Многомерные предельные теоремы для вероятностей больших уклонений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.Д.

Глава I. ВЕРОЯТНОСТИ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ В Я

ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЯ КРАМЕРА.Л0.

§ 1.1. Формулировка результатов

§ 1.2. Леммы .Л1.

§ 1.3. Доказательства теорем 1.1 и 1.2 .Л1.

Глава 2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ БОЛЬШИХ

УКЛОНЕНИЙ В ЗОНАХ ЛИННИКА .Л0.

§ 2.1. Обозначения и основные результаты .??.

§ 2.2. Доказательства теорем 2.1 и 2.2 .Дб.

§ 2.3. Доказательства теорем 2.3-2.

§ 2.4. Многомерные локальные предельные теоремы для больших уклонений

Глава 3. О ВЕРОЯТНОСТЯХ УМЕРЕННЫХ УКЛОНЕНИЙ В

I. Пусть Й - евклидово пространство векторов

1/2 , к"' X1"

5 \ с нормой |х| последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со значениями в Я3 , с нулевым средним и с единичной ковариационной матрицей. Пусть Р(х) - закон распреV деления вектора Л

Положим Х(1)+ . + Х(а) , а £(*) ИФ(Ю -функции распределения соответственно 5л/|/гГ и нормального вектора с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей.

Задача о больших уклонениях в обычно ставится как нахождение асимптотики ( п -> ©о ) вероятностей чад = Р{Ч/Й €Дг} . (I) в предположении, что последовательность выбирается из 5 некоторого класса подмножеств к таким образом, что (I) стремится к нулю при а-»ос ,

В настоящей работе исследуется нормальное приближение для вероятностей (I) в следующих трех случаях:

1). Когда выполнен многомерный аналог условия Крамера, т.е. когда интеграл

ЬМ = сходится для всех ¡к[<(-1 , Н >о .

2). Когда выполнено условие типа Ю.В.Линника, т.е. когда

1е2°К1)сСР(х)<оо, 2(х)6ХА, е ырм (2) 5 где - класс неубывающих функций, удовлетворяющих условиям монотонно убывает, а ^(х) - функция, сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности при ( условие (3) было введено С.В.Нагаевым в одномерном случае (см. [23], [64]) и является некоторым ослаблением известных условий Ю.В.Линника ).

3). Когда fOО при 1*1«о убывает степенным образом.

2. Исследованию вероятностей больших уклонений крамеровско-го типа в одномерном случае посвящено довольно много работ. Первыми результатами в изучении предельных теорем с учетом больших уклонений были работы А.Я.Хинчина [62] и Н.В.Смирнова [48], в которых рассматривались большие уклонения для схемы Бернулли. Первые общие результаты в этом направлении получены Г.Крамером [20] (1938г.). Дальнейшее развитие теории больших уклонений крамеровс-кого типа находим в работах В.В.Петрова [29] - [3lJ, В.Статуляви-чуса [68], Л.Саулиса [40] - [42] и др. В.В.Петров обобщил теорему Крамера на случай неодинаково распределенных величин и заменил порядок роста o(fîz/fon) на х=о(ш) • В.Статулявичус доказал общую теорему для любой случайной величины, удовлетворяющей условию Крамера в терминах семиинвариантов. В частности в качестве этой случайной величины можно взять суммы как независимых так и зависимых случайных величин. Л.Саулис получил асимптотические разложения остаточного члена в асимптотике вероятностей больших уклонений.

Общие асимптотические формулы для вероятностей Fn(Da) при а оо для некоторых последовательностей [Т>п\ подмножеств R , имеющих "большие отклонения^' от нуля, при условии (2) получены в работах АА.Боровкова, Б.А.Рогозина [10] и А.Б.Нагаева, С.К.Сакояна [24] . Но главный член асимптотики вероятностей Рп (при п оа ) в упомянутых формулах выписывается аналогичным одномерному случаю образом только для множеств » расстояние которых от начала

6 , координат не превышает величины ¿а п (в одномерном случае для ж = о(п/с) ).

Дальнейшие исследования В.Рихтера [34], Б. фон Бара [59], Л.В.Осипова [28], А.Алешкявичене [I], Л.Саулиса [67], [45] показали, что для некоторых специальных классов последовательностей 11)п| , главный асимптотический член вероятностей (I) можно выразить более "наглядным" образом.

В зависимости от структуры множеств 1>а можно выделить три случая аналитического выражения асимптотических формул для вероятностей Ргг(Вгг):

1-ый случай ( подкласс выпуклых множеств), когда ряд Крамера достаточно рассматривать в ближайшей точке множества от начала координат, т.е. когда множитель с многомерным рядом Крамера полностью выносится из под знака интеграла.

Исследованию этого случая посвящены работы Л.Осипова [28], А.Алешкявичене [I], Л.Саулиса [67]. Для прямоугольных множеств аналогичные результаты получены Б. фон Баром [59].

2-ой случай (внешности шаров с центрами в начале координат), когда множитель с многомерным рядом Крамера частично выносится из под знака интеграла, т.е. когда остается проинтегрировать его по поверхности единичного шара.

К этому случаю относится работа Б. фон Бара [59].

3-ий случай , когда множитель с рядом Крамера оставляется под знаком интеграла. Такая теорема получена в работе

Б, фон Бара [59] для множеств Ъ £ являющихся разнастью двух выпуклых множеств.

Ю.В.Линник [21] , [22] ввел ослабление условия Крамера и рассматривал вероятности больших уклонений, когда хе/?1 меняется в зонах [о,/г*], 0<сС < ~ . Работы В.В.Петрова £32] являются развитием исследований Ю.В.Линника и содержат значительное обобщение его результатов. Дальнейшие результаты в этой области находим в работах В.Вольфа [14]-[16], [69], Л.Саулиса [40]-[42]. Во всех работах в оценках остаточных членов фигурировала функция , сколь угодно медленно стремящаяся к бесконечности. С.В.Нагаеву [23] удалось функцию заменить константой. Дальнейшие исследования в этом направлении находим в работах Л.В.Осипова [25], Н.Н.Амосовой [3], В.Вольфа [16], [70], В терминах семиинвариантов доказана общая лемма (Р.Рудзкис, Л.Саулис, В.Статулявичус [39]), учитывающая большие уклонения как в зоне Крамера, так и в зонах Линника.

Многомерные предельные теоремы больших уклонений в зонах Линника впервые получены в работах Л.Вилкаускаса [II]-[13]. В.-Д.Рихтер [64] рассматривал вероятности больших уклонений на прямоугольных множествах, когда случайные векторы удовлетворяют условию (3). В работах Л.В.Осипова [27]и Л.В.Розовского [37] найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы соотношение ^п, (£>п^ стремилось к единице.

Ф(Аг)

Исследование вероятностей умеренных уклонений в одномерном случае (когда о < х * с i(tnn ) было начато Г.Рубином и И.Сатураманом [66]. Дальнейшие результаты в этом направлении находим в работах Н.Н.Амосовой [4]-[7] и А.Сластникова f

46] , [47]. Обобщение этих результатов на многомерный случай дано в работах А.Сластникова [47] , В.-Д.Рихтера [65].

Локальные предельные теоремы больших уклонений в одномерном случае рассматривались В.Рихтером [35], когла распределение

Г(х) удовлетворяет условию Крамера и x = o(fn) . рЯд локальных теорем в зонах Линника получен в работах Ю.В.Линника [22], В.В.Петрова [32], [33], Л.Саулиса [42], В.Вольфа [14], Н.Амосовой [3]и др. . В статье Л.Саулиса [43]при условиях на рост семиинвариантов закона F(x) доказана общая лемма больших уклонений для плотностей.

Многомерные локальные предельные теоремы больших уклонений при выполнении условия Крамера (2) получены в работе В.Рихтера [Зб]. Локальные теоремы умеренных уклонений в RS находим в работе Н.Н.Амосовой и В.-Д.Рихтера [8].

3. Перейдем к краткому обзору содержания диссертации.

1. Алешкявичене A.K. Многомерные интегральные предельные теоремы для вероятностей больших уклонений. - Теория вероятн. и ее примен., 1983, т. ХХУШ, fe 1. с. 62-82.

2. Амосова H.H. Локальные предельные теоремы для больших уклонений. ДАН СССР, 1972, т.202, № 3, с.-503-506.

3. Амосова H.H. Некоторые предельные теоремы для вероятностей больших уклонений при нарушении условия Крамера. Канд. дис. Ленинград, 1972.

4. Амосова H.H. Локальные предельные теоремы для вероятностей умеренных уклонений. Лит. матем. сб., 1974, т. Х1У, № 3, с. 47-55.

5. Амосова H.H. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1979, Т.ХХ1У, № 4, с. 858-865.

6. Амосова H.H. О вероятностях умеренных уклонений. Записки научн. семин. ЛОМИ, 1979, т.85, с. 6-16.

7. Амосова H.H. О предельных теоремах для вероятностей умеренных уклонений. Бестн. Лен. ун-та, 1972, N°. 13, с. 5-14.

8. Амосова H.H., Рихтер В.-Д. Умеренные уклонения для плотностей в RK . Записки научн. семин. ЛОМИ, 1982, тЛ19,с.7-13.

9. Бикялис А.П. Асимптотические разложения для плотностей и распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов. Лит. матем. сб., 1968, т.УШ, №1, с.407-421.

10. Боровков A.A., Рогозин Б.А. О центральной предельной теореме в многомерном случае. Теория вероятн. и ее примен., 1965, т. X, te I, с. 61-69.

11. Вилкаускас Л.Л. Зоны нормальной сходимости в многомерном случае. Лит. матем. сб., 1961, т.1, fö 1,2, с. 25-40.

12. Вилкаускас Л.Л. Две интегральные теоремы о больших уклонениях в многомерном случае. Лит. матем. сб., 1963, т.1,2, с. 53-57.

13. Вилкаускас Л.Л. Большие уклонения типа Линника в многомерном случае на некоторых областях. Лит. матем. сб., 1965, т.У, № I, с. 25-43.

14. Вольф В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. ДАН СССР, 1968, т.178, Ш I, с. 1-23.

15. Вольф В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений сумм независимых случайных величин.- ДАН СССР, 1970, т.191, № 6, с. I209-I2II.

16. Вольф В. О вероятностях больших уклонений в случае нарушения условия Крамера. Math. Nahr. 1975, т.70, с. 197-215.

17. Гнеденко Б.А., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л., 1949.

18. Гячаускас Э. Большие уклонения в случае областей. Лит. матем. сб., 1974, Т.Х1У, № 4, с. 71-77.

19. Ибрагимов И.Л., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

20. Крамер Г. Об одной новой теореме теории вероятностей. Успехи мат. наук, 1944, т.Х, с. 166-178.

21. Линник Ю.В. Новые предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.-ДАН СССР, i960, т.133, № 6, с. I29I-I293.

22. Линник Ю.В. Предельные теоремы для суш независимых случайных величин при учете больших уклонений, I, II, III. -Теория вероятн. и ее примен., 1961, т. У1, № 2, с. 145-163; 1961, т. У1, № 4, с. 377-391; 1962, т.УП, Ш 2, с. I2I-I34.

23. Нагаев C.B. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятн. и ее примен., 1965, т. X, № 2,с. 231-254.

24. Нагаев A.B., Сакоян С.К. Предельные теоремы учитывающие большие уклонения в RK . ДАН СССР, 1972, т. 204, № 3, с. 554-556.

25. Осипов Л.В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т.ХУИ, Ш 2, с. 320-341.

26. Осипов 31.В. О вероятностях больших уклонений для сумм независимых случайных векторов. Теория вероятн. и ее примен., 1978, т.XXIII, № 3, с. 510-526.

27. Осипов Л.В. Многомерные предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятн. и ее примен., 1975, т.XX, № I,с. 40-57.

28. Осипов Л.В. Вероятности больших уклонений сумм независимых случайных векторов для некоторых классов множеств. Матем. заметки, 1982, т.31, № I, с. 147-152.

29. Петров В.В. Распространение предельной теоремы Крамера на неодинаково распределенные независимые величины. Вестник ЛГУ, 1953, Ш 8, с. 13-25.

30. Петров В.В. Обобщение предельной теоремы Крамера. Успехи мат. наук, 1954, т.9, №4, с. 195-202.

31. Петров В.В. О больших уклонениях сумм случайных величин. -Вестник ЛГУ, 1961, № I, с. 25-57.

32. Петров В.В. Предельные теоремы больших уклонений при нарушении условия Крамера. I, II. Вестник ЛГУ, 1963, № 19, с. 49-68, 1964, № I, с. 58-75~.

33. Петров B.B. О вероятностях больших уклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. ДАН СССР 1964, т.154, № 4, с. 771-774.

34. Рихтер В. Многомерные предельные теоремы для больших уклонений и их применение к распределению Jt . Теория веро-ятн., 1964, T.IX, № 4, с. 31-42.

35. Рихтер В. Локальные предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятн. и ее примен., 1957, т. XI, № 2,с. 214-229.

36. Рихтер В. Многомерные локальные предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятн. и ее примен., 1958, т.111, Ш I, с. I07-114.

37. Розовский Л.В. О вероятностях больших уклонений в Рк . -III Вильнюсская конф. по теории вероятн. и мат. статистике (1981). Тезисы докладов, т.З, Вильнюс, изд-во ИМК АН ЛитССР 1981, с. 293-294.

38. Ротарь В.И. Неравномерная оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Теория вероятн. и ее примен., 1970, т.ХУ, № 4, с. 647-665.

39. Рудзкис Р., Саулис Л., Статулявичус В. Общая лемма о вероятностях больших уклонений. Лит. матем.сб., 1978, т.ХУЗЖ,2, с. 99-116.

40. Саулис Л.И. Асимптотические разложения для вероятностей больших уклонений. Лит. матем. сб., 1969, т. IX, № 3, с. 605-625.

41. Саулис Л.И. Предельные теоремы, учитывающие большие уклонения при выполнении условия Ю.В.Линника. Лит. матем. сб., 1973, т.УШ, № 4, с. 173-196.

42. Саулис Л.И., Накас А. Асимптотическое разложения для больших уклонений при нарушении условия Крамера. Лит. матем. сб., 1973, т.ХШ, №1, с. 200-219.

43. Саулис Л.И. Общая лемма для плотностей с учетом больших уклонений. Лит. матем. сб., 1980, тХХ, № 4, с. 165-185.

44. Саулис Л.И. Асимптотическое разложение для плотности распределения сумм независимых неодинаково распределенных многомерных случайных величин. Лит. матем. сб., 1971, т.II, Ш 3, с. 651-663.

45. Саулис Л.И. О больших уклонениях для случайных векторов для некоторых классов множеств. 1,11, Лит. матем. сб., 1983, т.ХХШ, № 3, с. 142-154. №4, с.50-57.

46. Сластников А.Д. Предельные теоремы для вероятностей умеренных уклонений. Теория вероятн. и ее примен., 1978, т. ШП, № 2, с. 340-357.

47. Сластников А.Д. Вероятности умеренных уклонений. ДАН СССР 1978, т. 238, № 4, с. 814-815.

48. Смирнов Н.В. О вероятностях больших уклонений. Мат. сб., 1933, № 40, с. 443-454.

49. Светулявичене В.К. О вероятностях больших уклонений для сумм случайных векторов. Лит. матем. сб., 1981, т.XXI, № 2, с. 191-199.

50. Светулявичене В.К. О вероятностях больших уклонений в многомерном случае. Сб. Применение теории вероятн. и матем. стат., № 4, изд-нивШМК АН ЛитССР, 1981, с. 136-160.

51. Светулявичене В.К. Многомерные локальные предельные теоремы больших уклонений при нарушении условия Крамера. -ШВиль-нюсская конф. по теории вероятн. и мат. статист.,Тезисы докладов, т.2, Вильнюс, изд-ниеИМК АН ЛитССР, 1981, сЛ37-138.

52. Светулявичене B.K. Многомерные локальные предельные теоремы для вероятностей умеренных уклонений. Лит. матем. сб., 1982, т. XXII, № 4, с. 109-ГО.

53. Светулявичене В.К., Алешкявичене А.К. О вероятностях умеренных уклонений сумм независимых случайных векторов. -Сб.: Стат. проблемы управления, изд-ниеИМК АН ЛитССР, 1982, № 55, с. 65-80.

54. Светулявичене В.К., Алешкявичене А.К. О вероятностях умеренных уклонений в R5 . ХХ1У конф. Лит. матем. общества. Тезисы докладов, 1983, № I.

55. Светулявичене В.К., Алешкявичене А.К. О вероятностях умеренных уклонений в многомерном случае. Лит. матем. сб., 1984, т. ХХ1У, № 3, с. 3-16.

56. Светулявичене В.К. Некоторые многомерные предельные теоремы больших уклонений в зонах Линника. Сб.: Теория оптимальных решений, изд-ниеИМК АН ЛитССР, 1984, Ш 10, с. 132-143.

57. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применение, т.2. М.: Мир, 1967.

58. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.З. М., I960.

59. В.von Bahr. Multi-dimensional integral limit theorems for large deviations. Arkiv för matematik, 1967, v.7, Nr.7, p. 88-99»

60. B.von Bahr. Multi-dimensional integral limit theorems. -Arkiv för matematik, 1967, v.7, Nr.6, p. 71-88.

61. Bhattacharya R.N., Rao R.R. Normal approximation and asymptotic expansion. New lork, 1976.

62. Khintchine A. Uber einen neuen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. -Math. Annalen, 1923, 101, p¿ 74-5-752.

63. Renyi A. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin, 1962.

64. Richter W.-D. Uber Wahrscheinlichkeiten grossen Abweichungen Standardisierten Summne unabhängiger Zufallsvektoren.- Math. Nachr., 1978, v.84, p. 345-358.K

65. Richter W .-D. Moderate deviations in special sets of R- Math. Nachr., 1983, v.113, p.339-354.

66. Rubin H., Sethuraman I. Probabilities of moderate deviations,- Sankhya, 1965, v.27, p. 325-346.

67. Saulis L.I. On approximations by the normal distributions in R5 . IV USSR-Japan Symposium on probab. theory and math.stat., Tbilisi, 1982, v.2, p. 192-193.

68. Statuleviöius V.A. On large deviations. Z.Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 1966, v.6, p. 133-144-.

69. Wolf W. Einige Grenzwertsatze für grosse Abweichungen I und II. Wissunschaftl Zeitschrift der TU Dresden, 1971» v. 20, Nr.4, 1972, 21, 4.

70. Wolf W. Asimptotische Entwicklungen für Wahrscheinlichkeiten grossen Abweichungen. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., 1977, v. 40, p. 239-256.

71. Yurinski V.V. Exponential inequalities for sums of random vectors. J. of Multivariate Analysis, 1976, v.6, p.473-499.