Моделирование разработки нефтяных месторождений с использованием функций Вейерштрасса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

I

Ротерс Павел Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ВЕЙЕРШТРАССА

Специальность 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Iе;

I ■' •• ¿0 Iэ

Уфа-2015

005567279

005567279

Работа выполнена на кафедре безопасности информационных систем ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Астафьев Владимир Иванович

Булгакова Гузель Талгатовна

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики ФГБОУ ВПО Уфимского государственного авиационного технического университета, г. Уфа

Линд Юлия Борисовна

кандидат физико-математических наук, ученый секретарь ООО «БашНИПИнефть», г. Уфа

Федеральное государственное автономное учреждение высшего профессионального образования Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань

Защита состоится 2 апреля 2015 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, физико-математический корпус, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета и на сайте университета www.bashedu.ru/dissovets.

Автореферат разослан 18 февраля 2015 года.

Ученый секретарь

д.т.н., профессор ' Ковалева Л. А.

диссертационного совета //1/^/"

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

На современном этапе разработка месторождений не обходится без использования аппарата математического моделирования. Проведение разработки осложняется тем, что инженеры не могут непосредственно наблюдать реальные процессы, происходящие в пласте. С другой стороны, количество различных физических характеристик пластовой системы очень велико, что осложняет построение математической модели. Такое положение определяет актуальность исследования в данной области.

Одной из основных задач моделирования разработки месторождений является оценка продуктивности системы скважин. Большая часть моделей, использующихся на сегодняшний день, достаточно сложны и имеют лишь численные решения. Тогда как главный принцип инжиниринга резервуаров, сформулированный ещё JI. Дейком, следующий1: "Если мы имеем два способа описания физического явления, более пригодным будет тот способ, который является более простым". Более простыми и полезными являются модели, имеющие аналитическое решение. Несмотря на принятые допущения, они позволяют провести достаточно полный анализ различных факторов, влияющих на разработку месторождения.

Фильтрация жидкости в пласте зачастую описывается уравнением пье-зопроводности при различных начальных и граничных условиях. Большие месторождения разрабатываются системами скважин со схемой размещения, близкой к двоякопериодической. Поэтому для получения аналитического решения удобно воспользоваться эллиптическими функциями2 Вейерштрасса. В задачах подземной гидромеханики они используются для исследования стационарной фильтрации при заводнении резервуара. Однако заводнение используется преимущественно на поздних этапах разработки, когда резервуар уже истощен. До этого момента достаточно долгое время добыча ведется в квазистационарном режиме, характеризующемся линейной зависимостью среднего давления жидкости в резервуаре от времени, при условии постоянной скорости отбора.

Для оценки продуктивности системы скважин в квазистационарном режиме в основном используются численные методы. Существует лишь несколько приближенных аналитических решений, позволяющих оценить продуктивность скважины только с прямоугольной областью питания. Таким образом, получение аналитического решения, позволяющего оценить продуктивность системы

'Дейк Л.П. Практический инжиниринг резервуаров. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008 г. 668 с.

2 По определению эллиптические функции - что двоякопернодические мероморфные функции комплексного переменного.

скважин при произвольном их размещении в резервуаре, является достаточно актуальной и востребованной задачей.

Цель диссертационной работы состоит в моделировании разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами добывающих скважин, работающих в квазистационарном режиме.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Сформулировать математическую модель фильтрации жидкости в двояко-периодической системе добывающих скважин и получить ее аналитическое решение.

2. Исследовать оптимальность размещения скважин в резервуаре.

3. Построить модель разработки месторождения двоякопериодическими кластерами скважин.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получено аналитическое решение уравнения пьезопроводности для математической модели разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами скважин. В отличие от существующих решений, полученное решение может быть использовано при моделировании первичной разработки месторождений. А в сравнении с численными решениями, оно отличается существенно большей скоростью получения результата.

2. Представлен новый метод выбора оптимального расположения скважин в резервуаре. Данный метод представляет основу для усовершенствования методики оптимального размещения скважин. Существующие методы позволяют лишь численно рассчитать продуктивность системы скважин при заданном расположении. Тогда как полученное аналитическое решение позволяет провести математический анализ оптимального размещения скважин. В работе приводится ряд детальных примеров подобного анализа.

3. Впервые получена аналитическая формула для точного3 вычисления коэффициента формы и приведенного радиуса области питания скважины.

4. На основе полученного аналитического решения построена модель разработки месторождения кластером скважин, расположенным в замкнутом резервуаре прямоугольной формы.

1В рамках допущений используемой математической модели.

Теоретическая и практическая значимость:

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в полученном аналитическом решении, характеризующемся простотой конструкции и легкостью расширения. Результаты исследования могут быть использованы научными коллективами в учебном процессе и для дальнейших исследований. В частности, полученное решение может быть расширено для анизотропных по проницаемости пластов.

Практическая значимость результатов исследования вытекает из возможностей использования полученного аналитического решения:

• Простота реализации и высокая скорость вычисления по сравнению с численными методами позволяют использовать решение для получения промежуточных результатов в оценке продуктивности системы скважин. В ряде задач, когда допущения используемой математической модели не столь существенны, решение может показать хорошую точность. Основные допущения используемой модели следующие: резервуар принимается однородным, скважина рассматривается как точечный сток, а сжимаемость жидкости и упругость пласта учитываются в линейном приближении.

• В работе получена аналитическая формула, позволяющая оценивать влияние скважин друг на друга и вычислять их вклад в общую продуктивность многоскважинной системы. Таким образом, результаты исследований могут быть использованы для усовершенствования методики оптимального размещения скважин.

• Получены аналитические формулы для вычисления коэффициента формы Дитца и приведенного радиуса питания, которые используются в гидродинамическом исследовании скважин.

Методы исследования основаны на использовании эллиптических функций Вейерштрасса и их первообразных для решения уравнения пьезопро-водности. В частности, рассмотрена работа многоскважинной системы в квазистационарном режиме добычи. Получено аналитическое решение уравнения пьезопроводности для резервуара с непроницаемыми границами и постоянной скоростью отбора флюида из скважины.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение для математической модели плоской фильтрации жидкости в многоскважинных двоякопериодических системах, работающих в квазистационарном режиме.

2. Метод анализа продуктивности многоскважинных систем в зависимости от расположения скважин в резервуаре.

5

3. Модель разработки месторождения кластером скважин в резервуаре прямоугольной формы с непроводящими границами.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается использованием фундаментальных законов механики сплошных сред, общих законов и уравнений подземной гидромеханики, физически обоснованных допущений. Получено достаточно точное соответствие результатов исследований с доступными экспериментальными данными и результатами других исследований, использующихся в практическом инжиниринге резервуаров.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных и российских конференциях: XIII международная конференция "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г.); IX молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2010" (Казань, 1-6 октября 2010 г.); Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 29 августа-4 сентября 2010 г.); XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.); XIX Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 2010); Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления" (Владивосток, 11-17 сентября 2011 г.); Восьмая Всероссийская научная конференция с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 20-23 мая 2011 г.); XII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи - Адлер, 1-8 октября 2011 г.); IX Международная научно-практическая конференция "АШИРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ" (Самара, 27-30 августа 2012 г.); 13th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery (Biarritz, France, 10-13 September 2012); III Международная конференция, посвященная 100-летию академика Н.Х. Арутюняна "Актуальные проблемы механики сплошной среды" (Цахкадзор, Армения, 8-12 октября 2012 г.); Международная конференция "Tyumen 2013 - New Geotechnology for the Old Oil Provinces" (Tyumen, Russia, 25-29 March 2013); Всероссийская научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения д.ф.-м.н., профессора Г.И. Быковцева "Актуальные проблемы математики и механики" (Самара, 18-21 апреля 2013 г.); Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара, 25 августа-1 сентября 2014 г.); International Conference on Mathematics and Mechanics (Vienna, Austria, 15-16 October 2014).

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ №13-01-97008-

р_поволжье_а и № 14-01-97041-р_поволжье_а.

6

Автор благодарит научного руководителя Астафьева Владимира Ивановича за постановку задачи и помощь в подготовке диссертации.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 22 работах, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК.

Личный вклад.

В совместных публикациях с научным руководителем В.И. Астафьевым научному руководителю принадлежит постановка задачи, автору диссертации принадлежит решение и его анализ с целью практического использования.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и одного приложения. Полный объем диссертации 118 страниц текста с 41 рисунком и 1 таблицей. Список литературы содержит 139 наименований.

Содержание работы

Во введении раскрыта актуальность диссертационной работы, обозначена цель и аргументирована научная новизна исследований. Показана практическая значимость результатов, обоснована их достоверность и представлено краткое содержание работы.

Первая глава содержит обзор современного состояния исследований по теме диссертационной работы.

В разделе 1.1 даны основные сведения об используемых в работе эллиптической функции Вейерштрасса и ее первообразных. Приведен обзор исследований, связанных с применением эллиптических функций в задачах механики сплошных сред, в частности, в механике деформируемого твердого тела (В.Я. Натанзон, JI.A. Фильштинский, W.T. Koiter), вихревой динамике (В.К. Тка-ченко, К.А. O'Neil, Н. Aref, М.А. Stremler) и подземной гидромеханике (Р.Т. Фаз-лыев, Р.В. Шаймуратов, HJ. Morel-Seytoux).

В разделе 1.2 представлен обзор исследований в области моделирования разработки нефтяных месторождений. Раскрывается понятие продуктивности системы скважин. Описывается математическая модель фильтрации жидкости, используемые начальные и граничные условия, а также существующие аналитические решения для различных форм области питания скважины.

Вторая глава посвящена моделированию разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами добывающих скважин. Рассматривается плоская нестационарная фильтрация вязкой слабосжимаемой жидкости в замкнутом упругом резервуаре.

В математической модели приняты следующие допущения:

1. Резервуар предполагается однородным и изотропным с постоянной проницаемостью к (м2)4 и постоянной толщиной Л. Сжимаемость пористого пространства т подчинена закону

т(р) = т0 + рс (р - Ро), (1)

где то - фиксированное значение пористости в начальный момент времени (безразмерная величина), рс - коэффициент объемной упругости пласта (Па-1), р - давление и ро - давление в начальный момент времени.

2. Жидкость, насыщающая пласт, принимается вязкой с постоянной динамической вязкостью /1 (Па • с). Условие слабой сжимаемости жидкости определяется зависимостью плотности р от давления р в виде

р{р) = ро (1 + рж (р - Ро)), (2)

где ро - фиксированное значение плотности в начальный момент времени, а Рж - коэффициент объемного сжатия жидкости (Па-1).

3. Течение жидкости подчинено закону Дарси:

кдр кдр Щ = —Уу = ——, (3)

их ц ду

где их и ь'у - компоненты вектора скорости фильтрации в плоскости (ж, у). Давление жидкости описывается уравнением пьезопроводности др (д2р д2р\

с граничными условиями

др дп

= 0, (5)

г

2тгА- ЬгЧ =Я- (6)

Здесь а = к/ [/х (тоРж + Рс)] ~ коэффициент пьезопроводности (м2/с), п - нормаль к границе резервуара Г, г - радиус области питания скважины, ги, - радиус скважины. Условие (5) предполагает непроницаемые границы пласта, а (6) задает дебит добывающей скважины С} (м3/с).

Предполагается, что добыча флюида из пласта происходит в квазистационарном режиме с постоянной скоростью отбора на скважинах (дебитами).

4 Здесь и далее в скобках указаны единицы измерения соответствующей величины.

8

Квазистационарный режим характеризуется изменением давления во всех точках резервуара на одну и ту же величину:

Р (^ъ 2/1, t) - р (х2, 2/2, t) = const, Vi G T, (7)

где (xi, у{) и (x2, 2/2) - произвольные точки резервуара, а Т - период времени, на котором разработка месторождения ведется в квазистационарном режиме. В работе показано, что из условия (7) и уравнения пьезопроводности (4) функция давления р может быть представлена в виде

p(x,y,t) = - Q t + p(x,у), (8)

hA (mo/Зж + Рс)

где Д - площадь области питания скважины. Измерение давления на контуре скважины pw(t) избавляет от необходимости задавать начальные условия для уравнения (4). Таким образом, задача сводится к нахождению функции распределения давления в пространстве р{х, у).

В разделе 2.2 получено общее решение для одиночной добывающей скважины в замкнутом резервуаре:

Р (*, 5) = Q (Re [In г + F0 (г)] - ^zz - In гш) , (9)

где Fo(z) - неизвестная аналитическая функция комплексной переменной z.

В разделе 2.3 найдено решение для двоякопериодической системы добывающих скважин. Для комплексно-сопряженной функции скорости получено следующее представление

v(z, z) =vx-ivy= z). (10)

Здесь (г, z) = C(z) + az—fiz, ((г) - дзета-функция Вейерштрасса, cv = ^^ — —( = f, Ц и Шг - периоды решетки (рисунок 1). Функция, подобная

С», использовалась также в работах В.Т. Койтера, В.К. Ткаченко и К.А. О'Нейла. Однако ее двоякопериодичность вытекала из суммирования условно сходящихся рядов.

Функция распределения давления была найдена в виде

In О- (z) + -f-

■J0y-ln rw). (11)

Для получения решения использовались дзета и сигма функции Вейерштрасса, определенные на решетке Ь с периодами ш = и>1 + Ш2'

«*) = - + £'(—+ - + 4), (12)

•г ь\г~ш и и1)

Рис. 1: Пример двоякопериодической решетки.

а(г) = гП'

г\ (г г" 1 - - ехр - + —^

1л)/ \и ¿и)'

(13)

Штрих после знака суммы и произведения в выражениях (12) - (13) означает, что член ряда, соответствующий ш = 0, опускается.

В разделе 2.4 получена аналитическая формула для вычисления коэффициента продуктивности Р1, определяемого отношением дебита к депрессии давления:

Р1 =

РСО

(14)

где р - среднее давление в резервуаре, которое может оыть найдено интегрированием функции распределения давления (11) по области питания скважины:

р (¿) = И р (х, у, €) йхс1у = ри: (£) + И —р (ж, у) ¿хйу. (15)

Вычисление интеграла (15) позволило найти среднее давление в резервуаре и коэффициент продуктивности в виде

Р = Ри, + 7Г- 1п—, Р1 = 2тгх/1п—,

¿ТХ гю ги>

Я = А1'2 4тг

(^о^ГК1-?2")2!!-^)2

-1/2

(16)

(17)

Здесь q = е""" и (/1 = - основной и дополнительный параметры Якоби,

г = и)2/и)\ = Ае'е - параметры решетки, \ = кк/р..

В разделе 2.5 представлен анализ оптимизации разработки нефтяных месторождений двоякопериодическими системами добывающих скважин. Получе-

10

но аналитическое выражение для вычисления коэффициента формы области питания скважины Сл-

4Д 2

1с а = -д2 = 1б7г 8ш '

(<ш)1/0П (1-92п)2(1-9Г')2

п=1

(18)

где 7 = ес = 1, 781, с = О,577 - постоянная Эйлсра-Масксрони. Представление (18) было упрощено для случая прямоугольных решеток:

7 СА = Ш<К' {2кк1)2/3 . (19)

Здесь К = К (к), К' — К (к\) - полные эллиптические интегралы первого рода, а к и к\ = \/1 — к2 - модуль и дополнительный модуль эллиптических интегралов.

На основании симметричной зависимости С а от параметров Якоби д и 91 можно заключить, что наибольшее значение параметр С а будет принимать в случае, когда = |о>1|. Данное условие выполняется только для ромбических решеток, т.е. при г = ег0, когда |г/| = | гух | = с в этом случае формула (18)

примет следующий вид:

уСл — 16тг2 б

(20)

Анализ оптимальных характеристик решетки показал, что среди прямоугольных решеток значение Р1 максимально для квадратной решетки (а;1 = 1, и2 = г). При этом область питания скважины имеет форму квадрата. Среди всех типов решеток наиболее оптимальной является ромбическая, с периодами = 1, Си'2 = ехр(гтг/3), что соответствует области питания в виде правильного шестиугольника.

В третьей главе исследуется характеристики потока жидкости к симметричной многоскважинной двоякопериодической системе вертикальных скважин или многоскважинному кластеру. Представляется математический аппарат для оценки продуктивности кластера в целом, без разделения на отдельные области питания для каждой скважины.

Предполагается, что все скважины (члены кластера) расположены в однородном замкнутом резервуаре постоянной толщины и работают с различными постоянными дебитами в квазистационарном режиме. Замкнутый резервуар моделируется подобно методу мнимых источников, как элемент бесконечного дво-якопериодического массива скважин, а процесс фильтрации жидкости представляется с помощью дзета и сигма функций Вейерштрасса. Такой подход позволяет найти распределение давления и поля скоростей в резервуаре практически любой формы и, далее, вычислить коэффициент продуктивности скважин Р1,

И

оценить общую продуктивность кластера и найти коэффициент формы области питания С а для различных форм. Также этот подход можно использовать для исследования оптимального расположения скважин на месторождении.

Рассматривалась произвольная двоякопериодическая решетка Ь с периодами и>\ и и;2, в каждой ячейке которой произвольным образом размещено п вертикальных скважин с дебитами <5ь <?2, • • • Яп, расположенных в точках у\), (хг, 2/2), • • ■ (хп, у„) (рисунок 2).

С помощью метода суперпозиции комплексно-сопряженную функцию скорости для двоякопериодической системы скважин, размещенных в узлах решетки Ь, представленную в главе 2, можно обобщить на случай п-скважинного кластера как

*(*. = г). (21)

Здесь г) = (С (г — ¿¿) + а (г - - 0 (5 - ¿¿)) - комплексно-

сопряженная функция скорости для ¿-той скважины, размещенной в данном параллелограмме периодов.

На основе закона Дарси и условия квазистационарного режима было найдено выражение для депрессии давления в произвольной точке резервуара:

1 "

р (¿) - р {г, г, «) = — V <Э( (1н Я - [Яе (1п а (г - щ)

+ а^Ц -

(22)

С помощью выражения (22) можно найти величину депрессии давления на контуре j-^oй скважины радиуса ги„ т.е. когда \г — г^ = ги,:

= Ь-^-, (23)

¡=1

где 1п Ду = Яе - г,) + - /З1-^^-, (г ф ])-, 1п Яц = 1пгц,. Ве-

личины 1п (Я/Яц) = ац- являются элементами симметричной квадратной матрицы, обычно называемой матрицей влияния, т.к. они отражают влияние дебита _7-той скважины на депрессию давления в г-той скважине.

Соотношение (23) позволяет найти коэффициент продуктивности Р1 для -той скважины:

Продуктивность всей системы скважин может быть найдена из отношения суммы дебитов всех скважин к депрессиям давления на контурах скважин:

Е £<?>

¿=1 7=1 \ г=1

-= -ч" (25)

Здесь нижний индекс для С,} обозначает дебит соответствующей скважины.

Из соотношения (24) получено выражение для коэффициента формы контура питания j-^oi^ скважины:

который также может быть выражен через коэффициент формы односкважинной системы С а'

П (-Гд^) • (27)

¿=1,1^7 \ /

Соотношение (27) позволяет вычислять значения коэффициента формы для нерегулярных областей и для областей со скважиной, размещенной не в центре своей области питания. В приложении диссертационной работы размещена сравнительная таблица значений коэффициента формы С а, вычисленных по формулам (19), (20), (27), и значений, полученных другими исследователями путем суммирования условно сходящихся рядов, численно и приближенными аналитическими методами.

В разделах 3.2-3.4 рассматриваются примеры размещения двух, трех и четырех скважин в одной ячейке двоякопериодической решетки. Анализируется продуктивность систем скважин в зависимости от их расположения и соотношения их дебитов. Найдены явные выражения для вычисления общей продуктивности группы скважин Р1, продуктивности отдельных скважин Р/, и коэффи-

Л.)

циента формы области питания скважин СА .

В случае двух скважин показано, что общая продуктивность Р1 не зависит от дебитов скважин, и размещение второй скважины в параллелограмме периодов не приводит к улучшению контура питания каждой из скважин. В лучшем случае при квадратной решетке он остается прежним квадратным (вторая скважина в центре квадратной решетки), во всех остальных случаях он меняется до прямоугольного, треугольного или принимает криволинейную форму с меньшим значением коэффициента формы С л- Увеличение коэффициента продуктивности происходит только за счет сгущения сетки скважин. Для трех и четырех

13

ЬсаЩХ

скважин общая продуктивность уже зависит от дебитов скважин. В работе анализируется оптимальность для случая, когда дебиты всех скважин одинаковы.

В разделе 3.5 приведен метод моделирования многоскважинной системы, расположенной в замкнутом резервуаре прямоугольной формы. Рассматривается замкнутый резервуар размера (хь, уь), в котором размещено п скважин в точках с координатами {хг, у\), (х2, у г), .-.{хп, у„) (рисунок 3, правый верхний прямоугольник).

> У/)

' (Хз. Уз)

• С-»;. У О

1 (х*У<)

(-»¡.Уг)

Н1.У1)

(-Х..-У,)

Ип. -Уп)

(*:. Уг)

С,. У,)

(Х1.-У1)

1*2.-У1)

<х,.У„)

<*., -У.)

Рис. 2: Схема многоскважинной Рис. 3: Схема построения

двоякопериодической системы из п скважин. двоякопериодического кластера.

Условие непроницаемости границы резервуара - это условие равенства нулю нормальной компоненты вектора скорости на границе, т.е. на горизонтальных границах прямоугольника уу = 0, а на вертикальных границах ух = 0. С помощью метода мнимых источников это условие будет удовлетворено, если рассмотреть бесконечную прямоугольную двоякопериодическую решетку с периодами и)\ = 2хь и Ш2 = И'Ць, в которой расположено 4 группы по п скважин с координатами (а^, у{), (х2, у2), ...{хп, у„); {хи -у{), (х2, -уг), ■■■(х„, -уп); {-XI, 2/1), (-12, У2), ■ ■ ■ {-Хп, Уп) И (-Ж1, -У1), (-Х2, —г/2), • • - {-Хп, -уп) (рисунок 3).

Комплексно-сопряженная функция скорости и депрессия давления также могут быть записаны в виде (21) и (23), а суммирование будет производиться по всем 4п скважинам с учетом симметрии их расположения относительно осей координат. Для коэффициента продуктивности резервуара в целом и коэффициентов формы каждой из скважин в резервуаре также можно воспользоваться формулами (25) и (27).

На рисунке 4 представлена фотография линий тока, полученных экспериментально5 для замкнутого резервуара с квадратным контуром питания 2x2 и с двумя скважинами в нем, размещенными в точках (0.5. 0.5) и (0.5, 1.5), соответственно. Отношение дебитов скважин - 1 : 4.1. Справа изображен характер течения, полученный по соотношениям (21). Как видим, наблюдается полное соответствие экспериментальных данных линиям тока, полученным по предложенной модели.

Рис. 4: Характер течения жидкости в квадрате 2x2, полученный экспериментально и определенный по предлагаемой модели при С)г!Я1 = 4.1.

Основные результаты и выводы

1. Получено аналитическое решение уравнения пьезопроводности, описывающего фильтрацию жидкости в двоякопериодических системах добывающих скважин. Данное решение представляет собой основу для математического моделирования разработки нефтяных месторождений многоскважинными двоякопериодическими системами. Решение построено с использованием аппарата эллиптических функций Вейерштрасса. Подобный подход также использовался Р.Т. Фазлыевым6. Однако для выполнения условия двояко-периодичности в полученном им решении необходимо было, чтобы сумма дебитов всех скважин равнялась нулю. Это ограничивает использование ре-

5 Matthews С. S., Lefeovits Н. С. Studies on Pressure Distribution in Bounded Reservoirs at Steady State // Petroleum Transaction, AIME. - 1955. - Vol. 204. - Pp. 182-189.

6Фазлыев Р. Т. Площадное заводнение нефтяных месторождений. - М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. 256 с.

15

шения только резервуарами с поддержанием пластового давления. Решение, полученное в данной работе, не имеет подобных ограничений и может быть использовано при моделировании первичной разработки месторождений. В отличие от существующих численных решений, использующихся при моделировании разработки месторождений, полученное аналитическое решение обладает высокой вычислительной скоростью. Поэтому оно может быть использовано для быстрого получения промежуточных результатов.

2. Осуществлен анализ оптимального размещения скважин в резервуаре, разрабатываемом при помощи двоякопериодической схемы расположения скважин. Показано, что размещение дополнительных скважин в параллелограмме периодов, т.е. превращение двоякопериодических решеток из добывающих скважин в двоякопериодические кластеры, не приводит к улучшению формы контура питания каждой из скважин. Так, квадратные или треугольные решетки размещения добывающих скважин после добавления дополнительных скважин могут стать прямоугольными или иметь криволинейную границу области питания с меньшим значением коэффициента формы Сл. В лучшем случае при оптимальном размещении дополнительных скважин в решетке они могут сохранить начальную оптимальную квадратную или гексагональную форму контура питания. Повышение коэффициента продуктивности всего кластера при этом может произойти только за счет сгущения сетки скважин (увеличения относительной плотности сетки скважин).

3. Получена аналитическая формула для точного вычисления коэффициента формы области питания скважины. Данный коэффициент связывает продуктивность скважины с геометрической формой ее области питания. Он широко используется в гидродинамическом исследовании скважин. В других современных исследованиях коэффициент формы вычисляется численно, либо приближенными аналитическими методами. В работе также получена аналитическая формула для вычисления приведенного радиуса питания скважины, который может быть использован вместо коэффициента формы для нерегулярных форм областей питания скважины.

4. Предложен новый метод моделирования разработки месторождения мно-госкважинным кластером с прямоугольной областью питания. В отличие от существующих методов, позволяющих лишь численно рассчитать продуктивность кластера, предложенный метод основан на аналитическом решении и обладает простотой построения и высокой скоростью обработки

результатов. В работе также представлено сравнение предложенного метода с экспериментальными данными.

Список опубликованных работ

В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин // Вестник СамГУ. — 2010. — № 4 (78). — С. 5—11.

2. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. 2. Коэффициент продуктивности // Вестник СамГУ. - 2011.-№ 8 (89). - С. 118-127.

3. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Вестник СамГУ. - 2013. - № 9/2 (110). - С. 170-183.

4. Ротерс П. В. Анализ продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Вестник СамГТУ, Сер. Физ.-мат. науки. — 2012. — № 1 (26). - С. 268-270.

В изданиях, включенных в международные БД (Web of Science, Scopus)

5. Astafiev V. /., Roters P. V. Analytical Solution for a Double-periodic Multi-well Reservoir Systems // Ciencia e Técnica Vitivinícola. — 2014. — Vol. 29, no. 8. - Pp. 244-252.

6. Astafiev V. /., Roters P. V. Simulation of oil recovery using the Weierstrass elliptic functions // International Journal of Mechanics. — 2014. — Vol. 8. — Pp. 353-364.

В других изданиях

7. Astafiev V. /., Kasatkin A. E., Roters P. V. Elliptic functions in modeling of oil recovery // 13th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery 2012 (ECMOR XIII). Vol. 1. - Biarritz, France, 10-13 September, 2012. -Pp. 602-614. - DOI: 10.3997/2214-4609.20143268.

8. Astafiev V. /., Roters P. V. Analitical Solution for a Double-periodic Mul-tiwell Reservoir Systems [Электронный ресурс] // New Geotechnology for the Old Oil Provinces. 25-29 March 2013. - Tyumen, Russia. - DOI: 10.3997/2214-4609.20142692.

17

9. Astafiev V. /., Roters P. V. Elliptic functions in the modelling of oil recovery [Электронный ресурс] // International Conference on Mathematics and Mechanics. 15-16 October 2014. — Vienna, Austria.

10. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Актуальные проблемы математики и механики. Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения д. ф.-м. н., профессора Г. И. Быковцева. — Самара : СамГУ, 2013. — С. 14—16.

11. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование процесса фильтрации в двоякопериодической системе добывающих скважин // XIX Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естсствснных науках». Тезисы докладов. — 2010. — С. 17—18.

12. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование разработки нефтяных месторождений с помощью эллиптических функций // АШИРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Сборник трудов IX Международной научно-практической конференции. Т. 2. - Самара : СамГТУ, 2012. - С. 105-114.

13. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О двоякопериодической системе добывающих скважин // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции, Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009 г. Т. 2. — Ростов н/Д : изд-во ЮФУ, 2009. — С. 31—35.

14. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 17. - 2010. - С. 249-250.

15. Астафьев В. И., Ротерс П. В. О продуктивности двоякопериодических систем скважин в случае размещения нескольких скважин в параллелограмме периодов // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 18. —

2011.-С. 409—410.

16. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Продуктивность разработки месторождений углеводородов многоскважинными двоякопериодическими кластерами // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 21. — 2014. — С. 34-36.

17. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Эллиптические функции в моделировании разработки нефтяных месторождений // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Сб. научных трудов III Международной конференции, посвященной 100-летию академика Н. X. Арутюняна. — Ереван : ЕГУАС,

2012.-С. 95-98.

18. Ротерс П. В. Анализ продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Вторая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(Самара, 29 августа-4 сентября 2010 г.): Материалы Межд. конф. / под ред. И. В. Воловича. — Самара : иэд-во «Книга», 2010.-С. 288-289.

19. Ротерс П. В. Вычисление коэффициента формы контура питания в системе добывающих скважин // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы IX молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»., Казань, 1-6 октября 2010 г. Т. 40. — Казань : Каз. мат. об-во, 2010. — С. 284-286.

20. Ротерс П. В. Коэффициент продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. — Самара : СамГТУ, 2011. — С. 85—87.

21. Ротерс П. В. Эллиптические функции в задачах моделирования разработки месторождений углеводородов // Четвертая международная конференция "Математическая физика и ее приложения"(Самара, 29 августа-4 сентября 2010 г.): Материалы Межд. конф. / под ред. И. В. Воловича, В. П. Радчен-ко. - Самара : СамГТУ, 2014. — С. 304—305.

22. Ротерс П. В., Астафьев В. И. О продуктивности двоякопериодических систем добывающих скважин [Электронный ресурс] // Всероссийская научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления", посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова, 11-17 сент. 2011 г., Владивосток: аннотации докладов. — Владивосток : ИАПУ ДВО РАН, 2011.

Подписано в печать 22.01.2015. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Гарнитура Times New Roman. Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2597.

Отпечатано УОП СамГУ 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1.