Методы суммирования рядов Фурье-Якоби и некоторые вопросы теории приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СП

сг,

Лг сг>

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

с САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

^ На

правах рукописи

ВАГАБОВ ИБРАГИМ АЛИЕВИЧ

Методы суммирования рядов Фурье-Якоби и некоторые вопросы теории приближений

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и-

У*

САРАТОВ 1998

Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор И.И.Шарапудинов.

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук,

профессор Б.П.Осиленкер, кандидат физико-математических наук, доцент С.Г.Кальней.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского пс адресу: 410071, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, Саратовский государственный университет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г.Чернышевского.

университет

Защита диссертации состоится &» _ 1998 г.

в час. ъо мин. на заседании диссертационного Совета К 063.74.04

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

П. Ф. Недорезов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ортогональные многочлены и ряды Фурье по этим многочленам находят широкое приложение в различных областях. В частности, они применяются в вопросах, связанных с обработкой, сжатием и передачей информации, при решении интегральных и дифференциальных уравнений путем разложений функций, участвующих в этих уравнениях, в ряды по ортогональным многочленам и в других задачах. В связи с этим представляют интерес вопросы сходимости 'частных сумм Фурье и их средних к разлагаемой функции. Отсюда, в свою очередь, возникают задачи исследования поведения норм операторов Валле-Пуссена

в пространстве С[~ 1Д].

Значительный интерес представляет также задача исследования разности между разлагаемой функцией и суммой типа Валле-Пуссена соответствующего разложения в ряд по ортогональным многочленам в зависимости от последовательности наилучших приближений этой функции алгебраическими многочленами. Эти вопросы являются предметом исследования первых двух глав диссертации. С другой стороны, хорошо известно, что при исследовании вопросов связи структурных свойств функции с ее последовательностью наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений) важную роль играют неравенства типа С.Н.Бернштейна и А.Зигмунда. В третьей

главе диссертации установлено неравенство типа Зигмунда в более общих функциональных пространствах.

Объект исследования. Изучаются операторы Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби в пространстве С[-1,1] и неравенство Лебега для тригонометрического полинома порядка п в пространстве Ьр^([0,2я]).

Цель работы. Исследовать ограниченность норм операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби в С[— 1,1] и получить оценки приближения непрерывной функции средними типа Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби, более точно учитывающие свойства последовательности наилучших приближений, а также получить аналог неравенства Зигмунда в

пространстве Ьр^([0,2л:]).

Общие методы исследования. В диссертации применяются общие методы теории функций и функционального анализа, методы теории приближений, а также методы теории ортогональных многочленов.

Научная новизна. С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена равномерно ограничены в пространстве С[- 1,1]. Получена оценка приближения

непрерывной функции суммами типа Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби. Получен аналог неравенства Зигмунда в

пространстве Ьр^([0,2т1]), когда р(х) удовлетворяет условию Дини-Липшица. Полученные результаты и методы их доказательства являются новыми.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении операторов Валле-Пуссена в с[— 1,1] и других функциональных пространствах. Результаты главы III могут быть использованы при дальнейшем изучении вопросов теории приближений в функциональных пространствах.

Апробирование работы. Основное содержание диссертационной работы докладывалось и обсуждалось на следующих семинарах и конференциях:

1. На ежегодных конференциях преподавателей ДГПУ (г. Махачкала, 1994-1997 г.г.);

2. На научно-методическом семинаре кафедры математического анализа ДГПУ (г. Махачкала, 1994-1997 г.г.);

3. На межвузовской конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Махачкала, 1996 г.);

4. На 9-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (г. Саратов, 1998 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х работах.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 74 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов работы.

Первая глава посвящена вопросу ограниченности норм операторов Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби в

пространстве С[- l,l].

Через С[—1,1] обозначим пространство непрерывных функций f(x), заданных на отрезке [- l,l] с нормой

I/II = тах{|/(зс): -1 < х < l}.

Пусть S^f(f) = S^f(f,x) - сумма Фурье функции f(x) из С[— l,l] порядка m по многочленам Якоби

р"'Р(а:) = ~х2)кр{хУк) >-1)'

где р(х) - (1 - х)а(1 + xf - весовая функция.

О/) - та/,a-) =~1[SaJ(f,x)+...+SaJ+n(f,x)}

п + 1 L J

- средние Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби.

В § 1.1 дается краткий обзор работ, посвященных вопросу сходимости частных сумм Фурье-Якоби S'^(f) и их средних.

В §1.2 приводятся основные свойства многочленов Якоби и весовая оценка

пУ\р^{х)\ < c(v,у)((1 - х)У + УпУ~/2 ■

1/

•((1 + Х)1А+УпУ~/2, (~1<х<1).

В § 1.3 получен аналог формулы Кристоффеля-Дарбу для сумм вида

к=О

Имеет место следующая Лемма 1.

к-О

j(j + а + р + 1)

2j + а + Р + 1

3-1

I

Ь=0

(а + Р + 1)(2к + а + р + 2) 1

+ — (зс - í)(а + р + 2)

(2 к + а + р + 3)(2 к + а + р + 1) 2 1

В §1.4 приводится основной результат главы I.

Теорема 1. Пусть - 1 < а, Р < 0, а,Ъ - положительные числа (а < Ь). Тогда средние Валле-Пуссена У^ =

7ТЪ

х) равномерно относительно а< — <Ь ограничены как линейные операторы, действующие в пространстве С[- 1,1] .

Следствие. Пусть /е С[— 1Д], £т(/) - наилучшее приближение / алгебраическими полиномами в пространстве с[— 1,1]. Тогда при соблюдении условий теоремы имеет место оценка

где С(а,Р,а,6) - положительная постоянная, зависящая от указанных параметров.

Вторая глава посвящена оценке приближения функции

/е С[— 1,1] средними типа Валле-Пуссена для сумм Фурье-

Якоби наилучшими приближениями функции алгебраическими полиномами.

л Г»

Пусть Р" (х) (п = 0,1,...) - ортонормированные многочлены Якоби с весом р(х), х) - частная сумма порядка п ряда Фурье по многочленам Якоби Р"'р(х),

= х),

Ь"'р(х) - функция Лебега ряда Фурье-Якоби, т.е. норма функционала в пространстве С[-1,1].

В §2.1 приводится краткий обзор статей, посвященных оценкам функции Лебега Ь^(х) для сумм Фурье-Якоби в С[— 1Д]. Ставится задача нахождения оценки сверху для

где

Т-л__71 7 _п+р^> /

средние Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби.

В §2.2 рассмотрен ряд свойств многочленов Якоби

В §2.3 доказываются некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 2. Пусть же[—1,1], множество Е измеримо, Е cz [—1,1], d(x,E) - расстояние от точки х до множества Е. Тогда при -1<а,Р и d{x,E)>8>0 имеем-.

\\K(x,t)\p(t)dt ^(a,p,S){|P^(ar)| + |Pna'p(*)|},

Е

где K(x,t) - ядро частных сумм Фуръе-Якоби, p(t) =

= (1 — t)a (1 + t)p - весовая функция, С(а, Р, 5) - постоянная, зависящая от указанных параметров.

Лемма 3. Пусть ~1<а,р, же[а,Ь]с:(-1,1), 0 <т<п, /еС[—1,1]. Тогда

(/,*)- (/, 4 < С(а, р, а, Ь) Щп - m + 1) • ||/||.

Лемма 4. Пусть — 1 < a < - ^, ~1<р. Тогда существует

постоянная С(a,Р) такая, что при ^ ^ ж < 1, 0 < m < п, /еС[ —1,1] имеем'.

\sa/(f,x)-si?{f,x)\<

< С(а, Р){1 + 1п[1 + (п - т)л/1-х]} • |/|.

Лемма 5. Пусть а = —- 1 < а < 0. Тогда суще-

ствует постоянная С(|3) такая, что при а < х < 1, 0<т<п, /еС[-1,1] имеем:

х) - X) < С(Р) 1п(п - т + 1) • |(/||.

Лемма 6. Пусть - 1 < а < - ^ > ~ ^А - 1 < а < 1. Тогда

существует постоянная С (а, Да) такая, что при а < х < 1, 0<т<п, /еС[~1,1] имеем:

- (/, И ^ С(а, Р, а) 1п[2 + (п - т)Н(х,а)] • ||/|

где

Н(х, а)

1. если а = [—1,1],

1, если а Ф

/2 ,х €

-I,

(1 - х)/г, если а Ф - ^% х е (/^ д]-

Далее с помощью лемм 2-6 доказывается

Теорема 2. Пусть / еС[-1,1], -1 < а < - ^ , -1<Д — 1<а<1,р- фиксированное натуральное число. Тогда

существует постоянная С(а,Р,а,р) такая, что при а < х < 1 имеем:

Qa/p(f,x)<C(a,M,p)2 X

„'_„ >,_n v + i

j'=n v=0

где [v] - целая часть числа v.

Третья глава посвящена неравенству Зигмунда в пространстве Ьр^([0,27г]).

§3.1 посвящен постановке задачи. Пусть р(х) - 271-перио-дическая измеримая существенно ограниченная функция. Через Ьр^([0,2тс]), как обычно, обозначим нормированное пространство 27Г-периодических измеримых функций с нор-

мой

[ 2 ic

||/|Ц=Иа>°: í

л*)

р(аг)

а

dx< 1

Пусть задан тригонометрический полином порядка п

п п

о ч *

= + 2uav cos vx + ^V sin \x. 2 V=1

В Lp[0,27i], pt.1, с нормой

/2л

= J|/(x)|Pdx

л/р

для Т(х) А.Зигмундом было получено неравенство

1|Т'||<п||Т||.

В главе 3 (§3.2) установлена следующая

Теорема 3. Пусть Т(х) тригонометрический полином порядка п, р—р(х) - 2п -периодическая функция, для которой выполнено условие Дини-Липшищ

где С = С(р) - постоянная, зависящая лишь от р = = vrai Бир р(х).

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Шарапудинов И.И., Вагабов И.А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье-Якоби //Математические заметки. 1996. Т. 60. Вып. 4. С.569-586.

2. Вагабов И.А. О приближении функций средними Валле-Пуссена //Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала. 1997. Вып.З. С. 73-77.

3. Вагабов И.А. О неравенстве Зигмунда в Ър^х\[0,2я]) //Современные проблемы теории функции и их приложения. Саратов. 1998. С. 34.

Тогда в ^^([0,271]) имеет, место неравенство

ми < С • 7г||Т||

0<1<2п