Метод подобных операторов в спектральном анализе дифференциальных операторов второго порядка с негладким потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Карпикова Алина Вячеславовна

МЕТОД ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕГЛАДКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

2 3 СЕН 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2015

005562553

005562553

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич. Официальные оппоненты: Шульман Виктор Семенович,

доктор физико-математических наук, профессор, Вологодский государственный университет, кафедра высшей математики, профессор,

Ускова Наталья Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент, Воронежский государственный технический университет, кафедра высшей математики и физико-математического моделирования, доцент.

Ведущая организация: Южный федеральный университет.

Защита состоится 17 ноября 2015 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета, а также на сайте http://www.science.vsu.ru/disserinfo&:cand=2777.

Автореферат разослан сентября 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств дифференциальных операторов второго порядка с негладким комплексным потенциалом, определяемых периодическими и квазипериодическими краевыми условиями. Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, который основывается на представлении проекторов Рисса возмущенных операторов с помощью интегральной формулы Коши. Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода. В первую очередь это связано с оценкой проекторов, при получении оценок безусловной равносходимости спектральных разложений.

В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берёт своё начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений и тесно связан с методом A.M. Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов, абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова.

Впервые метод подобных операторов был изложен К.О. Фридрихсом для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Дальнейшее своё развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармонического анализа линейных операторов.

Суть метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого дифференциального оператора в оператор, спектральные свойства которого близки к спектральным свойствам хорошо изученного оператора. Тем самым значительно упрощается изучение исследуемого оператора.

Метод подобных операторов применяется к исследованию спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Описанное в диссертации применение метода позволяет более глубоко изучить спектральные свойства исследуемого дифференциального оператора Штурма-Лиувилля: получить уточненную, по сравнению с известной ранее, асимптотику спектра.

Наиболее сильные результаты по асимптотике собственных значений оператора Хилла-Шрёдингера получены Марченко В.А.1, для рассматриваемого нами дифференциального оператора, в случае вещественнозначно-го потенциала. Также отметим работы A.M. Савчука2, и A.A. Шкаликова3, в которых проведены исследования для потенциала из пространства W2_1, поэтому и оценки являются более грубыми по сравнению с приведенными в диссертации.

Недавние исследования ряда математиков (Х.Р.Мамедова, П. Джако-ва, B.C. Митягина, A.A.Шкаликова, О.А.Велиева, Н.Дернека) по условиям спектральности дифференциальных операторов второго порядка показывали важность получения более точных асимптотических формул для собственных значений и уточненных оценок отклонений проекторов от классических систем проекторов. Получение таких уточненных формул для собственных значений изучаемых дифференциальных операторов важны при оценке лакун в спектре соответствующего оператора Хилла-Шредингера, рассматриваемого в ^(R). в случае периодического комплексного потенциала. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

'Марченко В. А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения/ В. А. Марченко — М.: Наука, 1977. - С. 330.

2Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук, A.A. Шкаликов // Мат. заметки. — 1999. — Т. 66. — Д» 6. — С. 897-912.

3Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Тр. ММО. - 2003. - N> 64. - С. 159-212.

Цель работы.

1. Построение оператора преобразования оператора Штурма-Лиувилля к оператору с блочно-диагональной матрицей.

2. Спектральный анализ дифференциальных операторов, возмущенных оператором Гильберта-Шмидта:

• получение асимптотических оценок собственных значений;

• получение оценок спектральных проекторов и оценок равносходимости спектральных разложений.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов, спектральная теория дифференциальных операторов.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Отметим некоторые из них:

1. Разработана абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Штурма-Лиувилля.

2. Исследованы спектральные свойства несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с негладким потенциалом, задаваемого периодическими и квазипериодическими краевыми условиями:

• получены новые асимптотические оценки для собственных значений оператора Штурма-Лиувилля;

• получены оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного и невозмущенного операторов (получены оценки безусловной равносходимости спектральных разложений).

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и строго обоснованы широким использованием методов спектральной теории операторов и дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Крымских осенних математических школах [6], [8], [9], на Крымской международной математической конференции [7], [10], на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна [4], на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI» [5], на математическом интернет-семинаре КЕМ (Германия, Блаубойрен) [11], на конференции, посвященной 100-летию Б.М. Левитана "Спектральная теория и дифференциальные уравнения" [12], на семинарах А.Г.Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12]. Работы [1], [2], [3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мино-брнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 61 наименование. Общий объем диссертации - 123 страницы.

Содержание диссертации

В первой главе введены используемые в диссертации понятия спектральной теории операторов, которые необходимы при формулировании основных результатов (первый параграф). Также приводятся определения и теоремы метода подобных операторов (второй параграф). В основе метода лежат понятия подобных операторов и допустимой тройки, формулируется основная теорема метода подобных операторов. В третьем параграфе вводится в рассмотрение исследуемый в диссертации дифференциаль-

ный оператор второго порядка с негладким потенциалом Lg : D{L) С ш] —> ¿г[0,ш], в е [0,1], порожденный на промежутке [0,ш] дифференциальным выражением 1{х) = —х" — vx, с областью определения

Во второй главе метод подобных операторов применяется к исследованию спектральных свойств абстрактных линейных операторов, близких к изучаемому оператору. В первом параграфе метод подобных операторов применяется к абстрактным линейным операторам, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве Рассматривается оператор А — В, где оператор В принадлежит двустороннему идеалу операторов Гильберта-Шмидта в2(Н), оператор А = Ад : О(А) С Н ->• Н— самосопряженный оператор с компактной резольвентой, спектр ст(Ад) которого образует последовательность собственных значений вида

Вводятся ортогональные проекторы Рисса, которые для любого х е % определяются следующим образом:

Р0,п2; = (х, еп)еп + (х, е_п)е_п, п е М, Р0,0х = (х, е0)е0, в = 0,

Рв,пх = (х, ев,п)ев,п, пей, в е (0,1),

= (х, еп)еп + (х, е_„_1)е_„_1, 0=1,

где еп, п€Й, — собственные функции оператора Ад для в = 0 и 0 = 1 и — собственные функции для в € (0,1).

Наряду с указанными трансформаторами рассматриваются последовательности трансформаторов вида:

D{Le) = {х е W2[0,ui\ : х{и) = е™вх(0),х'(и) = ешх'(0)} .

JmX — Jg^mX — J(X - -P(m)XP(m)) + P{m)XP{m),

гтХ = ТдтХ = Г(Х - Р(т)ХР(т)).

Во втором параграфе строится абстрактная схема применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Штурма-Лиувилля. Рассмотрена основная теорема о подобии, а также получено асимптотическое представление для оператора Ад — В.

В пространстве ©г(^)

определяется семейство трансформаторов Jв,m•> т > 0,0 € [0,1], задаваемое на операторах X £ &2СН) формулами:

^х = = ^ ркХРк + р»хр-к + роХРо, х е е2(н),

к>О кеЖ кеЖ

ЗарХ = ^ ^пХР„ = РпХРп + ^ РпХР-п-1,1 € 62(П),

п>о пег пег

^Х = ^РпХРп, хеед, б 6(0,1),

пег

Гвх= V ■ 0е[О,1].

Для оператора А = Ад вводится пространство допустимых возмущений И(/) (со своей нормой [| • ||»), состоящее из операторов, входящих в &2{Н). Теорема 2.1. Пусть число т 6 Ъ+ удовлетворяет условию

Жт\\В\и <

где постоянная 7д^т из определения допустимой тройки. Тогда оператор А — В = Ад — В подобен оператору вида

Ав-ЗтХ = Ад-Р[п)ХР(т)- ¥^Х¥к, 0€{О,1},

¿>т+1

Ад - ЗтХ = Ад - Р{т)ХР{т) - ^ ЪХРк, в 6 (0, 1).

|Ь|>т+1

Оператор X является решением нелинейного уравнения X = ВГХ - (ГХ){ЛВ) - (ГХ)З(ВГХ) + В,

в котором 3 = > Г = Г#1ТП, и уравнение рассматривается в гильбертовом пространстве б2(%). Преобразование подобия оператора Ад — В в оператор Ад — Зе,тХ осуществляет оператор I + ГдтХ.

Теорема 2.4. Спектр оператора Ад — В, где в € (0,1), допускает представление в виде объединения

а(Ад — В) = а{т) \п\ > т + 1}

непересекающихся множеств, где <7(т) — конечное множество с числом точек, не превосходящем 2т + 1 и собственные значения Хп, |п| > т + 1, допускают представление вида

~ 7Г2 а2 (В)

Хп = —Л2п + в)2 - (Веп, еп) + $(п), \п\ > т + 1.

О) ¿П + V

Если 9 € {0,1}, то спектр оператора Ад — В допускает представление в виде объединения

а(Ав -В) = аы У У ап I ,

\п>т+1 /

взаимно непересекающихся множеств, где <7(т) — конечное множество с числом точек, не превосходящем2т+\, а мнооюества стп — {-^п ' ^п }? ^ — то + 1 не более чем двухточечные, причем собственные значения А^, п > т + 1, допускают представление вида

7Г2

\± = ^{2п + 6)2-^ + ап(В)г](п), п>т+1,

где последовательности Т] и £ принадлежат пространству Iз и — собственные значения матрицы оператора

Для любого ненулевого оператора X из &2{И) и любого в € [0,1] рассмотрим двустороннюю последовательность чисел вида

|Л-|>п |1-|>т+1

Отметим, что ап(Х) —0, при п —>■ оо.

В третьем параграфе получены оценки равносходимости спектральных

разложений для абстрактных операторов Ад и Ад — В, где В е ©2(Ю-

Для произвольного подмножества Q С Z+ (если в G {0,1}) символом

Р(П) обозначается проектор Р(П) = £ Р * = £ Для ílcZ (если

keQ кеЯ

в € (0,1)) через P(íl) обозначается проектор Р(Q) = ^ Рк. ~ _ кеП

Пусть P(m),Pn,n > m + 1,— спектральные проекторы Рисса, построенные по оператору Ад - В, где в е {0,1}, и множествам cr(m),ап,п>т + 1. Для любого подмножества Ü. С Z+\{0, ...,т} (не обязательно конечного)

символом Р(Г2) обозначим спектральный проектор Y1 Р(^).

keil

Если 9 G (0,1) и £1 — произвольное подмножество из Z\{—ш,..., ш},

через Р(П) обозначается спектральный проектор J2 Рк, а через —

__ ken

спектральный проектор ^ Рк.

keil

Для любого оператора X е б2(%) и любого подмножества через

а(Г2, X) обозначается величина таха„(Х).

пей

Теорема 2.6. Существуют числа т € Z+, С > 0 такие, что

\\Р(т)+ ¿ Pk-P[m)~ ¿ р,||<£К(В)|, ö е (o,i), l|P(m)+ ¿ Pt-P(m)- ¿ P,||<^K(i3)|, öe{o,i}.

k=m+1 k=m+1

Третья глава содержит вывод основных формул, используемых для получения асимптотики собственных значений оператора Lg, в G [0,1] (первые три параграфа) В четвертом параграфе третьей главы осуществляется предварительное преобразование исследуемого оператора к оператору Гильберта-Шмидта с использованием следующей теоремы. Теорема 3.1. Для любого числа k € Z+ такого, что

l|r*,fcV||2 < 1, 10

оператор Lg = L® — V подобен оператору

Ag — В = Lg — Je,kV - B0,

где Ag = оператор

Во = (l + rg,kvyl(vruv - {Tg^kV)Jg,kV),

причем имеет место равенство

(Ag - B)(I + Tgtkv) = (/ + I\kV){A - JgMV - Во).

Оператором преобразования оператора Ад — В в оператор Ад — В = А — Je,kV — Bq является обратимый оператор I + Гg^kV.

Основные результаты диссертации приведены в четвертой главе и получены с использованием величин, которые определяются коэффициентами Фурье v(n), nëZ, потенциала г;. Символом 1Р($), гд ер € [1, оо), J S {N, Z}, обознается банахово пространство суммируемых на J со степенью р последовательностей комплексных чисел, при этом ^(Z) — банахова алгебра двусторонних последовательностей со сверткой в качестве умножения.

Теорема 4.1. Пусть в е {0,1}. Тогда существует такое натуральное число m > 1, что спектр оператора Lg представим в виде

где Ст(т) — конечное множество, состоящее не более чем из 2т + 1 чисел, а множества ап = {А+} и {А~},п > т + 1, не более чем двухточечные и имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений:

(1)

AJ = (7г(2п + ^))2 - «(0) Т лЛ?(-2п - в)Ц2п + в) + г]?(п)

где п е £1{0) = {п г)(-2п - в)у(2п + 0) ф 0} и последовательности

Т]^ удовлетворяют оценкам:

где последовательности 0* принадлежит пространству 12 и последовательность V] представима в виде

/ \Щ-2п-в)\ |и(2гг + 0)1

Определение 4.1. Пусть 0 £ {0,1}. Потенциал V £ Ь2[0,ш] называется устойчивым на бесконечном подмножестве Г2 С + 0, если существуют постоянные С{ = С (О,, в) > 0, г = 1,2, и конечное множество П0 из £1 такое, что для всех п из СДОо имеют место оценки

С\ \Ц-2п - 0)| < \ь(2п + 0)| < С2 \Ц-2п - 0)|.

Теорема 4.3. Пусть в £ {0,1}. Тогда существует такое натуральное число т> 1, что спектр оператора Ьв представим в виде (1). Если потенциал V устойчив на мноэ/сестве О С 2М + 0, то имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений:

^ = 2 _ г?(0) Т у/ь(-2п - в)у(2п + 0) + п > т + 1,

где последовательности тудовлетворяют оценкам:

<

Последовательности 0^ принадлео/сат пространству I2. Теорема 4.5. Пусть в £ {0,1}. Тогда существует такое натуральное число т > 1, что спектр оператора Ьд представим в виде (1) и имеет место следующее асимптотическое представление собственных значений:

где последовательности г

п € ^(0) = {пб2+: Ц-2п - в)— 0, Ц2п + 0) ф 0}

п е П2(0) = {п е 2+ : д(—2п - в) ± 0,д(2п + в) = 0}, I2.

Теорема 4.7. (9 6 (0,1).

Ш > 1, 1/Д

си

V?

Ы{п)\ <

/з7т г2.

Аналогичные результаты были получены в диссертации для случая, когда потенциал V является функцией ограниченной вариации.

Во четвертой главы формулируются оценки равнос-

ходимости спектральных разложений. Теорема 4.9.

П С ..., т}

||Р(П)-ВД1|2< е 6(0,1), С\ > о,

||P(fi)-P(fi)||2<—ве {0,1}, Сг> 0.

Теорема 4.10. Если в условиях предыдущей теоремы вместо проекторов P(Q), P(f2) рассмотреть проекторы вида

(I + Te,kV)P(il)(I + IV VT1, (I + re,kV)P(ü)(I + Te,kV)-\

то оценки примут следующий вид:

||Р(П) - (I + re,kV)P(n)(I + re)kV)-% < ||ß||2 а(П, X), 9 е (0,1),

11ВД - V + Гв,*К)Р(П)(/ + Гв^ГЧЬ < ^ l|ß||2 а(0, X), 9 е {0,1}, где постоянная С\ > 0.

Теорема 4.11. Существуют числа т G Z+, С\> 0 такие, что

тт)+ Е Ъ-Ры- Е öe (0,1),

n n ^

np(m) + E p* - p(-) - E ^ ~k> {o. !>■

fc=m+l k=m+1 *

Следствие 4.1. Имеют место следующие оценки

п п

Ит||Р{га) + Е Pk-P{m)- Е = ^ е (0,1),

|A;|=m+l |fc|=m+l

п п

Нт||Р(т)+ Е h-F[m)- Е Р*Н=0, ÖS {0,1}.

fc=m+l k=m+1

Список публикаций по теме диссертации

[1] Карпикова A.B. Асимптотика спектра оператора Хилла-Шредингера/ A.B. Карпикова // Научные ведомости Белгородского государственного университета.Серия: Физика. Математика. - 2014. -Т. 176. - № 5. - С. 34-37.

[2] Карпикова A.B. Асимптотика собственных значений интегро-дифференциального оператора с периодическими краевыми условиями/ A.B. Карпикова //Вестник Воронежского государственного уни-верситета.Серия: Физика. Математика. — 2015. - № 1. - С. 153-156.

[3] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора Штур-ма-Лиувилля с периодическими краевыми условиями/ А. В. Карпикова // Уфимский математический журнал.Серия: Физика. Математика. - 2014. - Т. 6. - № 3. - С. 28-34

[4] Карпикова А. В. Асимптотика собственных значений оператора Хилла-Шредингера с квазипериодическими краевыми условиями / А. В. Карпикова // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна. - 2013. - С. 113-114.

[5] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с периодическими краевыми условиями / A.B. Карпикова // Современные методы теории краевых задач, материалы Воронежской Весенней Математической Школы "Понтрягинские чтения - XXI". — 2014. — С. 88-89

[6] Карпикова А. В. Спектральный анализ оператора Хилла-Шредингера с негладким потенциалом / А. В. Карпикова // XXIII Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. — 2012. — С. 31.

[7] Карпикова A.B. Асимптотика собственных значений оператора Хилла-Шредингера с квазипериодическими краевыми условиями / А. В. Карпикова // XXIV Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум, Сборник тезисов. Том 4. — 2013. — С. 113-114.

[8] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений оператора Хилла-Шредингера / А. В. Карпикова // Международный научный журнал "Спектральные и эволюционные задачи". — 2012. — С. 95-98.

[9] Карпикова А. В. Об асимптотике собственных значений оператора Хилла-Шредингера / А. В. Карпикова // Международный научный журнал "Спектральные и эволюционные задачи". — 2011. — Т. 1. — С. 135-139.

[10] Karpikova А. V. Asymptotics of eigenvalues of the Sturm-Liouville operator with quasiperiodic boundary conditions / A. V. Karpikova // Intern. Scientific Journal "Spectral and Evolution Problems". — 2013. — Vol. 23. - P. 171-173.

[11] Karpikova A. V. Exponential splitting methods / A. V. Karpikova // Workshop of the 16'th Internet Seminar on the Evolution Equations. — 2013. - P. 13-15.

[12] Karpikova A. V. Spectral analysis of Sturm-Liouville operator with periodic boundary conditions / A. V. Karpikova // Spectral Theory and differential equations. International conference dedicated to the centenary of B.Levitan . - 2014. - P. 20.

Работы [1],[2],[3] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых

научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 07.09.15. Формат 60x84 '/1б. Усл. печ. л. 0.96.

Тираж 100 экз. Заказ 608.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского дома ВГУ.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3