Метод блочной аппроксимации производной для эволюционных уравнений параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА ПЕРВАЯ. МЕТОД БЛОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Построение разностных задач методом блочной аппроксимации производной

§ 2. Аппроксимация

§ 3. Разрешимость разностных задач с постоянным оператором. Формулы для решений

§ 4. Устойчивость в C(t) разностных эадач с постоянным оператором

§ 5. Коэрцитивная разрешимость в Со (разностных задач с постоянным оператором

§ 6. Решение разностных задач с переменным оператором

§ 7. Устойчивость разностных эадач с переменным оператором в С(Т)

§ 8. Коэрцитивная разрешимость разностных задач с переменным оператором

§ 9. Сходимость приближённых решений к точному

ГЛАВА ВТОРАЯ. ОБОНЦЁННЫЙ КЛАСС РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ С БЛОЧНОЙ

АППРОКСИМАЦИЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

§ 10. Описание класса. Аппроксимация

§ 11. Формулы для решений разностных задач обобщённого класса с постоянным оператором

§ 12. Структура подкласса методов с фиксированным размером блока

§ 13. Общие теоремы об устойчивости, коэрцитивной разрешимости и сходимости обобщённых методов с блочной аппроксимацией производной

§ 14. Разностные задачи, основанные на аппроксимациях

Паде экспоненты

§ 15. Разностные задачи, основанные на дробях со знаменателями вида С 2 + 35. ) , 32. > О.

Целью диссертационной работы является исследование устойчивости и коэрцитивной разрешимости одного класса разностных методов ( дискретизации по времени ) для эволюционных уравнений параболического типа, содержащего методы любого наперёд заданного порядка аппроксимации.

Разностным методам для параболических уравнений посвящена обширная литература ( см., например, соответствующие главы книг [П-т и имеющуюся там библиографию ). В большинстве работ при доказательстве устойчивости разностные схемы трактуются как операторные уравнения в гильбертовом пространстве, и исследование, как правило, опирается на симметричность операторных коэффициентов. Это приводит к La -оценкам устойчивости.

Несомненный интерес представляет исследование устойчивости в С -норме. В настоящее время существует несколько подходов к такому исследованию. Исторически первый иэ них основан на использовании принципа максимума ( см., например, , ЕВ] ) и имеет то преимущество, что одинаково применим к задачам любой размерности как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Однако класс разностных ( и дифференциальных ) задач, для которых справедлив принцип максимума, весьма узок.

Второй подход основан на построении и оценке функций Грина разностных эадач. На этом пути в работах [9]-[20] получены результаты об устойчивости в С. классов разностных задач, аппроксимирующих задачу Коши и некоторые краевые эадачи с постоянными коэффициентами и одним пространственным переменным.

Наконец, третий подход связан с трактовкой дифференциальных и разностных вадач как операторных уравнений в банаховых пространствах ( см. [21] и имеющуюся там библиографию ). В банаховом пространстве нет понятия симметричности, и исследование опирается на позитивность ( см. [22] ) операторных коэффициентов - свойство, выражаемое в терминах их резольвент. Изучение разностных схем для параболических уравнений при этом разбивается на два этапа. Сначала рассматривается временная дискретизация абстрактного дифференциального уравнения в банаховом пространстве ( "метод прямых" ) и устанавливаются её свойства ( устойчивость, коэрцитивная разрешимость и т. п. ). Затем рассматривается полностью дискретная разностная схема для параболического уравнения, которая трактуется как метод прямых для дифференциального уравнения в банаховом пространстве сеточных функций ( с сеткой по пространственным переменным ). Переход к приложениям обеспечивается результатами о позитивности конкретных дифференциальных и разностных эллиптических операторов. К этому направлению относится и настоящая работа, причём усилия автора направлены, в основном, на реализацию первого этапа указанного общего плана.

Коэрцитивные оценки для решений разностных вадач полезны в силу целого ряда причин, среди которых нужно особо выделить следующие. Во-первых, они сами по себе означают устойчивость задач в более сильных нормах ( с разностными отношениями ). Во-вторых, они приводят ( см., например, ) к двусторонним оценкам погрешности разностного решения через погрешность аппроксимации дифференциальной задачи разностной. В-третьих, коэрцитивные оценки, установленные для задачи с постоянным оператором, позволяют сравнительно легко перейти к исследованию аналогичной задачи с переменным оператором, что, в частности, и продемонстрировано в настоящей диссертации.

Коэрцитивных оценок в С -норме для разностных параболических уравнений быть не может, т. к. их нет в дифференциальном

- б случае. Простой анализ показывает, что вообще коэрцитивной разрешимости разностных задач можно ожидать лишь в пространствах - сеточных аналогах функциональных пространств, в которых коэрцитивно разрешима аппроксимируемая дифференциальная задача. В [253 было установлено, что неравенства коэрцитив-ности для абстрактных параболических уравнений имеют место в пространствах Со , 0<с(< i , с весовыми гёльдеровыми нормами ( более сильными, чем С -норма ). Затем в [2,63 этот результат был перенесён на простейшую неявную разностную схему ( первого порядка аппроксимации ) для таких уравнений, а в [2^3 , [28»3 - и на разностную схему Кранка-Николсон ( второго порядка аппроксимации ). В [2^3 при помощи теории аналитических полугрупп и теории интерполяции линейных операторов показано, что для этих двух схем для многомерных параболических уравнений справедливы неравенства коэрцитивности в С -норме по временной переменной, если по пространственным переменным использовать обычные ( не весовые ) нормы Гёльдера. Отметим, что для простейшей неявной схемы неравенства коэрцитивности в случае многомерных параболических уравнений известны и в других нормах : в - [293-[2>i3 , в Lp - [52] , [55],IbUI .

В рамках указанного выше общего подхода развивалась и теория разностных схем высоких ( выше второго ) порядков аппроксимации по временной переменной, см. [2>5Л~ЕЗ>83 . В частности, в работе L3&] на основе приближений Паде экспоненты построены одношаговые разностные схемы произвольного порядка аппроксимации для абстрактной задачи Коши с постоянным сильно позитивным оператором, устойчивые в равномерной норме. Однако структура этих схем такова, что неясна сама постановка вопроса об их коэрцитивной разрешимости : они получены не аппроксимацией дифференциального уравнения, а аппроксимацией формулы для точного решения этого уравнения.

В настоящей работе для построения разностных схем произвольного наперёд заданного порядка аппроксимации для параболических уравнений используется метод блочной аппроксимации производной, предложенный и исследованный для случая обыкновенных дифференциальных уравнений в L2>9] , [АОД . Схемы, полученные этим методом, повторяют структуру исходного дифференциального уравнения и в то же время, как выяснилось, принципиально сводятся к одношаговым ( на более крупной сетке ). Поэтому к их исследованию могут быть применены идеи и методы, применявшиеся ранее, например, к простейшей неявной схеме.

При этом очень полезным оказалось использование введённого в [Ai 3 понятия спектрального угла позитивного оператора. Автором диссертации было замечено, что в симметричных относительно положительной полуоси секторах достаточно малого раствора в комплексной плоскости "разрешающие" дробно-рациональные функции блочных разностных методов ведут себя так же, как разрешающая функция (.1 + 2 )i простейшей неявной схемы. Это замечание позволило фактически свести основные трудности исследования блочных методов к аналогичным ( но уже прёодолённым ранее ) для простейшей неявной схемы.

Отметим ещё, что другие способы построения устойчивых разностных методов произвольного наперёд заданного порядка аппроксимации для параболических уравнений изучались многими авторами. В частности, подход, основанный на использовании одношаго-вых методов, развивался в , а на использовании классических линейных многошаговых методов - в L А ^ 3 - L50Д . Близкие к рассматриваемым в диссертации блочные методы были предложены в [513-L5G] . Однако указанные работы содержат лишь результаты об устойчивости разностных схем в С -норме по временной переменной для случая уравнения с постоянным самосопряжённым положительно определённым оператором в гильбертовом пространстве.

Перейдём теперь к более подробному изложению полученных в диссертации результатов. Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению класса разностных методов для абстрактной задачи Коши

U'U) + A(i)U(±)=l(h , , U(0)= ф , (1) в банаховом пространстве EL с переменным неограниченным операторным коэффициентом A("t) , построенных методом блочной аппроксимации производной с минимальной ( при заданном порядке аппроксимации ) длиной шаблона.

В § 1 описывается процесс замены дифференциальной задачи (1) разностной задачей к J где К - произвольное фиксированное натуральное число,

VNK - шаг равномерной сетки, a o6s,j(K) - однозначно определяемые параметром К числовые коэффициенты. Такие разностные задачи получаются в результате циклического использования для эамены ЯЛ (b) в узлах сетки К различных разностных выражений К-го порядка аппроксимации. Отметим, что указанный способ построения разностных задач блочной структуры не является единственным. В настоящее время в литературе имеется много работ, в которых предлагаются различные способы конструирования блочных разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений ( см., например,[5?]-[61],[55]), причём классы разностных методов, предлагаемые разными авторами, обычно пересекаются, но не совпадают. В диссертации используется подход, предложенный в ES9 3 , [АО] .

В § 2 вводятся пространства сеточных функций С (Т ) (с равномерной нормой ) и

СоСК/Г) ( с весовой гёльдеровой нормой ) и доказывается, что при условии достаточной близости данных и эадача (2) аппроксимирует задачу (1) на её достаточно гладком решении Xt(i) с порядком в нормах С (ГС) и Со (К/г > .

Следующие три параграфа посвящены изучению разностных задач (2) с постоянным оператором

В § 3 исследуется вопрос о разрешимости системы разностных уравнений (2) при фиксированном % и произвольных ^ и Эта система является неоднородной в том смысле, что содержит уравнения различного вида. Поэтому исследование её разрешимости и получение формул для решений не может быть проведено известным методом характеристических функций. Это потребовало создания специальной техники получения разрешающих формул для блочных методов, основная идея которой заключается в сведении системы уравнений в каждом блоке к одному дифференциальному уравнению первого порядка в классе многочленов. При помощи указанной техники выводятся формулы для решений разностных эадач (2), из которых видно, что свойства устойчивости этих задач связаны с поведением некоторых дробно-рациональных функций ТЧК^) в комплексной плоскости.

В § 4 вводятся определения спектрального угла \|АК) задачи (2) ( через свойства функции ТЧ2:) ), позитивного оператора А и его спектрального угла V|/ (А) . Доказывается, что для любого К справедлива оценка Ч^К) , ll устанавливаются оценки функции П~ЧК,£) в комплексной плоскости вида О )

U+^Cy)^!"1, , с любым 6 С0, vjyСК)) . Затем при помощи этих оценок и приёма, заимствованного иэ [35Д , доказывается устойчивость в CCt) разностной задачи (2) при условии ^(А)* .

В § 5 при том же условии и при помощи тех же оценок доказывается коэрцитивная разрешимость эадачи (2) в пространствах C0(K/f) , Q<cL< L . Здесь используется методика получения коэрцитивных оценок, описанная в [ 2, i 1

В §§ 6-8 результаты, полученные в §§ 3-5 для случая постоянного оператора, обобщаются на случай переменного оператора дш гладко зависящего от t . Именно, доказывается, что если при каждом "fc t Loa i 3 оператор АН) позитивен и ty^K) и если операторная функция АШ удовлетворяет условию Гёльдера

II( AIU-A(^)) (\~\{г) ||Е^< М М/, 0Л,£г* 1, с некоторым показателем t то разностная задача (2) однозначно разрешима при достаточно малых

О и любых и Ср^ , устойчива в С(Х) и коэрцитивно разрешима в пространствах СоСК/Г) с . Эти результаты устанавливаются методом "замороженных" коэффициентов.

В § 9, последнем в первой главе, доказывается теорема о сходимости решений IJL^ задач (2) к решению lAii) задачи (1) при f О . Если решение 'U.C't) достаточно гладкое, а данные и задач (1) и (2) достаточно близки, то гг сходится к U с порядком 0(тк) в С№) и в СоСКГЕГ) , причём имеет место сходимость с тем же порядком разностной производной функции чХ к производной 1х! точного решения.

Вторая глава посвящена исследованию обобщённого класса разностных методов с блочной аппроксимацией производной для задачи Коши (1). Разностные задачи этого класса записываются в виде

К г£

1 IZoCsjU^+С*, <З> j и отличаются от (2) более слабыми условиями на коэффициенты оС s>j .

В § 10 приводятся эти условия и показывается, что при каждом К разностные эадачи обобщённого класса образуют К -параметрическое семейство. Кавдой разностной задаче ставится в соответствие число К ( размер блока ) и вектор f-1 = {f^sis^i • Заданием К и ^ коэффициенты её oCs>j -= ctsjjCK,fjO определяются однозначно, и соответствующая разностная задача называется -задачей. Разностные методы, рассмотренные в первой главе, содержатся в обобщённом классе, для них fu - О . Устанавливается теорема об аппроксимации эадачи (1) любой (К3М) -задачей с порядком

Кг*"1) I в нормах С(Т) и Со С К,Т) ,

В § 11 проводится исследование разрешимости разностных задач (3) с постоянным оператором, аналогичное проведённому в § 3 для случая = О . Упомянутая выше специальная техника построения разрешающих формул оказывается применимой и в общем случае, однако система разностных уравнений в блоке сводится к дифференциальному уравнению уже не первого, а ИС -го порядка в классе многочленов. Свойства устойчивости (К,|-0 -задачи связаны с поведением в комплексной плоскости дробно-рациональной функции ^Т( К> р» j 2 ) .

В § 12 изучается алгебраическая структура обобщённого класса. Доказывается, презде всего, теорема о том, что для любого многочлена Rt^) степени К со старшим коэффициентом, равным единице, существует единственная разностная задача иэ обобщённого класса, такая что знаменатель функции T(K>p>£) совпадает с . ( Отметим, что аналогичное утвервдение для несколько другого класса разностных схем установлено в L553 ). Затем этот результат дополняется следующим : для любой дробно-рациональной аппроксимации ( в нуле ) ЕС^) функции £ ^ не менее чем К -го порядка со знаменателем степени К , не обращающимся в нуль в нуле, и числителем степени не выше К-1 существует единственная разностная эадача из обобщённого класса, для которой

ЕСКё) .

В § 13 вводится определение спектрального угла разностной задачи (. К", ^ > из обобщённого класса и формулируются общие теоремы о разрешимости, устойчивости, коэрцитивной разрешимости и сходимости таких задач. Эти теоремы отличаются от соответствующих теорем первой главы ( о разностных задачах (2) ) тем, что условие заменяется условием Доказательства их вполне аналогичны проведённым в первой главе для случая ^ = О , а потому опускаются.

В следующих двух параграфах обосновывается целесообразность введения обобщённого класса. Именно, при помощи результатов § 12 строятся разностные задачи, имеющие произвольный наперёд заданный порядок аппроксимации и обладающие некоторыми преимуществами по сравнению с задачами с = О

В § 14 на основе аппроксимаций Паде экспоненты строятся методы с )='% . Для них утверждения об устойчивости и коэрцитивной разрешимости задач с сильно позитивными операторами справедливы без ограничений на спектральные углы этих операторов.

В § 15 строятся методы с ify(К^ъъУ/еЬк, для которых знаменатели функций ТЧк^.г-) имеют наиболее простой вид -(г + Э^) , где Эб > О - константа. Эти методы хороши тем, что, например, в случае задачи (1) с постоянным оператором

A(t> «А их реализация требует, как самой сложной операции, лишь вычисления степеней резольвенты оператора А в одной вещественной точке, в то время как в общем случае ( при других знаменателях ) необходимо вычисление произведений резольвент, взятых в различных и, вообще говоря, комплексных точках.

Последний параграф, § 16, посвящён приложению описанных выше абстрактных результатов к дифференциальным уравнениям с частными производными параболического типа. В нём приводятся некоторые известные результаты о позитивности эллиптических дифференциальных и аппроксимирующих их разностных операторов, и на основе этих результатов указываются способы построения заведомо устойчивых и коэрцитивно разрешимых методов прямых и полностью дискретных разностных методов для задачи Коши и первой краевой задачи для линейных параболических уравнений.

Различные результаты и разделы диссертации докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям с частными производными ( Новосибирск, октябрь 1983 г. ), на Ш конференции молодых учёных АН ТССР ( Ашхабад, ноябрь 1983 г. ), на научной конференции Латвийского госуниверситета ( Рига, март 1982 г. ), в ХУП Воронежской эимней математической школе ( Воронеж, январь-февраль 1983 г. ), на научных сессиях Воронежского госуниверситета ( 1982 - 1984 гг. ), на семинаре по вычислительной математике в Тартусском госуниверситете и на семинарах по дифференциальным уравнениям в Воронежском госуниверситете и в Воронежском лесотехническом институте.

Основные результаты опубликованы в работах СвЕЗ-СвЯИ.

Нумерация формул, теорем, лемм и т. п. в диссертации -двойная. Первое число означает номер параграфа, а второе -номер формулы, теоремы, леммы и т. п. в этом параграфе.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своим руководителям профессору Павлу Евсеевичу Соболевскому и доценту Николаю Николаевичу Гудовичу за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Рябенький B.C., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1956. - 172 с.

2. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, I960. - 324 с.

3. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд. ин. лит., 1963. - 488 с.

4. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 420 с.

5. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. - 400 с.

6. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. 416 с.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

8. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 536 с.

9. Сердюкова С.И. Исследование устойчивости в О явных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами, устойчивых в . ЖВМ и МФ, 1963, т.З, №2, с.365-367.

10. Сердюкова С.И. Равномерная устойчивость по начальным данным шеститочечной симметричной схемы для уравнения теплопроводности. В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964, с.212-216.

11. Сердюкова С.И. Об устойчивости в О линейных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами. ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №3, с.477-486.

12. Сердюкова С.И. Равномерная устойчивость шеститочечной раэ-ностной схемы повышенного порядка точности для уравнения теплопроводности. ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №1, с.214-217.

13. Сердюкова С.И. Об устойчивости в равномерной метрике систем разностных уравнений. ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №3,с.497-509.

14. Федорюк М.В. Об устойчивости в С эадачи Коши для разностных уравнений и уравнений с частными производными. -ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №3, с.510-540.

15. Aronson D.G. On the correctness of partial differential operators and von Neumann condition for stability of finite difference operators. Proc. Amer. Math. Soc., 1963, v. 14, n 6, p.948-955.

16. Thomee V. Stability of difference schemes in the maximum norm.- J.Differential Equations, 1965, v.1, E3,pp.273 292.

17. Thomee V. On the maximum-norm stable difference operators.- Numerical solution of partial differential equations.Proc. Int. Symp., N.Y., Acad. Press, 1966, p.125-151

18. Widlund O.B. Stability of parabolic difference schemes in the maximum norm. Numer. Math., 1966, v.8, N2,p.186-202.

19. Соболевский П.Е. Теория полугрупп и устойчивость разностных схем. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. Новосибирск : Наука, Сибирское отд-ние, 1977,с.304-337.

20. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

21. Примакова С.И. О быстроте сходимости метода сеток для уравнений параболического типа. Тр. матем. ф-та Воронеж, ун-та, вып.З. Воронеж, 1972, с.42-47.

22. Ашыралыев А.О. Исследование разностных схем для параболических уравнений в пространствах гладких функций. Дис. . канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1983. - 148 с.

23. Соболевский П.Е. Неравенства коэрцитивности для абстрактных параболических уравнений. ДАН СССР, 1964, т.157, *1, с.52-55.

24. Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости разностных уравнений. ДАН СССР, 1971, т.201, №5, с.1063-1066.

25. Ашыралыев А.О., Соболевский П.Е. Корректная разрешимость разностной схемы Кранка-Николсон для параболических уравнений. Изв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. н., 1981, №6, с.10-16.

26. Ашыралыев А.О., Соболевский П.Е. О разностной схеме Кран-ка-Николсон для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с зависящим от времени оператором. Ивв. АН ТССР. Сер. физ.-техн., хим. и геол. н., 1982, №3, с.3-9.

27. Андреев В.Б. Об устойчивости по начальным данным разностных схем для параболических уравнений. ЖВМ и Ш, 1971, т.11, №6, с.1462-1475.

28. Тиунчик М.Ф. 0 разностных методах приближённого решения квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка. : Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. -Воронеж, 1972. 9 с.

29. Гриф А.Г. Об устойчивости в \л/;>'1 разностных схем для параболических уравнений. В кн.: Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений. М.: Моск. ун-т, 1973, с.88-112.

30. Ионкин Н.И., Мокин Ю.И. О параболичности разностных схем. -ЖВМ и МФ, 1974, т.14, №2, с.402-417.

31. Поличка А.Е., Соболевский П.Е. Новые Lp-оценки для разностных параболических задач. ЖВМ и МФ, 1976, т.16, №5, с.1155-1163.

32. Поличка А.Е., Соболевский П.Е. О методе Роте приближённого решения эадачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с переменным неограниченным оператором. Дифференциальные уравнения, 1976, т.12, №9, с.1693-1704.

33. Алибеков Х.А., Соболевский П.Е.Об устойчивости разностных схем для параболических уравнений. ДАН СССР, 1977, т.232, №4, с.737-740.

34. Алибеков Х.А., Соболевский П.Е. Об устойчивости и сходимости разностных схем высокого порядка аппроксимации для параболических уравнений в частных производных. Укр. мат. ж., 1980, т.32, №3, с.291-300.

35. Соболевский П.Е., Хоанг Ван Лай. Разностные схемы оптимального типа приближённого решения параболических уравненийбанахов случай ). Укр. мат. ж., 1981, т.33, №1, с.39-46.

36. Алибеков Х.А., Соболевский П.Е. Об одном способе построения схем класса Паде и их исследовании в С -норме. Воронеж, 1982. - 39 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп.в ВИНИТИ 6 сентября 1982, №4737-82.

37. Гудович Н.Н. Устойчивость разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения и их применение ( Вильнюс ), 1975, вып.11, с.9-33.

38. Гудович Н.Н. О новом методе построения устойчивых разностных схем любого наперёд заданного порядка аппроксимации для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -ЖВМ и Ш, 1975, т.15, №4, с.931-945.

39. Соболевский П.Е. Дробные степени коэрцитивно позитивных сумм операторов. Сиб. мат. ж., 1977, т.18, №3, с.637-657.

40. Hersh В., Kato Т. High.-ас с иг ас у stable difference schemes for well-posed initial-value problems. SIAM J. Numer. Anal., 1979, v.16, N4, p.670-682.

41. Baker G.A., Bramble J.H., Thomee V. Single step Galerkin approximations for parabolic problems. Math. Comput., 1977, v.31, n140, p.818-848.

42. Le Boux M.-H. Semidiscretization in time for parabolic problems. Math. Comput., 1979, v.33, N147, p.919-931.

43. Bramble J.H., Sammcn P.H. Efficient higher order single step methods for parabolic problems. Part I. Math. Comput., 1980, v.35, N151, p.655-671.

44. Brenner P., Crouzeix M., Thomee 7. Single step methods for inhomogeneous linear differential equations in Banach space. BAIBO. Anal. Humer., 1982, v.16, H1, p.5-26.

45. Zlamal M. Finite element multistep discretizations of parabolic boundary value problems. Math. Comput., 1975, v.29, N 130, p.350-359

46. Welk U.v. Stabile Mehrschichtverfahren fur parabolischeEvolutionsgleichungen. Numer. Math., 1977, v.29, N1, p.65-82.

47. Le Boux M.-N. Semi-discretisation en temps pour les equations d'evolution paraboliques lorsque l'operateur depend du temps. BAIBO. Anal. Numer., 1979, v.15, N2,p.119-137

48. Crouzeix M. Une methode multipas implicite-explicite pour 1'approximation des equations d'evolution paraboliques. -Humer. Math., 1980, v.35, N3, p.257-276.

49. Prager M. , Taufer J., Vitasek E. Over implicit methods for the solution of evolution problems. Acta Univ. Carol. Math, et Phys., 1974, v.15, N1-2, p.125-133.

50. Vitasek E., Taufer J. Numerical solution of evolution problems in Banach spaces. In s Top. Humer. Anal. 2-Proc. Eoyal Irish Acad. Conf. Numer. Anal., 1974-' London - N.Y., 1975, p.243-251.

51. Витасек Э., Тауфер И. Численное решение эволюционных задач. В кн.: Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, вып.1. Новосибирск : ВЦ СО АН СССР, 1977,с.21-29.

52. Taufer J., Vitasek Е. A-stability and numerical solution of abstract differential equations. Lect. Notes Math., 1979, N703, p.415-423

53. Vitasek E. A-stability and numerical solution of evolution problems. Pubbl. 1st. applic. calcolo Mauro Picone, 1979, ser.3, N186. - 42 pp.

54. Витасек Э. Формулы повышенной точности для решения эволюционных эадач. В кн.: Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики.Ереван, 1982, с.78-83.

55. Горбунов А.Д., Сенюкова А.Г. Решение задачи Коши для уравнения ) при помощи группы конечноразностных уравнений. В кн.: Вопросы вычислительной математики и вычислительной техники. М.: Машгиз, 1963, с.52-54.

56. Shampine L.F., Watts Н.А. A-stable block implicite one-step methods. BIO?, 1972, v. 12, N 3, p.252-266.

57. Watanabe D.S. Block implicit one-step methods.- Math. Comput., 1978, v.32, N142, p.405-414.

58. Bond J.E., Cash J.B. A block method for the numerical integration of stiff systems of ordinary differential equations. BIT, 1979, v.19, N 4-, p.429-44-7.

59. Ismail H.N.A. Generalized periodic overimplicit multistep methods. Apl. Mat., 1979, v.24, N4-, p.250-272.

60. Тертерян А.А. Разностные схемы произвольного наперёд заданного порядка точности для параболических дифференциальных уравнений. Тезисы докладов Ш конференции молодых учёных АН ТССР. Ашхабад, 1983, с.120-121.

61. Тертерян А.А. О методе блочной аппроксимации производной для параболических уравнений в гильбертовом пространстве.- Воронеж, 1983. 33 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 1 декабря 1983, №6438-83.

62. Тертерян А.А. О методе блочной аппроксимации производной для параболических уравнений с переменным оператором. -Воронеж, 1984. 27 с. - Рукопись представлена Воронеж.ун-том. Деп. в ВИНИТИ 14 мая 1984, №3054-84.

63. Тертерян А.А. Обобщённый класс разностных методов с блочной аппроксимацией производной для параболических уравнений в банаховом пространстве. Воронеж, 1984. -22 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 3 июля 1984, №4588-84.

64. Тертерян А.А. О методе блочной аппроксимации производной для параболических уравнений в банаховом пространстве. В кн.: Качественные и приближённые методы исследования операторных уравнений. Вып. 9. Ярославль, 1984, с.105-112.

65. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

66. Крейн С.Г., Шаблицкая Л.Н. Об устойчивости разностных схем для вадачи Коши. ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №4, с.648-664.

67. Гудович Н.Н. О формулах численного дифференцирования. -ЖВМ и МФ, 1966, т.6, №4, с.760-762.

68. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1950. - 704 с.

69. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т.1. Общая теория. М.: Изд. ин. лит., 1962. - 896 с.

70. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 588 с.

71. Varga R.S. Matrix iterative analysis. Prentice-Hall : Englewood Gliffs, N.Y., 1962. - 322 pp.

72. Hummel P.M., Seebeek C.L. A generalization of Tailor's theorem. Amer. Math. Monthly, 1949, v.56, p.243-247.

73. Wanner G., Hairer E., N^rsett S.P. Order stars and stability theorems. BIT, 1978, v.18, N 4, p.475-489.

74. Соломяк М.З. Аналитичность полугруппы, пороздённой эллиптическим оператором в пространствах L р . ДАН СССР, 1959,т.127, №1, с.37-39.

75. Соломяк М.З. Оценка нормы резольвенты эллиптического оператора в пространствах Lp . Успехи мат. наук, I960, т.15, вып.6, с.141-148.

76. Смирницкий Ю.А., Соболевский П.Е. Позитивность многомерных разностных операторов. Воронеж, 1980. - 28 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 10 апреля 1981, №1587-81.

77. Смирницкий Ю.А. Позитивность разностных операторов в случае неэквивалентных шагов сетки. Воронеж, 1983. - 20 с. - Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 26 апреля 1983, №2223-83.