Многоточечная задача в абстрактных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ВАЛЩКИЙ Юрий Николаевич

На правах рукописи

УДК 517.946

МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА В АБСТРАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.ОТ.02 - дифференциальные уравнения -и математическая физика

Автореферат диссертацт: на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1993

Работа выполнена в Институте математики СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ПТАШШК Богдан Иосифович,

доктор физико-математических наук, профессор МЕЛЬНИКОВА Ирина Валериановна,

доктор фжзико-математичзских наук, профессор БУХГЕЙЫ Александр Львович

Ведущая организация:

Московский государственный университет

Защита состоится »¿ТУ у1993 года,

в часов на заседании Специализированного совета Д 063.98.02 по зшцит.е диссертаций на срискание ученой степени доктора физико-математических наук при Новосибирском государственном университете .' го адресу:

630090, Новосибирск, Университетский проспект, 6.

С диссертацией можно ознакомиться.в библиотеке Новосибирского государственного университета ■

Автореферат разослан Я^Х^ 1993 года

Ученый секретарь

Специализированного совета / /

доктор физ.-нат. наук кихов

Актуальность теш и краткая тотошя вопроса

' Многоточечные задачи для дифференциальных уравнений возникают при изучении какого-либо процесса или состояшш по результатам проб в нескольких точках, слоях или моментах времени. Поэтому представляется естественен« исследовать эту задачу для дифференциальных уравнений достаточно общего вида.

Изучение многоточечных задач борот начало, по-видимому, в работах Я.Тамаркина [I], затем Ш.Валле-Пуссена £2]. В дальнейшем исследования велись с разных точек зрения. Для обыкновенных уравнений связь корректности со свойством неосцилляции дифференциального оператора рассматривалась в работе [2], а позднее весьма исчерпывающее исследование провел А.Ю.Левин[з]; свод1су результатов по исосщшшщш можно найти в статье В.Коппеля{4]. Ю.В.Покорный, А.Л.Тептаа, В.Я, Дерр [5-73 и ДРУгае авторы связали изучение шоготочеч-ной задачи со свойствами функции Грина двТфермшиаяыюго оператора. Многоточечная задача для конкретных равнений изучалась рядом зарубежных математиков, главным образом, в связи с приложениями.

Для уравнений в частных производных глубокие исследования проведены В.Я.Скоробогатысо, Б.И.Пташшкои и их учениками; основные результат» изложены в монографиях [8,9] . Они рассмотрели задачу в к точках для уравнений п -го порядка по выбранной переменной при тех или иных ограничениях на тип уравнения; при этом условия существования: я единственности решения, как правило, связываются с оценками корней характеристического уравнения.

Ряд интересных результатов по классической я.условной корректности многоточечных задач для уравнений в '-астиых производных принадлежит С.П.Шншатскому, цредлогшзиему веро-ятноепшй подход к иссутцовашпэ корректности £Ю,П].

Обширная литература гостшпена изучеишэ тех или лшх задач для дшТя'вреш'и&яьннх уразпенпй в нормировании;' пространствах. Пре:.-де всего, это книга С.Г.КреЛиа в которой для исследования краевой задачи и задачи Кош привлечен аппарат дробных степеней оператора и метод полугрупп. Идеи ото;:' книги получили развитие в работах С.П.Мгшатского |_13}, И.О.Мельниковой [141 к других авторов.

Исследование многоточечных задач,, являющихся, как правило, некорректными, потребовало методики, разработанной для некорректных задач А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым, В.К.Ива' новым и их учениками. Так, И.А.Атаходааев пользуясь

методом логарифмической выпуклости М.М.Лаврентьева и разложением по собственным функцшпЛ, получил оценки условной корректности для уравнения, содержащего операторный коэффициент. Следует отметить также работу Н.В.Цывиса и Н.И.Юрчука где получены существование и единственность решения задачи в трех точках для уравнения 3-го порядка с операторным коэффициентом..

Цель работы и основные -результаты

Основной задачей автора явилось, во-первых, получение условий корректности задачи в а точках для линейного дифференциального уравнения п.-го порядка с операторными коэф фициентами в нормированном пространстве и, во-вторых, получение оценок условной корректности при ограничениях, налагаемых не на искомое решение,'а на данные задачи, т.е. на точечные данные и на правую часть уравнения. В этом направлении получены слсдущие результаты.

Дл'~ уравнения 4-го порядка с операторным коэффициентом установлены существование и единственность решения 4-точечной задачи при ограничениях на расположение спектра оператора и асимптотику его резольвенты.

Для однородного уравнения П.-го порядка, коэффициенты ■ которого суть операторы, имеющие общий ортогональный базис из собственных элементов, исследована задача с данными в П. точках. Путем разложения решения в ряд Фурье по собственным элементам наедены условия существования, единственности и непрерывной зависимости решения от точечных данных в виде оценок корней характеристического уравнения б собственных подпространствах. Если эти оценки не имеют места, то получены оценки решения гельдерова типа при условии достаточно быстрого убывания коэффициентов Фурье точечных данных.

Показано, что для неоднородного уравнения условия корректности и оценки условной корректности - те яе, что и

для однородного, при 'естественных ограничениях на правую часть. При натачии возмущающего члена получены условия сохранения классической корректности в ввде оценки норм! возмущающего оператора.

. Исследована на предмет классической корректности задача с распределенными данными в виде интегралов Стильтьеса от искомой функции.

Изложенные выше результаты обобщены на случай, когда операторы - коэффициенты уравнения - имеют конечнократный спектр с общей системой порождающих векторов.

Структура и объем работа

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Полный объем работы - 117 страши];; список литературы содержит 73 названия. -

Во введении приводится краткий обзор литературы по многоточечным задачам и кратко излагается содержание диссертации.

Первач глава посвящена исследованию 4-точечной задачи да уравнения 4-го порядка. В первых трех параграфах исследуется корректность следующей задачи:

Здесь и=и(1г) - функция со значениями в банаховом пространстве, А - линейный замкнутый оператор, множество регулярных точек которого содержит некоторый угол компле :снок плоскости, внутри которого леуит начало координат, причем на биссектрисе этого угла резольвента оператора А удовлетворяет неравенству

При этих условиях для гссх üd, 0<0С<1> шя1'о опреде-шть оператор "А'. Будем, далее, считать, что спектры хотя

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(I)

Цг(р. при ,0=tö<t1<rta<tssT.

(2)

.1 ,4-

бы одного из операторов ¡Кн и —¡К и хотя бы одного из опе-1 ±

раторов 1кн и -¡.А'1 лежат левее некоторой прямой, параллельной МНИМОЙ ОСЕ.

Разлагая и(1) в сумму четырех слагаемых, каждое из которые удовлетворяет уравнению 1-го порядка и представляется через

полугруппу, порожденную одним из операторов ш

на основании точечных данных приходил к системе алгебраических уравнений с определителем О(А) - функцией оператора А" Исследование нулей этого определителя (составляющее содерва-ние леммы 1.1) позволяет получить условия на спектр оператора

А", обеспечивающие корректную разрешимость задачи.

Используя теорему Данфорда об отображении спектров, мы приходим к следующим теоремам.

Теорема 1.1. Если оператор А ограничен, то для коррек-. тности задачи (1)-(2) необходимо и достаточно, чтобы спектр

А^ не пересекался с множество^ ' Н-^ нулей функции Х)^)* Пусть теперь А не ограничен.

Теорема 1.2. Для существования ограниченного оператора

[Ь(А^ необходимо, чтобы спектр не пересекался с

в расширенной. комплексной плоскости. Отмечаются следующие возможности.

Пусть <з(АА) лекит в полуполосе | Зтй)< С, • .

Тоэда условия теоремы 1.2 выполнены в том и только в том ' случае, когда точки спектра оператора А^ лежат вне некоторой § -окрестности множества |. Аналогично обстоит дело в случае, когда 6 (Л^) заключен в полуполосе ¡йез|<

<С,Л')П2>Д). 1 ±

Если ке спектры операторов ¡Км и СА не содержатся ли в какой полуполосе указанного вида, то найдется последовательность на которой т.е. нуль есть точка предельного спектра Х>(А).

Учитывая распределение нулей Г^х^), имеем следующее.

Теорема 1.3. Пусть А имеет чисто точечный спектр. Для единственности решения задачи (1)-(2) необходимо и достаточно,- чтобы было <5(А*Единственность не нарушатся при малых изменениях значений "Ц и тогда и только тогда, когда б(А^) отстоит на положительное расстояние от достаточно удаленных частей координатных осей и биссектрис.

Иначе проводится исследование, если оператор А обладает полной системой собственных функций. В §4 рассмотрен следу-нций пример:

(з)

u(t,3c.)rq).(x) при (4)

при x=03ct. (5)

Q Д.-

Тагам образом, А есть оператор, определенный в выражением /

Дм —

и регулярными краевыми условиями и имеющий тем самым полную^ систему собственных функций соответствующие собст-

венна значения обозначил — А.^- Записывая u(t,x) в виде

оо

tc=0

приходим в силу (3) к представлению

в котором cí^ 5 jí>K, , 8„ в силу условий (4) удовлетворяют

системе уравнений с определителем Aj, допускающим оценку снизу:

iA^I^Lexpf-UJ^I^K (6)

если только выполнены соотношения вида

Тогда

где (р^ - коэффициенты разложения по функциям ик(х), Я -

некоторая постоянная, определяемая расположением точек ^■

Требуя, чтобы функции (р^х) принадлежали! некоторому компакту в }_,г [.О, со] 7 ш можем получить для нормы решения оценку гельдерова типа.

Именно, подчиним Ср-(х} следующим условиям:

С1 (г^ьЛ .

с произвольно малым Если теперь, задав потре

бовать, чтобы было

то, определив |ц. из равенства 2.11+$ = ¡и), получим

с некоторой постоянной

Заметим, что наличие постоянной Э- обеспечивает почленную диЛТ>еренцируемостъ ряда для иС"Ь,х).

Таким образом, задача (3)-(5) условно корректна при выполнении условия (7), однако факт условной корректности не-^ устойчив относительно выбора величин "^Д^Си.

Несколько замечаний о других краевых, задачах. Если уело- ■ в'ия (5) заменить следующими:

иМ = <хМ=и(Ы г О,

то ввиду иной асимптотики собственных значений оператора А оценку типа (С) нельзя получить ни при каком соотношении ме~ ЗДУ "Ь^Дз и Си Аналогично обстоит дело в случае периодических краевых условий

«^оЬ^Мл-НЛМ.

Глава 2 посвящена исследованию многоточечной задачи для уравнения произвольного порядка с операторными коэффициентам! Пусть - гильбертово пространство, А^} к2}...} А^ -

действующие в нем линейные опе! лоры, имеющие общий ортонормирований базис из собственных элементов > , - •., ^ ,... >

соответствующие собственные зачения обозначил А(1), Х^ , - --,

Рассмотрим дифференциальное уравнение

айи ^д ачни , . Л 17 - о т

относительно элемента € зависящего от параметра "Ь на отрезке [О,177]« К уравнению (8) поставим п, -точечную задачу

и(1с)-Фг , (9)

с заданными Ф0,Ф^ ). • -,€ Требуется установить условия корректности задачи (8)-(9) и получить оценки условной корректности. Положим

если считать, что ряд для и^Ь) допускает почленное дифференцирование, то исходная задача сводится к совокупности зала4 .г

при М=<,2.,3Г.., Индекс ууь в дальнейшем будем опускать.

При каздом м, функцию можно представить

в виде

Пусть корни

характеристического уравнения

Л^'Ч-^ЛО; (Ю)

тогда' функции - 2й ,'2.л ^ удовлетворяют следующей си-

стеме уравнений (с1_=елр(эс^1}, сх^^/Ц,

если все корни уравнения (Т.0) различии; если ке какиа-лкбо . из корней совпадают, то в соответствующей группе уравнений

системы (II) ее к-е уравнение заменится на следующее:

^к-Л2» < Ч 2. • t -эск-ЛЧ >

Полученную систему также условимся обозначать (II). Для однозначной разрешимости задачи (8)-(9) при произвольных Ф0 }<РЛ ,..необходимо и достаточно необращение

в нуль определителя Д системы (II) при любых"значениях т.. Для этого достаточно, чтобы выполнялось

Условие (А). Либо все корни уравнения (10) вещественны, либо узлы ■fc0>"t1,»..) равноотстоящие и существует такое Ь>0} не зависящее от иг, что при всех имеет место

неравенство

для любого натурального р.

. Для непрерывной зависимости решения U("t) от «точечных условий" фл, ф, .... v <Р„ . , , очевидно, необходима рав-

о ' Л ) » У} "

номерная ограниченность функций S£,(t) = 2. (■<:)} Yn-i,'!,...', tÉr[0/F]

Обратно, пусть величины Z^Gt) равномерно ограничены. Так как при произвольных Ср. ^ выражение (8) в точках "tj , вообще говоря, не имеет смысла, то будем истолковывать задачу (8)-(9) в следующем обобщенном смысле. А шенно, аппроксимируем. Ф^ ' по норме 'Ж- последовательностями Ф^-

=T(ûî-WÇ .такими, ЧТО и что ряды У ï. (С.^С

^ТCnv'm.» i v \ у 1 iinTonvi-m^

можно lv раз почленно дифференцировать. Обозначая через U^Jjè) решение задачи (8)-(9) при Ф = } обна-

руживаем, что при ка-дом t последовательность фунда-

ментальна и тем самим имеет предел U^ft), и под решением (обобщенным) задачи (8)-(9) можно понимать функцию

Для нее, очевидно, выполняется оценка

Ù-0

означающая непрерывную зависимость обобщенного решения задачи от точечных условий. Кроме того, легко убедиться, что решение XJJ(4:) не зависит от выбора последовательностей аппрок-

симирующих данные Ф^.

Исследуя систем (II), приходим к следующему результату. Теорема 2.1. Для корректности задачи (G)-(9) необходимо, а-при выполнении условия (Д) и достаточно выполнение неравенств

-C^Rex^Re*^ Кех^^С. (12)

с некоторым С, не зависящим от т.-

Теорема 2.2. Если все корни уравнения (10) вещественны, то для корректности задачи (8)-(9) необходимо и достаточно, чтобы на любой последовательности соотношения У^'^х

= о^"') и Х0^' = О(х^), L>0 любое, выполнялись лишь при

к<2 и чтобы при к=2, величина йила ограничена сверху.

Пусть теперь величины Rex,, , Rex^.Rex^. не ограничены снизу, а величины Rex^ не огра-

ничены сверху, причем May(lc,t)>l. Введем следующее условие.

Условие )■ Существует такое число не зависящее

от Иг, что если какой-либо из корней уравнения (10)

лежит вне полоси (Зт 2 j йГ "ЛГ/2."ЬЧ , то при любом целом р выполняется неравенство

l^lt^prai^.

Теорема 2.3. Пусть узлы t0>...,tw.4 равноотстоящие, а корни уравнения (10) удовлетворяют условию С А7 ). ^огда имеют место оценки

с постоянной К; не зависящей от ■т.»

Доказательство теореш основано на следующей лемме. Лемма 2.2. Пусть 20)г,, л - решение системы

С12< + Ф■ ■ < А..., 1с),

в которой ОйСО^Л-^П^кзе^е^^.^С^ге**^-различные комплексные числа, 0с1,..., йс^ удовлетворяют условию ( ь! ), причем Яехл ^ ..^КвХк^ О. Тотаа при к-<<

выполняются оценки

с постоянной И) зависящей линь от к и и.

Требуя, чтобы точечные данные , • •• принадле-

жали некоторому компакту в мы можем для нормы решения

получить оценку условной корректности. Именно, подчиним ф^ неравенствам

^Ь£ , (13)

где С («г) = У«ах {^Г1,!^.,!} , Ь = пнсх{Ы, 1-4,0}, >(>0,

Если теперь, задав £->0, потребовать, чтобы было

, ] = С, (14)

то, положив *|/(2.5 получаем следующий результат.

Теорема 2.4. При выполнении условий предыдущей теоремы и неравенств (13),(14) решение задачи (8)-(9) удовлетворяет оценке л ,,

В главе 3 приводятся некоторые примеры многоточечных задач и обобщения основной задачи (8)-(Й).

В §3.1 рассмотрены примеры многоточечных задач для следу-, ющих уравнений:

1) бигармоническое уравнение

с краевыми условиями и(0,±)= =

2) уравнение изгиба пластинки

д^+Зали+Ьк-о

с теш же краевыми условиями по одной из переменных;

3) уравнение вцца

,это мскет быть бикалорическое иди обратное бикалорическое

уравнение); 4) уравнение поперечного изгиба стерния

к которое поставлена 4-точечная задача по переменной х и краевые условия п(эс)О)~и(х><0~О.

Во всех случаях многоточечная задача оказывается некорректной из-за невыполнения либо неравенств (12), либо условия (Л).

В §3.2 исследуется задача для неоднородного уравнения

...+АЛи=ед (15)

с условиями (9) при прежних обозначениях и предположениях; С(4:) - функция со значениями в пространстве ограничен-

ная по норме на отрезке [0,ТЗ»

Для исследования этой задачи сведем ее к задаче для однородного уравнения. Этому слупит следующая лемма. ' Леша 3.1. Для каждого натурального п. и для каждого отрезка £а,Ь1 существует постоянная М такая, что любое уравнение вида

с постоянными коэффициентами и ограниченной правой частью имеет решение ^(х), для которого

тл* Ь^сЛ^Мэш), |£(х)|-

Если теперь суть коэффициенты разложения

по собственна! функциям то при каждом г*1 получим

уравнение

с прежними условиями в точках .

Представляя \л, (-Ь) в виде сумш

где г^Г (~Ь) - какое-нибудь решение уравнения (16), для которого

УН*»

■ИШ^-Мви^в)!,.

приходим к задаче для

изученной выше. Таим образом, если выполнено условие (Д.), то имеет место теорема, совпадающая по своей формулировке с теоремой 2.1 (теорема 3.1).

Точно так же, как и в главе 2, доказывается следующая теорема', аналогичная теореме 2.4: /

Теорема 3.2..Пусть выполнено условие ( А ) и, кроме того, имеют место неравенства

^ V ^

Тогда для реше}шя задачи (15)-(9) справедлива

оценка Л ч

(постоянная К имеет тот же сшсл, что и в теореме 2.3).

В §3.3 изучается задача (9) для уравнения более общего вцда _ т

ЦиИи+ед, (и,

где О - линейный ограниченный оператор, действующий в ЗЕ. Предполагая, что задача (8)-(9) классически корректна, найдем условие на при котором корректность сохраняется.

.Действуя," как в предыдущем параграфе, и замечая, что предположение о корректности при 0 = 0 означает, что в представлении

величины равномерно ограничены, С, получаем

д.яя нормы решения при 01-0 оценку

(здесь М - константа, фигурирующая в леше 3.1 для отрезка

Ш).

Будем искать решение задачи (17)-(9) методом итераций: тогда для разностей Д^" Ц^—будем иметь

(ЛЛЧИПМГХ^ОД,.,],/,

где есть ггь -й коэффициент разложения О по

базису $т}.

Введя специальную норму оператора по формуле

мы приходим к следующему результату.

Теорема 3.3. Если задача (8)-(9) корректна, то задача (17) -(9) корректна при условии

1ВД<[иис+С'1.

Отметим, что интегральный оператор с ядром Гильберта -Шмидта' в 1?"[й,Ь] ограничен по введенной нами норме,

причем

Величину М ■= Н в общем случае можно оценить числом ГИЪ ггт * ¿ г Н-+ € ■'у. В некоторых случаях И допускает более точную оценку. Гак, М^! /элее, если у уравнения =

П,-го порядка отсутствуют члены с производной порядка ниже к'то

Значение величины С удается определить лишь в некоторых частных случаях. Будем считать, что точки равноотстоящие, а корни характеристического уравнения вещественны. Обозначил, как и выше, С • -

При V) =2. имеем С = гмо-Х [с^; 1 , Сл |.

Пусть П.-А, Ь--, собственные значение А > еК^1 •

отрицательные. Тогда, исследуя систему (II), получаем и в итоге условие корректности принимает вид ■

Если к тому же операторы А ограничены, то удает-

ся получить аналогичный результат для уравнения более общего вида , п^

ШЯ-зди+ою, (19)

а именно, если задача (8)-(9) корректна, то задача (19)-(9) корректна при условии

где о - число отличных от нуля операторов .

В §3.4 вновь рассматривается уравнение (8) в прежних предположениях, но теперь для него ставится следующая задача: к

Ци)= $и(Мв-(Ь)=Ф. , (20)

Здесь г, - неубывающие функции, отличные от постоянной.

Для функций 1X^(4:) получаем вновь уравнение и условия

Для коэффициентов £¿^0:) в представлении получаем, вместо системы (II), систем уравнений

(и»

с аналогичными изменениями при наличии у характеристического уравнения кратких корней.

В дальнейшем будем предполагать, что все корш! ЗС-^ характеристического урвненкя вещественны, ос.,^ Х^ . . ЗС в этом предположении бс ; труда доказывается, что определитель системы (21) отличен от нуля.

Справедливы следующие утверждения. -

Теорема 3.4. Если множество корней характеристического уравнения равномерно ограничено, то задача (8)-(20) корректна .

Теорема 3.5. Если не ограничено снизу,(соответст-

венно, не ограничено сверху), то для корректности зада-

чи (8)-(20) необходимо, чтобы функция б^) имела скачок в точке Ь-0 (соответственно, О Ш имела скачок в точке

иг )

Тсоре;ла 3.6. При выполнении необходимых условий теоремы 3.5 для корректности задачи (8)-(20) необходимо и достаточно существование постоянной С, не зависящей от пь, такой,что выполняются неравенства

Наконец, в §3.5 рассматривается вновь задача (8)-(9), но в предположении, -что операторы Д^ 0 А^, действующие в гильбертовом пространстве

% имеют конечнократный спектр с общим лородцающш базисом, т.е. являются функциями одного и того же самосопряженного оператора А с конечнократным спектром', А.=\|). [А). Тем самым имеет место представление г гхэ ~ оо

4 -скэО .1

где •[аЛ^ - порождающий базис, а Е, - разложение единицы,

и,} 3,1 . л

соответствующее оператору А, причем можно считать, что подпространства В35№П0 ортогональны.

Если полонить

? т ±

ЦМ'Ц , ч> =±,

то задача (8)-(9) сводится к совокупности задач р)

Если искать функции V--(t,X) в виде " О

то ясно, что для классической корректности задачи необходимо и достаточно, чтобы ^¿(t, Х-) определялись однозначно и были равномерно ограничены при Oét-éT , -оо< Х-< схэ*, при этом сама задача (8)-(9), как и в главе 2, понимается в обобщенном смысле, т.е. в качестве ее решения принимается предел по норке 'Ж' решений задач, в которых точечные данные Ср- заменены их аппроксимациями, принадлекащгаяк области определения операторов А^ и допускающими дифференцирование по "t под знаком интеграла по мере Е^-, .

Поэтому к исследованию задачи (8)-(9) применима методика главы 2. Пусть Х-(Х) - корни характеристического уравнения

(10), c(N*max{|e ^Чк^Ч}, maxfk-l.t-^o},(си L

имеют прежний смысл. Вновь вводятся условия (Д) и (), но с заменой ¡yl на непрерывный параметр X. Тогда справедливы следующие факты.

Теорема 3.7. Для корректности задачи (8)-(9) необходимо, а при выполнении условия (Д) и достаточно выполнение неравенств

~С $ iteic2(X) é... ^£еэсп_Jx)^ С с некоторым С, не зависящим от Х-

Георема 3.8. Пусть корни характеристического уравнения удовлетворяют условию (Д' ), а узлы tc,t^ равноот-

стоящие. Если точечные, условия Ф0 %.. удовлетворяют

неравенствам

1Ф;|к£) т.е.

и, кроме того, Р

i Г; О L, гу

£ ) If^fcOO (*>0)>

J = < -00 * J J

то для решения U(t) задачи (8)~(9) тлеет место оценка

с некоторой постоянной

Доказательство этих теорем не отличается от доказательства теорем 2.1 и 2.4.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Тамаркин Я.Д. Онекоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. - Петроград, 1917, 308+Х1Ус.

2. De la Vallée-Poussin, Ch.J. L'équation différentielle linéaire du second order. Détermination d'une intégrale par deux valeurs assignées.- J. lia th. Pure et Appl., 1929, 9,

• lî 8, p. 125-144.

3. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравнения x""-f р

4. Coppel У/.А. Disconjugacy. - lecture Notes in Math., 1971, v. 220.

5. Покорный Ю.В. 0 некоторых оценках функции Грина многою- . чечной краевой задачи. - Мат. заметки, 1968, т.4, 6, 533-540.

6. Тепгин А.Л. О знаке функции Грина. - Дифф. ур-ия, 1978, т.23, J5 4, 670-674.

7. Дерр В.Я. Знак функции Грина обобщенной задачи Валле-Пуссена. - Функц.-дифф.ур-ия,Пергль,Политех.ин-т, 1986,35-41

8. Скоробогатько В.Я. Исследования по качественной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Киев, "Наукова думка" ,1980.

9. Пташик Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев, "Кауко-

ва думка", 1984.

10. Шшатский С.П. Об определении функции, гармоническом в плоской области, по ее значениям на трех параллельных отрезках. - Вопросы.корректности задач матем. физики. Новосибирск, ВЦ, 1977, • 143-149.

11. Шишатский С.П. О нулях решения смешанной задачи для параболического уравнения. - НеаорректнИе мат. задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, ВЦ, 1979, 134-144.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., "Нарта", 1967.

13. Шшатский С.П. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве в гиперболическом случае. - Матем. проблеет геофизики, вып.1, Новосибирск, ВЦ, 1969

14. Мельникова И.В. Семейство М.Моператор-функций и уравнения второго порядка в банаховом пространстве. - Изв. вузов, 1985, № 2, 45-52.

15. Атаходжаев М.А. Об одном линейном дифференциальном уравнении 4-го порядка в гильбертовом пространстве. - ДАН СССР, 1976, т.230, К 6, 1265-1266.

16. Цнвис Н.Б., ¡Орчук Н.И. Трехточечная задача для дифференциально-операторных уравнений 3-го порядка. - Дифф. ур-ия, 1987, т.23, Ге 5, 877-881.

' РАБОТЫ АВТОРА ПО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

17. Валицкий Ю.Н. Четнрехточе1. лая задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве. - Функц. ал. и его прилояенил, 1981, т.15, вып.5, 69-70.

18. Валицкий Ю.Н. Условная корректность четырехточечной задачи для одного дифференциального уравнения. - Вопросы корректности обратных задач матем. физики, Новосибирск, ВЦ, 1982, 45-49.

19. Валицкий Ю.Н. О корректности многоточечной задачи для дифференциального уравнения с операторными коэффициентами. - ДАН-СССР, 1986, т.286, й 5, 1041-1043.

20. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи для уравнения с операторными коэффидаенгами. - Сиб. матем. зкурн. , 1988, т.29, № 4, 44-53.

21. Валицкий Ю.Н. О корректности задачи с распределенными данными для линейного дифференциального уравнения с операторными коэффициентами. - Условно-корр. задачи матем. физики и анализа, Межвузовский сборник, Красноярск, 1988; 68-73.

22. Валицкий Ю.Н. Один способ-решения системы линейных уравнений с матрицей Ваддермонда. - Математика сегодня, Киев,. 1989, 39-47.

23. Валицкий Ю.Н. К вопросу об условной корректности многоточечной задачи.- Сиб. матем. жури., 1989, т.30, № 4,40-43.

24. Валицкий Ю.Н. Корректность многоточечной задачи для неоднородного уравнения с операторными коэффициентами. - Вопросы корректности задач анализа. Новосибирск, Ин-т матем. , 1989, 44-49.

25. Валицкий Ю.Н. Многоточечная задача для уравнения с операт-торными коэффициентами и с возмущением. - Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск, Ин-г матем., 1991, 18-25.

26. Валицкий Ю.Н. Многоточечная задача для дифференциального уравнения, коэффициенты которого есть операторы с конеч-нократным спектром. - Матем. анализ и дифф. уравнения. Межвуз. сб. научных трудов. Новосибирск, НГУ,1992,28-31.