Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ДЖУРАХОНОВ ОЛИМДЖОН АКМАЛОВИЧ

НАИЛУЧШЕЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ДУШАНБЕ-2010

004606812

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук,

академик АН РТ

Шабозов Мирганд Шабозович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

кандидат физико-математических наук, доцент Азизов Музафар

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Российско-Таджикский

Славянский университет

Защита состоится ' " 2010 г. в 11.00 часов на заседании

диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан ] ■13 » 2010 г.

Ученый секретарь {Гу\ .

диссертационного совета (Ы^^^тУ/ Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория приближения функций является одной из наиболее активно развивающихся областей математического анализа и имеет важные приложения в прикладных областях математики. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах.

Задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций получили широкое развитие в работах А.Н.Колмогорова. А.Хаара, С.Б.Стечкина, К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова. Л.В.Тайкова, М.З.Двейрина, Ж.Шейка, А.Пинкуса, С.Д.Фишера, С.Д.Фишера и К.А.Миччелли, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука и многих других математиков. Указанными работами полностью сформулирована теория наилучшего приближения аналитических в круге функций полиномами как раздел теории функций в комплексной области.

Методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди //,,. р > 1. Так, задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченным по норме пространством Нр, р > 1 производной изучались в работах К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова. Г.А.Юсупова. Х.Х.Пирова и др.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова, Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева. Аналогичные задачи для классов функций, задаваемых модулями непрерывности т-го порядка в пространстве Харди, изучались в работах М.Ш.Шабозова и его учеников.

Дальнейшему развитию этой тематики и посвящена данная работа.

Цель работы:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Нр. 1 < р < 2.

2. Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровеких, гельфаидовских, линейных и проекционных п-поперечников классов

аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями непрерывности высших порядков производных граничных функций в Яг.

Метод исследования. В работе использованы методы теории аналитических функций, конструктивной теории функций комплексного переменного, а также некоторые подходы к решению экстремальных задач теории аппроксимации.

Научная новизна исследований.

— Найдены новые связи между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.

— Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных поперечников некоторых классов функций, заданных усредненными с положительными весами модулями непрерывности высших порядков граничных значений п-ых производных.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е-энтропии и п-поперечииков классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например, в весовых пространствах Бергмана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории функций в ТГНУ (Душанбе, 1998-2008 гг.). на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2005 гг.), на семинарах отдела теории функций Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2007-2009 гг.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами", посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5|.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 51 наименования и занимает 72 страницы машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы, и дается краткая характеристика изучаемой проблемы.

Первая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов, посвящена нахождению точных значений наилучших приближений аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2. В первом параграфе приведены необходимые для дальнейшего определения и обозначения, а в остальных трех параграфах излагаются результаты исследования автора. Приведем содержание этой главы.

Всюду далее обозначим через К — множество вещественных чисел, N — множество натуральных чисел, С — множество комплексных чисел вида а -"-= a + iß, ocy߀R.

Говорят, что аналитическая в круге [z[ < 1 функция

f(z) = £ сkz'\ г = ре", 0 < р < 1, 0 < i < 2тт, к=0

принадлежит пространству Харди 1 < р < оо, если

{1 \1/р = I —J \F(t)\»dt\ <оо, 1<р<00,

где

F(t) = plimof(Peu) s f(eü)

— граничное значение функции /(г).

Через F'r'(t) и F^(t) обозначим соответственно граничные значения производных /M(z) = drf /dzr и d' f/dtr = дгf (peü)/dtr. Всюду в дальнейшем для г 6 N, 1 < р < оо полагаем

Щ: — {/(2) € Hp : ||/'7'||//р < оо},

я;„ = {/(г) е Нр : ||/<'>||„„ < оо} .

Если /(г) 6 Нр< 1 < р < оо имеет граничные значения F^'\t) и F^(t), то их гладкость характеризуются модулями непрерывности m-го порядка

u,n(F(r); h)„p = sup{||Am(**->; : |i| < Ц,

= Sup{||Am(FW;-,i)llp = Kl < M.

где

A,„(w«,i) = E(-i)fc (TW + fct)-

fc=0

разность m - то порядка функции </>(«.) по аргументу it с шагом t.

В частности, используя специфику гильбертова пространства, получаем

00

42n(jFe(r); *)я, = 2m sup { £ *>Ы2(1 - COSки)т : и е [0, £]}, к=1

оо

= 2m sup { £ £&Ы2(1 - cos (к - 7»"' : и 6 [0, i]},

fc=r+l

где положено

air = - 1)...(А; - г + 1) = к\{(к - г)!}"1, к>г, к, г € N. Пусть

Г »-1

7Vl = <Pn-l(z) : Pn-l(z) = E «¿^ ak £ 1

I fc=(>

Величину

K(f)p E{f,Vn-1)„ = infill/ - Ph-iIIw, : Pn-iW € Vn-\)

назовем наилучшим приближением функции /(г) 6 Яр, 1 < р < оо подпространством Vn-i степени < п — 1 в пространство Харди Яр, 1 < р < со. В частности,

Elifh := = inf{||/-p„_,|||/a : р„_,(г) € 7Vi} =

1 „_1 до

= ^-/|F(i)|2di-EN2= ЕЫ2,

/7г () а-=0

и в силу неравенства Гельдера для интегралов получаем

E„U)P < Eniih, 1<Р<2.

Во втором параграфе первой главы доказываются новые точные неравенства между наилучшим приближением En(f)n , 1 < р < 2 и усредненными с положительным весом

<Р„М =

ni 1 /„„/ч

siny + -sinn£, при t 6 (О, 2п/п), О, при t € [27г/п, оо)

С

модулями непрерывности высших порядков производной /(г,(г), позволяющими установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций /(г) 6 Нр, 1 < р < 2.

Полученные неравенства дают возможность оптимизировать неравенства типа Джексона, содержащие оценки величины наилучшего приближения En(f)ffp, 1 < р < 2 функций /(г) полиномами pn-i(z) € Vn-\ посредством модулей непрерывности w„,(F(r'; или uim(F^: i)2 Основным результатом этого параграфа является Теорема 1.2.1. Для произвольной /(г) 6 Щ, 1 < р < 2 и любых m,n.r € N.?i > г справедливо неравенство

2п/(п-г)

E2n(f)p<(AC^r\n-r)-a-J / ul(FV;t)^T(t)dL (1)

о

где ^

tp„-r{t) = sin(u- г)- + - sin (?г- r)t.

Для любых фиксированных т,п и п > т при р = 2 оценка (1) является неулучшаемой.

Если модуль непрерывности cjm(F-r'; t) на отрезке [0,2к/[п—г)} является выпуклой вверх функцией, то справедлива следующая

Теорема 1.2.2. Для любой функции f{z) € fl*. 1 < р < 2, у которой UmiF^'J.) - на отрезке [0,27г/(п — г)] выпуклая вверх функция, при любых m,n,r е N, п > г справедливо неравенство

Ui)v < (CZ)-1/2 ■ <*пг -о;т(р'г);Зя/4(п - ,-)). (2)

При каждом фиксированном т. п. г € N, п > г и р — 2 оценка (2) не-улучшаема.

Следующая теорема является обобщением теоремы 1.2.1. Теорема 1.2.3. Пусть /(г) 6 И*. 1 < р < 2, причем Fir)(t) ф const.. Тогда для любых m,n,r £ N, п > г и 0 < h < тг/{п — г) справедливо пеулучшаемое неравенство

h

]bjl(F{r)-thMt,h)dt

К(Лр <-1------------О)

rf \m

2ma2nr J (l - cos (n - r)tj ¿>(£, h)dt о

где

, 7Г 1 . 2л-

n) = sin + - sin —t.

Неравенство (3) является точным в том смысле, что сугцествует

функция /0(2) е обращающая (3) в равенство.

Из этой теоремы в качестве следствия получаем следующее утверждение.

Следствие 1.2.3. При выполнении условий теоремы 1.2.3 сщпведливо точное неравенство

* (mV(L(H)+2)¿я/(„ -г))Л, (4)

которое обращается в равенство для fo(z) - гп £ Щ, 1 < р < 2.

В завершении второго параграфа доказанные теоремы переносятся на случай, когда классы аналитических в круге \z\ < 1 функций определяются модулями непрерывности ujm(F^:t) граничных значений производной по аргументу Fü(r)(í).

Теорема 1.2.4. Для произвольной /(г) € 1 < р < 2, при любых т,п,г € N. справедливо неравенство

KU), < (4CTJ-1 • n-2r+1 ■ / (5)

о

где

, \ -it 1 . Vn(í) = sin — + - sinnt

и íi/w любых фиксированных т. п € N при р = 2 оценка (5) является неулучшаемой.

Теорема 1.2.5. Для любой функции /(г) € Щл, 1 < р < 2, у которой модуль непрерывности пг-го порядка ojm(F^,t) граничной производной Fjr)(l) ф const является выпуклая вверх функция при любых т.п. г 6 N, справедливо неравенство типа Джексона

ВД)р < №)-1/г • (6)

При каждом фиксированном т, п. г € N и р = 2 оценка (6) иеулучшаема.

Теорема 1.2.6. /7г/стаь /(г) € #¿a, 1 < р < 2, F^/.) ф const. Тогда для любых m. и, г € N, м 0 < /г < я/п справедливо неулучишемос неравенство

}<JjFp:t)m(t)dt Е'ХПр < —Ч---. (7)

2П'п2г Д1 - cosnty^h(t)dt о

. ?г 1 . 2л-^ t) = sin —t + - sin—-í.

Ii ¿ h

Неравенство (7) является точным в том смысле, что при р — 2 существует функция /0(2) € Щл: обращающая (7) в равенство. Из теоремы 1.2.6. получаем

Следствие 1.2.6. При выполнении условий теоремы 1.2.6 справедливо точное неравенство

о

которое обращается в равенство для /0(г) = гп е Ща.

В третьем параграфе первой главы рассматривается одна экстремальная задача для наилучшего полиномалыгого приближения аналитических функций /(г) € #2 следующего вида

/ея,: ih ^

1/9 г

2m+í anrEn(f)2

Í/üüífm «(OA)

где m, п. г € N, п > г и 1 < (/ < 2, О < h < ir/(n - г), 0 < 1/ < (п — г) х х In[(еп)/(п — г + 2)], [у] — целая часть числа у, а

тг 1 2тг <Ph(t) = sm-t. + -sm—¿.

11 2 h

Доказано следующее утверждение.

Теорема 1.3.1. Справедливо равенство

Mn.r,.r.4Ah) = (/ (яп^Ц^ 'vaM^I (9)

leí \ ¿ I j

Существует функция fo{z) € //?, с?ая которой достигается верхняя грань в (8), реализующая равенство (9).

Следствие 1.3.1. При выполнении всех условий теоремы 1.3.1 имеют место равенства

/ тг \ ( Г + 2v + l) ]1/17

М„,п,.ч, j = I(п - г) ■ ^^иуцф) ) ' (10)

где Г(//) — галшл-функция Эйлера.

В четвертом параграфе приводится двухсторонняя оценка для наилучших весовых приближенных аналитических функций из Щ (неравенство типа А. А. Лигу на).

Теорема 1.4.1. Пусть т.п. г € N u 0{t) >0, 0 < t < а. Тогда для произвольной функции /(г) £ Н', справедливо неравенство

ф,„,(«.«, 1) - «".'/„урм, ,/(„ _ г))!„((),и " й!ф'"(а'»>'

о

где положено

а

Фг,т(а, ВЦ), у) = /г/(1 - соз&)тв{г)<н,у > 1. о

При этом, если функция 0(1) непрерывно дифференцируема в отрезке (0, а] и удовлетворяет неравенству í • < 2г — 1 на (0. а], то имеет

м,есто соотношение

О

Верхнюю грань в левой части (12) реализует функция /о(г) = г" б Я2Г.

Следствие 1.4.1. 5 условиях теоремы 1.4-1 справедливы равенства зир , „ > „ (13)

о

з-Р . --(И)

и

Отметим, что равенства (13) и (14) ранее другим путем были доказаны в диссертации Г.А.Юсупова. Аналогичные результаты доказаны в том случае, когда структурные свойства функции /(г) 6 //£. характеризуются модулем

непрерывности ?тг-го порядка и>^п(Р^-Л)2. г-й производной по аргументу /*"(<).

Вторая глава диссертации посвящена вычислению точных значений ?1-попсрсчникоп некоторых классов аналитических в единичном круге функций, определяемых усредненными значениями модулей непрерывности высшего порядка производных функций.

Приведем нужные нам в дальнейшем определения и обозначения. Пусть Ш С П> - некоторый класс функций и пусть I,, С //а - некоторое подпространство заданной размерности п. Величину

й,(9Л)я, := зир{тЩ/ - д\\т : д € Лп} : / е 9Л} (15)

называют наилучшим приближением класса ОТ подпространствам Ьп заданной размерности п.

Если обозначить через С(Н2, Ьп) - множество всех непрерывных операторов А : II2 —> Ь„, то возникает следующая задача: найти величину

£п№)я, := и*{зир{||/ - АДн, : / е ОТ} : А € ЦН2: Ьп)} (16)

и указать оператор Л, 6 £(#2, £ц), реализующий точную нижнюю грань в (16)

£п{т)н2 = &ъ?т - А,!\\И2-. 1 ет}.

Задачу (16) можно рассматривать в более узком смысле: нижнюю грань искать не по всему множеству £(Н21Ьп) непрерывных операторов Л : #2 -'■ а только по некоторому классу таких операторов, которые определяются тем или иным способом задания. В частности, можно выделить в £(Н2,Ьп) класс линейных непрерывных операторов А : И 2 —<> и рассматривать величину

:= М{зир{!|/ - А/\\н, : / е ОТ} : А С ЦН2,1п)}. (17)

Если существует оператор А' С С(Н2,Ьп), для которого достигается внешняя нижняя грань в (17). то такой оператор определяет наилучший линейный метод приближения в задаче (17), то есть

= - А* а,,,-. I ет].

Если же в £(//2,1*п) выделить класс £1{Н2, ¿п) операторов А линейного проектирования на подпространство [.„, то есть таких, что Л/ = / при условии / € то принято рассматривать величину

£,|(ОТ)//з = шГ{йир{||/ - А}\\н, : / £ ОТ} : Л € С^Н2,!,,)}. (18)

С величинами (15)-(18) связана задача нахождения значения /¿-поперечников для различных классов функций ОТ.

Напомним определения тг-попоречников, значения которых для конкретных классов ОТ вычислим в этой главе.

Поперечником в смысле А.Н.Колмогорова класса функций ОТ в пространстве Н1 называется величина

¿„(ЯЛ, И2) = М{К{Ш, 1п)„2 : 1п € Я2}. (19)

где нижняя грань берется по всем подпространствам заданной размерностнп.

Если исходить из наилучшего линейного приближения £С(Ш, 1^п)н2: то величину

дп(ОТ, Н2) = н*{£'С(ОТ, 1п)Нг : 1п € Н2] (20)

называют линейным n-поперечником класса 5Ш в пространстве Я2.

Аналогичным образом, взяв за основу величину (18). вводят в рассмотрение проекционный п-поперечник

7Г.ДЭЛ. Я2) = inf^^irn, Ln)Ht : Ln € Я2}. (21)

Приводим также определение величины, известные в теории аппроксимации под названиями "n-поперечник по Гельфанду" и "п-поперечник по Бернштейну".

Пусть S — единичный шар в пространстве Я2. Величину

¿"(ЯЛ; Я2) = inf{inf{OT П L" с £ 5 : г > 0} : Ln е Я2},

где внешний инфимум берется по всем подпространствам Ln коразмерности п, называют n-поперечником по Гельфанду. Величину

Ьп{Щ Н2) = sup{sup{<rS П L„+1 С ЯЛ П L,i+i} : с > 0}

называют п-поперечником по Бернштейну.

В параграфе 2.1 второй главы рассматривается экстремальная задача о нахождении точных значений верхних граней наилучших приближений алгебраическими полиномами в пространстве Я2.

Пусть Ф(и) — произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых целых m,n.r е N, п>ги1<д<2, 0 < h < 7г/(п-г),0 < и < q\n\(e.n)/(n-r + 2)}.p(t:h) = sin (jrt/h) + + 1/2 sin (2nt¡h) > 0 определим класс функций:

ЩФ) dl/ W(m, п. г. п. и, Ь. р: Ф) = = |/ € IIо : )^miF^.tW{Uh)dt < Ф«(Л)|.

При тех же условиях относительно перечисленных параметров и 0 < v < qr — 1. 0 < h < п/п определим так же следующий класс функций

(leí

1Г„(Ф) -J wa(m.n,r,q,v,h,<p\$) =

= J/ 6 Щп : jujM'KtWUJ^lt < Ф'(/,)|.

Условимся также полагать И'(Ф) = W, И'„(Ф) = И", сгаи Ф(и) = 1. Основным результатом параграфа 2.1 является следующая

Теорема 2.1.2. Для наилучшего приближения :классов №'(Ф) и И^Ф) подпространапвом ~Рп-\ в пространстве П2 соответственно при О < к < ж/(п — г), п > г и 0 < к < тг/п справедливы равенства

Е„т*))н2 = ЕтФ),гп-1)н2 =

" / .о ^

ЕЛ Иа(Ф))я2 = E(Wa( ФуГп^н, =

О X 2 / 2Л. 2/;

= 2-(".+2"/9) .„-г. Jl^inlj^sin^f^JL^J .ф(Л)_

Параграф 2.2 посвящен получению точных значений поперечников в пространство Ih классов аналитических в круге функций И7(Ф) и И^ДФ). определяемых интегральными модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных функций.

В связи с результатами теоремы 2.1.2 возникают следующие вопросы. Можно ли улучшить полученные оценки переходом к другим приближающим подпространствам той же размерности? Каковы оценки неулучшаемы на всей совокупности приближающих подпространств одной и той же размерности п?

Точные результаты, полученные в параграфах 1.2-1.4, дают для поперечников соответствующих классов оценки сверху. При оценке снизу поперечников равную оценку сверху можно получить, используя теорему В.М.Тихомирова о поперечнике, сферы в каждой конкретной ситуации.

Теорема 2.2.1. Справедливы равенства

7„(И', //,,) - 2-'m+í"/«> ■ a-}-Mm.n.r:lílAl')- (22)

ln(Wa. H-i) = 2-("'+2"/«> • n_r-A/mil.0 2.?.fC'): (23)

¿de 7«(") — любой u;i п-поперечников bn('),dn( ).dr,(-).Sn(-) uirn{-). a

í h -

M,„,,,,,{!>) = J/»n"" sin" eos3" ¿Ult J .

Все поперечники в соотношениях (22) и (23) реализуются суммами Тейлора

Г„-,(/.г) = "¿СИ/)**

к=О

разложения функции

№ = Е <*(/)*'

А=0

в круге \г\ < 1.

Из теоремы 2.2.1 вытекает

Следствие 2.2.1. При выполнении условий теоремы 2.2.1 соответственно при к = я/(п—г), п > г и Н = 7г/п справедливы равенства

7п(Ы,Нг) = • а;,1 ■ =

= 2-(ш+2.,/,) . / Г(^ + 1/+1) 1 1 1/?

( Г (? + „+!) У'4 .....

■ гГг+1А\ 1 < а < 2.

где Г(ы) — гамма-функция Эйлера.

Результаты следствия 2.2.1 при í/ = 2, у = 0 и с/ = 2. ^ = 1 были получены в работе М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова, а при q = 2 и любом ^ > 0 в работе М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова.

При доказательстве теоремы 2.2.1 на число //. > 0 мы наложили ограничение вида [п — r)h < тг ( или ii.h < 7г). Рассмотрим теперь случай, когда h 6 [0,2тг] — произвольное число.

Положим {(тг — r)h - 7т}° = (О, если(п - r)h < тг; 1. если(п - r)h > 7г}.

В этих обозначениях справедлива следующая

Теорема 2.2.2. Пусть Ф(h) 6 С[0.2тг]. y{t) = sin"" ilZlE sin" ~t x n 2 2 h

x co.s',ly —jt и для некоторой h, € (0, тг/(л. — г-)] достигается нижняя грань

inf______Ш______тг = Q-

<1<Л<2я fmii.iii.-i-) ь '7

/ „м^о.-^: /

о »/(п-г)

(24)

7rW<i при выполнении условия теоремы 2.2.1 сщхшедливы равенства 7,№);tf2) = - У.

где 7n(0 - любой из поперечников bn(-).,dn(-),S„(-),dn(-) итгп(-).

В частности, для функции Ф»(/г) = hn посредством исчисления установлено, что для того чтобы условия (24) выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы число а удовлетворяло неравенству

1 п — Г г . ,„„ , „ П — ?• .,„ п — Г

а > - - / sin ® —-—t cos -tdt.\ =

q\ 7Г / 2 2 )

-1 + l)

Отметим, что при q = 2, v = 0 теорема 2.2.2 ранее доказана А.Пинкусом. Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Опубликованные работы

1. Шабозов М.Ш., Джурахонов O.A. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций и значения поперечников в пространстве Харди Я2 // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №3, с.29-35.

2. Джурахонов O.A. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 jj Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.27-30.

3. Шабозов М.Ш., Джурахонов O.A. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди Нч, 1 < q < 2 /,/ ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №9, с.787-797.

4. Джурахонов O.A. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди //' ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №9-10, с.727-732.

5. Джурахонов O.A. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №10, с.759-764.

Сдано в 19.05.10г. Подписано в печать 21.05.10а Формат 60x84- Гарнитура литературная. Тираж 100 экз. Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО "Ховарои" ул.Дж.расулов 6/1

Введение.

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди.

§1.1. Постановка задачи приближения аналитических функций.

Вспомогательные факты и классы функций.

1.1.1. Определение модули непрерывности высших порядков аналитических функций f(z) G Нр, 1<р<оо.

1.1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р < оо

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических в единичном круге функций в пространстве Нр, 1 < р < 2.

§1.3. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения аналитических функций f(z) е Щ.

§1.4. О наилучших полиномиальных весовых приближениях аналитических функций из Щ.

Глава II. Поперечники классов функций в метрике пространства #2.

§2.1. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических функций в Щ.

§2.2. Точные значения поперечников классов W, Wa: И-'ЦФ) в пространстве Н2.

Теория приближения функций является одной из наиболее активно развивающихся областей математического анализа, имеющая важные приложения в прикладных областях математики. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах.

Задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций получили широкое развитие в работах А.Н.Колмогорова [19], А.Хаара [38], С.Б.Стечкина [25], К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [31 - 33], Л.В.Тайкова [27-30], М.З.Двейрина [13-16], Ж.Шейка [35], А.Пинкуса [34], С.Д.Фишера [36], С.Д.Фишера и К.А.Миччелли [37], Н.Айнуллоева [1 - 4], С.Б.Вакарчука [9 — 12] и многих других математиков. Указанными работами полностью сформулирована теория наилучшего приближения аналитических в круге функций полиномами как раздел теории функций в комплексной*^ области.

Методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций ~ полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. Так, задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченным по норме пространством Нр, р > 1 производной изучались в работах К.И.Бабенко [6], В.М.Тихомирова [32 — 33], Л.В.Тайкова [27 - 30], Ж.Шейка [35], В.И.Белого [7 - 8], М.З.Двейрина [13 - 16], С.Б.Вакарчука [9 - 12], М.Ш.Шабозова [41 - 42], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [46], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [43,44] и др.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова

27 — 30], Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева [5]. Аналогичные задачи для классов функций, задаваемых модулями непрерывности тп-го порядка в пространстве Харди, изучались в работах М.Ш.Шабозова [41 — 42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [45].

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений различных n-поперечников классов аналитических в круге функций, у которых г- я производная удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанным со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка. Основной целью диссертации является:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.

2. Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных n-поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями- непрерывности высших порядков производных граничных функций в Щ.

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении n-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например в пространстве Бергмана с весом.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории- функций в ТГНУ (Душанбе, 19982008 гг.) на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2005 гг.), на семинарах отдела теории функций Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2007-2009 гг.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами" посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан

Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17,18,19,48,49].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 50 наименований и занимает 72 страницы машинописного текста, набранного на LaTeX.

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР, 1984, т.27, №8, с.415-418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН ТаджССР, 1985, т.28, №6, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научных трудов; Калининский госуниверситет, 1986, с. 91-101.

4. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.3-10.

5. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. // Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

6. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, №5, с.631-640.

7. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал, 1967, т.19, №2, с.104-108.

8. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших лигейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами //В кн: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 2. Киев: Наукова думка, 1971, с.37-54.

9. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.

10. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

11. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций //Матем. заметки, 1995, т.57, Ш, с.30-39.

12. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, №6, с.838-843.

13. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с. 129-132.

14. Двейрин М.З. Поперечники и £ энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32-46.

15. Двейрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев: Наукова думка, 1975, с.41-54.

16. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций / / Теория отображений и приближение функций. Киев. "Науково думка", 1983, с.62-73.

17. Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №9-10, с.727-732.

18. Джурахонов О.А. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Харди Щ // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.27-30.

19. Джурахонов О.А. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №10, с.759-764.

20. Колмогоров А.Н. Uber die beste Annaherug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Annalen of Math., 1936, №37, S.107-111.

21. Кусис П. Теория пространств Нр. М.:Мир, 1984, 256с.

22. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 // Мат. заметки, 1978, т.24, т, с.785-792.

23. Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281,№1, с.34-37.

24. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950, 350с.

25. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций.-Изв.АН СССР, сер. мат.,1953,т.17,№6, с.461-472.

26. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. -М.-Л.:Наука, 1964.

27. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.

28. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

29. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Матем. заметки, 1977, т.22, №4, с.535-542.

30. Тайков Л.В. Стрктурные и конструктивные характеристики функций из Ь2 // Матем. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.

31. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук, 1960, т. 1, №, с.81-120.

32. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.-М.:Издательство МГУ, 1976, 304 с.

33. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ. -1987, т.11, с.103-260.

34. Pinkus A. n-width in Approximation Theory Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292 p.

35. Scheick J.T. Polinoraial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, №6, 1238-1243.

36. Фишер С.Д (Fisher S.D) Quantitative approximation theory, Amer. Math. Monthly, 1978, m 85, p.318-332

37. Фишер С.Д. и Миччелли К.А. (Fisher S.D., Micchelli С.А) The.n-widths of sets analytic function, Duke Math. J.,1980,t.47, p.789-801

38. Xaap A. (Haar A.) Die Minkowskische Geometrie und die Annaherung sn stetige Funktionen. Math.Ann., 1914, 78.

39. Черных Н.И. О неравенствах Джексона в L2 / / Труды МИАН СССР, 1967, т.88, с.71-74.

40. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 / / Матема. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

41. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Республики Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.

42. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди //Вестник ХоГУ, 1999, №1, серия 1, с.35-44.

43. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №4, с.19-24.

44. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр, 1 < р < 2. // ДАН России, 2003, т.394, №4, с.399-401.

45. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.

46. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А., Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций, // ДАН России, 2002, т.382, №6, 747-749.

47. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа. Точные неравенства, между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2 // Докл.РАН, 2005, т.403, №5, с.610-613.

48. Шабозов М.Ш., Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближения в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №9, с.787-797.

49. Шабозов М.Ш., Джурахонов О.А. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №3, с.29-35.

50. G.G.Hardy , G.Littlewood and G.Polya, Inequality.Cambridge University Press.2nd ed. 1952, 346.

51. Юсупов Г.А. Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди диссертация на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук // Душанбе, 2004, с.86.