Методы континуального интегрирования и суперсимметричной теории рассеяния для квантовых систем с градуированными переменными тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ - ДО ВЫСШЕМУ ОБРА ЗОВАННЮ САНВДПЕТЕРЫ/ЙЧЖИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 3 19ЗД

На правах ругописж

БОРИСОВ Николаи Валентинович

МЕТОДЫ КОНТИНУАЛЬНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ С ГРАДУИРОВАННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

( 01.04.02. - теоретическая фшшка )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фииико-иатематических наук

САИКТ ПЕТЕРБУРГ 1394

Работа выполнена в отделе теоретической физики Научно-исследовательского института физики при Санкт-Петербургском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И. Я. Арефьева,

доктор физико-математических наук В. Б. Матвеев,

доктор физико-математических наук Г. П. Пронько.

Ведущая организация - Харьковский государственный университет.

Защита состоится О <Г _ 1994 г.

в/5£.^ас. на заседании специализированного совета Д.063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан _1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук . А. Н. Васильев.

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие теории фундаментальных взаимодействий в последние годы тесно связано с построением и исследованием новых динамических моделей, использующих идеи и методы калибровочной теории, суперсимметрии и супергравитации, теории суперструн и функциональных струнных полей. При этом существенно расширился арсенал теоретических методов, привлекаемых для анализа таких моделей. Активно используются методы континуального интегрирования, супералгебры и сулеранэлиза, теории струн, конформной теории поля, квантовой обратной ¡задачи рассеяния. Необходимость применения такого широкого спектра теоретических методов связана с включением в динамические модели полей разной функциональной, динамической и алгебраической природы: функциональных попей в теории струн, вспомогательных полей в суперсимметричных моделях, "духов" Фаддеева-Попова в калибровочной теории, супермультиплетов в суперкалибровочных теориях и в супергравитации. Это, в свою очередь, стимулировало развитие соответствующих теоретических методов.

■ Системы с градуированными переменными естественно возникли в квантовой теории при попытках построить общий формализм для описания возбуждений, обладающих различными статистиками. Попытка описать классический предел для фермионов потребовала ввести антикоммутирующие переменные в классической теории. В работах Дж. Мартина была определена скобка Пуассона и построена каноническая динамика на функциях от таких переменных. Фактически, эти работы стали началом развития суперматематики - направления исследований в рамках которого развиваются методы алгебры, анализа и геометрии, применимые х изучению функций как от коммутирующих, так и антикоммутирующих переменных и описываемых в их терминах геометрических, объектов. 1\шие переменные являются частным случаем общих Г-градуированных «-коммутативных переменных, где Г - абелева группа, ас- коммутационный фактор на ней. В качестве примера общих градуированных переменных могут быть рассмотрены некоторые типы д-деформированных переменных (<?" = 1).

Другим источником введения антикоммутирующих переменных в ..вахтовую теорию стало построение Ф. А. Березиным функционального представления для метода вторичного квантования фермионов. Была обнаружена тесная аналогия формул операторного исчисления в фермиевском и бозевском вариантах меюда вторичного квантования. При этом было необходимо обычный интеграл по евклидовым переменным в бозевском случае заменить на интеграл по антикоммутиру-ющим переменным. Введение такого интеграла, определяющего линейный функционал на грассмановой алгебре, позволило поставить вопрос о построении ферми-онного аналога основных конструкций квантовой теории: когерентных состояний для фермионов, когерентного представления для оператора эволюции квантовых систем с фермионными степенями свободы и континуального интеграла в когерентном представлении. В первой главе диссертации рассмотрены соответствующие конструкции. При этом оказалось необходимым использовать антикоммутирующие

переменные для параметризации когерентных состояний, а в континуальном интеграле в когерентной представлении существенно адекватно учитывать граничные члены в действии под континуальным интегралом.

Важность единого описания бозонов и фермионов в рамках анализа функций от градуированных переменных существенно повысилась в связи с открытием Ю. А. Гольфандом, Б. П. Лнхтманом и Д. В. Волковым, В. П. Акуловым, В. А. Сорокой суперсимметричных моделей в квантовой теории поля и физике элементарных частиц. Супер симметрия сделала интерес к суперматематике в теоретической физике повсеместным. Теория суперструн существенно расширила спектр динамических теорий, использующих градуированные переменные как для формулировки классических моделей, так и для построения функционального представления квантовых величин. Одной из наиболее привлекательных черт суперполевых и суперструнных теорий является наличие в них механизма сокращений расходнмостей, связанного с суперсимметрией.

Разработка калибровочных моделей фундаментальных взаимодействий с включением спинорных полей, описывающих кварки и лептоны, и суперкалибровочных моделей стимулировало изучение калибровочно-инвариантных струнно-полевых функционалов, соответствующих адронным состояниям в калибровочной теории сильных взаимодействии — квантовой хромодинамике. Для таких функционалов во второй главе установлен струноподобный характер динамических уравнений, соответствующий взаимодействию струн концами. Связь локальной калибровочной теории с теорией суперструн определяется возможностью построения в квантовой хромодинамике функционалов суперструнных полей методом, развитым во второй главе на базе предложенного там обобщения Р-экспоненты Вильсона на случай, когда пробный оаряд обладает спиновыми степенями свободы. 1

Суперсимметрия, т. е. симметрия относительно преобразований с антикомму-тирующпми параметрами, которые связывают бозонные и фермионные состояния, первоначально возникла в рамках квантовой теории поля. Б. Виттеном было введено понятие суперсимметричного гамильтониана в квантовой механике и предложен общий метод построения суперсимметричных гамильтонианов со скалярным суперпотенциалом. Суперсимметрия приводит к особой структуре спектра собственных состояний квантового гамильтониана, которая описана в третьей главе в терминах многомерного метода факторизации и преобразования Дарбу. Все со б ственные состояния с положительной анергией делятся на равное число бозонньв И фермионных состояний, а разность чисел бозонных и фермионных состоянш с нулевой энергией (индекс Виттена) оказывается величиной, устойчивой относи тельно непрерывных изменений суперпотенциала и других параметров суцерсим метричного гамильтониана. Это позволяет связать супер симметрию с топологиче скими вопросами спектральной теории и сформулировать новый, квантовомехани ческий, подход к доказательству теорем об индексе эллиптических операторов ш компактных многообразиях, основанный на методе континуального интегрирова ния по коммутирующим л литикоммутируюЩим переменным. В третьей главе дл: квантовых гамильтонианов, обладающих обобщенной суперсимметрией, на основ

многопараметрической градуировки векторов из пространства состояний строится серия топологических индексов, обобщающих индекс Виттена.

Квантовомеханический взгляд на природу теоремы об индексе на компактных , многообразиях, соответствующих случаю дискретного спектра, естественно поставил вопрос о развитии методов квантовой теории рассеяния для суперсимметричных гамильтонианов и установлению свяои топологических характеристик квантовых гамильтонианов с непрерывным спектром со спектральными данными задачи рассеяия. Такая суперсимметричная теория рассеяния построена в четвертой главе диссертации. В ее рамках оказалось возможным ввести топологически-устойчивую характеристику суперсимметричных гамильтонианов с непрерывным спектром - суперсимметричный индекс рассеяния и построить для него аналитическое представление на основе суперсимметричных формул следов. В суперсимметричной теории рассеяния на препятствиях п евклидовом пространстве суперсимметричный индекс рассеяния, определяемый разностью полных фаз рассеяния в бозонном и фермионном секторах, оказался связанным с эйлеровой характеристикой препятствия и его границы. Тем самым оказалось возможным связать топологические характеристики рассеивателя со спектральными данными для случая абсолютно-непрерывного спектра. Это позволяет рассматривать суперсимметричную теорию рассеяния в качестве систематической основы для формулировки и доказательства теорем об индексе для некомпактных многообразий. Исследования в стой области активно ведутся в настоящее время.

Цель диссертационной работы. Основная цель диссертации состоит в разработке теоретических методов исследования квантовых систем, обладающих фер-мионными степенями свободы и суперсимметрией - методов континуального интегрирования и суперсимметричной теории рассеяния и применении этих методов к задачам квантовой теории калибровочных полей, квантовой механики и теории индекса.

Методом континуального интегрирования в когерентном представлении для фер-мионов получены точные представления для функций Г^ина фермиогов в калибровочных полях, построен аналог Я-экспоненты Виль _>на для случая, ког^.. пробный заряд обладает спиновыми степенями свободы, построены калибровочно-инвари-антные фунгционалы, соответствующие струнам с распределенным спином.

Методами суперсимметричной теории рассеяния проанализирована струх./ра супер симметричной матрицы рассеяния, введены топологически устойчивые характеристики суперсимметричных гамильтонианов с непрерывным спектром, связанные со спектральными данными рассеяния, доказаны суперсимметричные формулы следов, исследованы топологические обратные задачи рассеяния - восстановление топологических характеристик рассеивателя по данным рассеяния, доказаны теоремы об индексе для некомпактных многообразии.

Научная новиона. Основные результаты диссертации являются оригиналь-

ными и получены впервые.

Развит общий подход к построению представлений ядер операторов эволюции ферыи-систем н матричных Р-вхспонент континуальным интегралом в когерентном представлении с учетом граничных членов. Построение основано на использовании полной системы когерентных состояний для ферми-операторов с анти-коммутирующими параметрами и процедуре "фоковского" расширения матричной системы.

Получено представление фермионного пропагатора в калибровочном поле континуальным интегралом в координатном суперпространстве с действием, соответствующем супер симметричному действию для точечной спинорной частицы в калибровке собственного времени.

Построена матричная Р-экспонента для траекторий в суперпространстве, описывающая вклад в функцию Г^эина от взаимодействия калибровочного заряда, обладающего спиновыми степенями свободы, с .внешним калибровочным полем. С использованием этой спинорной Я-экспоненты построены новые калибровочно-инвариантные струнно-полевые функционалы в квантовой хромодинамике, соответствующие спиновым струнам.

Обнаружена неоднозначность калибровочных условий Лоренца в окрестности инстантона. Исследована природа калибровочных повторений и построены калибровочные уловия, однозначно параметризующие окрестность инст штона.

Установлена связь многомерного метода факторизации и преобразования Дарбу с матричными реализациями многомерных суперсимметричных гамильтонианов.

Введено понятие квантового гамильтониана! с обобщенной супер симметрией (СБС^М - гамильтониана), описана структура спектра собственных состояний и построены новые топологические индексы для такого гамильтониана.

Суперсимметричная теория рассеяния определена в терминах сплетания полного и асимптотического суперзарядов волновыми операторами. Доказана суперсимметричность ¿"-матрицы в такой теории и показано, что она влечет за собо! унитарную эквивалентность бозонной и фермионной 5-матриц при заданной энер гии при всех энергиях выше порога.

Введен новый топологический инвариант для супер симметричных гамильтони анов с непрерывным спектром - суперсимметричный индекс рассеяния. Впервы получены супер симметричные формулы следов, выражающие супер симметричны индекс рассеяния через суперслед разности полугрупп полного и асимптотическог гамильтонианов. '

Описана общая структура суперсимметричной 5-матрицы для квантовых с; персимметричных гамильтонианов с быстроубывающим суперпотенциалом.

Построена суперсимметричная теория рассеяния для оператора Лапласа I формах во внешней области компактного препятствия в евклидовом пространств порождаемая абсолютными (относительными) граничными условиями на форм на поверхности препятствия. Доказано, что соответствующий суперсимметри ный индекс рассеяния выражается через относительную (абсолютную) эйлеро! характеристику препятствия. .

Доказана суперсимметричность теории рассеяния для оператора Лапласа на некомпактных многообразиях, евклидовых на бесконечности, и вычислены суперсимметричный индекс рассеяния через интеграл от формы Черна-Гаусса-Бонне я числа гармонических квадратично-интегрируемых форм.

Научная и практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования квантовых систем, обладающих градуированными переменными и полученные с их помощью результаты могут быть использованы для построения инвариантных полевых систем и исследования спектра наблюдаемых в супер симметричных моделях теории элементарных частиц и ядерной физики.

Представления ядер операторов эволюции ферми-систем и матричных Т-экспонент континуалышм интегралом в когерентном представлении для фермпонов с учетом граничных членов позволяют формулировать различные приближенные методы их вычисления в задачах квантовой теории поля, статистической физике и теории струн.

Выражение для функции 1\>ина спинорной частицы в калибровочном поле через континуальный интеграл в координатном суперпространстве с граничными членами использовалось при выводе представлений для индексов эллиптических операторов через континуальные интегралы по замкнутый траекториям. Эти представления стали основой нового подхода к доказательству теорем об индексе для компактных многообразий, основанного на суперсимметричной квантовой механике.

Многомерный метод факторизации позволяет строить точно-решаемые многомерные квантовые гамильтонианы с матричными потенциалами.

Супер симметричная теория рассеяния дает общий подход к исследованию следствий супер симметрии на языке данных рассеяиия для квантовых гамильтонианов. Суперсимметричный индекс рассеяния, выражающийся через аномалию в полной фазе рассеяния, дает возможность связать топологию задачи с характеристиками задачи рассеяния. Супер симметричные формулы следа для супер симметричного индекса рассеяния позволяют вычислить его на основе локальных т горем об индексе. Это позволяет сформулировать общий под^д к обобщению классических теорем об индексе на операторы с непрерывным спектром, заданные на некомпактных многообразиях.

Результаты первой главы включены в монографию: В. Н. Попов, В. С. трунил "Коллективные эффекты в квантовой статистике излучения и вещества.", над. ЛГУ, Ленинград, 1985 г.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы а работах [1 — 16} и неоднократно докладывались на сессиях Отделения Ядерной физики АН СССР, на научных семинарах СПбГУ, МИАН, ПОМИ РАН, Харьковского государственного университета, университетов Берлина, Барселоны, Валенсии, Индианаполиса, ТУрку; были представлены на IV Международный семи-

нар по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля (Протвино, ИФВЭ, 1981 г.), на Международный семинар "Геометрические аспекты квантовой теории" (Дубна, ОИЯИ, 1988 г.), XVIII Международный коллоквиум. "Теоретико-групповые методы в физике" (Москва, ФИАН, 1990 г.), IV Крымскую осеннюю математическую школу-семинар по спектральным п эволюционным задачам (Севастополь, СГУ, 1993 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - стР-> включая список литературы из 3.60 наименовании.

2 Содержание диссертации

Р главе 1 ("Каноническое квантование и континуальный интеграл для систем с градуированными переменными") развивается общий подход к построению и исследованию классической, и квантовой динамики систем, имеющих градуированные переменные на базе методов канонического квантования и континуального интегрирования. В параграфе 1.1 введена система обозначений и перечислены необходимые сведения о системах с бозе-перемигкыми. Рассматриваются системы, описываемые смешанными ( бозе- а фермн- ) переменными х = (£м, Ч,) : £,,£„ = (*{»> '¡¡И = —Чл*?;» V? = 0, а также 21тф.. .(¡)2т - градуированными голоморфными переменными х — (Ф1, Ф1,..., Ф») бозонного и фермионного типов. Набдюдае- ■ мые для таких систем образуют градуированные е-коммутативные алгебры функций от переменных х с коммутационным фактором с(а,/3) = (—1)°^, 6 для ^-градуировки функций от смешанных переменных, и фактором е(а,/3) -

= 1,5» = 1, для ©... © гт- градуировки голоморфных переменных. Скобка Пуассона

{Мы = ^^¿/(хМЛи*-

задает структуру градуированной еалгебры Ли на наблюдаемых, согласованную с их мультипликативным умножением посредством свойств «-дифференцирования. Каноническое квантование таких систем с сохранением алгебраических свойств скобки Пуассона приводит к системе обычных операторов рождения и уничтожения бозонов и фермионов для случая смешанных переменных и к ^-деформированной системе операторов рождения-уничтожения для градуированных голоморфных переменных:

аГа7 ~ 9а7аГ = 0, а~а+ -' д-'а+ч = 0,

В параграфе 1.2 строится полная система когерентных состояния для фермион-ных операторов [bf, bf}^,, параметризуемая образующими грассшшовон алгебры

Ê1?« Ё*1Г

являющихся обобщенными собственными состояниями операторов уничтожение н рождения фершгоноз

6ГИ_=0.И_, ,<a|it = _(а|й.-,

принадлежащими грассыановой оболочке исходного фоковского пространства для фермионов. Свойства кормировапности и полноты этих состояний

_{й»_ = J |а)_ .{а ^dâda = I,

R П

где âa = £ it àxkia = П dà.dati, позволяют построить функциональное пред-¡=1 . i=i

ставление для фермионных операторов (G) элементами грассмановой алгебры: а) ': (й|(7[а). Исходя Ж) этой системы состояний построено представление для матричных элементов оператора эволюции для фермионов континуальным интегралом по грассыаяовоя алгебре: ш

.Ие-^la). = j D^D^r, + + !»J

где

£(«, d) = -(й<* — &а) — Я (й, а), a траектории в континуальном интеграле удовлетворяют граничным условиям

a(0) = a,â(T) = a

Существенный момеятсм является появление граничных членов в экспоненте под континуальным интегралом. Их необходимо учитывать как при получении точ'тго представления, так и при построении приближенных осек вычисления соответствующего вонлшуазьвого интеграла.

В главе 2 ("Континуальный иитеграл да ггаиртыт и сшшорных частиц в * ал нбропспвых оояях и кахибровочво-иивариаитвые функционалы") рассмотрены вопросы описания движения схаяхрных и сшшорных частиц о нибаиид калибровочных полях с ■аюяьзованигм идеи и методов, развитых » первой главе. Центральной задачей, рассматриваемой ццео, является задача построения новых кадибровочал-днвзриаатных функционалов, описывающих калибровочные яохя а

обобщающих известную Р-экспоненту Вильсона. В параграфе 2.3 эта задача решается исходя из представления пропагатора спннорной частицы в калибровочной поле'континуальным интегралом по коммутирующим и антикоммутирующим переменным с граничными членами в действии. Получаемая спинорная Р-экспонента является калибровочно-инвариантным функционалом иа пространстве кривых с распределенным спином, описываемом антикоммутирующими переменными. Она соответствует вкладу в действие от движения пробного заряда, обладающего спиновыми степенями свободы. '

В параграфе 2.1 с целью выявления проблем, связанных с ограничениями методов описания калибровочных полей в терминах потенциалов, удовлетворяющих дополнительным условиям, исследована проблема существования калибровочных повторений для конфигураций, удовлетворяющих условию Лоренца. Показано, что калибровочная траектория

А%х) = П(1)Л</>П"1(х) + (Э^ОД) П_,(*) , П(х) € Би3

для инстантояного поля

(х-х) +р'

касается при = А^\х) поверхности дополнительного условия Лоренца

0йЛ„(х) = 0. ,

Это приводит к тому, что в окрестности инстантонной конфигурации Л|/'(х) существуют халибровочно-вквивалентные поля с конечным евклидовым действием, удовлетворяющие условию Лоренца:

а, (4'>-(х) ± АВ;'(Л')/(*)) = о,

где ¥>'(х) - убывающие решения уравнения

0?(АМ)д„ч>\х) = 0.

Однозначно параметризовать окрестность инстантона можно с помощью дополнительных условий, накладываемых на напряженности (д,и — 1,2,3,4;а — 1,2,3):

К\(х) = *£(*) = = О

Эти условия содержат выделенные пространственные и изотопические направления.

В параграфе 2.2 сформулирована общая процедура построения представлений для упорядоченных экспонент

0(Т) = Рехр 1 А(т)аг|

от семейства матричных операторов |Л(г)|г 6 [0;Т]| континуальным интегралом в пространст ве параметров когерентных состояний:

(т|г/(Т)|„> = /вх(т)пх(г)хт(т)хп(0)х хехр |_яшп + ¡} [^(х(г)х(т) - *(т)х(г)) -х(г)А(г)х(г)] аг ~ ЙМЙ|

Предложенный подход, основывающийся ца "фоковском" продолжении исходной матричной экспоненты, позволяет использовать в континуальном интеграле как коммутирующие, так и антикоммутирующие голоморфные переменные (х\> • • • 1 Хп, XII ■ ■ ■ I Хп)- В качестве приложения этого подхода получено представление для Р-экспоненты Вильсона континуальным интегралом с учетом граничных членов и представление для пропагатора скалярной частицы в калибровочном поле через континуальный интеграл

Ст„(х';х;А) = £ /¿Те-*?1 / Пх(г№х(т)Пх(г)хг,(Т)хп(0)х

хехр{-^4т + </ - М} ,

где жм(Г) = яДО) = хи, а

ТПХ^

Цх„,Хт,Хт) = + ^(ХтХт - ХтХт) ~ »¿»ХтТ^ХпАЦх)

-лагранжиан релятивистской точечной частицы в калибровке собственного времени, движущейся по траектории 1м(т), калибровочные степени свободы которой, описываемые переменными Хт(г), Хт(т)> минимально взаимодействуют с калибровочным полем вдоль траектории.

Используя развитый общий подход, в параграфе 2.3 получено представление для функции Грина спинорной частицы в калибровочном поле континуальным интегралом в суперпространстве

5« (х', х; Л) = £ 7<¿37 £ехР(-^ + гтвТ) / £>х(т)Г>«г)£>х(г)Ох(0 х хШТ)>Хт(Т)хп(0)М0)|9)ехр{-™1 -

^/Цх^.^.х^г-М-М}, о

где х^Т) = х'ц, хДО) = х„, (Т,в) - супервремя (в1 = 0), ш,п - изотопические, р,д - спинорные индексы, г/, = ((3 + т]2 = (£1 + г(з)/2, а

Д^сЧс.Хт.Хт) = ^ + КХтХт ~ ЯшХт)

лагранжиан движения точечной частицы, калибровочные степени свободы которой описываются переменными ХпчХпч а спиновые степени свободы - грассмано-вЬш вектором {„ * = Такая частица взаимодействует с калибровочным полем

Д°(х) как посредством создаваемого ею тока </х„х„7^пх«, так п через взаимодействие соответствующего магнитного момента с напряженностью

Описанное представление для функции Г^ина спинорной частицы позволяет естественным образом построить спинорное обобщение Р-экспоненты Вильсона:

¿г/г Ы'Ш*)] = Рыр (-¿5/ АЦХ)Т<ЬМ - Л-}

являющееся функционалом на пространстве сливовых струн {*,,(«), {„(л)}, где („(5) при ц = 1,2,3,4 и разных з являются образующими грассмаяовой алгебры. Используя эту спинорную Р-экспоненту можно строить калибровочно-инвариаатные операторы типа петли Вильсона

5р [Рехр (-¿у I АЦх)Т-<Ь,,

заданные ш спиновых струнах.

В параграфе 2.4 описано использование калибровочно-инвариантных функционалов для адронных конфигураций в квантовой хромодинамике для построения струнного лагранжиана взаимодействия мезонных и барионных состояний. Рассмотрение уравнений в вариационных производных для адронных операторов позволяет получить картину взаимодействия струн концами.

В главе 3 ("Суперсимметрия и спектральные свойства квантовых гамильтонианов") исследуется общая структура спектра и собственных подпространств квантовых супер симметричных гамильтонианов. В параграфе 3.1 покапано, что супер симметричный гамильтониан в ¿-мерном пространстве со скалярным суперпотенциалом

н = + Их)'-%Х}+ £ ааих^ь-,

411=1 ^ 1=1 1^=1

при матричной реализации фермионных операторов {Ь,+, приводит к се-

рии ¿-мерных операторов Шредингера с матричными потенциалами, реализующих схему многомерного метода факторизации. При этом операторы многомерного преобразования Дарбу оказываются компонентами суперзаряда:

В параграфе 3.2 рассмотрена спектральная структура супер симметричных гамильтонианов, обладающих коммутирующим набором инволюций, антикоммути-рующих с суперзарядом

В=02, {<г,гЛ=0, М = 0

<?* = <?, Г- = = Г., «,> = 1,...,П

Показано, что при определенных условиях для таких гамильтонианов можно ввести топологически устойчивые индексы:

т(!(Н; т;,,..., г;„) = £ А,-,... А1-1Д'гаИЛ,_А.(0},

л, ...л ^=0,1

обобщающие известный индекс Виттена для супер симметричного гамильтониана:

Ди'(Я) = (ИтП+{0) - сИтП-(0) = Ш(Л, т) и имеющие представление в виде суперследа:

- " »пс!(Я; т„,..., т;к) = 5р(т„ ... т,-.

Супер симметричный гамильтониан с таким набором инволюций можно, в частности, построить по гамильтониану с расширенной суперсимметрией.

В главе 4 ("Суперсимметричная теория рассеяния") рассматриваются свойства суперсвмметричпых гамильтонианов, обладающих непрерывным спектром.

матриц а для таких гамильтонианов обладает дополнительными свойствами симметрии, а наличие нетривиальной топологии приводит к возникновению аномалий в данных рассеяния.

В параграфе 4.1 вводится определение суперснмметричной теории рассеяния в терминах сплетаяпя полного ((}) и асимптотического (£?о) суперзарядси волновыми операторами: ■

Я • и'±(Я,Но) = ТУ±(Я, Яо) • (Зо. Наличие такого свойства"в теории рассеяния приводит к суперсимметриц 5-ыат-рицы:

[5(Я,Яо),Со] = о , 5(11,Но) = 1У+(Я,Яо)" • ТУ-(Я,Я0).

. Для суцерсимметричного гамильтониана в квантовой механике с быстроубыва-ющим суперпотенциалэм докапывается суперсимметричность теории рассеяния и описывается структура ¿'-матрицы в терминах продольных (¡^(Д:) = и поперечных возбуждений.

В параграфе 4.2 описана общая структура суперсимметричной матрицы рассеяния. Доказано, что суперсимметричность ¿"-матрицы влечет за собой унитарную эквивалентность бозокной и фермионной матриц рассеяния при фиксированной энергии:

5_(В) = У+{Е)5+(Е)У+(ЕУ\ 5(Я,Я„) = / ( 5_°{Е) ) ¿РЕ(Н„),

где унитарные операторы У+(Е) определяются по асимптотическому суперзаряду: У+(Е) = -±и(Е), «^¿ВД), Е> 0.

Иа суперсимметрии 5-матрицы следует наличие топологически-устойчивой целочисленной характеристики суперсимыетрычных гамильтонианов с непрерывный спектром:

п(Я, На) = - [Ä+(£; Я, Я0) - Я, Я0)] É Z , VE е сг«(Я0)

"К

-суперсимметричного, индекса рассеяния, характеризующего аномалию в полной фазе рассеяния. Получены супер симметричные формулы следа, выражающие су-персимметричныи индекс рассеяния через суиерслед разности полугрупп, соответствующих полному и асимптотическому гамильтонианам:

п(Я, Я0) = 5р (ríe-'" - е"'«']) .

Этв формула, являющаяся аналогом суперследоього представления для индекса Еат-тена, позволяет использовать локальные теоремы об индексе для вычисления суперсимметричного индекса рассеяния.

В параграфе 4.3 демонстрируется, как развитый формализм может быть использован для анализа одномерного супер симметричного гамильтониана с непрерывным спектром, порождаемого суперпотенциалом с нетривиальными линейными асимптотиками на ±оо.

В параграфе 4.4 построена супер симметричная теория рассеяния на препятствиях для оператора Лапласа на внешних формах в n-мерном евклидовом пространстве, порождаемая абсолютными (abs) и относительными (reí) граничными условиями, являющимися комбинациями из условий Дирихле и Неймана для нормальных и тангенциальных компонент внешних дифференциальных форы на границе препятствия. Доказана суперсимметричность абсолютных и относительных граничных условия и вычислены соответствующие суперсимметричные индексы рассеяния: ,

"(А.1., До) = - [Í+(E; Доь., До) - б-(Е; Да., До)] = x(30¡) - х(0;),

1Г

п(Дг«,,Д0) = i [г+(£; Д„,, До) - í_(£; Дге1, До)] = -х(0.), тг

где x(0¡). x(<50i) - эйлеровы характеристики препятствия (О;) и ее границы (dOi).

В параграфе 4.5 рассмотрена суперсииметричная теория рассеяния для операторов Лапласа на некомпактных римановых многообразиях, евклидовых в окрестности бесконечности. Супер симметричный индекс рассеяния в этом случае выражается интегралом от формы Черна-Гкусса-Бонне (К) по многообразию (М) и сводится к разности числа б озонных (Я+'(М)) и фермионных (Я12'(М) квадратично-интегрируемых гармонических форм на многообразии М:

п(Д, До) = / Щх) = E(-l)"dimfíW(M) = dimH^(M) - dimH(2\M).

U

Тем самым получается аналог теоремы Черна-Гаусса-Бонне для некомпактных многообразий.

В оаключенин сформулированы основные результаты, которые автор выносит на защиту.

1. Построена полная система когерентных состояний для квантовых систем с ферми-переменными, параметризуемая элементами грассмановой алгебры.

2. Получено представление для оператора эволюции квантовой системы с ферми-переменными в когерентном представлении континуальным интегралом по траекториям на грассмановой алгебре, содержащем граничные члены в действии.

3. Установлена неоднозначность калибровочного условия Лоренца в окрестности инстантонной конфигурации 5У3-калибровочного поля.

4. Предложен общий подход к построению представлений матричных Р-окаю-нент континуальным интегралом в пространстве параметров когерентных состояний, основанный на "фоковском" продолжении исходной матричной системы.

5. Построено представление функции Грина спинорной частицы во внешнем калибровочном поле континуальным интегралом в координатном суиерпро-странстве.

6. Построено обобщение Р-экспоненты Вильсона для случая, когда пробный заряд обладает спиновыми степенями свободы и построены калибровочно-инвариантные функционалы в квантовой хромодинамике, соответствующие спиновым струнам.

7. Получены уравнения для струнных полей в квантовой хромодинамихе, соответствующие взаимодействию струн концами.

8. Проанализирована структура суперсимметричного гамильтониана в квантовой механике в терминах многомерного метода факторизации и преобразования Дарбу.

9. Описана структура собственных подпространств квантовых гамильтонианов с обобщенной супер симметрией и построены топологические индексы для таких гамильтонианов.

10. Развит нестационарный подход к супер симметричной теории рассеяния в квантовой механике.

11. Описала общая структура суиерсиммотричной матрицы рассеяния и введен целочисленный топологический инвариант для суперсимметричного гамильтониана с непрерывным спектром - супер симметричный индекс рассеяния.

12., Получены суперсимметричные формулы следов, выражающие суперсимметричный индекс рассеяния через разности полугрупп полного и асимптотического гамильтонианов.

13. Построена суперсимметричная теория рассеяния на препятствиях в многомерных евклидовых пространствах, порождаемая супер симметричными граничными условиями, и вычислен супер симметричный индекс рассеяния через эйлеровы характеристики препятствия и его границы.

14. Построена суперсимметричная теория рассеяния для оператора Лапласа на некомпактных римановых многообразиях, евклидовых в окрестности бесконечности, и показано, что суперсимметричный индекс рассеяния в этом случае выражается через интеграл от формы Черна-Г^усса-Бонне по многообразию и сводится к разности чисел квадратично-интегрируемых гармонических форм на многообразии четного и нечетного порядков.

I

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Борисов, Н. В., Иоффе, М. В., Эйдес, М. И., Вторичное квантование полевых систем на грассмановой алгебре, Теоретич. и мат. физика, 1976, Т.29, N1, с. 25-41.

2. Борисов, Н. В., Иоффе, М. В., Эйдес, М. И., Дуальные струны но хромодн-наыихи, Ядерная физика, 1979, Т.29 вып. 5, с. 1421-1423.

3. Борисов, Н. В., Иоффе, М. В., Эйдес, М. И., Взаимодействие струн в квантовой хромодинамике, Письма ЖЭТФ, 1979, Т.29 с. 506-510.

4. Борисов, Н. В., Иоффе М. В., Эйдес, М. И., String interaction in quantum chromodynamics, Phys. Lett. 1979, Vol. 87B,p. 101-105.

5. Борисов, H. В., Иоффе, M. В., Существование калибровочно-эквивалентных полей в окрестности инстантона, Вестник ЛГУ, Математиха-физика, 1979, N16 с. 103-105.

6. Борисов, Н. В., Иоффе, М. В., О неоднозначности калибровочных условий в окрестности инстантона, Ядерная физика, 1979, Т.29, вып. 3, с. 805-813.

7. Борисов, Н. В., Кулиш, П. П. Интеграл по траекториям в суперпространстве для релятивистской спи норной части цы во внешнем калибровочном поле, Теоретич. и мат. физика, 1982, Т.51, N3, С. 335-343. ' •

8. Борисов, Н. В., Спинорная Р-экспонента и спиновые струны в квантовой хро.иодинамике, Ядерная физика, 1982, Т.36, вып. 4, с. 1030-1040.

9. Андрианов, А. А., Борисов, Н. В., Иоффе, М. В., Эйдес, М. И., Суперсшше-тричная квантовая механика - новый взгляд на эквивалентность квантовых систем, Теоретич. и мат. физика, 1984, Т.61, N1, с. 17-27.

10. Andrianov, A. A., Borisov N. V., Eides, М. I., Ioffe, М. V., Supersymmctric origin of equivalent quantum systems, Phys. Lett., 1985, 109A, p. 143-148.'

11. Andrianov, A. A., Borisov, N. V., Ioffe, M. V., Nonstationary approach to scattering theory for supersymmetric Hamiitonians in quantum mechanics and super-symmetry of nuciear interactions, Phys. Lett., 1986, 181B, p. 141-144.

12. Андрианов, А. А., Борисов, H. В., Иоффе, M. В., Теория рассеяния для сулер-спмметричного гамильтониана и супер симметрия ядерных взаимодействий, Теоретич. и мат. физика, 1987, Т.72, N1, с. 97-111.

13. Borisov, N. V., Müller, W., Schräder, It., Relative index theorems and supersyminetric scattering theory, Commun. math. phys. 1988, v.114, p. 475-513.

14. Borisov, N. V., Ilinski, K. N., Uzdin. V. M., Quantum group particles and paras-tatistical excitations, Phys. Lett., 1992, 169A, p. 427-432.

15. Borisov, N. V., Ilinski, K. N., Uzdin, V. M., Generalized supersymmetry and new topological indexes for quantum GSQM- and ESQM- H&miltonians, Phys. Lett., 1992, 169A, p. 422-426.

16. Борисов, H. В., Ильинский, К. H., Уодин, В. М., Обобщенные алгебры супер симметричной квантовой мехаиики, Теоретич. и мат. физика, 1993, Т.94, N3, с. 418-425.

ore тир./оо j ох. £ее/7 /го т И о

го. о<. 94.