Линейная и нелинейная эволюция возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна и плотной квантовой плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах ру:

Андреев Павел Александрович

Линейная и нелинейная эволюция возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна и плотной квантовой

плазме

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 ОКТ 2010

Москва - 2010

004611727

Работа выполнена на кафедре общей физики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кузьменков Л. С. Официальные оппоненты: доктор физико математических наук,

профессор Рыбаков Ю. П. кандидат физико-математических наук, Алёшин И. М.

Ведущая организация: Институт общей физики РАН им. А. М. Прохоро

Защита состоится «21» октября 2010г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, стр.2, МГУ, физический факультет, ауд. СФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»_2010 года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.002.10 в МГУ имени М. В. Ломоносова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ • Объект исследования и актуальность темы Необходимость развития методов полевого описания квантовых распределенных систем многих частиц диктуеся как необходимостью развития нового теоретического метода исследования процессов в системах многих частиц, так и конкретными физическими задачами, в частности задачами связапными с разработкой приборов, устройств спинтроники, задачами динамики уль-трохолодных атомов щелочных металлов в магнитных ловушках и т.п. В связи с этим в последние годы активно развивается метод квантовой гидродинамики, основанный на представлении наблюдаемых физических величин в виде наборов полевых функций различной тензорной размерности. Этот метод включает в себя как частный случай квантовые уравнения баланса числа частиц, импульса и энергии, содержит наряду с величинами, имеющими тот же физический смысл, что и в классической физике, также и величины чисто квантового происхождения, к примеру квантовый потенциал Бома. Этот метод позволяет, исходя из первых принципов квантовой механики, выполнять расчеты физических свойств таких квантовых систем, как конденсат Бозе-Эйнштейна. Важным преимуществом метода квантовой гидродинамики по сравнению с исходным методом непосредственного решения уравнения Шредингера для многих частиц в многомерном конфигурационном пространстве, является возможность учета диссипативных явлений для систем для которых справедлив принцип суперпозиции силовых полей. Уравнение Шредингера относиться лишь к гамильтоновым системам и не содержит механизма релаксации импульса и энергии за счет диссипативных сил. Да-

лее, набор стационарных состояний системы, как собственных значений гамильтониана характеризует лишь значения полных энергий системы частиц, что явно недостаточно в нестационарных задачах в распределенных системах, в которых происходит изменение плотности энергии, даже при сохраняющейся полной энергии. В диссертации исследуются физические процессы в системах многих заряженных или нейтральных частиц, обладающих собственным магнитным моментом. Примерами таких систем являются плотная плазма и плазмоподобные системы, состоящие из электрически заряженных и нейтральных частиц с магнитным моментом. В часности в диссертации выполнены расчеты динамики коллективного поведения частиц в среде пронизанной потоком нейтронов, взаимодействующего со средой посредством собственных магнитных моментов. Другой физически важной системой, рассматриваемой в диссертации является система ультрахолодных бозонов, например,4Яе,ультрохолодные атомы щелочных элементов, таких как 7Ы, 23 N а,87 КЬ, 40К, находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйшнтейна в магнитных ловушках или оптических решетках.

Цель диссертационной работы Основной целью диссертации является разработка замкнутого аппарата исследований неравновесных процессов для широкого класса квантовых физических систем, получение уравнений квантовой гидродинамики заряженных частиц, обладающих магнитным моментом, учитывающей взаимодействие спинов частиц с токами частиц и воздействие как внешнего электрического поля, так и действие электрического поля, создаваемого частицами системы, на спины частиц, находящихся в движении. В качестве самостоятельной задачи

рассмотрен вывод уравнений квантовой гидродинамики частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия, установление явного вида в терминах волновых функций тензора квантовых напряжений ультрахолодных бозонов в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Важной в практическом отношени целью диссертации было получение решений уравнений для конкретных физических систем многих частиц и исследование физических процессов в таких системах.

Научная новизна В первых работах, посвященных квантовой гидродинамике систем многих частиц, в качестве исходного уравнения выступает уравнение Шредингера для N заряженных частиц обладающих магнитным моментом и находящихся во внешнем электромагнитном поле. При этом принималось также во внимание кулоновское и спин-спиновое взаимодействие между частицами системы. Таким образом спин-токовое и спин-орбитальные взаимодействия не учитывались. Новое содержание этому методу дает учет спин-токового и спин-орбитального взаимодействий в процессах, в которых существенна динамика спинов.

Далее, квантовая гидродинамика частиц, взаимодействие между которыми является короткодействующим, непосредственно вытекающая из многочастичного уравнения Шредингера, ранее не рассматривалась. В результате такого вывода уравнений квантовой гидродинамики для частиц с короткодействующим взаимодействием оказалось, что взаимодействие входит в континуальные уравнения в виде тензора напряжений, симметричного по обоим тензорным индексам, подобно классической гидродинамике. В качестве конкретной физической системы рас-смотривается система ультрахолодных бозонов в третьем порядке по

радиусу взаимодействия. Подобие уравнений квантовой гидродинамики для одной и многих частиц дает возможность построения для многочастичных систем эффективного одночастичного уравнения Шредин-гера. В диссертации получено соответствующее уравнения для волновых функций в среде (параметр порядка). В первом порядке по радиусу взаимодействия уравнения для волновой функции бозонов в среде, как оказывается, имеет вид уравнения Гросса-Питаевского. И учет короткодействующих потенциалов, и выражение для тензора напряжений в виде разложения по радиусу взаимодействия, и вывод на этой основе уравнения Гросса-Питаевского являются новыми. К новым результатам, полученым в диссертации, относятся также исследования эволюции возмущений в квантовых системах многих частиц, вывод дисперсионных соотношений, установление формул для инкрементов нарастания возмущений в квантовых системах содержащих нейтроны.

Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации уравнения могут широко применяться для расчета нестационарных физических процессов в системах многих взаимодействующих частиц во внешних электромагнитных полях. Найденные формулы для зависимости частот возбуждений от волновых векторов могут непосредственно использоваться при разработке технологий создания приборов и устройств, функционирующих на основе учета поляризации спинов, в частности спинтроники. Произведенный расчет влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы показывает возможность управления такими процессами путем изменения напряженности магнитного поля.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов -2005"(Москва, 2005 г.), "Ломоносов - 2006"(Москва, 2006 г.), "Ломоносов - 2007"(Москва, 2007 г.), "Ломоносов - 2008"(Москва, 2008 г.), "Ломоносов - 2009"(Москва, 2009 г.), "Ломоносовские чтения" секция физики, (Москва, 2007 г., 2008г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 6 статей в рецензируемых научных журналах и 7 тезисов докладов на конференциях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 158 наименований. Общий объем текста - 144 машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации. Представлен обзор современного состояния исследований по теме диссертации.

Во второй главе произведен вывод уравнений квантовой гидродинамики с учетом кулоновского, спин-спинового, спин-токового и спин-орбиталыгого взаимодействий.

В первом параграфе сформулироваиа постановка проблеммы и представлен гамильтониан, на основе которого далее выводятся уравне-

ния квантовой гидродинамики. Установлено аналитическое выражение для плотности тока многих частиц с кулоновским, спин-спиновым, спин-токовым и спии-орбитальным взаимодействиями.

Во втором параграфе для систем, описываемых при помощи уравнения Шредингера выведено уравнение эволюции плотности тока системы частиц с указанными выше взаимодействиями.

В третьем параграфе выведено общее уравнение эволюции плотности магнитного момента. Это уравнение в определенных приближениях содержит уравнение Блоха.

В четвертом параграфе выведено уравнение эволюции плотности энергии. Для случая медленого изменения физических характеристик это уравнение может рассматриваться как основное для квантовой термодинамики.

В пятом параграфе выполнена процедура введения поля скоростей в систему уравнений квантовой гидродинамики.

В шестом параграфе рассмотрено приближение самосогласованного поля в уравнениях квантовой гидродинамики. В приближении самосогласованного поля система уравнений квантовой гидродинамики имеет следующий вид. Уравнение непрерывности:

—п{ т,г) + <1щ(г,Ь) = О,

здесь п(г, ¿) концентрация числа частиц, ¿); уравнение баланса импульса:

¿¿"(г, 0 + У"п«"(г, I) = -п(г, 1)Еп{ г, 4)

от т

тс т

8

Здесь е-заряд частицы, т её масса, Еа(г, ^-напряженность электрического поля, Ва(т, £)-индукция магнитного поля, Ма(т, <)-магнитный момент единицы объёма, П°^(г,<)-тензор плотности потока импульса. Поле силы спин-токового взаимодействия имеет вид:

¿Г-Р,,,Р.(М) = -^( М) I ¿т'^СаЧт,г'))41( г', 4)

[ <1г'СаР(г, г'к^В'У, 1)М\г', 4), т п J

В эту формулу входят величины: 7-гиромагнитное отношение, ^-тензор плотности потока магнитного момента, гр, г„) = (еп/с)еи'}7г^п/грт1-функция Грина спин-токового взаимодействия.

Соответственно выражение для поля силы спин-орбитального взаимодействия:

-—^^(т^Е'Чт^) - —е^М^т^д7Э" [ йт'в{г, г'):Г(*'.*)

ТПС 771С J

+—п(г, + еп£^"дп)д" [ ¿г'С(г, г')47(г', ¿).

ТПС J

Здесь С(г, г') функция Грина кулоновского взаимодействия. Уравнение баланса магнитного момента:

= je"0'1 ^(r, t)B0( r, t) + -/""JIK r, f ) i) j. Уравнения поля в этом приближении возникают в виде:

divВ (г, t) - 0, divE(r, t) = 4ir eana(r, t) ,

roŒ{i,t) = 0, roiB(r,i) = +47rroiM(r,i). ,

В седьмом параграфе обсуждаются методы получения замкнутого аппарата квантовой гидродинамики.

В третьей главе решена задача о распространении волн малой амплитуды в системе из двух сортов многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом.

В первом параграфе рассматривается квантовая система многих взаимодействующих заряженных частиц с собственным магнитным моментом во внешнем магнитном поле. Формулируется задача о распространении малых возмущений в такой системе.

Во втором параграфе приводятся уравнения, описывающие коллективные процессы в такой системе, находится решение приведенной системы уравнений в приближении малых амплитуд возмущений.

В третьем параграфе решение исследуется в частном случае для распространения волн перпендикулярно внешнему магнитному полю. Получен вклад намагниченности в известные дисперсионные соотношения. Показана возможность существования двух новых волновых мод, для них получена зависимость со (к) которая имеет вид:

, in ici 2тгРс2ха

В этой формуле использовании следующие обозначения: Па = еаВ0/тас-циклотронная частота частиц сорта а, ше-ленгмюровская частота электронов, Хаг магнитная восприимчивость, под-равповесное значение концентрации частиц.

В четвертом параграфе исследован случай распространения волн параллельно внешнему магнитному полю. Получены дисперсионные соотношения для электромагнитных, плазменной и акустической волн, показан вклад равновесной намагниченности и квантового потенциала Бома. Эти соотношения имеют:

J = + (2)

ку 1-Е

IxV ' '

х Т ¿-иа u±íl„

Здесь v^е-скорость Ферми для электронов.

В пятом параграфе исследованны спиновые волны, т.е. волны не сопровождающиеся возбуждением коллективного электрического поля. Дисперсионное соотношение для волны распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля представлений формулой:

п2 _Xi_

Xi ~ Хе \ f¡:

Показано, что в двухсортной системе многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом возможно распространение спиновых волн малой амплитуды. Также показаныо существование колебаний с частотами близкими абсолюдным значениям электронной и ионной циклотронной частотам.

В четвертой главе решена задача о возбуждении волн пучком нейтронов в двухсортной системе многих заряженных частиц с собственным магнитным моментом. Механизмом возбуждения волн является спин-сниновое и спин-токовое взаимодействие магнитных моментов нейтронов со спинами и токами в плазме.

В первом параграфе рассматривается система многих взаимодействующих заряженных частиц с собственными магнитными моментами во внешнем магнитном поле. Формулируется задача о распространении малых возмущений в такой системе и приводятся уравнения, описывающие коллективные процессы в этой системе.

Во втором параграфе рассмотрено возбуждение волн распространяющихся перпендикулярно направлению внешнего магнитного поля.

При и = ки + еО-ь + (Пь-циклотронная частота нейтронов пучка), в окрестности точки пересечения этой ветви с кривой и = — 2ттк2с2хл/{'л>1 + к2с2 — П^)), реализуются условия для резонансного взаимодействия пучка нейтронов с электронами и ионами среды (индексом <1 обозначаются заряженные частицы). Сдвиг частоты 5ш в этих условиях оказывается равным

_ ¿2С2

5и = ±2ту/ехьХл I | | Па \^2 + к2сг (5)

При возбуждении ионной волны неустойчивость имеет место для пучковой моды с £ — +1, при условии парамагнитности (д-,- > 0) ионов, а также при е = —1, если ионы диамагнитны (хг < 0). При е = +1 происходит эффективное возбуждение электронной волны пучком.

В третьем параграфе рассмотрен процесс возбуждения волн распространяющихся вдоль внешнего магнитного поля.

В случае резонансного взаимодействия:

ы = iore3j{k) + 5и — kUz + ейь +

где шге^(к) при ] = 1 обозначена дисперсионная зависимость для альвеновской волны (А), при з для быстрой магнитозвуковой волны, и-невозмущеиная скорость нейтронов пучка; получено выражение для инкрементов неустойчивостей этих волн:

Неустойчивость возникает при резонансе пучковой моды, для которой £ — +1, с альвеновской волной. Резонансное взаимодействие той же пучковой моды с БМЗ-волной приводит к неустойчивости БМЗ-волны при значениях волнового вектора к: шге&{к) < (2 + (5)П,-, где б-положителытос число порядка 10~3 — Ю-4. Неустойчивость не возникает при резонансе с пучковой модой, для которой е = — 1. В этом случае решение дисперсионного уравнения соответствует волнам с конечной амлитудой.

В четвертом параграфе рассмотрен процесс возбуждения спиновых волн.

При выполнении условий резонанса kUz + еПь = — 4nxd) с

колебаниями на циклотронных частотах П^ возникает неустойчивость с инкрементом:

справедливое для электронов при в = —1, для ионов при е = +1, и

6и? = -(4тг)2ХбХсг I Пь I П*

(8)

выражение

¡и2 = —4— | Пь | ПЙ, (9)

Хл

для ионов при е = — 1 и для электронов при е — +1.

Отметим, что неустойчивость в (8),(9) имеет место для ионной моды только в случае парамагнитных ионов.

В линейном приближении наличие пучка не влияет па дисперсию коллективной электрон-ионной спиновой волны (4).

В пятой главе решена задача о выводе уравнений квантовой гидродинамики системы нейтральных бозонов находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна.

В первом параграфе формулируется задача о квантовой динамике систем многих взаимодействующих нейтральных бозонов, с короткодействующим потенциалом взаимодействия.

Во втором параграфе показано, что для призвольной квантовой системы частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия поле силы взаимодействия, в уравнении баланса импульса, представляется как дивергенция симметрического тензора- тензора квантовых напряжений.

В третьем параграфе получена замкнутая система уравнений квантовой гидродинамики для конденсата Бозе-Эйнштейна. Выведено выражение для тензора квантовых напряжений в первом порядке по радиусу взаимодействия. При этом система уравнений квантовой гидродинамики имеет вид:

Экп(г10 + ^(п(г,4)у(г>4))=0,

ра13(г, £)-тензор кинетического давления, Уех((г, ¿)-потенциал внешнего поля.

При выполнении условий 1/(г)г3 —* 0 при г —► 0 и г —► оо справедливо равенство:

что согласуется с результатами работ других авторов.

Исходя из системы уравнений квантовой гидродинамики выведено уравнение для макроскопической волновой функции, которая определена через гидродинамические переменные: концентрацию и потенциал поля скоростей:

Величина ф(г, ¿) -потенциал поля скоростей.

Это уравнение имеет вид нелинейного уравнения Шредингера, и совпадает с уравнением Гросса-Питаевского:

П

где ц(т, £) - химический потенциал.

В четвертом параграфе показанно, что в третьем порядке по радиусу взаимодействия тензор квантовых напряжений зависит от концентрации и ее производных. Установлена эта зависимость:

г, I) = -¿тЛ2(г, I) - ¿т2(^д + (г, I).

здесь

Таким образом, получено уравнение состояния неидеального, неоднородного конденсата Бозе-Эйнштейна. Выведено соответствующее нелинейное уравнение Шредингера для макроскопической волновой функции, в этом приближении оно является интегро-дифференциальным:

п2у2

%Пд1 Ф(г,«) = (-—+ - Тп(г,4)-

В пятом параграфе исследована дисперсия собственных волн в конденсате Бозе-Эйнштейна в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Получена зависимость ш(к):

4 гтг 8тп т

В шестой главе рассмотрена нелинейная динамика волн в конденсате Бозе-Эйнштейна.

В первом параграфе формулирутся задача о распространении нелинейных возбуждений малой амплитуды в конденсате Бозе-Эйнштейна.

Во втором параграфе решается задача о нахождении нелинейного сдвига частот В(Ь, к) собственных волн в конденсате Бозе-Эйнштейна.

Для решении этой задачи используется метод Крылова-Боголюбова-Митропольского.

Нелинейный сдвиг частоты В(Ь, к) оказывается равным:

„., ,, ,„m2fc2T-3?i2T2fc4-36mnoT2 + ^mnoTT2fc2-|mn0T^'1 B(b,k) = b------.

12mnou>o(2a +ГПП0Т2)

В третьем параграфе рассмотрена динамика яркого солитона в конденсате Бозе-Эйнштейна в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Форма солитона в этом приближении получена в виде:

n(f) = . -.

J к2 - \к + 1 cosh(2a) + 1 + к

В этой формуле использованы следующие обозначения: по = 2т|£|/(|Т|) и а = у/ЦЩгЛЦЛ, £ = x-v0t, к=4\Е\ т2Т2/(й2 | Т |). Это решение получено при условиях Е < О, Т > 0 (притяжение между частицами).

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Установление зависимостей между физическими характеристиками квантовых систем взаимодействующих частиц; вывод уравнения квантовой гидродинамики, учитывающие спин-токовое и спин-орбитальное взаимодействия.

2. Получены решения уравнений квантовой гидродинамики, учиты-

вающих собственные магнитные моменты частиц, в виде электро-

магнитных, плазменных и спиновых волн в системе многих заряженных частиц, электронов, ионов и т.п.

3. Путем решения и анализа уравнений квантовой гидродинамики установлено наличие неустойчивостей в системе заряженных частиц под действием пучка нейтронов находящихся в магнитном поле. Показано, что физическим механизмом возбуждения таких неустойчивостей является спин-токовое и спин-спиновое взаимодействия. Получены аналитические формулы для инкрементов неустойчивостей.

4. Вывод уравнений квантовой гидродинамики и соответствующего одночастичного нелинейного уравнения Шреденгера для системы нейтральных бозонов находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна в третьем порядке по радиусу взаимодействия.

5. Установлен общий вид квантового тензора напряжений в терминах волновых функций и продемонстрирован метод его вычисления на примере конденсата Бозе-Эйнштейна. Оказывается, что в этом случае квантовый тензор напряжений является функцией от концентрации частиц и её производных.

6. Посредством решения уравнений квантовой гидродинамики получена дисперсионная зависимость для волн которые могут возбуждаться и распространяться в системе нейтральных бозонов находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна. Решение выполнено с точностью до третьего порядка по радиусу взаимодействия.

7. Найден нелинейный сдвиг частоты и амплитуды высших гармоник волн в конденсате Бозе-Эйнштейна путем решения нелиней-

ных уравнений квантовой гидродинамики в кубическом по возмущениям приближении. Решение выполнено с точностью до третьего порядка по радиусу взаимодействия.

8. Аналитически вычислен профиль яркого солитона в конденсате Бозс-Эйнштейна. Решение выполнено с точностью до третьего порядка по радиусу взаимодействия.

Основные результаты диссертации опубликованны в работах:

1. Андреев П.А., Кузьменков JI.C. Об уравнениях эволюции коллективных явлений в системах фермионов//Изв.вузов.Физика. 2007. №12. С.74. [Russian Physics Journal, v.50, No.12, 2007, pp. 1251-1258.]

2. Andreev P.A., Kuz'menkov L.S. Problem with the single-particle description and the spectra of intrinsic modes of degenerate boson-fermion systems//Phys.Rev.A. 2008. v.78. p.053624(12).

3. Андреев П.А. Кузьменков JI.C. О собственных волнах в двухком-понентной системе частиц с магнитными моментами//Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2007. N.5. С.5-7. [Moscow University Physics Bulletin, 2007, v.62, No.5, p.271-276.[

4. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Возбуждение волн пучком нейтронов в двухкомпонентной системе заряженных частиц со спином //Ядерная Физика 2008. Т.71. С.1755-1760. [Physics of Atomic Nuclei, v.71, No. 10, 1724-1729 (2008)].

5. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Дисперсия и нелинейный сдвиг частоты собственных волн в конденсате Бозе-Эйнштейна //Изв.вузов.Физика., 2009, Ж9, С.24-30. [Russian Physics Journal, 2009, v.52, N.9, р.912-919.]

6. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Уравнения квантовой гидродинамики с учетом спин-токового и спин-орбитального взаимодействий //Динамика сложных систем, 2009, т.З, N.3. С.3-29.

7. Андреев Л.А., Кузьменков Л. С. Коллективные явления при взаимодействии пучка нейтронов с квантовой плазмой. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения"секция физики. 2007. С.115-119.

8. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Об уравнениях квантовой гидродинамики ультрахолодных бозонов и фермионов с короткодействующим потенциалом взаимодействия. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения"секция физики. 2008. С.145-147.

9. Андреев П. А., Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2005" секция "ФИЗИКА". 2005. т.2. С.88-90.

10. Андреев П. А. Новая собственная мода в парамагнетике//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2006" секция "ФИЗИКА". 2006. т.2. С.81-82.

11. Андреев П. А. Материальные поля фермионов в квантовой механике и их динамика//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2007" секция "ФИЗИКА". 2007. С.216-217.

12. Андреев П. А. Дисперсия нелинейных возбуждений п конденсате Бозе-Эйнштейна//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2008" секция "ФИЗИКА". 2008. С.242-243.

13. Андреев П. А., Труханова М. И. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2009" секция "ФИЗИКА". 2009. С.237-239.

Подписано в печать:

16.09.2010

Заказ № 4118 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru

1 Введение

2 Уравнения квантовой гидродинамики с учетом спин-токового и спин-орбитального взаимодействий

2.1 Постановка задачи.

2.2 Уравнение баланса импульса.

2.3 Уравнение баланса магнитного момента.

2.4 Уравнение баланса энергии системы N частиц.

2.5 Поле скоростей в уравнениях квантовой гидродинамики

2.6 Приближение самосогласованного поля.

2.7 О построении замкнутого аппарата квантовой гидродинамики

3 О собственных волнах в двухкомпонентной системе частиц с собственными магнитными моментами

3.1 Постановка задачи.

3.2 Дисперсионное уравнение.

3.3 Волны распространяющиеся перпендикулярно магнитному полю.

3.4 Волны распространяющиеся параллельно магнитному полю

3.5 Спиновые волны.

4 Возбуждение волн пучком нейтронов

4.1 Постановка задачи.

4.2 Возбуждения, распространяющиеся перпендикулярно магнитному полю.

4.3 Возбуждения, распространяющиеся параллельно магнитному полю.

4.4 Возбуждение спиновых волн.

4.5 Выводы.

5 Квантовая гидродинамика частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия

5.1 Постановка задачи.

5.2 Система уравнений квантовой гидродинамики.

5.3 Уравнение Гросса-Питаевского.

5.4 Тензор напряжений в третьем порядке по радиусу взаимодействия

5.5 Дисперсия собственных волн.

5.6 Выводы.

6 О нелинейных волнах в БЭК.

6.1 Постановка задачи.

6.2 Нелинейный сдвиг частоты в БЭК.

6.3 Яркий солитон в конденсате Бозе-Эйнштейна

Актуальность

Необходимость развития методов полевого описания квантовых распределенных систем многих частиц диктуеся как необходимостью развития нового теоретического метода исследования процессов в системах многих частиц, так и конкретными физическими задачами, в частности задачами связанными с разработкой приборов, устройств сншггроники, задачами динамики ультрохолодпых атомов щелочных металлов в магнитных ловушках и т.п. В связи с этим в последние годы развивается метод квантовой гидродинамики, основанный на представлении наблюдаемых физических величин в виде наборов полевых функций различной тензорной размерности. Этот метод включает в себя как частный случай квантовые уравнения баланса числа частиц, импульса и энергии, содержит наряду с величинами, имеющими тот же физический смысл, что и в классической физике, также и величины чисто квантового происхождения, к примеру квантовый потенциал Бома. Этот метод позволяет, исходя из первых принципов квантовой механики, выполнять расчеты физических свойств таких квантовых систем, как конденсат Бозе-Эйнштейна. Важным преимуществом метода квантовой гидродинамики по сравнению с исходным методом непосредственного решения уравнения Шредингера для многих частиц в многомерном конфигурационном пространстве, является возможность учета диссипативных явлений для систем для которых справедлив принцип суперпозиции силовых полей. Уравнение Шредингера относиться лишь к га-мильтоновым системам и не содержит механизма релаксации импульса и энергии за счет диссипативных сил. Далее, набор стационарных состояний системы, как собственных значений гамильтониана характеризует лишь значения полных энергий системы частиц, что явно недостаточно в нестационарных задачах в распределенных системах, в которых происходит изменение плотности энергии, даже при сохраняющейся полной энергии.

Научная новизна

В первых работах, посвященных квантовой гидродинамике систем многих частиц, в качестве исходного уравнения выступает уравнение Шре-дингера для N заряженных частиц, обладающих магнитным моментом и находящихся во внешнем электромагнитном поле. При этом принималось также во внимание кулоновское и спин-спиновое взаимодействие между частицами системы. Таким образом спин-токовое и спин-орбитальные взаимодействия не учитывались. Новое содержание этому методу дает учет спин-токового и спин-орбитального взаимодействий в процессах, в которых существенна динамика спинов.

Квантовая гидродинамика частиц, взаимодействие между которыми является короткодействующим, непосредственно вытекающая из многочастичного уравнения Шредингера, ранее не рассматривалась. В результате такого вывода уравнений квантовой гидродинамики для частиц с короткодействующим взаимодействием оказалось, что взаимодействие входит в континуальные уравнения в виде тензора напряжений, симметричного по обоим тензорным индексам, подобно классической гидродинамике. В качестве конкретной физической системы рассмотривается система ультрахолодных бозонов в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Подобие уравнений квантовой гидродинамики для одной и многих частиц дает возможность построения для многочастичных систем эффективного одно-частичного уравнения Шредингера. Получено соответствующее уравнение для волновой функции в среде (параметр порядка). В первом порядке по радиусу взаимодействия уравнения для волновой функции бозонов в среде, как оказывается, имеет вид уравнения Гросса-Питаевского. И учет короткодействующих потенциалов, и выражение для тензора напряжений в виде разложения по радиусу взаимодействия, и вывод на этой основе уравнения Гросса-Питаевского являются новыми. К новым результатам, полученым в диссертации, относятся также исследования эволюции возмущений в квантовых системах многих частиц, вывод дисперсионных соотношений, полу-чеформул для инкрементов нарастания возмущений в квантовых системах содержащих нейтроны.

Объект исследования

В диссертации исследуются физические процессы в системах многих заряженных или нейтральных частиц, обладающих собственным магнитным моментом. Примерами таких систем являются плотная плазма и плазмоподобные системы, состоящие из электрически заряженных и нейтральных частиц с магнитным моментом. В часности в диссертации выполнены расчеты динамики коллективного поведения частиц в среде пронизанной потоком нейтронов, взаимодействующего со средой посредством собственных иагнитных моментов. Другой физически важной системой, рассматриваемой в диссертации является система ультрахолодных бозонов, например,4#е,ультрохолодные атомы щелочных элементов, таких как 7Ы, 2,5/Vо,, Ш), 40К, находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейпа в магнитных ловушках или оптических решетках.

Метод исследования

В качестве метода исследований в диссертации далее разрабатывался метод континуального представления физических неравновестных свойств квантовых систем (метод квантовой гидродинамики). Для вывода уравиений квантовой гидродинамики использовались аналитические вычисления, использующие математический аппарат квантовой теории систем многих частиц. Центральное место в этих вычислениях принадлежит многочастич-пому уравнению Шредингера (Паули) и определения операторов плотностей наблюдаемых. При исследовании собственных волн и процесса их возбуждения использован метод разложения полевых характеристик системы по амплитудам волновых возбуждений. При исследовании нелинейного сдвига частоты использован метод Крылова-Боголюбова-Митропольского обобщенный Д. Монтгомери, Д.А. Тидманом и Х.М. Стейнером на системы с пространственной дисперсией.

Цели и задачи диссертации

Основной целью диссертации является разработка замкнутого аппарата исследований неравновесных процессов для широкого класса квантовых физических систем, получение уравнений квантовой гидродинамики заряженных частиц, обладающих магнитным моментом, учитывающей взаимодействие спинов частиц с токами частиц и воздействие как внешнего электрического поля, так и действие электрического поля, создаваемого частицами системы, на спины частиц, находящихся в движении. В качестве самостоятельной задачи рассмотрен вывод уравнений квантовой гидродинамики частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия, получения явного вида тензора квантовых напряжений ультрахолодных бозонов в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Важной в практическом отношени целью диссертации было получение решений уравнении для конкретных физических систем многих частиц и исследование физических процессов в таких системах.

Достоверность научных положений

Результаты диссертации являются обоснованными и достоверными, так как они получены с помощью строгих математических методов на основе общепринятых уравнений квантовой механики в рамках хорошо зарекомендовавших себя приближений. Результаты диссертации согласуются с: классической электродинамикой сплошных сред, теорией Гросса-Питаевского неоднородного конденсата Бозе-Эйнштейна, гидродинамикой вырожденной Бозе жидкости.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Дан вывод системы уравнений квантовой гидродинамики из уравнения Шреденгера для систем многих частиц с нерелятивистским гамильтонианом, учитывающим наряду с кулоновским и спин-спиновым взаимодействиями спин-токовое и спин-орбитальное взаимодействия. Получены уравнения баланса числа частиц, импульса, магнитного момента и энергии, содержащие информацию о процессах с указанными взаимодействиями . Рассмотрено приближение самосогласованного поля.

2. Для плотной квантовой двухсортной системы многих заряженных частиц с собственными магнитными моментами, находящейся в постоянном однородном внешнем магнитном поле, в рамках единого формализма, получены решения уравнений квантовой гидродинамики в виде электромагнитных, плазменных и спиновых волн.

3. Рассмотрено распространение пучка нейтронов, обладающих собственным магнитным моментом, в плотной квантовой электрон-ионной системе многих заряженных частиц в качестве источника возбуждения плазменных и спиновых волн посредством спин-спинового взаимодействия. Система предпологается помещенной в постоянное однородное внешнее магнитное поле.

4. Произведён вывод уравнений квантовой гидродинамики из уравнения Шреденгера для системы многих частиц с короткодействующим потенциалом взаимодеиствия. Для квантовой системы многих частиц доказанна теорема о симметрии тензора вязких напряжений. Получены уравнения баланса числа частиц, импульса. Получена система уравнений квантовой гидродинамики в третьем порядке по радиусу взаимодействия для Бозе-частиц, находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна. Исходя из полученой системы уравнений квантовой гидродинамики бозонов, выведено нелинейное уравнение Шредингера для волновой функции в среде, вывод выполнен в третьем порядке по радиусу взаимодействия. В первом порядке по радиусу взаимодействия полученное нелинейное уравнение Шредингера переходит в извесное уравнение Гросса-Питаевского.

5. На основании системы уравнений квантовой гидродинамики бозонов в третьем порядке по радиусу взаимодействия исследована линейная и нелинейная динамика волновых возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна. Получена дисперсионная зависимость ш(к) для бозонов, а также нелинейные сдвиги частот в третьем порядке по радиусу взаимодействия. Решена задача об изменении формы яркого солитона в конденсате Бозе-Эйнтейна при более детальном учете взаимодействия (с точностью до третьего порядка по радиусу взаимодействия).

Практическая ценность результатов.

Полученные уравнения могут применяться для расчета нестационарных физических процессов в системах многих взаимодействующих частиц во внешних электромагнитных полях. Найденные формулы для зависимости частот возбуждений от волновых векторов могут непосредственно использоваться при разработке технологий создания приборов и устройств, функционирующих на основе учета поляризации спинов, в частности спин-троники. Произведенный расчет влияния внешнего магнитного поля на нестационарные процессы показывает возможность управления такими процессами путем изменения напряженности магнитного поля. Область применения результатов.

Результаты могут быть использованны при расчете приборов использующих эффект ориентации спинов частиц, за счет коллективного взаимодействия с другими частицами и внешними полями, например, спин-троники. Зависимость дисперсии электромагнитных и плазменных волн от магнитного момента частиц можно использовать в качестве основы метод определения магнитных восприимчивостей металлов. Результаты по возбуждению волн пучком нейтронов могут быть использованны для расчета неустойчивостей динамических процессов с участием спинов нейтронов и безопасности ядерных реакторов. Результаты по нелинейному сдвигу частоты могут быть использованы для создания и совершенствования устройств, например, уточнения работы часов, принцип работы которых основан на частотах волновых возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна, находящегося в микроскопических магнитных ловушках. Список публикаций

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Об уравнениях эволюции коллективных явлений в системах фермионов//Изв.вузов.Физика.-2007.-№12,-С.74. [Russian Physics Journal, Vol.50, No.12, 2007, pp.1251-1258.]

2. Andreev P.A., Kuz'menkov L.S. Problem with the single-particle description and the spectra of intrinsic modes of degenerate boson-fermion systems//Phys.Rev.A.2008.N.78.P.053624(12).

3. Андреев П.А. Кузьменков Л.С. О собственных волнах в двухком-понентной системе частиц с магнитными моментами//Вес:тн. Моск. ун-та. Физ. Actpoh.2007.N5.С.5-7. [Moscow University Physics Bulletin, 2007, Vol.62, No.5,pp.271-276.]

4. Андреев П.А., Кузьменков JI.С. Возбуждение волн пучком нейтронов в двухкомпонентной системе заряженных частиц со спином //Ядерная Физика-2008.-Т.71.-С. 1755-1760. [Physics of Atomic Nuclei, 71, No. 10, 1724-1729 (2008)].

5. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Дисперсия и нелинейный сдвиг частоты собственных волн в конденсате Бозе-Эйнштейна //Изв. вузов. Физика.,2009, Ж9,с.24-30. [Russian Physics Journal, 2009,vol.52, N.9, p.912-919.]

6. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Уравнения квантовой гидродинамики с учетом спин-токового и спин-орбитального взаимодействий // Динамика сложных систем, 2009, т.З, N.3. с.3-29.

7. Андреев П. А., Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2005" секция "ФИЗИКА".2005.Том.2.С.88-90.

8. Андреев П. А. Новая собственная мода в парамагнети-ке//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2006" секция "ФИЗИКА".200б.Том.2.С.81-82.

9. Андреев П. А. Материальные поля фермионов в квантовой механике и их динамика//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2007" секция "ФИЗИКА".2007.С.216-217.

10. Андреев П. А. Дисперсия нелинейных возбуждений в конденсате Бозе-Эйпштейна//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2008" секция "ФИЗИКА".2008.С.242-243.

11. Андреев П. А., Труханова М. И. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2009" секция "ФИЗИКА".2009.С.237-239.

12. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Коллективные явления при взаимодействии пучка нейтронов с квантовой плазмой. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения"секция физики.-2007.-С.115-119.

13. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Об уравнениях квантовой гидродинамики ультрахолодпых бозонов и фермиопов с короткодействующим потенциалом взаимодействия. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения "секция физики.-2008.-С. 145-147.

Апробация результатов.

Результаты докладывались на международных конференциях "Ломоносов-2005", "Ломоносов-2006", "Ломоносовские чтения-2007", "Ломоносов-2007", "Ломоносовские чтения-2008", "Ломоносов-2008", "Ломоносов-2009".

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 158 наименований. Общий объем текста -- 144 машинописных страниц.

7. Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. В диссертации дан вывод системы уравнений квантовой гидродинамики (квантового материального континуума) из уравнения Шреден-гера для систем многих частиц с нерелятивистским гамильтонианом, учитывающим наряду с кулоновским и спин-спиновым взаимодействиями, спин-токовое и спин-орбитальное взаимодействия. Получены уравнения баланса числа частиц, импульса, магнитного момента и энергии, содержащие информацию о физических процессах обусловленных указанными выше взаимодействиями. Рассмотрено приближение самосогласованного поля. Результаты исследований других авторов вытекают из приведенных в диссертации расчетов в приближении, когда можно пренебречь спин-токовым и спин-орбитальным взаимодействиями.

2. Для плотной квантовой системы многих заряженных частиц двух сортов с собственными магнитными моментами, находящихся в постоянном однородном внешнем магнитном поле, в рамках единого континуального формализма, получены решения и исследованы квантовые особенности плазменных, электромагнитных и спиновых волн. Исследована дисперсия волн распростроняющихся вдоль внешнего магнитного поля, а также поперечных по отношению к направлению внешнего магнитного поля. Для волн, распростроняющихся перпендикулярно внешнему магнитному полю, получены дисперсионные соотношения из которых следует, что волновой характер (зависимость от волнового вектора) предсказываемых в диссертации волн обусловлен наличием собственных магнитных моментов частиц; при пренебрежении собственными магнитными моментами частиц, а также в длинноволновом приближении, эти волны вырождаются в колебания на циклотронных частотах. Другие волновые решения найденные в диссертации совпадают с известными собственными модами системы с той лишь разницей что найденые для них формулы оказываются зависящими от квантового потенциала Бома и собственных магнитных моментов частиц. В диссертации также показанно, что полученная система континуальных уравнений содержит в качестве решений волны, не сопровождающиеся возбуждением электрического поля, т.е., спиновые волны. Для спиновых волн произведены расчеты и получены аналитические формулы зависимости частоты от волнового вектора. Все эти результаты допускают эксперементальную проверку.

3. В качестве самостоятельной задачи в диссертации рассмотрен процесс распростронения пучка нейтронов (обладающих собственным магнитным моментом) в плотной квантовой системе многих заряженных частиц с собственными магнитными моментами, находящейся в постоянном однородном внешнем магнитном поле. Показанно, что этот процесс сопровождается возбуждением плазменных, электромагнитных и спиновых волн. Получены аналитические выражения свидетельствующие о нарастании амплитуды таких волн. В линейном приближении произведен расчет и приведены аналитические формулы для инкрементов нарастания возбуждений. Эти результаты могут оказаться важными для в практике разработки и создания ядерных реакторов.

4. Квантовая динамика систем частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия (нейтральных атомов, молекул), как и классическая теория систем многих частиц, допускает замкнутую формулировку, при условии решения проблемы представления взаимодействий набором полевых функций. Эта проблемма решена в диссертации, где показаний, что такого рода взаимодействие могут быть представленны в виде дивергенции тензорного поля, названного в диссертации квантовым тензором напряжений. Для квантовой системы многих частиц доказанна теорема о симметрии квантового тензора напряжений. Полученые уравнения баланса импульса частиц содержат информацию о взаимодействиях посредством квантового тензора напряжений и могут рассматриваться в качестве фундаментальных уравнений для расчетов нераывновестных коллективных процессов в газах и конденсированных средах. Получена система уравнений квантовой гидродинамики в третьем порядке по радиусу взаимодействия для Бозе-частиц находящихся в состоянии конденсата Бозе-Эйнштейна. Исходя из полученой системы уравнений квантовой гидродинамики системы бозонов выведено "одночастич-ное"уравнение Шредингера для "волновой функции в среде", которое оказывается существенно нелинейным, вывод дан в диссертации в третьем порядке по радиусу взаимодействия. В первом порядке по радиусу взаимодействия полученное нелинейное уравнение Шредингера переходит в извесное уравнение Гросса-Питаевского.

5. В третьем порядке по радиусу взаимодействия в диссертации исследована линейная и нелинейная динамика волновых возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна. Получена дисперсионная зависимость ш(к) для системы бозонов, а также нелинейный сдвиг частот. В том же порядке по радиусу взаимодействия в диссертации получено решение в виде яркого солитона. Найденое аналитическое решение оказывается близким по форме с известным результатом полученом на основании уравнения Гросса-Питаевского.

1. Madelung Е. Quantenteorie in hydrodynamischer form //Z. Phys. —1926. -v. 40. —N 2. -P. 322.

2. Takabayasi T. //Progr. Theor. Phys. -1955. -v.14. -P.283.

3. Wong С. X. On the Shrodinger equation in fluid-dynamical form //J. Math. Phys. -1976. v. 17. -N6. -P. 1008-1010.

4. Санин A. JI. Уравнения Маделунга и Максвелла-Лоренца для электрона с переменой эффективной массой //Оптика и спектроскопия. -1996. -т. 80. -Р. 540-543.

5. Рухадзе А.А., Кузелев М.В. О квантовом описании линейных кинетических свойств плазмы //УФН. -1999. -т. 169. —N6. —С. 687-689.

6. Кузьменков Л. С., Максимов С.Г. Квантовая гидродинамика систем частиц с кулоновским взаимодействием и квантовый потенциал Бома //ТМФ. -1999. -т. 118. —N 2. -С. 287-304.

7. Кузьменков Л. С., Максимов С.Г., Федосеев В.В. Квантовая гидродинамика систем фермионов I// ТМФ. —2001. —т. 126. — N1. -С. 136148.

8. S. G. Maximov, and L. S. Kuzmenkov Local equilibrium approximation in quantum statistics of fermions, //International Journal of Theoretical Physics, Group Theory and Nonlinear Optics. -2004. —v. 11. -P. 1-32.

9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая электродинамика. М.-.Наука. 1989.

10. Кузьменков Л.С., Максимов С.Г., Федосеев В.В. Квантовая гидродинамика систем фермионов II //ТМФ. —2001. —т. 126. —N2. —С. 258-,

11. Харабадзе Д.Э. Учет спин-токового взаимодействия при помощи гамильтониана Брейта в гидродинамическом методе //Вестн. Моск. унта. Физ. Астрон. -2005. -N.6. -С.10-13.

12. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Об уравнениях эволюции коллективных явлений в системах фермионов //Изв. вузов. Физика. —2007. — N.12. -С.74-. Russian Physics Journal. -2007. —v.50. -N.12. P.1251-1258.

13. Кузьменков Л.С., Максимов С.Г. О функциях распределения в квантовой механике и функциях Вигнера //ТМФ. —2002. —т. 131. —N2. -С. 231-243.

14. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов.-М.:Наука,1971.

15. Maximov S. G., Kuzmenkov L. S. Quantum hydrodynamic: equations of fermions at nonzero temperatures //International Journal of Theoretical Physics, Group Theory and Nonlinear Optics. -2004. -v. 11, -P.33-59.

16. Andreev P.A., Kuz'menkov L.S. Problem with the single-particle description and the spectra of intrinsic modes of degenerate boson-fermion systems //Phys. Rev. A. -2008. —v.78. -P.053624(12).

17. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases//Rev. Mod. Phys. —1999. -v.71. —P.463-512.

18. Giorgini S., Pitaevskii L., Stringari S. Theory of ultracold atomic Fermi gases //Rev.Mod.Phys. -2008. -v.80. -P. 1215-1274.

19. Brodin G., Marclund M. Spin magnetohydrodynamics //New J. Phys. -2007. —v.9. —P.277(ll).

20. Haas F. A magiietohydrodynamic model for quantum plasmas //Phys. Plasmas. -2005. v.12. —P.062117(9).

21. Marklund M., Brodin G. Dynamics of Spin-1/2 Quantum Plasmas //Phys. Rev. Lett. -2007. -v.98. -P.025001(4).

22. Zamanian J., Brodin G., Marklund M. Dynamics of a dusty plasma with intrinsic magnetization //New J. of Phys. -2009. —v.ll. —P.073017(10).

23. Кузьменков Л. С., Максимов С.Г, Федосеев В.В. Дисперсия волн в парамагнитных системах // Вестн. Моск. Ун-та. Сер.З. Физ. Астр. -2000. —N.5. С.3-5.

24. Кузьменков JI.C., Харабадзе Д.Э. Волны в системах частиц с собственным магнитным моментом, (метод квантовой гидродинамики) //Известия вузов. Физика. —2004. —т. 47. —N4. —С. 87-93.

25. Вагин Д.В., Ким Н.Е., Поляков П.А., Русаков А.Е. Особенности рас-простронения электромагнитных волн в горячей электромагнитной плазме с учетом спина электронов //Известия РАН. Серия Физическая. -2006. -т. 70. —N 3. -С. 443-447.

26. Андреев П.А. Кузьменков JJ.C. О собственных волнах в двухком-понентной системе частиц с магнитными моментами //Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. —2007. N.5. —С.5-7. Moscow University Physics Bulletin. -2007. -v.62. -N.5. -P.271-276.

27. Overhauser A. W. Theory of charge-density-wave-spin-density-wave mixing //Phys. Rev. B. -1984. -v.29. -P.7023-7025.

28. Bret A., Firpo M.-C., Deutsch C. Collective electromagnetic modes for beam-plasma interaction in the whole к space //Phys. Rev. E. —2004. —v.70. —P.046401 (15).

29. Garcia L.G., Haas F., de Oliveira L.P.L., Gocdert J. Modified Zakharov equations for plasmas with a quantum correction //Phys. Plasmas. —2005. -v.12. —P.012302(8).

30. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Возбуждение волн пучком нейтронов в двухкомпонентной системе заряженных частиц со спином //Ядерная Физика. -2008. -т.71. -С. 1755-1760.

31. АН S., Shukla Р.К. Streaming instability in quantum dusty plasmas //The Eur. Phys. J. D. -2007. v.41. -P.319.

32. Shukla N.,Shukla P.K., Brodin G., Stenflo L. Ion streaming instability in a quantum dusty magnetoplasma //Phys. Plasmas. —2008. —v. 15. — P.044503(3).

33. Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. Spintronics: Fundamentals and applications //Rev. Mod. Phys. -2004. -v.76. -P.323-411.

34. Farinas Paulo F. Electron paramagnetic spin-wave effects on the transport current through a semimagnetic semiconductor layer //Phys. Rev. B. — 2001. —v.64. —P.161310(4).

35. Xu L.J. Wu X.G. Charge-density and spin-density excitations in a two-dimensional electron gas with Rashba spin-orbit coupling //Phys. Rev. B. -2006. —v.74. —P.165315(7).

36. Silvestrov P. G. Mishchenko E. G. Polarized electric current in semiclassical transport with spin-orbit interaction //Phys. Rev. B. —2006,. —v.74. — P.165301(5).

37. B. A. Bcrnevig, X. Yu, and S. C. Zhang Maxwell Equation for Coupled Spin-Charge Wave Propagation //Phys. Rev. Lett. —2005. —v.95. — P.076602(4).

38. R.Wieser K.D.Usadel U.Nowak Thermodynamic behavior of nanomagnets with a vortex configuration //Phys. Rev. B. —2006. -v.74. -P.094410(5).

39. Manfredi G., Hervieux P.A. //Appl. Phys. Lett. -2007. -v.91. -P.061108.

40. Sharma P. PHYSICS: How to Create a Spin Current //Science. -2005. —v.307. —P.531-533.

41. S. A. Wolf, D. D. Awschalom, R. A. Buhrman, J. M. Daughton, S. von Molnar, M. L. Roukes, A. Y. Chtchelkanova, D. M.Treger, Spintronics: A Spin-Based Electronics Vision for the Future //Science. —2001. —v.294. -P. 1488-1495.

42. Datta S., Das B. //Appl. Phys. Lett. -1990. -v.56. -P.665.

43. Murakami S., Nagaosa N., Zhang S.-C. Dissipationless Quantum Spin Current at Room Temperature //Science. -2003. -v.301. -P.1348-1351.

44. Bellucci S. Onorato P. Crossover from the ballistic to the resonant tunneling transport for an ideal one-dimensional quantum ring with spinorbit interaction //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. —P.235312(6).

45. Feng Chi, Jun Zheng, Lian-Liang Sun //Appl.Phys.Lett. —2008. —v.92. —P.172104.

46. Nitta J., Akazaki T., Takayanagi H., Enoki T., Gate Control of Spin-Orbit Interaction in an Inverted /no.53Gao.47As/Iuq^AIqasAs Heterostructure //Phys. Rev. Lett. -1997. -v.78. -P.1335-1338.

47. Grundler D. Large Rashba Splitting in InAs Quantum Wells due to Electron Wave Function Penetration into the Barrier Layers //Phys. Rev. Lett. -2000. -v.84. -P.6074-6077.

48. Kato Y. K., Myers R. C., Gossard A. C., Awschalom D. D. Current-Induced Spin Polarization in Strained Semiconductors //Phys. Rev. Lett. —2004. -v.93. —P.176601(4).

49. Kato Y., Myers R. C., Gossard A. C., Awschalom D. D. Coherent spin manipulation without magnetic fields in strained semiconductors //Nature (London). -2004. -v.427. -P.50-53.

50. Weber C. PGedik N., Moore J. E., Orenstein JStephens J., Awschalom D. D., Observation of spin Coulomb drag in a two-dimensional electron gas //Nature (London). -2005. -v.437. —P.1330-1333.

51. Bernevig B.A., Jiangping Hu Semiclassical theory of diffusive-ballistic crossover and the persistent spin helix //Phys. Rev. B. —2008. —v.78. —P.245123(4).

52. Burkov A. A., Nunez A. S., MacDonald A. H., Theory of spin-chargecoupled transport in a two-dimensional electron gas with Rashba spinorbit interactions //Phys. Rev. B. -2004. —v.70. —P.155308(8).

53. Mishchenko E. G., Shytov A. V., Halperin B. I. Spin Current and Polarization in Impure Two-Dimensional Electron Systems with SpinOrbit Coupling //Phys. Rev. Lett. -2004. -v.93. -P.226602(4).

54. Borunda M.F., Xin Liu, Kovalev Alexey A., Liu Xiong-Jun, Jungwvrth T., Sinova Jairo Aharonov-Casher and spin Hall effects in mesoscopic ring structures with strong spin-orbit interaction //Phys. Rev. B. —2008. —v. 78. —P.245315(9).

55. Srrrirnov S., Bercioux D., Milena Grifoni M., Richter K. Interplay bet,ween quantum dissipation and an in-plane magnetic field in the spin ratchet effect //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. -P.245323(16).

56. Valenzuela S. O., Tinkham M., Direct electronic measurement of the spin Hall effect //Nature (London). -2006. -v.442. -P.176-179.

57. Chia-Hui Lin, Chi-Shung Tang, Yia-Chung Chang Nonmagnetic control of spin flow: Generation of pure spin current in a Rashba-Dresselhaus quantum channel //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. -P.245312(6).

58. Tomoaki Kaneko, Mikito Koshino, Tsuneya Ando Numerical study of spin relaxation in a quantum wire with spin-orbit interaction //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. —P.245303(8).

59. Romeo F., Citro R., Marinaro M. Quantum pumping and rectification effects in Aharonov-Bohm-Casher ring-dot systems //Phys. Rev. B. — 2008. -v.78. —P.245309(9).

60. Ngo A.T., Villas-Boas J.M., Ulloa S.E. Spin polarization control via magnetic barriers and spin-orbit effects //Phys. Rev. B. -2008. —v.78. —P.245310(5).

61. Tan S.G., Jalil M.B.A., Xiong-Jun Liu, Fujita T. Spin transverse separation in a two-dimensional electron-gas using an external magnetic field with a topological chirality //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. -P. 245321(6).

62. Palyi A., Cserii J. Spin-dependent electron-impurity scattering in two-dimensional electron systems //Phys. Rev. B. —2008. —v.78. — P.241304(4).

63. Loss D., DiVincenzo D. P. Quantum computation with quantum dots //Phys. Rev. A. -1998. -v.57. -P.120-126.

64. Yu Z.G. Electrically controlled g factor and magnetism in conjugated metallorganic molecules //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. —P.212411(4).

65. Romero A.H., Cardona M, Kremer R.K., Lauck R, Siegle G., Serrano J., Gonze X.C. Lattice properties of PbX (X=S, Se, Те): Experimental studies and ab initio calculations including spin-orbit effects //Phys. R.ev. B. —2008. -v.78. -P.224302(9).

66. Foldi P., Molnar В., Benedict M. G., Peeters F. M. Spintronic single-qubit gate based on a quantum ring with spin-orbit interaction //Phys. Rev. B. -2005. -v.71. -P.033309(4).

67. Kuo-Wei Chen, Ching-Ray Chang Quantum interference and spin polarization on Rashba double quantum dots embedded in a ring //Phys. Rev. B. -2008. -v.78. -P.235319(7).

68. Saprykin S., Trevelyan Philip M. J., Koopmans Rudy J., Serafim Kalliadasis Free-surface thin-film flows over uniformly heated topography //Phys. Rev. E. -2007. -v.75. —P.026306(17).

69. Андреев П. А., Кузьменков Л. С., Харабадзе Д. Э. Спин-токовое взаимодействие в квантовой гидродинамике. //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2005" секция "ФИЗИКА". -2005. -Том.2. -С.88-90.

70. Андреев П. А. Материальные поля фермионов в квантовой механике и их динамика//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2007" секция "ФИЗИКА". -2007. —С.216-217.

71. Андреев П.А., Кузьменков Л. С. Уравнения квантовой гидродинамики с учетом спин-токового и спин-орбиталыюго взаимодействий //Динамика сложных систем. —2009. —т.З. —N.3. —С.3-29.

72. Андреев П. А. Новая собственная мода в парамагнетике//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2006" секция "ФИЗИКА". -2006. —Том. 2. —С.81-82.

73. Андреев П.А., Кузьменков JI.C. Коллективные явления при взаимодействии пучка нейтронов с квантовой плазмой. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения"сскция физики. —2007. —С.115-119.

74. Андреев П.А., Кузьменков Л.С. Об уравнениях квантовой гидродинамики ультрахолодных бозонов и фермионов с короткодействующим потенциалом взаимодействия. //Сборник тезисов конференции "Ломоносовские чтения "секция физики. —2008. —С. 145-147.

75. Андреев П. А., Кузьменков Л.С. Дисперсия и нелинейный сдвиг частоты собственных волн в конденсате Бозе-Эйнщтейна //Изв.вузов.Физика. —2009. —N.9. —С.24-30. Russian Physics Journal. -2009. -v.52 -N.9. -р.912-919.

76. Андреев П. А. Дисперсия нелинейных возбуждений в конденсате Бозе-Эйнштейна//Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2008" секция "ФИЗИКА". -2008. -С.242-243.

77. Андреев П. А., Труханова М. И. Нелинейная эволюция стационарных возмущений плотности в Бозе системе //Сборник тезисов конференции "ЛОМОНОСОВ-2009" секция "ФИЗИКА". -2009. -С.237-239.

78. Дрофа М.А., Кузьменков JI.C. Континуальный подход к системам многих частиц с дальнодействием. Иерархия макроскопических полей и некоторые физические следствия// ТМФ. —1996. —Т.108. —N.1. — С.3-15.

79. Боголюбов H.H. Избранные труды в трех томах. Том третий. Киев. :Наукова думка, 1971.

80. Ахиезер А.И., Пелетминский C.B. Методы статистической физики. М.:Наука.1977.

81. Ашкрофт Н.,Мермин Н. Физика твердого тела. М.:Мир. 1979.

82. Xiuping Tao, Landau D.P., Schulthess Т.С., Stocks G.M. Spin Waves in Paramagnetic bcc Iron: Spin Dynamics Simulations// Phys. Rev. Lett. -2005. -v.95. —P.087207(4).

83. Александров А.Ф., Рухадзе A.A. Лекции по электродинамике плазмо-подобных сред.-М.:Изд.МГУ,1999.

84. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А.,Половин Р.В. и др. Электродинамика пла:шы.-М.:Наука,1974.

85. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе A.A. Основы электродинамики плазмы. М.:Высш.школа, 1988.

86. Силин В.П. //ЖЭТФ. -1958. -т.35. -С.1243.

87. Ахиезер А.И., Баръяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые вол-ны.М.:Наука.1967.

88. Lynn J. W. Temperature dependence of the magnetic excitations in iron //Phys. Rev. B. -1975. -v.ll. -P.2624-2637.

89. A.I.Akhiezer, N.V.Laskin, and S.V.Peletminskii, Phys. Rev. E 58, 6512 (1998).

90. A.I.Akhiezer , N.V.Laskin , and S.V.Peletminskii, Phys. Lett. В 383, 444 (1996).

91. F.G.Bass and N.N.Nasonov, Phys. Rep. 189, 165 (1990).

92. G. C. N. Angilella, S. Barialini, F. S. Cataliotti, I. Herrera, N. H. March, and R. Pucci, in Trends in Boson Research, edited by A. V. Ling (Nova Science, New York, 2006).

93. К. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrevs, N. J. van DRuten, D. S. Durfee, D. M. Kurn, and W. Ketterle. Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms //Phys. Rev. Lett. -1995. —v.75. -P.3969-3973.

94. M. N. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, С. E. Wieman, and Cornell E.A. Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor // Science. -1995. -v.269. -ЧР.198-201.

95. С. C. Bradley, C. A. Sackett, and R. G. Hulet. Bose-Einstein Condensation of Lithium: Observation of Limited Condensate Number //Phys. Rev. Lett. -1997. -v.78. -P.985-989.

96. N. N. Bogoliubov, J. Phys. (Moscow). -1947. -v.ll. -P.23.

97. Leggett A. J. The relation between the Gross-Pitaevskii and Bogoliubovdescriptions of a dilute Bose gas // New J. Phys. —2003. —v.5. — P. 103(15).

98. A. Yu. Cherny and A. A. Shanenko, Dilute Bose gas: short-range particle correlations and ultraviolet divergence //Eur. Phys. J. B. —2001. —v.19. P.555-564.

99. A. Yu. Cherny and A. A. Shanenko, Dilute Bose gas in two dimensions: Density expansions and the Gross-Pitaevskii equation //Phys. Rev. E. -2001. —v.64. -P.027105(4).

100. A. Yu. Cherny and J. Brand, Self-consistent calculation of the coupling-constant in the Gross-Pitaevskii equation //Phys. Rev. A. —2004. —v.70. —P.043622(15).

101. S. T. Beliaev, Sov. Phys. JETP. -1958. -v.7. -P.289.

102. S. T. Beliaev, Sov. Phys. JETP. -1958. -v.7. -P.299.

103. N. M. Hugenholtz, and D. Pines Ground-State Energy and Excitation Spectrum of a System of Interacting Bosons // Phys. Rev. —1959. —v.116. -P.489-506.

104. U. Al Khawaja, J. O. Andersen, N. P. Proukakis, and H. T. C Stoof, Low dimensional Bose gases //Phys. Rev. A. —2002. —v.66. —P.013615(15).

105. V. N. Popov, Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics (Reidel, Dordrecht, Holland, 1983).

106. A. Posazhennikova Colloquium: Weakly interacting, dilute Bose gases in 2D 11 Rev. Mod. Phys. -2006. -v. 78. —P.llll-1134.

107. E. P. Gross, Nuovo Cimento. -1961. -v.20. -P.454.

108. E. P. Gross, J. Math. Phys. -1963. -v.4. -P. 195.

109. L. P. Pitaevskii, Zh. Eksp. Teor. Fiz. -1961. -v.40. -P.646. Sov. Phys. JETP. -1961. -v.13. —P.451.

110. S. K. Adhikari , and L. Salasnich , Nonlinear Schrodinger equation for a superfluid Bose gas from weak coupling to unitarity: Study of vortices //Phys. Rev. A. -2008. -v.77. -P.033618(10).

111. A. Fabrocini and A. Polis, Beyond the Gross-Pitaevskii approximation: Local density versus correlated basis approach for trapped bosons //Phys. Rev. A. -1999. -v.60. -P.2319-2323.

112. A. Fabrocini and Polis A. Bose-Einstein condensates in the large-gas-parameter regime //Phys. Rev. A. —2001. —v.64. —P.063610(5).

113. F. Kh. Abdullaev, A. Qammal, Lauro Tomio and T. Frederico, Stability of trapped Bose-Einstein condensates //Phys. Rev. A. —2001. —v.63. — P.043604(14).

114. F. Kh. Abdullaev, Mario Salerno, Gap-Townes solitons and localized excitations in low-dimensional Bose-Einstein condensates in optical lattices //Phys. Rev. A. -2005. -v.72. -P.033617(12).

115. Etienne Wamba, Alidou Mohamadou and Timoleon C. Kofane, Modulational instability of a trapped Bose-Einstein condensate with two-and three-body interactions //Phys. Rev. E. -2008. -v.77. -P.046216(8).

116. Tin-Lun Ho, Spinor Bose Condensates in Optical Traps //Phys. Rev. Lett. -1.998. —v.81. —P. 742-745.

117. C. K. Law, H. Pu and N. P. Bigelow, Quantum Spins Mixing in Spinor Bose-Einstein Condensates //Phys. Rev. Lett. —1998. —v.81. —P.5257-5261.

118. George I. Mias, Nigel R. Cooper and S. M. Girvin, Quantum noise, scaling, and domain formation in a spinor Bose-Einstein condensate //Phys. Rev. A. -2008. -v.77. -P.023616(13).

119. Lâszlô Erdös, Benjamin Sehlein, and Horng-Tzer Yau, Rigorous Derivation of the Gross-Pitaevskii Equation //Phys. Rev. Lett. —2007. —v.98. —P.040404(4).

120. A. G. Truscott, K. E. Strecker, W. I. McAlexander, G. B. Partridge, R. G. Hulet Observation of Fermi Pressure in a Gas of Trapped Atoms // Science. -2001. -v.291, -P.2570-2572.

121. F. Schreck, L. Khaykovich, K. L. Gorvin, G. Ferrari, T. Bourdel, J. Cubizolles, C. Salomon, Quasipure Bose-Einstein Condensate Immersed in a Fermi Sea //Phys. Rev. Lett. -2001. -v.87. -P.080403(4).

122. Z. Hadzibabic, C. A. Stan, K. Dieckmann, S. Gupta, M. W. Zwieriein, A. Görlitz, W. Ketterle Two-Species Mixture of Quantum Degenerate Bose and Fermi Gases //Phys. Rev. Lett. -2002. -v.88. -P. 160401 (4).

123. G. Roati, F. Riboli, G. Modugno, M. Inguscio Fermi-Bose Quantum Degenerate 40K-87Rb Mixture with Attractive Interaction // Phys. Rev. Lett. -2002. -v.89. -P.150403(4).

124. A. M. Belemuk, V. N. Ryzhov, and S.-T. Chui Stable and unstable regimes in Bose-Fermi mixtures with attraction between components // Phys. Rev. A. -2007. -v.76. -P.013609(7).

125. S. K. Adhikari Mean-field description of a dynamical collapse of a fermionic condensate in a trapped boson-fermion mixture // Phys. Rev. A. -2004. -v.70. —P.043617(7).

126. S. К. Adhikari, and Luka Salasnich Mixing-demixing transition and collapse of a vortex state in a quasi-two-dimensional boson-fermion mixture // Phys. Rev. A. -2007. -v.75. -P.053603(9).

127. S. T. Chui and V. N. Ryzhov Collapse transition in mixtures of bosons and fermions // Phys. Rev. A. -2004. -v.69. -P.043607(8).

128. M. J. Bijlsma, B. A. Heringa, and H. Т. C. Stoof Phonon exchange in dilute Fermi-Bose mixtures: Tailoring the Fermi-Fermi interaction // Phys. Rev. A. -2000. -v.61. -P.053601(ll).

129. S. Rothel and A. Pelster, Density and stability in ultracold dilute boson-fermion mixtures //Eur. Phys. J. B. -2007. -v.59. -P.343-356.

130. S. Schweber, An Introdution to Relativistic Quantum Field Theory (Evantson, peterson; New York, Elmsford, 1961).

131. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния М.:Наука. 1989.

132. S. Stringari Collective Excitations of a Trapped Bose-Condensed Gas // Phys. Rev. Lett. -1996. -v.77. -P.2360-2363.

133. Hiroyuki Shibata, Nobuhiko Yokoshi, and Susumu Kurihara Collective modes and stability of Bose-Fermi mixtures with a BCS-BEC crossover I j Phys. Rev. A. -2007. -v.75. -P.053615(8).

134. Arup Banerjee Collective oscillations of a Bose-Fermi mixture: Effect of unequal masses of Bose and Fermi particles //Phys. Rev. A. —2007. ---v.76. —P.023611(7).

135. J. Steinhauer, R. Ozeri, N. Katz, and N. Davidson Excitation Spectrum of a Bose-Einstein Condensate //Phys. Rev. Lett. —2002. —v.88. — P. 120407(4).

136. R. Ozeri, N. Katz, J. Steinhauer, and N. Davidson, Colloquium: Bulk Bogoliubov excitations in a Bose-Einstein condensate //Rev. Mod. Phys. -2005. -v.77. —P. 187-205.

137. D.A.Tidman, and H.M.Stainer Frequency and Wavenumber Shifts for Nonlinear Waves in a "Hot" Plasma //Phys.Fluids. -1965. v.8. -P.345-353.

138. Legget A.J. Bose-Einstein condensation in the alkali gases: Some fundamental concepts //Rev.Mod.Phys. -2001. -v.73. —P.307-356.

139. Chiara M., Stringari S. Collective oscillations of a one-dimensional trapped Bose-Einstein gas //Phys.Rev.A. -2002. -v.66. -P.043610(6).

140. Banerjee A., Singh M.P. Elementary excitations of a trapped Bose gas in the large-gas-parameter regime //Phys.Rev.A. —2002.—v.66. — P.043609(8).

141. Крылов H.M., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. Приближенные и ассимптотические методы нелинейной механики, Репр. изд., 2004.-М.:Ижевск.

142. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. // Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 1974.-М.:Наука.503с.(изд.4-е, испр. и доп.)

143. Montgomery D.,Tidman D.A. Secular and Nonsecular Behavior for the Cold Plasma Equations //Phys.Fluids. -1964. —v.7. -P.242-248.

144. Y. S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solitons-From Fi-bers to Photonic Crystals Academic Press, San Diego, 2003;

145. K. E. Strecker, G. B. Partridge, A. G. Truscott, and R. G. Hulet, Formation and propagation of matter-wave soliton trains //Nature (London). -2002. -v.417. -P.150(4).

146. L. Khaykovich, F. Schreck, G. Ferrari, T. Bourdel, J. Cubizolles, L. D. Carr, Y. Castin, and C. Salomon, Formation of a Matter-Wave Bright Soliton //Science. -2002. -v.296. -P.1290-1293.

147. Wu L., Zhang J-F., Li L. Modnlational instability and bright solitary wave solution for Bose-Einstein condensates with time-dependent scattering length and harmonic potential //New J.Phys. -2007. —v.9. — P.69(13).

148. Block I. Many-body physics with ultracold gases //Rev.Mod.Phys. 2008 —v.80. —P.885-964.

149. S. K. Adhikari, Mean-field model of interaction between bright vortex solitons in Bose-Einstein condensates //New J. Phys. —2003. —v.5. — P.137(13).

150. Adhikari S. K. Free expansion of fermionic dark solitons in a boson-fermion mixture // Journal of Physics B. —2005. —v.38. —P.3607 ().

151. Adhikari S. K., Malomed, B.A. Gap solitons in superfluid boson-fermion mixtures //Phys.Rev.A. -2007. -v.76. -P.043626(9).

152. Ostrovskaya E.A., Kivshar Y.S. Matter-Wave Gap Solitons in Atomic Band-Gap Structures //Phys.Rev.Lett. -2003. -v.90. -P. 160407(4).

153. Frantzeskakis D.J., Proukakis N.P., Kevrekidis P.G. Dynamics of shallow dark solitons in a trapped gas of impenetrable bosons //Phys.Rev.A. — 2004. —v. 70. —P.015601(4).

154. Kolomeisky E.B., Newman T.J., Straley J.P., Xiaoya Qi Low-Dimensional Bose Liquids: Beyond the Gross-Pitaevskii Approximation//Phys.Rev.Lett. -2000. -v.85. -P.1146-1149.

155. Michael W.Jack Decoherence due to Three-Body Loss and its Effect on the State of a Bose-Einstein Condensate//Phys.Rev.Lett. —2002. —v.89. —P.140402(4).

156. R.Fedele, H.Schamel Solitary waves in the Madelung's fluid: Connection between the nonlinear Schrodinger equation and the Korteweg-de Vries equation //Eur.Phys.J.B. -2002. -v.27. -P.313-320.