, которые могут быть получены методом разделения переменных для любых показателей без ограничения сверху. Построению таких реше-

ний посвящен пятый параграф главы.В нем рассматривается следующий

вариант задачи (7):

^ = и¡^0. (э)

Дм произвольных показателей О, £ ^ / строятся решения вида И (¿,х) = Т(1)Х(х), что приводит к двум нелинейным уравнениям с параметром. В частности, для функции ТЦ) получается следующая задача . , .р

га) + 12т[1о Що/Щ =0; т(о)-т0.

Показано, что это интегро-дифференциальное уравнение имеет для каждого \ >0 единственное реиение, определенное для всех значений 1^0 , и описаны его свойства, а также свойства соответствующей функции Х(х), которая тоже зависит от параметра X . Этими построениями завершается вторая глава.

Третья глава диссертации посвящена нелинейным параболическим уравнениям Вольтерры, преимущественно вида

¿¿{ -4 ^ (х, их) + £ $ (л, ¿¿х а х)) ¿4 =/({, 4^0)

а (о, х) = С10 (х)} = 0.

Заметим, что интеграл здесь является внешней операцией по отношению к производным и алгебраическим действиям, тогда как в предыдущих классах уравнений он содержался в коэффициентах.Эти уравнения объединили два направления теории. Одно идет непосредственно из прикладных задач, в которых интегральное слагаемое возникает из постановки задачи. Так, для описания процесса распространения тепла в среде с памятью используется уравнение

-Щ а^хгих) +/Ьк[*3й,х)]>. ¿г■ [х, Си)

Другое направление связано с изучением дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка вида

иы = ¿14 а1 (х>+ $1 4 ¿х>их)

которые возникли как математическая модель вязкоупругостп. Эти уравнения после интегрирования по переменной i принимают вид (Ю). Уравнение (10) представим в абстрактной операторной форма

• и^ Ли = 1)Ви, ¿3 + /. ^

Опыт использования интегрального оператора Вольтерры подсказывает, что для доказательства разрешимости уравнения (12) достаточно уметь решать укороченное уравнение ¿¿^ ■/ Ли =А , а также предполагать, что оператор Ъ подчинен оператору Л в каком-либо смысле. Естественной формой подчиненности для уравнения (10) является условие, что функции ^¿(х,^) растуРйнстрее функций (¿¿(х,\) по переменной при ¡^l+oo t что обычно и предполагается с

различными вариациями.Обратимся к эволюционному уравнению предполагая оператор -D- CV^(x,Ux) эллиптическим. Для него

разработано много методов, которые дают три класса решений: слабые, сильные и классические. Однако в применении к уравнениям (Ю) до сих пор удавалось приспособить только метод компактности, который приводит к сильным решениям. Метод монотонности, дающий слабые решения, и принцип максимума, приводящий к классическим решениям, не удается применить к общему уравнению Вольтерры (Ю). В результате теория таких уравнений разбилась на несколько направлений, изучающих отдельные классы операторных уравнений вида (12). В соответствии с этой тенденцией построена третья глава диссертации. В ее первом параграфе к задаче (10) применяется теория условно слабо замкнутых операторов. Задала (10) рассматривается как эволюционное уравнение вида U-' 1L JlU.-f в пространстве Х- W(0,T\ Wj(&>)).Оператор А, включающий интегральное слагаемое, не является ни коэрцитивным, ни монотонным, тем не меп^е' он удовлетворяет условиям I -III §1 гл.1 при следующих предположениях: ядро К({}1) является измеримой ограниченной функцией переменных O^i « i < Т ¡коэффициенты о^Х,^) считаются непрерывными по хе32 и непрерывно дифференцируемыми функциями по £ € Rn .На них налагаются также следующие алгебраические ограничения: для фиксированного числа р> 2 и всех X € Sl-, t £ [О, 7]-} ^ р f %п

1Щ&1>1< С2 (и /f/H.

С/

Теорема I §1 гл.3.Пусть выполнены сформулированные выше условия. Если функция €Xj Ue(x)e¿^(S^) , то йадача (10) имеет единственное решение И€Х. При этом X* и уравнение понимается как равенство в пространстве X*. Кроме того, решение явля-

ется непрерывной абстрактной фу! ей переменной { , которая принимает значения в пространстве и при этом а(0)х)-ид(х).

Сформулированы также теоремы о гомеоморфизмах, осуществляемых оператором / й- ^и-'+Ди, , которые вытекают из теоремы 4 §1 гл.1. При дополнительных условиях на коэффициенты и исходные данные задачи доказывается теорема о повышении гладкости решения, оно становится сильным (п,в.). Заметим,что в условиях приведенной теоремы рост функций ¿»¿ (х,^) п0 переменной £ существенно отстает от роста функций Этот-недостаток компенсируется указанием гомеоморфизмов пространств, которые порождает оператор задачи, в частности, единственностью решения. В ранее известных результатах по данной задаче гомеоморфизмы пространств не-строились.

Во втором параграфе главы продолжено изучение уравнения (ю). Предполагается, что степени роста функций и ё^Х^) по

переменной £ сравнимы. Более точно, считаются выполненными следующие ограничения-для всех

Щ <1<* Ф ¥) + /4й' {х-*>1 № 'Ъ

цффцП

Здесь введен дополнительный параметр 0< Ж < I. Кроме этих достаточно ясных условий предполагаются выполненными еще два', ограничивавшие Еыйор коэффициентов Сни долтны быть суммой однородных функций, именно

а^) = ^ Ч)-

где 2. р . Кроме того, для всякой гладкой вектор-

функнии ^(1) должна выполняться оценка

Теорема 1 ':2 гл.5.Пусть выполнены перечисленные выше условия, м пусть фу;-г;:!.:!:: и непрерывно дифференцируемы по

все-.: своим аргумента».!. Если функция (¿^6 Ь^, (Л)} и гра-

ница £ С , то существует решение задачи (10), для которого справедлива опенка

{^¿«Л+^Ы/ЩРф^иЪбА'С,

где постоянная С зависит только от перечисленных характеристик задачи. При этом уравнение fio) понимается как равенство в пространстве е частности, почти всюду в Q . Функция l¿ удовлетворяет начальному и граничному условиям как элемент пространства

Доказательству этой теоремы посвящен второй параграф главы. Там же изучена возможность вырождения коэффициентов уравнения,ради чего введен параметр 0 Ж — / . В прикладных задачах коэффициенты уравнений как правило являются степенными функциями, в частности, вырождаются в нуле, так что этот случай представляет определенный интерес. Условия вырождения коэффициентов предполагаются выполненными в следующей форме

/4

Они получаются при £ - О из приведенных ранее условий. Результат об уравнениях Зольтерры с выро.чдшгатяся коэффициентами имеет такой вид.

Теорема 3 >2 гл.3.Если в условиях теоремы I §2 гл.З считать параметр ¡¿=¿7, то утверждение теоремы сохраняет силу.

3 третьем параграфе собраны некоторые типы квазилинейных уравнений Зольтерры, допускатакх классические решения. К ним относятся, например, уравнения вила fll), з которых коэффициенты не зависят явно от пространственной переменкой, то есть имеют вид CL¿(UX). Сюда же относятся уравнения вида (1С) с линейной главной частью при условии, что функции ¿>¿ £) растут по переменной ^ёЛ не быстрее линейной. 3 четвертом параграфе даются условия существования классического реиения нелинейного уравнения Зольтерры слгдуч-щегс специального вида, где А - оператор Лапласа:

//, = ol(Í,X} а, ах, Да) t/0tK{Ux)a.(i>x,a)uXJúu)^, (i s)

которое рассматривается в ограниченной области ¿2 е Л с границей Д

Функции т к({) 1,х) предполагаются трижды непрерыв-

но дифференцируемыми по всем аргументам. На первую из этих .функций накладываются также следующие алгебраические ограничения. _

1. Условие параболичкости (Хо^^иЬ^^О на множестве

и, 16 Я'} р€Яп. * у

2. Одностороннее неравенство на множестве (¿,х)б0.; :

и. а.а, х, и, О) £ с^с, и2-.

3. Опенка на множестве ({,х)б0,-) />££П-> %

/аь! * /ахЦ аи <с2. ■I. каждого Фиксированного набора X,

(щл а (¿} х, ) — (о4

5. Для каждого множества (¿>х)€^; /и1<.М0 найдется число £>0 такое, что справедливы предельные соотношения

а(Ьх,и,/>, (//>!-* <*>).

Здесь записаны два соотношения, из которых одно соответствует только верхним знакам, а другое - только нижним. Все введенные постоянные считаются неотрицательными. Сформулируем основной результат, в котором используются пространства гельдеровых функций Н°1'ы'/2((})-

Теорема I ^4 гл.3.Пусть выполнены приведенные выше условия 1-5. Пусть_граница В £ с некоторым о¿6(0,4), функция

и-д£2) и выполнены условия согласования нулевого и первого порядков на множестве ^ i -О- X й :

■ а0(х)'0- Аи0(х)=0- а,(Огх,и,(х), /¿ох(х)} О)=0.

Тогда зада-:а ("13) имеет единственное классическое решение и €

для некоторого ] . При этом внутри

области , ихх в Не2/С

Приведенный результат можно применить к формально более общему уравнению

в предположении, что функция Р монотонна по последнему аргументу и уравнение (14)может быть представлено в виде Это упрошенный вариант уравнения (13) , когда отсутствует интегральное слагаемое.Нелинейные уравнения с частными производными второго порядка активно изучаются в настоящее время. Сводные результаты изложены в монографии Н.В.Крылова "Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка" /Москва, "Наука", 19В?71.Л

Теорема существования глобального решения нелинейного параболического уравнения установлена там при условии линейного роста по старшим производным. Уравнения (14) в силу своей специфики допускают значительно более широкий класс функций. Фактически ограничений роста по переменным и^ не требуется. Отметим, что от-

дельные представители нелинейных параболических уравнений изучались многими авторами с различных точек зрения. Так, для размерности Л = / весьма общие условия существования классических решений уравнения (¿¿^ СС-$}х}и,их,и-лх) предложены в ряде работ С.Н.Кружкова. В работах В.А.Галактионова детально разработаны методы сравнения положительных решений уравнений вида ¿¿^ = СС(и^и^^и). Так что изложенные в данном параграфе результаты в применении к уравнению (14) имеют самостоятельное значение.

Заключительная четвертая глава диссертации посвящена квазилинейным гиперболическим уравнениям и системам, содержащим функционалы в коэффициентах. В ней развиваются результаты С.И.Похожаева но некоторым направлениям. Б первом параграфе устанавливаются условия разрешимости задачи Коши для уравнений С.И.Похожаева в Ип :

и, (0, х)« и,0 (х)у (О, х) = и} (х).

Это уравнение в ограниченно;' области ^«^""с граничными условиями первой краевой задачи было изучено в основ<ущага»щей- работе С.И.Похожаева /Математич. сборник, 1975, т.96, с7Я2-166/, которая послу,жила источником многочисленных исследований. При этом постоянно использовался тог факт, что оператор соответствующей граничной задачи имеет дискретный спектр. В задаче (15) оператор Лапласа используется в пространстве Лп , где он имеет непрерывный спектр, включающий точку 0 . Поэтому задача Коши (15) требует дополнительных построений. Для формулировки результата введем гильбертово пространство и действующий в нем неограниченный оператор /\ = (-Д)т с естественной областью определения. Для этого оператора не пусто множество которое рассматривается как счетно-нормированное пространство. Предположим, что

и выполнено условие

Теорема I 51 гл.4. Пусть функция определена для всех

и непрерывно дифференцируема, причем >0 •

Если выпо.тнены приведенные выше условия, то существует единственная функция и € щ(0, Т- ) , которая удовлетворяет уравнению (15), понимаемому как равенство в пространстве Т- 7)/^"°)).При этом определены значения и,((?,х)} и,{0,х) , которые удовлетворяют начальным условиям. Если С(0} ^^(Л00)) , то решен¿КС/И^Я*")) и в этом случае оно яатяется классическим решением задачи Коши (15). Вообще гладкость решения по переменной £ ограничена только гладкостью функций и/(¿,х). Именно, если а(з)бС{Я^[/^ГЩТЩА")) с некоторым целым £ ^ / , то и € С 7Т^р?*')).

Доказательству этого утверждения посвящен первый параграф главы. В последующих параграфах изучаются системы уравнений вида

а(1))а, &(0,х)= и0(х). (к)

Здесь и = (,ССу,..., и^)- искомая вектор-функция, определяемая для матрицы из дифференциальных операторов с

постоянными коэффициентами, ^(Ч) - функционал на решении по про- . странственным переменны:.!. Матрица й(^) может быть несимметричной и порождать несамосопряженный оператор. Это приводит к тому, что для "сильно" несимметричной матрицы уравнение (15) может иметь • только локальнее решение при любой гладкости начальных данных. Поэтому выделяются классы систем, допускающих глобальное решение. Оказалось, чте такие системы-имеют решения цля нппошшзс данных' конечной гладкости, так что условия их разреп'л;лэ^ти язляются более традиционным:: н отлитие от волноеого уравнения (15).

Во втором параграфе устанавливаются уелсшд разрешимости задачи Коши для счстем уравнений вига

^ - (/>(/ /¿¿/2с/х]^ ^ и0(х). (VI)

Здесь -.заданная функция, определенная для ,

квадратные матрицы порядка ¡П. Очевидно, что система (I?) выписана по аналогии с уравнение:; С.М.Похот^еЕа, которому посвящен предыдущий параграф. Запишем слоте:'?; (I?) з фсрт:е (16), определив тем сама/ .матрицу а(3>). Обозначим характеристические чис-

ла матрицы . Назовем систему (17) строго гиперболи-

ческой, если числа 2: являются чисто мнимыми и удовлетворяют условию для всех I ¥:J • Существу-

ет много определений гиперболичности. Часто дополнительно предполагается, что функции растут присо линейным образом. В приведенном выше определении такое условие отсутствует, так что строго гиперболической, например, будет система, построенная по матрице

Нелинейная задача (17) с такой матрицей разрешима глобально только при условии, что к*г. Это следует из утверждений второго параграфа. Лля их формулировки введем некоторые понятия. Ввиду специального вида хункг.ионала, входящего-в уравнение (17), задача изучается в пространстве К0Т0Р°е является прямой суммой

пь экземпляров гильбертова пространства ¿¿(Лп). Задача Коши (17) называется равномерно корректной, если при любом ¿¿^С2>{а)ее решение существует для всех />¿7 , единственно и непрерывно зависит от начального условия л а каждом фиксированном отрезке [О, Т]} Т > О.

Теоде.г?. I гл.4. Задача Коши ('17) для строго гиперболической системы равномерно корректна для любой функции у>6С^Щоо) тогда и только тогда, когда соответствующая полугруппа линейных операторов е1а(1>) разнсернс ограничена б пространстве то есть

Це ^а^ ![~ С , где постоянная С не зависит ст г? э- О.

Заметим, что в этом утверждении условия разрешимости нелинейной задачи «с;уулируотся в терцина): необходимых- и достаточных условий, что НЕОяется относительно редки:,: ¿актом. Итак, нелинейная задача (17) полностью определяется показательной функтаей линейного оператора, та;: что эта функ:шя требует детального изучения. Замети,:, что условия равномерной ограниченности полугруппы е1а(.Ь) Испс.тьз5":-."п;ся также в теории устойчивости, где они и возникли первоначально. На этом пути в диссертации получена следующие утверждения.

Теорема 3 г?.4.Показательная функция порождаемая

линейным оператором (2 (2)) = равномерно ограничена в нор-

ме пространства «¿^(/^на Г-0ЛУССИ тогда и только тогда,

когда резольвента этого оператора удовлетворяет условию

С точки зрения полугрупп линейных операторов эта теорема имеет принципиальное значение. В этой теории хорошо известны два класса полугрупп: сжимающие полугруппы, для которых условие (18) выполняется с константой ¿Г=/ , и общие полугруппы класса , для которых требуется оценка всех степеней резольвенты, то есть счетное число условий. В условии (18)константа С может быть произвольной. Это показывает, что системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порождают особый класс полугрупп, промежуточный между сжимающими и общими.

В следующих утверждениях условия равнсмерной ограниченности полугруппы формулируются в терминах элементов матрицы &(%)

и ее характеристических чисел. При этом достаточно, чтобы числа

били чисто мнимыми без дополнительного условия на их разброс. Такие матрицы назовем гиперболическими.

Теорема 4 §2 гл.4.Пусть гиперболическая матрица а(^) с элементами имеет верхний треугольный вид, причем ее характеристические числа XJ = Iу^- , стоящие на диагонали, упорядочены следующим специальным образом: ¿у^ £... ^/С^ . Для того чтобы полугруппа была равномерно ограничена на полуоси { ? О , необходимы у, .достаточны следующие условия, в которых постоянная с не зависит от параметра р £ К"':

В следующем утверждении дается критерий равномерной ограниченности полугруппы , не зависящий от треугольной структуры матрицы <2- ()?).

Теорема 5 §2 гл. 4.Расположи характеристические числа гиперболической матрицы Л(^) так, чтобы выполнялись условия: ё/г""я того, чтобы полугруппа е^Л^бнла равномерно ограничена на полуоси t ^О , необходимы и достаточны следующие условия, в которых постоянная С не зависит от параметра £ £

Здесь индекс Ет указывает на норму матрицы в конечномерном про» странстре £т .

В третьем параграфе главы продолжено изучение систем вида начатое в предыдущем параграфе, но при других ограничениях на матрицу = й^г ^бЛ"'- Предполагается, что все ее характерис-. тические числа Л-(¡г! содержатся в секторе комплексной плоскости вида

Такие системы .для краткости назовем параболическими. Собственно системы вида (17) ранее не изучались. Они являмтсч естественным обобщением одного уравнения, рассмотренного еце в работе С.Н.Берн-штейна 1940 г. В данном параграфе установлено следующее утверждение.

Теорема I §3 гл,4.Пусть система (17) является параболической и пусть функция С*[$>сх>). Если начальный элемент

то существует вектор-функция

С^Га2(/пг)) Л С(0, П 2)(а)} У Т>0;

которая удовлетворяет уравнении ("17) как равенству в пространстве С(0} [ё^)• а так;т;е начальному условию и,(0}х)-и^(х) как непрерывная функция со значениями в множестве 2>(а).

- В приведенном утверждении задача Ковш решается для узкого мно-нества начальных данных ¿¿^6множество нельзя расширить'существенно, например, до всего пространства Это видно уже для функции у (б) г /, то есть на примере линейной задачи Коши, решение которой дается полугруппой операторов е^^&р. Пусть матрица имеет вид

*Ф=($ о). ■

Она определяет параболическую систему. Так как й^ = О , то соответствующая полугруппа имеет вид , откуда видно, что оператор е^ при всех {>0 определен на множестве 3)(й) и только там.

В заключительном четвертом параграфе изучаются системы первого порядка диагонального вида (I =/, 2}..., т ):

£ ^ + а, а и)£ и, & А (18)

Здесь искомая вектор-функция. Рассматривается слу-

чай одной пространственной переменной. Коэффициенты a,-(i,ii) при фиксированном t^O считаются функционалами по переменной X. Эти функционалы более произвольны, чем те, которые изучались в предыдущих параграфах. Можно предложить еще более общую систему, в которой матрица коэффициентов не обязательно имеет диагональный вид. Так можно записать, например, волновое уравнение, которому посвящен первый параграф главы, а также системы волновых уравнений. Это указывает на то, что создание теории столь общих систем потребует значительных усилий. Системы вида (18) выделены по той причине, что они допускают довольно полную теорию и уже нашли любопытные приложения.. Так, в серии работ Гасталди и Томарелли иэзчали одно уравнение вида (18), котород предложено в качестве модели сокращения мышци, с функционалом У xU.(t,x)dx. Математическая модель полимеризации . описывается аналогичным уравнением с функционалом вида ^ u-(t,x)dx. Системы уравнений с функционалами типа max/lift,-^//возникают в связке с уравнением'теплопроводности при расчете отвода тепла в атомных электростанциях. Из приведенных примеров ясно, что наиболее типичные функционалы, которые встречаются в приложениях, являются композицией некоторой функции и стандартных функционалов вида /tl(x)dx-- max и, (х); lb [О) ъ так далее. Эти функционалы не порождают норму в гильбертовом пространстве , что имело место в пре-.

дндуцих параграфах. Для формулировки полученного результата введем некоторые понятия.

Пусть Х- банахово пространство функций, определенных для х е R* . Примером могут служить классические пространства//^ р ^ / , или С^ (Л*) - пространство непрерывных функций, для которых И(х)*0 ъщ/х/тоо . Предположим, что начатьные данные

(х) 6 X(- Л -о т/Правке части системы Xi{^>x) рассматриваем как абстрактные функции переменной ie[0,T]zo значения!,га в пространстве X . Предполагается, что эти функции непрерывны. Функционалы (i, ll) при каждом фиксированном Ь 6 [О, Т]считаются определенными для элементов U6 X и удовлетворяющими условию Липшица равномерно по t : m

Пусть функции ^¿{z) ^Jift,*) непрерывны и непрерывно диф-ферзнцируемы по своим аргументам и как элементы пространства X удовлетворяют следующему специальному условию Липшица:

//¿^(*>*'*МХ

Теорема I §4 гл.4.Пусть выполнены перечисленные выше условия. Тогда существует единственное классическое решение задачи Коши для системы (18).

В заключение необходимо подчеркнуть, что тема диссертации выросла под влиянием научных работ С.И.Похожаева, а также в результате многолетней работы автора в семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям под руководством С.И.Похожаева. Автор считает своим приятным долгом выразить С.И.Похожаеву свою искреннюю благодарность.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Лзптев Г.И. К теории операторного исчисления неограниченных операторов //Доклады АН CCCP.-K69.-T.I85, М. - С.760-763,

2. Крейн С.Т..Лаптев Г.К. Абстрактная схема рассмотрения параболических задач в нецялиндрических областях //Дифференциальные уравнения.-1969.-Т.5, £8.-С. 1458-1463.

3. Лаптев Г.И. Операторное исчисление неограниченных операторов и полугруппы //Функциональный анализ и его приложения.-1970. -Т.4, К4.- С.31-40,

4. Крейн С.Г., Лаптев Г.И., Цветкова Г.А.0 корректности по Адамару задачи Кота для эволюционного уравнения //Доклады АН СССР. -I970.-T.I92, ,'Г5.-С. 980-983,

5. Лаптев Г.И. Экспоненциальные решения задачи Коши с постоянным оператором //Дифференциальные уравнения.-1971.-Т.7, ^З.-С,.

232 Ьа^еу <?./. Оп ¿$е Слис1у рго/йт/¿пеан раг^1а£ ¿¿//еге/г^ ¿>/ //<?&с0пе1 ас/ег

тЫ с£>е//1сге/е&/<?/

МаМетака. - /У/-/.-У. 22. - Р. 5^3-563.

7. Лаптев Г.'Л. Топологический принцип в теории полугрупп нелинейных операторов //Тр. ин-та Д!н-т математики Воронежск, ун-та. -1975.-Вып. 17,- С.91-93..

8. Лаптев Г.И. Условия равномерной корректности задачи Кош для систем уравнений //Доклады АН СССР.- 1975.-Т.220, Je2.-C.28I--284.

9. Лаптев Г.К. Монотонные операторы в пространствах непрерывных функций //Тр. ин-та/ Ин-т математики Зоронежск. ун-та.-1976.-Еып. 20.-С. 33-45.

10. Лаптев Г.И. 0дйа операторная схема для квазилинейных уравнения механики //Труды Всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной-75-летию со дня рождения акад.И.Г. Петровского. 27-31 янв.1976.-М.:ИГУ, 1978.-С. 350-359.

11. Кутузов'В.В., Лаптев Г.И. Нелинейные монотонные дифференциальные операторы в пространствах непрерывных функций //Методы решения операторных уравнений.-Воронеж, 1978.-С. 72-76.

12. Лаптев Г.К. Принцип максимума для квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений второго.порядка эллиптического типа //Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении приклад-ню задач.-Тула, i960,- С. 67-75.

13. Лаптев Г.К. Разрешимость квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений эллиптического типа //Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач.-Тула,1982. -С. 5С-57.

14. Козы~'.на E.G., Лаптев Г.И." Разрешимость задачи Коши 'для одного класса квазилинейных уравнений гиперболического типа в счетко-нормированном пространстве //Латвийский математический ежегодник.-Fara: 'Зинатне, 1982.-Вып. 26.- С. 39-57.

15. Лаптев Г.И. Разрешимость абстрактного параболического уравнения с ортогональной нелинейностью //Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач.-Тула, 1983.-С. 140-148. в

16. Лаптез Г.И. Задача Коши для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений параболического типа //Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач.-Тула, 1984,- С. 151—156.

17. Лаптез Г.И, Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка гиперболического типа с функциональным коэффициентом //Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.-Тула, 1986. -С. 25-30. '

18. Козьмина Е.С., Лаптев Г.И. О почти линейных гиперболических уравнениях //Латвийский математический ежагоднпк.-Рига: Зинатне, 1986,-Вып. 30.-С. 55-62.

19. Лаптев Г.И» Квазилинейные параболические уравнения второго . порядка с интегральными коэффициентами //Доклады АН СССР.-1987,-Т.293, №.-С. 306-309.

20. Лаптев Г.И. Квазилинейные параболические уравнения, содержащие в коэффициентах оператор Вольгерры //Математический сборник. -1988.Л-Т. 136, И.-С. 530-545.

21. Лаптев Г.И, Математические особенности задачи о проникании магнитного поля в вещество //Еурнал вычислительной математики и математической физики.- 1988.Т.28, ;Ю.-С. 1332-1345.

22. Лаптев Г.И. Разрешимость начально-краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными третьего порядка с одной пространственной переменной //Дифференциальные уравнения.-1988,-Т.24, К6.-С. 1011-1021.

23. Лаптев Г.И, Об'одном квазилинейном уравнении с частными производными третьего порядка //Дифференциальные уравнения.-1988.-Т.24, №7,-С. 1270-1272. .

24. Лаптев Г.И. Первая краевая задача для нелинейного параболического уравнения второго порядка с одной пространственной переменной //Известия вузов. Математика.-1988.-В.5.-С. 84-86.

25. Лаптев Г.И. Квазилинейное параболическое уравнение с интегральным коэффициентом при старшей производной //Дифференциальные уравнения и их приложения.-Тула, 1988.-С. 8-14.

26. Лаптев Г.И. Условия разрешимости задачи о диффузии магнитного поля в вещество с учетом нагрева тела //Механика и прикладная математика: Всесоюзная конф. Соврем, проблемы информ., вычислит. техники и автоматизации, посвящ. Дню сов. науки, 17 апр.1988. Тез', докл. секц. проблам теор. и прикл. мат.-Тула, 1988.-С. 126-132.

27. Лаптев Г.И. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка, содержащие в коэффициентах оператор Вольтерры //Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения:Тез. докл.Второй Северо-Кавказской регион, конф. 13-17 сентября 1988.-Махачкала, 1988.-С. 123.

28. Лаптев Г.И. Математические особенности задачи о проникании магнитного поля в вещество для квазистационарного приближения //Известия вузов. Математика.-1989.-В,7,-С. 10-12.

29. Лаптев Г.И, Разрешимость некоторых классов квазилинейных параболических уравнений Вольтерры //Доклады АН СССР,'-1990»-

Т.311, 'Я5.-С. 1045-1049,

Подписано к печати II.I2.S0. фори^г бума?» 60х» 1/16. Буиаг; типогр.К 2. и^ет.печ. Уол.печ.л.1,6, Уч.-изд.л.М. Тира» 100 8*3. Заказ И «.Бесплатно.

Издано : Тульской ордена Трудвеиго Краевого Значена политехническом институте. Тула,уд.Болдина,151, Отпечатано на ротапринте в ТулПИ.