Метрики ограниченной сверху кривизны на двумерных полиэдрах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРНМНОВА Ирина Александровна

МЕТРИКИ ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ КРИВИЗНЫ НА ДВУМЕРНЫХ ПОЛИЭДРАХ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учакой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре геометрии Российского государственного педагогического университета им.А.И.Герцена.

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук С.В.Буяло

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Залгаллер

кандидат.физико-математических наук Ю.Г.Дуткевич

Институт математики Сибирского .отделения РАН

Защита состоится_О У- 195.6 г. в часов

на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, С.-Петербург, Ст.Петер-гоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет (ШУ), Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.Фонтанки, д.27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ПОМИ РАН).

Автореферат разослан ^О. 199^. г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

наук, доцент Р.А.1&щдт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В диссертации изучаются метрики ограниченной сверху кривизны на двумерных полиэдрах.

Пространства ограниченной сверху кривизны были введены А.Д.Александровым (см. /1-2/), в для случая неположительной кривизны - независимо Г.Буземаном (см. /10/).

В работах А.Д.Александрова, Ю.Д.Бураго, В.А.Залгаллера, Ю.Г.Решетняка и других по-сущаству была создана метрическая теория поверхностей.

В 60-70-е года общие метрические пространства ограниченной сверху кривизны изучались в работах В.Г.Берестовского, И.Г.Николаева, Ю.Г.Рештняха (см. /3; 6/) л других. Одним из результатов развития этой теории явилось решение проблемы синтетической характеризуйте римановых многообразий. Было доказано, что пространство (без края) с двусторонне ограниченными кривизнами является римановыы многообразием (см., например, /3/).

В 70-80-е годы изучение пространств ограниченной сверху кривизны было продолжено в работах S.Alexander, R.Bishop, в.Kleiner и других (см., например, /7/).

Существенный вклад в понимание пространств А.Д.Александрова с ограниченной снизу кривизной внесла работа / 5/ и последующие за ней работы Г.Перельмана, А.Петрунина,к.Srove, C.Plaut, S.Petereoa и других.

Интерес к пространствам ограниченной сверху кривизны на новом уровне, возродился в начале 80-х годов в результате работ М.Громова (см. /II; 12/), в которых метрические идеи А.Д.Александрова были применены к комбинаторной теории групп. Основным объектом этой теории являются 2-ыерные комплексы Кэли конечно поровденных групп (то есть,, по сути, двумерные полиэдры). Их геометрические свойства тесно связаны с алгебраическими характеристиками данных групп. Это послужило одной из мотивировок изучения геометрии двумерных полиэдров (W.Ballmann, M.Brln, S.Buyalo и др,, СМ. /8; 9/).

Естественным классом метрик на 2-полиэдрах являются метрики ограниченной сверху кривизны (ветвления, имеющее я на полиэдре, исключают возможность введения в нем метрики

ограниченной снизу кривизны).

Полученные в этой области результаты, как правило, ограничиваются кусочно-гладкими метриками на 2-полиэдрах. Для общих метрик пока нет достаточно развитой теории, которая включала бы, в частности, такой фундаментальный факт, как теорема Гаусса-Бонна. (Для кусочно-гладких метрик такая теория есть, см., непример, /9/).

Настоящая работа имеет своей целью заполнить этот пробел. А именно, мы вводим новый класс метрик на 2-полиэдре, называемых ручными. Грубо говоря, ручная метрика является равномерным пределом кусочно-гладких метрик ограниченной сверху кривизны.

Для этого класса метрик оказывается возможным ввести понятие заряда кривизны, доказать слабую сходимость зарядов кривизны и формулу Гаусса-Бонне для замкнутых 2-полиэдров, а тем самым перенести фундаментальные результаты теории поверхностей на (замкнутые) 2-полиэдры.

Цель работы состоит в изучении класса ручных метрик на 2-полиэдрах, который является замыканием (в равномерной топологии) класса кусочно-гладких метрик ограниченной сверху кривизны. Это изучение, включает, в себя определение заряда кривизны ручной метрики, доказательство слабой сходимости зарядов кривизны и формулы Гаусса-Боннэ на 2-полиэдре, а также обобщение известных ранее результатов для кусочно-гладких метрик на случай ручных метрик.

Методы исследования. Доказательства проводятся методами теории поверхностей с привлечением базовых фактов теории меры.

Главными техническими средствами является техника сингулярных дисков и кривых ограниченной вариации поворота. Б работе существенно используются результаты /2; 4/ о 2-мерных поверхностях ограниченной кривизны и /9/ о кусочно-гладких метриках на Злодиэдре.

Научная новизна. Все основные результате диссертации являются новыми. Б работе дана оценка вариации поворота существенного одномерного остова замкнутого 2-полиэдра для кусочно-гладких (ручных) метрик ограниченной сверху кривизны;

определено понятие сингулярного диска на замкнутом 2-полиэд-ре и доказана теорема о сходимости индуцированных метрик на сингулярных дисках; введено понятие ручной метрики на 2-поли-эдре, определен заряд кривизны этой метрики и доказана теорема о слабой сходимости зарядов кривизны на замкнутом 2-поли-эдре; для заряда кривизны ручной метрики получена формула Гаусса-Бонне; обобщены на случай ручных метрик некоторые результаты, известные для кусочно-гладких метрик.

Теоретическая и практическая пенность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении метрик ограниченной сверху кривизны на 2-полиэдрах.

Аппобапия работы. Результаты работы многократно докладывались на геометрическом семинаре РГПУ им.А.И.Герцена (руководитель проф. А.Л.Вернер), а также на геометрическом семинаре Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова РАН (руководитель проф. Ю.Д.Бураго).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 71 страницах и состоит из введения и пяти глав. Библиография содержит 65 названий.

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Буяло С.В. за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБ0!Ш

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации и дается обзор основных результатов.

В главе I приводятся необходимые предварительные сведения о 2-поливдрах и метриках ограниченной сверху кривизны, которые будут использованы дальше.

В главе П получена следующая оценка вариации поворота существенного одномерного остова 2-пояиэдра.

Теорема 2.1,4. Пусть А, есть кусочно-гладкая метрика кривизны не более т. на замкнутом 2-полиэдре X . Для вариации поворота <иЛуЛ X относительно оЬ имеем ¡г1(ел4<Х) « г1 + СА • 10 (X ч ебЛ,, X ) ?

где постоянные с( и зависят только от топологии X .

Здесь <-о есть заряд кривизны метрики сС .

Данная оценка основана на следующем наблюдении (см. лемму 2,3.2): значительный положительный поворот ребра со стороны одной из & >. з сиекных с ним граней порождает пропорционально болыцую отрицательную кривизну вдоль ребра для метрики ограниченной сверху кривизны. Этот эффект является чисто "полиэдральным" и отсутствует для поверхностей.

В главе Щ (п.3.1) введено понятие ручной метрики.

Метрика & на 2-полиэдре X называется ге -ручной, если Ы, есть равномерный предел последовательности сСп яусочно-гладких метрик кривизны не более с Ь.т. чи.р -ге„,

г эе. таких, что вариации зарядов кривизны и^х)

равномерно ограничены.

В данное определение включено условие на вариацию /¿о„ /, поскольку это стандартное условие в теории поверхностей (см. /2/), позволяющее доказать сходимость ыногих геометрических характеристик при равномерной сходимости рассматриваемых метрик. Поэтому оно представляется естественным и в данном случае.

При ее. <.о , либо если -х-п. & о для всех п, , условие.на / / можно опустить, более того, в этом случае эе. -ручная метрика имеет кривизну не более «е. (см. 1.3).

Остается открытым вопрос, верно ли, что любая -ручная метрика имеет кривизну не более эе. ? Проблема здесь, видимо, связана со структурой простых замкнутых кривых, которые на 2-полиэдре, в отличие от поверхности, могут ограничивать любую компактную поверхность,

В п.3.2 рассматривается понятие сингулярного диска, которое является основным инструментом при изучении ручных метрик. Сингулярный диск и в 2-полиэдре К еоть, грубо говоря, конус над циклом (без точек возврата) в линке точки полиэдра X . Кусочно-гладкая метрика & на X индуцирует внутреннею метрику на 2> с той же, как и для с1

верхней границей кривизны.

Ключевой для настоящей работы является теорема 3.3 о сходимости метрик, индуцированных на сингулярных дисках.

Теорема 3.3. Пусть с1 есть эе -ручная метрика кривизны не более * на замкнутом 2-полиэдре X , \ - соответствующая последовательность кусочно-гладких метрик, аппроксимирующая Ж . Тогда для любого сингулярного диска Г> в X последовательность индуцированных метрик непрерывно

равномерно сходится к метрике на I) , индуцированной метрикой (I .

Доказательство этой теоремы использует оценку 2.1.4 вариации поворота существенного 1-остова полиэдра.

В качестве следствия теоремы 3.3 и результатов А.Д.Александрова и В.А.Залгаллера /2/ получаем (см. следствие 3.4), что для ручной метрики сС на X и для любого сингулярного диска ]) индуцированная метрика ¿ъ есть метрика ограниченной сверху кривизны и что для нее определено понятие заряда кривизны. Более того, заряды кривизны метрик локально слабо сходятся к заряду кривизны метрики с1ь , где кусочно-гладкие метрики аппроксимируют метрику <£ .

В главе 1У мы определяем заряд кривизны со ручной метрики <К на замкнутом 2-полиэдре, используя заряды кривизны индуцированных метрик с1д> на сингулярных дисках, а также доказываем корректность этого определения.

При этом имеет место теорема о слабой сходимости зарядов кривизны.

С помощью этой теоремы мы доказываем формулу Гаусса-Бон-не для ручной метрики.

Теорема 4.4. Для ручной метрики с1 ограниченной сверху кривизны на замкнутом 2-полиэдре X справедлива формула Гаусса-Бонне , _ , *

со (.X) = г«Жу С*) ,

где есть заряд 1фивизны метрики А, , а / Сх) - эйлерова характеристика полиэдра.

Как приложение полученных результатов о ручных метриках, в главе У обобщаются некоторые факты, известные для кусочно-гладких метрик.

В частности, имеет место следующая

Теорема 5.1 (ср. /9, теорема 3/). Существует замкнутый 2-полиэдр X , являющийся объединением конечного набора квадратов и такой, что

(1) метрика c¿„ на X , в которой все грани X являются единичными квадратами, имеет неположительную кривизну;

(2) для любой ручной метрики d неположительной кривизны на полиэдре X все его грани плоские и все его ребра геодезические ;

(3) фундаментальная груша полиэдра X является гиперболической в смысле Громова.

В п.5.2 доказана теорема о том, что эйлерова характеристика простого полиэдра X неположительна, если на X задана ручная метрика неположительной кривизны.

Литература

1. Александров А.Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее -приложения // Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. - 1951. - 38. -

С.5-23.

2. Александров А.Д., Залгаллер В.А. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Труды Математического ин-та иы.

B.А.Стеклова АН СССР. - 1962. - 63. - 262 с.

3. Берестовский В.Н., Николаев И.Г. Многомерные обобщенные риыановы пространства // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1989. - 70 (Геометрия 4). -

C.190-272.

4. Бураго Ю.Д. Кривые в сходящихся пространствах // Труды Математического ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. - 1965. -76. - С.5-25.

5. Бураго Ю., Громов М., Перельман Г. Пространства

А.Д.Александрова с ограниченными снизу кривизнами // Успехи математических наук. - 1992. - 47. - С.3-51.

6. Решегняк Ю.Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 70 (Геометрия 4). - 1989. - С.7-189.

7. Alexander S,В., Biehop B.l. Comparison theorems for curvee of bounded geodesic curvature in Metric spaces of curvature bounded atove. Differential geometry and its applications. V.6. If 1, 1996. S.67-86.

8. Bellm&im W., Brin M. Orbihedra of nonpositive curvature. Publ» Math. IHES, N 82 (1995). S.169-209.

9. Ballnann W., Buyalo S. Honpositively curved metrics on 2-polyhedra / Mathematisch Leitschrift. - 1996. - 222. -S.97-134.

10. Buserean H. Spaces with nonpositive curvature. Acta Math. 80 (1948).

11. Gronov M. Hyperbolic groups Essays in group theory

( S U Gersten, eds.). Math. Sciences Research Institute Publications. Number 8. Springer - Verlag, New York Berlin Heidelberg, 1987. PP.75-264.

12. Gronov M. Hyperbolic manifolds, groups and actions Rleaann Surfaces and Related Topics (I. Kra and S.Maskit, eds.). Procedings, Stony Brook 1978, Annals of Math.Studies, Nitrter 97, Princeton University, 1981. PP.83-213.

Работы автора по теме диссертации

13. Аршияова И.А. Кривизна и формула Гаусса-Бонне для одного класса метрик на 2-полиэдрах / Рос. гос.пед. ун-т им. А.И.Герцена. - С.-Петербург, 1995. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ. » 428. - В 96.

14. Аршинова И.А. 0 замыкании класса кусочно-гладких метрик неположительной кривизны на 2-полиэдрах /Рос. гос. пед. ун-т им, А.И.Герпена. - С.-Петербург, 1995. - 16 с. -Деп. в ВИНИТИ. - » 3318. - В 95.

15. Арпшнова И.А. Оценка поворота одномерного остова 2-полиэдра для метрики ограниченной сверху кривизны / Рос. гос. пед. ун-т им. А.И.Герцена. - С.-Петербург, 1995. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ. - Я 3319. - В 96.

16. Arshinova I.А., Buyalo 3,V. Metrics of curvature bounded from above on 2-polyhedra. - St.Petersburg. РОЮ PREPRINT - 20/1995.