Квазиполя и проективные плоскости трансляций малых четных порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Штуккерт Полина Константиновна

КВАЗИПОЛЯ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ ТРАНСЛЯЦИЙ МАЛЫХ ЧЕТНЫХ ПОРЯДКОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 АВГ 2014 005552044

Красноярск - 2014

005552044

Работа выполнена в ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет

Научный руководитель:

д-р физ.-мат. наук, профессор Левчук Владимир Михайлович.

Официальные оппоненты:

Пожидаев Александр Петрович, д-р физ.-мат. наук, доцент, ФГБОУН «Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН», лаборатория теории колец, ведущий научный сотрудник;

Старикова Ольга Александровна, канд. физ.-мат. наук, ФГБОУ ВПО «Северо-Восточный государственный университет», кафедра высшей математики, доцент.

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет».

Защита состоится 9 октября 2014 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет» по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, ауд. 8-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета и на сайте http://www.sfu-kras.ru.

Автореферат разослан августа 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Федченко Дмитрий Петрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1

Актуальность темы. Кольцо 5 = (5, +, о) с единицей е Ф 0 называют полуполем (согласно А.Г. Курошу [2, II.6.1], квазителом), если 5* = (5\{0), о) -лупа, то есть для любых а 6 5* и & £ 5 каждое уравнение аох = Ьпуоа = Ь однозначно разрешимо в 5. Ослабление двусторонней дистрибутивности до односторонней приводит при конечном 5 к понятию квазиполя [8], [13].

Начиная с работ Веблена - Веддерберна [18] и Л. Диксона начала 1900-х годов, построения квазиполей взаимосвязаны с построениями проективных плоскостей трансляций и с середины прошлого века (Е. Клейнфилд [9], Д. Кнут [10]) существенно опираются на компьютерные вычисления. В классическом методе плоскость трансляций ранга п над полем получают из 2п-мерного пространства, фиксируя гс-мерное подпространство, как координатизирующее множество, и превращая его в квазиполе с помощью регулярного множества, [8], [13], [16]. Плоскость дезаргова, когда квазиполе есть поле. См. также Н.Д. Подуфалов [3] и вопросы 9.43, 10.48, 11.76, 11.77 и 12.66 в Коуровской тетради [И].

Конечные собственные (или не являющиеся полем) квазиполя изучены мало, см. [7]. В 1991 году Г. Венэ [20] высказал гипотезу о правоцикличности любого конечного полуполя, называя конечное полуполе Б и лупу Б* право-циклическими или правопримитивными, если все элементы лупы Б* есть пра-воупорядоченные степени ее фиксированного элемента. Согласно Альберту [4], изоморфность полуполевых плоскостей равносильна изотопности их полуполей.

Полуполе порядка 32, не являющееся правоциклическим, указал в 2004 году И. Руа [17], основываясь на перечислении Д. Кнута [10] изоморфных классов полуполевых плоскостей порядка 32; его называем полуполем Кнута - Руа. Согласно [17], существует изотопное ему полуполе порядка 25, имеющее подполе поряда 4, то есть с аномальным свойством в сравнении с конечными полями.

Следующие вопросы для конечного собственного квазиполя выделил В.М. Левчук (доклад на н/и семинаре кафедры алгебры МГУ, 2013 г., и [32]).

(A) Перечислить максимальные подполя и их порядки.

(Б) Выявить конечные квазиполя Б с не однопорожденной лупой Б*. Гипотеза: Верно ли, что лупа Б* конечного полуполя Б всегда однопорождена ?

(B) Какие возможны спектры лупы Б* конечного полуполя и квазиполя ?

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(код проекта 12-01-00968)

Спектром лупы в [32] названо множество порядков всех ее элементов. Порядок |и| элемента V лупы обобщает соответствующее теоретико-групповое понятие: это наименьшее целое число т > 1 такое, что хотя бы одна т-я степень элемента V при всевозможных расстановках скобок равна е; порядок бесконечен, если такое т не существует. Вопросы (А) - (В) исследуются в диссертации для собственных квазиполей и полуполей малых четных порядков.

В конечном квазиполе простое подполе единственно и изоморфно полю Zp вычетов целых чисел для простого числа р, причем порядок квазиполя р-примарный. При р > 2 наименьший порядок такого собственного квазиполя (и недезарговой проективной плоскости трансляций над равен р2 (Л. Диксон [6]), а собственного полуполя - р3 (Д. Кнут [10]). Наименьшие четные порядки недезарговых проективных полуполевых плоскостей и плоскостей трансляций совпадают и равны 16 (Ж. Вессон [21], Е. Клейнфилд [9]).

Перечисление изоморфных классов плоскостей трансляций порядка 16 завершено в 80-х годах (П. Лоример, У. Демпволф и А. Рейфарт). Е. Клейнфилд [9] доказал, что собственные полуполя порядка 16 образуют два изотопных класса, в которых 18 и 5 попарно неизоморфных полуполей. Д. Кнут [10] выписал формулы умножения двух представителей изотопных классов и показал, что для каждого из 23 полуполей порядок группы автоморфизмов < 6.

Полуполевые плоскости и полуполя порядка 32 классифицировали Д. Кнут и Р. Волкер в 60-х годах; собственные полуполя порядка 32 образуют 5 изотопных классов и, с точностью до изоморфизмов, их число равно 2501. Классификацию всех плоскостей трансляций порядка 32 завершили в 2011 году У. Демпволф и Р. Рокенфеллер; число их изоморфных классов равно 9.

В построении квазиполя 5 порядка 16 и ядром порядка 4 Клейнфилд [9] использует латинские прямоугольники, рассматривая таблицу Кэли лупы 5*, как латинский квадрат. Связи проективных плоскостей и латинских квадратов отражает Д. Хьюгес в монографии [8].

Исследования латинских квадратов и прямоугольников, восходящие еще к Л. Эйлеру и опирающиеся с 20-го века на компьютерные вычисления, имеют богатую историю. В 2007 году авторы обзора [14] отмечали: "История латинских квадратов длинна и наполнена многими опубликованными ошибками".

Некоторые вопросы о латинских г х 6-прямоуголышках (г < 6) записал для молодых исследователей в 2004 году В.В. Беляев [1, Вопросы 1.1 - 1.10].

Цель диссертации — исследовать вопросы (А) - (В) для квазиполей недезарговых проективных плоскостей трансляций малых четных порядков: для представителей изотопных классов полуполей порядка 32 и квазиполей порядка 16, а также для всех полуполей порядка 16.

Основные методы исследования: общие алгебро-геометрические методы и специальные методы построения регулярных множеств проективных плоскостей трансляций, латинских прямоугольников и таблицы Кэли лупы.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть использованы в приложениях теорий проективных плоскостей, квазиполей и неассоциативных колец.

Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на VII Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2012), IV Российской школе-семинаре "Синтаксис и семантика логических систем" (Улан-Удэ, 2012), на международных конференциях по алгебре (Киев, Украина, 2012), "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2012, 2013), "Алгебра и логика: теория и приложения" (Красноярск, 2013), в 2014 году на XII международной конференции "Алгебра и теория чисел" (Тула), посвященной юбилею профессора МГУ В.Н. Латышева, и на Красноярском алгебраическом семинаре.

Основные публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23] - [32] и включают статьи [23], [24] в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 83 страницах и состоит из введения, двух глав (из 8 параграфов) и списка литературы, включающего 55 наименований. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы, параграфа и порядковый номер в параграфе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В диссертации решаются вопросы (А) — (В) о строении квазиполей малых четных порядков. К основным результатам относятся следующие.

1) Перечислены максимальные подполя и спектры лупы ненулевых элементов представителей изотопных классов квазиполей порядка 16 и всех полуполей порядка 16, в частности, указаны квазиполе, каждый элемент которого лежит в подполе порядка 4, и полуполя без элементов порядка 3.

2) Доказана однопорождеиность лупы ненулевых элементов всех полуполей порядка 16 и (неправоциклического) полуполя Кнута - Руа порядка 32.

3) Указаны представители изотопных классов собственных полуполей порядка 32, простое подполе максимально в них, кроме одного, с единственным максимальным подполем порядка 4, найден спектр их лупы ненулевых элементов, доказана ее порождаемость любым элементом, не лежащим в подполе.

Наряду с развитием метода Клейнфилда построения таблиц Кэли лупы с помощью перечислений латинских прямоугольников, получены также ответы на вопросы В.В. Беляева о латинских г х 6-прямоугольниках (г < 6).

В § 1.1 главы 1 приводятся основные определения и свойства, связанные с плоскостями трансляций и квазиполями, постановка основных задач.

Проективную плоскость трансляций 7Г ранга п над полем Р определяют, выбирая п-мерное линейное пространство И7, как координатизирующее множество, внешнюю прямую сумму V = двух копий IV и биективное отображение в пространства IV в кольцо всех п х га-матриц над F. Регулярное множество Н = 0(\У) получают (Д. Хьюгес [8], Т. Ояма [16]), когда Л содержит нулевую О и единичную матрицы, причем Я\{0} и все матрицы 0(и) — 0(у) при и, V е Щ ифп, лежат в СЬ(п, F). Тогда (IV, +, о) есть квазиполе с умножением

хо у=х-в(у) (х,у€\У). (1)

Если квазиполе есть полуполе, плоскость ж называют полуполевой.

Известно, что число проективных плоскостей трансляций порядка 16, с точностью до изоморфизмов, равно 8, причем полуполевых плоскостей точно 3. Соответствующие регулярные множества, выписанные в [5], дают представители 8 классов изотопных квазиполей порядка 16.

Строение представителей <3; пяти классов (1 < г < 5), не содержащих полуполей, указывают основные в § 1.2 теоремы 1.2.1 - 1.2.3.

Оказывается, во всех квазиполях Q¡ максимальные подполя имеют порядок 4. Теоремы 1.2.1 и 1.2.2 показывают также, что число максимальных подполей в квазиполе <32 равно 1, а в <55 - 3; в обоих случаях {1,3,5} - спектр лупы 0\ и ее порождает любой элемент, не лежащий в максимальном подполе.

Существенную аномальность оставшихся луп С}* выявляет

Теорема 1.2.3. Каждое из квазиполей г = 1,3,4, есть теоретико-множественное объединение 7 максимальных подполей порядка 4- В частности, лупа <3* не однопорождена и ее спектр совпадает с {1,3}.

В доказательствах теорем максимальные подполя и спектр лупы находим, исходя, прежде всего, из построения таблицы Кэли лупы.

Теорема 1.2.1 опубликова автором в статье [23]. Теоремы 1.2.2 и 1.2.3 опубликованы в статье [24] в нераздельном соавторстве (соавтор В.М. Левчук).

В § 1.3 приводится классификация Е. Клейнфилда полуполей порядка 16 (теорема 1.3.3). Он основывает метод построения таблицы Кэли лупы полуполя на специальных порождающих последовательностях.

Для построения квазиполя 5 с левым ядром порядка 4 Клейнфилд вначале задает лупу S* частью ее таблицы Кэли. Ясно, что таблица Кэли лупы S* есть латинский квадрат порядка 15. Первые его три строки сразу заполняются как произведения элементов лупы S* па скаляры из левого ядра [8, стр. 159]. Ключевой является 4-я строка, позволяющая сразу получить 5, 6 и 7-ю строки, как суммы 4-й строки, соответственно, с 1, 2 и 3-й строками. Далее Е. Клейнфилд устанавливает и использует следующую теорему [9, Теорема 2]:

Построенная 7х 15-матрица однозначно определяет таблицу Кэли лупы Q* тогда и только тогда, когда она является латинским 7х 15-прямоугольником.

Напомним, что латинским г х п-прямоугольником (г < п) называют г х п-матрицу, у которой строки являются перестановками первой строки и в каждой строке и в каждом столбце элементы попарно различны. Его называют редуцированным, если элементы его первой строки расположены по возрастанию, а элементы первого столбца возрастают от 1 до г.

В § 1.4 рассматриваются вопросы В.В. Беляева [1, Вопросы 1.1 - 1.10] о латинских г х 6-прямоуголышках (г < 6).

Число латинских квадратов порядка п обозначают через Ln. Пусть также Rrxn - ЧИСЛО редуцированных латинских Г X n-прямоугольников И Rn = Rnxn-Хорошо известную связь чисел Ln и R^ обобщает теорема 1.4.3:

Число Lrxn всех латинских г х п-прямоугольников при 1 < г < п равно п\(п _ ill

L'*»= (n-г)! 'Дгх" t1^")'

Число латинских 2 х n-прямоугольников ¿2Х„ = (п!)2 • находим, ис-

пользуя комбинаторную формулу включений и исключений (теорема 1.4.4). Это дает ответ на вопрос 1.2. Ответ на вопрос 1.1 завершают найденные формулы:

Я4 = 4, ¿4 = 4!3! • Д4 = 576; Д5 = 56, Ь5 = 5!4! • Д5 = 161280;

Дб = Д5х6 = 9408, ¿5x6 = 812851200 = ■ Д5х6 = ¿е-

Ответы на вопрос 1.3 о числе вариантов присоединения третьей строки к четырем определенным латинским 2 х 6-прямоугольникам и на аналогичный вопрос 1.4 получены также явно.

Вопросы 1.5 - 1.10 используют R-, С- и N- эквивалентные преобразования латинских квадратов (перестановки строк, столбцов и элементов, соответственно), а также их комбинации. Они заключаются в нахождении чисел классов RC-и RCN- эквивалентных латинских квадратов порядков п = 4,5 (или 6) и чисел редуцированных латинских квадратов в каждом эквивалентном классе.

Решение вопроса 1.6 из [1] о ДС-эквивалентности латинских квадратов дает

Предложение 1.4.8. Два латинских квадрата любого фиксированного порядка п лежат в одном RC-эквивалентном классе, если они приводятся к одному и тому оке редуцированному виду.

С учетом известной связи чисел Ln и Д,,, ответ на вопрос 1.8 дает следующее предложение 1.4.7, отвечающее также на вопросы 1.9 и 1.10 вместе с предложениями 1.4.6 и 1.4.8: Число классов RC-эквивалентных латинских квадратов порядка п совпадает с числом Rn.

На вопрос 1.5 о числах классов RC- и RCN- эквивалентных латинских квадратов порядка 4 и о числе латинских квадратов в каждом из этих классов отвечают предложения 1.4.6 и 1.4.9. На близкий к 1.5 вопрос 1.7 отвечают предложение 1.4.7 при п = 5 и следующее предложение.

Предложение 1.4.10. Латинские квадраты порядка п = 5 образуют 2 RCN-эквивалентных класса, мощности классов одинаковые и равны 80640.

Известные исследования в § 1.4 отражают таблицы 1.4.1 и 1.4.2 о числах Rn (4 < п < 11) и Ln (п < 11), таблица 1.4.3 (МакКей - Вонлес [15]) о числах Дгх„ (3 < п < 11) и таблица 1.4.4 (Н.Ю. Кузнецов [12] и Жанг - Ма [22]) об оценках чисел Rn при 12 < п < 20 и при п = 50,100.

Основные результаты § 1.4 опубликованы в совместной статье [26] и, как отмечается там же во введении, принадлежат диссертанту.

В главе 2 исследовано строение всех полуполей порядка 16 и представителей изотопных классов полуполей порядка 32.

Е. Клейнфилд [9] перечислил попарно неизоморфные и изотопные квазиполя Ti (1 < i < 50) порядка 16 с ядром порядка 4, каждое из которых изотопно

какому-либо полуполю. Полуполями являются лишь Тги Т2:,,Т3->, и Г50. (Отметим, что для любого полуполя 5 в [9] понимается левое ядро

N.I = = {хеЗ\хо(уог) = {хоу)ог, Чу,ге 5}.)

Оставшиеся собственные полуполя образуют второй изотопный класс из 18 попарно не изоморфных полуполей V; (1 < г < 18) порядка 16 с ядром порядка 2 (теорема 1.3.3 из § 1.3). Предложенный Е. Клейнфилдом алгоритм построения таблиц Кэли лупы V? основан на специальных порождающих последовательностях. Д. Кнут [10] выписал явно формулы умножения представителей двух изотопных классов полуполей.

В § 2.1 список из 23 полуполей Клейнфилда уменьшается до 16 полуполей, с точностью до изоморфизмов и антиизоморфизмов; для каждого из них выписаны формулы умножения. Результаты § 2.1 резюмирует

Теорема 2.1.1. Всякое собственное полуполе порядка 16, с точностью до изоморфизмов, есть либо одно из 9-и полуполей У2, Ущ, У12, У\з, У17, Уц,Т24,Т35, Т4Ъ, либо одно из 7-и полуполей Ух, У3, У4, У&, Уи, У15, Т25 или одно из противоположных к ним полуполей Ув, У7, У5, У9, У14, Угб, Г50, соответственно.

Таким образом, для полуполей порядка 16 вопросы (А) — (В) достаточно решить для перечисленных в предыдущей теореме 16 полуполей, разбивающихся отношением изотопизма на 2 класса.

В § 2.2 указаны явно регулярные множества 0(\\г) и приведена известная классификация недезарговых полуполевых плоскостей порядка 16, как плоскостей ранга 4 над полем Получены формулы умножения соответствующих двух представителей изотопных классов полуполей:

(а, Ь, с, (Г) о (и, у, 2, и>) = (аи + Ьу + сг + (¡иг, аи + Ьи + Ьш + сг + сш 4- ¿2,

аг + Ьг + Ью + си + си + сш + йи + йт, аш + Ьу + Ьг + Ьш + си + сш + с!и); (2) (а, Ь, с, й) о (и, и, г, ги) = (аи + Ьи + сг + йи + йг + ски, ау + Ьи + Ьг + сш + ¿2, аг + Ьг + Ьи) + си + су + С2 + сш + <й> + <¿2, аи; + Ьу + Ьш + т + сг + сш + ёи + дю). (3) Их строение выявляют следующие две теоремы.

Теорема 2.2.2. В полуполе 5 с умножением (2) минимальное подполе ^е является максимальным. Лупа Б" порождается любым ее неединичным элементом, и спектр лупы совпадает с {1,4,5,6}.

Теорема 2.2.3. Полуполе 5 с умножением (3) имеет точно 2 максимальных подполя Нг и Н2, и | = \Н2\ = 4. Лупа 5* порождается любым элементом из 5 \ {#1 и Я2}, и ее спектр совпадает с {1,3,4,5,6}.

Отметим, что иолуполя из теорем 2.2.2 и 2.2.3 изоморфны Клейнфилдовым полуполям Уг и Г25, соответственно. Строение полуполя порядка 16 с наибольшим числом подполей выявляет

Теорема 2.2.4. Полуполе 14з имеет точно 4 максимальных подполя. Они имеют порядок 4, а любой, не лежащий в них элемент, порождает лупу У{3. Спектр лупы совпадает с {1,3,5}.

Аналогично исследованы все полуполя из теоремы 2.1.1, наряду с построением таблицы Кэли лупы их ненулевых элементов. Как следствие, установлено:

Лупа ненулевых элементов каждого полуполя порядка 16 однопорождена.

Результаты структурного описания полуполей порядка 16 резюмирует Таблица 2.2.5. Строение неизоморфных полуполей порядка 16

Число Спектр Противополож-

Полуполе INll подполей лупы ное

порядка 4 полуполя полуполе

Vi 3 - {1,4,5} V,-' ~ Ve

Vi 3 1 {1,3,4,5,6} v2°* = v2

v3 3 {1, 4, 5,6} v°» = v7

v4 3 1 {1, 3,4,5, 6} V7 = v5

v8 3 {1,3, 4, 5, 6} V," = V,

Vio 3 {1,3,5, 6} V,7 = Vio

Vil 3 1 {1,3,4,5,6} v,7 = Vi 4

Vu 3 {1,4,5,6} v,T = v,2

Vi3 3 4 {1,3,5} v,°f = V,3

Vi 5 3 {1,3.4,5} V,T = Vie

Vi 7 3 {1,3,4,5,6} v,7 - v,7

Vis 3 3 {1,3,5,6} v,T = Vi 8

T, 4 4 3 {I. 3,4, 5, 6} г,г = т24

Тгъ 4 3 {1,3,4,5,6} f = Г50

T35 4 {1,3,4.5,6} = T35

T„5 4 3 {1,3,5} = Г45

Основные результаты § 2.2 и теорема 2.1.1 опубликованы автором в совместной статье [24] в нераздельном соавторстве (соавтор В.М. Левчук).

В двух заключительных параграфах изучается строение полуполей проективных полуполевых плоскостей порядка 32 и полуполя Кнута - Руа.

Полуполе Кнута - Руа порядка 32, опровергающее гипотезу Г. Венэ о пра-воцикличности конечных полуполей, обозначаем через Ж. Как показано в [17], 21-я правоупорядоченная степень любого элемента лупы К* равна единице е, и поэтому полуполе 3? не является правоциклическим.

Для восстановления формулы умножения полуиоля 3? и построения таблицы Кэли лупы К* в § 2.4 используется регулярное множество соответствующей плоскости из [10]. Основной в § 2.4 является следующая теорема, опубликованная в нераздельном соавторстве (соавтор В.М. Левчук) в статье [24].

Теорема 2.4.1. Лупа Ж* полуполя Ж однопорождена.

Проективные плоскости трансляций порядка 32 (с точностью до изоморфизмов, их 9, [5]) координатизируют пространством IV строк длины 5 над полем Их регулярные множества, выписанные в [5], позволяют нам построить представители всех классов изотопных собственных полуполей порядка 32. Согласно [19], [10], таких классов точно пять.

Основные результаты § 2.3 выявляют строение полуполей Р, (1 < г < 5), сопоставленных определенным регулярным множествам из [5]. Аномальность (в сравнении с конечными полями) полуполя Р5 указывает

Теорема 2.3.2. В полуполе Рь существует подполе Н порядка 4, являющееся единственным максимальным подполем и не являющееся ни правым, ни левым ядром. Каждый элемент из Р$\Н порождает лупу Р5* и имеет порядок > 3; спектр лупы Р5* совпадает с {1,3,4,5,6,7,8}.

Строение остальных полуполей Р1 выявляет

Теорема 2.3.3. В каждом полуполе Pi, г = 1,2,3,4, подполе порядка 2 есть единственное подполе. Всякий элемент порядка > 1 порождает лупу Р*, а спектр лупы Р* совпадает с {1,4,5,6,7} при г = 1,2, с {1,4,5,6,7,8} при г = 3, и с {1,5,6,7,8,9} при г = 4.

В доказательствах первоначально восстанавливаем, на основе известных регулярных множеств, взаимосвязано формулы умножения и таблицы Кэли лупы Рх*. С помощью последних находим спектры и максимальные подполя.

Теоремы 2.3.2 и 2.3.3 опубликованы автором в [23].

Автор благодарна доценту О.В. Кравцовой за постановку первой задачи и помощь в подготовке первой работы, и научному руководителю, профессору В.М. Левчуку, за предложенную тему.

Признательна сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и ИМиФИ СФУ за хорошие условия для научной работы.

Список литературы

[1] Енисейская тетрадь (математические вопросы и задачи для молодых исследователей). Выпуск I// Красноярск: КГУ. 2004. 32 с.

[2] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре // С-Петербург: Лань. 2007.

[3] Подуфалов Н.Д. О функциях на линейных пространствах, связанных с конечными проективными плоскостями // Алгебра и логика. 2002. Т. 41. №1. С. 83 - 103.

[4] Albert A.A. Finite division algebras and finite planes // Proc. Sympos. Appl. Math. Vol. 10. AMS. Providence. R.I. 1960. P. 53 - 70.

[5] Dempwolff U. File of translation planes of small order http : 11 www.mathematik.uni — kl.de/ ~ dempw/dempw-Plane.html.

[6] Dickson L.E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7. P. 370 - 390.

[7] Johnson N.L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes // London New York. 2007. 861 p.

[8] Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes // Springer - Verlag: New-York Inc. 1973.

[9] Kleinfeld E. Techniques for enumerating Veblen-Wedderbum systems // J. Assoc. Comput. Mach. 1960. Vol. 7. P. 330 - 337.

[10] Knuth D.E. Finite semifields and projective planes (PhD dissertation) // Pasadena: California Inst, of Thechnology. 1963. P. 1 - 70.

[11] The Kourovka Notebook (unsolved problems in group theory), 15-th Ed. // Novosibirsk. Instit. of Math. SO RAN. 1992.

[12] Kuznetsov N. Y. Estimating number of latin rectangles by the fast simulation metod 11 Cybernet Systems Anal. 2009. Vol. 45. P. 69 - 75.

[13] Lüneburg H. Translation planes // Springer - Verlag: New-York Inc. 1980.

[14] McKay B.D., Meynert A., Myrvold W. Small latin squares, quasigroups and loops //J. Combin. Designs. 2007. Vol. 15. No. 2. P. 98 - 119.

[15] McKay B.D., Wanless I.M. On the number of latin squares 11 Ann. Combin. 2005. Vol. 9. P. 335 - 344.

[16] Oyama T. On quasifields // Osaka J. Math. 1985. Vol. 22. P. 35 - 54.

[17] Rua I.F. Primitive and non-Primitive finite semifields // Commun. Algebra. 2004. Vol. 22. P. 223 - 233.

[18] Veblen O., Maclagan-Wedderburn J.H. Non-Desarguesian and non-Pascalian geometries // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. Vol. 8. No. 3. P. 379 - 388.

[19] Walker R.J. Determination of division algebras with 32 elements // Proceed. Symp. Appl. Math. XV, Amer. Math. Soc. 1962. P. 83 - 85.

[20] Wene G.P. On the multiplicative structure of finite division rings // A equationes Math. 1991. Vol. 41. P. 791 - 803.

[21] Wesson J.R. On Veblen-Wedderburn systems // Amer. Math. Monthly. 1957. Vol. 64. No. 9. P. 631 - 635.

[22] Zhang C., Ma J. Counting solutions for the N-queens and latin square problems by Monte Carlo simulations // Phys. Rev. E 79. 2009.

Работы автора по теме диссертации

[23] Штуккерт П. К. Квазиполя и проективные плоскости трансляций малых четных порядков // Иркутск: Известия ИГУ. 2014. Т.7. №1. С. 144 - 159.

[24] Levchuk V.M., Shtukkert Р. К. Problems on structure for quasifields of orders 16 and 32 //J. of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2014. Vol.7. No. 3. P. 362 - 372.

[25] Кравцова О.В., Куршакова (Штуккерт) П.К. К вопросу об изоморфизме полуполевых плоскостей // Красноярск: Вестник КГТУ. 2006. Т.42. С. 13 -19.

[26] Левчук В.М., Панов C.B., Штуккерт П.К. Вопросы перечисления проективных плоскостей и латинских прямоугольников // В сб. научных статей "Моделирование и механика". Красноярск: СибГАУ. 2012. С. 56 - 70.

[27] Штуккерт П.К. Перечисление полуполевых плоскостей порядка 16 // Электронный сборник тез. докл. международной науч. конф. "Мальцев-ские чтения - 2012". Новосибирск: ИМ СО РАН. 2012. С. 53 - 54.

[28] Штуккерт, П. К. Проективные плоскости и латинские квадраты // Материалы IV Российской школы-семинара "Синтаксис и семантика логических систем". Улан-Удэ: БГУ. 2012. С. 151 - 152.

[29] Штуккерт П. К. Перечисление полуполевых плоскостей и латинских квадратов малых порядков // Материалы Всерос. конф. "VII всесибирский конгресс женщин-математиков". Красноярск: СФУ. 2012. С. 235 - 237.

[30] Polina К. Shtukkert Semifields planes and Latin squares // Intern. Conf. on Algebra. Kiev: Ukrainian National Academy of Sciences. 2012. P. 145.

[31] Штуккерт П.К. О свойствах полуполей четного порядка // Электронный сборник тез. докл. международной науч. конф. "Мальцевские чтения - 2013". Новосибирск: ИМ СО РАН. 2013. С. 114.

[32] Levchuk V.M., Panov S.V., Shtukkert Р. К. The structure of finite quasifields and their projective translation planes // Proceed. XII Intern. Conf. on Algebra and Number Theory. Tula. 2014. P. 106 - 108.

Подписано в печать 08.08.2014 г. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 2045

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: (391) 206-26-49; тел. (391) 206-26-67 E-mail: prmt_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru