Марковские процессы в быстро меняющейся случайной среде тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Обще теоремы о сходимости конечномерных распределений марковских процессов в случайной среде

§ I. Марковские процессы в независимой от процесса случайной среде

1.1. Определения.

1.2. Сходимость конечномерных распределений.

1.3. Сходимость вероятностей переходов с запрещениями

1.4. Пример.

§ 2. Марковские процессы в случайном-'среде, зависящей от состояния процесса.

1.1. Определения.

1.2. Сходимость конечномерных расцределений.

1.3. Сходимость вероятностей переходов с запрещениями

1.4. Примеры.

Глава 2. Конечные цепи Маркова в случайной среде

§ I. Определения.

§ 2. Вложенные цепи Маркова.

§ 3. Сходимость распределений числа непоявившихся состояний.

Глава 3. Процессы рождения и гибели в случайной среде

§ I. Распределение числа частиц ветвящегося процесса рождения и гибели.

§ 2. Распределение момента первого выхода в запрещенное состояние

В последнее время большое внимание уделяется исследованию процессов, получающихся из классических процессов заменой постоянных параметров функциями, заданными на траекториях случайных процессов, описывающих поведение среды. Необходимость исследования этих процессов возникает в таких тесно связанных с прикладными задачами областях теории вероятностей, как: теория массового обслуживания и теория надежности (см. [б] , [15] ), вероятностные автоматы [21] , [з] , ветвящиеся процессы [il], [20] и др.

Случайные процессы в случайной среде удобно рассматривать, как двумерные процессы ^ ^ (О , ^М) * в которых изменение среды описывается, например, первой координатой. В задачах теории надежности процессом ^ ({) может быть, например, режим функционирования системы, а процессом Г/ ("t) - процесс, определяющий надежность системы. Ветвящимся процессом в случайной среде называют процесс ( ^({J , £ ("О) , в котором ^(t) при фиксированной траектории ^(i) является обычным неоднородным ветвящимся процессом.

В работе В.В.Анисимова и В.Н.Ситюка [2] получены предельные теоремы для неоднородного пуассоновского процесса в случайной среде, описываемой цепью Маркова, которая в схеме серий может рассматриваться как быстро меняющаяся. Для доказательства предельных теорем исследовались асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений.

В настоящей работе в быстро меняющейся случайной среде изучаются процессы более общего вида. Среда предполагается эргодическим цроцессом, а процесс ^ (i) при заданной траектории Sj (i) является марковским. Метод исследования, предложенный А.Д.Соловьевым, основан на использовании эргодических свойств ^ ({) , и не связан с изучением дифференциальных или интегральных уравнений, которые могут быть выписаны для переходных вероятностей в марковском случае. Это обстоятельство позволяет рассмотреть процессы значительно более общего вида по сравнению с процессами, изучавшимися в работе [2] , и получить более общие результаты.

Распределения некоторых функционалов от процесса, являющегося предельным для процесса ^(tj , остаются еще достаточно сложными. Дополнительное введение предельного перехода в схеме серий по параметрам предельного процесса, позволяет получить обозримые результаты. Для процесса ^(tj , являющегося цепью Маркова с конечным числом состояний, в схеме серий исследовано асимптотическое распределение числа непоявившихся состояний. Кроме того, получены предельные теоремы для процессов рождения и гибели в быстроменяющейся случайной среде.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов.

В первой главе получены теоремы о сходимости конечномерных распределений и вероятностей перехода с запрещениями второй компоненты Г) (fj к соответствующим конечномерным расцределе-ниям и вероятностям перехода с запрещениями некоторого марковского процесса. В § I рассмотрена следующая модель марковских процессов в случайной среде. Предполагается, что процесс ^({) , описывающий состояние среды, является эргодическим процессом: дня любой целочисленной функции (j) (к) fc ^ оо 1 p(!(u))Ju Z h (1) где JT*£ - стационарное расцределение ^(i) • Процесс (fj при условии фиксированной траектории ^"(fj является марковским процессом с интенсивностями перехода вида £ Д . .

Л I \ lJ 1

Предполагается, что функции А{- (К ZJ удовлетворяют следующим условиям:

A) = Z любых t >0

B) функции 2 ■. (к i) цри любых г I X е /V зштегрируемы

Lj f ' J \J ? no t на любом конечном отрезке по Риману;

C) О ^ С £ при любых t/ еД/; ^ (defr/j О <с igT) , где Qp некоторые постоянные удовлетворяющие условию Ср < С <&° •

Основным результатом этого параграфа является теорема I.I. В этой теореме в предположении, что (К {J удовлетворяют условиям А), В), С) и, кроме того, выполнено условие (I), доказана сходимость по вероятности при £ о конечномерных распределений процесса г? (t) к конечномерным распределениям неоднородного марковского процесса с интенсивностями перехода (t) вида

J оо

At|(*)=Z Ъ мк

J о J

Теоремы I и 2 работы являются частными случаями теоремы

I.I.

В теореме 1.2 устанавливается сходимость вероятностей перехода с запрещениями процесса ^ (i) к вероятностям перехода с запрещениями неоднородного марковского процесса с интенсив-ностями перехода Д- (t)

Во втором параграфе первой главы рассматривается процесс

SсМ, I №) , у которого существуют марковские моменты близкие к моментам скачков ^(ч • Поведение среды £ (t) в этом процессе зависит от r^ ^ . Точное оцределение процесса (t) ^ ({)) дано в^п. I.I § 2 главы I. Основные результаты § 2 содержатся в теоремах 2.1 и 2.2.

В теореме 2.1 устанавливается сходимость конечномерных распределений процесса к конечномерным распределениям некоторого предельного марковского процесса; в теореме 2.2 доказана сходимость вероятностей перехода с запрещениями процесса (ij к аналогичным вероятностям предельного процесса.

Во второй главе рассматривается процесс ( £ 2 в котором компонента, описывающая поведение внешней среды, (t) "склеивается" из отрезков независимых реализаций геометрически эргодичных процессов ^ .(i) , где (К,i) возможные состояния процесса ( ^ (f) . Предполагается, что оо

I IPf^-W

-J1

-П m = е о

Число состояний ^ ({j конечно. Реализации £ совпадают v ^ с независимыми реализациями ^ . на тех промежутках времени, когда процесс ^ (0 находится в состоянии i , а процесс ^ (t) в конце предыдущего промежутка находился в состоянии К. . Плотность распределения времени пребывания процесса ^ ({) в состоянии 1 при фиксированной траектории . (t) имеет вид 1» имеет вид I е

Вероятность перехода (|) из t в J , при условии, что этот переход произошел в момент t равна

В этой главе исследуется предельное поведение числа , не появившихся за время £ состояний цепи Маркова г? ^ (fj , когда 1 ->оо , £. н> о и, кроме того, могут меняться параметры ^ • • (К ) и число состояний 2 (0 • Предельные теоре-J мы о числе непоявившихся состояний для обычных цепей Маркова с дискретным временем (без рассмотрения случайной среды) получены в работах П.Ф.Беляева [4*] и А.М.Зубкова [iO^j .

В § 2 вводится "вложенная цепь Маркова 5 ^ (п) ~ = (Ч } Z^M) » образованная последовательностью состояний процесса (i) ^ J (-t)j в моменты скачков

Г? • Асимптотические формулы для вероятностей перехода цепи (п) позволяют применить результаты А.М.Зубкова £ю] и установить предельные теоремы для некоторых функционалов от траекторий цепи ^ (п) . Переход от вложенной цепи к исследуемым процессам с непрерывным временем Q ({) , основан на использовании обобщения неравенства Чебышева, полученного в работе А.М.Зубкова [ 9 ] . Основным результатом второй главы является теорема 3.1 о близости распределения числа М0 л) \ непоявившихся за П скачков состояний цепи Q (п) к распределению сумм независимых индикаторов. Следствиями этой теоремы являются теоремы 3.6, 3.7, 3.8 и 3.9. В этих теоремах устанавливается асимптотическая нормальность и сходимость к распределению Пуассона числа непоявившихся состояний • В третьей главе исследуются процессы рождения и гибели в случайной среде,

В первом параграфе рассматриваются ветвящиеся процессы рождения и гибели в быстро меняющейся случайной среде 2 (0= = 2 • Состояние среды описывается геометрически эргодичной цепью Маркова со счетным множеством состояний

-п

ZIP\nhi е у> о. t=i

При фиксированной траектории £ (i) процесс t) является процессом рождения и гибели с интенсивностью размножения - - I • р (^ (к)) и интенсивностью гибели ул^ - { . р • Основным результатом параграфа является теорема I.I устанавливающая, что при Г->со £ О производящая функция сближается с производящей функцией Fft условного распределения числа частиц обычного ветвящегося процесса рождения и гибели.

Во втором параграфе третьей главы доказана теорема о сходимости к экспоненциальному распределению времени до первого достижения высокого уровня процессом рождения и гибели в быстроменяющейся случайной среде. В доказательстве использован результат А.Д.Соловьева [22~] .

По результатам, вошедшим в диссертацию, делались доклады на научном семинаре в МГУ "Вероятностные методы в технике", руководимом академиком АН УССР Б.В.Гнеденко и профессорами А.Д.Соловьевым и Ю.К.Беляевым; на Всесоюзной конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" в 1983 г. (г.Петрозаводск) .

Основное содержание диссертации опубликовано в работах к] , [i?] , [хэ] .

Автор благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Александру Дмитриевичу Соловьеву за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Анисимов В.В. Предельные теоремы дня переключающихся процессов и их применения. - Кибернетика, 1978, J£ 6, с. 1.8-118.

2. Анисимов В.В., Ситюк В.Н. Асимптотическое поведение неоднородного пуассоновского потока с ведущей функцией, зависящей от малого параметра, управляемой цепью Маркова. Кибернетика, 1979, Н, с. 83-88.

3. Бежаева З.И. Слабая сходимость матриц переходных вероятностей для условных цепей Маркова. Теория вероятн., и ее примен., 1982, т. ШП, IS I, с. 57-65.

4. Беляев П.Ф. О вероятности непоявления заданного числа исходов. Теория вероятн. и ее цримен., 1964, т. IX,3, с. 547-551.

5. Беляев Ю.К. Введение в задачи прогноза надежности изделий. (В кн. Вопросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь, 1983).

6. Дуб Дк.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

7. Зубков A.M. Неравенства дяя вероятностей переходов с запрещениями и их применения. Матем. сб., 1979, т. 109 (151), с. 491-532.

8. Зубков A.M. Цепи Маркова близкие к последовательности независимых испытаний. Матем. заметки, 1979, т. 25, № 3, с. 465-474.

9. Зубков A.M. Явные оценки в законе больших чисел для последовательностей с перемешиванием. ДАН СССР, 1981, т. 261, № 4, с. 786-787.

10. Зубков A.M. Аппроксимации зависимых случайных величин независимыми и их применения. Диссертация на соискание ученой степени докт. физ.-матем. наук. М.: MPIAH, 1981.

11. Козлов М.В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. XXI, й 4, с. 813-825.

12. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М.: Наука, 1976.

13. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1979.

14. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.

15. Соловьев А.Д. Аналитические методы расчета и оценки надежности. (В кн. Воцросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь, 1983).

16. Чистяков А.В. 0 сходимости конечномерных распределений марковского процесса, управляемого быстрым эргодическим процессом. Матем. заметки, 1980, т. 28, Л 3, с. 443-450.

17. Чистяков А.В. О сходимости конечномерных распределений медленной компоненты одной системы обслуживания. Мат ем. заметки, 1982, т. 32, J£ 2, с. 249-259.

18. Чистяков А.В. Предельные теоремы для марковских процессов в быстроменяющейся случайной среде. Матем. сб., 1983, т. 121(163), №2(6), с. 243-258.

19. Та^ег^Ь P. Snxbvbduyvu^ 104±JL Uobzcfta:xxL . "J. w

20. IVLvrzot^ki к. QtaJujynbLnji. /WWijiTRTbtjOAmjm^ ^cWtUcJ^L AIUWLte-Vv- ill, Ыаьта.1юпя22. ОюЪокгШг А.Ъ. A^m^tot-Cct>i a. kd ^ JUsbU, о>ъсЬWlv OYbcdJU^maAlcaX ^аХъ^АьсЛ curuA