Математическое моделирование двухфазной фильтрации в пластах, взаимодействующих с подошвенной водой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Гарпышев Марат Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЛАСТАХ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ПОДОШВЕННОЙ

ВОДОЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Казань - 2011

4853047

Работа выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

доцент

Мазо Александр Бенцианович Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Защита состоится 29 сентября 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 при Казанском (Приволжском) федеральном университете, расположенном по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан «_»_2011 г.

доцент

Конюхов Владимир Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Шевченко Денис Вячеславович

Ведущая организация - Учреждение Российской академии наук

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН

Учёный секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

Саченков А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В связи с истощением запасов углеводородного сырья в последние годы увеличилась доля трудно извлекаемых запасов нефти. К ним относятся, например, залежи высоковязкой нефти сложного строения, разработка которых осложняется наличием подошвенной воды и включений в виде изолированных резервуаров (линз). Применение традиционных методов нефтедобычи к подобным объектам может приводить к таким негативным результатам, как преждевременное обводнение скважин, непродуктивная (с уходом под залежь) закачка воды и т.д. Решение указанных проблем предполагает разработку и совершенствование специальных математических моделей фильтрации.

Современные методы моделирования разработки нефтяных месторождений основаны на численном решении полных трёхмерных уравнений подземной гидромеханики. Они включены в состав таких известных пакетов, как Roxar, More, Eclipse, Landmark, ТРИАС и др. Однако, наряду с очевидными достоинствами, использование данных пакетов имеет и существенные недостатки: большие затраты вычислительных ресурсов и повышенные требования к детальному заданию исходных данных по геологической структуре, фильтрационным свойствам резервуара и режиму работы скважин. Ещё один существенный недостаток - это дороговизна указанных программных продуктов, что делает практически невозможным их использование малыми предприятиями и индивидуальными исследователями. В этих условиях на первый план выходит задача построения упрощённых математических моделей и разработка соответствующих методов их численной реализации.

Цель диссертационной работы состоит в математическом описании гидродинамического взаимодействия нефтяных пластов с замкнутыми резервуарами и подстилающими водоносными горизонтами, построении и числен-

ной реализации упрощённых математических моделей двухфазной фильтрации в пластах со слабопроницаемой подошвой1.

Достижение поставленной цели требует решение следующих задач:

— Построение математических моделей гидродинамического взаимодействия пласта с замкнутыми резервуарами (линзами) и их численная реализация.

— Построение упрощённых, осреднённых по толщине, моделей для пластов со слабопроницаемой подошвой; их верификация сравнением с полной математической моделью слоистого пласта.

— Разработка численных алгоритмов и программного обеспечения решения плоских задач двухфазной фильтрации в пластах с проницаемой подошвой и их применение к мониторингу залежи массивного типа.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Предложена новая математическая модель гидродинамического взаимодействия нефтяного пласта с замкнутыми изолированными резервуарами. С её помощью объяснён аномальный характер кривых восстановления давления на ряде скважин одного из месторождений Волго-Уральской нефтегазоносной провинции.

2. Предложены две оригинальные фильтрационные модели, учитывающие вертикальные перетоки через слабопроницаемую подошву. В первой из них подошвенная вода «размазывается» по всей толщине пласта, во второй - образует тонкий водонасыщенный пограничный слой. Сравнением

1 В диссертации применительно к подстилающим водоносным горизонтам используется термин «аквифер», а под «подошвой» понимается слой плотных пород, отделяющий коллектор от аквифера.

с полной RZ-моделъю показано, что вторая двухслойная модель более адекватно описывает процессы взаимодействия коллектора с аквифе-ром.

3. Осреднённая по толщине фильтрационная модель модифицирована для учёта стока воды под залежь в окрестности нагнетательных скважин. Она применена для анализа эффективности заводнения на одном из месторождений Волго-Уральской нефтегазоносной провинции. Показано преимущество циклической закачки воды в пласт.

Достоверность результатов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях подземной гидромеханики, физически обоснованных гипотезах и упрощениях. Точность численных результатов подтверждается многовариантными тестовыми расчётами, а также качественным и количественным совпадением результатов с экспериментальными данными.

Практическая значимость. Все теоретические результаты диссертации имеют ярко выраженную практическую направленность. Методы и алгоритмы численного решения задач двухфазной фильтрации с учётом проницаемости подошвы пласта реализованы в виде комплекса программ, который применялся при моделировании разработки конкретных месторождений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2008», Казань, 1-6 декабря 2008 г.; VIII молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2009», Казань, 1-6 ноября 2009 г.; XI молодежная научная школ а-конференция «Лобачевские чтения - 2010», Казань, 1-6 октября 2010 г.; VIII Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвящённая 80-летаю со дня рождения А.Д. Ляшко, Казань, 1-5 октября 2010 г.; XVII Международ-

5

ная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС '2011), Алушта, 25-31 мая 2011 г.; Итоговые научные конференции Казанского университета, Казань, 2006-2010 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [3, 7], 3 статьи в сборниках трудов конференций [4-6] и 2 тезисов докладов [1, 2].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 143 страницах, содержит 48 рисунков, 3 таблицы. Библиография включает 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, а также дан краткий обзор литературы.

В первой главе дано математическое описание гидродинамического взаимодействия залежи высоковязкой нефти с замкнутыми резервуарами; предлагаются две математические модели, отличающиеся способом моделирования линз. Эти модели применяются для объяснения аномального (линейного) поведения кривых восстановления давления (КВД) на ряде скважин рассматриваемого месторождения.

В п. 1.1 предлагается схема пласта, которая допускает существование, помимо основного набора гидродинамически взаимосвязанных пропластков, ещё и ряда изолированных либо слабо связанных с основным коллектором резервуаров (рис. 1). В быстрых переходных процессах, происходящих при пуске и остановке скважины, либо при периодическом режиме добычи, линзы

3

* 1 1 1) 1

П..;».;.:. , ---- (2)|

1=> 1

Рис. 1. Схематическое изображение объекта (слева) и его гидродинамическая абстракция (справа). 1 - основной коллектор, 2 - линза, 3 - скважина, 4 - аквифер, 5 - нодошва.

играют демпфирующую роль, которая, в частности, препятствует быстрому восстановлению давления после остановки скважины.

Качественные различия в виде КВД для одной скважины в разные периоды разработки объясняются изменением подвижности жидкости, заполняющей линзу. До начала разработки и коллектор 1, и линза 2 заполнены преимущественно высоковязкой нефтью. В процессе разработки в линзе устанавливается пониженное давление, что приводит к фильтрации воды из расположенной ниже водонасыщенной толщи (аквифера 4) через плотные породы (подошва 5) в линзу и, в конечном итоге, - к замещению нефти водой,

вязкость которой значительно ниже.

В п. 1.2 предлагается математическая модель гидродинамического взаимодействия основного коллектора и линзы (в данном случае они приняты цилиндрическими), осреднённая по толщине Я«. В радиаяьно-симметрич-ной постановке в безразмерных переменных она включает в себя следующую систему уравнений:

дЬ

др<я

т

г дг

т) д г дг

оо,

Г.ш< г <

Я<2>;

(1) (2)

Г = r„

p(1)=p(2)=p», дрт ( f ЭрМ dpw . .

(3)

r = R( i):p(i)=0; г = дт:^=о.

or

(4)

t = 0 : p«=pW = 0. (5)

Здесь индексом (г), г = 1,2 отмечены параметры основного коллектора и линзы. Математическая модель (1) - (5) содержит шесть безразмерных параметров: 7, гШ) Я»), Я® и Параметр 7 характеризует ёмкостные свойства скважины; три параметра Я®, 77 и f определяют размер и фильтрационные свойства линзы; размер коллектора Л(1), как правило, можно положить равным бесконечности. Если фильтрационные свойства пласта и линзы одинаковы, fed' = fcW, 00) = /3(2), то ч = K-it { = Кн/К^, и влияние линзы на решение задачи будет определяться её относительными размерами - радиусом R{2), толщиной Кн = Я^/Ж1» и вязкостью Кц = м(2,/а«(1). заполняющего линзу флюида. В процессе разработки месторождения два параметра -и Кн - остаются постоянными, поэтому причиной трансформации КВД (от логарифмической к линейной) может служить лишь изменение К р.

В п. 1.3 приводятся результаты расчётов по модели (1) - (5). В частности, численно подтверждается влияние параметра К^ на вид КВД, рис. 2а. Демпфирующую роль линзы иллюстрирует рис. 26, где изображено влияние отношения вязкостей на забойное давление при периодическом режиме работы скважины. Видно, что при К у. = 1 линза слабо влияет на изменение давления pw{t). При уменьшении К^ давление на скважине не успевает следовать за изменениями дебита, что приводит к снижению амплитуды колебаний функции pw(t).

Рис. 2. Влияние отношения вязкостей на вид КВД (а) и давление на скважине в случае периодического режима работы скважины (б). Штриховой линией показан случай отсутствия линзы.

Сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными на примере одной из скважин приводится на рис. 3.

В п. 1.4 предлагается упрощённая модель гидродинамического взаимодействия залежи с замкнутым резервуаром, которая, в отличие от модели (1) - (5), не требует знания геометрии линзы. В качестве главного допущения

Рис. 3. Зависимость давления рт, атм от времени сут. Экспериментальные данные (маркеры), теоретические КВД, рассчитанные по полной модели (сплошная линия) и по упрощённой модели (штриховая линия): а - 2006 г. (Кр = 0.74), б - 2008 г. (К^ = 0.01)

упрощённой модели принимается формула, связывающая приток флюида из линзы в скважину с мгновенной средней депрессией

др<®

дп

= -*«р}-р»), (6)

в которой ф - безразмерный форм-фактор, концентрирующий в себе информацию о форме линзы, - боковая поверхность части ствола вертикальной скважины в линзе, п - внешняя нормаль к £и1, (р) - среднее давление в линзе.

В безразмерных переменных задача описывается следующей системой уравнений

г = Я : р = 0; г = 0 : р = 0; (7)

= рш=р(гш,4), (р}(0)=0. (8)

Здесь

Безразмерные коэффициенты а характеризуют линзу и вычисляются через её объём V, относительную вязкость К(1 и форм-фактор ф, который в общем случае следует рассматривать как идентификационный параметр модели. Время № является характерным для нестационарных процессов в линзе.

Для замкнутого резервуара в виде цилиндра радиуса и высотой Н^ при помощи преобразования Лапласа и разложения по малому параметру получена аналитическая формула для форм-фактора

Результаты расчёта КВД и сравнение полученных при различных Кц кривых с экспериментальными данными и расчётами по полной модели (1) -(5) приведены на рис. 3.

В п. 1.5 описывается численная реализация математических моделей взаимодействия основного коллектора и линзы. При решении задачи пьезо-проводности по обеим моделям применяется двухслойная по времени разностная схема. Системы линейных алгебраических уравнений имеют трёхдиаго-нальную матрицу и решаются методом прогонки. При аппроксимации производной в прискваженном узле используется мультипликативное выделение особенности.

Во второй главе предлагаются и исследуются упрощённые модели двухфазной фильтрации в пластах со слабопроницаемой подошвой с учётом вертикальных потоков флюида.

В п. 2.1 приводятся общие трёхмерные уравнения двухфазной фильтрации, которые положены в основу построения упрощённых математических моделей. Указаны основные допущения: пренебрежение капиллярными и гравитационными силами, несжимаемость фаз и линейная зависимость пористости от давления.

В п. 2.2 дана математическая постановка задачи двухфазной фильтрации в пласте, коллектор которого ограничен непроницаемой кровлей и слабопроницаемой подошвой, через которую фильтруется вода в аквифер и обратно.

П. 2.3 содержит вывод упрощённой двухмерной АТ-модели из трёхмерной. Упрощение достигается за счёт понижения размерности путём осреднения по толщине пласта. При этом в уравнениях для давления и насыщенности появляется член, который регулирует транспорт воды через подошву и является главной отличительной чертой представленной модели от общеизвестных моделей двухфазной фильтрации с осреднением по мощности.

11

Уравнения для средних давления в коллекторе рн, насыщенности в я и давления в аквифере ран в безразмерных переменных имеют следующий вид

Эти уравнения отличаются от общеизвестных наличием члена со скоростью потока через подошву

■шъ = а (р% - рн) <р(рн, вн), у(Рн, вя) = 1 - Црн) (1 - Ь(зн)) • (14)

Здесь а -С 1 - безразмерный параметр, характеризующий проницаемость подошвы, Н - функция Хевисайда. Функция (р в модели (14) регулирует транспорт воды через подошву: вода поступает из-под подошвы в пласт, если давление р# < 0, и из пласта под подошву при положительных давлении и водонасьнценности .ч#. Функция <р не допускает фильтрации нефти через подошву. Это предположение справедливо для высоковязких нефтей (К^ = (г-м/цо ^ 1). Для эксплуатационной скважины в коллекторе создаётся депрессия (р# < 0), скорость шь > 0, и в коллектор может поступать только вода. В окрестности нагнетательной скважины рн > 0, Щ < 0 (флюид фильтруется из коллектора под подошву). Теоретически в этом случае возможен транспорт нефти из пласта в аквифер, однако расчёты по полной RZ-модели показывают, что продвижение нефтенасыщенного фронта в подошву незначительно, и при заданных параметрах за время разработки не достигает аквифера.

Двухмерная радиальная ДЯ-модель, которая рассматривается в п. 2.4, отражает всю специфику горизонтальных и вертикальных потоков в разрезе слоисто-неоднородного пласта. Результаты численных расчётов показывают,

дрн , 1„ , т

(12)

(13)

что отклонение давления в аквифере от давления на контуре пренебрежимо мало по сравнению с изменением давления в основном коллекторе. Это позволяет в значительной степени упростить модель, перейдя от трёхслойной к однослойной, учитывая взаимодействие коллектора с аквифером с помощью новых граничных условий на подошве.

Были решены две модельные радиально-симметричные задачи: 1) приток к добывающей скважине; 2) закачка воды через нагнетательную скваг жину. Расчёты подтвердили, что в обоих случаях фильтрационные потоки в основном коллекторе значительно более интенсивны чем в аквифере и подошве. При этом в коллекторе поток жидкости направлен преимущественно горизонтально, а в слабопроницаемой подошве — вертикально (рис. 46). В задаче 1 вода, поступающая в пласт из-под подошвы образует тонкий водо-насыщенный слой, по которому движется к скважине (рис. 4а). В задаче 2 фронт вытеснения имеет форму поверхности расширяющегося цилиндра.

Двухмерная Д2-модель используется в качестве тестовой для оценки возможности применения упрощённой модели с осреднением по толщине (11)-(13). Результаты решения задачи 2 по двум моделям очень близки при любых (линейных и кубических) относительных фазовых проницаемостях (ОФП).

Я 1

5

О

I Э

. О

=1

Рис. 4. Подсчитанные поля водонасыщенности (а) и скоростей (б). На врезке показано вертикальное направление потока в подошве

Для задачи 1 удовлетворительное совпадение результатов наблюдается лишь при линейных ОФП; при кубических имеются заметные (в два и более раз) различия в значениях водонасыщенности и дебитов. Это объясняется некорректностью применения «осреднённых законов» Дарси и суммарного потока при нелинейных ОФП при существенно неоднородном распределении насыщенности по толщине коллектора.

На основании анализа фильтрационных потоков, рассчитанных по модели, в п. 2.5 предлагается принципиально новая одномерная математическая модель с тонким водо-насыщенным слоем около подошвы, схема которой изображена на рис. 5. Рис 5 Схема фильтрации

в пласте с водона-

Вода, поступающая из-под подошвы сыщенным слоем в основной коллектор, не «размазывается» по всей его толще, как в модели (11) - (13), а образует тонкий пограничный слой 0 < 2 < Н(х,у,{], по которому фильтруется в направлении добывающей скважины под действием общего для этого слоя и вышележащего коллектора градиента давления. Согласно принятой схеме пласт делится на два гидродинамически изолированных резервуара: основной коллектор к < г < Н, водонасыщенность которого определяется только потоками воды от нагнетательных скважин, и водонасыщенный слой, толщина к (х, у, £) которого зависит от потоков воды через слабопроницаемую подошву.

Данная модель определяется тремя уравнениями: для давления, насыщенности и толщины водонасыщенного слоя. В радиально-симметричной постановке в безразмерных переменных они выглядят следующим образом

дЬ, 1 д , . _ .

01 + ~тд~т ( л) = (]

Здесь Uh = -др/дг и йн = —айн - скорости фильтрации в слое и основном коллекторе; a wb = -ар<р(р, h) - скорость фильтрации через подошву. Входящая в эту формулу функция tp описана в параграфе 2.4.

Показано, что результаты решения задач 1 и 2 по модели (15) - (17) хорошо согласуются с результатами, полученными по полной двухмерной RZ-модели даже в случае нелинейных ОФП.

В п. 2.6 приводятся методы численного решения задач двухфазной фильтрации с помощью упрощённых моделей и полной модели. Пространственная дискретизация уравнений проводится на основе метода конечных объёмов (МКО). Уравнения для давления и насыщенности (а в модели (15) -(17) и для толщины водонасыщенного слоя) решаются последовательно на каждом временном слое. Давление р рассчитывается по неявной (для RZ-модели применяется метод сопряжённых градиентов с модифицированным пре-добуславливателем ILU, для двух других - метод прогонки), а насыщенность s и толщина слоя h по явной схеме («upwind»). При этом временной шаг г сеточной схемы выбирается из соображений точности решения нестационарной задачи для давления; внутри каждого временного слоя задачи переноса для я и h решаются с более мелким шагом т3 = t/Ns, Ns ~ 10 -=- 50, который обеспечивает устойчивость явных схем при выполнении условия Куранта. Для обеспечения корректности расчёта давления в окрестности скважин применяется мультипликативный метод выделения особенности.

В третьей главе предлагается и исследуется плоская (XY) математическая модель двухфазной фильтрации для расчёта полей давления и водона-сыщенности с возможностью стока воды под залежь в окрестности нагнета-

тельных скважин. Она применяется для оценки эффективности различных режимов заводнения на одном из месторождений Волго-Уральской нефтегазоносной провинции.

В п. 3.1 приводится история разработки месторождения, а также данные пьезометрии для ознакомления с проблемой, связанной с применением заводнения.

В п. 3.2 излагается обоснование использования осреднённой по толщине пласта модели, а также делается предположение о трещиноватости подошвы пласта. Плоская двухмерная математическая модель, приведённая в этом параграфе, служит обобщением упрощённой модели, рассмотренной в п. 2.3.

Уравнение для давления р (х, г/, ¿) в пласте, вскрытом системой вертикальных скважин с дебитами qk{t), к = 1..Мп, имеет вид

д ^

+ Шу (Ни) - гиь = 5 (х - хк) 3 (у - ук) Як,

Jt=i (18)

/ \ i—г к 1 kw к о

и = — crísjVp, а — —, — =--1--,

р ц flw fio

в котором s = (s — s») / (s* — s») € [0,1] - приведённая водонасыщенность, удовлетворяющая уравнению баланса воды

ds

тН (s* - .s„) — + div [#/(s)u] ~wb =

Nw

= J25{x-xk)5{y-yk)f{s)qk(ty, (19)

fc=l

rr \ _ _kw(s)____ /¿Ш

+ " a».'

Здесь скважины представлены точечными источниками (стоками) интенсивности g/c(t), их положение (хк,ук) в плане задаётся с помощью ¿-функции Дирака. kw = sA, к0 = (1 — s)x - относительные фазовые проницаемости (принимается А = 3).

Подошва имеет толщину Нь, давление на её нижней границе считается

постоянным и равно гидростатическому рг- Предполагается, что подошва пронизана сетью (вертикальных) трещин, которые способны смыкаться и размыкаться при некотором критическом давлении р* > рг- В обычных условиях, когда р < р*, трещины сомкнуты, и подошва непроницаема для жидкости. Если же в результате закачки воды в скважину давление р превысит р„ трещины начнут раскрываться, и эффективная проницаемость станет равной кь > 0. Это вызовет фильтрационный сток воды из пласта через подошву со скоростью

(20)

р-ш Нь

Функция Хевисайда П в формуле (20) показывает, что сток воды под залежь имеет место лишь при условии, что во флюиде над подошвой есть вода (в > 0), а давление выше критического р > р».

В п. 3.3 описывается методи- й| мпа ка адаптации ХУ-модели. Процесс адаптации состоит из трёх этапов, в результате определяются поле проницаемости к(х, у) и параметры подошвы кь/р-шНь, р,- На первом эта- 1 г з годы пе находятся значения проницаемо- рис б сравпеиие расчёта (сплошная линия) СТИ В призабойных зонах опорных и замеров (маркеры) забойного давления скважин на основе интерпретации

экспериментальных КВД; найденные значения интерполируются для восстановления предварительного поля проницаемости к{х, у) во всей расчётной области. На втором этапе это поле корректируется так, чтобы результаты расчёта (в частности, давления на забоях скважин) согласовывались с историей разработки месторождения в безводный период. Третий этап заключается в подборе фильтрационных параметров подошвы, определяющих скорость

стока воды под залежь при переводе ряда скважин под нагнетание (рис. 6).

В п. 3.4 приводится оценка эффективности заводнения месторождения на основе двухмерной ХУ-модели. Сравниваются стационарный и циклический режимы закачки. Показывается преимущество циклического режима.

В п. 3.5 описывается численная реализация фильтрационной модели. Для численного решения задачи применяется комбинация метода конечных элементов (неявная схема расчёта давления) и конечных объёмов (явная про-тивопотоковая схема расчёта водонасыщенности) на треугольной неструктурированной сетке. В неявной схеме расчёта давления система линейных алгебраических уравнений решается прямым методом (Ь011-разложение). Предварительно применяется алгоритм минимальной степени для перенумерации узлов сетки, что обеспечивает минимум заполнения при треугольной факторизации матрицы жесткости. Для обеспечения корректности расчёта давления в окрестности точек-скважин используется мультипликативный метод выделения особенности.

В заключении сформулированы основные результаты работы и намечены перспективы дальнейших исследований по теме диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Гарнышев М. Ю. К интерпретации аномальных кривых восстановления давления сложнопостроенных залежей // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы VII молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2008 Казань, 2008. Т. 37. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2008. С. 33-36.

2. Гарнышев М. Ю. Модели гидродинамического взаимодействия залежи высоковязкой нефти с замкнутыми резервуарами // Труды математическо-

го центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы VIII молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2009 Казань, 2009. Т. 39. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2009. С. 161-164.

3. Гарнышев М. ¡0., Егоров А. Г., Мазо А. Б. Моделирование гидродинамического взаимодействия залежи высоковязкой нефти с замкнутым резервуаром // Ученые записки КазГУ. Серия физ.-мат. науки. 2009. Т. 151, кн. 3. С. 98-107.

4. Гарнышев М. Ю., Егоров А. Г., Мазо А. Б. Модель двухфазной фильтрации в пластах с проницаемой подошвой // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского: Лекционные материалы IX Восьмой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2010 Казань, 2010. Т. 42. Казань: Каз. мат. общ-во, 2010. С. 91-99.

5. Гарнышев М. Ю., Егоров А. Г., Мазо А. Б. Упрощенные модели двухфазной фильтрации в пластах с проницаемой подошвой // Материалы VIII Всероссийской конференции "Сеточные методы для краевых задач и приложения Казань, 2010. Казань: Казанский университет, 2010. С. 157-164.

6. Гарнышев М. Ю., Мазо А. Б. Упрощенная модель фильтрации высоковязкой нефти в пласте со слабопроницаемой подошвой // Сб. тр. «XVII Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам» (ВМСППС'2011). Алушта, 25-31 мая 2011 г. С. 507-510.

7. Нефёдов Н. В., Гарнышев М. Ю., Егоров А. Г. и др. Мониторинг турней-ской залежи Мельниковского месторождения средствами пьезометрии и фильтрационного моделирования // Георесурсы. 2011. Т. 1. С. 23-26.

Подписано в печать 26.08.2011 г. Формат 60x84 716 Тираж 120 экз. Усл. печ. л. 1,25

Отпечатано в множительном центре Института истории АН РТ г. Казань, Кремль, подъезд 5 Тел. (843) 292—95—68, 292—18—09

Введение

Глава 1. Гидродинамическое взаимодействие залежи высоковязкой нефти с замкнутыми резервуарами

1.1. Наличие в месторождении гидродинамически изолированных резервуаров.

1.2. Математическая модель системы «пласт - линза».

1.3. Результаты численного расчёта.

1.4. Упрощённая модель линзы.

1.5. Численный метод решения задачи с линзами.

1.5.1. Численная реализация полной модели.

1.5.2. Численная реализация упрощённой модели с форм-фактором.

1.6. Выводы по первой главе.

Глава 2. Упрощённые модели двухфазной фильтрации в пласте со слабопроницаемой подошвой.

2.1. Трехмерные уравнения двухфазной фильтрации

2.2. Схема пласта и постановка задачи.

2.3. Модель с осреднением но толщине (ХУ-модель).

2.4. Радиально-симметричная модель {RZ-мopscль).

2.5. Модель с водонасыщенным пограничным слоем.

2.6. Численная реализация моделей фильтрации в пластах со слабопроницаемой подошвой.

2.6.1. Решение задачи по одномерной осреднёпной модели

2.6.2. Решение задачи по одномерной модели с водонаеытцен-ным слоем.

2.6.3. Метод численного решения для двухмерной iiZ-модели 87 2.7. Выводы по второй главе.

Глава 3. Применение плоской XY-модели для моделирования заводнения нефтяного месторождения.

3.1. История разработки залежи и пьезометрия скважин.

3.2. Плоская двухмерная ХУ-модель

3.3. Адаптация фильтрационной модели.

3.4. Использование модели для оценки эффективности заводнения

3.5. Численная реализация плоской ХУ-модели

3.5.1. Решение задачи для давления.

3.5.2. Решение задачи для водонасыщенности.

3.6. Выводы по третьей главе.

Актуальность работы. Процессы фильтрации и массопереиоса в коллекторах сложной структуры составляют сущность многих явлений в природе и разнообразных технологиях разработки нефтяных месторождений.

В связи с истощением запасов углеводородного сырья в последние годы увеличилась доля трудно извлекаемых запасов нефти (согласно [43, 50], 55% всех запасов). К ним относятся, например, залежи высоковязкой нефти сложного строения, разработка которых осложняется наличием подошвенной воды и включений в виде изолированных резервуаров (линз). Применение традиционных методов нефтедобычи к подобным объектам может приводить к таким негативным результатам, как преждевременное обводнение скважин, непродуктивная (с уходом под залежь) закачка воды и т.д. Решение указанных проблем предполагает разработку и совершенствование специальных математических моделей фильтрации.

Практическая значимость теоретического изучения процессов двухфазной («нефть-вода») фильтрации и построение средств математического моделирования разработки нефтяных месторождений очевидна. Соответствующие задачи, возникающие при исследовании фильтрационных явлений в нефтяных коллекторах сложного строения, давно привлекают внимание многих учёных и специалистов, что проявляется не только в количестве публикаций, но и в проведении научных симпозиумов, регулярных специальных конференций и семинаров (см., например, труды [17, 38, 44, 45, 55, 69, 79, 97, 114]).

Большинство гидродинамических моделей фильтрационных процессов в нефтяных пластах базируется на теории подземной гидродинамики, основы которой были заложены фундаментальными экспериментами А. Дарси [116], впервые обосновавшим закон, связывающий скорость фильтрации жидкости в пористой среде с градиентом давления; Р. Виккофа и Г. Ботсета [130],

Д.А. Эфроса [108], получивших кривые относительных фазовых проницае-мостей. Уравнения течения неоднородных жидкостей в достаточно общих предположениях отражены в классической модели М. Маскета и М. Мереса [124], основанной на предположении о локальном равновесии, согласно которому относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление могут быть выражены через универсальные функции, зависящие от локальной насыщенности. В одномерном случае при отсутствии капиллярных и массовых сил С. Баклеем и М. Левереттом [113] получено решение и показано, что более вязкой нефти соответствует низкая эффективность вытеснения, а также что даже при непрерывных начальных условиях может образоваться скачок насыщенности. Дальнейшее изучение одномерной двухфазной фильтрации, проведённое JI. Рапопортом и В. Лисом [126], позволило установить, что даже при сугубо приближённом учёте капиллярных сил отсутствуют скачки насыщенности на границе между нефтью и водонефтяной смесью, характерные для решения Баклея и Леверетта.

М.Г. Алишаевым [4] теория Баклея-Леверетта была обобщена на случай вытеснения вязкопластической нефти водой. При этом структурные свойства нефти учитывались введением в коэффициент относительной проницаемости нефти множителя, зависящего от градиента давления и обращающегося в нуль при малых градиентах. Для описания неравновесных эффектов, связанных с изменением структуры течения при изменении насыщенности, Г.И. Ба-ренблатт [7] и соавторы В.М. Ентов, В.М. Рыжик [8, 10] предложили ввести активные и пассивные насыщенности каждой из фаз. Такой подход позволяет объяснить и описать гистерезисные явления при двухфазном течении.

В дальнейшем развитие моделей двухфазной фильтрации нашли свое отражение в работах К.С. Басниева, И.Н. Кочиной, В.М. Максимова [12], Н.М. Дмитриева, Г.Д. Розенберга [11], А.Ф. Зазовского [35], Ю.П. Желтова [36], В.А. Данилова и P.M. Каца [32] Р.Д. Каневской [40, 41] и др. Более подробную библиографию по различным темам можно найти в книгах [111, 117] и в обзорах [92, 93, 104].

Задачи двухфазной фильтрации сводятся к решению весьма сложной системы дифференциальных уравнений относительно искомых функций давления и водонасыщенности. Формулировка в этих переменных является наиболее популярной, хотя имеются и другие трактовки, например, в переменных «скорость-насыщенность» или «давление-скорость-насыщенность» [67, 111]. Аналитические решения в одномерном случае для однородного пласта были получены Баклеем и Левереттом [113], а для неоднородного одномерного пласта и некоторых частных случаев двумерных задач - в работах С.Н. Бузинова и И.А. Чарного [14], Э.В. Скворцова [86], А.Н. Чекалина [95], Г.И. Баренблат-та [10] и др. В общем случае, представляющем практическую значимость, задачи данного типа могут быть решены только численными методами.

В приложениях, связанных с моделированием процесса разработки нефтяного месторождения, широко используются методы конечных разностей [16, 42, 96], конечных элементов [63, 64] и конечных объёмов [62, 109,119, 123, 129]. Также представляют интерес методы смешанных конечных элементов [48, 112], опорных операторов [70, 122] и контрольных объёмов [66, 121, 127] (по своей сути метод контрольных объёмов совпадает с известным в отечественной литературе интегро-интерполяционным методом [81, 83, 84]).

Современные методы моделирования разработки нефтяных месторождений основаны на численном решении полных трёхмерных уравнений подземной гидромеханики. Они включены в состав таких известных пакетов, как Roxar, More, Eclipse, Landmark, ТРИАС и др. [29, 30, 46, 52, 56, 85, 87, 101, 103]. Однако, наряду с очевидными достоинствами, использование данных пакетов имеет и существенные недостатки: большие затраты вычислительных ресурсов и повышенные требования к детальному заданию исходных данных по геологической структуре, фильтрационным свойствам резервуара и режиму работы скважин [5]. Ещё один существенный недостаток - это дороговизна указанных продуктов, что делает практически невозможным их использование малыми предприятиями и индивидуальными исследователями. В связи с этим проблема построения упрощённых математических моделей фильтрации остаётся актуальной.

Обычно упрощение полных трёхмерных уравнений достигается за счёт понижения их размерности. Если необходимо учесть слоистую неоднородность пласта, постулируют ту или иную симметрию течения в окрестности скважин и получают модель фильтрации в вертикальном сечении [34, 36, 98]. Если же больший интерес представляют карты фильтрационных характеристик по месторождению в целом, применяют осреднение по толщине пласта и приходят к плоским моделям [16, 65].

Среди многочисленных задач двухфазной фильтрации отдельное внимание заслуживает проблема взаимодействия пластов с нижележащими водоносными горизонтами через подошву. Исследования задач фильтрации в многослойных взаимосвязанных пластах в основном начались после появления работ А.Н. Мятиева [57-59] и Н.К. Гиринского [26]. Основываясь на ряде допущений, они вывели систему дифференциальных уравнений течения грунтовых вод во взаимосвязанных пластах. Допущения, положенные в основу так называемой гидравлической теории Мятиева-Гиринского, следующие: 1) границами раздела продуктивных пластов служат слабопроницаемые про-пластки; 2) давление в каждом из продуктивных слоев может быть осредне-но по высоте этого слоя; 3) переток пропорционален разности давлений; 4) различие проницаемостей продуктивных и слабопроницаемых слоев столь велико, что поток в слабопроницаемых слоях считается вертикальным; 5) запас упругой энергии жидкости в слабопроницаемых слоях мал и им можно пренебречь. В последующем появилось большое количество работ, посвящённых исследованию течений подземных вод в многослойных пластах и выполненных согласно схеме Мятиева-Гиринского. Основные результаты в этом направлении отражены в работах Толмана [128]) и П.Я. Полубариновой-Кочиной [72], а также в сборнике [73].

При тщательном анализе [106] поведения артезианских пластов выяснилась необходимость учитывать проницаемость их кровли и подошвы; в прежних гидродинамических расчётах этим пренебрегали. Конечно, в большинстве случаев проницаемость кровли и подошвы продуктивного горизонта очень мала, но при значительных понижениях давления в нём через большую поверхность кровли и подошвы в продуктивный пласт может проникнуть настолько большое количество воды, которым пренебрегать нельзя. Факт проникновения воды через кровлю именно в нефтеносный пласт (из мощного глинистого перекрывающего пласта) был отмечен в нефтяном месторождении Гуус-Крик [104].

Применительно к нефтегазовой подземной гидромеханике задача о взаимодействии пластов впервые была изучена В.Н. Щелкачевым и М.А. Гусейн-Заде [105]. В этой работе дана более совершенная модель по сравнению с ранней моделью Мятиева-Гиринского, где учитываются изменение-давления по мощности в продуктивных слоях и проницаемость кровли или подошвы пласта.

В данной диссертации предлагаются математические модели фильтрации в пластах, взаимодействующих с подошвенной водой.

Цель диссертационной работы состоит в математическом описании гидродинамического взаимодействия нефтяных пластов с замкнутыми резервуарами и подстилающими водоносными горизонтами, построении и численной реализации упрощённых математических моделей двухфазной фильтрации в пластах со слабопроницаемой подошвой1.

1 В диссертации применительно к подстилающим водоносным горизонтам используется термин «аквифер», а под «подошвой» понимается слой плотных пород, отделяющий коллектор от аквифера.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

Построение математических моделей гидродинамического взаимодействия пласта с замкнутыми резервуарами (линзами) и их численная реализация.

Построение упрощённых, осреднённых по толщине, моделей для пластов со слабопроницаемой подошвой; их верификация сравнением с полной математической моделью слоистого пласта.

Разработка численных алгоритмов и программного обеспечения решения плоских задач двухфазной фильтрации в пластах с проницаемой подошвой и их применение к мониторингу залежи массивного типа.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Предложена новая математическая модель гидродинамического взаимодействия нефтяного пласта с замкнутыми изолированными резервуарами. С её помощью объяснён аномальный характер кривых восстанов- -ления давления на ряде скважин Черёмуховского месторождения.

2. Предложены две оригинальные фильтрационные модели, учитывающие вертикальные перетоки через слабопроницаемую подошву. В первой из них подошвенная вода «размазывается» по всей толщине пласта, во второй - образует тонкий водонасыщенный пограничный слой. Сравнением с полной Л^-моделыо показано, что вторая двухслойная модель более адекватно описывает процессы взаимодействия коллектора с аквифе-ром.

3. Осреднённая по толщине фильтрационная модель модифицирована для учёта стока воды под залежь в окрестности нагнетательных скважин.

Она применена для анализа эффективности заводнения на Мельников-ском месторождении. Показано преимущество циклической закачки воды в пласт.

Практическая значимость. Все теоретические результаты диссертации имеют ярко выраженную практическую направленность. Методы и алгоритмы численного решения задач двухфазной фильтрации с учётом проницаемости подошвы пласта реализованы в виде комплексов программ, которые используются при моделировании разработки месторождений в таких компаниях, как «Дельта Ойл Проект» и НПП «Чёрный ключ».

Достоверность результатов. Предложенные в диссертации математические модели и вытекающие из них результаты основаны на общих законах и уравнениях подземной гидромеханики, физически обоснованных гипотезах и упрощениях. Точность численных результатов подтверждается многовариантными тестовыми расчётами, а также качественным и количественным совпадением результатов с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: VII молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2008», Казань, 1-6 декабря 2008 г.; VIII молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2009», Казань, 1-6 ноября 2009 г.; XI молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2010», Казань, 1-6 октября 2010 г.; VIII Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения», посвящённая 80-летию со дня рождения А.Д. Ляшко, Казань, 1-5 октября 2010 г.; XVII Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС '2011), Алушта, 25-31 мая 2011 г.; Итоговые научные конференции Казанского университета, Казань, 2006-2010 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК [21, 60], 3 статьи в сборниках трудов конференций [22-24] и 2 тезисов докладов [19, 20].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. В совместных публикациях постановка задач принадлежит научному руководителю проф. A.B. Мазо, а также проф. А.Г. Егорову, построение упрощённых моделей, численных алгоритмов и основные выводы принадлежат автору диссертации. Все экспериментальные данные, используемые в диссертации, были взяты из публикаций в открытой печати, выполненных совместно с соавторами.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа изложена на 143 страницах, содержит 48 рисунков, 3 таблицы. Библиография включает 130 наименований.

3.6. Выводы по третьей главе I

В третьей главе предложены плоская X У-модель с осреднением по толщине, которая модифицирована для учёта стока воды под залежь в окрестности нагнетательных скважин, а также методика её адаптации. С помощью 3-х этапной адаптации модели удалось достичь удовлетворительного совпадения результатов расчёта с данными истории разработки.

Приведена оценка эффективности заводнения на основе двухмерной ХУ-модели. Показано, что производительный объём закачки составляет около 38% от общего объёма закаченной воды, а общий коэффициент отбора жидкости закачкой и законтурной водой равен единице. Также приведено сравнение стационарной и циклической режимов закачки. Экономическая выгода от циклической закачки очевидна: объём внедряемого агента вдвое меньше, хотя коэффициент компенсации в обеих режимах приблизительно равен единице. Это стимулирует дальнейшее развитие теории и практики нестационарного заводнения для ППД, которое до сих пор использовалось, главным образом, для продления безводного режима работы добывающих скважин.

Заключение

Диссертация посвящена математическому моделированию фильтрационных течений в пластах, взаимодействующих с подошвенной водой.

Предложены две (полная и упрощённая) математические модели гидродинамического взаимодействия нефтяного пласта с замкнутыми изолированными резервуарами, которые различаются степенью детализации процессов перераспределения давления в линзе. С их помощью объяснён аномальный характер кривых восстановления давления на одном из месторождений Волго-Уральской нефтегазоносной провинции. Для упрощённой модели получена аналитическая формула форм-фактора в случае цилиндрической линзы.

Также предложены две новые фильтрационные модели, учитывающие вертикальные перетоки через слабопроницаемую подошву. В первой из них подошвенная вода «размазывается» по всей толщине пласта, во второй - образует тонкий пограничный слой, по которой фильтруется к добывающей скважине. Верификация с полной Л^-моделью показала, что модель со слоем более адекватно описывает процессы взаимодействия коллектора с аквифе-ром.

Осреднённая по толщине ХУ-модель модифицирована для учёта стока воды под залежь в окрестности нагнетательных скважин. Она применена для анализа эффективности заводнения на одном из месторождений.

Перспективы дальнейших исследований включают в себя обобщение всех предложенных в диссертации моделей с учётом капиллярных и гравитационных сил; по первой главе - вывод аналитической формулы форм-фактора для линз нецилиндрической формы; по второй главе - создание комплекса программ на основе ХУ-модели с тонким водонасыщенным слоем; по третьей главе - совершенствование ХУ-модели за счёт применения параллельных алгоритмов вычисления на многопроцессорной технике.

1. Абуталиев Ф. Б. Решение задач неустановившейся фильтрации. Ташкент: Фан, 1968. 209 с.

2. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М: Недра, 1982. 408 с.

3. Александров Р. А., Булыгин В. Я., и др. Исследование двухфазной фильтрации в одно- и многослойных пластах // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 32-38.

4. Алишаев М. Г. // Сб. научн. тр. Всесоюз. нефтегаз. НИИ. 1975. № 52. С. 39-51.

5. Байков В. А., Гладков А. В., Краснов В. А. и др. Математическое моделирование движения флюидов в сложно построенном нефтяном пласте // Труды школы семинара «Физика нефтяного пласта» (Новосибирск, 20-24 мая 2002 г.). Новосибирск: 2002. С. 26-31.

6. Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Учебное пособие. Новосибирск: Изд. НГТУ, 2000. 70 с. URL: http://window.edu.ru/windowcatalog/files/r41183/ nstul44.pdf (дата обращения: 11.05.2011).

7. Баренблатт Г. И. // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1971. Т. 2. С. 103-117.

8. Баренблатт Г. И., Ентов В. М. // Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1972. С. 33-43.

9. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М: Недра, 1972. 288 с.

10. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыоюик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М: Недра, 1984. 211 с.

11. Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розеиберг Г. Д. Нефтегазовая гидромеханика: Учеб. пособие для вузов. М.- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. 544 с.

12. Басниев К. С., Конина И. Н., Максимов В. М. Подземная гидромеханика: Учеб. пособие для вузов. М.: Недра, 1993. 416 с.

13. Бойко В. С. Разработка и эксплуатация нефтяных месторождений. М.: Недра, 1990. 428 с.

14. Бузинов С. Н., Чарный И. А. О движении скачков насыщенности при фильтрации двухфазной жидкости // Изв. АН СССР. 1957. Т. 7. С. 142-146.

15. Булыгин В. Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М: Недра, 1974. 230 с.

16. Булыгин Д. В., Булыгин В. Я. Геология и имитация разработки залежей нефти. М: Недра, 1996. 382 с.

17. Викторин В. Д., Лыков Н. А. Разработка нефтяных месторождений, приуроченных к карбонатным коллекторам. М.: Недра, 1980. 202 с.

18. Гарнышев М. Ю., Егоров А. Г., Мазо А. Б. Моделирование гидродинамического взаимодействия залежи высоковязкой нефти с замкнутым резервуаром // Ученые записки КазГУ. Серия физ.-мат. науки. 2009. Т. 151, кн. 3. С. 98-107.

19. Гиматудинов Ш. К. Справочная книга по добыче нефти. М.: Недра, 1974. 704 с.

20. Гиринский Н. К. Некоторые вопросы динамики подземных вод // Гидрогеология и инженерная геология. М.: Госгеолиздат, 1947. № 9. 102 с.

21. Голубев Г. В., Тумашев Г. Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1972. 196 с.

22. Голф-Paxm Т. Д. Основы нефтепромысловой геологии и разработки трещиноватых коллекторов: Пер. с англ. М: Недра, 1986. 608 с.

23. Грищенко М. А. Современные подходы к моделированию нефтенасы-щенности сложнопостроенных залежей с целью создания гидродинамических моделей // Геология нефти и газа. 2008. Т. 5. С. 45-51.

24. Гумерский X. X., Шахвердиев А. X., Максимов М. М. и др. Совместное использование программных комплексов LAURA и ТРИАС для создания постоянно действующих геолого-технических моделей // Нефтяное хозяйство. 2002. Т. 10. С. 56-59.

25. Гусейн-Заде М. А. Особенности движения жидкости в неоднородном пласте. М.: Недра, 1965. 276 с.

26. Данилов В. JI., Кац Р. М. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. М.: Недра, 1980. 264 с.

27. Джордж А., Лю Д. Численное решение больших разреженных систем. М.: Мир, 1984. 334 с.

28. Дияшев Р. Н., Конюхов В. М., Михайлов В. В., Чекалин А. Н. Численное моделирование фильтрации неньютоновской нефти в трещиновато-пористом пласте с подошвенной водой // Ученые записки КазГУ. Серия физ.-мат. науки. 2011. Принята к печати.

29. Ентов В. М., Зазовский А. Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989. 232 с.

30. Желтое Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта. М: Недра, 1975. 210 с.

31. Желтое Ю. 77. Разработка нефтяных месторождений: Учеб. для вузов, 2-е изд., перераб. и доп. М: Недра, 1998. 365 с.

32. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. 288 с.

33. Каневская Р. Д. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 1999. 212 с.

34. Писсанецки С. Технология разряженных матриц. М.: Мир, 1988. 412 с.

35. Полубаринова-Конина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: ГИТТЛ, 1952. 676 с.

36. Полу баринова-Кочина П. Я. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917 1967). М.: Недра, 1969. 547 с.

37. Попов А. И., Головкина H. Н., Исмаков Р. А. Определение коэффициента бокового распора пористых горных пород по промысловым данным // Нефтегазовое дело. 2005. Т. 2. URL: http://www.ogbus.ru/20052. shtml (дата обращения: 16.12.2010).

38. Пыхачев Г. В., Исаев Р. Г. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1972. 360 с.

39. Ржевский В. ВНовик Г. Я. Основы физики горных пород. М: Недра, 1984. 359 с.

40. Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические специальные функции. Преобразование Лапласа. Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов» под ред. В.В. Аб-гаряна. М.: Наука, 1973. 336 с.

41. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

42. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 269 с.

43. Самарский А. А. Теория разностных схем 3-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 616 с.

44. Самарский А. А., Гулии А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 432 с.

45. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978. 592 с.

46. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М: Глав. ред. физ.-мамем. лит-ры изд-ва «Наука», 1975. 352 с.

47. Саркисов Г., Макарова Е., Рыбников А. Новые технологии компьютерного моделирования крупных и гигантских месторождений // Нефтяное хозяйство. 2004. Т. 6. С. 101-104.

48. Скворцов Э. В. Одномерная задача о взаимном вытеснении двух неньютоновских жидкостей // Ученые записки Казан, гос. ун-та. ' 1969. Т. 129, № 2. С. 25-30.

49. Славкин В. С. Геология нефти и газа и компьютерная революция конца XX века // Геология нефти и газа. 2007. Т. 2. С. 90-96.

50. Уолкот Д. Разработка и управление месторождениями при заводнении: Методы проектирования, осуществления и мониторинга, позволяющие оптимизировать темпы добычи и освоения запасов. М., 2001. 144 с.

51. Фархуллин Р. Г. Комплекс промысловых исследований по контролю за выроботкой запасов нефти. Казань: Татполиграфъ, 2002. 304 с.

52. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

53. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: в 2-х томах. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. Т. 1. 504 с.

54. Шагиев Р. Г. Исследование скважин по КВД. М.: Наука, 1998. 304 с.

55. Шаяхметов Р. А., Абабков К. В. Учет локальной неоднородности при геологическом моделировании многозалежных пластов // Научно-технический вестник ОАО «НК «Роснефть». 2007. С. 32-34.

56. Шевченко Д. В. Применение многосеточных методов для расчёта давления в нефтяном пласте // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, Ж 8. С. 113-118.

57. Шевченко Д. В., Вулыгин Д. В., Назарова С. И. Модель фильтрации нефти и воды в неоднородных пластах // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ. №2007612385. 07.06.2007.

58. Щелкачев В. Н. Отечественная и мировая нефтедобыча. История развития, современное состояние и прогнозы. М.: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2001. 128 с.

59. Щелкачев В. Н., Гусейн-Заде М. А. Влияние проницаемости кровли и подошвы пласта на движение в нем жидкости // Нефтяное хозяйство. 1953. Т. 12. С. 22-29.

60. Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б. Подземная гидравлика. M.-JL: Гостоптех-издат, 1949. 524 с.

61. Эрлагер мл. Р. Гидродинамические методы исследования скважин. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 512 с.

62. Эфрос Д. А. Исследование фильтрации неоднородных систем. JL: Госто-птехиздат, 1963. 350 с.

63. Aavatsmark I., Eigestad G., Mallison В., Nordbotten J. B. A compact multipoint flux approximation method with improved robustness // Num. Meth. for Part. Diff. Eqs. 2008. Vol. 24, no. 5. Pp. 1329-1360.

64. Barrett R., Berry M., Chan T. F. et al. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. Philadelphia, PA: SIAM, 1994.

65. Bastian P. Numerical Computation of Multiphase Flows in Porous Media. Habilitationsschrift, 1999. 222 pp.

66. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods // Num. Meth. for Part. Diff. Eqs. New York:,Springer-Verlag, 1991.

67. Buckley S., Leverett M. C. Mechanism of fluid displacement in sands 11 Trans. AIME. 1942. Vol. 146. Pp. 107-115.

68. Dake L. P. Fundamentals of reservoir engineering (9th ed.). P.O. Box 211, 1000 AE Amsterdam, The Netherlands: Elsevier, 1986. 710 pp. ISBN: 9780444416254. URL: http://books.google.ru/books?id= pV-cwNGXSf 1С (дата обращения: 13.05.2011).

69. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris: Dalmont, 1856.

70. Ertekin T., Abou-Kassem J. H., King G. R. Basic Applied Reservoir Simulation. Richardson, Texas, 2001. Vol. 7 of SPE Textbook Series. 406 pp.

71. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix computations (3rd ed.). Baltimore, MD, USA: Johns Hopkins University Press, 1996. ISBN: 0-8018-5414-8.

72. Guardone A., Vigevano L. Finite element/volume solution to axisymmetric conservation laws 11 J. Comp. Phys. 2007. Vol. 224. Pp. 489-518.

73. Hearn C. L. Simulation of Stratified Waterflooding by Pseudo Relative Permeability Curves // JPT. 1971. Vol. 23, no. 7. Pp. 805-813.

74. Li B., Chen Z., Huan G. Control volume function approximation methods and their applications to modeling porous media flow // Advances in Water Resources. 2003. Vol. 23. Pp. 435-444.

75. Lipnikov K., Gyrya V. High-order mimetic finite difference method for diffusion problem on polygonal meshes //J. Comp. Phys. 2008. Vol. 227. Pp. 8841-8854.

76. Lomax H., Pulliam T. H., Zingg D. W. Fundamentals of computational fluid dynamics. Scientific computation. London: Springer, 2001. 249 pp.

77. Muskat M., Meres M. W. The Flow of heterogeneous fluids through porous media // Physics. 1936. Vol. 7, no. 9. Pp. 346-363.

78. Nocedal J., Wright S. J. Numerical Optimization. 175 Fifth Avenue, New York, NY 10010, USA: Springer-Verlag New York, Inc., 1999. 651 pp.

79. Rapoport L. A., Leas W. J. Properties of Linear Waterfloods // Petrol. Trans. AIME. 1953. Vol. 198. Pp. 139-148.

80. Taniguchi N., Kobayashi T. Finite volume method on the unstructured grid system // Computers Fluids. 1991. Vol. 19, no. 3/4. Pp. 287-295.

81. Tolman C. F. Ground Water. New York: McGraw-Hill, 1937. 593 c.

82. Versteeg H. K., Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. London: Longman Scientific & Technical, 1995. 267 pp. ISBN: 9780582218840.

83. Wyckoff R. D., Botset H. F. The Flow of Gas-Liquid Mixtures through Unconsolidated Sands // Physics. 1936. Vol. 7, no. 9. Pp. 325-339.